Simulaciones con Open Source Physics para comprender ideas claves de la Relatividad General

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Uso de simulaciones interactivas para la comprensión inicial de la
Relatividad General
Interactive simulations use for initial General Relativity
understanding
Adrian M. Silva1,2,
1Universidad de Buenos Aires, Departamento de Ciencias Exactas,
Ciclo Básico Común, Cátedra de Física y Biofísica, Centro
Regional Norte,Córdoba y Lima, San Isidro, GBA. Argentina.
2Instituto de Astronomía y Física del Espacio, Grupo de Estructuras
magnéticas Solares, Ciudad Universitaria, CABA.
E-mail: asilvacbc@gmail.com
(Recibido el ####; aceptado el ####)
Resumen
En este trabajo presentamos una propuesta introductoria al conocimiento de la Relatividad
General. La misma fue diseñada y probada en la Cátedra de Física del Ciclo Común de la
Universidad de Buenos Aires, en forma de un seminario extracurricular para docentes y
alumnos de Física e Ingeniería. Proponemos una aproximación innovadora a la teoría de la
Relatividad General sin recurrir a las expresiones matemáticas propias de la teoría. Para esto
utilizamos el paquete GR del Open Source Physics (OSP), software de código abierto y
accesible. En una primera instancia, nos enfocamos en la noción de métrica y de tiempo propio
de distintos observadores Luego analizamos movimientos orbitales y gráficos de energía. La
comparación de casos clásicos con entornos relativistas masivos, donde la condición principal es la
curvatura del espacio-tiempo, nos permite plantear preguntas guiadas con respuestas
esclarecedoras, que incentivan y consolidan competencias de alumnos y docentes.
Palabras clave: Enseñanza Universitaria; Relatividad General; Perfeccionamiento docente;
software educativo en Física.
Abstract
In this work we present an introductory proposal to the knowledge of General Relativity. It was
designed and tested in the Chair of Physics of the Common Cycle of the University of Buenos
Aires, in the form of an extracurricular seminar for teachers and students of Physics and
Engineering. We propose an innovative approach to the theory of General Relativity without
resorting to the mathematical expressions typical of theory. For this we use the Open Source
Physics (OSP) GR package, an accessible software. In the first instance, we focus on the notion of
metric and proper time for different observers Then we analyze orbital movements and energy
graphs. Comparing classic cases with massive relativistic environments, where the main condition
is the curvature of space-time, allows us to ask guided questions with enlightening answers, which
incentivize and consolidate student and teachers’ competencies.
Keywords: University Teaching; General Relativity; Teaching improvement; Educational
software in Physics.
I. INTRODUCCIÓN
Las iniciativas pedagógicas orientadas a la conceptualización y gradual comprensión de la
Relatividad representan un gran desafío. Los avances de la Física en este campo, y su enorme influencia
en el conocimiento del Cosmos, nos enfrenta como educadores y formadores de educadores, con la
necesidad de generar estrategias didácticas que acerquen a nuestros jóvenes y a las futuras generaciones a
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este conocimiento. Consideramos justificados los esfuerzos orientados a integrar este paradigma
fundamental a los saberes y competencias respectivas, dado que constituye el marco de una visión
superadora de la realidad, implica un crecimiento y apertura cognitivos, y es sin duda inspirador para
nuevos posibles trayectos, tanto para docentes como alumnos. Existen muy buenos trabajos con distintas
secuencias didácticas, de distinto nivel. (Christensen y Moore, 2012), (Arriassecq y Greca, 2012), (Pérez
y Solbes, 2006), (Arriassecq y otros, 2016). En este trabajo proponemos otra estrategia: adaptar la
planificación del OSP-GR para que esté al alcance de Profesores de Enseñanza Media, Superior y
Universitaria inicial, y alumnos orientados a las Ciencias Físicas y la Ingeniería. Con objetivos
claros, conducidos mediante preguntas, discutir, analizar respuestas y aprender de los programas del
paquete de GR Open Source Physics, valioso aporte de Wolfgang Christian, Mario Belloni and Anne J.
