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Tutorial de Análisis Numérico
Aproximación : Ajuste de funciones
Método de los mı́nimos cuadrados
Informática
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Jesús Garcı́a Quesada
Departamento de Informática y Sistemas
Contenido
Universidad de Las Palmas de Gran Canaria
35017 Campus de Tafira, España
JJ
II
J
I
Email : jgarcia@dis.ulpgc.es
2 de Octubre de 2000, v0.3
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Índice General
1 AJUSTE DE FUNCIONES.
APROXIMACIÓN MÍNIMO CUADRÁTICA
3
Informática
2 PROBLEMAS
Soluciones a los Problemas
10
13
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JJ
II
J
I
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1. AJUSTE DE FUNCIONES.
APROXIMACIÓN MÍNIMO CUADRÁTICA
Sean (xi , yi ), i = 1, 2, . . . , n una nube de puntos con pesos wi > 0 y sea {gj }m
j=1 una
familia de funciones básicas.
Si llamamos
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φ(x) = c1 g1 (x) + c2 g2 (x) + · · · + cm gm (x) =
m
X
cj gj (x)
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j=1
donde las cj están por determinar, se trata de hacer mı́nimo el error cuadrático :
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e=
n
X
wi (φ(xi ) − yi )2
(1)
i=1
siendo yi = f (xi ), f desconocida.
Por tanto, una condición necesaria de existencia de mı́nimo para e es :
∂e
= 0, para k = 1, 2, . . . , m
(2)
∂ck
que se denomina sistema de ecuaciones normales y es en definitiva un sistema de
ecuaciones lineales com m incógnitas cj .
Desarrollando (1) tenemos :
JJ
II
J
I
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2
2
2
e =w1 (φ(x1 ) − y1 ) + w2 (φ(x2 ) − y2 ) + · · · + wn (φ(xn ) − yn ) =
w1 (c1 g1 (x1 ) + · · · + cm gm (x1 ) − y1 )2 + · · · + wn (c1 g1 (xn ) + · · · + cm gm (xn ) − yn )2
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Por tanto :
∂e
= 2w1 (φ(x1 ) − y1 )g1 (x1 ) + 2w2 (φ(x2 ) − y2 )gk (x2 ) + · · · + 2wn (φ(xn ) − yn )gk (xn ) =
∂ck
n
X
=2
wi (φ(xi ) − yi )gk (xi ) = 0, k = 1, 2, . . . , n
i=1
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(3)
de la cual se puede eliminar el 2 ya que está igualado a cero. O sea :
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w1 (c1 g1 (x1 )+· · ·+cm gm (x1 )−y1 )gk (x1 )+· · ·+wn (c1 g1 (xn )+· · ·+cm gm (xn )−yn )gk (xn ) = 0
Reordenando respecto a las ck y pasando al segundo miembro los términos con signo
negativo tenemos :
= c1 (w1 g1 (x1 )gk (x1 ) + · · · + wn g1 (xn )gk (xn )) + · · · + cm (w1 gm (x1 )gk (x1) + · · · + wn gm (xn )gk (xn ))
= w1 y1 gk (x1 ) + · · · + wn yn gk (xn )
donde ya se han pasado al segundo miembro los sumandos con un signo negativo en
la expresión anterior. Por tanto, queda :
m
n
n
X
X
X
cj
wi gj (xi )gk (xi ) =
wi yi gk (xi )
j=1
i=1
i=1
JJ
II
J
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para k = 1, 2, . . . , m. O también en forma matricial :
P
n
n
P
wi g1 (xi )g1 (xi )
wi g2 (xi )g1 (xi )
i=1
i=1
P
n
P
n
wi g1 (xi )g2 (xi )
wi g2 (xi )g2 (xi )
i=1
i=1
..
..
.
.
n
n
P
P
wi g1 (xi )gm (xi )
wi g2 (xi )gm (xi )
i=1
i=1
···
···
..
.
