Curso Basico de Topografia-Fernando Garcia Marquez

CURSO BÁSICO DE
TOPOGRAFÍA
planimetría • agrimensura • altimetría
CURSO BÁSICO DE
TOPOGRAFÍA
planimetría • agrimensura • altimetría
•
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FERNANDO GARCÍA MÁRQUEZ
•
árbol editorial
•
© 1994 Árbol Editorial, S.A. de
c.v.
Av. Cuauhtémoc 1430
Col. Sta. Cruz Atoyac
Tel.: 688/6458
Fax: 605/7600
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México, D.F. 03310
Tercera reimpresión
ISBN 968-461-003-3
Reservados todos los derechos
Impreso en México/Printed in Mexico
DEDICATORIA
Al Heroico Colegio Militar) mi Alma Mater)
en cuyas aulas me inicié en 1943 como cadete en el estudio de esta disciplina) y a la Escuela
Militar de Ingenieros) en la cual he participado
en la' enseñanza de la Topografía desde 1963
a la fecha.
A LOS ALUMNOS
Esta obra fue elaborada con el propósito de facilitar el estudio de la
Topografía a los alumnos.
Cada capítulo contiene problemas resueltos, seleccionados cuidadosamente, que sirven de guía al alumno para la resolución de otros p'roblemas.
Si logro evitar esfuerzos inútiles a los estudiantes de esta asignatura
me sentiré satisfecho.
INO. FERNANDO OARCIA MARQUEZ
CONTENIDO
~
Capítulo 1
ff~
1
GENERALIDADES
Aplicaciones de la Topografía, 1
División de la Topografía, 3
Levantamiento, clases de levantamientos,
Levantamientos topográficos, 4
Poligonal, clases de poligonales, 5
Los errores, 5
4
Capítulo lJ
PLANIMETRIA
9
Levantamientos plaJ)'imétricos, 9
Medida directa de distancias, 9
!Medidas con cinta, ] O
Errores en la medida de distancias con cinta, 12
Tolerancias en medida de distancias con cinta, 13
Problemas, 14
Problemas resueltos con cinta, 16
Problemas, 27
Levantamientos con cinta,
31
Métodos de levantamiento con cinta, 36
Método de radiaciones, 36
Método de diagonales, 37
Método de líneas de liga, 37
Método de alineaciones, 38
Método de coordenadas rectangulares, 39
Levantamiento de edificaciones, 40
Levantamiento de detalles, 40
,Problemas, 41
X
Contenido
Levantamientos con brújula y cinta,
50
Definiciones, 50
Descripción de la brújula, 59
Condiciones que debe satisfacer toda brújula, 61
Usos de la brújula, 61
Ventajas en el uso de la brújula, 62
Inconvenientes en el uso de la brújula, 62
Atracciones locales, 62
Mét.xlos de levantamiento con brújula y cinta, 64
Método de itinerario, 65
Problemas, 68
Método de radiaciones, 78
Método de intersecciones, 79
Método de coordenadas rectangulares, 79
Dibujo de la poligonal, 80
Compensación gráfica, 81
Determinación de la superficie del polígono por medio del
planímetro, 84
Levantamientos
COIl
tránsito )' cinta,
88
Descripción del tránsito, 88
Usos del tránsito, 91
Condiciones que debe satisfacer un tránsito para su buen
funcionamiento, 91
Vernier, 96
Medida de ángulos, 99
Medida simple, 99
Medida por repeticiones, lOO
Medida por reiteraciones, 102
Métodos de levantamiento con tránsito y cinta, 103
Método de medida directa de ángulos, ] 03
Orientación magnética, 104
Medida de los ángulos, 105
Comprobación del ángulo medido, ] 05
Problema, 124
Método de deflexiones. 130
Prohlema, 136
Método de conservación de azimutes, 141
Problemas. 149
Prohlemas, 154
Capít/llo 111
205
AG RlMENSURA
Métodos gráficos, 205
Métodos mecánicos, 206
Métodos analíticos. 206
~:vlU'f!l-ro¡jlRff
.5
Contenido
Triangulación del polígono, 206
'P roblemas, 207
Método de las coordenadas, 208
Problemas, 21 1
Método de las dobles distancias meridianas,
Problemas, 21 6
Regla de los trapecios, 220
Problemas, 222
Regla de Simpson, 224
Problemas, 225
Agrodesia, 227
Problemas, 229
XI
214
Capítulo IV
ALTIMETRIA O NIVELACION . .
245
Nivelación directa o topográfica, 247
Niveles, 247
N iveles fijos o topográficos, 248
Condiciones que debe reunir un nivel tipo americano, 250
Condiciones que debe reunir un nivel ,t ipo inglés, 252
Errores en la nivelación, 254
Nivelación diferencial. 259
Problemas, 264
Comprobación de una nivelación, 266
Problemas, 267
Nivelación de perfil, 272
Construcción de un perfil, 275
'P roblemas, 277
Nivelación trigonométrica, 281
..
Eclímetro, 282
Eclímetro de la brújula, 283
Plancheta de pendientes. 284
"
~
'Problemas, 285
Nivelación barométrica. 297
Barómetros, 297
Barómetros de mercurio. 297
Aneroides, 300
Termobarómetros o hipsómetros. 302
Medición de alturas. 304
Prohlemas, 30ó
1
CAPÍTULO I
GENERALIDADES
Definic7ón, aplicaciones y división de la topografía
Se define la TOPOGRAFÍA (dél griego: topos, lugar y graphein, describir)
como la ciencia que trata de los principios y métodos empleados para
determinar las posiciones relativas de los puntos de la superficie terrestre,
por medio de medidas, y usando los tres elementos del espacio. Estos elementos pueden ser: dos distancias y una elevación, o una distancia, una
dirección y una elevación.
La TOPOGRAFÍA, en general, es una aplicación de la geometría y, por
tanto, sin el conocimiento de esta ciencia, sería imposible que aquélla
llenara el cometido que tiene asignado.
La TOPOGRAFÍA define la posición y las formas circunstanciales del
suelo; es decir, estudia en detalle la superficie terrestre y los procedimientos
por los cuales se pueden representar, todos los accidentes que en ella existen,
sean naturales o debidos a la mano del hombre. El medio usual de expresión es el dibujo.
La TOPOGRAFÍA se encuentra directamente relacionada con la Tierra.
El estudio de la Tierra como cuerpo en el espacio le corresponde a la
Astronomía; y como globo terrestre en lo que concierne a su configuración
precisa y a su medida le corresponde a la Geodesia; pero el hombre tiene
necesidad de algo más, de un estudio detallado de un territorio determinado
de la tierra, en el cual orientará su existencia diaria.
He aquí donde entra la topografía: ayuda a determinar los linderos
de la propiedad, con sus divisiones interiores y diversos cultivos, las viviendas, los caminos y los ríos, los puentes, los ferrocarriles, los montes con
sus valles y barrancos, los bosques, los pantanos, etc., y, en suma, todas
aquellas particularidades del terreno que puedan interesar en las cuestiones
que se presentan en las necesidades de la vida práctica. .
APLICACIONES DE LA TOPOGRAFIA
A la topografía se le puede considerar como una de las herramientas
básicas de la ingeniería civil, aunque se le llega a utilizar en otras espe1
~UfM~~
2
Curso básico de topografía
~
cialidades. Las materias propedéuticas son la geometría, la trigonometría,
la física y la astronomía, por tanto, se puede decir que la topografía es
una ciencia aplicada.
Además del conocimiento de las materias mencionadas, 1?'ara la realización de los trabajos topográficos se hacen necesarias algunas cualidades
personales como: iniciativa, habilidad para manejar los aparatos, habilidad
para tratar a las personas y buen criterio.
La topografía tiene un campo de aplicación extenso, lo .que la hace
sumamente necesaria. Sin su conocimiento no podría el ingeniero por sí
solo proyectar ninguna obra. Sin un buen plano no podría proyectar debidamente un edificio o trazar un fraccionamiento; sin el levantamiento de
secciones transversales no le sería posible proyectar presas, puentes, canales, carreteras, ferrocarriles, etc. Tampoco podría señalar una pendiente
determinada como se requiere en un alcantarillado.
Además, al ingeniero recién graduado que ingresa a una empresa constructora o institución, generalmente los primeros trabajos que se le encomiendan son sobre topografía. Así pues, toda recomendación para que se
preocupe en el conocimiento de los métodos topográficos es pequeña y
el estudiante así debe entenderlo.
Las actividades fundamentales de la topografía son el trazo y el levantamiento.
El trazo es el procedimiento operacional que tiene como finalidad el
replanteo sobre el terréno de las condiciones establecidas en un plano;
y el levantamiento comprende las operaciones necesarias para la obtención
de datos de campo útiles para poder representar un terreno por medio de
su figura semejante en un plano.
La topografía tiene una gran variedad de aplicaciones:
Levantamiento de terrenos en general, para localizar y marcar linderos, medida y división de superficies y ubicación de terrenos en planos
generales.
Localización, proyecto, trazo y construcción de vías de comunicación:
caminos, ferrocarriles, canales, líneas de transmisión, acueductos, etc.
La topografía de minas tiene por objeto fijar y controlar la posición
de trabajos subterráneos y relacionarlos con las obras superficiales.
Levantamientos catastrales hechos con el propósito de localizar límites
de propiedad y valorar los inmuebles para la determinación del impuesto
correspondiente.
Topografía urbana es la denominación que con frecuencia se da a
las operaciones que se realizan para la disposición de lotes, construcción
de calles, sistemas de abastecimiento de agua potable y sistemas de drenaje.
La topografía hidrográfica estudia la configuración de océanos, lagos,
ríos, etc., para propósitos de navegación, suministro de agua o construcción subacuática.
La topografía fotogramétrica es la aplicación a la topografía de la
ciencia de las mediciones por medio de fotografías. Se usa para levanta-
Generalidades
3
mientos topográficos generales, levantamientos preliminares de rutas, para
fines militares y aun para levantamientos en áreas agrícolas.
La topografía también es usada para instalar maquinaria y equipo
industrial; en la construcción de barcos y aviones; para preparar mapas
geológicos y forestales; en la navegación por control electrónico para fijar
la situación de puntos determinados sobre los planos empleados; en cuestiones militares (táctica, estrategia, logística, etc.); en la fabricación y
.
montaje de proyectiles dirigidos, etc.
Así pues, la topografía sirve y está en mayor o menor escala en caSI
todas las obras que el hombre hace o pretende hacer, desde medir una
propiedad hasta para lanzar un cohete al espacio.
DIVISION DE LA TOPOORAFIA
Para su estudio la topografía se divide en tres partes:
TOPOLOGÍA que estudia las leyes que rigen las formas del terreno.
TOPOMETRÍA que establece los métodos geométricos de medida.
PLANOGRAFÍA que es la representación gráfica de los resultados y
constituye el dibujo topográfico.
Para que sea completa la representación gráfica de una porción de
la superficie terrestre, deberá contener:
La forma general del terreno, o sea, su contorno o perímetro y los
detalles interiores (construcciones, caminos, puentes, ríos, etc.).
La diferencia de altura que guardan los puntos del terreno, unos respecto a otros; y
La superficie del terreno.
Por lo antes expuesto, se deduce que la topografía (topometría), según
las operaciones que se ejecutan para representar el terreno, se divide en
tres partes que son:
PLANIMETRÍA que estudia los instrumentos y métodos para proyectar
sobre una superficie plana horizontal, la exacta posición de los puntos más
importantes del terreno y construir de esa manera una figura similar al
mismo.
ALTIMETRÍA que determina las alturas de los diferentes puntos del
terreno con respecto a una superficie de referencia; generalmente correspondiente al nivel medio del mar.
AGRIMENSURA que comprende los procedimientos empleados para medir
la superficie de los -terrenos y para fraccionarlos.
4
Curso básico de topografía
LEVANTAMIENTO
El levantamiento es uno de los más VIeJOS artes practic~dos por el
hombre, porque desde épocas tempranas ha sido necesario marcar límites
y dividir la tierra. Es una operación técnica que consiste en medir directamente el terreno.
Se puede definir el levantamiento como el conjunto de operaciones y
medios puestos eL práctica para determinar las posiciones de puntos del
terreno y su representación en un plano.
Clases de levantamientos
En cuanto a su extensión, los levantamientos pueden ser topográficos
o geodésicos.
LEVAN1AMIENTOS TOPOGRÁFICOS son los que se extienden sobre una
porción relativamente pequeña de la superficie de la Tierra que, sin
error apreciable, se considera como si fuera plana.
Las dimensiones máximas de las zonas representadas en los planos
topográficos no superan en la práctica los 30 Km de lado, correspondientes aproximadamente a un círculo de 30 Km de diámetro, límites dentro
de los cuales se puede hacer abstraccióR de la curvatura de la superficie
terrestre.
LEVANTAMIENTOS GEODÉSICOS son aquellos que abarcan grandes extensiones y obligan a tomar en cuenta la forma de la Tierra, ya sea
considerándola como una verdadera esfera, o más exactamente, como un
esferoide de revolución. Estos levantamientos se salen de los límites de
la topografía y entran en el dominio de la geodesia.
LEVANTAMIENTOS TOPOGRAFICOS
Los levantamientos topográficos en cuanto a su calidad se dividen como
SIgue:
PRECISOS, que se ejecutan por medio de triangulaciones o poligonales
de precisión. Se emplean para fijar los límites entre naciones o estados,
en el trazo de ciudades, etc.
REGULARES, los cuales se .realizan por medio de poligonales, levantadas con tránsito y cinta. Se usan para levantar linderos de propiedades,
para el trazo de caminos, vías férreas, canales, ciudades pequeñas, etc.,
y en obras de saneamiento en las ciudades.
~ff
~
Generalidades
5
TAQUIMÉTRICOS, en los cuales las distancias se miden por procedimientos indirectos. Generalmente se ejecutan con tránsito y estadía, y se emplean
en trabajos previos al trazo de vías de comunicación, en trabajos de
configuración y de relleno, y también para la formación de planos a
pequeña escala.
EXPEDITIVOS, efectuados con aparatos portátiles, poco precisos, como:
brújula, sextante, podómetro, telémetro, estadía de mano, etc., Y. cuando
no se dispone de aparatos se ejecutan a ojo o por informes proporcionados
por los habitantes de la región. Estos levantamientos se emplean en reconocimientos del terreno o en las exploraciones militares.
POLIGONAL
En topografía se da el nombre de poligonal a un polígono o a una
línea quebrada de n lados. También se puede definir la poligonal como
una sucesión de líneas rectas que conectan una serie de puntos fijos.
Clases de poligonales
De la definición de poligonal se deduce que las poligonales pueden
ser cerradas
abiertas.
°
POLIGONAL CERRADA es aquella cuyos extremos inicial Y final coinciden; es decir, es un polígono.
POLIGONAL ABIERTA es una línea quebrada de n lados o aquella poligonal cuyos extremos no coinciden.
Existen dos cIases de poligonales abiertas: las de enlace Y los caminamientos.
POLIGONAL DE ENLACE es una poligonal abierta cuyos extremos son
conocidos de antemano y, por tanto, puede comprobarse.
CAMINAMIENTO se denomina a una poligonal abierta, en la cual sólo
se conoce el punto de partida y por esto no es susceptible de comprobación.
LOS ERRORES
No se puede medir exactamente ninguna magnitud; por perfectos que
sean los procedimientos y aparatos que se empleen; cada medida que se
6
Curso básico de topografía
haga estará siempre afectada por un error. Al considerar una magnitud
cualquiera debemos distinguir en ella tres valores: valor verdaderp, valor
observado y valor más probable.
Valor verdadero de una magnitud es el que está exento de todo error;
y por lo mismo, será siempre desconocido para nosotros.
Valor observado es el que resulta de la observación o experiinentación,
después de hechas todas las correcciones instrumentales y del medio en
que se trabaja.
Valor más probable de una cantidad es el que más se acerca al valor
verdadero de acuerdo con las observaciones hechas o medidas tomadas.
Al referimos a las medidas, es importante distinguir entre exactitud y
precisión.
Exactitud es la aproximación a la verdad o bien el grado de conformidad con un patrón.
Precisión es el grado de refinamiento con que se lee una medida o el
número de cifras con el que se hace un cálculo. También se define como
el grado de refinamiento para ejecutar una operación o para dar un
resultado.
De estas dos definiciones, compatibles entre sÍ, se sigue, que una medida puede ser exacta sin ser precisa, y viceversa. Por ejemplo, una distancia
puede medirse cuidadosamente con una cinta, aproximando hasta los
milímetros, y tener; sin embargo, un error de varios centímetros por ser
incorrecta la longitud de la cinta. La medida es precisa, pero no exacta.
Fuentes de error
Una de las funciones más importantes del ingeniero es obtener medidas
que estén correctas dentro de ciertos límites de error, fijados por la Naturaleza y objeto del levantamiento, para lo que se requiere que conozca las
fuentes de error, el efecto de los diferentes errores en las cantidades observadas, y esté familiarizado con el procedimiento necesario para mantener
la precisión requerida.
En las medidas hechas en topografía no es posible tener el valor exacto
a causa de los inevitables errores inherentes al operador, a la clase de
instrumentos empleados y a las condiciones en que se efectúa la medida.
Los errores personales se producen por la falta de habilidad del observador para leer los instrumentos. La apreciación de una lectura en una
cinta, por ejemplo, depende de la agudeza visual del observador y se
~ff
.5
Generalidades
7
comprende que a causa de la imperfección de nuestros sentidos, nOo es pOosible que se pueda hacer una coincidencia perfecta 00 una lectura exacta.
Los errores instrumentales se Ooriginan por las imperfecciOones 00 ajuste
defectuoso de los instrumentOos con que se toman las medidas.
Los errores naturales se deben a las variaciOones de los fenómenos de
la Naturaleza comOo la temperatura, la humedad, el viento, la gravedad, la
refracción atmosférica y la declinación magnética.
Clases de errores
Error verdadero es la diferencia entre el valOor verdaderOo de una cantidad y el OobservadOo, razón por la que siempre será descOonocido para nosOotros; y como lOo único que llegamos a conocer es el valor más probable;
es decir, el más cercanOo al verdadero, la diferencia entre este valOor y el
observado se designa cOon el nombre de error residuo o residuo simplemente.
Los errores pueden dividirse en sistemáticos y accidentales.
Errores sistemáticos son aquellos que siguen siempre una ley definida
física o matemática y, mientras las cOondiciones en que se ejecutan las
medidas permanezcan invariables, tendrán la misma magnitud y el mismo
signo algebraico; por tantOo, son acumulativos. La magnitud de estos errOores
se puede determinar y se eliminan aplicandOo métodos sistemáticos en el
trabajOo de campo o correcciones a las medidas.
Los errores sistemáticos pueden ser instrumentales, persOonales o
naturales.
Errores accidentales son los que obedecen a una combinación de causas
que no alcanza el Oobservador a controlar y para las cuales no es posible
obtener correcciones; para cada Oobservación la magnitud y signOo algebraico del errOor accidental dependen del azar y no pueden calcularse. Como
todos los errOores accidentales tienen las mismas probabilidades de ser
positivos que negativos, existe ciertOo efectOo compensador y por ellOo muchos
de lOos errOores accidentales se eliminan. Los errores accidentales sólo se
pueden reducir por mediOo de un mayor cuidado en las medidas y aumentando su númerOo.
Eq uivocaciones
Una equivocación es una falta involuntaria ·Ooriginada por el mal criterio,
falta de cuidado o de conocimientos, distracción o confusión en la mente
del OobservadOor.
Las equivocaciones no pertenecen al campOo de la teoría de los errores
y, a diferencia de éstos, nOo pueden cOontrolarse y estudiarse. Las equivOocaciOones se encuentran y se eliminan comprobandOo todo el trabajOo.
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Curso básico de topografía
Discrepancia
Una discrepancia es la diferencia entre dos medidas de la mjsma magnitud: distancia, ángulo o desnivel.
Valor más probable
El valor más probable de una magnitud medida varias veces, en idénticas condiciones, es el promedio de las medidas tomadas o media aritmét:'ca.
Esto se aplica tanto a ángulos como a distancias y desniveles.
Comprobaciones
En todo trabajo de topografía, se debe buscar siempre la manera de
comprobar las medidas y los cálculos ejecutados. Esto tiene por objeto
descubrir equivocaciones y errores, y determinar el grado de precisión
obtenic3.
Tolerancia
Se entiende por tolerancia el error máximo admisible en la medida de
ángulos, distancias y desniveles.
~ff
•
CAPÍTULO
11
PLANIMETRíA
Se llama planimetría al conjunto de los trabajos efectuados para tomar
en el campo los datos geométricos necesarios que permitan construir una
figura semejante a la del terreno, proyectada sobre un plano horizontal.
Levantamientos planimétricos
Estos levantamientos pueden ejecutarse de varias maneras:
Con cinta exclusivamente.
Por medio de poligonales, determinando las longitudes de los lados y
los ángulos que éstos forman entre sí; y
Por triangulaciones, cubriendo la zona que se va a levantar, con redes
de triángulos ligados entre sí. Por lo regular este método se elliplea en el
levantamiento de grandes extensiones de terreno, y se hace la medida
directa de uno de sus lados que se denomina base, así como la de los
ángulos de los triángulos.
Los levantamientos planimétricos por medio de poligonales, se clasifican como sigue:
Levantamientos
Levantamientos
Levantamientos
Levantamientos
con
con
con
con
brújula y cinta.
tránsito y cinta.
tránsito y estadia.
plancheta.
Medida directa de distancias
En topografía, se entiende por distancia entre dos puntos la distancia
horizontal. La medida directa de una distancia consiste en la aplicación
material de la unidad de medida a lo largo de su extensión. El método
más común de determinar distancias es con la medida directa por medio
de la cinta.
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10
Curso básico de topografía
"~UéH¡~#
.5
Medidas con cinta
El equipo que se emplea en la medida directa de distancias es el
siguiente:
Cinta de acero de 20, 30 o 50 metros de longitud, graduadas en
centímetros; generalmente tienen una anchura de 7.5 milímetros.
Cinta de lona en la que se han entretejido alamLres delgados de latón
o de bronce para evitar que se alargue.
Cinta de metal invar, de uso general para medidas muy precisas. E1
invar es una aleación de acero y níquel a la que afectan poco los cambios
de temperatura. La dilatación térmica de la cinta de metal invar es aproximadamente la décima parte de las cintas de acero.
Balizas de metal, madera o fibra de vidrio. Son de sección circular,
tienen una longitud de 2.50 m y están pintadas de rojo y blanco, en
tramos alternos de medio metro. Las de madera y las de fibra de vidrio
están protegidas en el pie por un casquillo con punta de acero. Se usan
como señales temporales para indicar la posición de puntos o la dirección
de líneas.
Fichas de acero de 25 a 40 cm de 10ngitud. Se emplean para marcar
los extremos de la cinta durante el proceso de la medida de la distancia
entre dos puntos que tienen una separación mayor que la longitud de la
cinta empleada. Un juego de fichas consta de 11 piezas.
Plomadas, generalmente de latón, de 280 a 450 gramos, provistas de
una punta cambiable de acero de aleación resistente al desgaste, y de un
dispositivo para ponerles un cordón que queda centrado. En roca o pavimento pueden marcarse los puntos con crayón o pintura de aceite.
Medidas de distancias sobre terreno horizontal
Para medir la distancia entre dos puntos del terreno, previamente se
materializan los extremos de la línea. La medida exige dos operadores:
el zaguero o cadenero de atrás y el delantero o cadenero de adelante.
La operación se realiza en la forma siguiente:
El zaguero contará las fichas y entregará al delantero 10 de ellas;
tomará la cinta colocando la marca cero en coincidencia con el eje de
la ficha inicial, mientras el delantero tomando el otro extremo de la cinta
se encaminará en la dirección de la línea por medir y atenderá las indi-
Planimetría
11
caciones del zaguero para que la cinta quede alineada. Durante el proceso
de alinear, el cadenero de adelante está a un lado, frente a la línea, sosteniendo firmemente la cinta; con una mano coloca la ficha verticalmente
en línea y con la otra mantiene la cinta estirada y la pone en contacto con
la ficha. Como comprobación, vuelve a estirar la cinta y verifica que el
extremo de las graduaciones de la cincta coincida con el eje de la ficha
plantada. Entonces grita "bueno"; y el cadenero de atrás suelta la cinta;
el de adelante avanza; y de esta manera se repite el proceso.
Al partir, el zaguero recoge la ficha. De esta manera, siempre hay una
ficha en el terreno, y el número de fichas que trae el zaguero indica en
cualquier tiempo el número de puestas de cinta del origen a la ficha que
está en el terreno.
Cuando el delantero llegue al extremo de la línea que se está midiendo,
hará la lectura de la fracción correspondiente.
La distancia total medida se obtendrá multiplicando el número de
fichas que recogió el zaguero por la longitud de la cinta y añadiendo la
fracción leída en el extremo de la línea.
Para distancias largas, se usan generalmente 11 fichas de las cuales
10 recoge el cadenero de atrás; cuando el zaguero comprueba que ya
tiene 10 fichas volverá a entregarlas al delantero. Si se opera con una
cinta de 20 metros, por ejemplo, cada cambio o tirada corresponderá a
200 metros medidos.
Medidas de distancias sobre terreno inclinado
Cuando la pendiente del terreno es muy variable, se emplea el método
llamado de escalones, presentándose los dos casos siguientes:
Terreno descendente. A partir del punto inicial el zaguero colocará
~l extremo de la cinta en el suelo y en coincidencia con dicho punto y el
delantero manteniendo la cinta horizontal, a ojo, ejercerá tensión sobre
ella de manera que se reduzca al mínimo la curvatura que toma bajo la
acción de su peso; cuando el delantero es é alineado, utilizando una plomada, marcará el punto del terreno, en el sitio señalado por la punta de la
plomada, y colocará la ficha correspondiente.
El zaguero se trasladará entonces en esa dirección y comenzará la
medida siguiente en la forma indicada.
Este procedimiento adolece de que la horizontalidad de la cinta extendida es aproximada, porque se estima a ojo.
Terreno ascendente. Cuando la medida se realiza en terreno ascendente, además del error por la horizontalidad aproximada de la cinta,
se comete otro debido a que la baliza plantada al lado de cada ficha no se
encuentra en posición vertical. En este caso el zaguero levantará la cinta,
manteniéndola a 10 largo de la baliza, hasta que el delantero, teniendo la
12
Curso básico de topografía
cinta horizontal a ojo, haga contacto con el suelo y una vez alineado por
el zaquero coloque la ficha. Si se requiere mayor precisión debe usarse
la plomada en vez de la baliza.
Si la pendiente del terreno es constante, la cinta puede ponerse paralela
al terreno, y deberá medirse también el ángulo vertical o la pendiente para
calcular posteriormente la distancia reducida al horizonte o sea la proyección horizontal de la distancia medida.
Errores en la medida de distancias con cinta
SISTEMÁ TICOS
Longitud incorrecta de la cinta. Se determina, por longitud de cinta,
comparándola cm: un patrón.
Si la longitud de la cinta es mayor que la correcta, el error es negativo
y, por tanto, la corrección será positiva y viceversa.
Catenaria. Se comete este error cuando la cinta no se apoya sobre
el terreno sino que se mantiene suspendida por sus extremos, formando
entonces una curva llamada catenaria. Este error es positivo y se elimina
aplicando la corrección calculada.
Alineamiento. incorrecto. Se produce este error cuando la alineación
se separa de la dirección verdadera. Es positivo y, en consecuencia, la
corrección es negativa. Este error es de poca importancia, pues una desviación de 2 cm en 20 m, apenas produce un error de 1 mm.
Inclinación de la cinta. Si se opera en terreno quebrado hay que colocar a ojo, en posición horizontal, toda la cinta o parte de ella. El error
es positivo, por tanto, la corrección debe aplicarse con signo contrario
al error.
Variaciones de temperatura. Los errores debidos a las variaciones de
temperatura se reducen mucho utilizando cintas de metal invar. La cinta
se dilata al aumentar la temperatura y se contrae cuando la temperatura
disminuye; en el primer caso el error es positivo y negativo en el segundo.
Variaciones en la tensión. Las cintas, siendo elásticas, se alargan
cuand9 se les aplica una tensión. Si ésta es mayor o menor que la que
se utilizó para compararla, la cinta resultará larga o corta con relación
al patrón. Este error sistemático es despreciable excepto para trabajos
muy precisos.
ACCIDENTALES
De índice o de puesta de ficha. Consiste este error en la falta de
coincidencia entre el punto terminal de una medida y el inicial de la siguiente. Se evita colocando las fichas en posición vertical.
~r»ff
.5
Planimetría
13
Variaciones en la tensión. En los trabajos comunes la tensión que
se da a la cinta es la natural ejercida por los cadeneros, y puede ser
mayor o menor que la usada en la comparación de la cinta con el patrón.
Apreciación de fracciones al leer las graduaciones. Este error se comete al hacer las lecturas de las fracciones, por no coincidir las marcas
colocadas en el terreno con las graduaciones de la cinta.
TOLERANCIAS EN MEDIDA DE DISTANCIAS CON CINTA
1Q Si no se conoce la distancia entre dos puntos, puede determinarse
midiéndola en los dos sentidos; es decir, de ida y regreso.
En este caso la tolerancia se calcula aplicando la fórmula siguiente:
T
= 2e ~ ~L
(1)
en la cual:
T =
e =
L =
1 =
tolerancia, en metros.
error cometido en una puesta de cinta, en metros.
promedio de medidas, en metros.
longitud de la cinta empleada, en metros.
Error: Si se hacen dos o más medidas, el error de cada una de ellas
es la diferencia con el promedio aritmético de medidas, o valor más probable.
2Q Si se conoce la verdadera longitud de la línea, la cual puede haber
sido obtenida por métodos más precisos, y después se tiene que volver a
medir la distancia, por ejemplo, para fijar puntos intermedios, la tolerancia está dada por la fórmula:
(2)
siendo:
=
=
=
tolerancia, en metros.
error cometido en una puesta de cinta, en metros.
longitud medida, en metros.
1 = longitud de la cinta, en metros.
K = error sistemático por metro, en metros.
T
e
L
El error está dado por la diferencia entre la longitud conocida y la
longitud media.
14
Curso bási:o de topografía
Los valores de "e" y "K" pueden tomarse de la tabla de valores experimentales que figuran en el libro MÉTODOS TOPOGRÁFICOS del Ing. Ricardo Toscano:
Condiciones de las medidas
e (metros)
K (metros)
Terreno plano, cinta bien comparada y alineada, usando plomada y corrigiendo por temperatura
Terreno plano, cinta bien comparada
Terreno quebrado
Terreno muy quebrado
0.015
0.02
0.03
0.05
0.0001
0.0003
0.0005
0.0007
PROBLEMAS
1.
En la medida de una distancia, en terreno quebrado, usando una
cinta de 50 m, se obtuvieron los dos valores:
Ll
=
150.04 m (ida)
y
L2
=
150.08 m (regreso)
Calcular el error cometido, la toleran'cia y el valor más probable
de la distancia medida, indicando sí se acepta el resultado o debe
repetirse la medida.
