INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA UNIDAD ZACATENCO ACADEMIA DE INGENIERÍA EN CONTROL Y AUTOMATIZACIÓN ELECTRÓNICA OPERACIONAL PROFESORA: MARÍA GUADALUPE TORQUEMADA GONZÁLEZ “PID DE UN MOTOR REDUCTOR” INTEGRANTES: ÍNDICE INTRODUCCIÓN .................................................................................................................................. 3 DESARROLLO ....................................................................................................................................... 6 ETAPA PROPORCIONAL ...................................................................................................................... 6 ETAPA INTEGRADORA ........................................................................................................................ 7 ETAPA DERIVADORA........................................................................................................................... 8 ETAPA SUMADORA:............................................................................................................................ 9 CÁLCULOS.......................................................................................................................................... 10 CONCLUSIONES ................................................................................................................................. 16 REFERENCIAS .................................................................................................................................... 18 INTRODUCCIÓN Se considera que el 90% de las aplicaciones de control de procesos se pueden resolver con un controlador PID (Proporcional-Integral-Derivativo). En la actualidad, la mayoría de los controladores PID son de tipo digital, sin embargo, una implantación analógica puede ser mucho más económica e igual de efectiva. Por ello resulta importante retomar la línea de diseño de análisis de estos controladores analógicos y es el motivo de este desarrollo. Aun y cuando existen distintas configuraciones de controladores PID, el más citado en la literatura es el de tipo paralelo. Si bien no corresponde al tipo más común en las implementaciones industriales, si se considera un buen punto de partida para el tipo de controladores. Una de las ventajas del control es que existe una gran variedad de técnicas para llevar a cabo el diseño de los mismos, en este caso se habla de los PID como controladores muy sencillos de diseñar, sin embargo también existen otras técnicas de control como pueden ser los compensadores, control adaptativo, redes neuronales, control difuso y combinaciones entre ellos, aunque en muchas ocasiones solo basta con un simple PID, pero no siempre se puede solucionar todo con un controlador de este tipo. ESTRUCTURA DEL PID Consideremos un lazo de control de una entrada y una salida (SISO) de un grado de libertad: Los miembros de la familia de controladores PID, incluyen tres acciones: proporcional (P), integral (I) y derivativa (D). Estos controladores son los denominados P, I, PI, PD y PID. P: acción de control proporcional, da una salida del controlador que es proporcional al error, es decir: u(t) = KPe(t), que descripta desde su función de transferencia queda: Cp(s) = Kp …………………………………………………… (1) Donde Kp es una ganancia proporcional ajustable. Un controlador proporcional puede controlar cualquier planta estable, pero posee desempeño limitado y error en régimen ´ permanente (off-set). I: acción de control integral, da una salida del controlador que es proporcional al error acumulado, lo que implica que es un modo de controlar lento. 𝑡 u(t) = Ki ∫0 𝑒(𝜏)𝑑𝜏 Ci(s) = 𝐾𝑖 𝑠 ……………………. (2) La señal de control u(t) tiene un valor diferente de cero cuando la señal de error e(t) es cero. Por lo que se concluye que, dada una referencia constante, o perturbaciones, el error en régimen permanente es cero. PI: acción de control proporcional-integral, se define mediante u(t) = Kpe(t) + 𝐾𝑝 𝑇𝑖 𝑡 ∫0 𝑒(𝜏)𝑑𝜏 ………………………………………………. (3) Donde Ti se denomina tiempo integral y es quien ajusta la acción integral. La función de transferencia resulta: 1 CPI(s) = Kp ( 1 + 𝑇𝑖𝑠 )……………………………………………………... (4) Con un control proporcional, es necesario que exista error para tener una acción de control distinta de cero. Con acción integral, un error pequeño positivo siempre nos dará una acción de control creciente, y si fuera negativo la señal de control será decreciente. Este razonamiento sencillo nos muestra que el error en régimen permanente será siempre cero. Muchos controladores industriales tienen solo acción PI. Se puede demostrar que un control PI es adecuado para todos los procesos donde la dinámica es esencialmente de primer orden. Lo que puede demostrarse en forma sencilla, por ejemplo, mediante un ensayo al escalón. PD: acción de control proporcional-derivativa, se define mediante: U(t)=Kp e(t)+Kp Td de(t) dt ………………………………………………….