calculo avanzado para ingeniería 2019- UTP

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100000I19N_CalculoAvanzadoParaIngenieria
SÍLABO
CÁLCULO AVANZADO PARA INGENIERIA (100000I19N)
2019 - Ciclo 1 Marzo
1. DATOS GENERALES
2.
1.1.Carrera:
INGENIERÍA AERONÁUTICA
INGENIERÍA AUTOMOTRÍZ
INGENIERÍA CIVIL
INGENIERÍA ECONÓMICA Y EMPRESARIAL
INGENIERÍA ELECTROMECÁNICA
INGENIERÍA MECÁNICA
INGENIERÍA MECATRÓNICA
1.2. Coordinador:
Julio Cesar Guzmán Roca
1.3. Créditos:
4
1.4. Modalidad:
Presencial
1.5. Horas semanales:
4
FUNDAMENTACIÓN
El curso de Cálculo avanzado para ingeniería tiene su importancia en el desarrollo del pensamiento en el espacio n-dimensional el
cual se emplea en los modelos de varias variables; ello permitirá también que el estudiante tenga un punto de vista cuantitativo
para la toma de decisiones a través de la aplicación de las diversas herramientas matemáticas
3.
SUMILLA
Esta asignatura está estructurada en tres unidades de aprendizaje las cuales contemplan la derivabilidad e integralidad de las
Funciones de una variable real, la derivabilidad de las Funciones Reales de varias variables y la Integración Múltiple
conjuntamente con las Integrales de Línea.
4.
LOGRO GENERAL DE APRENDIZAJE
Al final de la asignatura el estudiante resuelve eficazmente el proceso de resolución de casos y problemas matemáticos de varias
variables que se presentan en el área de la ingeniería.
5. UNIDADES Y LOGROS ESPECÍFICOS DE APRENDIZAJE
Unidad de aprendizaje 1:
Funciones reales de varias variables y funciones vectoriales de variable real.
Semana 1,2,3,4,5,6,7 y 8
Logro específico de aprendizaje:
Al final de la unidad el estudiante: Expresa integrales dobles dadas en coordenadas cartesianas en integrales dobles usando
coordenadas polares. Resuelve integrales dobles con cambio de variable aplicando el Jacobino.Resuelve problemas relacionados con
áreas de regiones planas y volúmenes de solidos aplicando las integrales dobles.
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Temario:
Funciones reales de varias variables. Dominio, rango y gráfica.
Superficies y Curvas de nivel.
Aplicaciones
Derivadas parciales. Interpretación geométrica. Propiedades.
Incrementos y diferencial total. Aplicaciones.
Prueba de Entrada
Regla de la Cadena. Regla general.
Aplicaciones.
Gradiente, derivadas direccionales,
interpretación y
Aplicaciones
Planos tangentes Rectas normales a una Superficie.
Aplicaciones de Planos tangentes Rectas normales a una Superficie.
Derivación implícita. Aplicaciones.
Practica Calificada 1
Extremos de funciones de dos variables.
Aplicaciones.
Multiplicadores de Lagrange.
Aplicaciones.
Integrales dobles. Propiedades.
Teorema de Fubini: integrales iteradas
Cambio de orden de integración
Cambio de Variable: Jacobianos
Integrales dobles
mediante coordenadas polares.
Unidad de aprendizaje 2:
Integración múltiple.
Semana 9,10,11,12 y 13
Logro específico de aprendizaje:
Al finalizar la unidad el estudiante resuelve problemas de integrales multiples usando tecnicas de integracion fundamenytadas en el uso
de corrdenadas de diferentes modelos.
Temario:
Cálculo de áreas y volúmenes.
Aplicaciones de las integrales dobles: centro de masa, área de una superficie
Superficies cuadráticas en R3.
Examen Parcial
Integrales triples en coordenadas cartesianas Teorema de Fubini: integrales iteradas.
Coordenadas cilíndricas y esféricas
Integrales triples mediante coordenadas cilíndricas.
Integrales triples mediante coordenadas en coordenadas esféricas
Curvas definidas por ecuaciones paramétricas en R2 y R3. Parametrización de curvas descritas por la intersección de dos
superficies.
Practica Calificada 2
Unidad de aprendizaje 3:
Analisis vectorial.
Semana 14,15,16,17,18 y 19
Logro específico de aprendizaje:
Al final de la unidad el estudiante resuelve ejercicios aplicados a areas de curvas limitadas por figuras irregulares donde su solucion
puede ser expresada por integrales de diferentes teoremas.
Temario:
Cálculo de la primera y segunda derivada de una curva paramétrica.
Cálculo de la longitud de arco.
Integrales de línea sobre campos escalares. Aplicaciones
Integrales de línea sobre campos vectoriales. Aplicaciones
Teorema de Green.
Integrales de superficie de campos vectoriales y escalares
Practica Calificada 3
Teorema de divergencia de Gauss
Teorema de stokes
Examen Final
Examen de Rezagados
6.
METODOLOGÍA
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El curso de Cálculo Avanzado para ingenierías se desarrolla a través de metodologías activas, donde el rol del docente es ser un
facilitador del aprendizaje. El aprendizaje de la matemática exige un trabajo sistemático por parte de los estudiantes y para lograr
dicho objetivo se propone el uso intensivo de las separatas que, conjuntamente con los recursos didácticos disponibles en la
plataforma, garantizan promover el aprendizaje autónomo y el aprendizaje colaborativo.
7. SISTEMA DE EVALUACIÓN
El cálculo del promedio final se hará de la siguiente manera:
(5%)EET + (5%)PC1 + (25%)EXPA + (5%)EP1 + (10%)PC2 + (15%)PC3 + (5%)EP2 + (30%)EXFI
Donde:
Tipo
Descripción
Semana
Observación
EET
EXAMEN DE ENTRADA
2
examen de entrada
PC1
PRÁCTICA CALIFICADA 1
5
práctica calificada 1
EXPA
EXAMEN PARCIAL
10
examen parcial
EP1
EVALUACIÓN PERMANENTE 1
8
evaluación permanente 1
PC2
PRÁCTICA CALIFICADA 2
13
práctica calificada 2
PC3
PRÁCTICA CALIFICADA 3
16
práctica calificada 3
EP2
EVALUACIÓN PERMANENTE 2
16
evaluación permanente 2
EXFI
EXAMEN FINAL INDIVIDUAL
18
examen final individual
Indicaciones sobre Fórmulas de Evaluación:
1. La nota obtenida en el EXPA reemplaza a la PC1 no rendida o en el caso de que la nota de PC sea menor.
2. La nota obtenida en el EXFN reemplaza la nota NS de la PC2 o la PC3. Si las PC tienen la misma calificación, la nota del
EXFN reemplaza a la de mayor peso porcentual.
3. Los alumnos que no rindan el EXFN o el EXPA pueden dar el Examen Rezagado, que, a su vez, reemplazará la nota de la
PC que corresponda, según la indicación anterior.
4. No es necesario que el alumno gestione trámite alguno para que este remplazo se realice.
5. El examen de rezagado incluye los contenidos de todo el curso
6. La nota mínima aprobatoria es 12 (doce).
7. La tolerancia de ingreso para rendir prácticas calificadas y de laboratorio será hasta de quince (15) minutos luego de
iniciadas las mismas. Pasado dicho lapso de tiempo, no se permitirá el ingreso de los alumnos.
8. Una vez empezado el examen o la práctica, los alumnos no podrán retirarse del aula sino hasta después de los 15 minutos
de haberse iniciado la evaluación.
9. Las evaluaciones permanentes no se pueden eliminar ni reemplazar
8. FUENTES DE INFORMACIÓN
Bibliografía Base:
STEWART, JAMES (2010) Cálculo de varias variables, International Thomson Editores
LARSON, RON Cálculo esencial
Bibliografía Complementaria:
STEWART, JAMES (2002) Cálculo multivariable, Thompson
ZILL, D. Cálculo de varias variables
ANTON, H. Cálculo multivariable
9. CRONOGRAMA DE ACTIVIDADES
Unidad de aprendizaje
Unidad 1
Funciones reales de varias
variables y funciones
vectoriales de variable real
Semana
Sesión
1
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1
Tema
Funciones reales de varias variables. Dominio,
rango y gráfica.
Actividades y
evaluaciones
Resolución de Ejercicios
y problemas
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2
3
2
Superficies y Curvas de nivel.
Aplicaciones
Derivadas parciales. Interpretación geométrica.
Propiedades.
Incrementos y diferencial total. Aplicaciones.
Prueba de Entrada
4
5
Regla de la Cadena. Regla general.
Aplicaciones.
6
Gradiente, derivadas direccionales,
interpretación y
Aplicaciones
7
Planos tangentes Rectas normales a una
Superficie.
8
Aplicaciones de Planos tangentes Rectas
normales a una Superficie.
3
Resolución de Ejercicios
y problemas.
Trabajo grupal: Taller 1
Resolución de Ejercicios
y problemas
Resolución de Ejercicios
y problemas
Examen De Entrada
(Examen De Entrada)
Resolución de Ejercicios
y problemas.
Resolución de Ejercicios
y problemas.
Trabajo grupal: Taller 2
Resolución de Ejercicios
y problemas
4
Derivación implícita. Aplicaciones.
9
Resolución de Ejercicios
y problemas.
Resolución de Ejercicios
y problemas.
Trabajo grupal: Taller 3
5
Practica Calificada 1
10
11
Extremos de funciones de dos variables.
Aplicaciones.
12
Multiplicadores de Lagrange.
Aplicaciones.
Practica Calificada 1
(Práctica Calificada 1)
Resolución de Ejercicios
y problemas
6
13
Integrales dobles. Propiedades.
Teorema de Fubini: integrales iteradas
Resolución de Ejercicios
y problemas
Resolución de Ejercicios
y problemas.
Trabajo grupal: Taller 4
7
Cambio de orden de integración
14
Cambio de Variable: Jacobianos
15
8
16
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Integrales dobles
mediante coordenadas polares.
Resolución de Ejercicios
y problemas
Resolución de Ejercicios
y problemas.
Evaluación Permanente
1 (Evaluación
Permanente 1)
Resolución de Ejercicios
y problemas.
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Cálculo de áreas y volúmenes.
17
9
18
Aplicaciones de las integrales dobles: centro de
masa, área de una superficie
Superficies cuadráticas en R3.
19
Resolución de Ejercicios
y problemas
Resolución de Ejercicios
y problemas.
Trabajo grupal: Taller 5
Resolución de Ejercicios
y problemas
10
Examen Parcial
20
21
Unidad 2
Integración múltiple
Integrales triples en coordenadas cartesianas
Teorema de Fubini: integrales iteradas.
Examen Parcial
(Examen Parcial)
Resolución de Ejercicios
y problemas.
Trabajo grupal: Taller 6
11
Coordenadas cilíndricas y esféricas
22
23
Integrales triples mediante coordenadas
cilíndricas.
24
Integrales triples mediante coordenadas en
coordenadas esféricas
25
Curvas definidas por ecuaciones paramétricas
en R2 y R3. Parametrización de curvas
descritas por la intersección de dos superficies.
Resolución de Ejercicios
y problemas.
Resolución de Ejercicios
y problemas.
12
Resolución de Ejercicios
y problemas
Resolución de Ejercicios
y problemas.
Trabajo grupal: Taller 7
13
Practica Calificada 2
26
Unidad 3
Analisis vectorial
27
Cálculo de la primera y segunda derivada de
una curva paramétrica.
Practica Calificada 2
(Práctica Calificada 2)
Resolución de Ejercicios
y problemas
14
Cálculo de la longitud de arco.
28
29
15
30
31
Integrales de línea sobre campos vectoriales.
Aplicaciones
Teorema de Green.
Integrales de superficie de campos vectoriales y
escalares
Practica Calificada 3
16
32
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Integrales de línea sobre campos escalares.
Aplicaciones
Resolución de Ejercicios
y problemas
Resolución de Ejercicios
y problemas.
Resolución de Ejercicios
y problemas.
Trabajo grupal: Taller 8
Resolución de Ejercicios
y problemas.
Práctica Calificada 3
(Práctica Calificada 3)
Evaluación Permanente
2 (Evaluación
Permanente 2)
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Teorema de divergencia de Gauss
33
Resolución de Ejercicios
y problemas
17
Teorema de stokes
34
Examen Final
18
35
19
36
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Examen de Rezagados
Resolución de Ejercicios
y problemas
Examen Final Individual
(Examen Final
Individual)
Evaluación individual
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Funciones reales de varias variables. Dominio,
rango y gráfica.
Cálculo avanzado para ingeniería
Semana 01
Sesión 01
EJERCICIOS EXPLICATIVOS
1. Dada la función con regla definida por
𝑓(𝑥; 𝑦) =
ln⁡(1 − 𝑥 + 𝑦)
√1 − 𝑥 2 − 𝑦 2
a. Calcule analíticamente el dominio de la función 𝑓.
b. Grafique el dominio de 𝑓.
c. Grafique la curva de nivel 0 de la función 𝑓.
2. Dada la función con regla definida por
4
𝑓(𝑥; 𝑦) = √2 − |𝑥| + √4𝑦 − 𝑦 2 − 3 + ln⁡(𝑥 2 + 𝑦 2 + √5)
a. Calcule analíticamente su dominio.
b. Grafique el dominio de 𝑓.
3. Dada la función 𝑧 = 𝑓(𝑥; 𝑦), tiene como dominio a la región dada por
𝐷𝑜𝑚(𝑓) = {(𝑥; 𝑦) ∈ ℝ2 ;⁡𝑥 2 − 1 ≥ 𝑦⁡ ∧ ⁡ 𝑥 2 < 9}
d. Grafique el dominio de 𝑓.
e. Exprese una función 𝑓 que tenga el dominio indicado.
4. Dada la función temperatura
√15𝑥 2 + 15𝑦 2 + 16 − √16 − 𝑥 2 − 𝑦 2
𝑇(𝑥; 𝑦) =
𝑥2 + 𝑦2
Si 𝑥, 𝑦 se mide en centímetros. ¿Qué valor debe satisfacer 𝑥 e 𝑦 para que la distribución de
temperatura 𝑇(𝑥; 𝑦) siempre exista?
EJERCICIOS PROPUESTOS
1. Dada la función
𝑦 3 + ln(𝑥) + ln⁡(1 − 𝑦)
ln(4 − 𝑥 2 − 𝑦 2 )
a. Calcule analíticamente el dominio de 𝑓.
b. Grafique la región obtenida en el ítem a).
𝑓(𝑥; 𝑦) =
2. Dada la función temperatura
2𝑥 2 + 2𝑦 2
2𝑥 2
𝑇(𝑥; 𝑦) = ( 2
) ln ( 2
)
𝑥 − 𝑦2
𝑥 + 𝑦2
Si 𝑥, 𝑦 se mide en centímetros. ¿Qué valor debe satisfacer 𝑥 e 𝑦 para que la distribución de
temperatura 𝑇(𝑥; 𝑦) siempre exista?
3. Dada la función:
𝑓(𝑥; 𝑦) =
sen(𝑥 − 𝑦) + √2𝑥 + 𝑦
√2𝑥 − 𝑥 2 − 4𝑦 2 − 16𝑦 − 1
a. Calcule el dominio en forma algebraica.
b. Grafique el dominio de la función 𝑓.
4. Dada la función:
𝑓(𝑥; 𝑦) =
cos(𝑥 − 𝑦) + √2𝑦 + 𝑥
√4𝑥 − 𝑥 2 − 𝑦 2 − 6𝑦 − 2
a. Calcule el dominio en forma algebraica.
b. Grafique el dominio de la función 𝑓.
EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS
1. Dada la función:
√𝑦 + 𝑥 2
𝑓(𝑥; 𝑦) =
+
8 + 𝑥2
√4 − 𝑦 − 𝑥 2
ln⁡(𝑥 2 + 𝑦 2 )
a. Calcule el dominio en forma algebraica.
b. Grafique el dominio de la función 𝑓.
2. Dada la función:
𝑓(𝑥; 𝑦) =
ln⁡(𝑥 − 2𝑦)
√𝑦 − 2𝑥
+
a. Calcule el dominio en forma algebraica.
b. Grafique el dominio de la función 𝑓.
3. Encuentre y grafique el dominio de las siguientes funciones:
a. 𝑓(𝑥; 𝑦) = √−𝑥 2 − 𝑦 2 + 9 + √𝑥 − 𝑦
b. 𝑓(𝑥; 𝑦) = √𝑥 2 + 𝑦 2 + ln⁡(𝑦 − 𝑥 2 )
ln⁡(𝑦 − 𝑥 2 )
√𝑥 2 − 𝑦 2
Superficies y Curvas de nivel. Aplicaciones
Cálculo avanzado para ingeniería
Semana 01
Sesión 02
EJERCICIOS EXPLICATIVOS
1. Dada la función con regla definida por
𝑓(𝑥; 𝑦) =
ln⁡(1 − 𝑥 + 𝑦)
√1 − 𝑥 2 − 𝑦 2
a. Grafique el dominio de 𝑓.
b. Grafique la curva de nivel 0 de la función 𝑓.
2. Si 𝑉(𝑥; 𝑦), es el potencial eléctrico en un punto (𝑥; 𝑦) del plano⁡𝑋𝑌, entonces las curvas de nivel
de 𝑉 se llaman curvas equipotenciales, pues en todos los puntos de una curva equipotencial el
potencial eléctrico es el mismo. Si 𝑉(𝑥; 𝑦) =
1
√𝑅 2 −𝑥 2 −𝑦 2
, donde 𝑅 es una constante positiva.
Demuestre que las curvas equipotenciales son circunferencias concéntricas.
3. Dada la función con regla definida por
𝑓(𝑥; 𝑦) =
ln⁡(𝑥 2 − 𝑦)
(𝑥 2 + 𝑦 2 + 3)√|𝑥| − |𝑦|
a. Grafique el dominio de 𝑓.
b. Grafique la curva de nivel 0 de la función 𝑓.
4. Una delgada placa de metal, localizada en el plano 𝑋𝑌, tiene una temperatura 𝑇(𝑥; 𝑦) en el punto
(𝑥; 𝑦). Las curvas de nivel se denominan isotermas porque en todos los puntos, en cada una de
las curvas, la temperatura es la misma. Trace algunas isotermas cuando la temperatura es 200 y
300 grados si 𝑇 es dada por:
𝑇=
100
1 + 𝑥2 + 𝑦2
EJERCICIOS PROPUESTOS
1. Sea la función 𝑓(𝑥 + 𝑦; 𝑥 − 𝑦) = 𝑥𝑦 + 𝑦 2 , represente de manera grafica las curvas de nivel de
𝑧 = 𝑓(𝑥; 𝑦) para los valores 𝑘 = 1⁡𝑦⁡𝑘 = 2.