SOLUCIÓN
DATOS:
Ll = 150.04 m
L,2 = 150.08 m
Terreno quebrado
1 = 50 m
Designemos por L el valor más probable:
2
L = Ll +
2 L
E
E =
error = ?
E = L2
T =
tolerancia = ?
2e~ ~L
150.06 m
~ff
L = valor más probable de la distancia
medida = ?
T =
=
.5
= 2(0.03)
=
~
Ll - L
-
2 X
=
150.04 150.06
L = 150.08 150.06
E = +0.02 m
=
- 0.02 m
=
+ 0.02 m
5~0.06 = +0.06~ 300~12
T = +0.15 m
Planimetría
Se acepta el resultado, porque: E < T
Y el valor más probable para la distancia medida:
2.
1S
L = 150.06 m
La distancia entre dos puntos, en terreno plano, es de 298.10 m.
Con una cinta comparada, de 30 m, y corrigiendo por temperatura
al medir esta distancia resultó de 298.02 m. ¿Es correcta la medida o debe repetir-se?
SOLUCIÓN
Longitud conocida = 298.10 m
Distancia medida = 298.02 m
Terreno plano
Longitud de la cinta = 30.00 m
Error = 298.10 - 298.02 = 0.08 m
Tolerancia = 2 ( 0.015 ~ 29: 02 + 0.0001 X 298.02 )
0
= 0.03~29~~02 + 0.0002 X 298.02
Tolerancia = 0.15 m
La medida es correcta, porque:
3.
E
= 0.0945
+ 0.0596
< T.
En terreno muy quebrado, se empleó una cinta de 20 m para medir
una distancia, obteniéndose los siguientes resultados:
Ll = 120.38 m (ida)
L 2 = 120.06 m (regreso)
Si se acepta el resultado, ¿cuál es el valor más probable de la distancia?
SOLUCIÓN
Error = 120.38 Error
= 120.06 --
120.38
+ 120.06
120.22
= -0.16 m
2
= 120.38 120.22 = +0.16 m
E = -+-0.16 m
Tolerancia
= 2(0.05) ~
2 X ;gO.22
= 0.1 v' 12.022 =
-+-0.35 m
T = -+-0.35 m
E
<T
por tanto, el valor más probable para la distancia medida
es: L ,= 120.22 m.
Curso básico de topografía
16
PROBLEMAS RESUELTOS CON CINTA
Trazo de perpendiculares
A.
Levantar una perpendicular en cualquier punto sobre una línea.
1.
Se puede determinar dicha perpendicular por medio de_ID!.
.. triángulo rectángulo cuyos lados estén en la proporción ~:I\ pues
un triángulo en el que se cumple esta condición, siempre es rectángulo. En efecto:
(5n)"l = (4n)2
+ (3n)2
Al emplear este método, la distancia correspondiente a uno de
los catetos se mide a lo largo de la línea de referencia. Si un
cadenero junta la extremidad O de la cinta con la marca de 12
metros y otro cadenero la detiene en la marca de 3 metros, y
un tercero en la de 7 metros, y se mantiene tensa la cinta, se
estará formando un triángulo rectángulo. (Fig. NQ 1.)
~ff
.5
4m.
A .
~
IV~ &(
B
3m.
Figura 1
Este procedimiento tiene los inconvenientes de que se requieren
tres personas y que la cinta no se puede doblar completamente
en los ángulos del triángulo.
2.
Desde un punto cualquiera P, descríbase un arco de círculo con
un radio P A, intersectando MN en C. El punto B de la perpendicular AB a la línea MN se encuentra prolongando CP; es decir, B
se halla en línea con CP y PB = CP. (Fig. NQ 2.)
Planimetría
17
I
P
/
~
/
I
/
/
M __----______~~--------~~~-----------A
e
Figura 2
Por ejemplo, si se usa una cinta de 30 metros, establézcase el punto
P a 15 metros desde A, deteniendo la marca O en A.
El punto e se encuentra, manteniendo en P
e intersectando la línea MN con la extremidad
do luego la marca O de la cinta en e, con la
prolónguese la cinta hasta que la marca 30
punto B.
3.
la marca 15 metros
O de la cinta; tenienmarca 15 aún en P,
metros determine el
La perpendicular AB al alineamiento MN se puede trazar también,
midiendo distancias iguales a uno y otro lado del punto A. (Fig.
NQ 3.)
Se eligen dos puntos B y e, de tal manera que AB = Ae; con
la cinta se trazan arcos de igual radio, haciendo centro en B y e.
La intersección de los arcos será el punto D de la perpendicular
buscada.
D
AB = Ae
BD = eD
~1 ________*-__+-~__~__~__~~/________
B
A
Figura 3
2
Curso básico de topografía
18
B.
Desde un punto exterior a un alineamiento bajar una perpendicular a
éste.
1.
Bajar del punto D la perpendicular DA al alineamiecto MN. (Fig.
NQ 4.)
Con un radio arbitrario, mayor que AD, trácense las intersecciones
en B y en C sobre el alineamiento MN. Mídase la distancia BC
y materialícese el punto A pie de la perpendicular" buscada, toJ
mando a partir de B, sobre la línea MN, la distancia BA
~ff
D
.5
/ \
/
\
/
/
\
j
X
/
/
M:
= ~ BC.
'-
..
\
\
/
\
j90 0
I
\</
//:lo
((<
----- ..
B
~
A
-N
C
Figura 4
2.
Este problema puede resolverse también de la manera siguiente
(Fig. NQ 5):
/
ci
/,
j
j\
Be = CD
\
\
/
/
M,
~o~\l/
:>A
B
Figura 5
N
Planimetría
19
Tómese un punto B arbitrario sobre el alineamiento y materialícese
el punto medio C de la distancia BD. Luego, con centro en C y
radio igual a CB, trácese el arco CA. El punto A de intersección
de este arco con el alineamiento M N es el pie de la perpendicular
buscada.
3.
Del punto D bajar una perpendicular a la línea MN. (Fig. NC? 6.)
Fíjese uno de los extremos de la cinta en el punto D y moviéndola a lo largo de la línea MN, la menor lectura de la cinta
determinará el punto A, pie de la perpendicular DA al alineamiento MN.
D
/
I
I
I
/
/
/
I
~--------~~--~--~~--~~--------
N
Figura 6
Trazo de paralelas
1.
Por un punto C trazar una paralela al alineamiento MN. (Fig.
NQ 7.)
e
M____~__+_--------------~~------p
Q
Figura 7
Curso básico de topografía
20
Determínese y mídase la perpendicular CP a la línea MN
desde el punto dado; luego, en algún otro punto de la línea, como
el Q~ levántese la perpendicular QD al alineamiento MN ·Y mídase
QD = CP. El punto D pertenece a la paralela buscada.
2.
Si se quiere trazar por C una paralela a MN (Fig. NC? 8), escójase
un punto P sobre la línea dada y materialícese el punto Q a la
mitad de la distancia CP. Se marca otro punto, como el R, sobre
la línea MN; se mide la distancia RQ y se prolongá, midiendo
= RQ.
QD
Así se encuentra el punto D por el cual pasa la paralela CD
a la línea MN.
N
\1
p
R
Figura 8
3.
En el caso de la figura NC? 9, a partir del punto A, marcado
~ff
.5
~~1
;
V
\'
A
B
Figura 9
N
Planimetría
21
sobre el alineamiento MN, se mide la distancia AC y se prolonga,
materializando el punto O, de tal manera que CO = AC; luego
se mide la distancia OB, cuyo punto medio D pertenece a la
paralela CD al alineamiento MN.
Trazo de alineamientos entre puntos invisibles uno de otro
1.
Si entre ambos puntos M y N, existe un obstáculo cualquiera, se
traza la línea MP que salve el obstáculo y del punto N se baja
la perpendicular NQ a la línea MP. Se eligen, convenientemente,
sobre la línea MQ, los puntos a, b, e ... y se miden las distancias
MQ, NQ, Ma, Mb, Me. .. Comparando los triángulos semejantes formados, se encuentran las distancias aa', bb', ce' . .. , cuyos
extremos a', b', e' . .. corresponden al alineamiento MN.
M
_
_
.
,'
.,/ e ___ _
" a~b'~'
d
"
.
N
o
Figura 10
ASÍ,
de la proporción:
aa' _ bb' _ ce' _ NQ _
Ma
Mb
Me
MQ
~-- -~----K
se deduce:
aa'
=
NQ Ma
MQ
bb'
=
K' Mb
=
(1)
K . Ma
ce' = K· Me
2.
Si se interpone una colina entre los puntos M y N (Fig. NQ 11),
se emplean dos baliceros, los cuales se sitúan en puntos tales, como
A y B, que desde ellos se vean M y N.
22
Curso básico de topografía
El balicero situado en A, alínea al ubicado en B con el extremo N de la línea; y el que se halla en B, alínea al situado en A
en la dirección de M; y así prosiguen sucesivamente hasta que los
cuatro puntos queden en línea recta.
-- ---- ----- ---- --flm7hA"......
- --
-
--
~UC#lDff
~
M
Figura 11
Intersección de alineamientos
Para materializar en el terreno la intersección de los alineamientos MN y PQ (Fig. N9 12), márquense sobre uno de ellos,
dos puntos que estén situados a ambos lados del otro alineamiento,
como los puntos A y B de la figura. Luego, extiéndase la cinta
o un cordel entre A y B, marcando la línea AB en el terreno y
sobre ésta se localiza el punto 1, üitersección de los dos alineamientos.
;ft
~M
"- ,
,
B
/
P >(
/
"
''1( N
Figura 12
Planimetría
23
Determinación de distancias a puntos inaccesibles pero visibles
1.
Determinar la distancia A B al punto B inaccesible, pero visible.
(Fig. NQ 13.)
A ~~--------~ p
Figura 13
El problema se resuelve, trazando AP perpendicular a la línea
AB y bajando de A la normal A Q a la línea BP; se miden las
distancias AP, AQ Y PQ Y se calcula la distancia AB.
Comparando los triángulos semejantes BAP y AQP, se encuentra:
AQ-AP
AB =
PQ
2.
Determinar la distancia A B al punto B inaccesible, pero visible.
(Fig. NQ 14.)
Se trazan AP y CQ perpendiculares a la línea AB y se miden
las distancias AP, CQ yAC:
Los triángulos semejantes BA P Y QQ'P, permiten establecer
la proporción:
( 1)
24
Curso básico de topografía
B
~. \
~
==t-~:-5 ·
I
......,., ¡.
\
\.
\
\
E=--=~
-X·_-
\
\
e
Q
~ff
~
AY'~ !
''f' P
Q'
Figura 14
Ahora bien, en la figura se ve que:
QQ' =AC
Q'P =AP - CQ
}
(2)
por tanto, sustituyendo (2) en (1), se encuentra:
AB
AC
AP - AP - CQ
AB
AP'AC
CQ
= AP -
Medida de distancias salvando un obstáculo
1.
Para hallar la distancia AB (Fig. NQ 15) se forma un triángulo
AL
~~~~~..-
Figura 15
\'B
Planimetría
25
rectángulo, bajando del punto B la perpendicular BP a la línea
AP; y se miden los catetos AP y BP.
V (AP )' +
AH =
2.
(HP) '
I
También se puede determinar la distancia AB, por triángulos
semejantes (Fig. NQ 16). Para aplicar este procedimiento- se elige
.B
~--------------~¡~.~\,~\~~~------~
Figura 16
un punto C desde el cual se vean los puntos A y B . Se I1l ide n
AC y BC y se marcan D y E, de manera que CD tenga con CA.
la misma relación que CE tiene respecto a CR. Se mid en DE \'
CD. De la propoTción:
AB
AC
DE - eD
se obtiene:
AB
= AC' DE
CD
Trazo de ángulos con cinta
1.
Para trazar el ángulo a (Fig. NQ 17), sobre la lín ea base se mide
la distancia AC y se calcula la normal BC. El punto B se marc a
en el terreno y determina la dirección del lado A B 4u e con la
línea A C forman el ángulo .a.
I
BC
= AC
tan
a
26
Curso básico de topografía
línea base-"¡
e
A
Figura 17
2.
El ángulo a se puede trazar también por el método de la cuerda
(Fig. NQ 18).
/~J-nff
~
e
Figura 18
La cuerda se calcula aplicando la fórmula siguiente:
1
sen 2 a
=
BM
AC
2BM
2AC
BC
2AC
:. \ BC = 2AC sen
~a
Escogida convenientemente la distancia AC = AB, Y calculada
la cuerda BC, podrá materializarse el punto B y el ángulo a quedará trazado.
Planimetría
27
PROBLEMAS NUMERICOS
1.
Para levantar la perpendicular AB al alineamiento MN, se sujetaron los extremos de la cinta, en los puntos A y C del terreno.
Si se usó una cinta de 50 metros y se juntaron las marcas de 25
y 30 metros en el punto B ¿qué distancia existe entre A y C?
(Fig. N<'> 19).
30
rJ_._._.~
e
.---.
.
900
.¡ 50
...... ----
N
A
Figura 19
(Sujetando los extremos de la cinta este trabajo lo puede
ejecutar una sola persona.)
SOLUCIÓN
AC
= V (BC)2 -
= V (25)2
(AB)-2
AC
2.
= 15
m
- (20) 2 = \1'225
I
Calcule la distancia AB con los datos de la figura siguiente:
= 38.50
= 29.10
m
m
AC = 15.80 m
AB = ?
AM
CN
SOLUCIÓN
Trácese NQ / / AC y compárense los 6. semejantes BAM y
NQM.
28
Curso básico de topografía
A
_ _~/B
t/
.//
/'
./
/'
N
Q
/'
,/
./
M
Figura 20
AB _NQ
AM
MQ
AB = AM·NQ
---
AM·AC
AM-CN
(1)
Si se sustituyen los datos en (1), se obtiene:
AB = 38.5 X 15.8
38.5 - 29.1
3.
=
608.3
9.4
AB = 64.71 m
Con el vértice A del ángulo a como centro, se hizo girar la cinta,
colocándose fichas en los puntos M y N donde el arco intercepta
los lados AB y AC del ángulo. Se midió la cuerda MN y se
conoce el radio de giro de la cinta. ¿Cuál es el valor del ángulo
a? (Fig. NQ 21).
B
~ff
.5
MN = 15.76 m
AM = 30.00 m
A
p,wE:: J
l'
Figura 21
e
Planimetría
29
SOLUCIÓN
DATOS:
MN = 15.76 m
AM =30.00 m
1
MN
1
"2
7.88
sen'2 a = AM = 30 = 0.26266
~a
= 15°14'
2
4.
Para determinar la distancia AB al punto B inaccesible, pero visible (Fig. NQ 22), se trazaron AP perpendicular a la línea AB
p
Figura 22
y AQ normal a la línea BP, y se midieron AP, AQ Y PQ. De esta
manera se tienen elementos suficientes para obtener la distancia AB. Calcúlela.
SOLUCIÓN
DATOS:
AP
AQ
PQ
AB
=24.00 m
=21.70 m
= 10.25 m
=
?
Los triángulos rectángulos BAP y AQP son semejantes, por
tanto, se puede establecer la proporción:
30
Curso básico de topografía
AB _AQ
AP - PQ
A
- AQ'AP _ 21.7 X 24
B PQ
10.25
AB = 50.81 m
5.
¿Qué longitud debe tener la perpendicular CB a la línea AB, para
que el ángulo ,a sea de 25°30'?
~ff
.5
0' := 25° 30'
A
B
Figura 23
Se midió la distancia:
AB
=
20.00 m.
SOLUCIÓN
BC
=
AB tan ,a
= 20 tan 25°30'
BC = 20(0.47698) = 9.54 m
I
6.
BC
= 9.54
m
I
¿A qué distancia del punto auxiliar C, sobre CB, se debe situar
el punto E, para que los triángulos ACB y DCE sean semejantes
(Fig. N9 24) y, una vez medida la distancia DE, pueda calcularse AB?
SOLUCIÓN
DATOS:
AC = 42.00 m
CD = 15.00 m
CB = 31.60 m
CE =
?
Planimetría
31
e
B
Figura 24
CE
CB
CD
CA
CE
CE
=
CD·CB
CA
= 11.29
15
31.6
42
X
m
LEVANTAMIENTOS CON CINTA
Estos levantamientos se emplean cuando el terreno es sensiblemente
horizontal, descubierto y accesible. El levantamiento de un terreno con la
cinta se efectúa dividiéndolo en triángulos y tomando suficientes medidas
de los lados, alturas y ángulos de los triángulos que permitan calcular el
resto de lados y ángulos necesarios para dibujarlo yca1cular las superficies.
Para fijar las posiciones de puntos del terreno, se traza una figura llamada polígono de base o poligonal, que siga aproximadamente el perímetro
del terreno que se desea levantar.
El polígono de base se transforma en una figura rígida dividiéndolo en
triángulos bien conformados; es decir, lo más cerca posible del equilátero
y evitando ángulos menores de 20°.
El levantamiento con cinta, comprende dos clases de trabajos: de campo y de gabinete.
A.
TRABAJO DE CAMPO.
Este incluye las operacIOnes siguientes:
1. Reconocimiento del terreno donde se ejecutará el levantamiento,
para elegir el método adecuado, estimar el tiempo y el personal necsarios,
definir los vértices del polígono de base, etc.
32
Curso básico de topografía
2. Materialización de los vértices del polígono de base, por medio de
estacas, marcas sobre roca o pavimento, fichas, etc.
3.
Elección del método que se aplicará en el levantamiento.
4. Dibujo del croquis del polígono de base, orientado aproximadamente.
5. M edición de los lados del polígono de base y de las líneas auxiliares (radiaciones, diagonales, líneas de liga, etc.), empleadas para dividir
en triángulos el polígono de base.
6. Medición de las distancias necesarias para el levanltamiento de
detalles con relación al polígono de base.
Los datos recogidos en el levantamiento deberán anotarse en forma clara
y ordenada en la libreta de campo, al mismo tiempo que se ejecuta el
trabajo. Se deberá utilizar un lápiz 3H o 4H con buena punta.
La libreta de campo debe tener papel de buena calidad, con una pasta
dura, y ser del tamaño adecuado para llevarla en el bolsillo. En general,
los datos numéricos se escriben en las páginas del lado izquierdo; los
croquis y las notas aclaratorias en las de la derecha.
Los números deberán ser claros; y no se deberá anotar un número
sobre otro. Los datos numéricos no deben borrarse; si un número está equivocado, se le trazará una raya encima y el valor corregido se colocará
arriba.
Los croquis se dibujan a mano libre y son la guía y base para la
con3trucción del plano.
Las notas aclaratorias se emplean para explicar lo que los datos numéricos y los croquis dejan de hacer.
El registro de campo refleja la competencia del ingeniero y su valor
depende, en gran parte, de la claridad y lo completo que se haya llevado.
B . TRABAJO DE GABINETE. Se entiende por trabajo de gabinete la
ordenación de los datos tomados en el campo y los cálculos que con ellos
se ejecutan, con objeto de obtener los elementos necesarios para construir
el plaíD .
Este trabajo se hace en el orden siguiente:
1.
Cálculo.
a)
De los ángulos interiores del polígono de base.
~$
~
En cada uno de los triángulos en que se divide el polígono de base,
los ángulos interiores se calculan aplicando las fórmulas siguientes:
Planimetría
•
= ..! (p -
tan ~ A
1
2
b) (p - e) .
p(p - a)
,
tan!. B
2
33
$uuen;jflUf/
= J
(p - a) (p - c)
~
p(p - b)
1e
~ (p - a)(p - b)
tan- =
2
p(p - c)
Como comprobación, la suma de los ángulos calculados debe satisfacer la
condición geométrica:
A + B + e = 180 0
Una vez calculados los ángulos interiores de todos los triángulos en
que se dividió el polígono de base, podrán obtenerse los ángulos interiores
de éste.
De la superficie del polígono de base.
b)
Esta se encuentra sumando las superficies de los triángulos en que fue
dividido el polígono.
La superficie de cada triángulo se determina por la fórmula :
S = vp(p - a)(p - b)(p - c)
En las fórmulas anteriores, a, b y c, son los lados del triángulo y p el
semipedmetro.
2.
Dibujo.
Antes de construir el plano se debe, en algunas ocasiones, determin!ir la escala que se utilizará. En otros casos la escala, según la finalidad
del trabajo, ya está especificada.
La escala de un plano es la relación fija que todas las distancias en
el plano guardan con las distancias correspondientes en el terreno.
Se puede expresar por relaciones numér'ica o gráficamente.
a)
Escala numérica: es la relación de la distancia del plano a la distancia
correspondiente en el terreno. Una unidad de longitud en el plano representa
un número determinado de las mismas unidades de longitud en el terreno,
como:
1
1: 1000
ó
1000
Escala gráfica es una línea subdividida en distancias del plano que
corresponden a unidades de longitud en el terreno. (Fig. N<? 25 . )
100
50
O
100
200
Figura 25
3
300
400
500
Curso básico de topografía
34
En la escala gráfica de la figura N9 25, un centímetro representa
100 metros.
La fórmula general de la escala es:
1
I
Y-M
~ff
en la cual:
~
L = longitud medida en el terreno.
I = longitud en el plano, y
M = denominador o módulo de la escala.
b)
Construcción del plano.
De preferencia la parte superior del plano debe representar el norte,
aunque la forma del terreno levantado, o la dirección de algún detalle principal, pueden exigir otra orientación.
El estilo de letra será sencillo; para datos referentes al terreno se usará
el tipo romano moderno vertical y para los datos referentes a las aguas
(lagos, ríos, mares, etc.), el tipo cursivo, dibujados en la proporción que
se necesite y procurando que sean agradables a la vista.
La dirección de los letreros en un plano se indica en el esquema siguiente (Fig. N9 26):
Sonora
~
C,)
~
~
O
Figura 26
Los cuadros de los títulos de los planos se situarán en el ángulo inferior derecho.
Planimetría
35
Un título de un plano debe contener todos los datos que se necesiten
de los que a continuación se citan.
Clase del plano.
Objeto del plano, si se representan detalles especiales.
Localización del terreno levantado.
Nombre del propietario.
Escala del plano (a menos de que se ponga en otra parte).
Fecha.
Nombre del iegeniero responsable.
Los datos que deben aparecer en los planos topográficos son:
La longitud de cada lado del polígono.
El ángulo entre cada par de lados consecutivos.
La superficie del terreno incluido.
El nombre del propietario del terreno y de los propietarios de los
terrenos adyacentes al levantado.
La dirección de la meridiana (magnética o astronómica).
La escala.
Símbolos o clave de símbolos que no sean de los correspondientes a
signos convencionales. Un símbolo es un diagrama, dibujo, letra o abreviatura que por convención se supone que representa una característica específica u objeto y su tamaño deberá ser en cierta forma proporcional a
la escala del plano.
Los dibujos a lápiz y los provisionales se hacen en papel de manila.
Para planos, en general, es conveniente usar el papel de calca o la tela
de calca.
Los instrumentos de dibujo son:
EscaIímetros, de sección triangular, con seis escalas.
Regla de acero niquelada o de acero inoxidable, de un metro de longitud, con una de sus aristas longitudinales achaflanada.
Juego de escuadras.
Transportador para medir y trazar ángulos. La forma usual para dibujar planos consiste en un círculo completo o en un arco semicircular de
metal, celuloide o papel dividido en grados y fracciones de grado.
Compás de regla para dibujar los arcos de los círculos, con radios
mayores de 15 cm.
Máquina de dibujo que combina las funciones de la regla T, la regla,
las escuadras, escalas y el transportador.
Las operaciones de la construcción de un plano son, en cierto modo,
inversas de las operaciones efectuadas para su levantamiento.
El proceso del dibujo del plano comprende:
36
Curso básico de topografía
1. La determinación de los
la poligonal o polígono de base;
2. La localización de los
angulares y lineales de los lados
puntos de control que son los vértices de
y
detalles del plano, empleando medidas
y vértices del polígono de base.
METODOS DE LEVANTAMIENTO CON CINTA
Comúnmente se emplean los siguientes:
Rarliaciones.
Diagonales.
Líneas de liga.
Prolongación de alineaciones; y
Coordenadas rectangulares.
/.VUff~ff
~
Método de radiaciones
Este método se emplea cuando desde un punto interior del polígono
de base sea posible ver los vértices de éste y no se dificulte la medida de
las distancias del punto interior a los vértices. Estas líneas auxiliares se
denominan radiaciones y con ellas se divide en triángulos el polígono de base.
Además de las radiaciones, se miden los lados del polígono y los resultados se anotan ordenadamente en el registro de campo, como se indica
en el ejemplo siguiente (registro 1):
REGISTRO DE CAMPO 1
MEXICO, D. F.
20-MAR-72
Levantó: José Gómez H.
Levantamiento con cinta de 30 metros, por el método de radiaciones
DISTANCIAS
Est.1 P.V. 1 - - - - - , - - - - - - - - Ida
CROQUIS Y NOTAS
- - - - -1- - -- - - - - - - -
o
1
2
2
3
3
4
4
1
2
O
3
O
4
O
33.53
31.97
37.64
49.98
29 .23
47.72
38.26
62.91
33.55
31.95
37.64
49.94
29.23
47 .72
38.28
62.95
33.54
31.96
37.64
49.96
29.23
47.72
38.27
62.93
2.óOm
t
Planimetría
37
Est. = ESTACIÓN: vértice desde el cual se hace la observación o medida.
P.V. = PUNTO VISADO.
El método descrito puede aplicarse cuando el terreno por levantar es
de pequeñas dimensiones y suficientemente despejado y debe procurarse
que los triángulos que se formen difieran poco del equilátero o en su
defecto del isósceles.
Método de diagonales
Consiste este método en dividir en triángulos el polígono de base por
medio de las diagonales de dicha figura. Las longitudes de los lados del
polígono y de las diagonales se miden, anotándose los resultados en el registro de campo. (Registro 2.)
REGISTRO DE CAMPO 2
Levantamiento con cinta de 30 me·
tras, por el método de diagonales
Est.
o
1
2
2
3
3
4
4
O
DISTANCIAS
P. V . I - - - - - , - - - - - - , - - - - - -- I
Ida
Regreso Promedio
1
2
O
3
1
4
1
O
3
27.80
33.49
46.55
29.67
57.31
33.67
43.78
28.42
56.93
27.82
33.49
46.57
29.67
57.35
33.67
43.82
28.42
56.97
ZACATENCO, D. F.
24-ABR-63
Levantó: Enrique Zárate
CROQUIS Y NOTAS
27.81
33.49
46.56
29.67
57.33
33.67
43.80
28.42
56.95
Método de líneas de liga
Cuando el terreno encerrado por la poligonal es de tal naturaleza que
no permite el empleo de los métodos de levantamiento hasta ahora descritos,
por la existencia de accidentes naturales o artificiales que impidan ver tres
vértices consecutivos del polígono de base, el procedimiento indicado en
tales circunstancias es el conocido con el nombre de método de líneas
de liga, que consiste en medir los lados del polígono de base y, además,
las líneas que ligan dos puntos pertenecientes a lados contiguos. El registro
de campo se lleva como se ilustra en el siguiente ejemplo (registro 3):
38
Curso básico de topografía
REGISTRO DE CAMPO 3
MEJfICO, D, F.
4-MAY-73
Levantó: Felipe Zárate
Levantamiento con cinta de 30 metros, por el método de líneas de liga
DISTANCIAS
Est. 1 P . V . I - - - - - - - - - . . , . - - - Ida
Regreso Promedio
----1
19.CK>
1
o
a
4.00
4.00 .
h
6.20
h
a
CROQUIS Y NOTAS
1
-11 2 I
b
40.44
40.46
b
c
c
5.CK>
5.94
-- -2
e
e
3
O
-- --
f
I
.
()
\,,~e'lfo
r:.e \\~'IJ.
11.58
6.00
6.00
9.33
3
d
d
40.45
4.00
N
41.65
41.65
41.65
f
5.CK>
g
g
6.00
6.71
~~.ff
Método de alineaciones
~
Consiste este método en encerrar el polígono por levantar dentro de
un rectángulo director cuyos lados se pueden medir con cinta, y en prolongar los lados del polígono, que pueden ser los muros de una construcción
o los linderos de una propiedad, hasta su encuentro con los lados del
rectángulo, y se miden las distancias de los vértices del rectángulo a los
puntos en que los alineamientos prolongados intersectan los lados del rectángulo, como se indica en el ejemplo siguiente. Se miden también, como
comprobación, los lados del polígono AB, BC, CD y DA, o bien las distancias Aa', Aa", Bb', Bb", ... Este método es adecuado para levantar
perímetros de construcciones irregulares.
Planimetría
39
REGISTRO DE CAMPO 4
Levantamiento eon cinta de 30 metros, por el método de alineaciones
Est.
DISTANCIAS
Ida
Regreso
Promedio
M
d
a"
6.75
4.04
N
b'
b"
4.00
10.61
P
e'
e"
8.30
3.22
Q
d'
d"
2.50
7.20
A
B
C
D
B
C
D
A
comprobación:
49.12 I
49.08
26.50
26.50
49.01
48.99
28.50
28.50
16-AG0-64
Levantó: Manuel Ortiz H.
CROQUIS Y NOTAS
P.v.
-- --
ZACATENCO, D. F.
49.10
26.50
49.00
28.50
~----4t!~N
b"
~------------~~~
c"
Método de coordenadas rectangulares
Este es en muchos casos el mejor procedimiento, porque permite fijar
cada vértice del polígono de base independientemente de los demás. Consiste
en proyectar todos los vértices del polígono sobre dos ejes rectangulares
convenientemente elegidos y en medir las distancias del pie de cada perpendicular al origen.
En algunos casos el método se facilita trazando solamente un eje y
bajando perpendiculares de los vértices del polígono a este eje; entonces
se miden, a partir del origen, las distancias al pie de las perpendiculares
y las longitudes de éstas, anotándose los resultados en el registro de campo,
como se indica en el ejemplo siguiente.
40
Curso básico de topografía
~Jnff
.5
REGISTRO DE CAMPO 5
Lemntamiento COII cinta por el
m étodo de coordenadas rectangulares
MEXICO, D. F.
4-SEP-74
Levantó: Othón Ríos
COORDENADAS
Vértices
x
10.00
5.00
2
11.40
30.44
3
30.76
33 .78
4
39.79
20.66
5
30.40
1.86
1-2
3-4
4-5
5-1
Comprobación:
25.47
15.93
21 .00
20.65
CROQUIS Y NOTAS
y
N
y
~
.1
J.I _.
_J I_. . l
•
X
proyección
LEVANTAMIENTO DE EDIFICACIONES
Si se trata de levantar la planta de un edificio, por ejemplo, se pueden
fijar las ~uatro esquinas de cada habitación o patio, midiendo en cada u.no
los cuatro lados del perímetro y las diagonales.
Se facilita este levantamiento, empleando este método en combinación
con el de coordenadas o el de radiaciones, pero a veces se puede hacer
todo el levantamiento dividiendo la planta en cuadriláteros y tomando nota
del espesor de los muros. Sobre los claros, si no son muy grandes, se
pueden medir las diagonales por dos operadores, de una azotea a otra.