···
n
P
wi gm (xi )g1 (xi )
wi gm (xi )g2 (xi )
i=1
..
.
n
P
wi gm (xi )gm (xi )
i=1
n
P
i=1
c1
c2
..
.
cm
P
n
wi yi g1 (xi )
i=1
n
P
wi yi g2 (xi )
= i=1
..
.
n
P
wi yi gm (xi )
i=1
que se denomina sistema de ecuaciones normales para la aproximación por mı́nimos
cuadrados. De aquı́ se obtienen c1 , c2 , . . . , cm . Nótese que la matriz es simétrica, y definida positiva.
Un caso particular importante es cuando se quiere ajustar los datos a un polinomio
de un determinado grado, o sea, cuando :
φ(x) = pn (x) = α0 + α1 x + α2 x2 + · · · + αm xm−1 =
m−1
X
αj xj
j=0
En éste caso es gj (x) = xj−1 y por tanto gj (xi )gk (xi ) = xj+k−2
y el sistema normal
i
queda de la siguiente forma :
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n
P
P x2i
xi
..
.P
xm−1
i
P
P x2i
P xi3
xi
..
.P
xm
i
P 2
P xi3
P x4i
xi
..
.P
xm+1
i
P m−1
i
P xm
x
P im+1
xi
..
.P
···
x2m−2
i
···
···
···
...
α0
α1
α2
..
.
αm−1
P
yi
P yi xi
P
yi x2i
=
..
.
P m−1
yi xi
Ejemplo. Dados los puntos P1 (1, 6), P2 (2, 1), P3 (4, 2), P4 (5, 3), P5 (10, 4), P6 (16, 5) encontrar los polinomios de grados 1,2,3,4,5 y 6 que mejor se ajusten por mı́nimos cuadrados.
Solución:
Para el caso de grado uno tenemos p1 (x) = α0 + α1 x y entonces :
P
P
n
x
α
y
i
0
i
P
P 2
= P
xi
xi
α1
yi xi
Y sustituyendo :
6 38
38 402
α0
α1
=
21
151
cuya solución nos da la recta de regresión p1 (x) = 2.793 + 0.1116x.
Análogamente, para el caso de grado dos tenemos:
P
P
P 2
n
α0
P
P x2i P xi3
P yi
α1 =
P x2i P x3i P xi4
P yi xi2
xi
xi
xi
α2
yi xi
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Y sustituyendo :
6
38
402
α0
21
38 402 5294 α1 = 151
402 5294 76434
α2
1797
Informática
2
cuya solución nos da p2 (x) = 4.0593 − 0.4159x + 0.03097x .
6
38
402
5294
α0
38
402
5294
76434
α1 =
402 5294
76434
1152758 α2
5294 76434 1152758 17797002
α2
2
Página Web
21
151
1797
24997
Página de Inicio
Contenido
3
cuya solución nos da p3 (x) = 6.4822 − 2.1813x + 0.3075x − 0.01106x .
El resto de los polinomios resultantes del ajuste son:
p3 (x) = 6.482 − 2.181x + 0.3075x2 − 0.011076x3
p4 (x) = 15.43 − 12.75x + 3.494x2 − 0.33714x3 + 0.010375x4
p5 (x) = 20.72 − 21.74x + 8.28x2 − 1.3582x3 + 0.098876x4 − 0.002579x5
con error cuadrático de 0.182823 × 10−17 .
p6 (x) = 13.2005 − 5.8561x − 3.3569x2 + 2.4861x3 − 0.5130x4 + 0.04205x5 − 0.001174x5
con error cuadrático de 0.229023 × 10−19 .
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En algunas ocasiones la función de ajuste no aparece expresada como una combinación
lineal de funciones básicas, debiéndose realizar previamente algunas transformaciones con
el fin de obtener una ecuación transformada que sea lineal, como es el caso del siguiente
ejemplo.
Ejemplo.