2. Si V ( x, y) es el punto potencial eléctrico en un punto ( x, y) en el plano XY, entonces las curvas de
nivel de V se denominan curvas equipotenciales porque en todos los puntos de esa curva el
potencial eléctrico es igual. Trace algunas curvas equipotenciales si V ( x, y) 
c
9  x2  y 2
,
donde c es una constante positiva
3. Determine las curvas de nivel de la siguiente función y el graficarla: f ( x, y)  100  25 x 2  4 y 2
en k=1; 2; 4; 5
x2
es la temperatura en el punto ( x; y) del plano, y las curvas de nivel de T son
x2  y 2
1 1
conocidas como isotermas. Dibuje las isotermas para T  0; ; ;1
15 10
4. Si T ( x; y ) 
5. Construir las curvas de nivel de las siguientes superficies:
a.
b.
f ( x, y )  ln( x 2  y )
y
f ( x, y ) 
x
EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS
1. Una placa delgada de metal, localizada en el plano XY, tiene una temperatura T ( x, y ) en el
punto ( x, y ). las curvas de nivel de T se denominan isotermas porque en todos los puntos,
en cada una de estas curvas, la temperatura es la misma. Trace algunas isotermas si la
2
2
función temperatura está dada por: T ( x, y)  1  x  2 y .
2. Dada la función con regla definida por
ln⁡(1 − 𝑥 + 𝑦)
𝑓(𝑥; 𝑦) =
√1 − 𝑥 2 − 𝑦 2
a. Grafique el dominio de 𝑓.
b. Grafique la curva de nivel 1 de la función 𝑓.
3. Determine
las
curvas
de
nivel
de
las
siguiente
función
f ( x, y)  100  25 x 2  4 y 2 en k=0, 1,4.
y

graficarla:

4. Encuentre y grafique la curva de nivel cero de la función f ( x, y )  ln 9  x 2  9 y 2 .
¿Cuál es el rango de f ?
5. Grafique una superficie de nivel de la siguiente función (𝑘 = 3)
f ( x; y; z ) 
9  z2
2  1 x2  y2
Derivadas parciales. Interpretación geométrica.
Propiedades
Cálculo avanzado para ingeniería
Semana 02
Sesión 03
EJERCICIOS EXPLICATIVOS
2
1. Si 𝑓(𝑥; 𝑦) = 𝑥𝑒 𝑦 − 15 ln( 𝑥 2 + 𝑦 2 + 16), calcule las primeras derivadas parciales, es
decir: 𝑓𝑥 (𝑥; 𝑦), 𝑓𝑦 (𝑥; 𝑦).
𝑟2
2. Sea 𝑓 una función definida por 𝑓(𝑟; 𝑡) = 𝑡 𝑝 𝑒 − 4𝑡 , determine el valor de 𝑝 para que 𝑓
satisfaga la siguiente ecuación:
𝜕𝑓
1 𝑝−1 𝜕 3 −𝑟2
= − 2𝑡
( (𝑟 𝑒 4𝑡 ))
𝜕𝑡
2𝑟
𝜕𝑟
3. Sea 𝑔 una función real diferenciable hasta orden 2 tal que 𝑔(1) = 0, y además cumple
con la siguiente condición
𝑔’(𝑥). 𝑒 𝑔(𝑥) = 1, ∀𝑥 > 0
Si definimos a la función real de dos variables como 𝑓(𝑥; 𝑦) = 𝑔(𝑒 𝑥 + 𝑒 𝑦 ). Calcule
𝜕𝑓 𝜕𝑓
+
𝜕𝑥 𝜕𝑦
4. Una partícula rastreadora de calor está situada en el punto 𝐴(5; 4) de una placa metálica
cuya temperatura en (𝑥; 𝑦) es:
𝑇(𝑥; 𝑦) = 100 − 𝑥 2 − 3𝑦 2 en grados Celsius
Calcule la razón de cambio de la temperatura desde la posición 𝐴, en la dirección positiva
del eje 𝑋 (en metros) y en la dirección positiva del eje 𝑌 (en metros). Intérprete.
EJERCICIOS PROPUESTOS
1. Sea una caja rectangular cerrada de manera que su volumen sea 36 𝑝𝑖𝑒𝑠 cúbicos. El costo
del material de la tapa y de la base es de s/10 el pie cuadrado, y del material para las partes
de enfrente y de atrás es de s/9 el pie cuadrado y el material para los otros lados es de s/7
el pie cuadrado. Si 𝐶(𝑥; 𝑦) es la función costo donde x e y son las medidas del largo y ancho
de la base de la caja respectivamente. Calcule 𝐶𝑥 (3; 4)
2. Sea la función:
𝑓(𝑥; 𝑦) = 𝑥𝑦. 𝑒 𝑥
2 +𝑦 2
𝑥−1
+ ln (
)
𝑦−1
Si 𝑔(𝑥; 𝑦) =
𝜕𝑓(𝑥;𝑦)
𝜕𝑥
+
𝜕𝑓(𝑥;𝑦)
𝜕𝑦
, calcule el dominio de 𝑔(𝑥; 𝑦)
3. La ecuación dada por 𝑝𝑉 = 𝑛𝑅𝑇, donde 𝑛 y 𝑅 son constantes; relaciona las variables 𝑝,
𝑉 y 𝑇. Después de despejar 𝑝, 𝑉 y 𝑇 respectivamente en función de las otras dos
variables, calcule
𝜕𝑝 𝜕𝑉 𝜕𝑇
𝐸 = ( ) ( ) ( ).
𝜕𝑉 𝜕𝑇 𝜕𝑝
4. Sea 𝑓 una función definida por 𝑓(𝑥; 𝑦; 𝑧) = √𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2
a. Calcule las primeras derivadas parciales.
𝜕𝑓
𝜕𝑓
𝜕𝑓
b. Si: 𝑥 𝜕𝑥 + 𝑦 𝜕𝑦 + 𝑧 𝜕𝑧 = √𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑦 2 + 𝑐𝑧 2 , donde 𝑎, 𝑏, 𝑐 son constantes.
EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS
1. Sea la función 𝑓(𝑥; 𝑦) = 𝑒 𝑎𝑥+𝑏𝑦 𝑔(𝑥; 𝑦). Si 𝑔𝑥 (𝑥; 𝑦) = 𝑔𝑦 (𝑥; 𝑦) = 1. Calcule los valores de
las constantes 𝑎 y 𝑏 tales que 𝑓𝑥 (𝑥; 𝑦) = 𝑓𝑦 (𝑥; 𝑦) y además 1 + 𝑓𝑥𝑦 = 𝑎 + 𝑓𝑦𝑥
2. Sea la función:
𝑓(𝑥; 𝑦) = 𝑙𝑛 (
Si 𝑔(𝑥; 𝑦) =
𝜕𝑓(𝑥;𝑦)
𝜕𝑥
+
√𝑥 2 + 𝑦 2 − 𝑥
√𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑥
)
𝜕𝑓(𝑥;𝑦)
𝜕𝑦
, calcule el dominio de 𝑔(𝑥; 𝑦)
3. La función de costo de empresa SAJITA S.A que produce dos tipos de productos 𝐴 y 𝐵 es:
𝑪(𝒙; 𝒚) = 50ln(𝑥) + 40ln(𝑦) + 14𝑦 2 + 11𝑥 2 donde 𝑥 e 𝑦 son las cantidades producidas
del tipo 𝐴 y 𝐵 respectivamente. Calcule e Interprete las ecuaciones 𝐶𝑥 (50; 20) y
𝐶𝑦 (50; 20).
𝑦
4. Dada función: 𝑓(𝑥; 𝑦) = 𝑥 2𝑛 𝑒 −4𝑥 + 1. Calcule el valor de la constante 𝑛 tal que 𝑓 satisfaga
la siguiente ecuación:
𝜕𝑓
𝜕
𝜕𝑓
= 4 (𝑦 )
𝜕𝑥
𝜕𝑥 𝜕𝑦
5. Sea
𝑔(𝑥;𝑦;𝑧)
𝑠𝑒𝑛(𝑡 2 ) 𝑑𝑡
𝑓(𝑥; 𝑦; 𝑧) = ∫
Calcule:
𝜕2 𝑓
𝜕𝑧 2
1
(2; 𝜋; 1) sabiendo que 𝑔(𝑥; 𝑦; 𝑧) =
𝑧√𝑥𝑦
2
Incrementos y diferencial total. Aplicaciones
Cálculo avanzado para ingeniería
Semana 02
Sesión 04
EJERCICIOS EXPLICATIVOS
1.
La utilidad mensual en soles de una empresa que comercializa material de construcción civil
es dada por:
1 2
(𝑥 + 2𝑥𝑦)
50
Donde 𝑥 representa el número de unidades vendidas en Lima e 𝑦 el número de unidades
vendidas en Chiclayo. Si en la actualidad la empresa vende 200 unidades en Lima y 300
unidades en Chiclayo, estime el cambio aproximado en la utilidad de la empresa si las ventas
en Lima disminuyen en 1% mientras que en Chiclayo aumentan en 2%
𝑈(𝑥; 𝑦) =
2.
El radio y la altura de un cono miden 4 y 5 metros respectivamente, Ovidio un estudiante del
curso de múltiples variables, al medir el volumen del cono se equivoca y coloca las medias
de 4,002 y 4,0097 metros del radio y la altura respectivamente.
a. Calcule la variación exacta del volumen.
b. Calcule la variación aproxima del volumen.
3.
En la fábrica de producción SAJITA está dada por 𝑄(𝑀; 𝑁) = 60𝑀2 𝑁 3 unidades, donde
𝑀 designa al capital invertido (en miles de soles) y 𝑁 es la fuerza laboral (en horas de
trabajo). En la actualidad, el capital invertido es de 900000 soles y se emplean cada día 1000
horas de trabajo. Estime la variación de la producción que resultará de aumentar la inversión
en 1000 soles y disminuir en 4 el número de horas de trabajo.
4.
Si el radio de la base y la altura de un cono circular recto miden 6𝑐𝑚 y 8𝑐𝑚 respectivamente,
si al medir se comete un error en la medición de 0,1𝑐𝑚 en cada dimensión. Utilice
diferenciales para aproximar el error posible en el cálculo del área de la superficie lateral.
(𝑆𝑢𝑔. Á𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒 𝑙𝑎𝑡𝑒𝑟𝑎𝑙 = 𝜋𝑟√𝑟 2 + ℎ2 )
1
EJERCICIOS PROPUESTOS
1. Dada la función
𝑧 = 𝑓(𝑥; 𝑦) =
𝑥 2 + 𝑦 2 + 2𝑥𝑦 − 4
√𝑥 + 𝑦 − 2
Calcule la diferencial total de 𝑓
2. Dada la función
𝑧 = 𝑓(𝑥; 𝑦) = (𝑥 − 2)2 + (𝑥 − 3)2
Calcule 𝑑𝑓
Si 𝑥 = 2;
∆𝑥 = 0,1; 𝑦 = 2 𝑦 ∆𝑦 = −0,3
1
3.
Calcule el valor aproximado de:
√(3,01)2 + (2,99)2 + (3,02)2
4.
Calcule el valor aproximado de
5. La ecuación 𝑃 =
𝐾𝑇
𝑉
𝑠𝑒𝑛(33°)cos(58°)
donde 𝑘 es constante, expresa la presión 𝑃 de un gas encerrado de
volumen 𝑉 y temperatura 𝑇. calcule aproximadamente el porcentaje de error máximo que
se comete cuando el error en la medida de 𝑇 y 𝑉 es de 1,4% y 0,9% respectivamente
EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS
1. El radio de la base y altura de un cono circular recto miden 6 cm y 8 cm respectivamente,
con un posible error en la medición de 0,1 cm en cada dimensión. Utilice diferenciales para
estimar el error máximo posible en el cálculo del área de la superficie lateral. (Sug. Área
lateral = 𝜋𝑟√𝑟 2 + ℎ2 )
2. Se tiene un cilindro circular recto metálico cuyas dimensiones son 2 metros de altura y 1
metro de radio en la base. Se desea pintar exteriormente con una capa de pintura de 0,002
m de espesor tanto en la parte lateral, como en las bases. Use diferenciales para estimar la
cantidad de pintura que será necesario.
3. la producción mensual de la fábrica Sajita S.A. es 𝑃(𝑥; 𝑦) = 60𝑥1/3 𝑦1/2 Unidades
Donde 𝑥 representa en el capital invertido en miles de soles e 𝑦 el trabajo medio en horas
de trabajo. En la actualidad, el capital mensual invertido es de 8000 soles y se emplean
cada mes 900 horas de trabajo. Calcule el aumento aproximado en la producción de la
empresa que resultó de aumentar el capital en 2000 soles y la fuerza trabajo en 2 horas
4. Calcule el valor aproximado de
𝑠𝑒𝑛(32°)cos(59°)
RESPUESTAS - TAREA DOMICILIARIA
1.
2.
3.
4.
1,84𝜋𝑐𝑚2
0,012𝜋 𝑚3
154 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠
0,273
Regla de la Cadena. Regla general. Aplicaciones
Cálculo avanzado para ingeniería
Semana 03
Sesión 05
EJERCICIOS EXPLICATIVOS
1.
Calcule
𝜕𝑢 𝜕𝑢
+
𝜕𝑠 𝜕𝑡
Si 𝑢 = cos(3𝑥 2 + 5𝑦 2 ); 𝑥 = 2𝑠𝑠𝑒𝑛(2𝑡); 𝑦 = 𝑠 2 𝑠𝑒𝑛(4𝑡)
2. Una piscina tiene 22 pies de ancho, 56 pies de largo, 5 pies de profundidad en un extremo
y 12 pies en el otro extremo, siendo el fondo un plano inclinado.
Si la piscina está llenándose con un caudal de 20
𝑝𝑖𝑒𝑠3
𝑠𝑒𝑔
, ¿A qué velocidad se está elevando
el nivel de agua cuando dicho nivel es de 7 pies en el extremo más profundo?
3. El radio de un cono circular recto está aumentando a razón de 1,8 pulgadas por segundo,
mientras que su altura está disminuyendo a razón de 2 pulgadas por segundo. Calcule la
rapidez está cambiando el volumen del cono cuando el radio es 120 pulgadas y la altura
140 pulgadas.
4. Si 𝑇 = 𝑇(𝑥; 𝑦; 𝑧) es la temperatura en el punto (𝑥; 𝑦; 𝑧) del espacio y si un astronauta está
viajando de modo que sus coordenadas 𝑥 e 𝑦 aumentan a razón de 4 millas por segundo y
𝜕𝑇
su coordenada 𝑧 disminuye a razón de 3 millas por segundo. Calcule:
en el punto
𝜕𝑇
donde: 𝜕𝑥 = 5,
𝜕𝑇
𝜕𝑦
= 4,
𝜕𝑇
𝜕𝑧
𝜕𝑡
= 7.
EJERCICIOS PROPUESTOS
1. Calcule (en forma aproximada) el cambio de volumen de una pirámide de base cuadrada
cuando su altura h se incrementa de 5 a 5.2 metros, mientras que el lado x, de su base
se reduce de 3 a 3.7 metros
2. Al calentarse una placa metálica en forma de un triángulo rectángulo, en un instante dado
la longitud de un cateto de la placa es de 20 𝑝𝑖𝑒𝑠 y esta aumentando a razón de 2 𝑝𝑖𝑒𝑠/𝑠𝑒𝑔.
Y la longitud del otro cateto es de 24 𝑝𝑖𝑒𝑠 y esta disminuyendo a razón de 4 𝑝𝑖𝑒𝑠/
𝑠𝑒𝑔. Encuentre la rapidez de cambio del ángulo agudo opuesto al cateto de 24 𝑝𝑖𝑒𝑠 en el
instante dado.
3. Sea f una función diferenciable, tal que 𝑓(2; 2) = 2, 𝐷1 𝑓(2; 2) = −2 y 𝐷2 𝑓(2; 2) = 4 si
𝑔(𝑥) = 𝑓(𝑥; 𝑓(𝑥; 𝑥)) calcule
𝑔(2) + 𝑔’(2)
4. Un lado de un rectángulo de 𝑥 = 20 m, aumenta con una velocidad de 5 m/ seg, el otro
lado de 𝑦 = 30 m, disminuye con una velocidad de 4 m/seg.
¿Con que velocidad variaría el perímetro y el área de dicho rectángulo?
EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS
1. Sea f una función diferenciable, tal que 𝑓(2; 2) = 2, 𝐷1 𝑓(2; 2) = −2 y 𝐷2 𝑓(2; 2) = 4 si
𝑔(𝑥) = 𝑓(𝑥; 𝑓(𝑥; 𝑥)) calcule
𝑔(2) + 𝑔’(2)
2. El radio de una esfera disminuye a razón de 2 cm/seg y el radio de la base de un cono
recto, inscrito en dicha esfera, aumenta a razón de 1 cm/seg. Calcule la rapidez con que
varía el volumen del cono cuando el radio de la esfera es de 10 cm y radio de la base del
cono 6 cm.
3. En un instante 𝑡, medido en minutos, una chinche sobre el plano 𝑋𝑌 está en el punto
(𝑥; 𝑦), donde las distancias se miden en pies. La temperatura en (𝑥; 𝑦) es
𝑧 = 𝑇(𝑥; 𝑦) = 𝑒 −𝑥−2𝑦 Grados.
Cuando la chinche está en el punto (0; 0) se mueve hacia el este a una velocidad de 2
pies/min. y hacia el norte a 3 pies/min. Desde el punto de vista de la chinche, ¿con que
rapidez está cambiando la temperatura del suelo?
4. Un depósito en forma de un cono invertido, tiene una altura de 10 m y una base de 10 m
de diámetro. Si el deposito está llenándose de agua a razón de 2𝑚3 /𝑠𝑒𝑔, ¿a que
velocidad se vesta elevando el nivel de agua cuancdo el nivel se encuentra a 3 m de la
parte superior del depósito?
5. Una cantidad de gas obedece a la ley de un gas ideal 𝑃𝑉 = 12𝑇, y el gas está en un
recipiente que es calentado a una rapidez de 3° por seg. Si en el instante cuando la
temperatura es 300°, la presión es 6 𝑙𝑖𝑏/𝑝𝑢𝑙𝑔2 y está disminuyendo a la rapidez de
0,1𝑙𝑖𝑏/𝑝𝑢𝑙𝑔2 por segundo, halle la rapidez de cambio de volumen en ese instante
RESPUESTAS - EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS
1.