Si los claros son grandes, puede haber necesidad, en algunos casos, de
emplear líneas de liga, para tener los ángulos.
-También pueden levantarse por este método los predios y lotes pequeños, en la parte no edificada.
LEVANTAMIENTO DE DETALLES
Los detalles se fijan por intersecciones; es decir, por medio de dos
distancias Fig. NQ 27) o bien por normales a los lados del polígono de
base o a la prolongación de los lados del polígono.
Planimetría
41
poi ígono d.e base
-
........
4
-
A--- n orm al al
lado 4-5
intersecciones
Figura 27
PROBLEMAS
1.
Calcular la longitud que tendrá en un plano cuya escala es 1: 10,000
una línea que en el terreno mide 450 metros.
SOLUCIÓN
DATOS:
L
M
l
= 450
=
=
m
10,000
?
De la fórmula general de la escala:
l
L
1
l =
se deduce:
M
.!::... =
M
450
10,000
l = 0.045 m
2.
Determinar la longitud en el terreno de una línea medida en el plano. Sea 1 :5,000 la escala del plano, l = 14 mm la distancia medida
en él, y L su homóloga en el terreno.
SOL U CIÓN
DATOS:
l = 14 mm
M = 5,000
L=
?
3.
L = l'M
~
0.014 X 5,000 = 70 m
IL =
70.00 m
Conocidas la distancia real y la longitud de su homóloga en el
plano, determinar la escala que se usará para dibujar el plano.
DATOS :
L = 128.50 m
l =
0.065 m
M=
?
SOLUCIÓN
M
L
= -l =
128.50
0.065
=
1976.9 ::::: 2,000
Se usará la escala
1 : 2,000
I
Curso básico de topografía
42
4.
Calcular los ángulos interiores y la superficie de un terreno triangular cuyos lados se midieron con cinta.
B
DATOS
a;:::: 19.90 m
a
A
-
/
Il'\.B
-
X ,..
14q. b
= 50.90
m
e = 54.00 m
1'"1 .YO
+ 50 .'to
.54.0 0
114.80
b
b
1~
a=
19.90
b=
50.90
FÓRMULAS
tan ! A = ...1 (p - b) (p - e)
e = 54.00
2p= 124.80
p =
62.40
p- a=
42.50
p-b=
11.50
p-c=
e
(por logaritmos):
SOLUCIÓN
1
2
p(p-
s = yp(p 1
S = -ab sen
2
8.40
a)
a)(p - b)(p - e)
e
El cálculo por logaritmos se dispone como sigue:
log (p - b) =
1.060698
=
0.924279
colog p =
8.204815
log (p - e)
.'
=
log (p - e) =
colog p =
colog (p - b) =
B
210g tan 2" =
log (p - a)
colog (p - a) = 8.371611
A
2log tan 2" = 18.561403
A
log tan 2"
~=
2
B
log tan 2" =
= 9.2807015
10°48'
A = 21 °36'
~ff
~
1.628389
0.924279
8.204815
8.939302
19.696785
9.8483925
.!!..2 =
35°12'
=
70°24'
B
Planimetría
log (p - a)
= 1.628389
log (p - b) =
1.060698
=
8.204815
colog p
43
colog (p - e) = 9.075721
C
2log tan 2" = 19.969623
C
log tan -
2
=
~
=
2
9.9848115
44°00'
Comprobación:
A =
B
=
C
=
21 °36'
70°24'
88°00'
Comprobación:
log p = 1.795185
lag (p - a)
=
1.628389
log (p - b) = 1.060698
2<:l
SOLUCIÓN
=
C -_
tan2
~(P
=
1.706718
9.999735 - 10
2.704276
S = 506.1464 m2
(por funciones naturales):
J(p - a) (p - e)
p(p - b)
1
log b
lag S =
I
tan A - .... /(p - b) (p - e)
"2 - 1 p(p - a)
tan!:
2
1.298853
colog 2 = 9.698970 - 10
log S
22.704276 - 20
log S = 2.7042755
S = 506.1464 m
=
log sen C =
lag (p - e) = 0.924279
2log S = 5.408551
2
log a
=....1 11.5
= 0.190854; ~ = 10048'.3
=J
=
X 8.4
162.4 .x 42.5
-42.5 X 8.4
162.4 X 11.5
2
0.705331;
~ =
35011'.8
- a) (p - b) __ ~42.5 X 11.5
4 = 0.965632; C = 43059'.9
p(p - e)
62.4 :x 8.
2
44
Curso básico de topografía
Comprobación:
21 °36'.6
B = 70°23'.6
C = 87°59'.8
-A-+-B --,...+-C=----,--:18:-:::0-=-°OO~,.-=-0
A =
~ff
~
S
1
= 2. be
sen A
1
= 2" (50.9) (54) (0.368294) = 506.1464
m2
Comprobación:
S
5.
1
1
= 2. ab sen C = 2: (19.9) (50.9) (0.99939) = 506.1461
Con los datos del registro de campo siguiente, calcular la superficie del polígono de base.
ZA CA TENCO, D. F.
24-ABRIL-76
Levantó: Alejandro Garda L.
Levantamiento con cinta de 30 m por
el método de radiaciones
Est.
P. V.
Distancias
O
1
2
3
4
A
"
"
"
1
2
3
4
O
O
1
2
3
4
22.92
26.84
17.40
25.00
28.60
21.21
24.67
20.96
17.82
18.94
"
m2
I
CROQUIS Y NOTAS
N
·1
"
""
85
/
//
/
/
", / S4
--- --~"
'"
81
/
82
I
s., "-
I • <>
3
2
SOLUCIÓN
SI =
y 34.40
S2 =
y 36.235
11.48
X
X
13.19
X
9.73
y 50682.3480
= 225.1271
= Y 60138.3990 = 245.2313
Ss = Y28.09 X 7.13 X 10.69 X 10.27
= Y21988.1860 = 148.2841
S4 = Y30.88 X 13.06 X 5.88 X 11.94
= Y28314.0580 = 168.2678
S5 = Y 34.375 X 15.435 X 5.775 X 13.165 = Y 40338.7250 = 200.8450
X
11.565
X
15.275
X
9.395
I ST =
987.7553 m 2
J
Planimetría
6.
Calcular los ángulos interiores y la superficie del polígono de base
levantado por el método de diagonales, comprobando el cálculo,
con los datos del siguiente registro de campo.
MEXICO, D . F.
30-AGOSTO-54
Levantó: Fd(). García L.
Levantamiento con cinta de 50 m,
por el m étodo de diagonales
Est.
- -
45
P.V. Distancias
--
1
2
3
4
2
3
4
1
50.60
35.10
56.40
39.00
1
2
3
4
61.50
68.30
1-
CROQUIS Y NOTAS
N
4
banque,ta::==~=:~===~==~~=3.00 ro
Calle Feo. i. M¡¡:!!''O
SOLUCIÓN
Triángulo 1 - 2 - 4
a =
b=
50.60 ID
a
_/39.95 X 10.65
39.00 " tan '2 = "78.95 X 28 .35
= 0.435994;
e=
68.30 "
2p = 157.90
p = 78.95
p - a=
tan~=
2
28.35
p - b = 39.95
p - e = 10.65
-'28.35 X 10.65 = 0309397'
" 78.95 X 39.95
'
,
~2 =
17 011'.5
"'-
tan.!. = /39.95 X 28.35
2
, 78.95 X 10.65
SI =
V 78.95
X
=
I 160604'
'
,
28.35 X 39.95 X 10.65
= 975.8561
Comprobación:
f3
a
+ f3 +
=
SI =
~ (50.6) (39.0) (0.98902)
34°23'.0
1 = 98 °30'.2
1 = 180°00'.0
SI = 975.8660 m 2
m".?
46
Curso básico de topografía
Triángulo 2 - 3 - 4
a'= 35.10 m
a'
¿,j235x116
5640" tan ""2 = . , '
. = 0.275963;
e = 68:30"
79.9 X 44.8
b' =
a'
- = 15°25'.6
2
tan 11' = J 44.8 X 11.6 = 0526090' /3' = 27°44' 9
2 " 79.9 X 23.5 · '
'2
.
2p = 159.80
p = 79.90
p - a' = 44.80
P - b' == 23.50
p - e = 11.60
A
tan ~ = J 44.8 X 23.5 = 1.065787;
2 " 79.9 X 11.6
S2 '=
V79.9
A
~=
46049'.4
2
X 44.8 X 23.5 X 11.6 = 987.8143 m 2
Comprobación:
=
30°51'.2
f3' =
55°29'.8
a'
S2 =
1
2:
(35.1) (56.4) (0.99797) 1=
A
a'
+ f3' +
93°38'.8
3
3 = 179°59'.8
S2 = 987.8107 m2
1= 98°30'.2
A
= a + a'
2 = f3 + /3'
S = S1 + S2
4
2= 89°52'.8
A
3= 93°38'.8
4= 77°58'.0
1
/.VUWUfh1nff
-.5
7.
ÁNGULOS
INTERIORES
+
2
+
3
+4=
359°59'.8
S1 =
975.8561
S2 =
987.8143
Sr = 1963.6704 m 2
SUPERFICIE
Calcular los ángulos interiores del cuadrilátero levantado por el
procedimiento de líneas de liga, comprobando el cálculo, con los
datos del registro siguiente:
Planimetría
ZACATENCO, D. F .
28-DIC-70
Levantó: Javier González
Levantamiento con cinta de 30 metros, por el método de lineas de liga
Est.
P.v .
A
B
a
e
e
b
D
d
C
d
e
e
D
A
A
N
a
b
rr
97.63
9.00
9.00
10.78
g
g
.:>
D
•
SOLUCIÓN
cff~
Triángulo a-A-h
Aa =
Ah =
ah =
2p ';=
33~70
p
16.85
=
10.00
10.00
13.70
B
100.00
8.00
8.00
10.83
f
/
CROQUIS Y NOTAS
69.88
7.00
7.00
11.79
C
b
B
Distancias
70.86
10.00
10.00
13.70
h
h
a
47
p - Aa = 6.85
p - Ah = 6.85
p - ah = 3.15
tan ~ = J
(6.85) 2 .= 0940
2
" 16.85 X 3.15 .
.
2
Triángulo b-B-e
Bb -= 7.00 p - Bb = 5.895
Be = 7.00 p - Be ;= 5.895
be = 11.79 p - be :::-: 1.105
2p = 25.79
p = 12.895
tan ~
2
~
= .. 1
(5.895) 2
" 12.895 X 1.105
- 57°22'
=
1.5617
I B = 114°44' I
Triángulo d-C-e
Cd = 8.00 p - Cd = 5.415
Ce = 8.00 p - Ce = 5.415
de = 10.83 p - de = 2.585
-2p
26.83p = 13.415
tan ~
2
C
2
= J
(5.415) 2
" 13.415 X 2.585
= 0.9195
48
Curso básico de topografía
Triángulo f-D-g
Df = 9.00
Dg = 9.00
fg = 10.78
2p
28.78
p - Df = 5.39
p - Dg = 5.39
p - fg = 3.61
=
p
=
D _
tan 2"'
J
D = 36°47'.5
2
14.39
=
(5.39):!
X 3.61
- ., 14.39
I
D
0.7478
=
73 °35'
Comprobación:
A
8.
+
+e+
B
A = 86°28'
B ;= 114°44'
C = 85 °12'
D = 73 °35'
D = 359 °59'
~Ufhlnff
~
Con los datos del registro siguiente
a) Dibuje el plano a la escala 1: 500.
b) Calcule la superficie del cuadrilátero 1-2-3-4-1, comprobando
el resultado.
L evantamiento con cinta de 50 m etras, por el método de prolongación
de alineaciones
Est.
P.v.
P
l'
1"
Q
2'
2"
N
3'
3"
M
4'
4"
1
2
3
2
3
4
1
4
Distancias
L
17.10
6.80
13.20
7.00
13 .20
8.80
9.91
3.65
50.60
35.10
56.40
39.00
Lomas de Sote/o, D. F.
15-FEB-75
Levantó: Guillermo Garda O.
I
CROQUIS Y NOTAS
p
1~
1 "",
11
1
Q
12
J 2"
~'-J3"
4"
M
rectángulo di rec to r
2'.
I
4'
3'
~.
E
o
o
o
tt:)
I
IN
I
~<
I
j-
80.0fun
SOLUCIÓN
s = 1963.5967
9.
m2
I
En el levantamiento con cinta del predio que se indica en el registro de campo, se obtuvieron los datos siguientes:
Planimetría
49
Calcule la superficie.
Calcule las longitudes de los lados y compare los resultados
con los obtenidos directamente en el campo.
Dibuje el plano del predio levantado (Escala 1: 100').
a)
b)
e)
Levantamiento con cinta de 30 metros, por el método de coordenadas
rectangulares
MEXICO, D. F.
26-MAY-76
Levantó: Enrique Garda
COORDENADAS
Vértices
x
.
y
26.87
40.00
8.42
3.55
1.92
20.00
28.90
11.62
1
2
3
4
CROQUIS Y NOTAS
y
N
Lados:
22. 35
32. 82
17.95
25. 25
1-2
2-3
3-4
4-1
m
m
m
m
3.00 m
o
l'
2'
4'
X
3'
SOLUCIÓN
Cálculo de la superficie:
a)
s= ~[
(Xl
+ X.
2)
(Y 2
-
Yl )
+ (X + Xa) (Ya -
(X a + X 4 ) (Y 4
s = ~ [ (21.92) (13.13) +
S
= ~ [ 287.8096 -
2
-
Ya)
Nota:
4
+
+ (X + X l) (Y1.
- Y4 )
4
(48.9) (-31.58)
+
(40.52)(-4.87)
+
1544.2620 - 197.3324
S = 569.0160 m'
Y2)
+
J
(13.54) (23.32)J
J
315.7528
I
El signo de la superficie sólo indica el sentido en que se ha
recorrido el polígono.
50
Curso básico de topografía
Cálculo de los lados:
b)
d
1 - 2 = V (20 - 1.92F
_
(Y i
(40 - 26.87) 2
=
22.34 m
-
.
= 32.81
Y1F
m
o
4 - 1
Nota:
+
= V (11.62 - 28.9):! + (3.55 - 8.42)2 = 17.95 m
3 - 4
_
+
- X 1 )2
= V (28.9 - 20P + (8.42 - 40)"2
2 - 3
_
= V (X;!
= V (1.92
- 11.62):!
+
(26.87 - 3.55)2 . 25.26 m
Los lados calculados coinciden con los medidos en el
caqlpo y que figuran en el registro respectivo.
LEVANTAMIENTOS CON BRUJULA y CINTA
Generalidades
La orientación topográfica, en términos generales, tiene por objeto dar
a las lí'1eas de un plano la misma dirección que guardan sus homólogas
en el terreno. La dirección de cualquier línea se determina por el ángulo
horizontal que forma con alguna referencia real o imaginaria que tiene
una dirección fija. Comúnmente se emplean como líneas de referencia la
meridiana astronómica, la meridiana magnética o una meridiana elegida
arbitrariamente que se denomina meridiana supuesta.
Definiciones
Plano meridiano astronómico o verdadero de un punto es el círculo
máximo que pasa por ese punto¡y por los polos terrestres.
Plano meridiano magnético es el plano vertical en que se coloca una
aguja imanada y orientada bajo la acción única del campo magnético terrestre.
Meridiana astronómica o verdadera es la dirección norte-sur dada por
la intersección del plano meridiano astronómico con el horizonte.
Meridiana magnética es la línea paralela a las líneas magnéticas de
fuerza de la Tierra; su dirección es la que toma una aguja magnética suspendida- libremente.
Lo:; polos magnéticos están a alguna distancia de los }Jolos geográficos,
por tanto, la meridiana magnética no es paralela a la verdadera.
La situación de los polos magnéticos está cambiando constantemente;
y por eso la dirección del meridiano magnético no es constante. Sin embargo, la meridiana magnética se emplea como una línea de referencia en
los levantamientos aproximados en los que a menudo se usa una brújula.
Los diversos instrumentos de orientación suelen llevar todos una
brújula.
Planimetría
51
Se llama declinación magnética el ángulo entre la meridiana astronómica
y la magnética.
En nuestro país la declinación magnética es oriental; es decir, el extremo
norte de la aguja de la brújula apunta al Este de la meridiana astronómica
o verdadera. (Fig. N9 28.)
eS
= Declinación magnética
Figura 28
La declinación cambia de valor de un lugar a otro y está sujeta a
variaciones seculares, anuales, diarias e irregulares.
La variación secular es igual a varios grados en un ciclo de aproximadamente 300 años. Debido a su magnitud, es de mucha importancia
para el topógrafo, especialmente para retrazar líneas, cuyas direcciones se
encuentran referidas al meridiano magnético como existía en años anteriores.
La variación anual es una oscilación periódica diferente de la variación
secular y en la mayor parte de la República Mexicana su magnitud es
menor de 1'.
A la variación diaria se le llama variación solar diurna y ocurre todos
los días. La variación media es menor de 8', cantidad tan pequeña que
no es necesario tomar en cuenta en los trabajos en los que se emplea la
brújula.
Las variaciones irregulares se deben a perturbaciones magnéticas y 10
más probable es que se produzcan en las tormentas magnéticas. Pueden
alcanzar la magnitud de 1 o o más, especialmente a elevadas latitudes.
52
Curso básico de topografía
Se llaman líneas isogónicas a las que unen los distintos lugares de la
Tierra que tienen la misma declinación.
Líneas agónicas son las que unen los puntos de declinación nula.
Inclinación magnética de un lugar es el ángulo vertical que la aguja
imanada libre forma con el plano horizontal.
Para contrarrestar la atracción magnética en el sentido vertical, en las
brújulas fabricadas para su empleo en el hemisferio norte, se pone en la
punta sur de la aguja una pequeña corredera de alambre, que permite mantener 13. aguja en posición horizontal e identificar las puntas norte y sur.
Lineas isóclinas son aquellas que unen puntos de igual inclinación magnética y corresponden a los círculos de igual latitud.
La dirección de cualquier línea con respecto a una meridiana dada
puede definirse por el azimut o por el rumbo.
Azimut de una línea es su dirección dada por el ángulo horizontal entre
el meridiano y la línea; se mide a partir del norte en el sentido del movimiento de las manecillas del reloj y su valor varía entre 0 0 y 360 0 •
Los azimutes se llaman astronómicos o magnéticos según si el meridiano e3 el verdadero o el magnético.
Azimut directo de una línea es el que se toma en el origen de la línea
y azimut inverso el tomado en su extremo final.
Entre ambos azimutes, directo e inverso, existe una diferencia de 180 0 ,
esto es
Azimut inverso = Azimut directo ± 180 0
I
N
~ff
.5
N
levantamiento
•
Az. BA
--B
A
Figura 29
Az. BA = Az. AB
+ 180
0
Planimetría
53
Cuando el azimut directo es mayor que 180°, para obtener el azimut
inverso, se le restan 180°; Y si el azimut directo es menor que 180°, entonces el inverso se obtiene agregándole esa cantidad.
EJEMPLOS
Si:
entonces:
1.
2. Si:
entonces:
Az. directo = 75 ° 12'
Az. inverso = 75 °12'
Az. directo = 230°40'
+ 180° =
255 ° 12'
t)o~ ~
Az. inverso
= 230 °40' -
180°
:::s
60 °30
I
1
Rumbo de una línea es el ángulo horizontal que dicha línea forma con
la meridiana; su valor está comprendido entre 0 ° y 90 °; y se mide a partir
,
del Norte o desde el Sur, hacia el Este o hacia el Oeste.
El rumbo se llama astronómico o magnético según que el meridiano
sea el astronómico o el magnético.
El rumbo de una línea se indica por el cuadrante en el que se encuentra
y por el ángulo agudo que la línea hace con el meridiano en ese cuadrante.
ASÍ, en la figura NQ 30, los rumbos de las líneas OA , OB, OC Y OD,
se indican como sigue:
N
Rbo. OA = N 61 ° 10' E
W _ _ _ _...L.L.-"*~_---E
Rbo. OB
=S
42 °07' E
Roo. OC = S 59 °32' W
Rbo. OD = N 31 °40' W
e
B
s
Figura 30
S4
Curso básico de topografía
Como en el caso de los azimutes, los rumbos pueden ser directos e
inversos. Se llama rumbo directo de una linea, el que se toma en la dirección general del levantamiento y rumbo inverso, el tomado en la dirección
opuesta. (Fig. NQ 31.) El rumbo directo y el rumbo inversO' -de una misma línea tienen el mismo valor y se localizan en cuadrantes opuestos.
N
\V
A
l
E
N
R bo. inverso
s
directo
W
?ti
B
E
~ff
.5
s
Rbo. AB = S 60° 15' E
Rbo. BA = N 60° 15' W
Figura 31
Conversión de azimutes magnéticos a azimutes astronómicos
Cuando se conocen el azimut magnético de una línea y la declinación
magnética, se puede obtener el azimut astronómico de la línea mediante
la relación siguiente (Fig. N<? 32):
Planimetría
ss
Azimut astronómico de la 1in ea AB
Azimut magnét ico de la 1in ea AB
A
B
Figura 32
Az. astronómico = Az. magnético
+
Declinación
EJEMPLO
Determine el azimut astronómico de la línea AB.
DATOS:
Az. magnético AB = 93 c'28'.
Declinación magnética :
8 = 1+ 9 °43'.
SOLucrÓN
Az. astronómico A B = 93 °28'
+ 9 °43'
Az. astronómico A B = 103 o tI '
Conversión de rumbos magnéticos a rumbos astronómicos
Para convertir rumbos magnéticos a rumbos astronómicos se suma o
se resta la declinación al rumbo magnético, según el cuadrante.
56
Curso básico de topografía
o
o
B
1 er cuadrante
Rbo. astr.
=
Rbo. mago
29 cuadrante
+
8
Rbo. astro
o
=
Rbo. mago - 8
o
B
3 er cuadrante
Rbo. astro
=
Rbo. mago
~J»ff
+ 81
.5
49 cuadran.te
I Rbo. astro = Rbo. mago -
8
Figura 33
1e r y 3 e r cuadrantes:
Rumbo astronómico = Rumbo magnético +
Declinación.
29 y 49 cuadrantes.
Rumbo astronómico = Rumbo magnético Declinación.
Planimetría
57
EJEMPLO:
El rumbo magnético de una línea es S 42 °40' W , y la declinación
magnética es 6°10' E. ¿Cuál es el rumbo astronómico de la línea?
DATOS:
Rbo. magnético = S 42 °40' W.
Declinación = 6°10' E.
Rbo. astronómico = ? .
SOLUCIÓN
Dibuje un croquis.
o
A
W----------~-----------E
6° 10'
B
s
Figura 34
Rbo. astronómico
Rbo. astronómico
= rumbo magnético + declinación.
= S 42 °40' W + 6° 10'.
Rbo. astronómico = S 48 °50' W
I
Conversión de azimutes a rumbos y viceversa
Con frecuencia hay necesidad de convertir los azimutes en rumbos y
viceversa. Para facilitar esta conversión, con el auxilio de las figuras siguien-
58
Curso básico de topografía
tes, estableceremos la relación entre azimut y rumbo en cada uno de los
cuatro cuadrantes. (Fig. NQ 35.)
N
r..;
1
B
w
... "- ,
'(\z
A l
W
E
K
E
A
s
s
1('f cuadrante
Rbo
29 cuadrante
= Az
Az = Rbo
N
=
180 0
-
Az
Az = 180 0
-
Rbo
Rbo
N
~~ff
.5
B
W
E
ti:
"1
B
s
s
4Q cuadrante
3<!f cuadrante
Roo = Az - 180'"
Az
=
Rbo
180 : ' + Rbo
Az
Figura 35
= 360 : = 360 - -
Az
Rbo
Planimetría
59
EJEMPLOS
1.
Convertir a rumbos los siguientes azimutes :
A zimutes
Rumbos
124°35'
283 °07'
72 ° 10'
198°52'
S 55 °25' E
2.
N 76°53' W
N 72 ° 10' E
S 18°52' W I
SOLUCIÓN
179°60'
124°35'
S 55 °25' E
359 °60'
- 283 °07'
N 76°53' W
198°52'
180°
S 18°52' W
Convertir a azimutes, los rumbos siguientes:
Rumbos
Azimutes
S 23 °40' W
N 56°21' E
S 9°56' E
N 81 °03' W
203 °40'
56°21'
170°04'
278 °57'
SOLUCIÓN
+
180°
23°40'
203 °40'
359 °60'
- 81 °03'
278°57'
Descripción de la brújula
La brújula es un instrumento topográfico que sirve para determinar
direcciones con relación a la meridiana magnética. (Fig. Nq 36.)
Casi todos los trabajos antiguos de topografía fueron hechos con la
brújula, y por lo tanto es esencial un conocimiento de la brújula y de su
aplicación en los trabajos de topografía, para la comprensión de los ejecutados antiguamente y que a menudo tienen que ser resueltos por el topógrafo moderno.
Las partes principales de la brújula son:
1. La caja que lleva un círculo graduado de 0 ° a 360° en el sentido
del movimiento de las manecillas del reloj, o de 0 ° a 90° en ambas direcciones del N y del S y, generalmente, los puntos E y W invertidos debido
al movimiento relativo de la aguja respecto a la caja.
2. Un nivel circular que se usa para mantener el círculo graduado en
un plano horizontal, cuando se van a tomar direcciones con la brújula.
3. Pínulas ocular y objetivo,. que son los elementos que sirven para
dirigir la visual y están colocados en línea con los puntos cardinales N y S
de la caja de la brújula, y
4. Una aguja imantada que puede girar libremente sobre un pivote
colocado en el centro del círculo graduado. La punta S lleva un contrapeso
para contrarrestar la atracción magnética en el sentido vertical.
60
Curso básico de topografía
pínula
contrapeso de
la aguja
• fJ11
nivel circular
nivel del eclímetro
pínula
.l"u,r"",1 ~#
-5
Figura 36
Planimetría
61
Condiciones que debe satisfacer toda brújula
1. La aguja debe ser móvil. Se conoce que la aguja llena esta condición cuando separada de su posición normal la recobra exactamente después de varias oscilaciones regularmente decrecientes. La faIta de limpieza
o los defectos de suspensión pueden ser causa de que no se cumpla esta
condición.
2. La aguja debe ser sensible. Esta propiedad se reconoce por el número y la velocidad de las oscilaciones. Una aguja de longitud media deberá
dar Ull3S 30 oscilaciones para recobrar su posición normal y su período
no debe pasar de 2 segundos. Cuando la aguja pierde su sensibilidad puede
devolvérsele frotándola del centro a las puntas con el polo de nombre
contrario de un imán en he"rradura de 200 g de fuerza.
3. La línea de los ceros debe estar en el plano qUf~ pasa por la visual,
definida por las pínulas. Si esta condición no se cumple las direcciones marcadas por la aguja, no quedarán referidas a la meridiana magnética.
4. La línea que une las dos puntas de la aguja debe pasar por el eje
de rotación de la aguja. Esta condición se cumple, si la diferencia de las
lecturas entre las dos puntas, en cualquier posición de la aguja es de 180 0 •
Se corrige enderezando la aguja.
5. El pivote sobre el que reposa la aguja debe estar en el centro del
CÍrculo graduado. Se revisa observando si la diferencia de lectura de las
dos puntas es de 180 0 en alguna posición y en otras no. El defecto consiste en que el pivote de la aguja se haya desviado. Se corrige enderezando
el pivote.
6. El eje magnético de la aguja debe coincidir con su eje geométrico.
Si no se cumple esta condición los rumbos dados por la brújula no serán
los reales y la figura no quedará correctamente orientada, pero este defecto
no tendrá influencia en la posición relativa de los lados.
Usos de la brújula
La brújula es útil solamente para hacer levantamientos aproxImados.
Se emplea para:
-
levantamientos secundarios.
levantamiento de detalles para el relleno de planos a pequeña escala.
tomar radiaciones en trabajos de configuración.
reconocimientos.
trabajos preliminares, y
exploraciones militares.
62
Curso básico de topografía
Ventajas en el uso de la brújula
-
La brújula es ligera, se carga con facilidad y demanda poco tiempo
para visar y para leer.
- Un error en la dirección de una línea no afecta necesariamente a
las demás líneas del levantamiento.
- La brújula se adapta especialmente para correr líneas rectas a través
de un obstáculo, pues puede instalarse salvando éste y continuar
después COI: el rumbo directo leído anteriormente.
Inconvenientes en el uso de la brújula
-
Los rumbos o azimutes no pueden obtenerse con una aproximación
mayor de 15 minutos.
La aguja es insegura y en algunos casos nula, a causa de las atracciones locales, por tanto, la brújula no debe emplearse en poblaciones
y en la proximidad de vías férreas, estructuras metálicas, líneas de
alta tensión, etc.
.'·I"f'I,;/,1~'f
.5
Atracciones locales
La aguja magnética puede cambiar de su posición natural por la
atracción de cualquier sustancia magnética que se encuentre cerca de ella,
como son el hierro, los rieles del ferrocarril, estructuras de acero de los
edificios, hierro magnético en terrenos de naturaleza volcánica, etc.
Corrección por las atracciones locales
Si en cualquier estación de un levantamiento existe una atracción local
producida por una fuente fija, ésta afectará los rumbos de atrás y de adelante tomados en esa estación, en la misma cantidad. Tomando en consideración que el ángulo calculado entre los lados de cualquier estación,
se puede determinar correctamente de los rumbos observados sin que importe que la aguja esté afectada localmente, empezando por el lado de la
poligonal que no esté afectado por la atracción local, se pueden calcular
los rumbos correctos de los lados siguientes.
EJEMPLO
En el levantamiento de una poligonal, con brújula, se obtuvieron los
datos siguientes:
Planimetría
63
REGISTRO DE CAMPO 6
Lados
A - B
B- C
C-D
D-E
...
Rumbo
directo
Distancias
Rumbo
inverso
Croquis y notas
~
60.50
119.00
72.40
S 45·00' W
N 62"00' W
N 30·00' E
N 45·00' E
S 60·00' E
S 31·00' W
o
•
...
9
t
i
Como los rumbos directo e inverso del lado AB coinciden, se supone
que las estaciones A y B están libres de atracciones locales. Por tanto, el
rumbo directo de Be, s 60°00' E es correcto. (Fig. NQ 37.)
N
,
J
NI
B
atracción
local
D
Figura 37
El ángulo en e, calculado de los rumbos observados, es:
e -=
180° - (62 °
+ 31 ° ) =
87 °
e = 8r es el ángulo correcto a pesar de la atracción local, excluyendo
desde luego los errores de observación.
Con el valor de e, se calcula ahora el rumbo correcto del lado eD.
180° - (60 + 87) = S 33 °00' W
También se pueden hacer las correcciones de los rumbos observados, sin
calcular los ángulos de la poligonal, teniendo en cuenta la magnitud y dirección del error debido a atracciones locales.