La intensidad de la radiación emitida de una fuente radiactiva viene dada por la
fórmula I = I0 e−αt . Determinar las constantes α e I0 usando los datos dados :
t
I
0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8
3.16 2.38 1.75 1.34 1.00 0.74 0.56
Solución:
Tomando logaritmos neperianos, tenemos :
I = I0 e−αt =⇒ ln I = ln I0 − αt =⇒ Y = A + Bt
con Y = ln I, A = ln I0 y B = −α, con lo que hay que añadir una lı́nea más en la
tabla, la correspondiente a ln I que nos ha aparecido en la linealización :
ln I
1.1506 0.8671 0.5596 0.2927 0 −0.3011 −0.5798
El sistema que resulta es pues :
P
P
P A
1
t
y
i
i
P
P 2
= P
ti
ti
B
yi ti
O sea :
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7
3.5
3.5 2.03
A
B
=
1.9891
0.18583
Y de aquı́ :
Informática
3.387468
= 1.7283 =⇒ I0 = eA = 5.631073 ' 5.63
1.96
−5.66104
B=
= −2.8883 =⇒ α = −B = 2.8883 ' 2.89
1.96
A=
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siendo el error cuadrático cometido de 0.366075 × 10−3 .
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2. PROBLEMAS
Problema 1. Dada la siguiente nube de puntos :
xi
yi
−1.3
1
1.2
1.4
−1.1
−2
3
0.8361 1.0 0.7053 1.0398 0.6865 2.1981 11.7514
√
√
√
√
2
encontrar la función del tipo y = A x2 − 1 + Be x −1 + C sen( x2 − 1) sen( x2 − 1)
que mejor se ajuste por mı́nimos cuadrados. Estimar asimismo el error cuadrático cometido.
Problema 2.
Dada la siguiente nube de puntos :
xi
yi
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0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.4204 0.4460 0.4726 0.5027 0.5378 0.5792
2
√
encontrar la función del tipo y = α 2βx +γ x−1 que mejor se ajuste por mı́nimos
cuadrados. Estimar asimismo el error cuadrático cometido.
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Referencias
[Act90] F.S. Acton. Numerical Methods That (Usually) Work. The Mathematical Association of America, Washington, 1990.
[Atk89] K. E. Atkinson. An Introduction to Numerical Analysis. John Wiley, New York,
2nd. edition, 1989.
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Informática
Página Web
R.L. Burden and D. Faires. Análisis Numérico. Grupo Editorial Iberoamericana, México, 1980.
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S.C. Chapra and R.P. Canale. Numerical Methods for Engineers. McGraw-Hill
International, New York, second edition, 1989.
Contenido
[CdB80] S. D. Conte and C. de Boor. Elementary Numerical Analysis: An Algorithmic
Approach. McGraw–Hill, New York, third edition, 1980.
JJ
II
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J
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Germund Dahlquist and Åke Björck. Numerical Methods. Prentice-Hall, Englewood Cliffs, New Jersey, 1974.
[Fad59] V.N. Faddeeva. Computational Methods of Linear Algebra. Dover Publications,
Inc, New York, 1959.
Página 11 de 16
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C.-E. Fröberg. Introduction to Numerical Analysis. Adison–Wesley, Reading,
Massachusetts, 2nd. edition, 1979.
[GW89] C.F. Gerald and P.O. Wheatley. Applied Numerical Analysis. Addison–Wesley
Publishing Co., Reading, Massachusets, fourth edition, 1989.
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ULPGC
[Hen72] P. Henrici. Elementos de Análisis Numérico. Ed. Trillas, México, 1972.
[Hil74]
F. B. Hildebrand. Introduction to Numerical Analysis. McGraw–Hill, New
York, second edition, 1974.
[KC94]
D. Kincaid and W. Cheney. Análisis Numérico : las matemáticas del cálculo
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Informática
Página Web
[Mar87] M. J. Maron. Numerical Analysis: A Practical Approach. Macmillan Publishing
Co., New York, second edition, 1987.