Cox (2008) cuya url: https://www.compadre.org/osp/search/search.cfm?b=1&SS=1384
Dado que para poder ejecutar y emplear las bondades del OSP se debe instalar Java y varias
subrutinas, recomendamos el link,: http://www.java.com/en/download/help/index.xml/ y los archivos JRE
se bajan de: http://www.java.com/en/index.jsp
II. OBJETIVOS Y METODOLOGÍA
Introducir docentes y alumnos a un nuevo paradigma. Tres ideas claves:
1. ¿Qué es una métrica?
2. Métricas que dependen de la masa => Espacio-tiempo curvo y fuerza gravitatoria = 0
3. Los cuerpos materiales se mueven por el camino óptimo en el que la acción es extrema (tiempo
propio) y la distancia corresponde a “rectas” por superficies no planas. La luz hace exactamente lo
mismo: integración de luz y materia. Concepto de geodésica.
Comparación con el caso clásico: fuerza gravitatoria y espacio euclídeo, tiempo absoluto (Silva, 2017)
Estudiar movimiento de partículas y luz cerca de un agujero negro (BH).
Preguntas y respuestas guiadas de alto valor conceptual
Encuestas, tests y entrevistas a los docentes y alumnos participantes.
1. Métrica: el recurso analítico para medir distancias y tiempos en espacios dimensionales, por lo tanto,
para estudiar y predecir todos los movimientos posibles. Clásica:
∆𝑠𝑠 2 = ∆𝑥𝑥 2 + ∆𝑦𝑦 2 + ∆𝑧𝑧 2
,
-∞< ∆t < ∞
(1)
t independiente del observador y del espacio. El mismo para todos los sucesos, simultaneidad absoluta.
La Fuerza determina el movimiento. Interacción instantánea.
1’. Relatividad Especial: Avance: Espaciotiempo:
∆𝑠𝑠 2 = ∆𝑥𝑥 2 + ∆𝑦𝑦 2 + ∆𝑧𝑧 2 − (𝑐𝑐∆𝑡𝑡)2 ⇒ 𝑑𝑑𝑑𝑑 2 = (𝑑𝑑𝑑𝑑)2 − (𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐)2
(2)
La variable clave es la velocidad entre observadores, que determina longitudes y tiempos. Si hay fuerzas,
se distorsiona la métrica.
2. Relatividad General: cambio conceptual profundo: La métrica depende de la masa, Por lo tanto, las
distancias y el tiempo: (Schwarzschild) y la F grav desparece:
𝑑𝑑𝑑𝑑 2 = �
1
2𝐺𝐺𝐺𝐺
1− 2
𝑟𝑟𝑐𝑐
� (𝑑𝑑𝑑𝑑)2 − �1 −
2𝐺𝐺𝐺𝐺
𝑟𝑟𝑐𝑐 2
� (𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐)2
(3)
Esta métrica (3) resulta de una concentración de masa estática y con simetría esférica; comparar con (2);
aparece el horizonte en el radio Rs (4).
A. PARTÍCULAS MATERIALES
Veamos órbitas en el caso newtoniano (1) (CG) y relativista general (RG) con la métrica (3):
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a)
b)
c)
FIGURA 1: a) Explosión de partículas: órbitas periódicas => espacio plano b) Potencial Gravitatorio Clásico.
c)Todos los fragmentos tienen la misma energía, y están más cerca que en a)
a)
b)
FIGURA 2 a): Haz newtoniano con distintas velocidades iniciales, es predecible cada trayectoria. No hay
colapso. b). Geodésicas: mapa de curvatura cerca del agujero negro Fgrav = 0 para 2 partículas, que caen y para
las que el tiempo se detiene. Visto por observador exterior. No así el tiempo propio y la velocidad comoviente
(covariante) de cada partícula, que se aceleran por la curvatura.
.