2.
3.
4.
5.
24
𝑑𝑉
. 𝑑𝑡 = 9𝜋
−8°𝐶/min.
8
𝑚/𝑠𝑒𝑔
49𝜋
Crece a razón de 16 𝑝𝑢𝑙𝑔3 /𝑠𝑒𝑔
Gradiente, derivadas direccionales,
interpretación y Aplicaciones.
Cálculo avanzado para ingeniería
Semana 03
Sesión 06
EJERCICIOS EXPLICATIVOS
1.
2.
3.
4.
2
Si 𝑓(𝑥; 𝑦) = 𝑥𝑒 𝑦 − 15 ln( 𝑥 2 + 𝑦 2 + 16), halle 𝛻𝑓(2; 0)
Una partícula rastreadora de calor está situada en el punto 𝐴(5; 4) de una placa metálica
cuya temperatura en (𝑥; 𝑦) es:
𝑇(𝑥; 𝑦) = 100 − 𝑥 2 − 3𝑦 2
Calcule la trayectoria de la partícula al moverse de forma continua en la dirección de más
rápido crecimiento de la temperatura.
Calcule la derivada direccional de la función 𝑓(𝑥; 𝑦; 𝑧) = ln(𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 ) en el punto
𝑃0 (2; 2; −4) en la dirección que va de 𝑃1 (2; 2; −4) a 𝑄1 (3; 1; −5)
La altura de una colina sobre el nivel del mar está dada por
2
2
ℎ(𝑥; 𝑦) = 200𝑒 −(𝑥+1) + 80𝑦𝑒 −2𝑦
Donde 𝑥 e 𝑦 se medias en metros, son las coordenadas Este-Oeste y Norte- Sur
respectivamente. Un atleta se encuentra se encuentra en el punto 𝐴(1; 0; ℎ0 )
a. ¿A qué altura se encuentra el atleta?
b. Si el atleta se mueve en dirección Sur-Este ¿está subiendo o bajando? ¿Cuál es su
rapidez?
c. Describa el lugar geométrico de los puntos que el atleta debe caminar, para estar a la
misma altura sobre el nivel del mar que en el punto 𝐴
EJERCICIOS PROPUESTOS
1. La temperatura en un punto (𝑥; 𝑦; 𝑧) de un solido esta dada por
2
2
2
𝑇(𝑥; 𝑦; 𝑧) = cos(𝑥𝑦) + 𝑒 𝑥 +𝑦 +𝑧 − ln⁡(𝑦𝑧)
a. Calcule la razón de cambio de la temperatura en el punto 𝑃(0; 1; 1) y en la dirección del
vector 𝑎⃗ = (−1; 2; 2)
b. ¿En qué dirección 𝑇 crece más rápidamente? ¿A qué ritmo?
2. La
temperatura
en
una
caja
rectangular
es
aproximada
por:
T ( x, y, z )  xyz (3  x)(4  y)(5  z ), 0  x  3, 0  y  4, 0  z  5. Si un mosquito se localiza
en (2,3, 4). ¿En qué dirección debe volar enfriarse lo más rápidamente posible?
3.
Una placa delgada de metal, en el plano 𝑋𝑌⁡tiene una temperatura dada por la función
con regla definida por:
100
𝑇(𝑥; 𝑦) =
1 + 𝑥 2 + 2𝑦 2
Donde 𝑇 se mide en °𝐶 y 𝑥; ⁡𝑦 en metros
a. ¿En qué dirección cambia la temperatura con mayor rapidez en el punto 𝑃(2; 1)?
b. Determine la razón de cambio de la temperatura en el punto 𝑃 en la dirección del vector
𝑣 = 3𝑖⃗ + 4𝑗⃗
4.
La posición de un ladrón alejándose de un policía en un edificio que tiene forma cilíndrica
se aproxima mediante la función
100
𝑟(𝑥; 𝑦; 𝑧) =
− 𝑧; ⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡0 ≤ 𝑟 ≤ 4,⁡⁡⁡⁡⁡0 ≤ 𝑧 ≤ 10.
√4𝑥 2 + 4𝑦 2 + 36
Si el ladrón se ubica en el punto (3; 1; 5). Calcule la dirección en que debería correr el
ladrón para escaparse del policía lo más pronto posible.
EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS
1.
2.
Calcule el gradiente de: 𝑓(𝑥; 𝑦; 𝑧) = ln(𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 ) en el punto 𝑃0 (2; 2 − 4)
En un instante 𝑡, medido en minutos, una chinche sobre el plano 𝑋𝑌 está en el punto (𝑥; 𝑦),
donde las distancias se miden en pies. La temperatura en (𝑥; 𝑦) es
𝑧 = 𝑇(𝑥; 𝑦) = 𝑒 −𝑥−2𝑦 Grados.
Cuando la chinche está en el punto (0; 0) se mueve hacia el este a una velocidad de 2
pies/min. y hacia el norte a 3 pies/min. Desde el punto de vista de la chinche, ¿con que
rapidez está cambiando la temperatura del suelo?
3.
una función 𝑓 de dos variables tiene en el punto 𝑃(2; 3) los valores de las derivadas
direccionales de 4 en la dirección al punto 𝐴(3; 3) y de −4 en la dirección al punto 𝐵(2; 4).
Determine el vector gradiente de 𝑓 en el punto 𝑃(2: 3).
4.
sea 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥 2 𝑦. ¿Qué Ángulo forma el vector dirección con la parte positiva del eje 𝑋, si
la derivada direccional en el punto 𝑃(1; −1) es 2 ?
RESPUESTAS - TAREA DOMICILIARIA
1 1 1
1. (6 ; 6 ; 3)
2. −8°𝐶/min.
3. 𝛻𝑓(2; 3) = (4; −4)
4
4. 𝜃 = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛(5)
Planos tangentes Rectas normales a una
Superficie.
Cálculo avanzado para ingeniería
Semana 04
Sesión 07
EJERCICIOS EXPLICATIVOS
1. Calcule las ecuaciones del plano tangente y de la recta normal a la superficie 4𝑥 2 + 𝑦 2 −
16𝑧 = 0 en el punto (2; 4; 2).
2. Calcule la ecuación del plano tangente a la superficie 𝑆: 4𝑦 2 − 2𝑥 2 − 7𝑥 = 0 que pase por
𝑥
𝑧
el punto (-8;0;4) y sea perpendicular al plano 4 − 7 = 1.
𝑥2
3. Dada la función 𝑓(𝑥; 𝑦; 𝑧) = arcsen ( 6 +
3𝑦 2
6
𝑧2
1
+ 24 − 2)
𝜋
a. Calcule la ecuación del plano tangente a la superficie de nivel 𝑓(𝑥; 𝑦; 𝑧) = 6 , en el
1
punto (1; 3 ; −4).
b. ¿en qué proporción varían los valores funcionales cuando comienza a moverse desde el
1
5
punto (1; 3 ; −4) , hacia el punto (5; − 2 ; −2) ?. Sug. Aplique el concepto de la
derivada direccional.
𝑥2
4. Calcule la ecuación del plano tangente a la superficie:
+ 𝑦 2 + 7𝑧 2 = 126 que es
2
ortogonal a la recta tangente en (2; 1; 6) a la curva de intersección de las superficies:
z = 𝑥 2 + 2𝑦 2 , 𝑧 = 2𝑥 2 − 3𝑦 2 + 1
EJERCICIOS PROPUESTOS
1. Determine la ecuación general del plano tangente y de la recta normal para la superficie
2𝑥 2 − 𝑥𝑦 2 − 𝑦𝑧 2 = 18 en el punto 𝑃(0; −2; 3).
2. Determine la ecuación general del plano tangente y de la recta normal para la superficie
𝑥 5 + 𝑦 5 + 𝑧 5 = 30 − 𝑥𝑦𝑧 en el punto 𝑃(2; 1; −1).
3. Determine la ecuación general del plano tangente y de la recta normal para la superficie 𝑧 =
𝑥
en el punto 𝑃(2; −1; 2).
𝑥+𝑦
4. Calcule la ecuación vectorial de la recta tangente a la curva de intersección entre las
superficies 𝑦 = 𝑥 2 , 𝑦 = 16 − 𝑧 2 en el punto 𝑃(4; 16; 0).
5. Calcule la ecuación vectorial de la recta tangente a la curva de intersección entre las
superficies 𝑥 2 + 4𝑦 + 𝑧 2 = 0, 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 + 7 = 0 en el punto 𝑃(0; −1; 2).
EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS
1. Determine la ecuación general del plano tangente y de la recta normal para la superficie
𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 = 17 en el punto 𝑃(2; −2; 2).
2. Calcule la ecuación del plano tangente a la superficie 4𝑦 2 − 2𝑥 2 − 7𝑧 = 0 que pase por el
𝑥
𝑧
punto (−8; 0; 4) y sea perpendicular al plano 4 − 7 = 1.
3. ¿En qué puntos de la gráfica de la superficie 𝑆: 4𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 − 2𝑥𝑦 = 12, los planos
tangentes a la superficie son paralelos al plano 𝑌𝑍?
4. Calcule las ecuaciones del plano tangente y recta normal, si se sabe que el plano tangente
es horizontal a la gráfica de la superficie 𝑧 = 𝑥 2 + 4𝑦 2 + 1.
5. Calcule el valor de 𝑘 para que en todo punto de la intersección de las dos esferas (𝑥 − 𝑘)2 +
𝑦 2 + 𝑧 2 = 4 y 𝑥 2 + (𝑦 − 1)2 + 𝑧 2 = 1, los planos tangentes sean perpendiculares uno
al otro
RESPUESTAS - EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS
1. 2𝑥 − 2𝑦 + 3𝑧 = 17
2. 4𝑥 ± 4√6𝑦 + 7𝑧 + 4 = 0
3. (2; 2; 0) y (−2; −2; 0)
4. Plano tangente: 𝑧 = 1
5. 𝑘 = ±2
Aplicaciones de Planos tangentes Rectas
normales a una Superficie.
Cálculo avanzado para ingeniería
Semana 04
Sesión 08
EJERCICIOS EXPLICATIVOS
1. Calcule las ecuaciones de los planos tangentes a la superficie:
𝑥 2 + 2𝑦 2 + 3𝑧 2 = 21 que sean paralelos al plano 𝑥 + 4𝑦 + 6𝑧 = 0.
2. Sea 𝐶 la curva intersección del paraboloide 𝑧 = 9 − 𝑥 2 − 𝑦 2 con el plano 𝑥 = 1.
a. Calcule la ecuación vectorial de la recta tangente a la curva C en el punto 𝑃(1; 2; 4).
b. Calcule la ecuación del plano tangente a la superficie 𝑆: 4𝑥 2 + 3𝑦 2 − 24𝑧 = 0, que es
perpendicular a la recta tangente obtenida en el ítem a)
3. Calcule la ecuación del plano tangente a la superficie 𝑥 2 − 𝑦 2 − 3𝑧 = 0 que pase por el
𝑥 − 2𝑦 = 0
punto (0; 0; −1) y sea paralelo a la recta {
2𝑦 − 𝑧 = 0
4. Verifique que la suma de las intersecciones a los ejes coordenados de todo plano tangente
a la superficie √𝑥 + √𝑦 + √𝑧 = √𝑎, 𝑎 > 0 es constante e igual al valor de 𝑎
EJERCICIOS PROPUESTOS
1. Hallar la ecuación de la recta normal a la superficie 4𝑥 2 + 𝑦 2 + 2𝑧 2 = 26 en el punto
𝑃(1; −2; 3).
2. Hallar la ecuación de la recta normal a la superficie 𝑦 = 𝑒 𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑧 en el punto 𝑃(1; 𝑒; 0).
3. Si las superficies 𝑥 = 2 + 𝑐𝑜𝑠𝜋𝑦𝑧, 𝑦 = 1 + 𝑠𝑒𝑛𝜋𝑥𝑧 se intersectan en una curva, determine
ecuaciones de la recta tangente a la curva de intersección en el punto 𝑃(3; 1; 2).
4. Si las superficies 𝑥 2 + 𝑧 2 + 4𝑦 = 0, 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 − 6𝑧 + 7 = 0 se intersectan en una curva,
determine ecuaciones de la recta tangente a la curva de intersección en el punto
𝑃(0; −1; 2).
5. Utilice el gradiente para obtener una ecuación de la recta tangente a la curva 9𝑥 3 − 𝑦 3 = 1
n el punto 𝑃(1; 2).
𝜕𝑇
𝜕𝑇
Interprete 𝜕𝑥 y 𝜕𝑦
EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS
1. Hallar la ecuación de la recta normal a la superficie 𝑥 2 + 𝑦 2 − 3𝑧 = 2 en el punto
𝑃(−2; −4; 6).
𝜋
2. Hallar la ecuación de la recta normal a la superficie 𝑧 = 𝑒 3𝑥 𝑠𝑒𝑛 3𝑦 en el punto 𝑃(0; 6 ; 1).
3. Si las superficies 𝑦 = 𝑒 𝑥 𝑠𝑒𝑛2𝜋𝑧 + 2, 𝑧 = 𝑦 2 − 𝐿𝑛(𝑥 + 1) + 𝑠𝑒𝑛𝜋𝑥𝑧 se intersectan en una
curva, determine ecuaciones de la recta tangente a la curva de intersección en el punto
𝑃(0; 2; 1).
4. Si las superficies 𝑥 2 − 3𝑥𝑦 + 𝑦 2 = 𝑧, 2𝑥 2 + 𝑦 2 − 3𝑧 + 27 = 0 se intersectan en una curva,
determine ecuaciones de la recta tangente a la curva de intersección en el punto
𝑃(1; −2; 11).
Utilice el gradiente para obtener una ecuación de la recta tangente a la curva 16𝑥 4 + 𝑦 4 =
32 n el punto 𝑃(1; 2).
RESPUESTAS - EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS
1. 4𝑥 + 8𝑦 + 3𝑧 + 22 = 0
2. 3𝑥 − 𝑧 + 1 = 0
3.
4.
𝑥
𝑦−2
1−8𝜋
𝑥−1
17
= −2𝜋 =
=
𝑦+2
20
=
5. 2𝑥 + 𝑦 = 4
𝑧−1
−1
𝑧−11
−4
Derivación implícita y aplicaciones
Cálculo avanzado para ingeniería
Semana 05
Sesión 09
EJERCICIOS EXPLICATIVOS
1. Si la ecuación: 𝑇 + 𝑒 𝑥 𝑠𝑒𝑛(𝑦 + 𝑇) − 1 = 0 define a 𝑇 como la función temperatura de una
placa en forma implícita como una función de 𝑥 e 𝑦, donde 𝑥 e 𝑦 se mide en metros calcule
𝜋
la rapidez con la que se enfría la placa cuando 𝑦 se mantiene constante en el punto (0; 2 )
𝜕𝑧
𝜕𝑧
2. Calcule 𝜕𝑥 y 𝜕𝑦 si 𝑧 = 𝑓(𝑥; 𝑦) satisface la ecuación:
𝑥𝑦 2 + 𝑦𝑧 2 + 𝑧 3 + 𝑥 3 − 4 = 0
3. Si: 𝑓(𝑥 − 𝑧; 𝑦 − 𝑧) = 0 define en forma implícita a 𝑧 como una función de x e y, calcule:
𝜕𝑧
𝜕𝑧
+ 𝜕𝑦.
𝜕𝑥
EJERCICIOS PROPUESTOS
𝑥+𝑦
1. Una función 𝑢 es definida por una ecuación de la forma 𝑢 = 𝑥𝑦𝑓( 𝑥𝑦 ) pruebe que 𝑢
𝜕𝑢
𝜕𝑢
satisface la ecuación 𝑥 2 𝜕𝑥 − 𝑦 2 𝜕𝑦 = 𝐺(𝑥; 𝑦)𝑢 y halle 𝐺(𝑥; 𝑦).
𝜕𝐹
𝜕𝐹
2. Una cierta función 𝐹(𝑥; 𝑦) es tal que (𝜕𝑥 )2 + (𝜕𝑦)2 = 2; ∀(𝑥; 𝑦)
1
El cambio de variable 𝑥 = 𝑢𝑣, 𝑦 = 2 (𝑢2 − 𝑣 2 ) transforma la función
𝐹(𝑥; 𝑦) en una función de 𝑢 y 𝑣. Determine los valores de las constantes 𝑎 y 𝑏 tales que:
𝜕𝐹
𝜕𝐹
𝑎 (𝜕𝑢) − 𝑏 (𝜕𝑣 )2 = 𝑢2 + 𝑣 2 .
3. Dado 𝑢 = 𝑓(𝑥𝑢; 𝑦) demuestre que:
𝜕𝑢
𝑢𝐷1 𝑓(𝑥𝑢; 𝑦)
=
𝜕𝑥 1 − 𝑥𝐷1 𝑓(𝑥𝑢; 𝑦)
4. Sea la función temperatura de una placa en el punto (𝑥; 𝑦) definida por 𝑇 = 𝑇(𝑥; 𝑦) donde 𝑥
e 𝑦 se mide en centímetros y además satisface implícitamente la ecuación
𝑥𝑦 3 + 𝑦𝑇 5 + 𝑇 4 𝑦 + 𝑥 3 𝑦𝑇 − 4 = 0
𝜕𝑇
𝜕𝑇
Interprete
y
𝜕𝑥
𝜕𝑦
5. Si 𝑇 = 𝑇(𝑥; 𝑦) es la función temperatura de una placa metálica en cualquier punto (𝑥; 𝑦)
donde 𝑥 e 𝑦 se mide en pies, si 𝑇 satisface implícitamente la ecuación satisface la ecuación
𝑥𝑒 𝑦𝑇 + ln(𝑥𝑦) 𝑇 5 + 5𝑥𝑦 𝑦 + 4𝑥+𝑦 𝑦𝑇 − 4𝑦 + 5𝑥 = 0
Calcule la rapidez con que se enfría la placa metálica cuando 𝑥 se mantiene constante e 𝑦
varía.
@ 2016 Todos los derechos reservados. Prohibida su reproducción total o parcial.
EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS
√3
1. Si la ecuación: 𝑇 + 𝑒 𝑥 𝑠𝑒𝑛(𝑦 + 𝑇) − 2 = 0 define a 𝑇 como la función temperatura de
una placa en forma implícita como una función de 𝑥 e 𝑦, donde 𝑥 e 𝑦 se mide en
metros calcule la rapidez con la que se calienta la placa cuando 𝑦 se mantiene
𝜋
constante en el punto (0; 3 )
𝑥+𝑦
2. Una función 𝑢 es definida por una ecuación de la forma 𝑢 = 𝑥𝑦𝑓( 𝑥𝑦 ) pruebe que 𝑢
𝜕𝑢
𝜕𝑢
satisface la ecuación 𝑥 2 𝜕𝑥 − 𝑦 2 𝜕𝑦 = 𝐺(𝑥; 𝑦)𝑢 y halle: 𝐺(𝑥; 𝑦).
