Introducción a Topología - Propiedades del Valor Absoluto

Índice
1. Denición de Valor Absoluto:
1
2. Propiedades del Valor Absoluto
1
3. Demostración de las propiedades del Valor Absoluto
2
4. Ejercicios
7
5. Otras propiedades
15
1. Denición de Valor Absoluto:

 x ∧ x≥0
∨
|x| =

−x ∧ x < 0
2. Propiedades del Valor Absoluto
(1)
∀x ∈ R : |x| ≥ 0
(2)
(3)
∀x ∈ R : |x|2 = x2
√
∀x ∈ R : |x| = x2
(4)
∀x ∈ R : −|x| ≤ x ≤ |x|
(5)
∀a ∈ R, ∀b ∈ R : |a.b| = |a|.|b|
(6)
∀a ∈ R, ∀b ∈ R, b 6= 0 :
(7)
∀x ∈ R : |x| = | − x|
(8)
∀x ∈ R, ∀n ∈ N : |xn | = |x|n
(9)
∀k ∈ R, k > 0, ∀x ∈ R : |x| ≤ k ⇔ −k ≤ x ≤ k
(10)
∀k ∈ R, k > 0, ∀x ∈ R − {0} : |x| ≥ k ⇔ x ≥ k ∨ x ≤ −k
(11)
∀a ∈ R, ∀b ∈ R : |a + b| ≤ |a| + |b|
(12)
∀a ∈ R, ∀b ∈ R : |a − b| ≥ |a| − |b|
(13)
∀a ∈ R, ∀b ∈ R : |a − b| ≤ |a| + |b|
(14)
∀a ∈ R, ∀b ∈ R : |a| − |b| ≤ |a − b|
a
|a|
=
b
|b|
1
3. Demostración de las propiedades del Valor Absoluto
(1) ∀x ∈ R : |x| ≥ 0
Demostración

x = 0 ∧ |x| = x ⇒ |x| = 0




 ∨
x > 0 ∧ |x| = x ⇒ |x| > 0
|x| =


∨



x < 0 ∧ |x| = −x ⇒ −x > 0 ∧ |x| = −x ⇒ |x| > 0
(2) ∀x ∈ R : |x|2 = x2
Demostración

x = 0 ∧ |x| = x ⇒ |x|2 = x2




 ∨
x > 0 ∧ |x| = x ⇒ |x|2 = |x|.|x| = x.x = x2


∨



x < 0 ∧ |x| = −x ⇒ |x|2 = |x|.|x| = (−x).(−x) = x2
(3) ∀x ∈ R : |x| =
√
x2
Demostración
|x|2 = x2 ⇒
| {z }
√
x2 =
p
|x|2 = |x|
Propiedad 2
En el último paso consideramos que la raíz cuadrada de un número nos
devuelve siempre un número positivo, por lo cuál la cancelación del cuadrado
con la raíz es válida.
(4) ∀x ∈ R : −|x| ≤ x ≤ |x|
2
Demostración

x = 0 ∧ |x| = x = 0 ∧ −|x| = 0 ⇒ −|x| = x = |x|




∨



x > 0 ∧ |x| = x ⇒ −|x| = −x ≤ x ≤ x = |x| ⇒ −|x| ≤ x ≤ |x|
∨





x < 0 ∧ |x| = −x ⇒ −x > 0 ∧ |x| = −x ∧ −|x| = x ∧ −x > x ⇒


−|x| = x ≤ x < −x = |x|
⇒ −|x| ≤ x ≤ |x|
(5) ∀a ∈ R, ∀b ∈ R : |a.b| = |a|.|b|
Demostración













































