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Formulario de ecuaciones diferenciales
por Alfredo Alonso Rodríguez Ing. Civil
Formulario de solución de
Ecuaciones Diferenciales de primer orden.
Por: Alfredo Alonso Rodríguez
Ingeniería Civil
Método de exactas
𝑀(𝑥, 𝑦 𝑑𝑥 + 𝑁(𝑥, 𝑦 𝑑𝑦 = 0
Condición para ser una ecuación diferencial
exacta:
Separables
𝑔(𝑥
= ℎ(𝑥
o bien
𝑑𝑦
𝑑𝑥
𝜕𝑓
𝜕𝑥
= ℎ(𝑥 𝑔(𝑥
𝑑𝑥
ℎ(𝑥
=
𝜕𝑁
𝜕𝑥
𝑑𝑦
𝑔(𝑦
o bien
=
=
𝑀
𝜕𝑓
𝜕𝑦
ó
=
𝑁
2. Derivar e igualar
Se dice que es de variables separables:
𝑑𝑦
𝑔(𝑦
=
1. Integrar para encontrar f(x,y)
Ecuación diferencial de la forma:
𝑑𝑦
𝑑𝑥
𝜕𝑀
𝜕𝑦
ℎ(𝑥 𝑑𝑥
𝜕𝑓
𝜕𝑦
=𝑁
𝜕𝑓
𝜕𝑥
ó
=𝑀
Factores integrantes
Método de lineales
𝑓(𝑥, 𝑦 𝑀(𝑥, 𝑦 𝑑𝑥 + 𝑁(𝑥, 𝑦 𝑑𝑦 = 0
Resolver una ecuación diferencial lineal
𝑑𝑦
𝑑𝑥
Factor de integración 𝑓(𝑥, 𝑦 no es unico:
+ 𝑝(𝑥 𝑦 = 𝑓(𝑥
1. Solo depende de x:
Encontrar el factor integrante 𝜇(𝑥 = 𝑒
𝑝(𝑥 𝑑𝑥
Multiplicar la ecuación diferencial por 𝜇(𝑥 𝑑𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑥
𝑒
𝑝(𝑥 𝑑𝑥
𝑝(𝑥 𝑑𝑥
𝑦=
𝑦=
𝑦 =
𝑓(𝑥 𝑒
𝑓(𝑥 𝑒
𝑓(𝑥 𝑒
𝑝(𝑥 𝑑𝑥
𝑒
𝑝(𝑥 𝑑𝑥
𝑝(𝑥 𝑑𝑥
𝑑𝑥
2. Solo depende de y:
+ 𝑝(𝑥 𝑦 = 𝑓(𝑥 𝜇(𝑥 𝑑𝑥
𝑑(𝑒
𝐹(𝑥 = 𝑒
𝜕𝑀 𝜕𝑁
−
𝜕𝑦 𝜕𝑥
𝑁
𝑝(𝑥 𝑑𝑥
𝑑𝑥
𝑑𝑥 + 𝑐
𝑑𝑥 + 𝑐
𝐹(𝑦 = 𝑒
𝜕𝑁 𝜕𝑀
−
𝜕𝑥 𝜕𝑦
𝑀
𝑑𝑦
3. Ecuación diferencial de la forma:
𝑝𝑦𝑑𝑥 + 𝑥𝑞𝑑𝑦 = 0 , 𝑝, 𝑞 𝜖 ℝ
Entonces
𝑓(𝑥, 𝑦 = 𝑥𝑦 = 𝑥 𝑝−1 𝑦 𝑞−1
 ∃ 𝑓(𝑥, 𝑦
∋
𝜕𝑓
𝜕𝑥
=𝑀,
Bernoulli
Homogéneas
𝑑𝑦
𝑑𝑥
𝑀(𝑥, 𝑦 𝑑𝑥 + 𝑁(𝑥, 𝑦 𝑑𝑦 = 0
+ 𝑝(𝑥 𝑦 = 𝑓(𝑥 𝑦 𝑛
Sustitución: 𝑤 = 𝑦1−𝑛
Transformar a una ecuación lineal
𝑑𝑤
𝑑𝑥
+ (1 − 𝑛 𝑝(𝑥 𝑤 = (1 − 𝑛 𝑓(𝑥
𝜕𝑓
𝜕𝑦
=𝑁
Si tiene la propiedad que
𝑀 𝑡𝑥 , 𝑡𝑦 = 𝑡 𝑛 𝑀(𝑥, 𝑦 , 𝑁 𝑡𝑥 , 𝑡𝑦 = 𝑡 𝑛 𝑁(𝑥, 𝑦
es ecuación homogénea.