[ML91]
M. J. Maron and R. J. Lopez. Numerical Analysis: A Practical Approach.
Wadsworth, Belmont, California, third edition, 1991.
Página de Inicio
Contenido
[RR78]
Anthony Ralston and Philip Rabinowitz. A First Course in Numerical Analysis.
McGraw-Hill, New York, 2nd. edition, 1978.
JJ
II
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H.R. Schwarz. Numerical Analysis. John Wiley & Sons, Chichester, 1989.
J
I
[Wer84] W. Werner. Mathematics of Computation, 43:205–217, 1984.
Página 12 de 16
[YG73a] David M. Young and R.T. Gregory. A Survey of Numerical Mathematics, volume I. Dover Publications, New York, 1973.
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[YG73b] David M. Young and R.T. Gregory. A Survey of Numerical Mathematics, volume II. Dover Publications, New York, 1973.
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Soluciones a los Problemas
Problema 1. Construyendo las siguientes lineas:
xi
p yi
x2i − 1
√
2
epxi −1
sen x2i − 1
−1.3
1
1.2
1.4
−1.1
−2
0.8361 1.0 0.7053
1.0398
0.6865
2.1981
0.830662 0.0 0.663325 0.979796 0.458258 1.732051
3
11.7514
2.828427
2.294837 1.0 1.941236 2.663913 1.581317 5.652235
16.918827
0.545202 0.0 0.379136 0.689537 0.195706 0.974222 9.490827 × 10−2
y resultan:
A = −2.085593, B = 1.040882, C = 0.141162 siendo entonces la función :
√
√
x2 − 1 + 1.040882 e
x2 −1
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y la matriz que queda es por tanto:
13.3
64.172273 3.425502
A
39.540944
64.172273 337.826137 11.245750 B = 219.387459
3.425502 11.245750 1.912867
C
4.831323
y = −2.085593
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√
√
+ 0.141162 sen( x2 − 1) sen( x2 − 1)
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y el error cuadrático ||e||2 = 0.332221.
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J
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Problema 2.
√
√
x
Tenemos log2 y = log2 α + βx2 + γ x − 1 =⇒ log2 y = (log2 α − 1) + β x2 + γ
|{z}
| {z } |
{z
} |{z}
B
C
Y
A
√
2
2
+
C
o
sea,
Y
=
A
+
Bx
x,
con
funciones
básicas
g
(x)
=
1,
g
(x)
=
x
,
g
1
2
3 (x) =
√
x.
Construyendo entonces la lineas necesarias:
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xi
yi
Y = log2 yi
√
xi
x2i
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.4204
0.4460
0.4726
0.5027
0.5378
0.5792
−1.25016506 −1.164884 −1.081308 −0.992230 −0.894858 −0.787866
0.316228
0.447214
0.547723
0.632456
0.707107
0.774597
0.01
0.04
0.09
0.16
0.25
0.36
El sistema que resulta es:
6
6
6 √
P
P
P
2
1
x
xi
i
i=1
i=1
i=1
6
6
6
P
P
P
√
x2i
x4i
x2i xi
i=1
i=1
i=1
6 √
6
6
P
P
P
√
xi
x2i xi
xi
i=1
Y sustituyendo :
i=1
i=1
6
P
yi
i=1
A
6
B = P yi x2
i
C
i=1
6
P
√
yi xi
i=1
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6
0.91
3.425325
A
−6.171311
−4.277627
0.91
0.2275 0.6271071 B = −0.822518 (o también −0.570126 si es ln)
3.425325 0.627171
2.1
C
−3.379128
−2.342233
con lo que queda:
A = −1.414679 = log2 α − 1 =⇒ α = s−0.414679 ' 0.750186 y por otra parte B = β =
0.667617, C = γ = 0.498999 siendo entonces la función :
√
0.667617x2 +0.498999 x−1
Informática
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y = 0.7501862
siendo el error cuadrático 0.161628 × 10−7 en éste caso.
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