a > 0 ∧ b > 0 ∧ |a| = a ∧ |b| = b
⇒ a.b > 0 ∧ |a.b| = a.b ∧ a.b = |a|.|b| ⇒ |a.b| = |a|.|b|
∨
a = 0 ∧ |a| = 0 ⇒ |a|.|b| = |0|.|b| = 0.|b| = 0 = 0.b = |0.b| = |a.b| ∀b ∈ R
⇒ |a|.|b| = |a.b| ∀b ∈ R
Análogo para b = 0 ∀a ∈ R
∨
a > 0 ∧ b < 0 ∧ |a| = a ∧ |b| = −b ⇒ a.b < 0 ∧ |a.b| = −a.b ∧ |a|.|b| = a.(−b)
⇒ |a.b| = −a.b = a.(−b) = |a|.|b| ⇒ |a.b| = |a|.|b|
Análogo para a < 0 ∧ b > 0
∨
a < 0 ∧ b < 0 ∧ |a| = −a ∧ |b| = −b ⇒ a.b > 0 ∧ |a.b| = a.b ∧ |a|.|b| = (−a).(−b)
⇒ |a.b| = a.b = (−a).(−b) = |a|.|b| ⇒ |a.b| = |a|.|b|
=⇒ |a.b| = |a|.|b|
(6) ∀a ∈ R, ∀b ∈ R, b 6= 0 :
|a|
a
=
b
|b|
Demostración
z=
a
a
∧ b 6= 0
∧ b 6= 0 ⇒ a = b.z ∧ |a| = |b.z| ∧ |z| =
b
b
|a| = |b.z| = |b|.|z| = |b|.
a
∧b 6= 0
b
⇒
|{z}
por transitividad
3
|a| = |b|.
a
|a|
a
∧b 6= 0 ⇒
=
b
|b|
b
(7) ∀x ∈ R : |x| = | − x|
Demostración
| − x| = |(−1).x| = | − 1|.|x| = 1.|x| = |x|
⇒ |a| = | − a|
(8) ∀x ∈ R, ∀n ∈ N : |xn | = |x|n
Demostración
Por principio de inducción completa:
P (1) :
|x1 | = |x| = |x|1 P (1) es
Hipótesis inductiva
Tesis inductiva
verdadera
: |xh | = |x|h
: |xh+1 | = |x|h+1
Desarrollo:
|xh+1 | = |xh .x1 | = |xh |.|x| |{z}
= |x|h .|x| = |x|h+1
H.I.
(9) ∀k ∈ R, k > 0, ∀x ∈ R : |x| ≤ k ⇔ −k ≤ x ≤ k
Demostración

k > 0 ∧ x > 0 ∧ |x| = x ∧ |x| ≤ k ⇒ x ≤ k




 ∨
k > 0 ∧ x = 0 ∧ |x| = x = 0 ∧ |x| ≤ k ⇒ 0 = |x| = x ≤ k
⇒)


 ∨


k > 0 ∧ x < 0 ∧ |x| = −x ∧ |x| ≤ k ⇒ −x ≤ k ⇒ x ≥ k

 k > 0 ∧ −k ≤ x ≤ k ∧ x ≥ 0 ∧ |x| = x ⇒ −k ≤ |x| ≤ k
∨
⇐)

k > 0 ∧ −k ≤ x ≤ k ∧ x < 0 ∧ |x| = −x ⇒ −k ≤ −|x| ≤ k ⇒ −k ≤ |x| ≤ k
(10) ∀k ∈ R, k > 0, ∀x ∈ R − {0} : |x| ≥ k ⇔ x ≥ k ∨ x ≤ −k
4
Demostración
∀k ∈ R, k > 0, ∀x ∈ R − {0} : |x| ≥ k ⇒ x ≥ k ∨ x ≤ −k

 x > 0 ∧ |x| = x ∧ |x| ≥ k ⇒ x ≥ k
∨
⇒)

x < 0 ∧ |x| = −x ∧ |x| ≥ k ⇒ −x ≥ k ⇒ x ≤ −k
∀k ∈ R, k > 0, ∀x ∈ R − {0} : x ≥ k ∨ x ≤ −k ⇒ |x| ≥ k


x ≥ k ⇒ |x| ≥ k








 ∨




x ≤ −k ⇒ Falso
x > 0 ∧ |x| = x ∧ k > 0 ∧






x es positivo y − k es negativo,




por lo que la comparación es falsa.
⇐)


∨






 x ≥ k Falso, x es negativo y k es positivo




∨
x < 0 ∧ |x| = −x ∧ k > 0 ∧



x ≤ −k∧ ⇒ −x ≥ k ⇒ |x| ≥ k
(11) ∀a ∈ R, ∀b ∈ R : |a + b| ≤ |a| + |b|
Demostración
a ≤ |a|
−|a| ≤ a
∧
+
+
b ≤ |b|
a + b ≤ |a| + |b|
−|b| ≤ b
−(|a| + |b|) ≤ a + b
Por propiedad transitiva resulta
−(|a| + |b|) ≤ a + b ≤ |a| + |b|
⇓ Por propiedad 9
|a + b| ≤ |a| + |b|
(12) ∀a ∈ R, ∀b ∈ R : |a − b| ≥ |a| − |b|
Demostración
|a| = |a − b + b| ≤ |a − b| + |b|
5
⇓
|a − b| + |b| ≥ |a|
⇓
|a − b| + |b| − |b| ≥ |a| − |b|
⇓
|a − b| ≥ |a| − |b|
(13) ∀a ∈ R, ∀b ∈ R : |a − b| ≤ |a| + |b|
Demostración
|a − b| = |a + (−b)| ≤ |a| + | − b| = |a| + |b|
⇓
|a − b| ≤ |a| + |b|
(14) ∀a ∈ R, ∀b ∈ R : |a| − |b| ≤ |a − b|
Demostración
Auxiliar:
|b − a| = | − (a − b)| = |a − b|