Método de solución; usar una de las siguientes situaciones:
Resolver con el método de lineales
𝑦 = 𝑢𝑥, 𝑑𝑦 = 𝑢𝑑𝑥 + 𝑥𝑑𝑢
Sustituir w por su respectivo valor
𝑥 = 𝑣𝑦, 𝑑𝑥 = 𝑣𝑑𝑦 + 𝑦𝑑𝑣
Formulario de ecuaciones diferenciales
Formulario de solución de
Ecuaciones Diferenciales de orden superior
Por: Alfredo Alonso Rodríguez
Ingeniería Civil
por Alfredo Alonso Rodríguez Ing. Civil
Método de variación de parámetros
𝑦 = 𝑦𝑐 + 𝑦𝑝
𝑦𝑐 = 𝐶1 𝑦1 + 𝐶2 𝑦2
Encontrar
𝑢1 y 𝑢2 tal que 𝑦𝑝 = 𝑢1 𝑦1 + 𝑢2 𝑦2
Sea una solución particular de la ecuación no homogénea:
Homogéneas
𝑦´´ + 𝑃(𝑥 𝑦´ + 𝑄(𝑥 𝑦 = 𝑓(𝑥
Raíces diferentes:
𝑦1 𝑦2
𝑊= 𝑦 ´ 𝑦 ´
1
2
𝑦𝑐 = 𝑐1 𝑒 𝑚1 𝑥 + 𝑐2 𝑒 𝑚2 𝑥
Raíces iguales:
𝑦𝑐 = 𝑐1 𝑒 𝑚𝑥 + 𝑐2 𝑥𝑒 𝑚𝑥
𝑦2 𝑓(𝑥
𝑊
𝑢1 = −
𝑑𝑥
Raíces imaginarias:
𝑦𝑐 = 𝑒 ∝𝑥 (𝑐1 cos 𝛽𝑥 + 𝑐2 sin 𝛽𝑥
𝑢2 =
dn y
dxn
Reducción de orden
Elaboración de una segunda solución a partir de una
solución conocida.
𝑒 − 𝑝(𝑥 𝑑𝑥
𝑑𝑥
(𝑦1 2
𝑦2 = 𝑦1
𝑦1 𝑓(𝑥
𝑊
+ Pn−1 (x
𝑢𝑛 =
dn−1 y
dxn−1
𝑑𝑥
+ Pn−2 (x
dn−2 y
dxn−2
+ ⋯ + P1 (x
dy
dx
+ P0(x y = f(x
𝑊𝑛
𝑑𝑥
𝑊
Transformada de Laplace
Útil para resolver problemas de valor inicial lineales
Donde p(x) es el coeficiente que acompaña a la
primera derivada.
Transformada Integral:
𝑏
𝑒 −𝑠𝑡 𝑓(𝑡 𝑑𝑡 = ℒ 𝑓(𝑡
0
No Homogéneas
𝑦 = 𝑦𝑐 + 𝑦𝑝
𝑦 = solución general
𝑦𝑐 = solución de la homogénea
𝑦𝑝 = soluciónparticular
Operador anulador
𝐷 𝑛 → 1, 𝑥, 𝑥 2 , … , 𝑥 𝑛−1
→ 𝑒 ∝𝑥 𝑥𝑒 ∝𝑥 , 𝑥 2 𝑒 ∝𝑥 , … , 𝑥 𝑛−1 𝑒 ∝𝑥
𝐷 2 − 2 ∝ 𝐷 + (∝2 + 𝛽 2
∝𝑥
ℒ 𝑦´´(𝑡
= 𝑠 2 ʏ(𝑠 − 𝑠 𝑦(0 − 𝑦´(0
ℒ 𝑦´´´(𝑡
= 𝑠 3 ʏ(𝑠 − 𝑠 2 𝑦(0 − 𝑠 𝑦´(0 − 𝑦´´(0
= 𝒔𝒏 ʏ(𝒔 − 𝒔𝒏−𝟏 𝒚(𝟎 − 𝒔𝒏−𝟐 𝒚´(𝟎 −. . . 𝒚(𝒏−𝟏 (𝟎
𝓛−𝟏 ʏ(𝒔
D : operador diferencial lineal
𝑛
= 𝑠 ʏ(𝑠 − 𝑦(0
𝓛 𝒚𝒏 (𝒕
𝑑𝑛 𝑦
= 𝐷2 𝑦
𝑑𝑥 𝑛
(𝐷−∝
ℒ 𝑦´(𝑡
∝𝑥
2 ∝𝑥
𝑛
→
𝑒 cos 𝛽𝑥 , 𝑥𝑒 cos 𝛽𝑥 , 𝑥 𝑒 cos 𝛽𝑥 , … , 𝑥 𝑛−1 𝑒 ∝𝑥 cos 𝛽𝑥
𝑒 ∝𝑥 sin 𝛽𝑥 , 𝑥𝑒 ∝𝑥 sin 𝛽𝑥 , 𝑥 2 𝑒 ∝𝑥 sin 𝛽𝑥 , … , 𝑥 𝑛−1 𝑒 ∝𝑥 sin 𝛽𝑥
= 𝒚(𝒕
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