𝜕𝐹
𝜕𝐹
3. Una cierta función 𝐹(𝑥; 𝑦) es tal que (𝜕𝑥 )2 + (𝜕𝑦)2 = 2; ∀(𝑥; 𝑦)
1
El cambio de variable 𝑥 = 𝑢𝑣, 𝑦 = 2 (𝑢2 − 𝑣 2 ) transforma la función
𝐹(𝑥; 𝑦) en una función de 𝑢 y 𝑣. Determine los valores de las constantes 𝑎 y 𝑏 tales que:
𝜕𝐹
𝜕𝐹
𝑎 (𝜕𝑢) − 𝑏 (𝜕𝑣 )2 = 𝑢2 + 𝑣 2 .
4. Si la ecuación 𝑓(𝑥 2 − 𝑦 2 + 𝑇 2 ; 𝑦 2 − 𝑥 2 + 𝑇 2 ) = 0 define a la función temperatura 𝑇 de
una placa metálica implícitamente como función de 𝑥 e 𝑦 , donde 𝑥 e 𝑦 se mide en
1 𝜕𝑇
1 𝜕𝑇
centímetros, calcule 𝑤 = 𝑥 . 𝜕𝑥 + 𝑦 . 𝜕𝑦
5. Sea 𝑇 = 𝑇(𝑥; 𝑦) es la función temperatura de una placa metálica en el punto (𝑥; 𝑦) y
está dada por la ecuación 𝑠𝑒𝑛(𝑥 + 𝑇) + 𝑠𝑒𝑛(𝑥 + 𝑦) = 1 ¿para que valor de la constante
𝜋
a en el punto (𝜋; 2 ; 𝜋)se verifica la ecuación:
𝜕 2𝑇
𝜕 2𝑇
𝜕𝑇 𝜕𝑇
𝑥 2 +𝑧 2 = 𝑎( − )
𝜕𝑥
𝜕𝑦
𝜕𝑦 𝜕𝑥
RESPUESTAS - EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS
1.
2.
3.
4.
𝐺(𝑥; 𝑦) = 𝑥 − 𝑦
1
1
𝑎 = 2, 𝑏 = −2
.0
𝑎 = 2𝜋
@ 2016 Todos los derechos reservados. Prohibida su reproducción total o parcial.
Extremos de funciones de dos variables.
Aplicaciones.
Cálculo avanzado para ingeniería
Semana 06
EJERCICIOS EXPLICATIVOS
Sesión 11
1. Determine los extremos relativos de:
𝑓(𝑥; 𝑦) = 𝑥 3 + 𝑦 3 + 9𝑥 2 − 3𝑦 2 + 15𝑥 − 9𝑦 + 20
2. Determine los extremos relativos de:
𝑓(𝑥; 𝑦) = 𝑥 3 − 𝑦 3 − 6𝑥𝑦 − 4
3. Una placa circular plana tiene la forma de la región:
𝐷 = {(𝑥; 𝑦) ∈ ℝ2 ⁄ 𝑥 2 + 𝑦 2 ≤ 9} La placa incluyendo la frontera 𝑥 2 + 𝑦 2 = 9 se calienta
de manera que la temperatura en cualquier punto (𝑥; 𝑦) es
𝑇(𝑥; 𝑦) = 𝑥 2 + 𝑦 2 − 4𝑥 − 4𝑦 + 8
Determine los puntos más calientes y más fríos de la placa, así como la temperatura en cada
una de ellas.
EJERCICIOS PROPUESTOS
1. Determine los extremos relativos de:
𝑓(𝑥; 𝑦) = 𝑥 2 𝑦 2
2. Una placa circular plana tiene la forma de la región limitada por las rectas 𝑥 = 0, 𝑦 = 0, 𝑥 +
𝑦 − 6 = 0. La placa incluyendo la frontera se calienta de manera que la temperatura en
cualquier punto (𝑥; 𝑦) es
𝑇(𝑥; 𝑦) = 4𝑥 2 𝑦 − 𝑥 3 − 𝑥 2 𝑦 2
Determine los puntos más calientes y más fríos de la placa, así como la temperatura en cada
una de ellas.
3. Una caja rectangular descansa sobre el plano XY con un vértice en el origen de coordenadas.
Calcule el volumen máximo de la caja si el vértice opuesto está situado en el plano 𝑄: 2𝑥 +
2𝑦 + 𝑧 = 12
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4. Calcule y clasifique los puntos críticos de la siguiente función:
𝑦
𝑓(𝑥; 𝑦) = 𝑥 − 2𝑦 + ln(√𝑥 2 + 𝑦 2 ) + 3arctan (𝑥 )
5. Calcule y clasifique los puntos críticos de la siguiente función:
𝑓(𝑥; 𝑦) = cos(𝑥) + cos(𝑦) + 𝑐𝑜𝑠(𝑥 + 𝑦),
𝜋
2
< 𝑥 < 𝜋,
𝜋
2
<𝑦<𝜋
EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS
1. Una placa circular plana tiene la forma de la región:
𝐷 = {(𝑥; 𝑦) ∈ ℝ2 ⁄ 𝑥 2 + 𝑦 2 ≤ 4} La placa incluyendo la frontera 𝑥 2 + 𝑦 2 = 4 se calienta
de manera que la temperatura en cualquier punto (𝑥; 𝑦) es
𝑇(𝑥; 𝑦) = 𝑒 −(𝑥
2 +𝑦 2 )
(2𝑥 2 + 3𝑦 2 )
Determine los puntos más calientes y más fríos de la placa, así como la temperatura en cada
una de ellas.
2. Determine los extremos relativos de:
𝑓(𝑥; 𝑦) = 2𝑥 3 + 𝑦 3 + 3𝑥 2 − 3𝑦 − 12𝑥 − 4
3. Determine los extremos relativos de:
𝑓(𝑥; 𝑦) = −2𝑥 2 + 3𝑥𝑦 − 3𝑦 2 + 5𝑥 − 5𝑦 + 4
4. Sea la ecuación de un plano 4𝑥 + 6𝑦 + 3𝑧 = 24, si se tiene una caja rectangular por encima
del plano 𝑋𝑌 y por debajo del plano dado en el primer octante. Si uno de sus vértices está
en el origen de coordenadas y sea 𝑃(𝑥; 𝑦; 𝑧) el vértice opuesto que esta sobre la porción
del plano en el primer octante. Determine la posición del vértice en dicho plano de modo
que su volumen de la caja sea el mayor posible.
5. Determine los extremos relativos de:
𝑓(𝑥; 𝑦) = 𝑥 3 + 3𝑥 2 + 6𝑥𝑦 + 𝑦 2
RESPUESTAS - TAREA DOMICILIARIA
3
1. 𝑀á𝑠 𝑐𝑎𝑙𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 (0; −1) 𝑇(0; −1) = 𝑒
𝑀á𝑠 𝑓𝑟𝑖𝑜 (0; 0) 𝑇(0; 0) = 0
2. 𝑀á𝑥. 𝑟𝑒𝑙𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜 𝑒𝑛(4; −12), 𝑀í𝑛. 𝑟𝑒𝑙𝑎𝑡𝑖𝑣𝑖 𝑒𝑛 (1; 1) 𝑦 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑠𝑖𝑙𝑙𝑎 𝑒𝑛 (0; 0)
1
3. 𝑀á𝑥. 𝑟𝑒𝑙𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜 𝑒𝑛 (1; − 3)
4
4. (2; 3 ; 8)
5. 𝑀í𝑛. 𝑟𝑒𝑙𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜 𝑒𝑛 (1; 1) 𝑦 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑠𝑖𝑙𝑙𝑎 𝑒𝑛 (−2; 1)
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Multiplicadores de Lagrange. Aplicaciones.
Cálculo avanzado para ingeniería
Semana 06
Sesión 12
EJERCICIOS EXPLICATIVOS
1. Utilice multiplicadores de Lagrange para hallar los valore máximo y mínimo de la función,
sujeto a la restricción dada.
𝑓(𝑥; 𝑦) = 25 − 𝑥 2 − 𝑦 2 , 𝑅𝑒𝑠𝑡𝑟𝑖𝑐𝑐𝑖ó𝑛 𝑥 2 + 𝑦 2 − 4𝑦 = 0
2. Utilice multiplicadores de Lagrange para hallar los valore máximo y mínimo de la función,
sujeto a la restricción dada.
𝑓(𝑥; 𝑦) = 𝑥 2 + 2𝑦 2 + 3𝑥𝑦 + 1, 𝑅𝑒𝑠𝑡𝑟𝑖𝑐𝑐𝑖ó𝑛 𝑥 − 𝑦 = 1
3. Un recipiente se construye con un cilindro recto de radio 2 metros y con tapas en forma de
cono en los extremos del cilindro. Si el volumen total es 𝑉 metros cúbicos, calcule la altura
𝐻 del cilindro y la altura ℎ de cada una de las tapas cónicas de manera que el área de la
superficie total sea la menor posible. Justifique su respuesta con el Hessiano Orlado.
4. Determine el radio y la altura del cilindro de máximo volumen que puede inscribirse en una
esfera de radio 𝑎.
,
EJERCICIOS PROPUESTOS
1. Utilice multiplicadores de Lagrange para hallar los valore máximo y mínimo de la función,
sujeto a la restricción dada.
𝑓(𝑥; 𝑦; 𝑧) = 𝑥 2 + 𝑥𝑦 + 𝑦 2 + 3𝑧 2 , 𝑅𝑒𝑠𝑡𝑟𝑖𝑐𝑐𝑖ó𝑛 𝑥 + 2𝑦 + 4𝑧 = 60
2. Encuentre un punto de la superficie 𝑥𝑦𝑧 = 25 en el primer octante que hace que 𝑄 = 3𝑥 +
5𝑦 + 9𝑧 Sea mínimo.
3. Se sabe que en la producción de cierto artículo se usa como ley la siguiente función:
𝑓 (𝑥; 𝑦) = 𝑥 2 + (𝑦 − 2)2 en la que 𝑥 e 𝑦 están dados en kilogramos y son los insumos
necesarios que están relacionados según la ecuación 𝑥 2 = 1 + 𝑦 2. Se pide averiguar para
que valores de 𝑥 e 𝑦 la producción es máxima y para que valores es mínima.
4. Las normas postales vigentes de un país establecen que se puede enviar por correo un bulto
rectangular de aristas 𝑥, 𝑦, 𝑧, pulgadas siendo 𝑥 ≤ 𝑦 ≤ 𝑧, solo si 2(𝑥 + 𝑦) + 𝑧 es igual a 120
pulgadas. Si un cierto producto que pesa 10 libras por 𝑝𝑢𝑙 3 debe ser despachado por correo,
determine qué cantidad máxima de tal producto podrá ser transportado en 12 paquetes
postales en tales condiciones.
5. TAREA DOMICILIARIA
1. Los cursos de dos ríos (dentro de los límites de una región determinada) representan
aproximadamente una parábola 𝑦 = 𝑥 2 y una recta 𝑥 − 𝑦 − 2 = 0. Hay que unir estos ríos
por medio de un canal rectilíneo que tenga la menor longitud posible ¿Por qué puntos del
plano habrá trazarlo?
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2. Encuentre los puntos de la curva 𝐶: 𝑥 4 + 𝑦 4 + 3𝑥𝑦 = 2, que están más cercanos y más
alejados el origen de coordenados.
3. Un recipiente se construyen con un cilindro recto de radio 5 pies y con tapas en forma de
cono en los extremos del cilindro. Si el volumen total es 𝑉 pies cúbicos, calcule la altura 𝐻
del cilindro y la altura ℎ de cada una de las tapas cónicas de manera que el área de la
superficie total sea la menor posible.
4. Si 𝑇(𝑥; 𝑦; 𝑧) = 𝑥 + 2𝑦 + 3𝑧 representa la temperatura en cada punto del cilindro: 𝑥 2 +
𝑦 2 − 2 = 0, Halle las temperaturas extremas en la curva formada por la intersección del
plano 𝑦 + 𝑧 = 1 y el cilindro.
RESPUESTAS - TAREA DOMICILIARIA
1
1
11
5
1. 𝑃1 (2 ; 4), 𝑃2 ( 8 ; − 8)
2. Más cercanos 𝐴 (±
𝑉
√2
√2
; ± 2 ),
2
4𝜋√5
más alejados 𝐵 (± √2; ±√2)
3. . ℎ = 2√5, 𝐻 = 25 − 3
4. Temperatura mínima en 𝐴 (−1; 1; 0) y máxima en 𝐵 (1; −1: 2)
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Integrales Dobles. Propiedades. Teorema de
Fubini: integrales iteradas.
Cálculo avanzado para ingeniería
Semana 07
Sesión 13
EJERCICIOS EXPLICATIVOS
1. Calcule ∬𝐷 𝑓 (𝑥; 𝑦)𝑑𝐴 para los siguientes de 𝑓 (𝑥; 𝑦) y sobre 𝐷
a. 𝑓 (𝑥; 𝑦) = 2𝑥, 𝐷 es la región limitada por 4𝑦 = 𝑥 2 , 𝑥 − 2𝑦 + 4 = 0
𝜋
b. 𝑓 (𝑥; 𝑦) = 𝑥 𝑠𝑒𝑛 (𝑥𝑦); 𝐷 = {(𝑥; 𝑦) ∈ ℝ2 ⁄ 0 ≤ 𝑥 ≤ 1, 0 ≤ 𝑦 ≤ 2 }
2. Calcule:
∬
𝐷
1 + 𝑥2
𝑑𝐴 donde 𝐷 = {(𝑥; 𝑦) ∈ 𝑅 2 ; 0 ≤ 𝑥 ≤ 1, 0 ≤ 𝑦 ≤ 1}
1 + 𝑦2
3. Calcule ∬𝐷 𝑓 (𝑥; 𝑦)𝑑𝐴 para la siguiente función 𝑓 (𝑥; 𝑦) sobre 𝐷
𝑥; 𝑦
𝜋
𝑓 (𝑥; 𝑦) = 𝑠𝑒𝑐𝑦,
𝐷={
≤ 𝑥 ≤ 1,
𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 𝑥 ≤ 𝑦 ≤ }
0
4
EJERCICIOS PROPUESTOS
1. Calcule ∬𝐷 𝑓 (𝑥; 𝑦)𝑑𝐴 para los siguientes de 𝑓 (𝑥; 𝑦) y sobre 𝐷
c. 𝑓 (𝑥; 𝑦) = 2𝑥 + 𝑦 𝐷 es la región limitada por 𝑦 = 2𝑥 2 , 𝑥 − 2𝑦 + 3 = 0
𝜋
d. 𝑓 (𝑥; 𝑦) = 𝑦𝑠𝑒𝑛 (𝑥𝑦); 𝐷 = {(𝑥; 𝑦) ∈ ℝ2 ⁄ 0 ≤ 𝑥 ≤ 1, 0 ≤ 𝑦 ≤ 2 }
2. Calcule ∬𝐷 𝑓 (𝑥; 𝑦)𝑑𝐴 para los siguientes de 𝑓 (𝑥; 𝑦) sobre 𝐷
∬ 𝑥𝑒 𝑥𝑦 𝑑𝐴 donde 𝐷 = [0; 1 ] × [0; 1 ]
𝐷
3. Calcule ∬𝐷√ √𝑥 2 + 𝑦 2 𝑑𝐴 donde 𝐷 es la región triangular de vértices (0; 0), (1; 0) y (1; 1)
TAREA DOMICILIARIA
1. Calcule ∬𝐷 𝑓 (𝑥; 𝑦)𝑑𝐴 para la siguiente función de 𝑓 (𝑥; 𝑦) sobre 𝐷
𝑓 (𝑥; 𝑦) =
2𝑦−1
𝑥 2 −1
, 𝐷 limitado por: 𝑦 = 4 − 𝑥 2 , 𝑦 = 0
2. Calcule la siguiente integral:
𝟐
𝟒
∫ ∫ 𝟐√𝒙 𝒅𝒙𝒅𝒚
𝟑
𝟎 𝒚𝟐
3. Calcule la siguiente integral:
1 1
∫ ∫ 𝑡𝑎𝑛(𝑥 2 )𝑑𝑥𝑑𝑦
0 𝑦
@ 2016 Todos los derechos reservados. Prohibida su reproducción total o parcial.
4. Calcule ∬𝐷 √4 − 𝑥 2 − 𝑦 2 𝑑𝐴 donde 𝐷 es la región acotada por: 𝑥 2 + 𝑦 2 ≤ 1
RESPUESTAS - TAREA DOMICILIARIA
1. 4𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛2 −
2.
3.
4.
80
170
3
𝑙𝑛(2)
1
2
2
3
ln(sec(1))
(8 − 3√3)𝜋
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Cambio de orden de integración
Cálculo avanzado para ingeniería
Semana 07
Sesión 14
EJERCICIOS EXPLICATIVOS
1. Calcule la siguiente integral doble:
1 1
∫ ∫ 𝑡𝑎𝑛(𝑥 2 )𝑑𝑥𝑑𝑦
0 𝑦
2. Calcule la siguiente integral doble:
2
4
3
∫ ∫ 2√𝑥 𝑑𝑥𝑑𝑦
0 𝑦2
EJERCICIOS PROPUESTOS
1. Calcule ∬𝐷 𝑓 (𝑥; 𝑦)𝑑𝐴 para los siguientes de 𝑓 (𝑥; 𝑦) y sobre 𝐷
a. 𝑓 (𝑥; 𝑦) = 2𝑥 + 𝑦 𝐷 es la región limitada por 𝑦 = 2𝑥 2 , 𝑥 − 2𝑦 + 3 = 0
𝜋
b. 𝑓 (𝑥; 𝑦) = 𝑦𝑠𝑒𝑛 (𝑥𝑦); 𝐷 = {(𝑥; 𝑦) ∈ ℝ2 ⁄ 0 ≤ 𝑥 ≤ 1, 0 ≤ 𝑦 ≤ 2 }
2. Calcule ∬𝐷 𝑓 (𝑥; 𝑦)𝑑𝐴 para los siguientes de 𝑓 (𝑥; 𝑦) sobre 𝐷
∬ 𝑥𝑒 𝑥𝑦 𝑑𝐴 donde 𝐷 = [0; 1 ] × [0; 1 ]
𝐷
3. Calcule ∬𝐷√ √𝑥 2 + 𝑦 2 𝑑𝐴 donde 𝐷 es la región triangular de vértices (0; 0), (1; 0) y (1; 1)
4. Calcule la siguiente integral:
1 1
∫ ∫ 𝑠𝑒𝑛(𝑦 2 )𝑑𝑦𝑑𝑥
0 𝑥
TAREA DOMICILIARIA
1. Calcule ∬𝐷 𝑓 (𝑥; 𝑦)𝑑𝐴 para la siguiente función de 𝑓 (𝑥; 𝑦) sobre 𝐷
𝑓 (𝑥; 𝑦) =
2𝑦−1
𝑥 2 −1
, 𝐷 limitado por: 𝑦 = 4 − 𝑥 2 , 𝑦 = 0
2. Calcule la siguiente integral:
𝟐
𝟒
∫ ∫ 𝟐√𝒙 𝒅𝒙𝒅𝒚
𝟑
𝟎 𝒚𝟐
3. Calcule la siguiente integral:
1 1
∫ ∫ 𝑡𝑎𝑛(𝑥 2 )𝑑𝑥𝑑𝑦
0 𝑦
@ 2016 Todos los derechos reservados. Prohibida su reproducción total o parcial.