Roo. eD
=
64
Curso básico de topografía
EJEMPLO
En el registro de campo del ejemplo anterior, se ve que el rumbo inverso
correcto de BC es N 60 0 0<Y W y que el observado es N 62 °00' W, por tanto,
la atracción local en C es de 2° en el sentido directo, y la corrección a
cualquier rumbo observado con la brújula en C es de 2° en el sentido
contrario del movimiento de las manecillas del reloj. (Fig. NQ 38.) El rumbo directo observado del lado CD es S 31 °00' W, y el rumbo corregido
de CD, es: 31 ° + 2° = S 33 °00' W.
N
I
I
!L-- desviación de la aguja a
N ~2 ° causa de atracciones
1
B
locales
I
rumbos
correctos
s
..
')0
'.'''''("1'Jo' N~
-5
D
Figura 38
Si las discrepancias entre los rumbos directo e inverso son pequeñas y
aparentemente no son de carácter sistemático, es razonable suponer que
los errores se deben a causas diferentes de las atracciones locales.
Las atracciones locales se presentan con frecuencia y el topógrafo debe
tener especial cuidado en evitar los errores a que ellas pueden conducir.
METODOS DE LEVANTAMIENTO CON BRUJULA y CINTA
Se emplean los siguientes:
- Itinerario.
- Radiaciones.
6S
Planimetría
-
Intersecciones, y
Coordenadas rectangulares.
El método de itinerario es el principal y se usa para el levantamiento
del polígono de base, en tanto que los tres restantes se emplean como auxiliares del primero, para el levantamiento de detalles.
Método de itinerario
Este método consiste en recorrer el perímetro de la poligonal, tomando
los datos necesarios para la 'construcción del plano correspondiente.
A.
Comprende las operaciones siguientes:
Trabajo de campo.
1. Reconocimiento del terreno.
2. Materialización de los vértices de la poligonal.
3. Dibujo del croquis de la poligonal.
4. Recorrido del perímetro del polígono de base o de la poligonal,
a partir del vértice elegido como origen, tomando en cada uno de los
vértices, los rumbos (o azimutes) directo e inverso de los lados que en
dicho vértice concurren y midiendo con la cinta los lados de la poligonal.
5. Levantamiento de detalles aplicando para el efecto los métodos
auxiliares procedentes.
Los datos recogidos en el levantamiento se anotan, en forma clara y
ordenada, en el registro de campo, como se ilustra en el ejemplo siguiente:
REGISTRO DE CAMPO 7
Levantamiento con brújula de 30' de
aprox. y cinta de acero de 50 metros,
por el método de itinerario
Lomas de Sote lo, D . F .
30-MAY-75
Levantó: Ja vier del Río
RUMBOS
P.v.
Dist.
(m)
O
1
37.00
N 45 °00' E
S 45°30' W
1
2
40.50
N 37 °00' W
S 37°00' E ,l
2
3
36.50
S 70°30' W
N 70 · 00' E l
3
4
37.45
S
4
o
35.00
S 75°00'E
Est.
Directos
2 °00' E
Inversos
N
CROQUIS Y NOTAS
I
- -2
N
~
3
1
roO' W
I
I
,
I
I
4
N 75°30' W
I
prados
I
J
5
.
I
Curso básico de topografía
66
Las distancias se comprueban midiéndolas dos veces (ida y regreso) y
los rumbos (o azimutes) tomando el directo y el inverso de cada lado.
B.
Trabajo de gabinete.
1. Se calculan los ángulos interiores del polígono, a partir de los
rumbos (o azimutes) observados.
El error angular (EA) se determina comparando la suma de los ángulos
interiores obtenidos en función de los rumbos (o azimutes) observados con
la suma que da la condición geométrica:
I¡
siendo:
ángs. interiores = 180 0 (n - 2)
n = número de lados del polígono.
El error angular no deberá exceder la tolerancia angular, que para este
caso es:
[ T A = ±a 'in
.o"rlrJ"'
.5
,#
= tolerancia angular, en minutos.
a = aproximación de la brújula, en minutos = -+-30'.
n = número de vértices de la poligonal.
TA
Si:
EA
> TA ,
deberá repetirse el trabajo.
La determinación del error angular debe hacerse en el campo, al terminar el trabajo, porque en caso de resultar mayor que la tolerancia se puede
repetir el levantamiento, evitándose tener que regresar al campo y pérdida
de tiempo.
2. Se escoge un rumbo que se supone correcto. Este puede ser el de
un lado cuyos rumbos directo e inverso hayan coincidido mejor, y se denomina rumbo base.
3. Luego con los ángulos interiores corregidos y el rumbo base, se
calculan nuevos rumbos para todos los lados del polígono, que serán los
rumbos calculados.
4. Se elige la escala (o se emplea la especificada para el trabajo efectuado) .
5. Se dibuja el polígono.
6. Como a pesar de todas las precauciones tomadas en el terreno y
en la construcción del plano, generalmente, el extremo final del polígono
de base no coincide con el origen, la distancia gráfica entre dichos puntos
es el error de cierre que no deberá ser mayor que la tolerancia lineal
dada por las fórmulas siguientes:
Planimetría
Terreno
Si:
Tolerancia lineal
PLANO
TL
= 0.015 vI: +
QUEBRADO
TL
= 0.020 VL
MUY QUEBRADO
TL
-
TL
L
n
E
67
0.025
0.OO08L
+ 0.1 Vn -
1
Vn
- 1
VL + 0.OO08L I+ 0.1 Vn
- 1
+ 0.OOO8L + 0.1
= tolerancia
lineal, en metros.
= perímetro o desarrollo de la poligonal, en metros.
= número de lados de la poligonal.
> T,
debe repetirse el levantamiento.
También se puede calcular la tolerancia lineal T L, para trabajos con
brújula y cinta, aplicando las fórmulas siguientes:
Terreno
Tolerancia lineal
PLANO
T L = 1000
ACCIDENTADO
L
T
L
= tolerancia lineal, en metros.
L = perímetro de la poligonal, en
=
L
500
TL
metros.
7. Si el error de cierre no rebasa la tolerancia establecida, se compensará el error gráficamente.
8. Una vez compensado el error, se dibujarán los detalles, partiendo
de la estación origen, constituyendo éstos el verdadero valor del plano
topográfico.
9. La precisión o error relativo en los levantamientos con brújula y
cinta, en terreno plano es 1/1000 y en terreno accidentado 1/ 500.
La precisión obtenida en un levantamiento se calcula dividiendo el
error de cierre por el perímetro del polígono.
. _
Error de cierre
d 1 r
Precisión o error re latlVo - P '
enmetro e po 19ono
68
Curso básico de topografía
Si designamos por P la precisión, El, el error de cierre y 'J.,L el perímetro de la poligonal, se tiene:
~
; P=V; I
(1)
Se acostumbra representar la precisión como una fracción cuyo numerador es la unidad. De (1) se deduce:
EL
EL
P = ~L
E J,
1
-'i,L
El,
1
P="5..L
E J,
(2)
La expresión (2) indica que habrá una unidad de error por cada cierto
número de unidades medidas.
PROBLEMAS
1.
En un levantamiento con brújula de 30' y cinta de acero, en terreno
muy quebrado, se tienen los datos siguientes:
'J.,L
n
= 2,500
m
'i,
=
17
EL = 3.50
m
ángulos obtenidos
en función de los
rumbos
= 2698°00'
Calcular:
a)
b)
c)
d)
Tolerancia angular.
Erro.:- angular.
Tolerancia lineal.
Precisión.
.rlf~f'''e),/ J~
-5
SOLUCIÓN
~
ángs. ints
=
180 0 (n - 2)
=
180°(17 - 2)
=
180°(15)
= 2700°
Comparando esta suma con la de los ángulos obtenidos en
función de los rumbos observados, se encuentra el error angular:
I E,[ =
TA
= +a
yn
-2 °00'
= +123' ~
EA = T A
+30' y17
+2 °
TA
=
+2°
Planimetría
69
Para terreno muy quebrado la tolerancia lineal se calcula aplicando la fórmula:
TL
= 0.025 VL+ 0.OOO8L + 0.1 Vn - 1
= 0.025 V2500 + 0.0008(2500) + 0.1 V17 = 1.25 + 2.00 + 0.40 =
1
TL
3.65
= 3.65
m
El error relativo o precisión obtenida en el levantamiento es:
p= EL =3.50=00014
'J,L
2500
.
2.
ó
1
1
p = 2500 = 714
3.50'
Dados los rumbos directos e inversos tomados en un levantamiento
con brújula:
a)
Calcular los ángulos interiores del polígono.
b)
Determinar el error angular.
e)
Calcular la corrección angular, y
d)
Obtener los ángulos interiores corregidos.
Lados
Rumbos
inversos
Rumbos
directos
0-1 S 30°30' W
1 - 2 S 83 °00' E
2-3 N 2 °00' W
3-4 S 89°30' W
4-0 S 29 °00' E
N
N
S
N
N
30°30' E
84 °00' W
2 °30' E
89 °00' E
28 °00' W
SOLUCIÓN
Para obtener los ángulos interiores a partir de los rumbos observados dibújese un croquis del polígono anotando los valores
angulares de los rumbos. (Fig. NI? 39.)
70
Curso básico de topografía
4
4
*
" •
29
2° 30'
.1?Uf'lr~.I
30° 30'
0
30 30'
1
3
-5
84~~1
P
83
/#
.
U
2°'
2
Figura 39
L O = 180° + 28 ° + 30°30'
= 238°30'
L 1 = 180° - (30 °30' + 83 °)
66°30'
L 2 = 84° - 2°
82°00'
L 3 = 89 °30' + 2°30'
L 4 = 180° - (89° + 29 ° )
¡ ángulos interiores
92 °00'
62°00'
= 541 °00'
(obtenidos a partir de los rumbos observados).
En este caso la condición geométrica, para n = 5, da:
¡ ángs. ints = 180 0 (n - 2) ·= 180°(3) = 540°00'
Si se comparan las sumas de los ángulos interiores, una obtenida
a partir de los rumbos observados y la otra por la condición geométrica, se encuentra el error angular:
Planimetría
EA
= 541 °()()'
- 540 °00'
= + 1°
EA = + 1°
71
1
La corrección que se aplicará a cada uno de los ángulos interiores, con signo contrario al error, se obtiene dividiendo el error
angular, expresado en minutos, entre el número de ángulos del
polígono.
Corrección angular
= -60' =
5
12'
Los ángulos corregidos se hallan aplicando la corrección a los
obtenidos a partir de los rumbos observados, como sigue:
L O= 238 °30'
L 1 = 66°30'
L 2 = 82°00'
L 3 = 92°00'
L4= 62 °00'
- 12' = 238 °18'
- 12' = 66° 18'
- 12' = 81 °48'
- 12' = 91 °48'
- 12' = 61°48'
~ ángulos interiores = 540°00'
3.
fr,
~
r ( '.1IJNI."
Como la línea O - 1 del problema anterior, tiene rumbos directo
e inverso iguales, tómese como rumbo base y con los ángulos interiores corregidos, calcúlense los nuevos rumbos de los lados del
polígono.
SOLUCIÓN
Dibújese un croquis del polígono y anótense los valores del
rumbo base y de los ángulos interiores corregidos (Fig. NI? 40) Y
así podrán encontrarse fácilmente los rumbos buscados.
Rbo. O - 1
= S 30°30' W
(Rumbo base)
Rbo. 1 - 2 = 180° - (30 °30'
+ 66°18')
Rbo. 1 - 2 = S 83 °12' E
Rbo. 2 - 3 = 83 °12' - 81 °48' = 1 °24'
Rbo. 2 - 3 = N ]024' W _
Rbo. 3 - 4 = 180°00' - (91 °48' - 1 °24')
Rbo. 3 - 4
= N 89 °36' W
Rbo. 4 - O = 89 °36' - 61 °48'
Rbo. 4 - O = S 27°48' E
:=
27 °48'
72
Curso básico de topografía
.'·I"(,"JOI;~
-5
4
ti,.,.
dmJ 3
91 0 48'
lrW'1'1'//l
1 0 24'
238 o 18'
1 0 24'
1
048'
83 012'
2
Figura 40
4.
Con los siguientes datos del registro de campo calcular:
a)
Los ángulos interiores del polígono a partir de los rumbos
observados.
b)
El error angular (EA).
e)
La tolerancia angular (T,d
d)
La corrección angular (C).
e)
Los ángulos interiores corregidos.
f)
Los rumbos, a partir del rumbo base y los ángulos interiores
corregidos. (Tómese como rumbo base el del lado 1 - 2).
g)
Los rumbos astronómicos (8 = 9 °30' E).
h)
La tolerancia lineal (terreno plano).
i)
La precisión (supóngase: EL = 0.40 m).
a '= 30'
Planimetría
Est.
-O
1
2
3
4
P.V.
1
2
3
4
O
Distancias
(m)
Rumbos
directos
37.00
40.50
36.50
37.45
35.00
186.45 m
N
N
S
S
S
45 °00' E
37 °00' W
70°30' W
2°00'E
75 °00' E
I
73
Rumbos
inversos
S
S
N
N
N
45 °30' W
37 °00' E
70°00' E
2°00' W
75 °30' W
SOLUCIÓN
a)
Dibújese el croquis del polígono y anótense los valores angulares
de los rumbos observados. Los ángulos interiores se hallan como
se indica en seguida (Fig. NQ 41):
3
Figura 41
74
Curso básico de topografía
OPERACIONES
75 °30'
+ 45 °
LO - 120°30'
37 °
+ 45 °30'
- 82 °30'
179°60'
L1
9'7 °30'
180°
- 72 °
L 3 = 108 °
LO=
L2
=
L3=
L4 =
b)
182°
- 75°
L 4 = 107°
75 °30'
180° -
L1=
37°
70°30'
L 2 = 107 °30'
~
+ 45 ° = 120°30'
(37" + 45 °30') =
LO
L1
L2
L3
L4
ángs.
=
=
=
=
=
=
120°30'
97 °30'
107°30'
108°00'
107°00'
540°30'
Angulos interiores del
polígono, calculados
con los rumbos directos
e inversos observados
durante el levantamiento.
9]030'
+ 70°30' = 107°30'
180° - (70° + 2 ° ) = 108°00'
(180° + 2 ° ) - 75 ° = 107°00'
37 °
El error angular (EA) se obtiene comparando las sumas de
los ángulos calculados a partir de los rumbos observados, y
de los ángulos interiores que da la condición geométrica:
::s ángs. ints
= 180
0
(n - 2)
En este caso:
.'·IfU·UiJ,1 J~
n=5
.5
por tanto:
! . ángs. interiores
= 180°(5
- 2)
=
180° (3)
=
540°00'
I
(1)
Por otra parte:
::s ángs. calculados = 120°30'
~
ángs. calculados
+
97°30'
+
107°30'
+
+
lOrOO'
= 540°30' I
(2)
De las igualdades (1) y (2), se deduce:
c)
108 °00'
EA
= +30'
La tolerancia angular se encuentra aplicando la fórmula:
TA
=
+a
-In = +30' '.15 =
EA
< TA
+67'
[ TA
=
±67'
Planimetría
d)
7S
La corrección que se aplicará a cada uno de los ángulos interiores, es en este caso:
Esta corrección se aplica con signo
contrario al error.
e)
A continuación, los ángulos corregidos se obtendrán aplicando
a los calculados la corrección respectiva.
rumbo
base
1 0 42'
Figura 42
Angulas
sin corregir
SUMAS:
f)
Corrección
120°30'
97°30'
107°30'
108°00'
107°00'
"G"
- 6'
- 6'
- 6'
- 6'
- 6'
540°30'
-30'
Angulas
corregidos
120°24'
97°24'
107°24'
107°54'
106°54'
540°00'
Con los ángulos corregidos y el rumbo base, se calcularán los
nuevos rumbos. Esta operación se facilitará dibujando un cro-
76
Curso básico de topografía
quis y anotando en él los valores de los ángulos interiores
corregidos y el rumbo base. (Fig. N<? 42.)
Rbo 1 - 2 = N 37°00' W
(Rumbo base)
= S 70°24' W
4 = 180° - (70°24' + 107°54') = S ]°42' E
O = (180° + 1 °42') - 106°54' = S 74°48' E
1 = 120°24' - 74°48' = N 45°36' E
Rbo 2 - 3 = 107°24' - 37°
Rbo 3 Rbo 4 Rbo O g)
Cálculo de los rumbos astronómicos
(8 = 9°30' E).
O:
O
(>
1
3
3er.cuadrante
ler.cuadrante
4 <2 cuadrante
]er
cuadrante
N 45°36' E
+ 9°30'
N 55 °06' E
4<? cuadrante
3 er cuadrante
N 37°00' W
- 9°30'
N 27°30' W
S 70°24' W
+ 9°30'
S 79 °54' W
= N 55°06' E
2 = N 27°30' W
3" = S 79°54' W
4 = S 7°48' W
O = S 65 ° 18' E
Rbo. astron. O - 1
Roo. astron. 1 Rbo. astron. 2 Rbo. astron. 3 Rbo. astron. 4 -
~tnff
~
Planimetría
77
2 ~/cuadrante
0
1 42'
29 cuadrante
29 cuadrante
',: 9 °30'
S - 1 °42' E
S
7°48' W
h)
S 74°48' E
- 9 °30'
S 65 ° 18' E
La tolerancia lineal (T L), para terreno plano, se calcula por
medio de la fórmula:
= 0.015 yL+ 0.0008L 1+ 0.1 Vn - 1
L = perímetro de la poligonal, en metros = 186.45
n = número de lados de la poligonal = 5
T = 0.015 Y 186.45 + 0.0008(186.45) + 0.1(2)
TL
m
L
TL
i)
= 0.21 +
0.15
+
0.20
=
0.56 m
La precisión obtenida en el levantamIento es:
.. ~
P reClSlon
=
EL
0.40
O 0021
¡L = 186.45 = .
o bien:
.. ,
1
1
1
PreClSlon = ¡L = 186.45 - -46-6
EL
0.40
TL
= 0.56
m
I
Curso básico de topografía
78
Precisión
=
O. 0021
1
= 466
Métodos usados para el levantamiento de detalles,
con brújula y cinta
Se toman como auxiliares del método de itinerario, para fijar detalles
referidos al polígono de base, los siguientes métodos:
-
Radiaciones.
Intersecciones, y
Coordenadas rectangulares.
Método de radiaciones
Sean 4, 5, 6, ... , vértices .de la poligonal que se va levantando por el
método de itinerario (Fig. N9 43) Y M, una mojonera que es necesario
hacer figurar en el plano.
~»ff
N
.5
M
fl>.~e
oe"Q
, Ó.o~o
~~ "
6
~o
_........
5
Figura 43
El punto M puede levantarse por el método de radiaciones que consiste
en dirigir una visual a ese punto, midiendo el rumbo de la línea que dicho
punto determina con la estación desde la cual se observa, así como la
distancia del punto a la estación. En el ejemplo que se ilustra en la figura,
la posición del punto M estará determinada, tomando el rumbo (o azimut)
de la línea 4 - M Y midiendo la distancia 4 - M. Estos datos se anotan
en el registro de campo.
Planimetría
79
Método de intersecciones
Cuando haya detalles inaccesibles o lejanos de los vértices de la poligonal, ,de tal manera que no puedan medirse sus distancias a los vértices,
podrán fijarse por intersecciones, observándolos desde dos estaciones sucesivas o no de la poligonal (Fig. NQ 44).
8
Figura 44
Desde las estaciones 7 y 9, se han medido los rumbos de las líneas
que determinan dichos vértices y el punto P, que se desea levantar.
En este caso no es necesario medir las distancias 7 - P y 9 - P, porque
las líneas que unen las estaciones desde las cuales ha sido observado P,
son de longitud conocida, quedando determinada su posición por la intersección de las direcciones 7 - P y 9 - P.
Método de coordenadas rectangulares
Este método se emplea en los casos en que sea necesario tomar datos
para fijar la dirección de un río, camino, canal, etc., a fin de que figuren
en el plano correspondiente.
Para ello se toma como eje de las abscisas un lado de la poligonal que
se está levantando, procurando que sea el más próximo al accidente de
que se trate, y como ordenadas se toman las perpendiculares que se vayan
levantando desde distintos puntos del lado de la poligonal, elegido como
eje de las abscisas, al obstáculo o accidente que se desea levantar (Fig.
NQ 45).
80
Curso básico de topografía
polígono
de base
5'
~PlHff
~
Figura 45
Debe determinarse el rumbo de las líneas 5 - 5', ad, bb', ce', ... ,
para que sean perpendiculares al lado 5 - 6 de la poligonal, escogido como
eje de las abscisas.
RboS--':':-6
En el ejemplo propuesto, si:
entonces:
Rbo aa' =Rbo bb'
= Rbo
ce'
= ... = N
=N a
(90 0
-
O
E
a) W
Una vez definida la dirección de las ordenadas, con la cinta se miden
las longitudes de ésta~ y las distancias del vértice 5 de la poligonal al
pie de cada una de las perpendiculares levantadas.
DIBUJO DE LA POLIGONAL
Para construir un plano valiéndose de la información obtenida en el
éampo por medio de la brújula y la cinta, se escoge primero la escala
apropiada y luego se estudian ligeramente los datos para determinar dónde
trazar la línea Norte-Sur y el primer lado del polígono, de modo que el
dibujo pueda acondicionarse al tamaño del papel. Generalmente la parte
superior del dibujo debe ser Norte.
Cuando el punto inicial y la dirección del meridiano se han trazado
sobre el papel, la dirección del primer lado del polígono se traza por medio
del transportador. Para ello se coloca el centro del transportador en el
punto inicial o vértice O del polígono, haciendo coincidir el cero de la
graduación del transportador con la línea Norte-Sur trazada y, con un
Planimetría
81
lápiz de punta fina, se marca en el papel el rumbo (o azimut) del lado
O - 1; luego, se retira el transportador y con una escuadra, se traza la
línea que una el origen o punto inicial con el punto l' marcado, prolongándola lo necesario para tomar sobre ella, a la escala elegida, la distancia
que haya entre los vértices O y 1. (Fig. 46.)
N
4
2
Figura 46
Se vuelve a colocar el transportador en el punto inicial O y se marca
el rumbo de la línea 1 - 2; en seguida se coloca una escuadra en tal
forma que uno de sus lados esté en coincidencia con los puntos O - 2 Y
~olocando una segunda escuadra contra otro de los lados de la primera,
se desliza ésta hasta coincidir con el vértice 1, desde el cual se traza una
línea cuya longitud estará determinada por la escala y por la distancia
que haya entre los vértices 1 y 2. Estas operaciones se continúan en la
misma forma hasta que se llegue al punto inicial O.
COMPENSACION GRAFICA
Sea la poligonal 0 ,- 1 - 2 - 3 - 4 .:=... 0', la cual se comenzó a construir en el punto inicial O y se terminó en el punto O', el cual debía haber
coincidido con O, si no hubiera habido errores de observación.
6
82
Curso básico de topografía
La distancia entre O y O' se llama error de cierre E. (Fig. NQ 47.)
Si el error de cierre E no rebasa la tolerancia establecida, la poligonal se
corrige en forma gráfica de la manera siguiente:
a) Se calculan las correcciones considerando que los errores son proporcionales a las longitudes de los lados de la poligonal.
L2
~ff
~
poligonal
SIn compensar
o
2
L5
poligonal
compensada
4'
J
Figura 47
El error unitario o error por metro, "e" se calcula dividiendo el error
de cierre E entre el perímetro de la poligonal ¡L.
E
E
e= ¡L
=
e("2.L)
(1)
Calculado e, las correcciones se obtienen como sigue:
C l = eL!
C:!
C3
Cl
=
=
=
e(L l
+
e(L l
+L +L
+ L z + L3 + L
+ L z + L3 + L4 + L
e(L1
C o ' = e(L l
C o' = e(¡L)
Lz)
2
3)
4)
5)
(2)
Planimetría
83
De las igualdades (1) y (2), se concluye que: Co' = E; es decir, que
la corrección que se aplique en el punto O', tiene el mismo valor absoluto
que el error de cierre.
Por los vértices de la poligonal se trazan paralelas al error de
cierre, en sentido contrario al error.
b)
En seguida, sobre la paralela trazada por el vértice 1, se toma una
longitud igual a Cl , a partir del vértice 1, obteniéndose así el punto 1';
sobre la paralela que pasa por el vértice 2, y a partir de este punto, se
toma una distancia igual a C:2 y se obtiene el punto 2'; Y así sucesivamente
se encuentran los puntos 3' y 4'.
e)
Por último, uniendo los puntos O, 1', 2', 3', 4' Y O se encuentra
la poligonal compensada.
d)
Cuando se trate de una poligonal abierta, cuyos extremos son conocidos,
para compensar gráficamente el error se procederá de una manera análoga
a la ya descrita para poligonales cerradas. (Fig. NQ 48.)
E
e=-¡L
A
poligonal sin compensar
\.
15
poligonal compensada
Figura 48
Correcciones:
AA' = el =e~
B-B' = C'2 = e(Ll
CC' = Ca = e(Ll
23 - 23' = C2a ' =e(Ll
+ L.2)
+ L2. + La)
+ L 2 + La +
L-4)
=
e(¡L)
Caso particular
Si los lados de la poligonal, cerrada o abierta, tienen 'aproximadamente
la misma longitud, la compensación gráfica se simplifica porque se evita el
cálculo de las corr' 'ciones.
Curso básico de topografía
84
En este caso, el error de cierre se divide en tantas partes iguales como
lados tenga la poligonal; luego, por los ' vértices de la misma se trazan
paralelas al error de cierre y en sentido contrario al error; a cOlltinuación,
sobre la paralela trazada por el vértice 1 se toma una longitud igual a
una de las partes en que se dividió el error de cierre; sobre la paralela
que pasa por el vértice 2, se toma una longitud igual a dos de esas partes,
y así sucesivamente.
La poligonal compensada se halla uniendo los puntos O, i', 2', 3', 4'
Y O (Fig. N9 49).
E
= q
n
-
....--poligonal sin compensar
Cl = q
e
'2
poligonal compensada
= 2q
C3 = 3q
C4
C() '
= 4q
= 5q
\16
4'
~ff
4
~
L4
Figura 49
DETERMINACION DE LA SUPERFICIE DEL POLIGONO
POR MEDIO DEL PLANIMETRO
Las superficies se pueden determinar mecánicamente, con un planímetro.
Este procedimiento es útil, especialmente, cuando la superficie que se
necesita determinar está limitada por un perímetro irregular, con curvas
y rectas, y a veces sin forma muy precisa.
El planímetro (de plano y del gr. metron, medida) es un instrumento
para medir superficies de figuras planas. Hay dos clases de planímetros:
polar y rodante.
El que más se emplea es el planímetro polar, por su sencilla operación.
Planimetría
85
Descripción del planímetro polar
El planímetro polar está formado por dos brazos unidos por un eje
(Fig. NQ 50): uno, que se denomina brazo polar que lleva el punto fijo
o polo P, y el otro que se llama brazo trazador y tiene marcada una graduación G para ajustar su longitud, según la escala del dibujo, y en su
extremo lleva la punta trazadora T.
Figura 50
El planímetro se apoya en tres puntos: el polo P, el rodillo R y la
punta: trazadora T.
El tambor del rodillo, está dividido en 100 partes y en contacto con
un vernier V que va fijo a la armadura del planímetro. Por medio de un
tomillo sinfín, el rodillo cuando gira hace girar al disco graduado D en
la relación 10: 1. El número completo de vueltas del rodillo se lee en el
disco D por medio de un índice; los centésimos de vuelta del rodillo los
indica la lectura del tambor en el índice del vernier V; y los milésimos
se obtienen por la lectura del vernier.
Reglas prácticas para el uso del planímetro
1. El rodillo debe girar libremente y sin sacudidas.
2. La superficie sobre la cual se mueve el planímetro debe ser plana,
horizontal y perfectamente pulida.
3. Con la punta trazadora se seguirá el perímetro, en sentido retrógrado, colocando el ojo en la parte superior.
4. No debe dirigirse la punta trazadora a lo largo de una regla, porque la compensación de errores en este caso es menor que procediendo
de la otra manera.
5. Cuando al recorrer el perímetro se desvía el trazador o se pasa
del último vértice, debe retroceder siguiendo el mismo camino, anulándose
en esta forma el error.
86
Curso básico de topografía
Determinación de superficies
Cuando se va a determinar la superficie de un polígono, se coloca la
aguja del polo en el papel en el punto que convenga y se mantiene en su
posición mediante el peso W.
A continuación, la punta trazadora se coloca en un punto definido del
peJ.'ímetro del polígono, y se hace una lectura inicial. Luego· se recorre
el perímetro hasta que la punta trazadora vuelve a quedar en su posición
original, y se toma una lectura final. El recorrido del perímetro con la
punta trazadora se ejecutará en el sentido del movimiento de las manecillas
del reloj.
La diferencia entre la lectura final y la inicial es el número n de
revoluciones del rodillo.
n = L, - Li
(1)
en la que n es positiva si la rotación es hacia adelante y negativa si es
hacia atrás.
Cuando el polo queda fuera de la figura y el planímetro hace el recorrido en el sentido de las manecillas del reloj, la lectura final L, será
mayor que la inicial Lh y n será positiva.
La superficie S de la figura es directamente proporcional al número
n de revoluciones del rodillo:
~~nff
.5
I
S
=
nK
=
(L, - LdK
(2)
"La superficie de la figura se obtiene multiplicando la diferencia de lecturas
por la constante del planimetro."
El factor de proporcionalidad K se llama la CONSTANTE DEL PLANÍEl valor de K es igual al producto de la longitud del brazo trazador
por la circunferencia del rodillo.
Cuando el brazo trazador se sostiene en tal posición con relación a]
brazo polar, que el plano del rodillo pasa por el polo, la punta trazadora
puede describir una circunferencia sin que el rodillo se mueva y, por
tanto, no se registra esta superficie. A este círculo, cuya superficie no se
registra, se le llama el círculo del cero. A esto se debe que si el polo del
planímetro se coloca dentro de la figura cuya superficie se desea determinar,
la diferencia de lecturas que se obtiene únicamente, corresponde a la
superficie que queda fuera del círculo del cero. Además, las lecturas resultan positivas si la rotación del rodillo es hacia adelante y la superficie
de la figura es mayor que el círculo del cero; y negativas cuando la
rotación del rodillo es hacia atrás y la superficie de la figura es menor
que la del círculo del cero.
METRO.
Planimetría
87
La superficie del CÍrculo del cero se puede determinar recorriendo el
perímetro de una figura, una vez con el polo fuera de la figura y otra
con el polo dentro de ella.
La primera operación da la superficie de la figura:
S= n·K
y la segunda da una superficie:
S' = n'K
que representa la diferencia entre la superficie de la figura y la del CÍrculo
del cero:
Superficie del CÍrculo del cero
n'
n'
> 0,
< 0,
si:
si:
S
S
>
<
=
nK - n' K = (n - n')K
Supo del CÍrculo del cero
Supo del CÍrculo del cero.
según la direcciór-. de rotación del rodillo.
Por lo anteriormente expuesto, se conúdera más conveniente determinar las superficies, colocando el polo fuera de la figura. Si ésta es mayor
que la que puede trazarse en una operación, se puede dividir en figuras
pequeñas y determinar por separado sus superficies.