(5) Donde Td es una constante denominada tiempo derivativo. Esta acción tiene carácter de previsión, lo que hace más rápida la acción de control, aunque tiene la desventaja importante que amplifica las señales de ruido y puede provocar saturación en el actuador. La acción de control derivativa nunca se utiliza por sí sola, debido a que sólo es eficaz durante periodos transitorios. La función transferencia de un controlador PD resulta: CPD(s) = Kp + sKpTd……………………………………………………..(6) Cuando una acción de control derivativa se agrega a un controlador proporcional, permite obtener un controlador de alta sensibilidad, es decir que responde a la velocidad del cambio del error y produce una corrección significativa antes de que la magnitud del error se vuelva demasiado grande. Aunque el control derivativo no afecta en forma directa al error en estado estacionario, añade amortiguamiento al sistema y, por lo tanto, permite un valor más grande que la ganancia K, lo cual provoca una mejora en la precisión en estado estable. PID: acción de control proporcional-integral-derivativa, esta acción combinada reúne las ventajas de cada una de las tres acciones de control individuales. La ecuación de un controlador con esta acción combinada se obtiene mediante: U(t) = Kp e(t) + Kp t ∫ e(τ)dτ + KpTd Ti 0 de(t) dt …………………………… (7) Y su función de transferencia resulta: 1 CPID(s) = Kp(1 + Tis + Tds)……………………......…………………… (8) Criterio de estabilidad Existen 3 requerimientos de estudio para el adecuado diseño de un sistema de control (Respuesta transitoria, Estabilidad y Error en estado estable); la estabilidad, considerado el criterio más importante ya que para un sistema inestable la respuesta transitoria y el error de estado estable pueden ser puntos debatibles. La respuesta total de un sistema es la suma de la respuesta libre y la respuesta forzada; una respuesta libre describe la forma en que un sistema disipa o adquiere energía y la forma natural de esta depende únicamente del sistema, mientras la respuesta forzada depende únicamente de la entrada. Para que un sistema de control sea útil la respuesta libre debe aproximarse a cero dejando únicamente la respuesta forzada. Por lo tanto, un sistema es estable siempre y cuando la respuesta libre tienda a cero conforme el tiempo tienda al infinito, y a su vez la respuesta forzada permanezca constante. Es de gran importancia determinar si el sistema es estable o inestable para esto basta con saber la ubicación de los polos sobre el plano s; y para que se de la estabilidad del mismo, éstos deberán estar ubicados en el semiplano izquierdo; a continuación, se menciona un método para conocer dicha información. DESARROLLO Antes de comenzar con la explicación detallada de nuestro PID es necesario entender el funcionamiento de cada una de las abreviaciones que conforman el PID, para ello se deriva un análisis simplificado que cumplen funciones con ciertas características individuales las cuales son las siguientes: ETAPA PROPORCIONAL Si bien nuestro circuito no cuenta como tal con una etapa proporcional, es importante saber cuál es la finalidad de esta etapa. La etapa proporcional de un controlador es la etapa más simple, ya que consiste en un amplificador con una ganancia ajustable. Su función es aumentar la velocidad de respuesta y reducir el error en estado estacionario del sistema. Esta etapa se puede implementar fácilmente mediante una configuración inversora como se muestra en el siguiente diagrama. y resulta más práctica que una configuración no-inversora, ya que en este caso es posible generar ganancias menores a uno. A pesar de las facilidades de ganancia que nos proporciona la etapa proporcional, en nuestro PID sí se usa la retroalimentación negativa. ETAPA INTEGRADORA La etapa integradora le añade capacidad de procesamiento temporal al controlador. Esencialmente se trata de una etapa que guardará una historia de la magnitud del error y contribuirá a reducir a cero el error en estado estacionario. Se muestra el diagrama de una etapa integradora basada en amplificadores operacionales. El capacitor en el lazo de retroalimentación es el elemento que actúa como “memoria” de la historia del error en el sistema. Es importante recordar que la presencia de R2 es necesaria para proporcionar una ruta de retroalimentación en C.D. (corriente directa), y prevenir con ello la saturación del amplificador debido a la corriente de bias. Se muestra la respuesta en frecuencia del integrado ETAPA DERIVADORA Aunque la etapa integradora sirve para reducir el error en estado estacionario, tiene el inconveniente de que reduce la velocidad de respuesta del sistema. Al añadir una etapa derivadora al controlador permite mejorar el