RESPUESTAS - TAREA DOMICILIARIA
1. 4𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛2 −
2.
3.
170
80
3
𝑙𝑛(2)
1
2
ln(sec(1))
@ 2016 Todos los derechos reservados. Prohibida su reproducción total o parcial.
Cambio de Variable en integrales dobles:
Jacobianos
Cálculo avanzado para ingeniería
Semana 08
Sesión 15
EJERCICIOS EXPLICATIVOS
1. Calcule la integral doble
𝑥−2𝑦
∬ (2𝑥 + 𝑦)−3 𝑒 2𝑥+𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦
𝐷
Donde 𝐷 es la región acotada por 2𝑥 + 𝑦 = 1; 2𝑥 + 𝑦 = 4,
2𝑦 = 1.
2.
𝑥 − 2𝑦 = −1 y
𝑥−
Sea 𝐷 la porción acotada del primer cuadrante situada entre las dos hipérbolas 𝑥𝑦 = 1 y 𝑥𝑦 = 2 y las
líneas rectas 𝑦 = 𝑥 e 𝑦 = 4𝑥
a. Grafique la región de integración 𝐷.
b. Mediante un cambio de variables, represente gráficamente la región 𝐷 en el plano
dado por las nuevas variables.
c. Calcule la integral ∬𝐷 𝑦 2 𝑥 2 𝑑𝑥𝑑𝑦 con las nuevas variables del ítem b).
3. Calcule
𝑦−𝑥
∬ 𝑒 𝑦+𝑥 𝑑𝑥𝑑𝑦
𝐷
donde 𝐷 es el triángulo limitado por las rectas 𝑥 + 𝑦 = 2 y los ejes coordenados.
EJERCICIOS PROPUESTOS
1. Dada la región de una placa limitada por las curvas 𝑥𝑦 = 1; 𝑥𝑦 = 3; 𝑥 − 𝑥𝑦 = 1; 𝑥 −
𝑥𝑦 = 3
a. Esboce la gráfica de la región.
b. Use la integral doble para calcular el área de tal región.
2. Dada las curvas en el plano 𝑋𝑌: 𝑥𝑦 = 1, 𝑥𝑦 = 3, 𝑥 − 𝑥𝑦 = 4, 𝑥 − 𝑥𝑦 = 6
a. Grafique la región acotada por las curvas dadas arriba.
b. Use integrales dobles y calcule el área de la región del ítem a).
@ 2016 Todos los derechos reservados. Prohibida su reproducción total o parcial.
3. En la figura adjunta se muestra la región 𝐷 del primer cuadrante limitada por las gráficas de
𝑥
𝑦
𝑥
𝑦
√3 + √ 5 = 1 ; √3 + √ 5 = 2 ; 3𝑦 = 5𝑥 y 3𝑦 = 20𝑥.
a) Modele un cambio de variables 𝑢 = 𝑔(𝑥, 𝑦) y 𝑣 = ℎ(𝑥, 𝑦)
y represente gráficamente la región 𝐷 en el plano 𝑈𝑉 como
un rectángulo.
b) Calcule el valor de la integral.
𝑒 𝑥/𝑦
∬
𝑑𝐴
2
𝐷 𝑦
TAREA DOMICILIARIA
1. Calcule la integral doble
𝑥−2𝑦
∬ (2𝑥 + 𝑦)−3 𝑒 2𝑥+𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦
𝐷
Donde 𝐷 es la región acotada por 2𝑥 + 𝑦 = 1; 2𝑥 + 𝑦 = 4 ; 𝑥 − 2𝑦 = −1 y 𝑥 − 2𝑦 = 1.
2. Sea 𝐷 una placa en XY limitada por las hipérbolas 𝑥𝑦 = 1; 𝑥𝑦 = 2 y por las rectas 𝑦 =
𝑥; 𝑦 = 4𝑥 en el primer cuadrante.
a. Esboce la gráfica de la placa 𝐷.
b. Calcule el área de la placa 𝐷.
c. Si la densidad de la placa es constante, modele la integral doble que permita calcular la
masa de la placa.
d. Calcule la integral iterada del ítem (b).
e. Calcule la integral 𝐼 = ∬𝐷
𝑥
𝑦
𝑑𝑥𝑑𝑦
3. Calcule la siguiente integral:
𝑦 2 cos(𝑥𝑦)
𝑑𝐴
𝑥
𝐷
Donde 𝐷 es la región acotada por 𝑥 2 = 𝑦; 𝑦 2 = 𝑥 ;𝑥 2 = 4𝑦 y 𝑦 2 = 4𝑥
4. Calcule la siguiente integral:
∬
∬ 𝑒 √𝑥+2𝑦 𝑑𝐴
𝐷
Donde 𝐷 es la región acotada por 𝑥 + 2𝑦 = 4; 𝑥 − 2𝑦 = 0 y el eje 𝑥.
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Integrales Dobles. Coordenadas polares.
Cálculo avanzado para ingeniería
Semana 08
Sesión 16
EJERCICIOS EXPLICATIVOS
1. Aplique coordenadas polares y 𝐶alcule:
∬ √𝑥 2 + 𝑦 2 𝑑𝐴
𝐷
donde 𝐷 ={(𝑥; 𝑦), 4 ≤ 𝑥 2 + 𝑦 2 ≤ 16; 𝑦 ≥ 0}
2. Aplique coordenadas polares y 𝐶alcule:
∬
𝐷
𝑥2
𝑑𝐴
(𝑥 2 + 𝑦 2 )2
𝐷 es la región entre los círculos 𝑥 2 + 𝑦 2 = 3 y 𝑥 2 + 𝑦 2 = 9 con 𝑦 ≥ 0
3. La ecuación:
𝑓(𝑥; 𝑦) = √𝑥 2 + 𝑦 2
Definida en la región triangular 𝐷: de vértices (0; 0), (√3; 0) y (√3; 1)
a) Exprese la región 𝐷 en coordenadas polares.
b) Calcule ∬𝐷 𝑓(𝑥; 𝑦)𝑑𝐴.
2
2
4. Calcule ∬𝐷 𝑒 𝑥 +𝑦 𝑑𝐴 donde 𝐷 es la región acotada (limitada) por los círculos:
𝑥2 + 𝑦2 = 1 y 𝑥2 + 𝑦2 = 9
EJERCICIOS PROPUESTOS
1. Calcule ∬𝐷 𝑓 (𝑥; 𝑦)𝑑𝐴 para los siguientes de 𝑓 (𝑥; 𝑦) y sobre 𝐷
a. 𝑓 (𝑥; 𝑦) = 2𝑥 + 𝑦 𝐷 es la región limitada por 𝑦 = 2𝑥 2 , 𝑥 − 2𝑦 + 3 = 0
𝜋
b. 𝑓 (𝑥; 𝑦) = 𝑦𝑠𝑒𝑛 (𝑥𝑦); 𝐷 = {(𝑥; 𝑦) ∈ ℝ2 ⁄ 0 ≤ 𝑥 ≤ 1, 0 ≤ 𝑦 ≤ 2 }
2. Calcule ∬𝐷 𝑓 (𝑥; 𝑦)𝑑𝐴 para los siguientes de 𝑓 (𝑥; 𝑦) sobre 𝐷
∬ 𝑥𝑒 𝑥𝑦 𝑑𝐴 donde 𝐷 = [0; 1 ] × [0; 1 ]
𝐷
3. Calcule ∬𝐷√ √𝑥 2 + 𝑦 2 𝑑𝐴 donde 𝐷 es la región triangular de vértices (0; 0), (1; 0) y (1; 1)
TAREA DOMICILIARIA
1. Calcule ∬𝐷 𝑓 (𝑥; 𝑦)𝑑𝐴 para la siguiente función de 𝑓 (𝑥; 𝑦) sobre 𝐷
𝑓 (𝑥; 𝑦) =
2𝑦−1
𝑥 2 −1
, 𝐷 limitado por: 𝑦 = 4 − 𝑥 2 , 𝑦 = 0
2. Calcule la siguiente integral:
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𝟐
𝟒
∫ ∫ 𝟐√𝒙 𝒅𝒙𝒅𝒚
𝟑
𝟎 𝒚𝟐
3. Calcule la siguiente integral:
1 1
∫ ∫ 𝑡𝑎𝑛(𝑥 2 )𝑑𝑥𝑑𝑦
0 𝑦
4. Calcule ∬𝐷 √4 − 𝑥 2 − 𝑦 2 𝑑𝐴 donde 𝐷 es la región acotada por: 𝑥 2 + 𝑦 2 ≤ 1
RESPUESTAS - TAREA DOMICILIARIA
1. 4𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛2 −
2.
3.
4.
80
170
3
𝑙𝑛(2)
1
2
2
3
ln(sec(1))
(8 − 3√3)𝜋
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Cálculo de áreas y volúmenes..
Cálculo avanzado para ingeniería
Semana 09
Sesión 17
EJERCICIOS EXPLICATIVOS
1. Calcule el área de la región 𝐷, comprendida por la grafica de las funciones 𝑦 = 𝑥, 𝑦 =
(2 − 𝑥)2 y la recta 𝑥 = 0.
2. En un torno se tiene un sólido, la cual es limitado superiormente por la superficie esférica
𝑧 2 + 𝑥 2 + 𝑦 2 = 9 e inferiormente por el plano 𝑧 = 0 y lateralmente por el cilindro 𝑥 2 +
𝑦 2 = 4.
a. Grafique la forma del sólido.
b. Exprese la base del solido en coordenadas cartesianas.
c. Exprese la base del solido en coordenadas polares.
d. Calcule el volumen del sólido.
3. Un ingeniero en un torno tiene que diseñar un sólido, la cual está limitado bajo la superficie
𝑧 = 4 − 𝑥 2 − 𝑦 2 ; interior al cilindro 𝑥 2 + 𝑦 2 = 1 y sobre el plano 𝑧 = 0.
a. Grafique la forma del sólido.
b. Exprese el sólido en coordenadas cartesianas.
c. Exprese el sólido en coordenadas polares.
d. Calcule el volumen del sólido.
4. Un ingeniero en un torno tiene que diseñar un sólido, la cual es limitada por las siguientes
superficies: el cilindro 9 = 𝑥 2 + 𝑦 2 , el paraboloide 𝑧 = 9 − 𝑥 2 − 𝑦 2 y la esfera 𝑥 2 + 𝑦 2 +
(𝑧 − 16)2 = 9; en el primer octante.
a. Grafique la forma del sólido.
b. Exprese el sólido en coordenadas cartesianas.
c. Exprese el sólido en coordenadas polares.
d. Calcule el volumen del sólido.
EJERCICIOS PROPUESTOS
1. En un torno se tiene una cuña, la cual es limitada por las siguientes superficies: el cono 𝑧 2 =
𝑥 2 + 𝑦 2 y el cilindro 𝑥 2 + 𝑦 2 − 2𝑦 = 0 para 𝑧 ≥ 0.
a. Grafique la forma de la cuña.
b. Exprese la base de la cuña en coordenadas polares.
c. Calcule el volumen de la cuña.
2. Un almacen tiene la forma de un sólido acotado por la superficies 𝑧 = 4 + 𝑥𝑦 y 𝑧 = 1 y
dentro del cilindro: 𝑥 2 + 𝑦 2 ≤ 1, si las longitudes del almacen se dan en metros, calcule la
capacidad del almacen.(considere 𝜋 = 3,14)
3. Sea el solido 𝐸 = {(𝑥; 𝑦; 𝑧) ∈ ℝ3 : 𝑧 ≥ √𝑥 2 + 𝑦 2 , 𝑥 2 + 𝑦 2 + (𝑧 + 2)2 ≤ 25}
a. Grafique el solido 𝐸
b. Modele la integral doble en coordenadas cartesianas que permita calcular el volumen
del solido 𝐸
c. Modele la integral doble en coordenadas polares que permita calcular el volumen del
solido 𝐸.
d. Calcule el volumen del solido 𝐸.
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TAREA DOMICILIARIA
1. Sea el sólido que se forma dentro de la esfera: 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 = 16 y fuera del cilindro de
ecuación: 𝑥 2 + 𝑦 2 = 4.
a. Exprese el volumen del solido en coordenadas polares.
b. Calcule el volumen del sólido.
2. Sea el solido 𝐸 = {(𝑥; 𝑦; 𝑧) ∈ ℝ3 : 𝑧 ≥ √𝑥 2 + 𝑦 2 , 𝑥 2 + 𝑦 2 + (𝑧 + 2)2 ≤ 25}
a. Grafique el solido 𝐸
b. Exprese la integral doble en coordenadas cartesianas que permita calcular el volumen
del solido 𝐸.
3. Determine el volumen del sólido limitado por el paraboloide 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 = 1 y el plano 𝑋𝑌
4. Exprese la integral doble que permita calcular el volumen del sólido limitado superiormente
por el paraboloide 𝑧 = 𝑥 2 + 𝑦 2 , y inferiormente por el plano 𝑥𝑦 y lateralmente por el
cilindro 𝑥 2 + 𝑦 2 = 2𝑥, además calcule su volumen
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Aplicaciones de las integrales dobles: centro de
masa, área de una superficie
Cálculo avanzado para ingeniería
Semana 09
Sesión 17
EJERCICIOS EXPLICATIVOS
1. Una placa tiene la forma de la región ubicada en el primer cuadrante que está entre las
circunferencias 𝑥 2 + 𝑦 2 = 4 y 𝑥 2 + 𝑦 2 = 2𝑦. Si la densidad superficial en cada punto de la
placa es igual a tres veces la distancia del punto al eje 𝑌. Calcule la masa y centro de masa
de la placa.
2. Determine el centro de masa de una lámina semicircular de radio 4, si la densidad de la
lámina en cualquier punto 𝑃(𝑥; 𝑦) es proporcional a la distancia del punto 𝑃 al centro del
círculo.
3. Calcule el área de la superficie 𝑓(𝑥; 𝑦) = 2𝑥 + 2𝑦 que está ubicada sobre el
triángulo de vértices (0,0); (0,3) 𝑦 (3,0)
4. Determine el área de la parte del cilindro 𝑧 = 1 − 𝑦 2 , ubicada en el primer octante
y situada entre los planos verticales 𝑥 + 𝑦 = 2 y 𝑥 + 𝑦 = 5.
EJERCICIOS PROPUESTOS
1. Encuentre la masa y el centro de masa de una lámina que tiene la forma de la región
rectangular acotada por las rectas 𝑥 = 3, 𝑦 = 2 y los ejes coordenados. La densidad de área
en cualquier punto es 𝑥𝑦 2 .
2. Determine la masa y el centro de masa de una lámina tiene la forma de la región acotada
por la curva 𝑦 = 𝑒 𝑥 , 𝑥 = 1 y los ejes coordenados. La densidad del área varía con la distancia
al eje 𝑋.
3. Encuentre la masa y el centro de masa de una lámina tiene la forma de la región acotada por
un triángulo cuyos lados son los segmentos de los ejes coordenados y la recta 3𝑥 + 2𝑦 =
18. La densidad de área varía con el producto de las distancias a los ejes coordenados.
4. Halle el área de la porción del cilindro 𝑥 2 + 𝑦 2 = 4 comprendido entre el plano 𝑧 = 5𝑥 y el
plano 𝑋𝑌.
5. Halle el área de la parte del paraboloide 𝑦 2 + 𝑧 2 = 8𝑥 interceptada por el cilindro
parabólico 𝑦 2 = 2𝑥 y el plano 𝑥 = 6.
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TAREA DOMICILIARIA
1. Encuentre la masa y el centro de masa de una lámina tiene la forma de la región acotada por
la parábola 𝑥 2 = 8𝑦, la recta 𝑦 = 2 y el eje 𝑌. La densidad de área varía con la distancia a la
recta 𝑦 = −1.
2. Encuentre la masa y el centro de masa de una lámina tiene la forma de la región en el primer
cuadrante acotada por el círculo x2+y2=a2 y los ejes coordenados. La densidad del área varía
con la suma de las distancias a las dos orillas rectas.
3. Halle la masa y el centro de masa de la lámina 𝐷 limitada por 𝑦 = 0, 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛𝑥, 0 ≤ 𝑥 ≤ 𝜋
cuya densidad 𝜌 varía con la distancia al eje 𝑋.
4. Halle el área de la porción de la esfera 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 = 8𝑦 que está dentro del paraboloide
5𝑦 = 𝑥 2 + 𝑧 2 .
5. Halle el área de la superficie que se forma cuando los planos 𝑥 = 0, 𝑥 = 1, 𝑦 = 0, 𝑦 = 1
cortan al plano 2𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 4.
RESPUESTAS – EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS
3
1. 12𝑘𝑔, (2; 2)
2.
3.
2
𝑎3 , (
3
𝜋
4
3𝑎(2+𝜋) 3𝑎(2+𝜋)
32
;
32
)
𝜋 16
, ( 2 ; 9𝜋)
4. 40𝜋
5. √6
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Superficies Cuadraticas en ℝ3 .