 |a| = |a − b + b| ≤ |a − b| + |b| (1)
∧

|b| = |b − a + a| ≤ |b − a| + |a| = |a − b| + |a|
⇒
de (1)
de (2)
(2)
|a| − |b| ≤ |a − b|
|b| − |a| ≤ |a − b| ⇒ −|a − b| ≤ |a| − |b|
⇒ −|a − b| ≤ |a| − |b| ≤ |a − b| ⇒ |a| − |b| ≤ |a − b|
6
4. Ejercicios
a) |x| ≤ 3
Resolución:
⇒ −3 ≤ x ≤ 3
⇒ S = [−3; 3]
b) |x| > 5
Resolución:
⇒ x > 5 ∨ x < −5
⇒ S = (−∞; −5) ∪ (5; +∞)
c) |x − 1| <
1
2
Resolución:
1
1
1
1
1
3
⇒ − < x − 1 < ⇒ − + 1 < (x − 1) + 1 < + 1 ⇒
<x<
2
2
2
2
2
2
1 3
⇒S=
;
2 2
d) |2 − 3x| ≥ 3
Resolución:
⇒ 2 − 3x ≤ −3 ∨ 2 − 3x ≥ 3 ⇒ 2 + 3 ≤ 3x ∨ 2 − 3 ≥ 3x ⇒ x ≥
1
5
⇒ S = −∞; −
∪
; +∞
3
3
7
5
1
∨x ≤ −
3
3
e)
3
2− x >0
2
Resolución: Cómo el valor absoluto es siempre mayor o igual a cero, buscamos
cuando se hace cero y lo quitamos del conjunto solución
3
3
4
3
2 − x = 0 ⇐⇒ 2 = x ⇐⇒ x = 2 : ⇐⇒ x =
2
2
2
3
4
=⇒ S = R −
3
f)
1
1
x−
<0
2
4
Resolución:
Cómo el valor absoluto es siempre mayor o igual a cero, no tiene
solución.
⇒S=∅
g)
2x − 6
≥3
x−2
Resolución:
2x − 6
2x − 6
2x − 6
2x − 6
≥ 3∧
> 0∧x 6= 2 ⇒
≥ 3∧x 6= 2 ⇒
−3 ≥ 0∧x 6= 2
x−2
x−2
x−2
x−2

−x > 0 ∧ x − 2 > 0 ⇒ x < 0 ∧ x > 2 ⇒ S1 = ∅




Y

−x
−x < 0 ∧ x − 2 < 0 ⇒ x > 0 ∧ x < 2 ⇒ S2 = (0; 2)
⇒
≥ 0∧x 6= 2 ⇒

x−2

Y



−x = 0 ∧ x 6= 2 ⇒ S3 = {0}
•
∨
•
2x − 6
−2x + 6
−2x + 6
2x − 6
≥ 3∧
< 0∧x 6= 2 ⇒
≥ 3∧x 6= 2 ⇒
−3 ≥ 0∧x 6= 2
x−2
x−2
x−2
x−2
8