Determinación de la constante del planímetro
Se puede determinar el valor de la constante del planímetro recorriendo el perímetro de una figura de superficie conocida, con la punta trazadora.
La operación, de preferencia, debe repetirse unas cinco veces y utilizarse el promedio.
De la fórmula:
se deduce:
(3)
El valor de la constante K del planímetro se obtiene dividiendo la superficie conocida S entre la diferencia de lecturas tomadas al iniciar el recorrido
del perímetro y al final del recorrido.
Los constructores de estos instrumentos dan una tabla en la que se
indican las constantes 'para diferentes longitudes del brazo trazador y para
diversas escalas.
88
Curso básico de topografía
Precisión en la determinación de superficies con planímetro
Las superficies deben dibujarse empleando una escala que esté de
acuerdo con la precisión deseada.
La precisión en la determinación de superficies con planímetro, depende
en gran parte de la habilidad del operador para seguir el perímetro del
polígono con la punta trazadora, pues hay una tendencia del Gperador, a
desviarse en uno u otro sentido.
Si la figura es grande el error relativo en la superficie será pequeño,
y viceversa.
En la medida de superficies pequeñas generalmente se puede esperar
una precisión del uno por ciento y en la medida de figuras de tamaño
grande que estén bien dibujadas dentro de 0.1 % ó 0.2 % .
~ff
LEVANTAMIENTOS CON TRANSITO Y CINTA
.5
Generalidades
Se denominan goniómetros los aparatos que sirven para medir ángulos.
Estos instrumentos constan esencialmente de un limbo o círculo graduado
y de una alidada. Se llama limbo o círculo graduado a la corona circular
cuyo contorno está dividido con trazos finos. Los círculos se gradúan en
360 0 sexagesimales o en 40~ centesimales. La alidada está formada por
un anteojo estadimétrico ligado a un disco giratorio cuyo eje debe coincidir
con el eje del limbo y lleva consigo un Índice en el extremo de dicho disco
y un vernier para conocer el valor del ángulo en una forma más precisa.
Descripción del tránsito
El "tránsito" (Fig. NQ 51), tomado del inglés "transit", es un gomometro cuyo anteojo puede dar una vuelta completa alrededor del eje de
alturas. Consta esencialmente de las partes siguientes:
El anteojo, elemento fijado a un eje transversal horizontal denominado eje de alturas que descansa en los cojinetes de los soportes. El anteojo
se puede hacer girar alrededor de su eje horizontal y se puede fijar en
~ualquier posición en un plano vertical, por medio del tornillo de presión
del movimiento vertical; una vez fijo este tomillo se pueden comunicar
pequeños movimientos al anteojo alrededor del eje horizontal, haciendo
girar el tornillo tangencial del rrwvimiento vertical.
El círculo vertical se encuentra unido al eje horizontal y fijado a uno
de los soportes del anteojo está el vernier del círculo vertical.
El anteojo lleva en su parte inferior un nivel de burbuja que sirve para
usar el tránsito como nivel.
Planimetría
89
2
1.- Visera o sombra.
2.- Tomillo de enfoque.
3.- Tomillo de presión del movimiento
vertical.
4.- Tomillo tangencial del movimiento
vertical.
5.- Objetivo.
6.- Ocular.
7.- Tomillos de la retícula.
8.- Eje de alturas.
9. Nivel del anteojo.
10.- Círculo vertical.
11.- Vernier del círculo vertical.
12.- Círculo horizontal.
13.- Niveles del cír6ulo horizontal.
14.- Vernier 4el círculo horizontal.
15.- Tomillo de presión del movimiento
particular.
16.- Tornillo tangencial del movimiento
particular.
17.- Brújula.
18.- Tornillo para fijar el agua de la brújula.
19.- Tornillo de presión del movimiento
general.
20.- Tomillo tangencial del movimiento
general.
21.- Tornillos niveladores.
22.- Plataforma o base en la que descansan
los tomillos niveladores.
23.- Tripié.
24.- Cadena con gancho para colgar la
plomada.
90
Curso básico de topografía
Se dice que el anteojo está en posición directa cuando el nivel queda
abajo de él, y en posición inversa, cuando está arriba. El giro que se le
da al anteojo para pasar de una posición a la otra es lo que se llama
vuelta de campana.
~~.ff
.5
Figura 51
En el interior del tubo del anteojo está el sistema óptico que le da
el poder amplificador. Según los diversos aparatos, el poder amplificador
varía, generalmente, entre 18 y 30 diámetros. El poder amplificador es la
relación de la longitud aparente de la imagen a la del objeto. Cuanto
mayor es el poder amplificador tanto menor es la iluminación y menor
es el campo visual.
Cuando se visa un objeto, se acciona el tornillo de enfoque del objetivo
hasta que la imagen aparece clara y el ocular, hacia adentro o hacia afuera, hasta que aparezcan claros los hilos de la retícula.
La función principal del objetivo es formar una imagen visible. El centro óptico del objetivo es el punto interior de las lentes por el que pasa
cualquier rayo de luz sin cambiar de dirección.
El foco principal es un punto en el eje óptico atrás del objetivo en
el que los rayos que entran al anteojo y que son paralelos al eje óptico,
van a dar al foco.
La distancia focal del objetivo es la distancia de su centro óptico a
su f.oco principal.
La imagen formada en el objetivo es invertida. El ocular que comúnmente se usa, llamado de imagen recta, reinvierte la imagen de manera
que aparece alojo en su posición normal.
El anteojo está provisto de una retícula de tres hilos horizontales, paralelos entre sí y equidistantes y de un hilo vertical que corta por en medio
Planimetría
91
a los tres anteriores. Estos hilos se obtienen de los capullos de las arañas
o se hacen de alambre de platino muy delgado y se sujetan a un anillo
metálico que constituye el anillo de la retícula; este anillo es menor que
el tubo del anteojo, y se mantiene en su lugar con cuatro tomillos de
calavera por medio de los cuales se puede mover vertical u horizontalmente, o puede hacerse girar un ángulo pequeño alrededor del eje del
anteojo.
La línea de colimación está definida por la intersección de los hilos de
la retícula y el centro óptico del objetivo.
El disco superior o disco del vernier, al cual están unidos los soportes
del anteojo y el disco inferior, al cual está fijo un círculo graduado o
limbo horizontal, están sujetos, respectivamente a una espiga y un mango,
cuyos ejes de rotación coinciden y están situados en el centro geométrico
del círculo graduado. El mango o eje exterior que lleva el disco inferior
puede sujetarse en cualquier posición por medio del tornillo de presión
del movimiento general. Una vez apretado este tomillo, se pueden producir pequeños movimientos haciendo girar el tornillo tangencial del movimiento general.
De la misma manera, la espiga que lleva el disco superior puede sujetarse al mango exterior por medio del tornillo de presión del movimiento
particular. Después que se ha apretado éste se pueden comunicar pequeños movimientos por medio del tornillo tangencial del movimiento particular.
El eje alrededor del cual giran la espiga y el mango verticales se llama
eje azimutal del instrumento.
Sobre el disco superior se encuentra montada una brújula. Si el círculo
graduado de la brújula es fijo, sus puntos N y S se encontrarán en el mismo
plano vertical de la visual del anteojo. Existen tránsitos en los cuales puede
hacerse girar el círculo graduado de la brújula con respecto al disco superior, de manera que puede marcarse la declinación magnética y obtener
directamente los rumbos astronómicos de las líneas.
En uno de los costados de la caja en donde se encuentra la brújula
hay un tomillo que sirve para asegurar el movimiento de la aguja cuando
no está en uso y evitar que se doble el pivote de apoyo durante el transporte del aparato.
El disco superior lleva montados dos niveles de burbuja en ángulo recto
y que sirven para nivelar el tránsito.
El círculo horizontal está graduado generalmente en medios grados,
pero algunas veces en terceras partes de grado o cuartos de grado.
Todos los tránsitos tienen dos vemiers, llamados A y B para leer el
CÍrculo horizontal. Sus índices tienen una separación de 1800 •
El mango o eje exterior se encuentra asentado en un hueco cónico de
la cabeza de nivelación. La cabeza de nivelación tiene abajo una articulación de rodilla que fija el aparato al plato de base, pero permitiendo la
rotación, quedando la misma articulación como centro.
92
Curso básico de topografía
Los tornillos niveladores presionan la cabeza de nivelación contra el
plato de base. Cuando se giran estos tornillos el aparato se mueve sobre
la articulación de rodilla; y cuando los tornillos niveladores se encuentran
flojos no hay presión sobre el plato de base y el tránsito puede moverse
lateralmente con respecto al plato.
Del extremo de la espiga cuelga una cadena con un gancho para
suspender la plomada.
El instrumento se monta en un tripié atornillando el plato de base
en la cabeza del tripié.
Las partes principales del tripié son la plataforma, el sistema de unión
con el aparato y los pies.
Usos del tránsito
Debido a la gran variedad de usos que se le dan, el tránsito es el aparato universal para la topografía.
El tránsito puede emplearse para:
a)
Medir ángulos horizontales y verticales.
b)
Trazar ángulos horizontales y verticales.
Medir distancias.
Determinar diferencias de elevación.
Medir direcciones, y
Trazar y prolongar líneas.
c)
d)
e)
f)
Condiciones que debe satisfacer un tránsito para su buen
funcionamiento. Revisión y ajustes
1. Las directrices de los niveles del limbo horizontal deben ser perpendiculares al eje azimutal cuando las burbujas estén en el centro.
Revisión:
Con el movimiento general póngase uno de los niveles en la dirección
de dos de los tornillos diametrales de la plataforma para nivelar (Fig.
NI? 52).
Fíjese el movimiento general y valiéndose de los tomillos niveladores
a,a, llévese al centro la burbuja del nivel.
Aflójese el tornillo de pres;~;, r!~1 movimiento particular y gírese el
anteojo 180 0 , fijando dicho movimiento. Si la burbuja del nivel queda
en el centro después de este giro, en esta nueva posición, el nivel está
correcto, pero si se desvía la burbuja se procede a corregirlo.
Planimetría
93
Ajuste:
Corríjase la mitad del error por medio de los tornillos de calavera de
que están provistos los niveles.
La otra mitad se corrige con los tornillos niveladores.
Nunca se corrigen los niveles con una sola operación y hay que repetirla tantas veces cuantas sea necesario hasta tener la seguridad de que el
nivel está correcto.
nivel
r
\
I
a,a,b,b,
~
direcciones
paralelas
tomillos niveladores
Figura 52
2. El hilo vertical de la retícula debe estar en un plano perpendicular
al eje horizontal.
Revisión:
A una distancia de 60 m de donde se tiene el tránsito, colóquese la
plomada sumergida en un recipiente que contenga agua o aceite, para
evitar las oscilaciones que produce el viento.
Hágase coincidir el cruzamiento central de los hilos de la retícula con
el hilo de la plomada y obsérvese si el hilo vertical se confunde con el
de la plomada. Si esto acontece el hilo vertical está correcto; pero si no
sucede así, el hilo requiere corrección.
Ajuste:
Aflójense dos tomillos de ca1avera contiguos.
Imprímase un giro a la retícula hasta que coincida el hilo vertical en
toda su longitud con el hilo de la plomada.
Una vez lograda la coincidencia del hilo vertical y la plomada, apriétense los mismos dos tomillos de calavera.
94
Curso básico de topografía
3. La línea de colimación del anteojo debe ser perpendicular al ele
horizontal.
Revisión:
Nivélese el instrumento.
VÍsese un punto A (Fig. NQ 53) a una distancia de 150 m aproximadamente, con el anteojo en posición directa y fíjense los movimientos
particular y general del instrumento.
2a posición
"B
I
I
A. 150 m apr'jf.
\
(
~,
'
•I
•••
--~---- --------'-.-:...,---1-,
......... -....
'
-.. ,
-.. -........... -- - --.. .;. D
...
..... -
- --
.
- --...... e
-
I
I
Figura 58
Dése vuelta de campana al anteojo, quedando éste en poslclon inversa
y colóquese otro punto B en la línea de colimación y aproximadamente a
la misma distancia en el lado opuesto del tránsito.
Aflójese el movimiento general e inviértanse los extremos del anteojo,
haciéndolo girar alrededor del eje azimutal, y vÍsese otra vez A.
Fíjese el movimiento general y dése vuelta de campana al anteojo;
si la línea de colimación cae en B el aparato está correcto; en caso
contrario se procede a corregirlo.
Ajuste:
Colóquese un punto e en la línea de colimación cerca de B.
Márquese otro punto D, a la cuarta parte de la distancia de e a B.
Ajústese el anillo de la retícula, por medio de los dos tornillos horizontales opuestos, hasta que la línea de colimación pase por D.
Repítase la operación hasta tener la seguridad de que está correcto.
Los puntos visados deberán estar aproximadamente a la misma altura
que el instrumento. (Fig. NQ 54.)
Planimetría
-----
t-
----~-:::-_--
95
---- - ------
J
150 m aprox.
r
Figura 54
4. El eje horizontal o eje de alturas debe ser perpendicular al eje
vertical o eje azimutal.
Revisión:
Colóquese el tránsito cerca de un poste, pared de un edificio o alguna
otra construcción que tenga un punto A perfectamente bien definido y
que para visado, el anteojo deba formar con la horizontal un ángulo vertical mayor de 45 o (Fig. N<? 55).
Nivélese cuidadosamente el instrumento y vÍsese el punto A , fijando
los movimientos particular y general.
Figura 55
96
Curso básico de iopografía
Imprímase un giro hacia abajo al anteojo y fíjese el punto B sobre la
parte baja del muro o poste o bien sobre el suelo, según convenga.
Dése vueita de campana al anteojo e inviértanse sus extremos haciéndolo girar alrededor del eje vertical y vísese otra vez A.
Inclínese hacia abajo el anteojo hasta visar el punto B. Si esto ocurre
el aparato está correcto; de no ser así debe ajustarse.
Ajuste:
Márquese el punto
e
que indica la línea de colimación, junto a B.
Mídase la distancia que hay entre B y e, y a la mitad márquese otro
punto D, que quedará en el mismo plano vertical que A.
Vísese el punto D y elévese el anteojo hasta que la línea de colimación quede cerca de A.
.
Aflójense los dos tomillos que sujetan la tapa del cojinete; y súbase
o bájese el apoyo del eje horizontal, opuesto al círculo vertical, con el
tomillo de corrección que tiene para el objeto, hasta que la línea de colimación quede en el mismo plano vertical que A.
Repítase la operación para su comprobación.
VERNIER
La lectura de ángulos horizontales y verticales, sobre los círculos graduados se hace con vernier para aumentar la aproximación que tienen las
graduaciones. Para medir los ángulos horizontales, los tránsitos en su mayoría están provistos de dos verniers colocados a 180 0 uno de otro, y
que se mueven junto con el anteojo.
Definición del vernier
"El vernier es una pequeña placa dividida independientemente del limbo y en contacto con él y que tiene por objeto apreciar fracciones del
menor espacio en que está dividido el limbo."
Teoría del vernier
El . fundamento del vernier es dividir la extensión ocupada por un
número Un" de divisiones del limbo en un número "n + 1" partes en que
se divide el vernier.
La extensión que ocupan las un" divisiones del limbo es igual a la
extensión ocupada por las "n + 1" divisiones del vernier.
Planimetría
97
Si s~ tiene un arco dividido en Un" partes, se puede sobreponerle otro
concéntrico a aquél, pero dividido en "n + 1" partes. El primer arco formará parte de la circunferencia del limbo; el segundo arco es el vernier
(Fig. NQ 56).
I
I
r-
-1
"tI
I VE"N/E"
50
20
A
10
i H11111 II,I\I\I\I//I!IU ¡1111~~\rr
I
I
o
10
"
~
L/M.O
I
~\
Figura 56
Si ~ designa por D el valor de la menor división del limbo, y por d
el de una del vernier, el arco MN expresado en divisiones del limbo, tiene
por valor:
(1)
MN = Dn
y, en divisiones del vernier, vale:
=
MN
d(n
+ 1)
(2)
Comparando las igualdades (1) Y (2), se halla:
Dn
=
d(n
+
(3)
1)
Se llama aproximaclOn del instrumento la menor fracción del limbo
que se puede apreciar por medio del vernier, y es igual a la diferencia que
existe entre el valor de la menor división del limbo y el de una división
del vernier. Designánriola por a, se tiene:
(4)
a=D - d
sustituyendo ahora (4) en (3), se encuentra:
+
1)
1) - a(n
+
Dn = (D - a) (n
y efectuando operaciones:
Dn
7
=
D(n
+
1)
Curso básico de topografía
98
a(n
a=
+ 1)
= D(n
+ 1)
-: Dn = Dn
+D
- Dn
a = aproximación del vernier.
D = valor de la menor división del limbo.
n + 1 número de divisiones del vernier.
D
=
Por tanto,
Para conocer la aproximaclOn que da el vernier, dividas~ el valor de
la menor división del limbo, expresada en minutos o segundos, entre el
número de divisiones del vernier.
EJ'EMPLOS
1. El limbo horizontal de un tránsito está dividido en medios grados
y el número de divisiones del vernier es 30. ¿Cuál es la aproximación del
aparato?
DATOS:
D
n
+
= -1°2 = 30'
1 = 30
SOLUCIÓN
a
=
30'
.. = 30
D
= l'
a
= l'
2. El valor de la última división del limbo horiwntal de un tránsito
es de 20' y el número de divisiones del vernier, 60. ¿Qué aproximación
tiene el instrumento?
DATOS:
D = 20'
n
+1=
60
SOLUCIÓN
D
a
=n+
1
=
20'
60
=
20' X 60"
60
a
= 20"
= 20"
I
Planimetría
99
Lectura del vernier
En casi todos los tránsitos la graduación del limbo horizontal va en
'os dos sentidos y contada de 0 ° a 360°. El vernier también es doble para
poder hacer las lecturas en uno u otro sentido y tiene su cero en el centro.
El cero del vernier marca siempre el punto en el limbo cuya lectura quiere
hacerse.
Para obtener el valor de la lectura, léase primero sobre el limbo, en
la dirección de la graduación, los números enteros que se encuentren
antes d:! llegar al cero del vernier. En seguida, léase el valor de la fracción sobre el vernier, contando el número de divisiones que haya desde
el cero hasta que se encuentre la coincidencia de una división del vernier
con una división del limbo. Las dos lecturas, tanto la del limbo como
la del vernier deben hacerse en la misma dirección y deben sumarse para
obtener el valor total. (Fig. NQ 57.)
LIMBO
Lectura en el limbo = 252 °30'
Lectura en el vernier =
11 '
Lectura total = 252°41'
Figura 57
Medida de ángulos
La medida de los ángulos puede ser: simple, por repeticiones, o por
reiteraciones.
Medida simple
Supongamos que desde el vértice e de la figura NQ 58; se mide el
ángulo ACR. El procedimiento es el siguiente:
100
Curso básico de topografía
Pónganse en coincidencia el cero del limbo horizontal con el cero del
vernier y fíjese el movimiento particular.
Valiéndose del movimiento general, vísese el punto A, haciendo coincidir el centro de la retícula con el pulito A, Y fíjese el movimiento general.
Aflójese el tornillo de presión del movimiento particular y •diríjase el
anteojo al punto B, haciendo coincidir dicho punto con el centro de la
retícula.
Hágase la lectura del ángulo en el vernier.
A
e
,
•B
y
Figura 58
Medida por repeticiones
Tiene por objeto obtener el valor de un ángulo lo más aproximado
posible a su valor verdadero, que no puede dar directamente el instrumento
debido a su escasa aproximación.
Este método consiste en medir el ángulo varias veces pero acumulando
las lecturas, de esta manera las pequeñas fracciones que no se pueden
leer con una lectura simple por ser menores que la aproximación del
vernier, al acumularse pueden ya dar uría fracción que sí se puede leer
con el vernier.
Para repetir un ángulo, como ACB, con el tránsito en C se mide el
valor sencillo del ángulo como se describió anteriormente. No se mueve
la posición del vernier y con el movimiento general se vuelve a visar el
punto A. (Fig. NQ 59.)
En seguida, con el movimiento particular se dirige el anteojo al punto B; y el ángulo ahora se ha duplicado.
De esta manera se continúa el proceso, hasta que el ángulo se ha
multiplicado el número de veces requerido.
El valor del ángulo repetido se determina dividiendo la diferencia entre
las lecturas inicial y final por el número de veces que se repitió el ángulo.
Si la lectura inicial es 0 °00', el valor del ángulo se obtendrá dividiendo
la última lectura entre el número de repeticiones.
Planimetría
e
~_---'l"""";¡L...:L.....
____
101
B
FlgtU'& 59
EJEMPLO
Supongamos que el ángulo ACB (Fig. NQ 59) tenga un valor verdadero de 30°15'23" Y que se tiene que medir con un tránsito cuya aproximación es de l' .
No será posible hacer la apreciación de los 23" con el instrumento, con
el cual sólo se leerá 30°15'; pero si una vez hecha la primera lectura,
se hace una nueva acumulando la anterior, la amplitud recorrida por el
limbo habrá sido de 60°30'46", por consiguiente, el limbo permitirá leer
60°31', lo que dará para el ángulo un valor de 30°15'30", aproximado
al verdadero. Ahora bien, si a las dos lecturas anteriores les acumulamos
una tercera lectura, la amplitud recorrida por el limbo será de 90°46'09",
y la lectura apreciable con el instrumento será de 90° 46'. En este caso,
el valor del ángulo, repetido 3 veces, se obtendrá tomando la tercera
parte de la última lectura:
Entonces:
90°46'
valor ángulo repetido =
3
= 30°15'20"
que se aproxima más al valor verdadero.
La precisión aumenta directamente con el número de repeticiones hasta
6 u 8; más allá de este número, la precisión no aumenta apreciablemente,
102
Cuno básico de topografía
debido a los errores accidentales, así como a los ocasionados por las
coincidencias imperfectas de la línea de colimación.
Medida por reiteraciones
Los ángulos se determinan, con este método, por diferencias de direcciones. El origen de las direcciones puede ser la línea N-S o una línea
cualquiera.
.
Si desde la estación A se tienen que observar los vértices 1, 2, 3, 4
(Fig. N~ 60), se dirigirá primero la visual al extremo de la línea escogida
como origen de las direcciones.
Supongamos que la línea A - 1 sea el origen de las direcciones; una
vez visado el punto 1, con uno de los vemiers marcando 0°, se fijará el
movimiento general y con el particular se continuará la observación de los
puntos 2, 3 Y 4, haciendo en cada caso la lectura de los dos verniers, y
después de haber completado la vuelta de horizonte, se volverá a visar
el punto inici¡¡l para verificar si no sufrió algún movimiento el instrumento
durante la observación.
Es conveniente tomar tantos orígenes como líneas concurran a la
estación, de manera que en el ejemplo propuesto, se tomaría en seguida
como origen la línea A - 2, Y después la línea A - 3. Los valores de los
ángulos 1 - A - 2, 2 - A - 3, 3 - A - 4, 4 - A - 1 se obtienen por
düerencias entre los ángulos observados alrededor del vértice A; Y el valor
más probable de cada ángulo será el promedio de los valores obtenidos.
Este método de observación se emplea cuando hay que medir varios
ángulos alrededor de un punto.
1
2
4
.n"r"tJ.lJ~
~
Figura. 60
Planimetría
103
Cuando se mide sólo un ángulo se va cambiando la lectura de origen
alrededor de toda la graduación, tantas veces como reiteraciones se vayan
a hacer. Así, por ejemplo, si se van a efectuar 4 reiteraciones, los orígenes
para medir serán: 0°, 90°, 180°, 270° Y de esta manera disminuirá la
influencia de los errores que pueda tener la graduación del limbo horizontal.
CENTRAR EL TRÁNSITO es hacer coincidir el hilo de la plomada suspen-.
dida del aparato con la vertical que pasa por el punto marcado en la
cabeza de la estaca que señala el vértice del polígono.
NIVELAR EL TRÁNSITO es colocar el limbo horizontal en un plano realmente horizontal. Esto se logra centrando las burbujas de los niveles perpendiculares entre sí, montados uno sobre la caja y otro sobre uno de
los soportes del anteojo, por medio de los tornillos niveladores.
ORIENTAR EL TRÁNSITO es colocarlo de manera que cuando estén en
coincidencia los ceros del limbo horizontal y su vernier, el eje del anteojo
esté en el plano del meridiano (magnético o astronómico) y apuntando
al Norte.
Métodos de levantamiento con tránsito y cinta
Se emplean los siguientes métodos:
Medida directa de ángulos.
Deflexiones, y
Conservación de azimutes.
Método de medida directa de ángulos
Consiste este método en medir en todos los vértices del polígono los
ángulos que forman los dos lados que concurren al vértice de observación.
Se toman los ángulos interiores cuando se recorre el perímetro del polígono en sentido contrario del movimiento de las manecillas del reloj y
se miden los ángulos exteriores cuando el recorrido se hace en el sentido
de dicho movimiento. Este método se emplea preferentemente en el levantamiento de poligonales cerradas.
Trabajo de campo
Comprende las operaciones siguientes:
1. Reconocimiento · del terreno.
2. Materialización de .Jos vértices del polígono.
3. Dibujo del croquis de la zona que se va a levantar, en la libreta
de campo.
A\
4. Orientación magnética ( o astronómica) de un lado de la poligonal,
generalmente el primero.
104
Curso básico de topografía
5. Levantamiento del perímetro, midiendo los ángulos (interiores o
exteriores) y las longitudes de los lados y tomando también los rumbos
magnéticos de los lados.
6. Levantamiento de detalles.
Los datos recogidos en el levantamiento se anotan en forma clara y
ordenada en el registro de campo, como se indica en el ejemplo siguiente:
REGISTRO DE CAMPO 8
Levantamiento con tránsito de l' y
cinta de acero de 50 m, por el método
de medida directa de ángulos
Lomas de Sotelo, D. F.
U-ABR-76
Levantó: Simón Villar A.
Est.
P.V.
Distancias
B
R.M.O.
O
1
241.00
N 12"30' W
1
2
231.00
2
3
245.90
3
4
248.40
4
O
258.30
97°08'
194° 16'
116°42'
233 °25'
110°50'
221°40'
100°35'
201 °10'
114°47'
229°33'
-e- =
círculo horizontal.
Orientaci6n magnética
CROQUIS y NOTAS
N
N 76°00' W
S 35°00' W
S 44°30' E
N 70°00' E
Az 0-1::::1: 347 0 22'
R .M.O . = rumbo magnético obserVado.
.,.,,,r,,
";1 ~#
La orientación magnética tiene por objeto conocer el azimut de una
línea.
Supongamos que se desea orientar el lado 0--=--1 de la poligonal que
se muestra en el registro 8.
Para determinar el azimut magnético del lado O - 1, se procede de
la manera siguiente:
Se centra y se nivela el instrumento en la estación O.
Se ponen en coincidencia los ceros del limbo horizontal y su vernier y se fija el movimiento particular.
3. Se deja en libertad la aguja de la brújula y con el movimiento
general se hacen coincidir la aguja de la brújula y la línea N-S, marcada
en el círculo graduado de la misma, fijando el movimiento general.
4. Se afloja el movimiento particular y se visa el vértice 1. La lectura
hecha en el limbo será el azimut magnético del lado O - 1, puesto que
cuando el anteojo apuntaba al norte magnético, el índice del vernier señalaba 0°00'.
1.
2.
Planimetría
105
Medida d. los ángulos
En cada estaci6n:
1. Centrado y nivelado el instrumento se ponen en coincidencia los
ceros del limbo horizontal y su vernier y se fija el movimiento particular.
2. Con el movimiento general se dirige el anteojo a visar el vértice
de atrás y se fija dicho movimiento.
3. Por medio del movimiento particular, se imprime un giro al anteojo,
en el sentido de: movimiento de las manecillas del reloj, para visar el
vértice de adelante y se hace la lectura del ángulo horizontal que se anota
en el registro.
Comprobaci6n del ángulo medido
4. A continuación, con el movimiento general se vuelve a visar el
vértice de atrás y se verifica la lectura con el objeto de cerciorarse de que
no se ha movido, fijando el movimiento general.
5. Por último, con el movimiento particular se vuelve a visar el vértice de adelante, efectuando la lectura del ángulo horizontal que deberá
ser el doble de la obtenida en la primera operación o cuando más con
un minuto de diferencia, lo que es tolerable porque significa que el valor
del ángulo leído es con mayor probabilidad un ángulo de 30" más grande
o más pequeño que el primero.
Si hay una diferencia mayor de un minuto se hace de nuevo la medida
del ángulo desde el principio.
LA COMPROBACIÓN DEL ÁNGULO MEDIDO también puede efectuarse de
la manera siguiente; después de realizadas las operaciones indicadas en
los puntos 1, 2 y 3, continúe con:
4. Se da vuelta de campana al anteojo y queda éste en posición inversa.
5. Se afloja el movimiento general y se lleva el anteojo a visar el
vértice de atrás y se fija dicho movimiento.
6. Con el movimiento particular se hace girar el anteojo hasta visar
el vértice de adelante, fijando el movimiento particular. La lectura del
ángulo horizontal debe ser el doble de la primera o diferirá en un minuto.
Esta lectura se anota también en el registro de campo.
Una vez medido el ángulo horizontal y comprobado éste con el doble
ángulo, se mide la distancia de la estación al vértice de adelante y, en
la brújula del tránsito, se toma el rumbo magnético del lado del polígono,
determinado por la estación y el vértice de adelante.
Estos datos se anotan en el registro de campo.
106
Curso básico de topografía
Condición geométrica que debe satisfacer un polígono levantado
por el método de medida directa de ángulos
Si el recorrido de la poligonal cerrada se hace en sentido contrario
del movimiento de las manecillas del reloj, se toman los ángulos interiores
(Fig. NI? 61).
4
ángulos
interiores
o
2
.OUfU,,),1
,#
~
Figura 61
I~
ángs. ints'= 180 0 (n - 2)
I
CD
Cuando la poligonal se recorre en el sentido del movimiento de las manecillas del reloj, se miden los ángulos exteriores (Fig. NI? 62) . En las fórmulas CD y 0 , n es el número de lados de la poligonal.
Comprobación de cierre angular
En el campo, al terminar el levantamiento se determina el error angular
comparando la suma de los ángulos observados con la suma que, para
la poligonal levantada, da la condición geométrica.
Planimetría
107
sentido del recorrido
ángulos
exteriores
~
ángs. exts=1800(n+2)
Figura 62
Esto es:
EA =
~
ángs. obs. - 180 0 (n - 2)
\ ~i se miden ángulos interiores
~
ángs. obs. - 180 0 (n + 2)
Isi
o bien:
EA =
se toman ángulos exteriores.
La tolerancia angular se calcula aplicando la fórmula:
TA =
+avn
en la cual:
T A = tolerancia angular.
a = aproximación del aparato.
n = número de vértices del polígono.
®
108
Curso bós;co de topogroflo
Si el error angular es menor o igual que la tolerancia, el trabajo se ejecutó
correctamente; en caso contrario se repite el levantamiento.