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a) E + L ≈ U(r)
b) E + L < U( r)
FIGURA 3. Una partícula cayendo con distinto momento angular; a) se puede dar una órbita no cerrada inestable;
b) cae y visto por el observador externo se detiene al llegar a Rs; obsérvese los tiempos propios y el tiempo lejos del
agujero negro. Hay: distorsión temporal (5), y el agujero negro es invisible desde el exterior protegido por
Rs (4):
𝑅𝑅𝑅𝑅 = 2𝐺𝐺𝐺𝐺 /𝑐𝑐 2
𝑑𝑑𝑑𝑑/𝑑𝑑𝑑𝑑 = 1/(1 − 2𝐺𝐺𝐺𝐺/𝑐𝑐 2 )
(4)
(5)
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El tiempo depende del radio vector: cuanto más nos acercamos al agujero, mayor es la dilatación temporal
visto por un observador localizado lejos. Con los parámetros elegidos, el Rs = 5: observen las curvas de
potencial correspondientes para dos valores de E + L diferentes:
FIGURA 4. Para r > Rs = 5 la partícula encuentra el “abismo” de potencial; Existe un único valor de energía para
el cual hay una órbita circular altamente inestable.
Ahora analicemos cómo se vería una explosión de partículas en la proximidad del agujero negro:
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FIGURA 5: Todos los fragmentos tienen la misma energía, por lo que inexorablemente caerán al horizonte.
Al lado el potencial (pozo) visto por los fragmentos.
Para tiempos largos, sucede esto:
FIGURA 6: Todos los fragmentos en órbitas espiraladas caen al centro de atracción. En el uso del software se
pueden ver los tiempos propios de cada partícula, y cómo las trayectorias unen puntos de mínimos o máximos de
tiempos propios.
Para t  ∞ retornan desde muy lejos fragmentos con trayectos (líneas de Universo) cuyos tiempos
propios parecen congelarse (dilatación temporal) en comparación con el reloj que marca la región alejada;
mientras que las longitudes se acortan a lo largo de curvas extremales, llamadas geodésicas, cuya
ecuación particular es el equivalente a la 2° Ley de Newton, salvo que en estas la aceleración está dada
por la curvatura intrínseca en lugar de la Fuerza.
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FIGURA 7: A tiempos largos, todos retornan por órbitas (que no son tales) abiertas, no periódicas y colapsantes
en el espacio tiempo.
Observen los tiempos propios en las líneas de Universo de una partícula típica moviéndose por una
geodésica, por la que se alteran naturalmente las distancias y los intervalos entre sucesos, permitiendo
fenómenos como las líneas de tiempo cerradas (CTC)
FIGURA 8: Geodésicas: Líneas de Universo de la partícula, reúne toda su historia, su futuro y pasado, los cuales
pueden alterarse en relación a otras historias, el pasado de una puede solaparse con el futuro de otra, dando lugar a
cuestiones no resueltas de causalidad.
B. LUZ- EXPLOSIÓN DE FOTONES
¿Que se observa en un mapa de RG para el caso de un fotón que escapa y otro en órbita circular inestable?
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FIGURA 10: los fotones enfrentan un potencial efectivo que se configura con su velocidad de escape, c, y su
parámetro de impacto b que es inversamente proporcional a su energía total. Cerca del agujero, la luz se
comporta como un cuerpo material que cae libremente.
Hay un intenso efecto de corrimiento al rojo si pasa la barrera, es decir si su ángulo de incidencia es tal
que el fotón está en el Umax, donde puede muy improbablemente tener una órbita circular
alrededor del agujero negro.
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FIGURA
explosión de luz
no hay órbitas estables salvo para r < rs
Dependen de b las líneas universales e> u, e<u
Efectos ópticos: múltiples imágenes + lentes convergentes
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FIGURA 12: lente gravitacional: σ representa los vértices de las “esferas” de luz
III. ALGUNAS DE LAS PREGUNTAS A DISCUTIR Y ANALIZAR
1. Haga clic en la casilla de verificación U (r) para mostrar el potencial efectivo. La partícula está en una
órbita circular. En la gráfica que muestra el potencial efectivo, la partícula no se mueve. ¿Por qué?
