métodos matemáticos para físicos II 6

Métodos Matemáticos para Físicos II
CICLO 2018-2
(CF391-A)
Material de Estudio No 6
1.
La integral de Stierljes se dene como la siguiente suma:
Z
b
f (x)dΦ(x) = lı́m
I=
n→∞
a
n
X
f(a+k b−a ) ∆Φ(a+k b−a ) .
n
n
k=1
Esta expresión se puede interpretar como el momento generalizado del tipo f (x) debido a la distribución de cierta magnitud (por ejemplo, masas, cargas, etc.), caracterizados por la función Φ(x). Para
f (x) = x tenemos momentos de primer orden, para f (x) = x2 , x3 , etc., hablaremos de momentos
cuadráticos y de órdenes mayores.
Si Φ(x) tiene derivada integrable dΦ = Φ0 dx, entonces la integral de Stierljes se reduce a la
integral habitual :
Z
b
f (x)Φ0 (x)dx.
I=
a
que el uso de la función δ para integrar magnitudes discretas es equivalente al uso de
la integral de Stierljes.
Demostrar
2.
Encuentre las expresiones para γ(x), δ(x) y δ 0 (x) a partir de las siguientes funciones auxiliares.
1
a) γ(x) =
π
Z
∞
0
b) f (x0 , x, α) =
sen kx
dk
k
1
e
x0 −x
α
+1
1
1 − r2
·
2π 1 − 2r cos φ + r2
0
d) Función de Heaviside S(x) =
1
c) δ(φ, r) =
si
si
x<0
x>0
Compruebe que se cumplen las propiedades ed la función delta. Realice las grácas para γ(x),
δ(x) y δ 0 (x).
3.
Dena la función delta de Dirac usando como base el sistema de funciones ortogonales dado:
a) Funciones de Bessel
b) Polinomios de Legendre
c) Funciones de Hermite
4.
Demostrar que la función delta de Dirac se puede expresar como δ(x) = lı́m fn (x), donde:
n→∞
n
π
a) fn (x) = √ e−n
2 x2
b) fn (x) =
sen(nx)
πx
c) fn (x) =
1
n
·
π 1 + n 2 x2
Demostrar que para cualquier g(x) continua las expresiones dadas cumplen que
Z+∞
lı́m
fn (x)g(x) = g(0)
n→∞
−∞
.
5.
Comprobar que la expresión:
sen θ0
1 − r2
·
,
r→1
4π
1 − 2r (cos θ0 · cos θ + sen θ0 · sen θ · cos(ϕ0 − ϕ)) + r2
δ(θ0 − θ, ϕ0 − ϕ) = lı́m
donde 0 ≤ ϕ0 , ϕ ≤ 2π; 0 ≤ θ0 , θ ≤ π , cumple con la denición de función δ para el caso bidimensional.
6.
Demostrar que:
1 − r2
lı́m
r→1
4π
Z2π
dϕ
0
Z
0
0
7.
π
sen θ0 f (θ0 , ϕ0 )dθ0
= f (θ, ϕ).
1 − 2r (cos θ0 · cos θ + sen θ0 · sen θ · cos(ϕ0 − ϕ)) + r2
Demuestre las siguientes propiedades de la función delta de Dirac:
a) δ(−x) = δ(x)
b) δ 0 (−x) = −δ 0 (x)
c) f (x0 )δ(x0 − x) = f (x)δ(x0 − x)
d) xδ(x) = 0
e) δ(ϕ(x) ) =
X δ(x − xs )
s
|ϕ0(xs ) |
, donde xs son las raices simples de la ecuación ϕ(x) = 0 que se encuentran
en el intervalo de denición.
f) δ(ax) =
δ(x)
|a|
g) δ(x2 − a2 ) =
δ(x − a) + δ(x − a)
2|x|
h) |x|δ(x2 ) = δ(x).
Los profesores