EJEMPLO
En el levantamiento de un polígono, con tránsito de l' Y cinta de acero,
por el método de medida directa de ángulos, la suma de los ángulos observados fue: 540°02'; n = 5.
- Determine el error angular.
- Calcule la tolerancia angular, y
- Concluya si se acepta el resultado o debe repetirse el trabajo.
SOLUCIÓN
EA = ~ ángs. obs. - 180 0 (n - 2) = 540°02' - 180°(3)
T A = +a"'¡n= +1' ...¡ 5
+2'
EA = T A , por tanto, se acepta el resultado.
+2'
,,'I(U'1f,).1 J~
.5
Trabajo de gabinete
Se entiende por trabajo de gabinete, la ordenación de los datos tomados
en el campo y los cálculos que con ellos se ejecutan, con objeto de obtener
los elementos necesarios para construir el plano. Todos estos elementos
se anotan en una hoja de papel con rayado especial que se denomina planilla de qálculo.
Las operaciones se ejecutan en el orden siguiente:
l.
Compensación angular del polígono.
Esta operación consiste en distribuir entre todos los ángulos del polígono, el error angular encontrado, siempre que éste se encuentre dentro
de los límites de tolerancia.
La corrección angular puede efectuarse de dos maneras:
Distribuyendo el error por partes iguales en los ángulos compren':'
didos entre lados más pequeños, con objeto de que el cierre lineal no sea
muy grande, o
b) Aplicando la corrección a un ángulo cada cierto número n' de
estaciones, para no tener que llevar en cuenta fracciones de minuto y
tomar como corrección mínima -la aproximación del vernier.
a)
En este caso:
n
TI' = EA
Planimetría
109
siendo n el número total de vértices o estaciones del polígono y EA el
error angular.
EJEMPLO
Ejecutar la compensación angular de un polígono, levantado con tránsito de l' Y cinta de acero, por el método de medida directa de ángulos
con los siguientes datos:
DATOS
LADOS
P.V.
Est.
A
B
B
C
D
E
C
D
E
F
G
F
G
H
1
A
H
1
SUMAS :
Angulos
observados
57°11'
90°00'
117°12'
216°04'
125°04'
180°01'
75°00'
222"07'
177°24'
1260°03'
SOLUCION
C
--
Angulos
compensados
57°11'
90°00'
117°11'
216°04'
125°04'
180°00'
75°00'
222°07'
177°23'
1260°00'
-1'
-1'
o- V
--
SOLUCIÓN
1.
Se determina el error angular EA:
EA =
~
ángS. obs. - 1800 (n - 2)
EA = 1260°03' - 180° (9 - 2)
EA = 1260°03' - 1260°00'
2.
=
+3'
Se calcula la tolerancia angular T A:
TA
= -+av n = -+1' v9 = -+3'
4. Se ejecuta la compensación angular, porque el error angular encontrado no rebasa la tolerancia establecida.
110
Curso básico de topografía
Para determinar los ángulos que se corregirán, se calcula n':
, _ n _ 9 _ 3'
n - ---EA
3
'
este cociente indica que la corrección angular se aplicará cada 3 estaciones.
En este caso se corregirán los ángulos observados en las estaciones e,
F e J.
La corrección angular e se aplica con signo contrario al error angular EA'
Una vez efectuad~ la compensación angular el polígono queda como
una figura angularmente correcta.
2.
Cálculo de los azimutes de los lados del polígono.
Sea la poligonal 0- 1 - 2 - 3 -, ... , Az 0- 1 = azimut del primer lado determinado en forma magnética o astronómica; ,IX, {3, 'y, .. . ,
ángulos horizontales observados en las estaciones 1, 2, 3, . . . (Fig. N<? 63).
N
jAZ 0-1
r"
<>,-_1
N
+-.. . . .
. ~/
\
N
AZ2-3
\
J
' . . J_/
I
1
1180°
1
"
I
\ 2
"
I -
..
- I - .....
1 180 °
.
I ..... "t':
""- .... 4
18()'o-.J.-.... ,.7 ........
1
J
.'"turuJ;II~
Figura 63
.5
En la figura anterior se observa:
Az 1 - 2 = Az 0 - 1
+ 180 + a
=
+ 180 + {3
Az 2 - 3
Az 1 - 2
Az 3 - 4 = Az 2 - 3
0
0
+
180 0
+y
(1)
Planimetría
111
pero:
+ 180° = Az.
2 + 180° = Az.
3 + 180° = Az.
Az O - 1
inv O - 1
Az 1 -
inv 1 - 2
Az 2 -
(2)
inv 2 - 3
y, sustituyendo (2) en (1), se encuentra:
mv O - 1
+a
Az. inv 1 - 2
+13
Az 3 - 4 = Az. inv 2 - 3
+y
Az 1 - 2
= Az.
Az 2 - 3
=
(3)
a = ángulo horizontal medido en la estación 1.
13 = ángulo horizontal medido en la escación 2.
y = ángulo horizontal medido en la estación 3.
Los re:mltados obtenidos (3), permiten establecer la siguiente regla:
"El azimut de un lado cualquiera de una poligonal se obtiene sumando
al azimut inverso del lado anterior el ángulo horizontal tomado en la
estación que es origen del lado cuyo azimut se busca."
Est.l regla se puede expresar por medío de la fórmula:
___
Az Be
= Az.
__
A
inv. AB
+B
EJEMPLO
Dados el azimut del primer lado de una poligonal y los ángulos compensados (interiores o exteriores), calcular los azimutes de los demás lados.
DATOS
Lados
Est.
P.v.
A
B
e
B
e
D
D
E
A
E
SUMA:
Angulos
compensados
119°08'
116°33'
40°24'
224°42'
39 °13'
540°00'
Azimutes
261 °09'
112
Curso básico de topografía
El cálculo se facilita disponiéndolo de la manera siguiente:
=
261 °09'
- 180°00'
81 °09'
Az. inv. AB =
116°33'
I+ B=
Az. AB
----
.1"1"""J.I ~~
Az. BC =
197°42'
- 180°00'
Az. inv. BC =
17 °42'
+C=
40°24'
Az. CD =
58°06'
+
A:z.. inv. CD
=
+D=
-5
Las operaciones aritméticas se comprueban calculando el azimut del lado de
partida.
0
180 ()()'
238°06'
224°42'
-462-0 48T
> 360°
- 360°
Az. DE = -f02°48'
+
Az. inv. DE = ~2°48'
+E=
39° 13'
Az. EA =
322°01'
- 180°00'
Az. ¡nv. EA
=-
142°{flT
+A=
119°08'
Az. AB =
261 °09'
3.
SOLUCIÓN
180 0 ()()'
Lados
Est.
P.V.
A
B
C
D
E
Azimutes
!
•
B
C
D
E
A
197°42'
58 °06'
102°48'
322°01'
I
Transformación de azimutes a rumbos.
Esta operación se ejecuta en la forma expuesta anteriormente (Levantamientos con brújula y cinta).
4.
Cálculo de proyecciones de los lados del polígono.
En topografía se llaman proyecciones de un lado del polígono a los
catetos de un triángulo rectángulo formado por una vertical que parte
de la estación hasta encontrar a la horizontal que parte del punto visado.
Planimetría
113
En la recta AB (Fig. NQ 64), A, es la estación y B el punto Visado.
La vertical que parte de la estación les A e y la horizontal que parte del
punto visado hasta encontrar a la vertical es Be y ambas rectas, AC y
Be, son las proyecciones de la recta AB. Si la proyección vertical va hacia
el Norte, tiene signo positivo y se designa con la letra N; y si va hacia el
Sur, su signo es negativo y se designa con la letra S.
La proyección horizontal tiene signo positivo si va hacia el Este y
negativo si va al Oeste, designándose por las letras E o W, respectivamente.
Las proyecciones verticales se designan de una manera general con la
letra y, y las proyecciones horizontales con la x.
En el triángulo rectángulo formado por el lado del polígono y sus dos
proyecciones, el rumbo es el ángulo del triángulo que corresponde a la
estación.
N
tI
I
I
I
eI
x---+E
- - - - - --+-..,..--...;....~ B
90°
Y Rbo
A
Figura 64
AC = y
= proyección vertical del lado AB
Be = x
= proyección horizontal del lado AB
AB = L
= lado del polígono
LA = Rbo. = rumbo del lado AB
Por trigonometría, en el triángulo rectángulo ABe, se tiene:
x = L sen Rbo
(1)
y=LcosRbo
(2)
Las fórmulas (1) y (2) son las que se usan para el cálculo de las proyecciones. El cálculo de ellas se ejecuta de tres maneras distintas:
8
114
Curso básico de topografía
Por logaritmos.
b) Por funciones naturales, y
e) Por tablas de coordenadas.
a)
.'-tu('"4;1 ~~
~
EJEMPLO
Calcular las proyecciones de los lados de un polígono, dad'as las longitudes y rumbos de los lados.
SOLUCIÓN
DATOS:
~
Lados
Est. P.V. Distancias
-O
1
2
3
4
1
2
3
4
O
______________
23.24
23.82
22.32
25.29
22.04
E
S 56°14'E
S 66°26' W
S 52"32' W
N 2"13' E
N 60°48' E
19.32
______________
Proyecciones
W
N
I
Rumbos
~A~
S
12.92
9.52
13.58
21.83
17.72
0.98
19.24
~
25.27
10.75
SOLUCIÓN
a) Por logaritmos.
se halla:
Aplicando logaritmos a las igualdades (1) y (2),
log x = log L
log y = log L
+ log
+ log
sen Rbo
( 1')
cos Rbo
(2')
Cuando las proyecciones se calculan por logaritmos el cálculo se dispone como se indica a continuación:
DATOS:
L
=
23.24 m
Roo = S 56°14' E
En las tablas de logaritmos:
log sen Roo = 9.919762
log cos Rbo = 9.744928
log L = 1.366236
x = 19.32E
log x = 1.285998
log sen Roo = 9~9T9762
log L = 1.366236 }
log cos Roo = 9.744928
log Y = rrrfI64
y =
12.92 S
}++
Planimetría
115
De la misma manera se obtienen las proyecciones de los otros lados.
x=
21.83 W
log x = 1.339120
log sen Roo = 9.962178
log L = 1.376942
log cos Roo . 9.601860
log Y = 0.978802
y=
9.52 S
17.72W
1.248354
9.899660
1.348694
9.784118
1.132812
13.58 S
19.24 E
1.284187
9.940975
1.343212
9.688295
1.031507
10.75 N
0.98 E
9.990418
8.587469
1.402949
9.999675
1.402624
25.27 N
b) Por funciones naturales. El cálculo por funciones naturales de las
proyecciones de los lados del polígono, se reduce a buscar en la tabla de
líneas naturales el valor del seno y del coseno del rumbo y multiplicarlo
por la longitud del lado.
•
Jr, rr#.UH."
Pruyecciones
Lados
{x = 23.24 sen
56°14' = 23.24 (0 . 83131) = 19.32E
cos
"
= " (0.55581) = 12.92 S
1 -:. 2 {x = 23.82 sen 66°26'
23.82 (0.91660)
21.83 W
y =
" cos " = " (0.39982) = 9 . 52S
2 _ 3 {x = 22.32 sen 52°32'
22.32 (0.79371) = 17.72 W
y=
"
cos
"
= " (0.60830)=13.58S
0-1
Y =
"
=
=
=
3_4{X=25.29 sen
Y=
"
cos
4 _ O
2°13'=25.29(0.03868)= 0.98E
"
=
"
(0.99925) = 25 . 27 N
{xy== 22.04
sen 60°48'
"
cos
"
= 22 . 04 (0 . 87292) = 19.24E
=
"
(0.48786)=10 . 75N
c) Por tablas de coordenadas. Las tablas de coordenadas están construidas para evitar el trabajo de la multiplicación que se ejecuta con las
fórmulas antes expresadas usando funciones naturales.
5. Determinación de los errores Ex y By. Una vez calculadas las
proyecciones de los lados del polígono, se suman las proyecciones E, W,
.
Ny~
La diferencia entre las sumas de las proyecciones E y W es el error
de las "x" y se designa por E",.
La diferencia entre las sumas de las proyecciones N y S es el error
de las "y" y se designa por Ej}.
E", = ¡ proy. E - ¡ proy. W
E1I = ¡ proy. N - ¡ proy. S
116
Curso básico de topografía
Ahora bien, si se designan de una manera general con la letra x las proyecciones horizontales y con la y las proyecciones verticales, las igualdades
anteriores pueden expresarse como sigue:
E.,
= ¡Xg
-
(1)
¡XIV
EfI = ¡YN - ¡Ys
(2)
6. Cálculo del error de cierre lineal (EL)' Si se hace coincidir la
estación inicial O del polígono con el origen del sistema de coordenadas
rectangulares (Fig. NQ 65), los errores E", y El! son las coordenadas del
y
.. O' (Ex,Ey)
I
E:~lllllll
Ey
X
.I-¡U('Ir,.hl #~
.5
Figura. 65
punto de llegada O' que, por los errores cometidos durante el levantamiento, no coincide con el punto de partida O.
La distancia 00' es el error de cierre lineal y se designa por EL.
En la figura NQ 65 se ve que la distancia 00' es la hIpotenusa de un
triángulo rectángulo cuyos catetos son E z Y E y , por tanto, el valor del error
de cierre lineal s~ encuentra aplicando el Teorema de Pitágoras.
EL
= Vf:2 + E2
'"
ti
7. Cálculo de la tolerancia lineal (TL)' La tolerancia en el cierre
lineal de un polígono levantado con tránsito y cinta, se calcula con las
fórmulas siguientes:
Planimetría
Orden del levantamiento
117
Tolerancias
PRECISO
TL =
V P(O.Ooo 000 011P + 0.000 02)
PRIMERO
TL
V P(O.OOO 000 045P + 0.000 08)
SEGUNOO
TL =
V P(O.OOO 000 l8P + 0.0002)
TERCERO
TL =
V P(O.OOO 000 40P + 0.0005)
-
I
T L = tolerancia lineal, en metros
P = desarrollo de la poligonal, en metros
y en la práctica, pueden emplearse las fórmulas:
Orden
Tolerancias
PRECISO
TL
PRIMERO
TL
SEGUNDO
TL
TERCERO
TL
= PilO 000
= PI5 000
= P/3 000
= P/1 000
8. Cálculo de la precisi6n P. La' precisión o error relativo se calcula
dividiendo el error de cierre lineal EL por el perímetro del polígono ¡L:
P= EL
¡L
1
P=¡L
EL
o bien :
Precisi6n
1
TAQUIMÉTRICA
1000
1
BUENA:
3000
a
1
5000
1
MUY BUENA:
10000
9. Compensaci6n lineal del polígono. Si el error de cierre lineal EL
es menor o igual que la tolerancia lineal T L, se puede hacer la compensación lineal del polígono. En los levantamientos con tránsito y cinta se
supone que los errores E:r y E y de las proyecciones son proporcionales a
118
Curso básico de topografía
sus valores absolutos. Para la corrección lineal del polígono, se calculan
primero los factores unitarios de corrección K,e y K y, o sean las 'correcciones por metro:
K., =
.,.,U,.I',};I ~~
~Xg
E~
+ ~xw
.5
y
K =
EII
~YN + ~Ys
error de las "x" =
E y = error de las "y" =
E.,
=
+ ~xw =
~YN + ~Ys =
~XE
~Xg ~YN
~xw
- ~Ys
suma aritmética de las '¡x" (E y W)
suma aritmética de las "y" (N Y S)
En seguida se calculan las correcciones que deben aplicarse a las
proyecciones.
Las correcciones xI, x 2 , Xa, ... , x,., así como YI, Y2, Ya, ... , Y.. , se
obtienen multiplicando las proyecciones de los lados del polígono, por los
factores unitarios de corrección correspondientes.
Los signos de las correcciones se aplican tomando en consideración las
sumas de las proyecciones E y W o N Y S.
Para la compensación de las abscisas, la corrección se resta a las proyecciones cuya suma sea mayor y se agrega a aquéllas que corresponden
a la suma menor, así se igualan ambas sumas, las de las proyecciones
E y W, y se distribuye el error E.,. De igual manera se procede para compensar las ordenadas. Como resultado de la compensación lineal del
polígono, las sumas de las proyecciones corregidas cumplirán las condiciones siguientes:
~Xg =~xw
~YN =~Ys
EJEMPLO
Efectuar la compensación lineal de una poligonal cerrada, levantada
con tránsito y dnta 4;On los datos del registro siguiente:
Planimetría
PLANILLA DE CALCULO
Proyecciones sin corregir
Lados
Est.
--
P.V.
Distancias
1
2
3
4
112.00
139.80
139.60
148.10
132.00
671.50
O
1
2
3
4
O
Rumbos
N
S
S
S
N
-w
+E
47°57' E
79°20' E
7°47' W
78°15' W
25°21' W
83.17
137.40
SUMAS:
220.57
-s
+N
75.02
18.91
145.00
56.52
220.43
25.88
138.30
30.16
119.30
194.32
194.34
SOLUCIÓN
a)
b)
Determinación de los errores Ex y E,,:
= ¡XE
Ey
= ¡YN -
= V E2z
¡Ys
= 220.57 = 194.32 -
220.43
194.34
=
=
+0.14
-0.02
ID
ID
+ E2y
= V (+0.14)2
+ (-0.02)2 · 0.14
ID
Cálculo de los factores unitarios de corrección Kx Y Ky :
Ky
d)
- ¡xw
Cálculo del error de cierre lineal EL:
EL
e)
Ez
=
EII
¡YN + ¡Ys
=
0.14
441.00
=.
0000
0.02
388.66
= 0.00005
32
Cálculo de las correcciones:
XO- l .
Xl- :2
x
X :2-3
X3--4
X4-0
4"
83 .17 X 0.00032 = 0.026....:... 0.03
= 137.40 X "
= 0.043....:... 0.04
= 18.91 X "
= 0.006·
O
= 145.00 X
"
= 0.046....:... 0.05
= 56.52 X
"
= 0.018....:... 0.02
0.14 = E z
=
/ t I lY'#JNI."
YO~l =
y
75.02 X 0.00005 = 0.003....:... O
Y1-:2 = 25.88 X
"
= 0.001....:... 0 ,
Y:2-3 = 138.30 X
"
= 0.006....:... 0.01
Y 3-4 =
30.16 X
"
= 0.001·
O
h-o = 119.30 X
"
= 0.005 ....:... 0.01
0.02
= Ey
119
120
Curso básico de topografía
Como: ~XE > ~xw, la corrección se . aplicará con signo - a las proyecciones E y con signo + a las proyecciones W.
Por lo que atañe a la compensación de las "y", en virtud de que: ~YN
< ~Ys, la corrección se agregará a las proyecciones N y se "restará a las
proyecciones S.
Cálculo de las proyecciones corregidas:
e)
Las proyecciones corregidas se obtienen aplicando las correcciones
calculadas, con el signo que corresponda, a las proyecciones sin corregir,
como se indica en el cuadro siguiente:
Proyecciones sin corregir
E
W
83.17
137.40
1:
N
75.02
S
Correcciones
x
-0.03
-0.04
25.88
18.91
138.30
O
145.00
30.16 +0.05
56.52 119.30
+0.02
220.57 220.43 194.32 194.34
Proyecciones corregidas
E
y
O
O
83 .14
137.36
W
S
N
75.02
-0.01
18.91
145.05
+0.01
56.~4 119.31
1: 220.50 220.50 194.33
O
25.88
138.29
30.16
194.33
-------
10.
Cálculo de las coordenodas de los vértices del polígono:
Las coordenadas de los vértices de la poligonal se calculan sumando
algebraicamente las proyecciones de cada lado a las coordenadas de la
estación anterior.
Si no se conocen las coordenadas del punto de partida se le atribuyen
coordenadas arbitrarias, elegidas de tal modo que las correspondientes a
todos los demás vértices de la poligonal sean positivas; es decir, que la
poligonal quede alojada en el primer cuadrante para facilitar el dibujo
del plano.
"Las coordenadas de un vértice cualquiera se obtienen sumando algebraicamente las proyecciones de los lados comprendidos entre el origen y
el vértice cuyas coordenadas se desea conocer."
.'·IU(''',):I )~
EJEMPLO
-5
Calcular las coordenadas de los vértices de una poligonal, eligiendo las
del vértice de partida de tal manera que la poligonal quede en el primer
cuadrante.
Planimetría
121
DATOS:
Lados
,PrCYyecciones corregidas
Est.
P.V.
O
1
2
3
4
1
2
3
4
O
E
W
83.14
'137.36
~
N
S
75.02
18.91
145.05
56.54
220.50
220.50
25.88
138.29
30.16
119.31
194.33
194.33
SOLUCIÓN
a) Se eligen las coordenadas del vértice O, de modo que las correspondientes a los demás vértices de la poligonal sean positivas.
En el problema planteado esta condición se satisface tomando:
0(0;
b)
+ 120.00)
El cálculo de las coordenadas se dispone como sigue:
Coordenadas
Vértices
0.00
83.14
O
1
2
+
+ 83.14
+ 137.36
+ 220.50
-
3
y
X
18.91
+ 201 .59
- 145 .05
4
+
-
56.54
56.54
--
O
+
0.00
+ 120.00
+ 75.02
+ 195 .02
-
25.88
+ 169.14
- 138.29
+
-
30.85
30.16
+ 0.69
+ 119.31
+ 120.00
La comprobación del cálculo se hace determinando para el vértice de partida, como se ve en el ejemplo anterior, los mismos valores de las coordenadas que se le asignaron al principio del cálculo.
122
Curso básico de topografía
11 . Cálculo de la superficie del polígono en función de las coordenadas de los vértices.
Sea el polígono O - 1 - 2 - 3 - 4 - O cuya superficie S se desea
conocer (Fig. NQ 66).
X3
3'
2'
Y3
4'
Y2
Y4
y
:v11
11
V
VIII
a
VVliY
X
-. t'IU"I'J~I ~~)
Figura 66
-5
Si se proyectan los vértices O, 1, 2, 3 Y 4, sobre el eje de las "Y",
se obtienen los puntos O', 1', 2', 3' Y 4', formándose tantos trapecios como
lados tiene el polígono.
Las bases de cada uno de estos trapecios son las abscisas de dos vértices consecutivos del polígono y su altura la diferencia de ordenadas de
dichos vértices.
En la figura NQ 66 se ve que:
S =l:}.O'Oll' + 01'122' +02'233' - C3'344' -0.4'400'
123
Planimetría
o bien:
s=
X o + Xl (Y _ 1': )
2
+
o
1
,
s = ~ [ (Xo + Xl) (Y
+ (X:2 + Xa) (Ya - Y
l
-
Xl
_ Xa
y o)
+X
2
2
+
X.
2
(Y _ Y )
2
1
(Y _ Y ) _
a
x. + X o (Y
2
+ (Xl + X~) (Y
Y)
t2
_ Y )
i
4
o
4
Y1 ) +
2 -
(X a + X 4 ) (Ya - Y 4 )
2 )-
+ X ,z 2+ Xa (Y a _
-
+X
(X.
Q)
(Y. - Yo)]
El primer factor de cada uno de los productos encerrados en el paréntesis rectangular será positivo si la figura se encuentra en el primer cuadrante, en tanto que el segundo factor dado por la diferencia de ordenadas,
será positivo cuando la ordenada del vértice de adelante sea mayor que la
del vértice anterior y negativo en caso contrario. Entonces el valor de S
puede obtenerse sin necesidad de un croquis por medio del cual se sepa
el signo que debe aplicarse a las superficies de los trapecios para encontrar
la del polígono.
De una manera general la fórmula anterior puede escribirse como sigue:
s= ~[
+ (X 2
(X o + Xl) (Y1
+ X a) (Ya -
-
YI()
+ (Xl + X
Y 2) + (X a + X 4 ) (Y4
(Y2
2)
Ya)
-
Yl
-
+
)
+
(X 4
+ X o) (Yo
- y.)]
puesto que :
- (X a + X 4 ) (Ya - Y 4 )
-
(X 4
+ X o) (Y
= (Xa + X 4 ) (Y 4
Yo) =
4 -
-
Ya)
+ (X + X o) (Yo 4
Y4 )
Ahora bien, para un polígono de n vértices, se tendrá:
s=~[
(Xl
+X
t2 )
(Y12
-
Yl
)
+ (X + X a) (Ya 2
+ (Xn-'l
+ x")(y,,
Y~ ) +(Xa
- Y n-'¡)
+X
4)
(Y. - Ya)
+ (X" + X 1)(Yl
+ ...
- Y,,) ]
EJEMPLO
Calcular la superficie de un triángulo dadas las cooraenadas de sus
vértices.
124
Curso básico de topografía
DATOS:
Coordenadas
Vértices
y
X
+ O
+ 46.70
+ 8.77
O
1
2
+ O
+ 33.38
+ 27.48
SOLUCIÓN
Si se aplica la fórmula general, se tiene:
= ~[
s
(Xo + X,) (Y, - y.)
+ (X, + X.) (Y.
- Y,)
+
S=
~[
=~[
S
+
+ Xo)(Yo -
(X,
Y.) ]
(46.70)(33.38) - (55.47)(5.90) - (8.77)(27.48) ]
1558.8460 - 327.2730 - 240.9996 ]
I S = 495.2867 m' I
Con los datos del registro de campo siguiente, calcular la
poligonal levantada con tránsito de l' y cinta de acero, por el método de
medida directa de ángulos.
Problema.
REGISTRO DE CAMPO 9
Est.
P.v. pistane¡as
-- -O
1
241.00
1
2
231.00
2
3
245.90
.3
4
248.40
O
258.30
4
G97°08'
194 ° 16'
116° 42'
233 °23'
110° 50'
221 ° 40'
100°35'
201 ° 10'
114 ° 47'
229°34'
R.M.O.
I
N lr30' W
Croquis y notas
AL 0- 1
=
347°22'
N
N 76°00' W
2
B
S 35°00' W
S 44°30' E
N 70°00' E
I
-j
I
3
t
I
1.
4
j
Planimetría
125
SOLUCIÓN
1.
-
DetermiMción del error angular EA:
Angulos observados:
¡ ángs. observados
-
97°08'
116°42'
110°50'
100°35'
114°47'
540°02'
=
(a)
Condición geométrica:
n=5
~
EA
2.
ángs. interiores
=~
180 0 (n - 2)
ángs. obs - 180 0 (n - 2)
=
= 540°00'
540°00' = +2'
180°(3)
= 540°02'
-
(b)
Cálculo de la tolerancia angular T A:
TA
3.
=
=
-+-a
vii" =
-+-1'
v5 =
-+-2'
Comparación del error angular con la tolerancia angular:
<
Si: EA
T A , el trabajo se ejecutó correctamente; en caso contrario
se repite el levantamiento.
Estas operaciones se efectúan en el campo, al terminar el trabajo.
4. Compensación angular. Para no tener que considerar fracciones
de minuto, se aplicará la corrección angular C cada cierto número n' de
estaciones.
n
5
n'=-=-=2
E"l
2
El cociente indica que la corrección C se aplicará cada 2 estaciones, por
tanto, se corregirán los ángulos observados en las estaciones 1 y 3.
La corrección angular se aplicará con signo contrario al error.
Curso básico de topografía
126
PLANILLA DE CALCULO
Lados
Angulas
Est. Distancias observados
P.V
1
2
·3
4
O
241.00
231.00
245.90
248.40
258.30
97°08'
116°42'
110° 50'
100°35'
114°47'
SUMAS:
1224.60
540°02'
O
1
2
3
4
5.
A
lU4 u U3'
+2
= 110°50'
2 - 3 = 214°53'
- 180°
34 53'
A
+ 3 = 100°34'
3 - 4 = 135 °27'
+ 180°
315 u 27'
+ 4 = 114°47'
430°14'
- 360°
4 - 0- 70°14'
+ 180°
250°14'
+ 0= 97°08'
O - 1 = 347°22'
V
A
Az
A
Az
-1'
Azimutes
Rumbos
calculados
97°08'
116 ° 41'
110° 50'
100°34'
114°47'
347°22'
284 °03'
214°53'
135°27'
70° 14'
N 12"38' W
N75°57'W
S 34°53' W
S 44°33'E
N 70°14' E
540°00'
SUMAS:
.
I
-
Cálculo de los azimutes de los lados del polígono.
A
Az
-1'
Angulas
compensados
---- - ---
Az O - 1 = 347°22'
- 180°
167°22'
+ 1 = 116°41'
Az 1 - 2 = 284°03'
- 180°
Az
e
6.
Conversión de azimutes a rumbos.
359 °60'
- 347°22'
N 12°3-8' W
359°60'
- 284°03'
¡;'¡-75°57' W
214°53'
- 180°00'
S 34°53' W
179°60'
- 135°27'
S 44°33' E
N
70°14' E
.'"lfn·uJ,' J~)
-5
Los resultados obtenidos en el cálculo de la poligonal se anotan en la
planilla.
Planimetría
7. Cálculo de las proyecciones de los lados del polígono.
las fórmulas:
127
Se aplican
x '= L. sen Rbo
{ y .= L. cos Rbo
= 241.00
y = 241.00
x = 231.00
y = 231.00
x = 245.90
y = 245 .90
x = 248.40
y = 248.40
x = 258.30
y = 258.30
= 241.00 (0.21871)
= 241.00 (0.97579)
75°57' = 231.00 (0.97008)
75°57' = 231.00 (0.24277)
34°53' = 245.90 (0.57191)
34 °53' = 245.90 (0.82032)
44°33' = 248.40 (0.70153)
44°33' = 248.40 (0.71264)
70°14' = 258.30 (0.94108)
70°14' = 258.30 (0.33819)
0- 1 { x
sen 12°38'
cos 12°38'
1_ 2 {
sen
cos
2 _ 3 {
3_ 4 }
4 _ O}
8.
9.
EL
sen
cos
sen
cos
sen
cos
Determinación de los errores
Ez
= ¡XE
E'I
= ¡YN -
= 378.60 -
= ...¡ E2z + p.11 = ...¡ (-0.09)2 +
-0.09 m
=
-0.14 m
(-0.14)2
= 0.17
= ...¡ 0.0277 ..
0.166 m
m
Cálculo de la tolerancia lineal T L.
TL
11.
378.74
=
Cálculo del error de cierre lineal EL.
1 EL
10.
Ex y By.
- ¡xw = 417.34 - 417.43
¡Ys
= 52.71 W
= 235.17 N
= 224.09 W
= 56.08 N
= 140.63 W
= 201.72 S
= 174.26 E
= 177.02 S
= 243.08 E
= 87.35 N
=
¡L = 1224. 60 = O 244
5000
5000
.
m
T L = 0.24 m
Comparación del error de cierre lineal con la tolerancia lineal.
I
EL
<T
L
por tanto, el trabajo se ejecutó correctamente y se prosigue el cálculo.
12.
Cálculo de la precisión obtenida en el levantamiento.
_EL_
p -
¡L -
0.17
1224. 60
0000
=.
14
128
Curso básico de topografía
111
P = ¡L = 1224.60 - 7204
-o:-r7-
EL
13. Compensación lineal del polígono. Cálculo de los factores unitarios de corrección Kx Y Ky.
E.