12
12
∧
x
>
2
⇒
S
=
2;
−5x
+
12
>
0
∧
x
−
2
>
0
⇒
x
<

4
5
5



 Y
−5x + 12
−5x + 12 < 0 ∧ x − 2 < 0 ⇒ x > 12
⇒
≥ 0∧x 6= 2 ⇒
5 ∧ x < 2 ⇒ S5 = ∅

x−2

Y


12

−5x + 12 = 0 ∧ x 6= 2 ⇒ x = 12
5 ⇒ S6 =
5
S = (S1 4 S2 4 S3 ) ∪ (S4 4 S5 4 S6 )
12
12
S = (∅ 4 (0; 2) 4 {0}) ∪
2;
4∅4
5
5
Al ser conjuntos disyuntos la diferencia simétrica es igual a la unión entre
los conjuntos
S = [0; 2) ∪ (2;
12
5
12
⇒ S = 0;
− {2}
5
h)
1
x+2 ≤2
2
Resolución:
1
−2 ≤ x + 2 ≤ 2
2
1
x+2 −2≤2−2
−2 − 2 ≤
2
1
−4 ≤ x ≤ 0
2
1
−4 · 2 ≤
x ·2≤0·2
2
−8 ≤ x ≤ 0
⇒ S = [−8; 0]
i)
1+x
>0
2−x
9
Resolución:
Por la propiedad 1 (el valor absoluto es mayor o igual a cero),
busco solamente los valores de
x
que hacen que se anule la función y el do-
minio de la función. A estos valores hallados los quito del conjunto solución.
1+x
= 0 ⇔ x = −1 ∧ x 6= 2
2−x
⇒ S = R − {−1; 2}
j)
2−x
<3
1 + 2x
Resolución:
⇒ −3 <
2−x
1
< 3 ∧ x 6= −
1 + 2x
2
2−x
2−x
1
∧
< 3 ∧ x 6= −
1 + 2x 1 + 2x
2
2−x
2−x
1
⇒ −3 <
∧
< 3 ∧ x 6= −
1 + 2x 1 + 2x
2
2−x
2−x
1
⇒
+3>0∧
− 3 < 0 ∧ x 6= −
1 + 2x
1 + 2x
2
5 + 5x
−1 − 7x
1
⇒
>0∧
< 0 ∧ x 6= −
1 + 2x
1 + 2x
2