amortiguamiento del sistema, lo cual permite aumentar la acción proporcional y con ello volver a aumentar la velocidad de respuesta. Para implementar esta etapa se propone el circuito siguiente. ETAPA SUMADORA: De acuerdo con el diagrama de bloques del sistema de control mostrado en la parte introductora se requieren dos puntos suma. Para determinar el error en el sistema es necesario calcular la diferencia entre la entrada (valor de referencia) y la salida del sistema. Esto se puede implementar mediante una configuración, amplificador diferencial como la del siguiente circuito. El segundo punto suma que se requiere es donde se agregan las señales del error, la integral del error y la derivada del error. Para ello se puede utilizar un amplificador sumador inversor como el mostrado El utilizar un sumador inversor tiene la ventaja de que podemos manipular de manera independiente cada una de las ganancias, y entonces utilizar esta etapa para ajustar las constantes del integrador y del derivador. La precaución que requiere este circuito es que se debe vigilar que el ancho de banda del mismo sea suficiente para manejar las respuestas de las etapas anteriores. CÁLCULOS Fig.1 Control Diferencial Este circuito se colocó al inicio de nuestro PID ya que es el encargado de hacer la resta de nuestra referencia, con el valor entregado por la retroalimentación. Ésto nos va a generar la señal de Error, ya que éste está definido por: 𝑒(𝑡) = 𝑢(𝑡) − 𝑦(𝑡) Ésto se realizó por medio de un Amplificador operacional en la siguiente conexión: Fig.2 En este caso, nuestra referencia es de 5V y nuestra retroalimentación (conectada a R2) es 0, debido a que no tiene carga. Al tener todas sus resistencias iguales, la función e(t) está dada por: 𝑒(𝑡) = 𝑉2 − 𝑉1 Siendo V2 nuestro voltaje de Retroalimentación y V1 nuestra referencia. En nuestro circuito la señal de error considerando la retroalimentación 0 se tendría una señal de -5v. Al hacer la medición en MultiSim se obtiene una señal de salida de -4.998V. Nota: Cabe mencionar que una vez conectada la carga, este circuito hará la resta con el valor obtenido con el valor de la retroalimentación, teniendo que: 𝑉2 ≠ 0 Control Proporcional Este control se realizó con un amplificador en conexión Inversora. Fig.3 Control Proporcional En este circuito se tiene una ganancia Unitaria ya que R10 y R5 son iguales, y al tener que la ganancia está dada por: 𝑅10 𝑅5 la señal de salida será: 𝑣𝑝 = −𝑒(𝑡) 10𝑘 Para nuestro circuito: 𝑣𝑝 = −(−5𝑉) 10𝑘 = 5𝑉 𝑅10 𝑅5 Al colocar el multímetro en MultiSim, nos arroja la medición calculada. Controlador Integral Para desarrollar este controlador se utilizó un Amplificador en conexión Integrador. Fig.4 Control Integral En este caso para calcular el voltaje de salida 𝑣𝑖 se sigue la siguiente formula: 𝑣𝑖 = − 1 ∫ 𝑒(𝑡)𝑑𝑡 (𝑅12)(𝐶2) El PERIODO DE INTEGRACION estará determinado por el producto (R12)(C2), pero en este caso se va a integrar una función constante: e(t)=-5v, al integrar esta función y multiplicarla por el signo nos va a arrojar una función “5t” que tiene la forma de una rampa. Es importante resaltar que, al hacer el experimento de un integrador con una señal cuadrada, al tener semiciclos positivos y negativos, a la salida de un integrador se tendrá una forma de tipo TRIANGULAR debido al cambio de signo en la pendiente producida por el cambio de polaridad de la señal cuadrada. Experimento realizado con señal cuadrada En nuestro caso al solo tener un “ciclo” positivo en nuestra señal e(t) la recta permanece creciendo hasta llegar al punto de saturación del Amplificador lo que provoca que nos otorgue una señal positiva cercana a los valores de voltaje de saturación de este. Al hacer la simulación y observarlo en el osciloscopio se puede observar que nos entrega una señal de corriente directa con un valor de 13.9V teniendo e(t)=-5v. Controlador Derivativo De igual manera este circuito se realizó con un amplificador LM741CN en configuración derivador. Fig.5 Control Derivativo La fórmula para calcular el voltaje entregado por este control está dado por: 𝑣𝑑 = −(𝑅11)(𝐶1) 𝑑 𝑒(𝑡) 𝑑𝑡 Para nuestro circuito, resulta trivial el cálculo de este voltaje, ya que al tener una función e(t) constante, el cálculo de la derivada de esta será cero y todo el producto tenderá a 0. En la figura se muestra que se tiene para un valor de e(t)=-5v un valor de vd=2.02mV lo que equivale un valor muy cercano a 0. Finalmente se suman las señales de salida de cada uno de estos controladores, por medio de un sumador inversor y al finalmente se ocupa otro amplificador inversor de ganancia unitaria para invertir el signo de la sumatoria. Quedando un circuito de la siguiente manera: Fig.6 Controlador Analógico PID Relación de señal de referencia con salida del PID CONCLUSIONES García Romero Joel Ronaldo Durante el desarrollo de este