Apuntes (Mediana / Media geométrica vs. media aritmética)

Apuntes
Miguel A. Marmolejo L.1
-Mediana. -Media geométrica vs. media aritmética
Palabras clave: Estadística descriptiva.
Denición 1 La MEDIANA de n datos numéricos x1 , x2 , ..., xn , ordenados de forma no
decreciente, se denota con m y se dene por
½
xk+1
, n = 2k + 1
m :=
(1)
xk +xk+1
,
n = 2k
2
Observación 2 En cualquier caso; el número de datos que son menores que m es menor o
igual que el número de datos que son mayores o iguales que m; es decir,
{i : xi < m} ≤ {i : m ≤ xi },
donde la barra sobre un conjunto nito indica el número de sus elementos. También se verica
{i : xi ≤ m} ≥ {i : m < xi }.
Teorema 3 Si m es la mediana de una serie de n datos numéricos x1 , x2 , ..., xn , ordenados
de forma no decreciente, entonces para cada t ∈ R se verica
n
X
| xi − m |≤
i=1
n
X
| xi − t | .
i=1
Demostración Sea t ∈ R, y supongamos primero que t < m. Escribiendo
n
X
i=1
n
X
X
y haciendo D =
Pn
D =
| xi − t | −
X
i=1
X
{i:xi ≤t}
X
=
X
(t − m) +
{i:xi <m}
1
X
(m − t)
{i:m≤xi }
2(xi − t) +
{i:t<xi <m}
(t − m) +
X
(2xi − t − m) +
X
{i:t<xi <m}
(xi − m),
{i:m≤xi }
{i:t<xi <m}
(t − m) +
X
(m − xi ) +
| xi − m |, encontramos que
X
(t − m) +
{i:xi ≤t}
=
X
(xi − t),
{i:m≤xi }
{i:t<xi <m}
Pn
X
(xi − t) +
{i:t<xi <m}
(m − xi ) +
{i:xi ≤t}
i=1
X
(t − xi ) +
{i:xi ≤t}
| xi − m |=
i=1
X
| xi − t |=
X
(m − t)
{i:m≤xi }
2(xi − t) +
{i:t<xi <m}
Profesor Dpto. Matemáticas U. del Valle
1
X
{i:m≤xi }
(m − t).
Por la observación anterior, a := {i : xi < m} ≤ {i : m ≤ xi } =: b. De aquí que:
X
D = (t − m)a + (m − t)b + 2
(xi − t)
{i:t<xi <m}
X
= (m − t)(b − a) + 2
(xi − t) ≥ 0.
{i:t<xi <m}
Hemos visto que D =
Pn
i=1
| xi − t | −
n
X
Pn
i=1
| xi − m |≥ 0; es decir,
| xi − m |≤
i=1
n
X
| xi − t | .
i=1
Con un razonamiento análogo se demuestra la misma desigualdad cuando m < t.¤
Denición 4 La MEDIA GEOMÉTRICA de los números positivos x1 , x2 , ..., xn , denotada por mg , se dene por
n
Y
1
mg := (x1 x2 ...xn ) = ( xi ) n ,
1
n
i=1
y la MEDIA ARITMÉTICA de los mismos, denotada por ma , se dene por
ma :=
x1 + x2 + ... + xn
.
n
Teorema 5 Si x1 , x2 , ..., xn son números positivos, entonces mg ≤ ma .
Haremos dos demostraciones; la primera usa el siguiente Lema, y la segunda utiliza la convexidad de funciones.
Lema 6 Si a1 , a2 , ..., an son números reales positivos cuyo producto
es 1; esto es,
P
entonces la suma de ellos es mayor o igual que n; es decir
se da si y sólo si ai = 1 para todo i.
n
i=1 ai
Qn
= 1,
≥ n. Más aún, la igualdad
i=1 ai
Demostración Evidentemente, si ai = 1 para todo i, entonces se da la igualdad. Supongamos
ahora que existe j ∈ {1, 2, ..., n} tal que aj 6= 1 y utilicemos inducción matemática.
La desigualdad se cumple cuando n = 2, en virtud de que, en este caso;
a1 a2 = 1 ⇒ a1 + a2 = a1 +
1
a2 + 1
= 1
> 2.
a1
a1
Supongamos que la desigualdad vale cuando n = k , y demostremos que vale cuando n = k +1.
Por hipótesis, a1 a2 ...ak ak+1 = 1. De aquí que hay al menos un factor que es mayor que 1 y
hay al menos un factor que es menor que 1; digamos que a1 > 1 y que ak+1 < 1. Si hacemos
b1 := a1 ak+1 , entonces (a1 − 1)(ak+1 − 1) < 0, por lo que b1 < a1 + ak+1 − 1. Como por
hipótesis
b1 a2 ....ak = 1,
la hipótesis inductiva implica
k < b1 + a2 + ... + ak < a1 + ak+1 − 1 + a2 + ... + ak ,
2
Índice alfabético
3
es decir, k + 1 < a1 + a2 + ... + ak + ak+1 .
¤
Demostración 1 del Teorema 5. Si hacemos ai :=
Qn
i=1 ai
= 1. Por el Lema anterior,
Pn
i=1 ai
xi
Q
1
n
( n
i=1 xi )
; i = 1, 2, ..., n, entonces
≥ n, o lo que es lo mismo
x1 + x2 + ... + xn
≥ n.¤
Q
1
( ni=1 xi ) n
Demostración 2 del Teorema 5. Puesto que la función f : (0, ∞) → R denida por
f (x) = −ln(x) es convexa, entonces
f (t1 x1 + t2 x2 + ... + tn xn ) ≤ t1 f (x1 ) + t2 f (t2 + ... + f (tn ),
pra cualesquiera n = 2, 3, ..; x1 , x2 , ..., xn ∈ (0, ∞) y t1 , t2 , ..., tn ∈ [0, 1] tales que t1 + t2 + ... +
tn = 1.
Tomando ti = n1 ; i = 1, 2, ..., n, obtenemos
− ln(
x1 + x2 + ... + xn
1
) ≤ {− ln(x1 ) − ln(x2 ) − ... − ln(xn )},
n
n
o lo que es lo mismo
1
x1 + x2 + ... + xn
ln(x1 x2 ...xn ) ≤ ln(
).
n
n
1
Esto equivale a lo que queremos mostrar: (x1 x2 ...xn ) n ≤
x1 +x2 +...xn
.¤
n