 5 + 5x > 0 ∧ 1 + 2x > 0

Y
⇒ 

5 + 5x < 0 ∧ 1 + 2x < 0
⇒ −3 <
∧


−1 − 7x > 0 ∧ 1 + 2x < 0 


Y

−1 − 7x < 0 ∧ 1 + 2x > 0


 x > −1 ∧ x > − 12

Y
⇒ 

1
x < −1 ∧ x < − 2
∧
10

x < − 71 ∧ x < − 21 


Y

1
1
x > −7 ∧ x > −2
1
1
1
⇒ S = (−∞; −1) 4 − ; +∞ ∩ −∞; −
4 − ; +∞
2
2
7

Por ser vacías las intesecciones
1
1
1
∪ − ; +∞
⇒ S = (−∞; −1) ∪ − ; +∞ ∩ −∞; −
2
2
7
Finalmente
1
S = (−∞; −1) ∪ − ; +∞
7
k) 3 < |x − 5| ≤ 7
Resolución:
3 < |x − 5| ∧ |x − 5| ≤ 7
(x − 5 > 3 ∨ x − 5 < −3) ∧ (−7 ≤ x − 5 ≤ 7)
(x > 8 ∨ x < 2) ∧ (−7 + 5 ≤ x − 5 + 5 ≤ 7 + 5)
(x > 8 ∨ x < 2) ∧ (−2 ≤ x ≤ 12)
S = ((−∞; 2) ∪ (8; +∞)) ∩ [−2; 12]
⇒ S = [−2, 2) ∪ (8; 12]
l) 1 < |x − 5| ≤ 7
Resolución:
1 < |x − 5| ∧ |x − 5| ≤ 7
(x − 5 > 1 ∨ x − 5 < −1) ∧ (−7 ≤ x − 5 ≤ 7)
(x > 1 + 5 ∨ x < −1 + 5) ∧ (−7 + 5 ≤ x ≤ 7 + 5)
(x > 6 ∨ x < 4) ∧ (−2 ≤ x ≤ 12)
S = ((−∞; 4) ∪ (6; +∞)) ∩ [−2; 12]
11
⇒ S = [−2, 4) ∪ (6; 12]
m) 1 − 2|x| ≥ |x + 1|
Resolución:
⇒ 1 ≥ 2|x| + |x + 1|
• x + 1 ≥ 0 ∧ x ≥ 0 ∧ |x + 1| = x + 1 ∧ |x| = x ∧ 1 ≥ 2|x| + |x + 1|
⇒ x ≥ −1 ∧ x ≥ 0 ∧ 1 ≥ 2x + x + 1
⇒ x ≥ −1 ∧ x ≥ 0 ∧ x ≤ 0
⇒ S1 = {0}
∨
• x + 1 ≥ 0 ∧ x < 0 ∧ |x + 1| = x + 1 ∧ |x| = −x ∧ 1 ≥ 2|x| + |x + 1|
⇒ x ≥ −1 ∧ x < 0 ∧ 1 ≥ −2x + x + 1
⇒ x ≥ −1 ∧ x < 0 ∧ x ≥ 0
⇒ S2 = ∅
∨
• x + 1 < 0 ∧ x ≥ 0 ∧ |x + 1| = −x − 1 ∧ |x| = x ∧ 1 ≥ 2|x| + |x + 1|
⇒ x < −1 ∧ x ≥ 0 ∧ 1 ≥ 2x − x − 1
⇒ x < −1 ∧ x ≥ 0 ∧ x ≤ 2
⇒ S3 = ∅
∨
• x + 1 < 0 ∧ x < 0 ∧ |x + 1| = −x − 1 ∧ |x| = −x ∧ 1 ≥ 2|x| + |x + 1|
⇒ x < −1 ∧ x < 0 ∧ 1 ≥ −2x − x − 1
2
⇒ x < −1 ∧ x < 0 ∧ x ≥ −
3
⇒ S4 = ∅
12
⇒ S = S1 ∪ S2 ∪ S3 ∪ S4 = {0} ∪ ∅ ∪ ∅ ∪ ∅
⇒ S = {0}
n) |1 + x| > 1 + |x|
Resolución:
Por la propiedad de la desigualdad triangular (propiedad 11)
obtengo que:
|1 + x| ≤ |1| + |x| = 1 + |x| ∀x ∈ R
⇒ |1 + x| ≤ 1 + |x| ∀x ∈ R
Por tricotomía en
R no existen valores reales que cumplan con la desigualdad
de este ejercicio
⇒S=∅
o) |x − 1| + |x − 2| > 1
Resolución:
• x−1 ≥ 0∧x−2 ≥ 0∧|x−1| = x−1∧|x−2| = x−2∧|x−1|+|x−2| > 1
⇒x≥1∧x≥2∧x−1+x−2>1
⇒x≥1∧x≥2∧x>2
⇒ S1 = (2; +∞)
∨
• x−1 ≥ 0∧x−2 < 0∧|x−1| = x−1∧|x−2| = −x+2∧|x−1|+|x−2| > 1
⇒x≥1∧x<2∧x−1−x+2>1
⇒x≥1∧x<2∧1
> 1}
| {z
F
⇒ S2 = ∅
∨
13
• x−1 < 0∧x−2 ≥ 0∧|x−1| = −x+1∧|x−2| = x−2∧|x−1|+|x−2| > 1
⇒ x < 1 ∧ x ≥ 2 ∧ −x + 1 + x − 2 > 1
⇒ x < 1 ∧ x ≥ 2 ∧ −1
| {z> 1}
F
⇒ S3 = ∅
∨
• x−1 < 0∧x−2 < 0∧|x−1| = −x+1∧|x−2| = −x+2∧|x−1|+|x−2| > 1
⇒ x < 1 ∧ x < 2 ∧ −x + 1 − x + 2 > 1
⇒ x < 1 ∧ x < 2 ∧ −2x > −2
⇒x<1∧x<2∧x<1
⇒ S4 = (−∞; 1)
⇒ S = S1 ∪ S2 ∪ S3 ∪ S4 = (2; +∞) ∪ ∅ ∪ ∅ ∪ (−∞; 1)
⇒ S = (−∞; 1) ∪ (2; +∞)
p) |x − 1| + |x + 1| < 2
Resolución:
Por propiedad 13, ya demostrada, obtengo que:
|x − 1| + |x + 1| ≥ |(x − 1) − (x + 1)| = |x − 1 − x − 1| = | − 2| = 2 ∀x ∈ R
∴ |x − 1| + |x + 1| ≥ 2 ∀x ∈ R
Por la ley de tricotomía concluimos que la solución es el conjunto vacío
⇒S=∅
14
5. Otras propiedades
Para empezar:
a<b∧c<d⇒a+c<b+d
Demostración.
(a < b ⇒ a + c < b + c) ∧ (c < d ⇒ b + c < d + b)
Por propiedad transitiva de la relación de desigualdad llegamos a lo que
queríamos demostra
a+c<b+d
Además queremos formalizar que al multiplicar por -1 a ambos miembros
de una desigualdad, cambia el sentido de la misma.
Denición:
f es
estrictamente decreciente en a
⇔ (x < a ⇒ f (x) > f (a))∧(x > a ⇒ f (x) < f (a))
Demostraremos que la siguiente función es estrictamente decreciente
Demostración.
f (x) = −x ∧ Df = R ∧ If = R
∀a ∈ R, ∀b ∈ R :
• a < b ⇒ a−b < b−b ⇒ a−b < 0 ⇒ (a−b)−a < 0−a ⇒ −b < −a ⇒ f (a) > f (b)
• a > b ⇒ a−a > b−a ⇒ 0 > b−a ⇒ 0−b > (b−a)−b ⇒ −b > −a ⇒ f (a) < f (b)
∴ f (x) = −x es
estrictamente decreciente en R
Análogamente se puede demostrar que es monótona decreciente.
puede multiplicar a ambos miembros de una desigualdad por
la misma.
15
∴ Se
−1 y se invierte