circuito pudimos observar las características de un controlador analógico PID y sus componentes. Este controlador se compone de un controlador Proporcional, uno Integrador y uno Derivativo, cada uno de estos se realiza con Amplificadores operacionales con sus respectivas configuraciones, se ocupó este en conexión inversor para el Proporcional, uno en Integral y otro en Derivador. También se ocuparon más amplificadores para realizar la suma de estos controladores y para invertir la señal de salida. Y finalmente, se ocupó un amplificador en conexión diferencial, para realizar una comparación entre un valor de referencia dado y la retroalimentación producida por el motor. Como elementos adicionales, se utilizaron resistencia y transistores para elaborar una etapa de potencia para amplificar la corriente entregada por el controlador, ya que esta no era suficiente para arrancar el motor. Garduño Domínguez Daniela Itzel Los datos obtenidos teóricamente cambiaron mucho a los datos reales, ya que fue una diferencia de unos 4V comparados con los teóricos y al conectar la carga disminuyó el voltaje de una manera sustancial. Finalmente, se obtuvo el controlador analógico PID a partir de amplificadores operacionales y se logró hacer el control de velocidad para un motor de corriente directa. Para poder realizar un PID es necesario tener conocimientos de las diferentes etapas con las que cuenta. Para nosotros, estudiantes de la carrera de control, es muy importante saber realizar un PID ya que tiene muchas aplicaciones en la industria y también es muy completo al necesitar de la mayoría de los conocimientos que debe tener un ingeniero en control. López Sánchez Jean Carlos Decidimos usar dos motores, para la retroalimentación utilizamos un motor como generador, para así poder observar la tensión que nos genera y usar esta señal para poder controlar la velocidad del motor, así que dependiendo de la cantidad de tensión que nos da el generador, ya que este esta acoplado al motor dependerá la retroalimentación y tratara de disminuir el error y obtener un nivel de tensión deseado, que al mismo tiempo es igual que decir un nivel de velocidad deseado ya que esa es la relación en nuestro PID. Pérez Sandoval Angélica Gabriela En este circuito logramos apreciar cómo se hace un controlador analógico PID por medio de amplificadores operacionales, y como es que funciona para controlar una variable, se hizo el análisis de los componentes que lo conforman, un controlador Proporcional, uno Integral y otro Derivativo. Estos se construyeron con amplificadores operacionales LM741 con sus conexiones adecuadas (inversor, integral y derivador). Una vez teniendo estos controladores, se hizo una suma de estos con ayuda de otro amplificador en configuración de sumador inversor y con otro en configuración inversor se hizo la corrección del signo de la salida. Sandoval Rodríguez María Fernanda Para realizar la comparación con nuestra referencia, se ocupó un amplificador en conexión Diferencial, para realizar la resta entre nuestro valor de referencia y nuestra retroalimentación enviada por el generador acoplado al motor. Se tuvieron algunas complicaciones al hacer la conexión al motor, ya que la corriente demandada por la carga era mayor a la proporcionada por el PID, asi que se tuvo que realizar una pequeña etapa de amplificación de la corriente con ayuda de transistores. Otro aspecto importante que pudimos observar en el desarrollo del circuito fue que los datos calculados y simulados, varían muchísimo con los datos obtenidos y medidos, probablemente causados por la imprecisión de los valores de las resistencias o por alguna perturbación externa. REFERENCIAS 1. Virginia Mazzone. (2002). Controladores PID. 16 octubre 2018, de Universidad Nacional de Quilmes Sitio web: http://www.eng.newcastle.edu.au/~jhb519/teaching/caut1/Apuntes/PID.pdf 2. Pablo Javier Jiménez-Ceciliano. (2014). Conceptos de controladores PID e implementación en un horno de fundición de acero. 16 octubre 2018, de Marcha. Edición Especial Movilidad Estudiantil Sitio web: https://dialnet.unirioja.es/descarga/articulo/5109192.pdf 3. Miguel Angel Bañuelos Saucedo. (1999). REPORTE TÉCNICO ANÁLISIS Y DISEÑO DE UN CONTROLADOR PID ANALÓGICO. 16 octubre 2018, de CCADET Sitio web: http://www.ccadet.unam.mx/secciones/depar/sub1/elect/semb/documen tos/ReporteTecnicoAnalisisyDisenodeunControladorPIDAnalogico1999.pdf 4. K. Åström, T. Hägglund. PID controllers: theory, design, and tuning. (Ed. Instrument Society of America), (2nd edition, 1995). 5. F. Fröhr, F. Orttenburger. Introducción al control electrónico. (Ed. Marcombo), (1986). 6. National Semiconductor. National Operational Amplifiers Databook. (Ed. NSC),(1995). 7. S. Soclof. Design and applications of Analog Integrated Circuits. (Ed. Prentice Hall),(1991).