Kx
0.09 = 0.00011
-34.77
= ¡XE + ¡XIV
E¡¡
Kv = ¡YN
14.
= 0.00018
0.14
+ ¡Y8
Cálculo de las correcciones que se aplicarán a las proyecciones.
Xo-1
X 1...J2
.:ti2-3
x -<
.,·",,.u,.J'O'b')
-5
=
52.71
0.00011
X
= 224.09 ,X
= 140.63 X
XH
= 174.26
X4-{)
= 243.08 X
X
= 0.01
0.02
0.02
0.02
0.02
0.09 = Ex
=
=
=
=
"
"
"
"
235.17 X 0.00018 = 0.04
Y1-'2 =
56.08 X
"
= 0.01
YI2-3 = 201.72 X
"
= 0.04
YH = 177.02 ·x
"
= 0.03
Y.~ = 87.35 X
"
= 0.02
0.14 = Ev
Yo-1. =
y
15. Obtención de las proyecciones corregidas. Estas se encuentran
aplicando a las proyecciones sin corregir las correcciones calculadas. Esta
operación es muy fácil y se ejecuta en la misma planilla de cálculo, en la
cual se anotan los resultados.
(Continuación)
PLANILLA DE CALCULO
Rumbos
calculados
Proyecciones sin corregir
E
SUMAS :
W
N
S
52.71 235.17
224.09 56.08
201.72
140.63
174.26
177.02
243.08
87.35
417.34 417.43 378.60 378.74
Correcciones
y
x·
-.01
-.02
-.02
+ .02
+.02
Proyecciones corregidas
E
W
N
S
52.70 235.21
+.04
224.07 56.09
+.01
- .04
201.68
140.61
-.03 174.28
176.99
243.10
87.37
+.02
SUMAS: 417.38 417.38 378.67 378.67
Planimetría
129
16. Cálculo de las coordenadas de los vértices del polígono. Con
objeto de que el polígono quede alojado en el primer cuadrante, se
asignarán a la estación O, las coordenadas (+ 500.00; + 500.00) .
Coordenadas
Estaciones
X
Y
O
+500.00
+500.00
-
52.70
+235.21
+447.30
+735.21
-224.07
+ 56.09
+223.23
+791.30
-140.61
-201.68
+ 82.62
+589.62
+ 174.28
-176.99
+256.90
+412.63
+243.10
+ 87.37
+500.00
+500.00
~
(:;;, ren,UN."
1
2
3
4
O
17. Cálculo de la superficie del polígono en función de las coordenadas de los vértices.
Se aplica la fórmula:
s = ~[
(X o + Xl.) (Y l - Yo) + (Xl + X,2) (Y2
+ (X2 +
(XI) + Xl) (Y l -
X 3 ) (Ya - Y 2 )
yo) = (500
+ ...
Yl.)
-
+
+ (X 4 + X o) (Yo - Y 4 )
+ 447.3 ) (735.21 - 500
) =
+ 222814.4300
(Xl + X2)(Y 2 - Y l )
=
(447.3 + 223.23)(791.3
- 735 .21)
+
9
=
37610.0270
130
(X 2
Curso básiCo de topografía
+ X a) (Ya -
Y2)
=
(223.23
+
82.62) (589.62 - 791.3 )
-
(Xa· + X 4 ) (Y 4
-
Ya)
( 82.62
+ 256.90) (412.63
61683.8280
- 589.62)
-
(X 4
+ X o) (Yo
-
Y 4 ) = (256.9
+ 500
) (500
=
=
60091. 6440
- 412.63J =
+
66130.3530
Los resultados anteriores se anotan en la planilla de cálculo.
PLANILLA DE CALCULO
V értices
-O
1
2
3
4
Coordenadas
X
+500.00
+447 .30
+223.23
+ 82.62
+256.90
X. - J + X.
Y. - Y.- J
Y
+500.00
+735.21
+791.30
+589.62
+412.63
947.30
670.53
305.85
339.52
756.90
+235.21
+ 56.09
- 201.68
-176.99
+ 87.37
2S=
•
Dobles superficies
(+ )
.'·luru"J_' ~~
(Continuación)
s=
(
)
222814.4300
37610.0270
61683 .8280
60091.6440
66130.3530
326554.8100
121775.4720
204779.3380
121775.4720
102389.6690 m 2
Método de deflexiones
Cuando dos rectas se unen en un punto formando ·un ángulo, se entiende por deflexiól'. el ángulo que forma la prolongación de una de estas
rectas con la otra. La deflexión puede ser hacia la derecha de la recta
prolongada o bien hacia la izquierda. La primera es positiva y se designa
por la letra D; y la segunda es negativa y se designa por la letra l. (Fig.
N<? 67.)
Este método se suele usar para poligonales abiertas como las empleadas en el trazo y localización de vías de comunicación (ferrocarriles,
caminos, canales, líneas de transmisión, etc.).
En las poligonales abiertas, los errores angulares se pueden determinar
haciendo observaciones astronómicas a intervalos, tomando en cuenta la
convergencia de meridianos, si las distancias son muy grandes.
Planimetría
131
Puede aplicarse este método en el levantamiento de poligonales cerradas. En este caso la comprobación angular se obtiene sumando las deflexiones positivas y las negativas. La diferencia entre ambas sumas debe
ser igual a 360°. Lo que falte o sobre de esta cantidad será el error
de cierre angular que se debe sujetar a la fórmula de la tolerancia establecida.
La condición geométrica del cierre angular del polígono se expresa
de la siguiente manera:
~
~
Deflexiones (+) -
Deflexiones (-)
= 360°00'
"En una poligonal cerrada la suma algebraica de las deflexiones es
igual a 360°."
N
1
Figura 67
Cuando se aplica este método es indispensable tener, como en el anterior, un azimut de partida para deducir de él, los azimutes de los lados
de la poligonal. Por tanto, es necesario orientar un lado de la poligonal.
Trabajo de campo.
Comprende las operaciones iniciales indicadas para el método de medida directa de ángulos.
Una vez orientado el lado inicial de la poligonal, la forma de operar
en cada una de las estaciones para tomar las deflexiones, es la siguiente:
Se centra y se nivela el instrumento.
2. Se ponen en coincidencia los ceros del limbo horizontal y su vernier y se fija el movimiento particular.
3. Se da al anteojo vuelta de campana y .queda en posición inversa.
l.
132
Curso básico de topografía
4. Con el movimiento general se dirige el anteojo a visar la estación
de atrás y se fija dicho movimiento.
5. Nuevamente se da al anteojo vuelta de campana, quedando ahora
en posición directa y señalando la prolongación del lado anterior.
6. Con el movimiento particular se dirige el anteojo a visar 'la estación
de adelante y se hace la lectura de la deflexión.
Para evitar la propagación de errores de la línea de colimación, conviene
observar el punto de atrás alternativamente en posición directa y en inversa;
es decir, en B se observa A en directa y e en inversa; en e, se observa
B en inversa y D en directa, y así sucesivamente.
También se puede proceder midiendo la deflexión en cada vértice dos
veces, una visando la estación de atrás en posición inversa y la otra,
visándola en posición directa del anteojo. Así se elimina el error de colimación y se comprueba la lectura angular.
En los instrumentos de numeración corrida de 0° a 360°, la deflexión
cuyo valor esté comprendido entre 0° y 180° es positiva y su valor es
igual a la lectura hecha. Si la lectura está entre 180° y 360° la deflexión
es negativa y su valor es igual a la diferencia entre 360° y la lectura
hecha.
Todos los demás datos que se toman en el campo son los mismos que
en el método de levantamiento descrito antes.
El registro de campo se lleva como se indica en el siguiente ejemplo:
REGISTRO DE CAMPO 10
Levantamiento con tránsito de l' y
cinta de acero de 50 m, por el método de deflexiones
Est.
O
1
2
3
4
P.V. Distancias
1
2
3
4
O
34.67
28.81
25.67
34.24
49.54
R.M.O.
Deflexiones
92°16' 1
114°18' 1
55°41' D
119°09' 1
90°00' 1
Lomas de Sotelo, D. F.
24-ABR-77
Levant6: Crist6bal Vera V.
N
N
N
N
S
89°00' E
25°00' W
30°30' E
88°30' W
1 °30' W
Croquis y notas
Az. 0- 1 = 89°09'
1"1"('1'J.II~
Trabajo de gabinete.
-5
Este sólo difiere del expuesto con anterioridad, para el método de
medida directa de ángulos, en la manera de calcular los azimutes de los
lados de la poligonal.
"El azimut de un lado se obtiene sumando algebraicameTllte la dejlexión
al. azimut del lado anterior." Si la deflexión es negativa y mayor que el
azimut se le agregan a éste 360° para que la resta resulte positiva.
Planimetría
133
EJEMPLO
Calcular los azimutes de los lados de una poligonal, con los siguientes
datos:
Lados
Est. P.v.
Deflexiones
Azimutes
O
1
2
3
4
92°16' 1
114°17' 1
55°41' D
119°08' 1
90°00',1
89°09'
334°52'
30°33'
271 °25'
181°25'
1
2
3
4
O
SOLUCIÓN
El levantamiento se empezó en la estaciÓIi O. Se observó el azimut del
lado 0- 1
Az O - 1 = 89°09'
En la estacion 1 se ejecutó la serie de operaciones descrita y se hizo la
lectura 245°43'. Por la lectura se ve que la deflexión es negativa, esto
es, que está a la izquierda de O - 1 Y su valor será:
De!l. 1 - 2 = 360° - 245°43' = 114°17' 1
Para obtener el azimut de ·l a línea 1 - 2, en atención a que la deflexión
es mayor que el azimut de la línea anterior, habrá que agregar a éste 360°,
para que la resta resulte positiva.
El cálculo de los azimutes se dispone como sigue:
Az. O - 1
= 89°09'
+ 360°
449 ó=
09"""- 114°17' 1
Az. 1 - 2 = 334 652'
+ 55°41' D
3906 J3'- 360°
Az. 2 - 3 = -30°=3=3''~60°
390°=3-=-3''- 119°08' 1
Az. 3 - 4
= 211"25"'-
- 90°00' 1
Az. 4 - 0= T8T025"'92°16' 1
Az. O - 1 = 89 6 09"'-
134
Curso básico de topografía
El azimut O - 1 calculado es igual al observado al iniciar el levantamiento y, por tanto, la operación estuvo correcta.
Generalmente esto no ocurre en la práctica y es necesario determinar
el error angular y hacer la compensación angular, si procede: antes de
calcular los azimutes.
La compensación angular se efectúa, si: E"l
T A'
<
.
Para obtener los rumbos de los lados, a partir del rumbo del primer
lado y de las deflexiones, se pueden seguir las siguientes reglas:
Si el lado de la poligonal está en el cuadrante NE o SW se agrega al
rumbo del lado la deflexión derecha y se resta la deflexión izquierda; y si
el lado está en el cuadrante SE o NW se agrega al rumbo del lado la
deflexión izquierda Y se resta la deflexión derecha.
Cuando la suma del rumbo con la deflexión exceda de 90°, se toma el
suplemento y se cambia la letra N por S y viceversa; y si al tomar la diferencia entre un rumbo y la deflexión, ésta resulta negativa, se cambia
la letra E por W, y viceversa.
EJEMPLO
Calcular los rumbos de los lados de una poligonal, dados el rumbo
del primer lado y las deflexiones.
DATOS:
Lados
Est.
-O
1
2
3
4
5
6
7
...
P.v.
1
2
3
4
5
6
7
8
...
SUMAS
SOLUCIÓN
Deflexiones
D
Rumbos
1
N 81 °36' E
82 °12'
36°50'
98 °27'
34 °23'
104°08'
35°14'
40°32'
El primer lado O - 1 de la
poligonal está en el cuadrante
NE, por tanto, de acuerdo con
la regla, debe 'agregarse la deflexión del lado 1 - 2, por
ser derecha, para hallar el
rumbo del lado 1 - 2.
Rbo 0- 1
.
157°07' 274°39'
=
N 81 °36' E
+ 82°12' D
163°48'
Como la suma excede de 90°, se toma el suplemento y se cambia la letra
N por S:
179°60'
163°48'
Rbo 1=- 2 = S 16°12' E
Planimetría
135
Ahora bien, el lado 1 - 2 se encuentra en el cuadrante SE, luego debe
agregársele la deflexión izquierda del lado 2 - 3, para encontrar el rumbo del lado 2 - 3.
Rbo 2 - 3
=
S 16° 12' E
+ 36 °50' l
S 53 °02' E
Al rumbo del lado 2 - 3; que está en el cuadrante SE, se le agregará la
deflexión 98 °27' l.
Rbo 2 - 3 = S
+
53 °02' E
98°27' l
151 °29'
La suma del 'rumbo y la deflexión excede de 90°, por tanto, se tomará el
suplemento, cambiando la letra S por N:
179 °60'
- 151 °29'
Rbo 3 - 4 = N 28 °31' E
Por encontrarse el lado 3 - 4 en el cuadrante NE, se le debe agregar
la deflexión 34°23' D del lado 4 - 5, para obtener el rumbo del lado
4 - 5.
Rbo 4 - 5
~
N 28 °31' E
+ 34°23' D
N 62 °54' E
A continuación, para hallar el rumbo del lado 5 - 6, al rumbo del lado
4 - 5, localizado en el cuadrante NE, se le resta la deflexión 104 °08' l
del lado 5 - 6:
N 62 °54' E
- 104°08' l
- 41 ° 14'
Como 11 diferencia entre el rumbo y la deflexión resultó negativa, se cambia la letra E por W:
Rbo 5-6 '=N41 ° 14'W
El lado 5 - 6 está en el cuadrante NW , por tanto, al rumbo del lado
5 - 6 se le agregará la deflexión izquierda 35 ° 14', del lado 6 - 7, para
encon trar el rumbo del lado 6 - 7.
N 41 ° 14' W
+ 35°14' l
Rbo 6 - 7 = N 76 °28' W
136
Curso básico de topografía
Por último, para obtener el rumbo del lado 7 - 8; por estar el lado 6 - 7
en el cuadrante NW, se le restará la deflexión derecha 40°32' al rumbo
del lado 6 - 7:
N 76°28' W
Rbo 7 - 8
=
- 40°32' D
N 35°56TW~-
Comprobación del cálculo de los rumbos.
tiLa suma algebraica de las deflexiones, con su signO' correspondiente,
se sumará algebraicamente al primer rumbo y el resultado deberá dar el
último rumbo calculado."
En el problema planteado:
¡ Defl. (+) =
157°07'
¡ Defl. (-) =
274°39'
--='"'!'"-¡ algebraica Defl. = - 117°32'
'+ primer Rbo. = + 81 °36'
Ultimo Rbo. calculado = - 35°56'
ter rumbo:
N 81 °36' E
Ultimo rumbo: N 35°56' W
Problema. Con los datos del registro de campo siguiente, calcular la
poligonal levantada con tránsito de l' Y cinta de acero, por el método
de deflexiones.
REGISTRO DE CAMPO 11
Est.
P.V.
O
1
2
3
4
1
2
3
4
O
Distancias Deflexiones
169.90
129.00
117.40
135.40
124.60
74°43' 1
8r 51' 1
66°46' 1
60° 10' 1
75°32' 1
R.M.O.
N
N
S
S
S
Croquis y notas
29°30' E
53°00' W
60°00' W
0°00' W
75°30' E
Az O -
1
=
89 °09'
,
SOLUCIÓN
1.
I-E-=-+-2-'- I ~
¡ Defl. = 360°02'
2.
~ff
Determinación del error angular EA:
A
Cálculo de la tolerancia angular T A :
T A = -+-a ...; n
=
-+-1'
"';5 =
-+-2'
ITA =
±2'
Planimetría
3.
Comparación de EA con T A :
[
E A
=
137
TA
El trabajo se ejecutó correctamente.
4.
Compensación angular.
.
la corrección angular C se aplicará
cada dos estaciones, con signo contrario al error. Se corregirán los ángulos observados en las estaciones 1 y 3.
5.
Cálculo de los az.imutes de los lados del poligono.
Az O - 1
Az 1 Az 2 -
Az 3 Az 4 Az O 6.
=
29 ° 49'
+ 360°
-389 °49'
- 82 °50' 1
2 = -306 °59-'
- 66 °46' 1
3 =
240°13'
- 60°09' 1
4 = - -180 °04'
- 75 °32' 1
O=
104°32'
- 14°43' 1
1 = - -29° 49-'
Conversión de azimutes a rumbos.
359 °60'
240 ° 13'
180°04'
179 °60'
- 306 °59'
- 180°
- 180°
- 104°32'
N 53 °01' W S 60° 13' W S
0 °04' W S 75 °28' E
7.
0-1
1_ 2
2_ 3
3_ 4
Cálculo de las proyecciones de los lados del poligono.
J x= 169.90
1 y = 169.90
J x = 129.00
1 y = 129.00
sen 29 °49'= 169.90(0.49723) = 84.48E
cos 29 °49' = 169.90 (0.86762) = 147.4 1 N
sen 53°01' = 129.00 (0.79881) = 103.05 W
cos 53 °01' = 129.00 (0.60158) = 77.60 N
J x = 117.40
sen 60°13'
y = 117.40 cos 60° 13'
1
Jx=
1y =
135.40 sen
135.40 cos
= 117.40 (0.86791) =
=
101.89 W
117.40 (0.49672) = 58.31 S
0°04' = 135.40 (0.00116) =
0.16 W
0 °04' = 135.40 (0.99999) = 135.40 S
4 _ O { x = 124.60 sen 75°28' = 124.60 (0.96800) = 120.61 E
Y = 124.60 cos 75 °28' = 124.60 (0.25094) = 31.27 S
138
Curso básico de topografía
Determinación de los errores Ex y By.
8.
Ex = ¡Xg - ¡Xw = 205.09 - 205.10 = -0.01 m
E y = '5..YN - ¡Ys = 225.01 - 224.98 = +0.03 m
9.
Cálculo del error de cierre lineal EL'
EL =
10.
VE2
V (-0.01)2
+ E2!J =
J:
+ (0.03)2 = y' 0.0010'= 0.03 m
Cálculo de la tolerancia lineal T L.
¡L
676.30
T L = 5000 = -~~~ = 0.14 m
11.
Comparación del error de cierre lineal con la tolerancia lineal.
EL
12.
<
se prosigue el cálculo.
TL
Cálculo de la precisión obtenida en el levantamiento.
p
~ff
=
EL _ 0.03
¡L - 676.30 = 0.000044
p=_l_=
¡L
~
EL
1
1
67630=-0.03
13. Compensación lineal del polígono. Cálculo de los factores unitarios de corrección Kx Y Kyo
Kx ,= "'x
..... g
K y ¡YN
14.
+ ¡xa-
Ex
0.01
0.01 = 0.000024
) + 205.10 - 410.19
EJI
0.03
+ '". . .Ys
=
0.03 = 0.000067
Cálculo de las correcciones que se aplicarán a las proyecciones.
x
84.48 X 0.000024 = 0.002 =
103.05 X
"
= 0.002 =
101.89 X
"
= 0.002 =
0.16 X
"
= 0.000 ~
120.61 X
"
= 0.003'
__
__
__
__
0.01
0.01 = E z
Planimetría
147.41
77.60
58.31
135.40
31.27
X
X
X
X
X
= 0.009·
= 0.005 -=-
0.000067
"
"
"
"
139
0.01
0.01
= 0.003 = _ _
=
=
0.009· 0.01
0.002 = _ _
0.03 = E y
15. Cálculo de las proyecciones corregidas. Se ejecuta en la misma
planilla aplicando las correcciones calculadas a las proyecciones.
16. . Cálculo de las coordenadas de los vértices del polígono.
Coordenadas
Estaciones
O
1
"
2
3
4
O
X
y
+ 150.00
+ 84.48
+ 234.48
0.00
+ 147.40
+ 147.40
+ 77.59
+ 224.99
58.31
+ 166.68
- 135.41
+ 31.27
31.27
0.00
- 103.05
+ 131.43
- 101.89
+ 29.54
0.16
+ 29.38
+ 120.62
+ 150.00
17. Cálculo de la superficie del polígono en función de las coordenadas
de los vértices.
Se aplica la fórmula:
S=H
(X o + Xl) (Y l - yo)
+
(Xl
+X
2)
(Y2
-
Yl )
+
(X'2
+ X a) (Ya -
+ ... + (X, + X o) (Yo S
=
H
+
(384.48)(147.40)
+
Y2 )
Y,) ]
-
+ (365.91)(77.59) + (160.97)(58.31) +
+
(58.92)(135.41)
+
(179.38)(31.27) ]
140
Curso básico de topografía
s = ~[
56672.3520
+ 28390.9569
- 9386.1607 - J978.3572 - 5609.2126 ]
S
= ~[
85063.3089 - 22973.7305 ]
S = } [ 62089.5784 ]
~ff
~
S ,= 31044.7892 ni'
I
Los resultados obtenidos en el cálculo de la poligonal se anotan en la
planilla) como a continuación se indica.
P.LANILLA DE CALCULO
Est.
Lados
P.V.
1
2
3
4
O
O
1
2
3
4
SUMAS:
EA
Distancia~
Deflexiones
observadas
e
74°43' 1
8r51'I
66°46' 1
-1'
60° 10' 1
-1'
169.90
129.00
117.40
135.40
124.60
676.30
84.48
103.05
101.89
0.16
SUMAS
TA
N
29°49'
306° 59'
240° 13'
180°04'
104 °32'
=
-+-a
x
I
29°49' E
53°01' W
60°13' W
0°04' W
75°28' E
----
E
-.01
-.01
84.48
-
EL
-
<T
L
p=
W
103.05
101.89
0.16
-
58.31
135.40
+.01
31.27 +.01
SUMAS
224.98
E.1. ;:::::: T A
Proyecciones corregidas
y
I
Ey
T L = 5000 = 0.14 m
N
N
S
S
S
vn = -+-1' V5 = -+-2'
Correcciones
S
Ele = -0.01 m
= +0.03 m
E L = ,1
v E2le + E2y = 0.03 m
Rumbos
calculados
360°00'
147.41
77.60
120.61
205.09 205.10 225.01
~L
74°43' 1
82°50' 1
66°46' 1
60°09' 1
75°32' 1
360°02'
= 2'
W
AzimuteJ
75°32' 1
Proyecciones sin corregir
E
Deflexiones
compensadas
120.62
205.10 205.10
--
K Ie =
¡XE
N
I
S
147.40
77.59
58.3 1
135.41
31.27
224.99 224.99
1
Ele
+ ¡XlI'= 0.000024
-.!
K y-- ¡YN E'II
+ 2:ys = 0.000067
142
Curso básico de topografía
1 - 2. Es evidente que el cero del limbo y del vernier concordarán cuando
el anteojo esté dirigido al Norte y, por consiguiente, el instrumentO' quedará
orientado.
N
",,""
", ,
~ff
.5
Figura 68
Con el mO'vimiento particular se dirige el anteojo a visar la estación
3 y el ángulo que da el limbo: N - 2 - 3 será el azimut de la línea 2 - 3;
se mide la distancia 2 - 3, se toma el rumbo magnético como compro~
bacÍón y se pasa a la estación 3.
d)
En igual fO'rma se procederá en las demás 'estaciones de la pO'ligonal,
conservando siempre la lectura del azimut hecha en la estación anterior.
Esta manera de orientar el instrumento tiene el incO'nveniente de necesitar que la línea de colimación esté correcta, pues de no ser así al dar
la vuelta de campana .al anteojo, no señalaría la prolongación de la recta
visada sino una línea quebrada y el cero no correspondería al Norte. En
este caso el azimut que se obtenga al visar la estación siguiente estará
afectado de un error. Para obtener el azimut correcto es necesariO' hacer
una doble observación y tomar el promedio de los dos azimutes.
Aplicación del método, sin vuelta de campana del anteojo.
En este caso, las operaciO'nes se ejecutan como sigue (Fig. N<? 69):
Planimetría
143
N
N
4
Figura 69
1. Con el anteojo en posición directa, en la estación 1, se orienta el
instrumento y se mide el azimut del lado 1 - 2.
2. En la estación 2, para evitar la vuelta de campana, se ve por la
figura que si se inscribe en el vernier HA" el ángulo exterior N - 2 - 1, Y
con esta graduación se visa la estación 1, con el anteojo en posición directa,
el cero evidentemente corresponderá al Norte, puesto que el ángulo
N - 2 - 1, es el azimut inverso de la línea 1 - 2.
Por lo anterior se ve que en la estación 2 se deben ejecutar las operaciones siguientes:
a) Se calcula el azimut inverso de 1 - 2, se inscribe este azimut en el
vernier HA", y se fija el movimiento particular del instrumento.
b) Con el movimiento general se visa con el anteojo en posición directa
la estación 1 y se fija dicho movimiento.
e) Por medio del movimiento particular, se dirige el anteojo a visar la
señal puesta en la estación 3 y la lectura será el azimut de la línea 2 - 3.
Se pasa a la estación 3, procediéndose de idéntica manera.
Si se trabaja en la forma expuesta no hay que preocuparse por la
línea de colimación, pues ' suponiéndola incorrecta, el ángulo N - 2 - 3
será correcto cualquiera que sea la posición que tenga la línea de colimación.
Este procedimiento elimina la vuelta de campana, pero desvirtúa el método de conservación de azimutes que así se llama precisamente porque se
funda en la conservación de los azimutes leídos en cada estación.
144
Curso básico de topografía
Comprobación de cierre angular.
Supongamos que se ha levantado el polígono 1 - 2 - 3 - 4 - 5
(Fig. N<? 70) por el métQ.do de conservación de azimutes.
~
1
~lnff
~
Figura 70
Tomando como azimut de partida el azimut del lado 1 - 2, observado
directamente, se recorre el perímetro del polígono y se llega a cerrar a la
estación 1, punto de partida. Al llegar de vuelta a la estación 1, se deduce
el azimut 1 - 2, que teóricamente debe resultar igual al de partida, si es
que las operaciones se hicieron en forma correcta. Esto sólo por casualidad acontece en la práctica y, generalmente, se encuentra una diferencia
entre el azimut del lado 1 - 2, observado directamente y el azimut de
este mismo lado, deducido a la vuelta.
La diferencia entre estos dos azimutes es el error de cierre angular
del polígono que debe sujetarse a la fórmula de la tolerancia angular.
TA
=
-+-a
vn
en la cual:
T A = tolerancia angular.
a = aproximación del instrumento, y
n = número de estaciones del polígono.
Planimetría
145
El registro de campo se lleva como se indica en 'el ejemplo siguiente:
REGISTRO DE CAMPO 12
Levantamiento con tránsito de l'
Y cinta de acero de 30 m, por el método de conservación de azimutes
Est.
1
2
3
4
5
1
P.V. Distancias Azimutes
2
3
4
5
1
2
R.M.O.
220°25'
311°55'
5°41'
91 °23'
149°21'
220°23'
164.10
134.30
152.10
124.40
131.40
México, D. F.
24-Abr-73
Levantó: A . Garda Lara
S
N
N
S
S
Croquis y notas
40°30' W
48°00' W
5°30' E
88°30' E
30°30' E
~
$~
Az. deducido a la vuelta.
Error de cierre angular:
E A = Az. de llegada - Az. de salida
=
220°23' - 220°25'
E A ;::=: -2'
Trabaio de gabinete
Es semejante al descrito en los métodos de levantamiento anteriormente
expuestos. La ventaja que tiene el empleo del método de conservación de
azimutes consiste en que no es necesario ca1cular los azimutes de los lados
del polígono porque se van obteniendo directamente con el instrumento.
El cálculo de la poligonal levantada con tránsito de l' y cinta de
acero, con los datos del registro de campo anterior, se ejecuta de la
~anera siguiente:
1.
Error de cierre angular (E.J:
E A = Az. llegada - Az. salida
2.
220°23' - 220°25'
:..=
-2'
Tolerancia angular (T.J:
TA
3.
=
= +a vn= +1; v5= +2'
Comparación de EA con T A :
'lo
EA = T A
El error angular no rebasa la tolerancia; por tanto, se procede a la compensación angular del polígono.
10
Curso básico de topografía
146
4.
~ff
Compensación. angular:
Orden Est.
n
= EA =
~
5
2 =: 2
El cociente indica que las correcciones a los azimutes se aplicarán a partir
de las estaciones de orden par que en este caso son la 2 y la 4. Ahora
bien, la corrección de l' aplicada al azimut tomado en la estación 2 se
propaga a todos los azimutes de las estaciones siguientes; pero como la
corrección es de 2' ,entonces a partir de la estación 4, se aplicará la corrección de 2'.
La corrección se aplica, con signo contrario al error angular, en la
forma siguiente:
Azimutes
observados
Est.
1
2
3
4
5
1
5.
220°25'
311°55'
5°41'
Corrección
Azimutes
compensados
+ l'
+ l'
+ 2'
+ 2'
+ 2'
220°25'
311°56'
5°42'
91 °25'
149°23'
220°25'
,
91 °23'
149°21'
220°23'
Transformación de azimutes a rumbos:
220°25'
359°60'
5°42'
- 180°
- 311 °56'
S 40°25' W N 48°04' W N 5°42' E
6.
179°60'
91 °25'
S
88°35' E
179°60'
- 149°23'
S
30 ó 37' E
Proyecciones de los lados del polígono:
Se aplican las fórmulas:
x
=
L sen Rbo
y = L cos Roo
LADOS
PROYECCIONES
y
= 164.10 sen 40°25' = 164.10 (0.6483) = 106.39 W
= 164.10 cos 40°25' = 164.10 (0.7613) = 124.93 S
2- 3 { x
= 134.30 sen 48°04' = 134.30 (0.7439) = 99.90 W
1- 2 { x
y = 134.30 cos 48°04' = 134.30 (0.6682) =
89.74 N
Planimetría
3 - 4 { x = 152.10 sen
Y = 152.10 cos
4 - 5 { x
Y
5 - 1
7.
= 124.40 sen 88°35' = 124.40 (0.9997)
= 124.40 cos 88°35' = 124.40 (0.0247)
{X= 131.40 sen 30°37' =
Y
=
131.40 cos 30°37'
Errores
Ex
y By:
E z = ~XE - ¡xw
E y = ¡YN - ¡Ys
S.
=
=
131.40(0.5093)
131.40 (0.8606)
= 241.08
-
15.10 E
151.34 N
=
= 124.36 E
=
3.07 S
=
=
66.92E
113.08 S
= +0.09
241.08 = O
206.38 - 206.29
m
y E; + ~ = y (0.09)2 + 0=0.09 m
Tolerancia lineal (TJ:
¡L
706.30
T L = 5000 = 5000
10.
=
Error de cierre lineal (EIJ:
EL =
9.
5°42' = 152.10 (0.0993)
5°42' = 152.10 (0.9950)
147
Comparación de
~
= 0.14
m
con Tu'
prosígase el cálculo.
11.
Precisión o error relativo:
0.09
706.30
_ EL _
P - ¡L -
P
12.
00
= .