2. En la gráfica que muestra el potencial efectivo, haga clic y arrastre la partícula o la línea roja hasta una
energía total más alta (lea la energía en la tabla del lado izquierdo). Dale a la partícula una energía total
entre - 0.2 y -0.4 y ejecuta la animación.
3. ¿Cómo se ve el movimiento? ¿Por qué? ¿Es la órbita circular, elíptica o hiperbólica? Explica cómo
podrías determinar esto con solo mirar el potencial efectivo.
4. ¿Porqué en la explosión de partículas las órbitas son espiraladas en RG y curvas cerradas en CG a igual
Energía?
5. ¿Cómo se verían los rayos en la explosión de luz en el caso clásico?
6. ¿Porqué es inestable una órbita circular para un rayo de luz en RG?
7. Analiza que pasa con los tiempos propios a distintas distancias del BH. ¿Son iguales? ¿De qué
dependen?
8. Analiza y reflexiona, si una línea curva en el espacio-tiempo, puede ser la que requiera menos tiempo
para ser recorrida.
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9. Observa bien los valores de r, E, L, b del panel de comando: ¿A qué distancia del BH cae o se escapa
una partícula y un rayo de luz? ¿Cómo se modifican los demás parámetros? Tiene relación con el
horizonte dado por el radio Rs…
IV. CONCLUSIONES
Qué aprendimos? Qué aportamos?
Actualización y formación superior Docente de alto valor por tratarse del Marco en el que se dan los
procesos físicos en el Universo.
•Intentar comprender que significa y el valor de un cambio de Paradigma.
•Aporte Educativo de Ideas Clave? Está por verse. Es incipiente la iniciativa.
•Resultados con estudiantes y docentes del CBC:
•Inventariar las Entrevistas, las respuestas a cuestiones, cuán acertados a las preguntas?
•Qué tipo y profundidad de análisis permite esta tecnología: Gráficos y Applets.
•Reunimos interesantes comentarios y preguntas libres: Mayor comprensión de los contenidos del
curso de Mecánica que dictamos (Física 03 del CBC). Establecimiento de nexos temáticos:
ecuaciones de movimiento, sistemas de referencia no inerciales, transformaciones de coordenadas.
•Cómo Seguir? Excede los Diseños Curriculares pero tenemos la oportunidad frente a nuevas
generaciones aptas para este acercamiento a una realidad Física superadora que abre una inmensa
ventana al conocimiento y la inspiración vocacional. El formato de seminario y/o Taller parecen
aptos.
•Soluciones Curriculares: Articulación con Matemática, Geometría, Análisis fino de gráficos (Orbitas
y Energías Potenciales)
REFERENCIAS
Arriassecq, I. y Greca, I. (2012). A Teaching–learning sequence for the special relativity theory at
high school level historically and epistemologically contextualized. Science & Education, 21(6), pp. 827–
851.
Arriassecq, I., Seoane, E., Cayul, E. y Greca, I. (2016). Teoría especial de la relatividad en la escuela
secundaria: perspectiva de los docentes y análisis de textos. Revista Enseñanza de la Física, (28), pp. 15–
22.
Christensen, N. y Moore, T. (2012). Teaching general relativity to undergraduates. Physics Today 65(6),
pp. 41-47
Pérez, H. y Solbes, J. (2006). Una propuesta sobre enseñanza de la relatividad en el bachillerato como
motivación para el aprendizaje de la física. Enseñanza de las Ciencias, 24(2), pp. 269–284
Open Source Physics GR (2008). en https://www.compadre.org/osp/ Managing Editor: Christian, W.;
Editors and Curriculum Authors: Belloni, M. y Cox, A.
Silva, A. M. (2017). Integración y aplicación de contenidos de mecánica a partir de fenómenos
gravitatorios. e- book, Banús, María del Carmen, Editora; 1° Ed. Especial, Memorias XIII Jornadas de
Material Didáctico y Experiencias Innovadoras en Educación Superior. pp. 189 – 198. Ciudad
Autónoma de Buenos Aires: Universidad de Buenos Aires.
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