Taller integrador de Conociminetos para Fundamentos de Control

Taller Integrador
1. (20%) Determine el controlador más sencillo posible para el sistema y requisitos de desempeño descritos a
continuación:
Simule la respuesta en lazo cerrado con el controlador, y adicione perturbaciones tipo escalón de ±0.1
aditivas a la salida.
Solución:
Figura 1. Diagrama de bloques de la función de transferencia sin controlador
Figura 2. Gráfica de step de la función de transferencia sin controlador
Para desarrollar el controlador más sencillo posible para el sistema con los requisitos descritos es necesario
hallar un polo que satisfaga los requerimientos de tiempo de establecimiento y sobrepico; para esta tarea
usamos SISOTOOL y analizamos la gráfica del lugar geométrico de las raíces buscando en las zonas en las
que se puede cumplir los requisitos de desempeño:
Figura 3. Editor de gráfica de raíces por SISOTOOL
Evaluamos la zona que cumple con los requisitos de desempeño y seleccionamos un polo que pertenezca a la
zona.
Se selecciona -44.2 10.2i. Y utilizamos la fórmula para obtener K.
Figura 4. Función de transferencia a lazo cerrado con controlador para cumplir los requisitos de desempeño
Ahora se pide hacer una perturbación de tipo escalón 0.1en la salida.
Figura 5. Diagrama de bloques con una perturbación de tipo escalón a 0.5s de +0.1
Figura 6. Gráfico función de transferencia con una perturbación tipo escalón a 0.5s de +0.1
Figura 7. Diagrama de bloques con dos perturbaciones de tipo escalón a 0.5s y 1s de +0.1
Figura 8. Gráfico de la función de transferencia con dos perturbaciones de tipo escalón a 0.5s y 1s de +0.1
Figura 9. Diagrama de bloques con tres perturbaciones de tipo escalón a 0.5s, 1s y 1.5s de +0.1, +0.1 y -0.1.
Figura 10. Diagrama de bloques con tres perturbaciones de tipo escalón a 0.5s, 1s y 1.5s de +0.1, +0.1 y 0.1.
Conclusiones:


SISOTOOL es una herramienta muy útil al momento de elaborar controladores
K como controlador proporcional permite estabilizar el sistema aun cuando se le agregan
perturbaciones de tipo escalón y cumple con los requisitos de desempeño dados.
2 (30%) Justifique: ¿Es posible determinar un controlador proporcional para que el sistema presentado a
continuación cumpla con los requisitos de desempeño presentados a continuación?:
Solución:
Para realizar un tratamiento más cómodo de la función se procede por hacer una reducción de orden de la
función mediante la suposición de la dominancia de algunos polos. La teoría nos indica que para que esto sea
posible, se deben despreciar los polos que están por lo menos 6 veces más alejados del polo más cercano,
sin embargo, en nuestra función no tenemos ningún polo que cumpla con estas características. A pesar de
ello esta regla no es del todo cierto y lo mejor es comparar la respuesta al escalón de la función de
transferencia original de tercer grado y la de segundo orden simplificada
Realizando la simplificación, la nueva función de transferencia de segundo orden es:
Al comparar la respuesta al escalón de ambas funciones tenemos de que:
Respuesta al escalón de la función de transferencia original (3er orden)
Respuesta al escalón de la función de transferencia simplificada (2do orden)
Como se puede notar, las respuestas son parecidas en forma, por otro lado, al comparar datos como la ganancia
y el overshoot, notamos que ambos valores son iguales. Aunque los valores como el tiempo de establecimiento
y el tiempo de crecimiento son diferentes, su diferencia no es realmente significativa, por lo que se puede
concluir que la simplificación puede ser prudente.
Mediante el código ejecutado en Matlab anexado al trabajo, determinamos la ganancia proporcional y la
constante de amortiguamiento (Xi):
Al realizar el montaje de la función y el controlador proporcional en simulink, tenemos la siguiente respuesta:
Montaje del diagrama de bloques en simulink
Respuesta obtenida en la simulación
Como se puede notar, la respuesta que tenemos oscila mucho, generando un efecto de subamortiguamiento
por lo tanto se puede concluir que un control proporcional no es el adecuado.
Se procede a calcular un control PD que cumpla con los requisitos de desempeño.
Para ello utilizando la función de transferencia simplificada y el código adjunto al archivo, se determina un
controlador PD:
Aplicando el comando “Feedback” a la función y el controlador PD obtenido, y graficando la respuesta ante el
escalón de todo el sistema se obtiene:
Respuesta al escalón para el sistema diseñado
Función de transferencia para el sistema retroalimentado T2 pd
Como se puede observar, el sobrepico es nulo, aunque el tiempo de establecimiento aumentó un poco, sin
embargo, se puede concluir que el mejor controlador para evitar el sobrepico para esta función aproximada es
un PD.
3. (10%) Para el sistema y controlador del numeral anterior, determine un controlador que permita que se
reduzca el error en estado estable a la mitad.
Solucion:
A partir del error en estado estable del punto anterior, que se determina al evaluar la función de transferencia
realimentada con el controlador PD.
En el código de Matlab se halla a partir de la función de transferencia realimentada T2pd evaluada en 0, la
cual, da un valor de 0.48.
Este error en estado estable debe reducirse a la mitad- Un controlador que permite alterar el error es un PI.
Para calcular el PI se hallan los valores de la siguiente manera.
Así se halla la función de transferencia del controlador Cpi, y se realimenta con la función anterior que da un
error de 0.48.
Calculando la nueva función llamada en el código T2pi se halla el error que tiene el valor de 0.32. Se nota a
simple vista que el error no se redujo a la mitad, sin embargo, el controlador logra su cometido y reduce el valor
casi a la mitad.
4. (40%) Detalle los pasos para obtener el LGR del siguiente sistema:
Paso 1: Configuración inicial
a.
b.
Determinar los polos y ceros de la función G(s).
Z=[-9]
P=[0,-3,-7,-12]
Localizar los polos y los ceros en el plano de S.
c.
Determinar el número de lugares geométricos: Lugares geométricos = 4
Paso 2: Localizar los segmentos del eje real que pertenecen al lugar geométrico.
a.
Iniciar en el infinito positivo.
b.
Seleccionar los segmentos con los polos impares a la derecha.
Paso 3: Encontrar los lugares geométricos que terminan en ceros en el infinito.
a.
Encontrar el punto de partida de las asíntotas.
b.
Encontrar los ángulos de las asíntotas.
Paso 4: Determinar el punto de cruce con el eje imaginario
a.
Utilizar el criterio de Routh-Hurwitz:
Primero escribir la ecuación característica de la forma:
1 + 𝐾 ∗ 𝑃(𝑠) = 0
1+𝑘∗
12 ∗ (𝑠 + 9)
=0
𝑠 ∗ (𝑠 + 3)(𝑠 + 7)(𝑠 + 12)
Resolviendo el fraccionario obtenemos:
𝑠 4 + 223 + 141𝑠 2 + (252 + 12𝑘)𝑠1 + (108𝑘)𝑠 0 = 0
Ahora resolver con Routh-Hurwitz:
Hallamos el valor de 𝑘1 = −175 y 𝑘2 = 28.5 y usamos 𝑘2
Reemplazamos los valores de 𝑘2 en 𝑘 de la ecuación anterior y solucionar:
𝑠 4 + 223 + 141 ∗ 𝑠 2 + 594 ∗ 𝑠1 + 3078 ∗ 𝑠 0 = 0
Hallamos las raíces de la ecuación:
Entonces tomamos los valores imaginarios de las raíces 3 y 4 como los puntos de cruce con el eje
imaginario en el plano S.
Paso 5: Determinar los puntos de partida del eje real.
a.
Despejar:
b.
Hallamos las raíces de la ecuación anterior:
c.
Escogemos la máxima raíz como el punto de partida: 𝑅4 = −1,3442 − 0,0𝑗∞
Paso 6: Completar la gráfica en el plano S:
Paso 7: Realizar en matlab la gráfica del plano S con root locus para comparar con lo dibujado anteriormente.

¿Puede determinarse un controlador proporcional derivativo que permita cumplir con los siguientes
requisitos de desempeño?:
Iniciamos calculando el valor de ξ al igualar las ecuaciones de ts y tp en función de Wn, con la herramienta
solve de la calculadora científica obtenemos dicho valor.
Calculamos Wn en función de ξ
Al final la función del controlador proporcional derivativo es:
y su gráfica cumple con los requisitos de desempeño:
Entonces SI es posible diseñar un controlador PD que cumpla con los requisitos de desempeño para la
función dada.
Conclusiones:


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Se puede observar que para ciertos sistemas hay polos más dominantes que otros, y que estos últimos
se pueden despreciar debido a que su existencia no tiene gran impacto en la respuesta del sistema,
generalmente estos polos se encuentran alejados del primero, aunque no necesariamente tan alejados
como se pudo observar en el punto 2.
Los controladores PD resultan ser buenos para eliminar el sobrepico en la respuesta en sistemas como
el del punto 2, aunque se sacrifique un poco el requisito del tiempo del establecimiento.
Reducir el error en estado estable, requiere más de un solo controlador para ser llevado a cabo.