Cálculo avanzado para ingeniería
Semana 10
Sesión 19
EJERCICIOS EXPLICATIVOS
1. Bosqueje la superficie cuadrática con ecuación
𝑦2 𝑧2
𝑥2 +
+ =1
9
4
2. Bosqueje la superficie cuadrática con ecuación
𝑧 = 4𝑥 2 + 𝑦 2
3. Bosqueje la superficie cuadrática con ecuación
𝑥2
𝑧2
2
+𝑦 − =1
4
4
EJERCICIOS PROPUESTOS
1. Bosquejar e identificar la superficie:
a. 𝑥 = 𝑦 2 + 4𝑧 2
b. 𝑥 2 = 𝑦 2 + 4𝑧 2
c. −𝑥 2 + 4𝑦 2 − 𝑧 2 = 4
2. a. Encuentre e identifique las trazas de la superficie cuadrática 𝑥 2 + 𝑦 2 − 𝑧 2 = 1.
b. Si se cambia la ecuación del inciso a) a 𝑥 2 − 𝑦 2 + 𝑧 2 = 1, ¿cómo se afecta la gráfica?
c. ¿Qué pasa si se cambia la ecuación del inciso a) a 𝑥 2 + 𝑦 2 + 2𝑦 − 𝑧 2 = 0?
3. Reduzca la ecuación a una de las formas estándar, clasifique la superficie y bosquéjela.
1
a. 𝑦 2 = 𝑥 2 + 9 𝑧 2
b. 𝑥 2 + 2𝑦 − 2𝑧 2 = 0
4. Bosqueje la región acotada por las superficies 𝑧 = √𝑥 2 + 𝑦 2 y 𝑥 2 + 𝑦 2 = 1 para 1 ≤
𝑧 ≤2.
TAREA DOMICILIARIA
1. Bosquejar e identificar la superficie:
a. 9𝑥 2 − 𝑦 2 + 𝑧 2 = 0
b. 25𝑥 2 + 4𝑦 2 + 𝑧 2 = 100
c. 4𝑥 2 + 9𝑦 2 + 𝑧 = 0
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2. a. Encuentre e identifique las trazas de la superficie cuadrática −𝑥 2 − 𝑦 2 + 𝑧 2 = 1.
b. Si se cambia la ecuación del inciso a) a 𝑥 2 − 𝑦 2 − 𝑧 2 = 1, ¿Qué sucede con la gráfica?
3. Reduzca la ecuación a una de las formas estándar, clasifique la superficie y bosquéjela.
a. 4𝑥 2 − 𝑦 + 2𝑧 2 = 0
b. 𝑦 2 = 𝑥 2 + 4𝑧 2 + 4
4. Bosqueje la región acotada por los paraboloides 𝑧 = 𝑥 2 + 𝑦 2 y 𝑧 = 2 − 𝑥 2 − 𝑦 2 .
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Integrales triples en coordenadas cartesianas
Teorema de Fubini: integrales iteradas.
Cálculo avanzado para ingeniería
Semana 11
Sesión 21
EJERCICIOS EXPLICATIVOS
1. Calcule la integral triple
3
2
1
∫ ∫ ∫ (𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧) 𝑑𝑦𝑑𝑥𝑑𝑧
0
0
0
2. Calcule la siguiente integral:
∭ 𝑧𝑑𝑉 ,
𝐸
Donde E es el tetraedro sólido acotado por los cuatro planos:
𝑥 = 0, 𝑦 = 0, 𝑧 = 0 𝑦 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 1
3. La figura adjunta muestra la región 𝐸 de
integración para la integral:
∭𝐸 𝑓(𝑥; 𝑦; 𝑧)𝑑𝑉
Reescriba esta integral en el orden
𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧, 𝑑𝑧𝑑𝑥𝑑𝑦 y 𝑑𝑦𝑑𝑧𝑑𝑥
4. Exprese la siguiente integral:
∭(𝑧 + 𝑥)𝑑𝑉 ,
𝐸
Donde E es la esfera con centro en el origen y radio a; en coordenadas cartesianas.
EJERCICIOS PROPUESTOS
1. Calcular ∭𝑇 (2𝑥 + 3𝑦 − 𝑧)𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 si el dominio 𝑇 es un prisma triangular limitado por los
planos 𝑧 = 0, 𝑧 = 2, 𝑥 = 0, 𝑦 = 0, 𝑥 + 𝑦 = 3.
2. Calcular ∭𝑇 (𝑥 2 + 𝑦 2 )𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 donde el dominio 𝑇 está limitado por las superficies
1
𝑧 = 2 (𝑥 2 + 𝑦 2 ), 𝑧 = 2.
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3. Calcular ∭T (2x + 3y − z) 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 si el dominio 𝑇 es un prisma triangular limitado por los
planos 𝑧 = 0, 𝑧 = 2, 𝑥 = 0, 𝑦 = 0, 𝑥 + 𝑦 = 3.
4. De acuerdo al sólido 𝑧2= 𝑥2+𝑦2. Exprese la siguiente integral ∭𝑄 2𝑧𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 en
coordenadas cartesianas.
5. Exprese la siguiente integral en coordenadas cartesianas ∭𝑄 𝑧𝑑𝑉 , sabiendo que Q es el
sólido limitado por las superficies 𝑦 = 𝑥, 𝑥 2+𝑦2+𝑧2= 1 en el primer octante.
TAREA DOMICILIARIA
1
𝑥
2
1. Calcular ∫0 ∫0 ∫𝑥 2 +𝑦 2 𝑑𝑧𝑑𝑦𝑑𝑥
2. Exprese el volumen de la porción del cono z2 = x2 + y2, limitada superiormente por la esfera
𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 = 𝑎2 en coordenadas cartesianas.
3. Evalúe la integral triple ∭𝐵 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑉, donde 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥𝑧 3 (1 − 𝑦) y
𝐵 = [2; 3]𝑥[−2; 1]𝑥[0; √2]
1
1−𝑥
4. Calcular ∫0 ∫0
1+𝑦 2
∫2𝑦
𝑥 𝑑𝑧𝑑𝑦𝑑𝑥
5. Calcular la integral ∭𝑇 𝑥𝑦𝑧 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧, donde 𝑇 es la región limitada por
𝑥 = 𝑦 2 , 𝑥 2 = 𝑦,𝑧 = 0 , 𝑧 = 𝑥𝑦.
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Coordenadas cilíndricas y esféricas
Cálculo avanzado para ingeniería
Semana 11
Sesión 22
EJERCICIOS EXPLICATIVOS
1. Obtenga una ecuación en coordenadas cartesianas para cada una de las siguientes
superficies cuyas ecuaciones se han expresado en coordenadas cilíndricas, e identifique la
superficie:
(a) 𝑟 = 6𝑠𝑒𝑛𝜃
(b) 𝑟 ( 3𝑐𝑜𝑠𝜃 + 2𝑠𝑒𝑛𝜃) + 6𝑧 = 0
2. Obtenga una ecuación en coordenadas cilíndricas para cada una de las siguientes superficies
cuyas ecuaciones se han expresado en coordenadas cartesianas, e identifique la superficie:
(a) 𝑥 2 + 𝑦 2 = 𝑧
(b) 𝑥 2 − 𝑦 2 = 𝑧
3. Obtenga una ecuación en coordenadas cartesianas para cada una de las siguientes
superficies cuyas ecuaciones se han expresado en coordenadas esféricas, e identifique la
superficie:
(a) 𝑟𝑐𝑜𝑠𝜑 = 4
(b) 𝑟𝑠𝑒𝑛𝜑 = 4
4. Obtenga una ecuación en coordenadas esféricas para el
(a) El paraboloide elíptico 𝑥 2 + 𝑦 2 = 𝑧
(b) El plano 3𝑥 + 2𝑦 + 6𝑧 = 0
EJERCICIOS PROPUESTOS
1. Obtenga una ecuación en coordenadas cilíndricas de la superficie, e identifique la
superficie.
a. 𝑥 2 + 𝑦 2 + 4𝑧 2 = 16
b. 𝑥 2 − 𝑦 2 = 9
c. 9𝑥 2 + 4𝑦 2 = 36
2. Obtenga una ecuación en coordenadas esféricas de la superficie, e indentifique la
superficie.
a. 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 − 9𝑧 = 0
b. 𝑥 2 + 𝑦 2 = 𝑧 2
c. 𝑥 2 + 𝑦 2 = 2𝑧
3. Obtenga una ecuación en coordenadas cartesianas para la superficie cuya ecuación se da
en coordenadas cilíndricas indicando la superficie:
a. 𝑟 = 3𝑐𝑜𝑠𝜃
b. 𝑟 2 𝑐𝑜𝑠2𝜃 = 𝑧 3
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4. Obtenga una ecuación en coordenadas cartesianas para la superficie cuya ecuación se da
en coordenadas esféricas, indicando la superficie:
a. 𝑟 = 9𝑠𝑒𝑐𝜑
b. 𝑟 = 3𝑐𝑜𝑠𝜑
c. . 𝑟 = 6𝑠𝑒𝑛𝜑 sen𝜃 + 3cos𝜑
TAREA DOMICILIARIA
1. Obtenga una ecuación en coordenadas cilíndricas de la superficie, e identifique la superficie.
a. 𝑥 2 + 𝑦 2 = 3𝑧
b. 𝑥 2 − 𝑦 2 = 3𝑧 2
c. 𝑥 2 + 𝑦 2 = 𝑧 2
2. Obtenga una ecuación en coordenadas esféricas de la superficie, e indentifique la superficie.
a. 𝑥 2 + 𝑦 2 = 2𝑧
b. 𝑥 2 + 𝑦 2 = 36
c. 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 − 8𝑥 = 0
3. Obtenga una ecuación en coordenadas cartesianas para la superficie cuya ecuación se da en
coordenadas cilíndricas indicando la superficie:
a. 𝑟 = 3 + 2𝑐𝑜𝑠𝜃
b. 𝑧 2 𝑠𝑒𝑛3 𝜃 = 𝑟 3
4. Obtenga una ecuación en coordenadas cartesianas para la superficie cuya ecuación se da en
coordenadas esféricas, indicando la superficie:
a. 𝑟 = 6 𝑐𝑠𝑐𝜑
b. 𝑟 = 6 𝑡𝑎𝑛𝜃
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Integrales triples mediante coordenadas
cilíndricas
Cálculo avanzado para ingeniería
Semana 12
Sesión 23
EJERCICIOS EXPLICATIVOS
1. Calcule la siguiente integral:
∭ 5√𝑥 2 + 𝑦 2 𝑑𝑉 ,
𝐸
Siendo E la región que está dentro del cilindro 𝑥 2 + 𝑦 2 = 1, bajo el plano 𝑧 = 4 y arriba del
paraboloide 𝑧 = 1 − 𝑥 2 − 𝑦 2
2. Calcule
∭(𝑥 2 + 𝑦 2 )𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧
𝑇
1
Donde el dominio 𝑇 está limitado por las superficies 𝑧 = 2 (𝑥 2 + 𝑦 2 ), 𝑧 = 2.
3. Dada la integral
2
2
2
1 √1−𝑦 √2−𝑥 −𝑦
∫ ∫
0
a.
b.
c.
d.
∫
0
𝑧 2 𝑑𝑧 𝑑𝑥 𝑑𝑦
√𝑥 2 +𝑦2
Grafique el sólido de integración
Exprese la integral en coordenadas cilíndricas.
Calcule la integral.
Calcule el volumen del solido de integración.
4. Una placa tiene la forma de la región ubicada en el primer cuadrante que está entre las
circunferencias 𝑥 2 + 𝑦 2 = 4 y 𝑥 2 + 𝑦 2 = 2𝑦. Si la densidad superficial en cada punto de la
placa es igual a tres veces la distancia del punto al eje 𝑋. Calcule la masa de la placa.
EJERCICIOS PROPUESTOS
1. Sea 𝑇 el sólido definido por 𝑥 2 + 𝑦 2 ≤ 6𝑥 ; √𝑥 2 + 𝑦 2 ≥ 𝑧 ; 𝑧 ≥ 0. Use coordenadas
cilíndricas para calcular su volumen.
2
𝜋
3
2. Evaluar la integral iterada ∫−1 ∫02 ∫0 𝑟𝑐𝑜𝑠𝜃𝑑𝑟𝑑𝜃𝑑𝑧
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3. De acuerdo al sólido mostrado, 𝑧2= 𝑥2+𝑦2. Calcular ∭𝑄 2𝑧𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧
a. Calcule el volumen del solido 𝑄 mostrado en la figura adjunta.
b. Calcule la siguiente integral, ∭𝑄 2𝑧𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧
4. Dada la figura adjunta, la cual esta descrita analíticamente como:
𝐸 = {(𝑥; 𝑦; 𝑥) ∈ ℝ3 , 0 ≤ 𝑥 ≤ 𝐴; 0 ≤ 𝑦 ≤ 𝐵; 𝐶 ≤ 𝑧 ≤ √9 − 𝑦 2 }
a. Calcule los valores de 𝐴, 𝐵 y 𝐶.
b. Exprese el volumen del solido en coordenadas cartesianas.
c. Exprese el volumen del solido en coordenadas cilíndricas.
TAREA DOMICILIARIA
1. Dada la siguiente integral triple:
3
9−𝑥 2 −𝑦 2
√9−𝑥 2
∫ ∫
∫
−3 0
0
√𝑥 2 + 𝑦 2 𝑑𝑧𝑑𝑦𝑑𝑥
a. Grafique el sólido sobre la cual se está integrando.
b. Exprese la integral triple en coordenadas cilíndricas.
2. Sea el sólido que se forma dentro de la esfera: 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 = 16 y fuera del cilindro de
ecuación: 𝑥 2 + 𝑦 2 = 4
a. Exprese el volumen del solido en coordenadas cilíndricas.
b. Calcule el volumen del sólido.
3. Dada la siguiente integral triple:
√9−𝑦2
3
∫ ∫
−3
−√9−𝑦 2
√9−𝑥 2 −𝑦 2
∫
(𝑥 2 𝑥 + 𝑦 2 𝑧 + 𝑧 3 )𝑑𝑧𝑑𝑥𝑑𝑦
−√9−𝑥2 −𝑦 2
a. Grafique el sólido sobre la cual se está integrando.
b. Exprese la integral triple en coordenadas cilíndricas.
4. Sea el solido 𝐸 = {(𝑥; 𝑦; 𝑧) ∈ ℝ3 : 𝑧 ≥ √𝑥 2 + 𝑦 2 , 𝑥 2 + 𝑦 2 + (𝑧 + 2)2 ≤ 25}
a. Grafique el solido 𝐸
b. Modele la integral triple en coordenadas cartesianas que permita calcular el volumen del
solido 𝐸
c. Modele la integral triple en coordenadas cilíndricas que permita calcular el volumen del
solido 𝐸.
d. Calcule el volumen del solido 𝐸
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5. Calcule
∭𝑒
𝑥2 +𝑦2
𝑧
𝑑𝑉
U
Donde 𝑈 es el sólido interior a la superficie 𝑧 = √𝑥 2 + 𝑦 2 y limitado por los planos 𝑥 + 𝑦 = 0,
𝑧 = 1.
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Integrales triples mediante coordenadas
esféricas
Cálculo avanzado para ingeniería
Semana 11
Sesión 24
EJERCICIOS EXPLICATIVOS
1. Calcular ∭𝑇 𝑧𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 , donde el dominio 𝑇 está limitado por las superficies 𝑥 2 + 𝑦 2 +
𝑧 2 ≤ 1, 𝑥 2 + 𝑦 2 ≤ 𝑧 2 y 𝑧 ≥ 0.
2. Halle el volumen del sólido sobre el cono 𝑧 2 = 𝑥 2 + 𝑦 2 e interior a la esfera 𝑥 2 + 𝑦 2 +
𝑧 2 = 2𝑧.
3. Calcule ∭𝑈 [1 −
𝑥2
4
+
𝑦2
9
𝑧2
𝑥2
4
−
𝑦2
9
𝑧2
− 16] 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑧donde U es el sólido encerrado por el elipsoide
+ 16 = 1.
EJERCICIOS PROPUESTOS
1. Hallar el volumen de la porción del cono z2 = x2 + y2 , limitada superiormente
por la esfera x2 + y2 + z2 = a2
2. Verifique que el volumen de un cilindro recto es V = 𝜋a2h.
3. De acuerdo al sólido z2=x2+y2. Calcular ∭𝑄 2𝑧𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧
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4. Calcule usando coordenadas esféricas ∭𝑄 𝑧𝑑𝑉 , si Q es el sólido limitado por las superficies
y=x, x2+y2+z2=1 en el primer octante.
2
𝜋
3
5. Evaluar la integral iterada ∫−1 ∫02 ∫0 𝑟𝑐𝑜𝑠𝜃𝑑𝑟𝑑𝜃𝑑𝑧
6. Calcular la integral iterada:
𝜋/2 𝜋 2
3
∫ ∫ ∫ 𝑒 −𝜌 𝜌2 𝑑𝜌𝑑𝜃𝑑𝜑
0
0 0
EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS
1
𝑥
2
1. Calcular ∫0 ∫0 ∫𝑥 2 +𝑦 2 𝑑𝑧𝑑𝑦𝑑𝑥
2. Hallar el volumen de la porción del cono z2 = x2 + y2, limitada superiormente
por la esfera x2 + y2 + z2 = a2
3. Evalúe la integral triple ∭𝐵 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑉, donde 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥𝑧 3 (1 − 𝑦) y
𝐵 = [2; 3]𝑥[−2; 1]𝑥[0; √2]
4. Evalúe ∭𝐵 (𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 )𝑑𝑉 donde B es el sólido encerrado por la esfera x2+y2+z2=1
𝜋
5. Calcule el volumen del sólido que está sobre el cono 𝜑 = 3 y debajo de la esfera
𝜌 = 4cos𝜑
6. Sea T el sólido definido por 𝑥 2 + 𝑦 2 ≤ 6𝑥 ; √𝑥 2 + 𝑦 2 ≥ 𝑧 ; 𝑧 ≥ 0. Use coordenadas
cilíndricas para calcular su volumen.
RESPUESTAS DE LOS EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS
1. 2/3
2.
2𝜋𝑎3
3
(1 −
√2
)
2
3. 45/4
4. 4𝜋/5
5. 10π
6. 96
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Curvas definidas por ecuaciones paramétricas en
R2 y R3, Parametrización de curvas descritas por
la intersección de dos superficies.
Cálculo avanzado para ingeniería
Semana 13
Sesión 25
EJERCICIOS EXPLICATIVOS
1. Halle la función vectorial que represente a las siguiente curva:
9𝑥 2 + 4𝑦 2 = 36
2. Halle una parametrización de la curva
𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 = 𝑅2,
𝑅>0
C: {
𝑧 = 𝑎,
0<𝑎<𝑅
3. Identifique de qué curva se trata la gráfica del rango de la siguiente función vectorial
1−𝑡 2
2𝑡
𝑓(𝑡) = (1+𝑡 2 ; 1+𝑡 2 ).
4. Un avión se mueve sobre el lado derecho y hacia arriba de la curva 𝑥 = √𝑦 2 + 9, partiendo
de (3,0) en el instante 𝑡 = 9, si la distancia de cualquier punto de la curva al origen es
proporcional a 𝑡, halle una función vectorial que describa el movimiento del avión
EJERCICIOS PROPUESTOS
1. Si dos cuerpos que se mueven en el espacio a lo largo de dos curvas diferentes, con
frecuencia es importante saber si se chocaran. (¿Un proyectil acierta en este blanco en
movimiento?, ¿dos aviones chocarán?). Las curvas pueden cruzarse, pero necesitamos
saber si los cuerpos están en la misma posición al mismo tiempo. Suponga que las
trayectorias de dos partículas están dadas por las funciones vectoriales siguientes:
f 2 (t )  (4t  3, t 2 ,5t  6)
f1 (t )  (t 2 ;7t  12; t 2 ) y
para
t  0.
¿Chocarán las
partículas?
2. Dos partículas se desplazan a lo largo de las curvas espaciales
f1 (t )  (t; t 2 ; t 3 ) y
f 2 (t )  (1  2t ;1  6t ;1  14t ). ¿Las partículas chocarán? ¿Sus trayectorias se cruzaran?
3. ¿En qué puntos la hélice
f (t )  (sent, cos t , t )
cruza a la esfera
x2  y2  z2  5
4. Dibuje manualmente la curva de intersección del cilindro parabólico
y  x 2 y la mitad
superior del elipsoide x  4 y  4 z  16. A continuación encuentre ecuaciones
paramétricas para esta curva y use estas ecuaciones y una computadora para graficar la
curva.
2
2
2
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TAREA DOMICILIARIA
1. Identifique de qué curva se trata la gráfica del rango de la siguiente función vectorial
1 − 𝑡 2 2𝑡
𝑓(𝑡) = (
;
)
1 + 𝑡2 1 + 𝑡2
2. Parametrice la siguiente curva que representa la intersección de las siguientes superficies:
𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 = 6
𝐶: { 2
𝑥 − 𝑦2 + 𝑧2 = 4
3. Parametrice la siguiente curva que representa la intersección de las siguientes superficies:
𝑦 = (𝑥 − 2)2
𝐶: {
𝑧 = (𝑥 − 2)2
4. Una partícula se mueve hacia la derecha sobre la curva 𝑦 = √𝑥 2 + 4 partiendo del punto
(0; 2 ) en el instante 𝑡 = 2. Si la distancia de cualquier punto de la curva al origen de
coordenadas es proporcional a 𝑡. Halle una función vectorial que represente la trayectoria
de la partícula.
RESPUESTAS - TAREA DOMICILIARIA
1. Circunferencia.
2. 𝑓(𝑡) = (√5 cos(𝑡) ; 1; √5𝑠𝑒𝑛(𝑡)) 𝑡 ∈ [0; 2𝜋]
3. 𝑓(𝑡) = (𝑡; (𝑡 − 2)2 ; (𝑡 − 2)2 ) 𝑡 ∈ ℝ
𝑡 2 −4
4. 𝑓(𝑡) = (√
2
;√
𝑡 2 +4
2
)
𝑡≥2
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Cálculo de la primera y segunda derivada de una
curva paramétrica. Cálculo de la longitud de arco
Cálculo avanzado para ingeniería
Semana 14
Sesión 27
EJERCICIOS EXPLICATIVOS
1. Determine la velocidad, aceleración y rapidez de una partícula con vector de
posición 𝑟(𝑡) = (𝑡 2 ; 𝑒 𝑡 ; 𝑡𝑒 𝑡 ).
2. Consideremos las curvas descritas por la ecuaciones
2
6
5+5𝑡
𝐶1 : 𝛼(𝑡) = (ln(𝑡 + 2) ; 𝑒 𝑡 + 1; 𝑡+1) y 𝐶2 : 𝛽(𝑡) = (ln(2𝑡) ; 3𝑡 2 − 1; 2 ). Hallar las
ecuaciones de las rectas tangentes en cada punto de intersección de las curvas.
3. Consideremos dos curvas, definidas por 𝐶1 : 𝐹(𝑡) = (2𝑠𝑒𝑛𝑡; 5; 2𝑐𝑜𝑠𝑡), −10 ≤ 𝑡 ≤ 10 y
𝐶2 : 𝐺(𝑡) = (√2𝑡; 𝑒 𝑡 ; 𝑒 −𝑡 ),0 ≤ 𝑡 ≤ 1, donde 𝐿1 y 𝐿2 son sus longitudes, respectivamente.
𝐿
Calcular el valor de 𝐿2.
1
4. Calcule la longitud del arco desde 𝑡 = 0 a 𝑡 = √2𝜋 de la hélice cónica expresada por
√2
𝐶: 𝐹(𝑡) = ( 2 𝑡𝑐𝑜𝑠𝑡;
√2
√2
𝑡𝑠𝑒𝑛𝑡; 2 𝑡).
2
EJERCICIOS PROPUESTOS
1. Sea 𝐹(𝑡) = (𝑒 𝑡−1 ; 𝑒 −2(𝑡−1) ; 𝑒 𝑡 ). Hallar la ecuación de la recta tangente en el punto 𝑡 =
3.
Sea 𝐹(𝑡) = (6𝑐𝑜𝑠2𝜋𝑡; 6; 6𝑠𝑒𝑛2𝜋𝑡) el vector de posición de una partícula en
movimiento, donde t es el tiempo, encontrar la velocidad, aceleración y rapidez del
𝜋
movimiento en 𝑡 = 4
3. Si el vector velocidad de una partícula en el espacio está representado por
v(t) = (sent; cost; 𝑠𝑒𝑛3 t cost). Determine el vector posición r(t) que describa el
comportamiento de la partícula si r(0) = (0; 0; 0).
2.
4. Una partícula se mueve en el plano XY, según la ecuación 𝑥 = 3𝑡 2 , 𝑦 = 2𝑡 3 encontrar la
longitud de la trayectoria desde el punto 𝑡 = 0 a 𝑡 = 3.
TAREA DOMICILIARIA
𝑡
1. Sea 𝐹(𝑡) = (𝑡𝑐𝑜𝑠𝑡; 𝑡𝑠𝑒𝑛𝑡; 2𝜋). Hallar la ecuación de la recta tangente en el punto 𝑡 = 0.
2. Una partícula que se mueve por la sola influencia de la gravedad, tiene por aceleración
𝐹’’(𝑡) = (0; 0; −𝑔) donde 𝐹(𝑡) es el vector de posición y 𝑡 representa el tiempo, si la
partícula parte desde el origen cuando 𝑡 = 0 con velocidad constante 𝑣(𝑡) = (2; 0; 1).
Hallar el vector posición 𝐹(𝑡).
3. Hallar la longitud del arco desde 𝑡 = 0 a 𝑡 = √2𝜋 de la hélice cónica expresada por 𝐶: 𝐹(𝑡) =
√2
( 2 𝑡𝑐𝑜𝑠𝑡;
√2
√2
𝑡𝑠𝑒𝑛𝑡; 2 𝑡).
2
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4. Dada la función vectorial 𝐹(𝑡) = (1 − 2𝑡; 𝑡 2 ; 2𝑒 2(𝑡−1) ). Halle la ecuación vectorial de la recta
tangente a la curva descrita por 𝐹 en el punto en que el vector 𝐹’(𝑡) es paralelo al vector
𝐹(𝑡).
RESPUESTAS - TAREA DOMICILIARIA
1
1. 𝑃 = 𝑘(−1; 0; 2𝜋) , 𝑘𝜖ℝ
𝑡2
2. 𝐹(𝑡) = (2𝑡; 0; 𝑡 − 𝑔 2 )
3. 8.6406
4. 𝐿𝑇 : (𝑥; 𝑦; 𝑧) = (−1; 1; 2) + 𝑠(−2; 2; 4); 𝑠𝜖ℝ
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CÁLCULO DE LA LONGITUD DE ARCO.
CALCULO AVANZADO PARA INGENIERÍA
Semana 14
Sesión 28
EJERCICIOS EXPLICATIVOS
1. Dada la curva en forma paramétrica con ecuaciones:
𝜋
𝑥 = −𝑡. cos(𝑡) + 𝑠𝑒𝑛(𝑡) 𝜋
𝐶: {
; ≤𝑡≤
𝑦 = 𝑡. 𝑠𝑒𝑛(𝑡) + 𝑐𝑜𝑠(𝑡) 4
2
Calcule la longitud de arco de la curva en el intervalo dado.
𝜋
2. Si un pedazo de alambre, comprendido entre los puntos 𝐴, para 𝑡 = 6 , y 𝐵 (0; 𝜋;
tiene la forma dada por:
𝛼(𝑡) = (2𝑡 cos 𝑡 ; 2𝑡 sen 𝑡 ; −𝑡 2 + 2𝑡)
Calcule la longitud del alambre comprendida entre los puntos 𝐴 y 𝐵.
𝜋(4−𝜋)
4
),
3. Una partícula se mueve en el espacio siguiendo la trayectoria de la curva definida por:
2
2
𝐶: {𝑧 = 𝑥 + 𝑦
2𝑥 + 𝑧 = 3
Si la partícula inicia su recorrido desde el punto 𝐴(1; 0; 1) hasta el punto 𝐵 (en donde la
partícula intersecta al plano 𝑦 = 2) si las unidades están dadas en metros, calcule la
distancia total recorrida por la partícula desde el punto 𝐴 hasta el punto 𝐵
EJERCICIOS PROPUESTOS
1. Dada la curva en forma paramétrica con ecuaciones:
𝑥 = 𝑒 𝑡 𝑠𝑒𝑛(𝑡)
𝐶: {
; 1 ≤ 𝑡 ≤4
𝑦 = 𝑒 𝑡 𝑐𝑜𝑠(𝑡)
Calcule la longitud de arco de la curva en el intervalo dado.
2. Dada la curva en forma paramétrica con ecuaciones:
𝑥 = √11𝑐𝑜𝑠 3 (𝑡)
𝐶: {
; 0 ≤ 𝑡 ≤ 2𝜋
𝑦 = √11𝑠𝑒𝑛3 (𝑡)
Calcule la longitud de arco de la curva en el intervalo dado.
3. Para las siguientes curvas cuyas ecuaciones paramétricas se presentan, determine la longitud
de arco de la curva en el intervalo dado.
𝑥 = 𝑒 𝑡 cos(𝑡)
a. 𝐶: {𝑦 = 𝑒 𝑡 sen(𝑡); 0 ≤ 𝑡 ≤ ln(2)
𝑧 = 𝑒𝑡
1
𝑡 cos(𝑚)
𝑡 sen(𝑚)
𝜋
b. 𝛼(𝑡) = (∫2 𝑚 𝑑𝑚; ∫2 𝑚 𝑑𝑚; −𝑡 2 ), si 𝑡 ∈ [2; 2 ]
√
√
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EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS
1. Una partícula se mueve en el espacio de modo que en cualquier instante 𝑡 su posición está
dada por 𝛼(𝑡) = (2𝑡 cos 𝑡 ; 2𝑡 sen 𝑡 ; −𝑡 2 + 2𝑡). Si la partícula intersecta al plano 𝑋𝑌 en el
instante 𝑡 = 0, calcule la distancia total recorrida por la partícula desde 𝑡 = 0 hasta el
instante 𝑡1 en el que la partícula intersecta nuevamente al plano 𝑋𝑌. Considere las unidades
en metros.
2. Una partícula se mueve en el espacio siguiendo la trayectoria de la curva:
2𝑥 2 + 𝑦 2 = 4𝑥
𝐶: { 2 𝑦 2
𝑥 +
=𝑧
2
Calcule la distancia total recorrida por la partícula desde 𝑡 = 0 hasta el instante en el que la
partícula intersecta al plano 𝑥 = 1. Considere las unidades en centímetros.
3. Un alambre, esta dada por medio de la intersección de las superficies de ecuaciones 𝑥 2 +
𝑦 2 = 16 − 𝑧 2 y 𝑥 2 + 𝑦 2 = 4𝑥, entre los puntos (3; √3; 2) y (2; 2; 2√2). Calcule la longitud
total de dicho alambre.
4. Un cable se representa mediante la intersección de las superficies de ecuaciones 3𝑥 2 +
4𝑦 2 = 1 y 𝑧 = 𝑥 2 . Determine la longitud total del cable
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Integrales de línea sobre campos escalares.
Aplicaciones
Cálculo avanzado para ingeniería
Semana 15
Sesión 29
EJERCICIOS EXPLICATIVOS
1. Evalúe ∫𝐶 (𝑥 + 2) 𝑑𝑠, donde 𝐶 es la curva representada por:
4 3 𝑡2
𝛼(𝑡) = (𝑡; 3 𝑡 2 ; 2 ), 0 ≤ 𝑡 ≤ 2
2. Un alambre tiene forma de una circunferencia 𝑥 2 + 𝑦 2 = 𝑎2 , 𝑎 > 0.
Si la densidad en un punto (𝑥; 𝑦) del alambre está dada por la función: 𝑓(𝑥; 𝑦) = |𝑥| + |𝑦|.
a. Exprese la integral que permita calcular la masa del alambre.
b. Calcule la masa del alambre.
3. Una cerca de un jardín tiene una altura variable y viene dada por 𝑔(𝑥; 𝑦) = 𝑥𝑦, si la base
de la cerca viene dada por la trayectoria descrita por la circunferencia 𝑥 2 + 𝑦 2 = 25, en el
primer y segundo cuadrante.
Modele la integral que permita calcular el área de la cerca.
Janet una alumna del curso de múltiples variables desea pintar la cerca por ambos lados,
un pintor le cobra cada metro cuadrado 10 soles ¿Cuánto tendrá que pagar Janet al pintor?
4. Un motor de tractor tiene una pieza de acero con una base circular representada por una
función vectorial 𝑟(𝑡) = 3𝑐𝑜𝑠𝑡𝒊 + 3𝑠𝑒𝑛𝑡𝒋. Su altura está dada por 𝑧 = 1 + 𝑦 2 (Todas las
medidas en centímetros). Calcule el área de la superficie lateral de la pieza.
EJERCICIOS PROPUESTOS
1. La altura de un edificio está dada por 𝑧 = 20 + 𝑥, y una de las paredes sigue una
2
3
trayectoria representada por: 𝑦 = 3 𝑥 2 . (Todas las medidas se dan en pies)
a. Exprese la integral de línea que permita calcular el área de la superficie de la pared
si
0 ≤ 𝑥 ≤ 15.
b. Calcular el área de la superficie de la pared.
2. Miguel piensa pintar una cerca de un parque por ambos lados. La cerca tiene como base
2
2
2
la curva 𝐶: 𝑥 3 + 𝑦 3 = (40)3 (𝑥 ≥ 0, 𝑦 ≥ 0) y la altura para cada punto (𝑥; 𝑦) ∈ 𝐶 está
𝑦
dada por la función 𝑓(𝑥; 𝑦) = 4 + 2.
a. Exprese la integral que permita calcular el área de la ceca del parque.
b. Si le proporcionan la pintura y le van a pagar S/.100 por pintar 20𝑚2, ¿Cuál es su
ganancia?
3. Calcule: ∫𝐶 𝑥𝑦 2 𝑧𝑑𝑠, donde 𝐶 es la curva intersección se las superficies 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 =
16 y 𝑥 2 + 𝑦 2 = 4, en el primer octante.
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4. Calcular la siguiente integral de línea
∫(𝑥 + 𝑦)𝑑𝑠
𝐶
siendo 𝐶 el lazo derecho de la lemniscata 𝑟 2 = 𝑎2 cos⁡(2𝜃)
TAREA DOMICILIARIA
1. Calcular el área de la superficie lateral del cilindro parabólico 𝑦 =
planos 𝑧 = 0, 𝑧 = 𝑥, 𝑦 = 6
3𝑥 2
8
limitado por los
2. Evalúe la siguiente integral de línea
∫(𝑥 + 𝑦 + 𝑧)𝑑𝑠⁡
𝐶
donde la curva 𝐶 está definida por 𝑔(𝑡) = (sen(𝑡); cos⁡(𝑡); 𝑡), 𝑡 ∈ [0; 2𝜋]
3. Evalúe
∫(𝑥 + 𝑦 + 𝑧)⁡𝑑𝑠⁡
𝐶
donde la curva 𝐶 está definida por 𝑓: [1; 3] → ℝ3 /⁡⁡𝑓(𝑡) = (𝑡; 3𝑡; 2𝑡)
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4. Evalúe la integral de línea
∫ 𝑥𝑦𝑧⁡𝑑𝑠⁡
𝐶
donde la curva 𝐶 está definida por ℎ: [1; 3] → ℝ3 /⁡⁡ℎ(𝑡) = (e𝑡 ⁡; e−𝑡 ; e2𝑡 )
5. Calcular la masa de un alambre que tiene la forma de la curva intersección de las
superficies 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 = 1 , ⁡𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 0, si la función de densidad lineal es
𝜌(𝑥; 𝑦; 𝑧) = 𝑥 2 .
RESPUESTAS - TAREA DOMICILIARIA
1.
2.
3.
4.
5.
16
(10√10 − 1)
2𝜋 2
24√14
(e3 − 1)/3
2𝜋/3
27
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Integrales de línea sobre campos vectoriales.
Aplicaciones
Cálculo avanzado para ingeniería
Semana 15
Sesión 30
EJERCICIOS EXPLICATIVOS
1. Calcule la integral de línea del campo vectorial dado:
𝐹(𝑥; 𝑦; 𝑧) = (𝑦 − 𝑥 2 ; 𝑧 − 𝑦 2 ; 𝑥 − 𝑧 2 )a lo largo de la curva definida por la función vectorial
𝛼(𝑡) = (𝑡; 𝑡 2 ; 𝑡 3 ), donde 0 ≤ 𝑡 ≤ 1, desde (0;0;0) hasta (1;1,1).
2. Calcular la integral ∫𝐶 [(𝑥𝑦 + 𝑥 + 𝑦)]𝑑𝑥 + (𝑥𝑦 + 𝑥 − 𝑦)𝑑𝑦 donde 𝐶 es la curva de:
𝑥2
𝑦2
a. La elipse: 𝑎2 + 𝑏2 = 1.
b. La circunferencia: 𝑥 2 + 𝑦 2 = 𝑎𝑥.
3.
Dada la integral de línea
∫ (6𝑥𝑦 2 − 𝑦 3 )𝑑𝑥 + (6𝑥 2 𝑦 − 3𝑥𝑦 2 )𝑑𝑦
𝐶
Sea la curva el camino que une los puntos 𝐴(1; 2) con 𝐵(3; 4)
a. Compruebe que la integral es independiente del camino que une los puntos 𝐴 con 𝐵.
b. Calcule el valor de la integral utilizando la función potencial del integrando.
c. Calcule el valor de la integral parametrizando el segmento.
4. Calcule el trabajo que realiza el campo de fuerzas
definida por la funcion vectorial 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (8𝑥𝑦 3 𝑧, 12𝑥 2 𝑦 2 𝑧, 4𝑥 2 𝑦 3 ) para mover una
𝜋
partícula desde el punto A(2;0;0) hasta el punto 𝐵 (1, √3, 3 ) a lo largo de la hélice circular
𝛼(𝑡) = (2𝑐𝑜𝑠𝑡, 2𝑠𝑒𝑛𝑡, 𝑡).
EJERCICIOS PROPUESTOS
1. Determine la masa y la coordenada 𝑧̅ del centro de masa de un alambre en forma de hélice
descrita por la curva
𝛼(𝑡) = ( 𝐶𝑜𝑠𝑡; 𝑆𝑒𝑛𝑡 ; 𝑡 )
entre 𝑡 = 0 y 𝑡 = 2𝜋, si la densidad es
𝜌(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2
2. Halle el trabajo realizado por el campo de fuerza 𝐹(𝑥; 𝑦) = (𝑦 2 ; 𝑥) al mover la partícula
desde (0;0) hasta (2;0) a lo largo de la curva C descrita por el conjunto
𝑆 = {(𝑥; 𝑦) ∈ ℝ3 / 𝑦 = 1 − |1 − 𝑥|}
3. Calcule ∫𝐶 (`𝑥 + 𝑧, −𝑦 − 𝑧, 𝑥 − 𝑦) ∙ 𝑑𝑟 siendo C la curva de intersección entre la esfera
𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 = 16 y el cilindro 𝑥 2 + 𝑦 2 = 4𝑥
@ 2016 Todos los derechos reservados. Prohibida su reproducción total o parcial.
4. Calcule ∫𝐶 𝐹(`𝑥, 𝑦) ∙ 𝑑𝑟 siendo 𝐹(𝑥, 𝑦) = (𝑒 𝑦 + 𝑦𝑒 𝑥 , 𝑥𝑒 𝑦 +𝑒 𝑥 ) y C es el segmento de recta
que va de (3,0) a (-3,0) sobre el eje X.
TAREA DOMICILIARIA
1. Determine la masa y el centro de masa del alambre en forma de hélice que recorre la
curva ∝ (𝑡) = (𝑐𝑜𝑠𝑡, 𝑠𝑒𝑛𝑡, 𝑡), 0 ≤ 𝑡 ≤ 2𝜋; si la densidad es 𝜌(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑧. Encuentre el
momento de inercia con respecto al eje Z.
2. Calcule el trabajo que realiza el campo de fuerzas 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (8𝑥𝑦 3 𝑧, 12𝑥 2 𝑦 2 𝑧, 4𝑥 2 𝑦 3 )
𝜋
para mover una partícula desde el punto A(2;0;0) hasta el punto 𝐵 (1, √3, 3 ) a lo largo de la
hélice circular ∝ (𝑡) = (2𝑐𝑜𝑠𝑡, 2𝑠𝑒𝑛𝑡, 𝑡).
3. Halle el trabajo que realiza el campo de fuerzas 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝑦𝑥, 𝑥𝑧, 𝑥(𝑦 + 1)) para mover
una partícula sobre el contorno del triángulo de vértices A(0,0,0), B{2,2,-2) y C(2,2,2),
recorrida una vez y en ese orden.
4. Calcule ∫𝐶 (`𝑥 + 𝑦, 𝑥 − 𝑦) ∙ 𝑑𝑟 a lo largo de los segmentos ̅̅̅̅
𝑂𝐴 y ̅̅̅̅
𝐴𝐵 , donde 0(0,0), A(2,0) y
B(2,1).
5. Calcule ∫𝐶 (𝑦, 𝑥 2 + 𝑦 2 ) ∙ 𝑑𝑟, donde C es el arco de la circunferencia 𝑦 = √4 − 𝑥 2 de (-2,0) a
(2,0).
RESPUESTAS - TAREA DOMICILIARIA
1 4𝜋
1. 2√2𝜋 2 , (0, − 𝜋 ,
3
) , 2√2𝜋 2
2. 4√5𝜋
3. 5
4. 7/2
5. 8 + 𝜋
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Teorema de Green.
Integrales de superficie de campos vectoriales
y escalares
Calculo Avanzado para Ingeniería
Semana 16
Sesión 31
EJERCICIOS EXPLICATIVOS
1. Aplique el teorema de Green y calcule la siguiente integral
𝑥
𝑦
∮ [( 2
)
𝑑𝑥
−
(
) 𝑑𝑦]
𝑥 + 𝑦2
𝑥2 + 𝑦2
𝐶
Donde 𝐶 es la curva cerrada y orientada positivamente descrita de la manera siguiente: el
segmento de recta 𝑦 = 0 entre 𝑥 = 1 y 𝑥 = 2, el arco 𝑦 = √4 − 𝑥 2 en el primer
cuadrante, el segmento 𝑥 = 0 entre 𝑦 = 2 y 𝑦 = 1, el arco 𝑦 = √1 − 𝑥 2 en el primer
cuadrante.
2. Sea la curva 𝐶 mostrada en la figura de la izquierda, construida con semicircunferencias
cuyos diámetros están contenidos en los lados del cuadrado del vértices (2; 2), (−2; 2),
(−2; −2) y (2; −2)
Calcule la integral de línea:
∫ (4𝑦 + 2𝑦 2 )𝑑𝑥 + (4𝑥𝑦)𝑑𝑦
𝐶
3. La figura muestra una placa construida con un material
homogéneo de densidad 2,35 gramos por centímetro
cuadrado. En un plano cartesiano cuyas unidades están
en centímetros, los bordes de la placa están
representados por la circunferencia 𝑥 2 + 𝑦 2 = 36 y por
la
curva
interior
dada
por:
𝛼(𝑡) =
(4 sen(2𝑡) ; 2 sen(2𝑡) cos 𝑡)), con 𝑡 ∈ [0; 𝜋] Determine
la masa total de la placa.
EJERCICIOS PROPUESTOS
1. Calcule la siguiente integral:
∬ 𝑦 𝑑𝑆
𝑆
Donde S es la superficie que se describe a continuación:
𝑧 = 𝑥 + 𝑦 2 , 0 ≤ 𝑥 ≤ 2; 0 ≤ 𝑦 ≤ 4
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2. En un taller de pintura, el costo por metro cuadrado de pintado es de 16 soles. Se desea
pintar una lata cilíndrica cuyas unidades son consideradas en metros y está dada por la
superficie 𝑆: 𝑥 2 + 𝑧 2 = 4 cortada por los planos 𝑥 + 4𝑦 = 22 + 𝑧; 𝑥 + 2𝑦 = −2𝑧.
Aplique la integral de superficie para calcular el costo total por pintar exteriormente la
lata.
3. Dado el campo vectorial 𝐹(𝑥; 𝑦; 𝑧) = (0; 0; 𝑧 + 2) sobre el plano 𝑧 − 𝑦 = 2en el interior
del cilindro 𝑥 2 + 𝑦 2 = 1, considere la normal orientada hacia arriba. Calcule
∬ 𝐹. 𝑛⃗ 𝑑𝑆
𝑆
EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS
1.
Considere el campo de fuerza 𝐹(𝑥; 𝑦) = (𝑦 2 − 𝑥)𝐢 +
(2𝑥 − 𝑦)𝐣. Calcule el trabajo realizado por el campo de
fuerza 𝐹 para llevar una partícula, una vez en sentido
contrario a las manecillas del reloj, alrededor de la curva
cerrada mostrada en la figura adjunta.
2. Sea el campo vectorial
(−𝑦 𝒊 + 𝑥 𝒋)
𝑥2 + 𝑦2
2
a. Calcular su integral de línea sobre el círculo x + y2 = 1
𝑭(𝑥; 𝑦) = (𝑃; 𝑄) =
b. Calcular
 Q
P 
  x  y dA , donde D es la región encerrada por la curva del ítem a).
D
c. Discutir si estos resultados están de acuerdo o no con el Teorema de Green.
3. Sea 𝑓: ℝ2 → ℝ una función con derivadas
parciales de orden dos continuas en todo el
plano ℝ2 y que satisface la siguiente ecuación
diferencial
3𝑦 2 ,
𝜕2 𝑓
𝜕𝑥 2
𝜕2 𝑓
− 𝜕𝑦 2 = 3𝑥 2 +
∀ (𝑥; 𝑦) ∈ ℝ2 , calcule el trabajo que
𝜕𝑓 𝜕𝑓
realiza el campo de fuerza 𝐹(𝑥; 𝑦) = (𝜕𝑥 ; 𝜕𝑦)
para llevar una partícula a lo lago de la curva 𝐶,
formada por dos semicircunferencias y dos
segmentos de recta en sentido antihorario, tal
como se muestra en la figura adjunta.
4. Calcule
∬(𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 ) 𝑑𝑆
𝑆
Donde S es el hemisferio superior de la esfera 𝑥 2 + 𝑦 2 + (𝑧 − 1)2 = 1
@ 2016 Todos los derechos reservados. Prohibida su reproducción total o parcial.
5. Sea 𝑆 la porción de la superficie cónica de ecuación 𝑧 = √𝑥 2 + 𝑦 2 con 𝑦 ≥ 0 y limitada
por el plano de ecuación 𝑧 = 3. Calcule el flujo saliente del campo vectorial definido por:
𝐹(𝑥; 𝑦; 𝑧) = (𝑦; 𝑥; 𝑧 2 )
A través de 𝑆.
6. Calcule:
∬ 𝐹. 𝑛⃗ 𝑑𝑆
𝑆
Donde 𝑛⃗ denota la normal exterior a la superficie S, que es la superficie del solido generado
por el corte del cono 𝑧 ≥ √𝑥 2 + 𝑦 2 y la esfera 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 ≤ 1, además el campo
vectorial está definido por:
2
𝐹(𝑥; 𝑦; 𝑧) = (2𝑥 2 + cos(𝑦𝑧); 3𝑦 2 𝑧 2 + cos(𝑥 2 + 𝑧 2 ); 𝑒 𝑦 − 2𝑦𝑧 3 )
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Teorema de divergencia de Gauss.
Calculo Avanzado para Ingeniería
Semana 17
Sesión 33
EJERCICIOS EXPLICATIVOS
1. Evalúe la integral
 F  dS
si F  e x sen yi  e x cos yj  yz 2 k
S
y S es la superficie de la caja delimitada por los planos 𝑥 = 0, 𝑦 = 0, 𝑧 = 0 y 𝑧 = 4.
2. Evalúe la integral
 F  dS
si F  x 3 y i  x 2 y 2 j  x 2 yz k y S es la superficie del sólido
S
delimitado por el hiperboloide x 2  y 2  z 2  1 y los planos z  2 y z  2
3. Determine  F  dr donde 𝑭(𝑥; 𝑦 ; 𝑧) = ( y 2 ; x; z 2 ) y C es la curva de intersección del
C
plano 3𝒚 + 2𝒛 = 6 con el cilindro x 2  y 2  1 .
EJERCICIOS PROPUESTOS
1. Determine
 rot(F)  dS ,
donde F( x; y; z )  ( xz; yz; xy) y S es la parte de la esfera
S
x 2  y 2  z 2  9 que está situada en el interior del cilindro x 2  y 2  4 y encima del plano
𝑋𝑌, orientada en sentido antihorario vista desde arriba.
2. Determine el flujo del campo vectorial F ( x; y; z )  ( z; y; x) sobre la esfera unitaria.
3. Determine el flujo del campo vectorial F ( x; y; z )  ( x 3 y; x 2 y 2 ; x 2 yz) sobre la superficie
S determinada por superficie x 2  y 2  z 2  1 y los planos z=-2 y z=2.
4. Determine la
 F  dS ,
siendo el campo vectorial F ( x; y; z )  ( xy; y 2  e xz ; sen( xy ))
2
S
Y la superficie S es la limitada por z  1  x 2 y los planos 𝒛 = 0 ; 𝒚 = 0 y 𝑦 + 𝑧 = 2.
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EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS
1. Determine el flujo del campo vectorial F ( x; y; z )  ( z; y; x) sobre la esfera unitaria.
2. Determine el flujo del campo vectorial F ( x; y; z )  ( z  3; y  2; x  1) sobre la esfera unitaria.
3. Determine el flujo del campo vectorial F ( x; y; z )  ( x 3 y; x 2 y 2 ; x 2 yz) sobre la superficie S
determinada por superficie x 2  y 2  z 2  1 y los planos z=-3 y z=3.
4. Determine la
 F  dS ,
siendo el campo vectorial F ( x; y; z )  ( xy; y 2  e xz ; sen( xy ))
2
S
y la superficie S es la limitada por z  1  x 2 y los planos 𝒛 = 0 ; 𝒚 = 0 y 𝑦 + 𝑧 = 4.
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Teorema de Stokes
Calculo Avanzado para Ingeniería
Semana 17
Sesión 34
EJERCICIOS EXPLICATIVOS
1. Mediante el teorema de Stokes determine  F  dr , cuando F( x; y; z )  ( yz; 2 xz; e xy ) y
C
C es el círculo intersección de las superficies x2  y2  16 y z  5 .
2. Mediante
el
teorema
de
Stokes
 F  dr ,
determine
C
F( x; y; z )  ( x  y 2 ; y  z 2 ; z  x 2 ) y 𝐶 es el triángulo cuyos vértices son
𝐵(0; 1; 0) y 𝐶(0; 0; 1).
3. Considere el campo vectorial
cuando
𝐴(1; 0; 0) ,
𝑧
2
𝐹(𝑥; 𝑦; 𝑧) = (𝑦, 𝑥, 𝑥 𝑧) ; ∀(𝑥; 𝑦; 𝑧)
∈ ℝ3
y la curva 𝐶 = 𝐶1 ∪ 𝐶2 ∪ 𝐶3
mostrada en la figura, donde
𝐶1 : Intersección de las superficies:
𝑧 = sen(𝑥𝑦) ; 𝑦 = 𝑥
𝐶2 :
Intersección
de
las
𝜋
superficies:𝑧 = sen(𝑥𝑦) ; 𝑥 = 2
𝐶3 : Segmento desde el punto
𝜋
( ; 0; 0) hasta (0; 0; 0).
2
𝐶1
𝑦
𝐶2
𝐶3
𝑥
Calcule la integral de línea
∫ 𝐹 ⋅ 𝑑𝛼
𝐶
EJERCICIOS PROPUESTOS
⃗⃗ y la
1. Verificar el teorema de Stokes para el campo vectorial 𝑭(𝑥; 𝑦; 𝑧) = 3𝑦𝒊⃗ + 4𝑧𝒋⃗ − 6𝑥𝒌
2
2
parte de la superficie del paraboloide definido por: 𝑧 = 9 − 𝑥 − 𝑦 ubicada sobre el
plano 𝑥𝑦 y orientada hacia arriba.
2. Utilice el teorema de Stokes para evaluar la integral del rotacional del campo vectorial
⃗⃗ sobre el dominio 𝑆 consistente en la unión de la parte
𝑭(𝑥; 𝑦; 𝑧) = 𝑥𝑦𝑧𝒊⃗ + 𝑥𝑦𝒋⃗ + 𝑥 2 𝑦𝑧𝒌
superior y de las cuatro caras laterales (pero no el fondo) del cubo con vértices (1; 1; 1),
orientado hacia afuera.
3. Al calcular la integral de superficie ∬𝑆 𝑟𝑜𝑡(𝐹). 𝑁𝑑𝑆, donde la superficie 𝑆 es representada
1
por la ecuación 2𝑥 2 + 3 𝑦 2 + 3𝑧 2 = 1, 𝑁 es la normal exterior al solido limitado por 𝑆 y 𝐹
el campo vectorial dado por:
𝐹(𝑥; 𝑦; 𝑧) = (2𝑥 2 𝑦; cos(𝑥𝑦𝑧) − 𝑥 2 ; 𝑧 3 )
Se obtiene cero. ¿Se ha usado el teorema de Stokes o el teorema de divergencia de Gauss?
Justifique su respuesta.
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4. Determine
 rot(F)  dS ,
donde F( x; y; z )  ( xz; yz; xy) y S es la parte de la esfera
S
x 2  y 2  z 2  9 que está situada en el interior del cilindro x 2  y 2  4 y encima del plano
𝑋𝑌, orientada en sentido antihorario vista desde arriba.
EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS
1. Suponiendo que 𝑺 y 𝑄 cumple las condiciones del teorema de la divergencia y que las
funciones escalares y las componentes de los campos vectoriales tienen derivadas parciales
continuas de segundo orden. Demuestre
1
a. V (Q )   F  dS , donde 𝑭(𝑥; 𝑦; 𝑧) = (𝑥; 𝑦 ; 𝑧)
3 S
b.
 rotF  dS  0
S
2. Dado el siguiente campo de fuerzas
𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (−𝑦 2 ; 𝑧; 𝑥)
Exprese una integral doble iterada que permita calcular el trabajo realizado por el campo de
fuerzas 𝐹 sobre una partícula que se mueve una sola vez alrededor de la frontera de la parte
del plano 2 𝑥 + 2 𝑦 + 𝑧 = 6 en el primer octante, recorrido en sentido contrario al de las
manecillas del reloj cuando se ve desde arriba
3. Determine
 rot(F)  dS ,
donde F( x; y; z )  ( xz; yz; xy) y S es la parte de la esfera
S
x 2  y 2  z 2  25 que está situada en el interior del cilindro x 2  y 2  16 y encima del
plano 𝑋𝑌, orientada en sentido antihorario vista desde arriba.
4. Sea el campo vectorial
𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝑧; 𝑥; −3𝑦 2 𝑧),
∀(𝑥; 𝑦; 𝑧) ∈ ℝ3
2
2
Además la superficie 𝑆 de ecuación 𝑧 = 𝑥 − 𝑦 y la curva cerrada 𝐶 = 𝐶1 ∪ 𝐶2 ∪ 𝐶3,
donde se cumple lo siguiente:
𝐶1: Intersección de la superficie 𝑆 con el plano 𝑥 = 1.
𝐶2: Intersección de la superficie 𝑆 con el plano 𝑥 = 3.
𝐶3: Intersección de la superficie 𝑆 con el plano 𝑧 = 0.
Calcule la integral de línea
∫ 𝐹𝑑𝛼
𝐶
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