0013
111
¡L = 706.30 - 7848
EL
0.09
=
Compensación lineal. Factores unitarios de corrección Kx Y Ky :
Kz
=
K y-
Ez
¡XE
~YN
+
Ey
+
=
¡xw
0.09 - O 00022
412.67 - .
O
¡Ys - 482.16 =
O
Curso básico de topografía
148
] 3.
Correcciones que se aplicarán a las proyecciones:
106.39 (0.00022) = 0.02
99.90
"
= 0.02
15.10
"
=O
124.36
"
= 0.03
66.92
"
= 0.02
SUMA = 0.09
~
m
J
x=
~ff
m
m
m
m = Ez
1
En este caso: ~x¡.; > ~XII'; por tanto, la correCClOn se aplicará con signo
menos a las proyecciones E y con signo más a las proyecciones W.
14. Proyecciones corregidas. Se obtienen aplicando las correcciones
calculadas a las proyecciones incorrectas.
15. Coordenadas de los vértices del polígono. Se asignarán al vértice 1 del polígono las coordenadas convenientes, a fin de que éste quede
alojado en el primer cuadrante, para facilitar el dibujo del plano.
Entonces, tomaremos:
1 (+210.00;
+ 125 .00).
El cálculo de coordenadas se dispone de la manera siguiente:
Coordenadas
. --_._-_ oEst.
. ____________
----
-
.- .-- - - -- --,-
1
+ 210.00
- 106.41
2
+
I
Y
X
-
+
125.00
- 124.93
- .
3
103.59
0.07
99.92
+
+
'+
._+
3.67
15.10
+ 89.81
+ 151.34
+ 241.15
---
4
+
_..
18.77
+ 124.33
- - _._--
-
5
+
+
143.10
66.90
+
1
+ 210.00
+
89.74
3.07
238.08
- 113.08
125.00
16. Cálculo de la superficie del polígono; en función de las coordenadas d~ los vértices.
Planimetría
Dobles superficies
Coordenadas
Vértices
X
--
+
+
+
+
+
1
2
3
4
5
Y
210.00
103.59
3.67
18.77
143.10
+
+
+
+
+
149
Xl
+ X,
Y 2 - Y¡
- 124.93
313.59
107.26
22.44
161.87
353 .10
125.00
0.07
89.81
241.15
238 .08
-
+
+ 89 .74
+ 151.34
39176.7987
9625.5124
3396.0696
-
3.07
- 113.08
SUMAS
~
2S =
$~
5=
496.9409
39928 .5480
79602.2876
13021.5820
79602.2876
66580.7056
33290.3528 ' m 2
Comprobación del cálculo de la superficie, por productos cruzados.
Coordenadas
Vértices
1
2
3
4
5
1 I
I
Y
X
+ 210.00
+ 103.59
+ 3.67
+ 18.77
+ 143.10
+ 210.00
I
+
+
+
+
+
+
125.00
0.07
89.8 t
241.15
238.08
125.00
SUMAS
Productos cruzados
(+)
(- )
12948,7500
14.7000
0.2569
9303.4179
1685.7337
885.0205 34508.5650
4468.7616 49996.8000
17887.5000 I
32559.4000 99140;1056
99140.1056
25 = 66580.7056
5= 33290.3528
m2
Problema. Calcular la poligonal levantada con tránsito de l' y cinta
de acero, por el método de conservación de azimutes, con los datos del
registro de campo siguiente:
LolrUls de Sote/o, D , F.
26-May-71
Levantó: Guillermo Garda O.
Levantamiento con tránsito de l' y
cinta de acero, por el método de
conservación de azimutes
Est.
i
P.V.
A
B
B
C
D
E
C
D
E
A
A
B
Distancias
Azimutes
241.00
231.00
245.90
248.40
258.30
34r22'
284°03'
214°53'
135°27'
70° 15'
34r23'
R.M.O.
N
N
S
S
N
12°30' W
76°00' W
35°00' W
44°30' E
70°00' E
Croquis y notas
-
e
B
o
A
. E
150
Curso básico de topografía
Az AB (salida)
=
Az AB (llegada)
=
347°22'
347°23'
SOLUCIÓN
Error angular (E.J:
2.
Tolerancia angular (TA):
3.
Comparación de
4.
Compensación angular:
EA
T A = +a
con T A :
OEST
Se corregirá el azimut tomado en la
con signo contrario al error:
5.
EA
< TA
= ;A = ~ =
5~
5
estación, aplicando la corrección
EA = 70°15' - l'
Az
+ l'
','/,1= +1' v5= +2'
EA = 347°23' - 347°22' =
1.
=
70°14'
~ff
~
Transformación de azimutes a rumbos:
359°60'
359°60'
214°53'
179°60'
70° 14'
- 347°22'
- 284°03'
- 180°
- 135°27'
N 12°38' W N 75°57' W S 34°53' W S 44°33' W N 70°14' E
6.
A-B
B-C
C-D
.D-E
E-A
7.
Proyecciones de los lados del polígono:
X
{
y
rx
í'- o y
'x
= 241
= 241
= 231
= 231
= 241
= 241
75°57' = 231
sen 12°38'
cos 12°38'
(0.21871)
(0.97579)
sen
cos 75°57'
(0.97008)
(0.24277)
=
= 231
= 52.71 W
= 235.17 N
= 224.09 W
=
56.08 N
= 245.9 (0.57191) =
= 245.9 (0.82032) =
44°33' = 248.4 (0.70153) =
140.63 W
201.72 S
245.9 sen 34°53'
{ y == 245.9 cos 34°53'
{.
{
X
= 248.4 sen
y
=
X
== 258.3 sen 70°14' = 258.3 (0.94108) = 243.08 E
248.4 cos 44°33'
y = 258.3 cos 70°14'
= 248.4 (0.71264) =
=
258.3 (0.33819)
174.26 E
177.02 S
=
Errores Ex y By:
417.43
=
-0.09 m
E y = ¡YN - ¡Ys = 378.60 - 378.74
=
-0.14 m
Ez
= ¡XE -
¡XlV
= 417.34 -
87.35 N
Planimetría
8.
Error de cierre lineal (EJ:
9.
Tolerancia lineal (T J:
=
1224.60
5000
=
_ EL _
0.17
P - - - 1224.60
¡L
=
T
L
¡L
5000
=
151
O 24
.
m
10.
11.
Precisión:
P=~=
¡L
EL
12.
Compensación lineal. Factores unitarios de corrección (KJ y (Ky):
K z -
Ez
0.09 - 00001
¡XE '+ ¡Xw - 834.77 - .
1
K E,I
y - ¡YN i+ ¡Ys
13.
x
=
Y=
14.
0.00014
1
1
1224.60 - 7204
0.17
=
0.14
757.34
000
= .
018
Correcciones que se deben aplicar a las proyecciones:
52.71 X 0.00011 = 0.01
"
= 0.02
224.09 X
140.63 X
"
= 0.02
174.26 X
"
= 0.02
"
:= 0.02
243.08 X
235.17 X 0.00018
56.08 X
"
201.72 X
"
"
177.02 X
87.35 X
"
=
=
~
=
=
0.04
0.01
0.04
0.03
0.02
por tanto:
la corrección se aplicará con signo +
a las proyecciones E; y con signo - a
las proyecciones W.
¡YN
<
¡Ys
luego:
la corrección se sumará a las proyecciones N y se restará a las proyecciones S.
Proyecciones corregidas:
Se obtienen aplicando a las proyecciones incorrectas, las correcciones
calculadas. Esta operación se ejecuta directamente en la planilla de cálculo.
152
Curso básico de topografía
15.
Coordenadas de los vértices del polígono:
Como el origen de coordenadas se puede tomar arbitrariamente, es
recomendable que la figura quede en el primer cuadrante para que las
coordenadas de todos los vértices sean positivas, lo cual facilita el dibujo
del plano.
Si se asume: A( +500.00; +500.(0), se procederá a calcular las
coordenadas de los demás vértices del :polígono, como sigue:
A
+ 500.00
52.70
+ 500.00
+ 235.21
B
+ 447.30
- 224.07
+ 735.21
+ 56.09
C
+ 223.23
- 140.61
+ 791.30
- 201.68
D
+ 82.62
+ 174.28
+ 589.62
- 176.99
E
+ 256.90
+ 412.63
+ 87.37
+ 500.00
+ 243.10
+ 500.00
A
16. Cálculo de la superficie del polígono, en función de las coordenadas de los vértices:
s= ~[
(X A + B.)(Y. - YA)
+
S,=
!
(Xc
+
+ XD)(YD -
]<947.30)(235.21)
+
(X.
Y c)
+ Xo)(Yo + ... +
(670.53)(56.09)
+
y.)
(X E
+
+ XA)(Y A
-
YE )
(305.85)( -201.68)
l
+
+ (339.52)( -176.99) + (756.90}(87.37) ]
S
=
!
Problema.
siguiente:
]326554.8100 - 121775.4720]
= 102389.6690
m'
Calcular la poligonal con los datos del registro de campo
Planimetría
Levantamiento con tránsito de l' y
cinta de acero, por el método de
conservación de azimutes
Est.
P.V. Distancias Azimutes
-O
1
2
3
4
O'.
49.39
41.98
42.17
47.14
38.28
1
2
3
4
O
1
'
Acatlán, Edo. de México
30-May-73
Levantó: Enrique Cárdenas
R .M.O .
353°31'
'64°39'
156°59'
197°43'
295°46'
353°29'
N
N
S
S
N
153
Croquis y notas
6°30' W
65°00' E
23°00' E
18°00' W
64°00' W
-
$~
Az. de llegada.
SOLUCIÓN
PLANILLA DE CALCULO
Lados
Est.
P.v.
O
1
2
3
4
1
2
3
4
O
--
SUMAS:
Distan- Azimutes
cia observado
49.39
41.98
42.17
47.14
38.28
218.96
C
353°31'
64 °39' +1'
156°59' +1'
197°43' +2'
295°46' +2'
y
+E
W
+N
-- --
S
5.58 49.08
37.93
17.96
- -0.01
-0.01 16.48
38.81
14.37 '
44.89
-0.01
34.46 16.66
-- - - -SUMAS: 54.41 54.41 83.70 83.70
+0.01
--
+E
-w
N+
-S
353°31' N 6°29' W
5.58 49.07
64 °40' N 64°40' E 37.94
17.96
157°00' S 23°()()' E 16.48
38.82
197°45' S lr45' W
14.37
44.90
295°48' N 64°12' W
34.46 16.66
SUMAS:
54.42 54.41 83.69 83.72
Correcciones Proyer:ciones corregidas
x
Proyecciones sin corregir
Azimutes
Rumbos
compensadm calculados
V értices
O
1
2
3
4
Coordenadas
X
+ 10.()()
+ 4.42
+ 42.35
+ 58.83
+ 44.46
+ 10.00
Y
I
+
+
+
+
+
+
Productos cruzados
(+)
(-)
--
20.00
88.409 0
69.08
690.8000 2925.5380
87.04
384.7 168 5 120.5632
48.23 2042.5405 2 i 14.3058
3.34
196.4922
33.4000
889.2000
20.00
SUMAS:
4203.7495 10312.2070
- 10312.2070
2S = - 6108.4575
S = - 3054.22875 m 2
* El signo de la superficie sólo indica el sentido en que se ha recorrido el polígono y en nada afecta su valor.
1S4
Curso básico de topografía
E¿l
= 353 °29'
T,l = +a
E A
vn
- 353 °31'
= +1'
=
v-S'
-2'
+2'
= TA
0.03
p = 218.96 = 0.00014
= + 0.01 m
E = - 0.03 ID
E L = Y E .r"J + E:.!. =
E.e
1
y
,j
~L
T
L
= 5000 =
0.03
y
218.96
5000
=
218.96 - 7299
0.03
0.01
K z = 108.83 = 0.00009
p
ID
= 0.04
1
ID
0.03 = 000018
K y = 167.41
.
PROBLEMAS
1.
Calcular el rumbo y la longitud del lado AB de un polígono conocidas las coordenadas de A y B.
DATOS:
A( + 12.3;
+
16.8)
B(+153.4; + 130.2)
SOLUCIÓN
Con el auxilio de un croquis se obtienen las fórmulas para calcular los elementos requeridos. (Fig. NQ 71.)
N
y
I
___ II_ _ _ _ _ _ _ _
I
~-
B (XB, YB)
I
I
I
I
I
I Rbo AB
I
I
I
YB
I
I
I
. --lA (XA-:-VA)
-----i C
I
J
+-~--~--------------~~X
O*XA)
XB
(
Figura 71
Planimetría
AC = X B
BC
=
YB
-
XA
-
YA
155
Por trigonometría, en el triángulo rectángulo A CB de la figura, se tiene:
sen Roo AB
=
En la fónnula
XB-X A
AB
AB =
XB
XA.
sen Rbo. AB
-
o
CD:
Si: X B - X A > 0, la proyección del lado AB sobre el eje X va hacia
el E; pero si: X n - X A < 0, entonces la proyección del lado AB sobre el
eje X va hacia el W.
De la misma manera:
YB - Y A > 0, la proyección del lado AB sobre el eje Y va hacia el
N; pero si: Y B - Y A < 0, entonces la proyección del lado AB sobre
el eje Y va hacia el S.
Si:
Sustituyendo ahora las coordenadas conocidas de A y B, en
las fórmulas CD y 0, se halla:
+(E)
tan Rbo AB = 153.4 - 12.3 = 141.1 = 1 244268
113.4
.
130.2 - 16.8
+(N)
Rbo AB
=N
51°13' E
AB = 153.4 - 12.3
sen 51 ° 13'
141.1
0.77952 = 181.01
AB
=
181.01 m
156
Curso básico de topografía
El cálculo por logaritmos del problema planteado, se dispone
de la manera siguiente:
log tan Rbo AB
log AB
10g(Xn
= Iog(XB
= 10g(XB
XA) =
-
-
XA)
-
XA)
2.1495~7
YA) = 2.054613
log tan Rbo AB =-0.094914
- 10g(YB
-
-
(1)
log sen Rbo AB
10g(XB
-
(2)
X A ) = 2.149527
- log sen Rbo AB = 9.891827
log AB = -2~257706
Rbo AB = N 51 ° 13' E
2.
Y ..d
Iog(Y u -
¡
AB
=
181.01
ID
I
En dos lados consecutivos AB y BC de un polígono se conocen
la longitud del primero, el rumbo del segundo y las coordenadas
de los vértices extremos.
Calcular el rumbo del primer lado y la longitud del segundo.
DATOS:
AB = 1275.89 m
Rbo BC
=
S 55°33' E
A (-3448.0;
C( -1564.7;
Roo AB
=
+ 15492.8)
+ 14508.4)
?
BC =?
SOLUCIÓN
a)
b)
:para ,facilitar la solución del problema, se dibujará un croquis
formando el triángulo ABC, cuyos ángulos interiores los designaremos a, f3 y y . (Fig. N9 72.)
Cálculo del rumbo y longitud del lado AC.
(E)
Xc - X A
tan Roo AC = - - - Y(' - YA
- 1564.7 - (-3448.0)
14.508.4 - 15492~8- -
+ 1883.3
- 984.4
(S)
Rbo AC = S 62 °24' E
Planimetría
AB' =AB
B' \ '
vi"
\JI'
\
157
"
""
\
\\
\
\
" "-
\
N
"-
"-
""
Figura 72
AC
=
Xc - X A
sen Rbo AC -
1883.3
0.886203
= 2125.12
AC = 2125.12 m
e)
Cálculo del ángulo
"y:
En el croquis se ve que:
y =
Rbo AC - Rbo BC
= 62 °24' - 55 °33' = 6 °51'
Cálculo del ángulo ,(3:
d)
La ley de los senos aplicada al triángulo ABC, da:
sen ¡fJa
=
AC sen "Y
AB
=
2125.12 sen 6°51'
1275.89
=
O 1986
.
57
(3' = 11 °28'
este ángulo es el suplemento del ángulo /3 dibujado en el
croquis.
(3
= 180° - 11 °28' = 168°32'
En el triángulo ABC se conocen los lados AB y AC y el ángulo y
opuesto al lado AB. El problema admite dos soluciones, una
tomando (3' = 11 °28' Y otra, su suplemento f3 = 168 °32'.
ll.l
SOLUCIÓN:
/3' = 11 °28'
158
Curso básico de topografía
e)
Cálculo del ángulo a':
a' = 180° -
f)
({3'
+ 'y) =
180° - (11°28'
+ 6°51')
Cálculo del rumbo del lado AB':
Rbo AB' = (Rbo AC + ,a ') - 180° =
= (62°24' + 161 °41') - 180°
Rbo AB'
= 161°41'
= 224°05' - 180
0
= N 44 °05' W
Cálculo de la longitud del lado B'C:
g)
B'C
=
AB' sen ,a ' = 1275.89 sen 161 °41' = 3361.87
sen
'y
I
B'C
sen 6 °51 '
= 3361.87 m
I
2~ SOLUCIÓN:
e)
Cálculo del ángulo a:
a = 180° - ({3 + y)
=
180° - (168 °32'
f)
= 4°37'
Cálculo del rumbo del lado AB:
Rbo AB
;::=
I
g)
+ 6°51')
Rbo AC
+ ,a =
62°24'
+ 4°37' =
67 °01'
Rbo AB = S 67 °01' E
Cálculo de la longitud del lado BC:
BC = AB sen a
sen y
=
1275.89 sen 4°37' _
sen 6 °51'
I BC == 861.03
m
3. Calcular los rumbos de dos lados consecutivos de un polígono,
conociendo sus longitudes y las coordenadas de los vértices extremos.
DATOS:
AB = 816.40
BC
=
ID
922.80 m
Planimetría
1S9
A (+ 124.8; + 79.6)
C( + 1598.7; +927.9)
Rbo. AB =?
Roo. BC =?
SOLUCIÓN
Con los datos proporcionados dibújese un croquis. (Fig. N9 73.)
a)
e
N
Figura 73
o
AB = AB'
BC = B'C
b)
Cálculo del rumbo y de la longitud del lado A C del triángulo
ABC, cuyos ángulos .a, f3 y y se indican en el croquis.
(E)
tan Roo. AC
=
1598.7 - 124.8
927.9 - 79.6
X o - X.a
Yo - YA
+ 1473.9
+ 848.3
(N)
AC =
lag 1473.9
Xo - XA
1473.9
sen Rbo AC
sen 60°05'
= 3.168469
- lag 848.3 = 2.928549
lag tan Roo. AC = 0.239920
"".
Rbo AC
= N 60 c 05' E
lag 1473.9
= 3.168469
- lag sen 60°05' = 9.937895
lag AC. = 3.230574
...
AC = 1700.49 m
Planimetría
d)
Cálculo de los rumbos de los lados AB y Be:
1~ SOLUCIÓN:
Figura 74
Rbo AB
= Roo
AC - a
=
60°05' - 12°54'
Roo AB = N 47°11' E
Rbo BC = Rbo AC
I
+y =
60°05'
+ 11 °22'
Rbo BC = N71°27' E
2~ SOLUCIÓN:
Rbo AB'
= Rbo
I
11
AC
+ a = 60°05' + 12°54'
Roo AB' = N 72°59' E
I
161
162
Curso básico de topografía
~"'igura
75
Rbo B'C = Roo AC - y = 60°05' - 11 °22'
f'
I Rbo B'C = N 48°43' E I
4.
Calcular las longitudes de dos lados consecutivos de un polígono,
conociendo sus rumbos y las coordenadas de los vértices extremos.
DATOS:
Rbo AB = N 30°02' E
Rbo BC ;:::: N 76°50' E
A(- 10.4; -17.3)
C( + 101.6; +76.8)
AB =?
BC= ?
Planimetría
163
SOLUCIÓN
a)
Con los datos del problema planteado se dibuja un croquis
para guiar las operaciones numéricas. (Fig. NQ 76.)
Rbo AB
Figura 76
b)
Cálculo del rumbo y longitud del lado AC del triángulo ABC.
(E)
tan Roo AC
=
101.6 - (-10.4)
76.8 - (-17.3)
Xo - XA
Yo - YA
+112.0
+94.1
(N)
AC =
Xo
XA
sen Rbo AC
-
log 112.0 = 2.049218
- log 94.1 = 1.973590
log tan Rbo AC = 0.075628
:.
Rbo AC = N 49°58' E
1U.O
sen 49°58'
log 112.0 = 2.049218
- log sen 49°58' = 9.884042
logAC:= 2.165176
AC
= 146.28 m
164
Curso básico de topografía
e)
Cálculo de los ángulos interiores del triángulo ABC:
A = Rbo AC - Rbo AB = 49 °58' - 30°02' = 19°56'
B = a + f3 ::::: Roo AB + (180° - Roo BC) =
= 30°02' '+ 103 °10' = 133°12'
C = Roo Be - Rbo AC = 76°50' - 49 °58' = 26°52'
Comprobación del cálculo de los ángulos del triángulo A BC :
A + B + C = 19°56' + 133 ° 12' '+ 26°52' = 180°00'
d)
Cálculo de las longitudes de los lados AB y Be. Aplicando la
ley de los senos al triángulo ABe, se tiene:
AB
BC
AC
sen C
sen A
sen B
AB
=
Be
= AC
AC sen C = 146.28 sen 26°52'
sen B
sen 133 °12'
log 146.28 = 2.165176
+ log sen 26°52' = 9'.655058
colog sen 133 °12' = 0.137291
log AB = 1.957525
:. I
5.
AB
=
90.68 m
sen A
sen B
146.28 sen 19°56'
sen 133°12'
log 146.28 = 2.165176
+ log sen 19 °56' = 9.532661
colog sen 133 °12' = 0.137291
log Be = 1.835128
I
BC = 68.41 m
Durante el levantamiento del predio O - 1 - 2 - 3 - 4 - O, fue
necesario fijar el punto auxiliar P, para salvar el obstáculo existente
,entre los vértices 1 y 2. (Fig. NQ 77.)
Determinar el rumbo y la longitud del lado 1 - 2, así como
los ángulos interiores O - 1 - 2 Y 1 - 2 - 3 del predio, con los
datos siguientes obtenidos al calcular la poligonal O - 1 - P 2 - 3 - 4 - O.
DATOS:
1 (+215.60; + 153.50)
2( + 144.90; +205.11)
Rbo O - 1 = N 65°10' E
Rbo 2 - 3 = S 84 °04' W
Roo 1 - 2 = ?
1-2=?
<0-1-2=?
<1-2-3=?
Planimetría
p
N
3
165
r-----=-~~
~\\\\\\'\
4
o
o
Figura 77
SOLUCIÓN
a)
Cálculo del rumbo y de la longitud del lado 1 - 2.
(W)
144.9~ - 215.60
=
205.11 - 153.50
-70.70 = 1.370
+51.61
(N)
I Rbo
1- 2
=
=
XJ.
sen Rbo 1 - 2
X2
I
b)
1- 2
-
N 53 °52' W
70.70
sen 53 °52'
1 - 2 = 87.55 ro
70.70
0.8075
I
Cálculo de los ángulos interiore& O - 1 - 2 Y 1 - 2 - 3 del
predio. En el croquis dibujado con los datos del problema,
vemos que:
166
Curso básico de topografía
LO- 1 - 2
=
180° - (RbQ O - 1 +
+ Roo 1 - 2) = 180° - (65°10'
L O- 1 - 2
L1- 2 - 3
= Rbo
I
6.
+- 53°52')
= 60°58'
= 53°52'
1 - .2 + Roo 2 - 3
+ 84°04'
L 1 - 2 - 3 = 137°56' I
Conocidas las coordenadas de los vértices de un polígono:
Calcular los rumbos y longitudes de los lados, así como los
ángulos interiores; y
b) Comprobar el cierre angular.
a)
DATOS:
Coordenadas
Vértices
X
y
1
2
3
4
5
+40.00
+48.68
+35.24
+ 5.43
+ 1.54
+ 0.00
+32.80
+65.73
+48.55
+ 5.39
SOLUCIÓN
a)
Cálculo de los rumbos y longitudes de los lados:
(E)
tan Rbo 1 - 2
=
=
X z - Xl
Y2 - YI
48.68 - 40
32.80 - O
=
+8.68
+32.80
=
0.264634
=
33.93
(N)
Rbo 1 - 2
2
1-
X2
-
Xl
_
= sen Roo 1 - 2
=N
14°49' 21" E
8.68
sen 14°49'21"
I
8.68
0.255825
ID
(W)
tan Rbo 2 - 3
=
X:J - X 2
Ya - Y:z
=
35.24 - 48.68
65.73 - 32.80
-13.44
+32.93
(N)
=
0.408138
Planimetría
I
Rbo 2 - 3 = N 22°12'08" W
2 - 3=
X3
13.44
X2
-
sen Rbo 2 - 3
161
13.44
0.377877 = 35.57 m
(W)
tan Rbo 3 _ 4 = X 4
Y.l
-
-29.81
-17.18
X 3 = 5.43 - 35.24
Y:i
48.55 - 65.73
(S)
1
3 - 4
=
Roo 3 - 4 = S 60°02'40" W
X4 - X3
sen Rbo 3 - 4
29.81
29.81
sen 60°02'40" = ,0.866413 = 34.41 m
I
(W)
1.54 - 5.43
5.39- 48.55
-3.89
-43.16 = 0.0901297
(S)
I Roo 4 4 - 5
=
X s - X,
sen Rbo 4 - 5
tan Roo 5 - 1 =
X
1
Yl
-x
S
-
Ys
5 = S 5°09'00" W
3.89
sen 5 °09'00"
3.89
0.089763 = 43 .34 m
I
(E)
40 - 1.54
0-5.39
-=-35~~~6
= 7.135436
(S)
Rbo 5 - 1 '= S 82°01'20" E
5 - 1=
Xl - X s
sen Rbo 5 - 1
I
38.46
38.46
sen 82001'20" = 0.990322 = 38.84 m
I
Cálculo de los ángulos interiores del polígono.
Una vez calculados los rumbos de los lados, con el auxilio de
un croquis, pueden obtenerse fácilmente los ángulos interiores.
(Fig. NQ 78.)
168
Curso básico de topografía
L 1 = Rbo 5 - 1 + Rbo 1 - 2
= 82°01'20" + 14°49'21"
I L 1 = 96 °50'41". I
L 2 = 180° - (Rbo 1 - 2 +
+ Rbo 2 - 3)
= 180° - (14 °49'21" +
+ 22°12'08")
60 ° 02'40"
I L 2 = 142°58'31" I
22 012'08"
L3
= Rbo 2 - 3
I
N
L4
60°02'40"
L 3 = 82°14'48"
= (180 + Rbo 4 - 5) 0
=
- Roo 3 - 4 ·
180° + 5 °09' - 60°02'40"
I L 4 = 125 °06'20" I
1
L 5 = 180° - (Rbo 4 - 5 '+
+ Roo 5 - 1)
= 180° - (5 °09'00" +
+ 82 °01'20")
Figura ,78
I
b)
+ Rbo 3 - 4
= 22°12'08" '+
L 5 = 92°49'40"
Comprobación del cierre angular:
Condición geométrica:
¡ ángs. interiores
=
180 0 (n- 2)
=
180°(3) = 540°00'
Suma de los ángulos calculados:
=
L2 =
142°58'31"
L 3=
82°14'48"
L4
=
125 °06'20"
L5
=
92°49'40"
¡ ángs. ints.
=
540°00'00"
L 1
96°50'41"
Planimetría
7.
169
En el levantamiento del terreno triangular que se muestra en la
figura N9 79, se midieron los rumbos y longitudes de los lados
AB yAC.
Calcular el rumbo y la longitud def lado BC, así como los
ángulos interiores del triángulo, haciendo la comprobación del
cierre angular.
N
DATOS:
Roo AB
;:=
N 86°30' E
Rbo AC
=
S 12°00' W
117 .30
ID
AB = 117.30 m
AC = 145.70 m
Rbo ·BC =?
BC= ?
LA =?
LB =?
LC =?
SOLUCIÓN
a)
Cálculo del ángulo A:
LA = 180°
+ Rbo
AC - Roo AB
Figura
=
180°
7~
+ 12° - 86°30'
I LA = 105 °30'
b)
Cálculo del lado BC:
BC
= ~ AB2 + AC'2
- 2· AB-· AC · cos A
V (117.3)2 + (145.7)2 - 2(117.3) (145 .7)cos 105 °30'
cos 105°30'
BC
=
-cos 74 °30' = -0.267238
= V 13759.29 + 21228.49 + 9134.52 = V44122.30
, BC= 210.05 m
I
170
Curso básico de topografía
e)
Cálculo de los ángulos B y C.
Aplicando la ley de los senos al triángulo A BC, se tiene:
sen B
sen C
AC
AB
- AC sen A
Be
145.7 sen 105°30'
210.05
145.7 X 0.9636
210.05
=
117.3 sen 105°30'
210.05
117.3 X 0.9636
210.05
sen B sen C
sen A
BC
AB sen A
Be
sen 105°30'
d)
sen 74°30' l= 0.9636
sen B
= 0.6684
LB
= 41 °57'
I
sen C
= 0.5381
LC
= 32°33'
I
Cálculo del rumbo del lado BC:
Rbo. Be = Rbo AB - LB
I Rbo BC
e)
=
= 86 °30'
- 41 °57'
= S 44 °33' W
Comprobación del cierre angular.
Condición geométrica :
~
ángs. interiores de un triángulo = 180°00'
Suma de los ángulos calculados:
LA = 105°30'
LB =
41 °57'
=
32°33'
LC
~
8.
ángs. interiores
= 180°00'
Con las coordenadas de los vértices de un predio, calcular:
a)
b)
e)
Rumbos de los lados.
Longitudes de los lados, y
Angulos interiores, comprobando el cierre angular.
Planimetría
DATOS:
Coordenadas
Vértices
X
Y
A
-30.00
+30.00
+20.()()
-20.00
-40.00
-20.00
+30.00
+60.00
B
e
D
SOLUCIÓN
a) y ' b)
Cálculo de los rumbos y longitudes de los lados:
(E)
tan Roo AB
=
XB
-
X.A.
YB
-
YA
=
30 - (-30)
+ -60
- 3.O
- 20 - (- 40) - + 20 -
(N)
I
AB
=
Roo AB
=N
71°34' E
X B - X.A. _ __6=-0~~
sen Rbo AB
sen 71 °34'
I
AB = 63.24 m
60
0.9487
=
63.24
=
0.2
=
50.94
\
(W)
tan Rbo Be =Xc - X B
Yc - YB
=
20 - (+30)
30 - (-20)
=
-10
+50
(N)
I
Be =
Rbo BC
N 11 ° 19' W
I
10
10
sen 11 °19' - 0.1963
X c "- X B
sen Roo BC
I
=
BC = 50.94 m
I
(W)
tan Rbo CD
=
XD
YD
-
-
Xc
Yo
=
-20 - (+20)
-40
60 - ( + 30) = +30 = 1.333
(N)
171
174
Curso básico de topografía
b)
Cálculo de las coordenadas del vértice B:
Coordenadas
A
proys. AB
B
e)
X
Y
+200.00
+201.65
+401.65
+200.00
- 11.86
+188.14
Cálculo del rumbo y de las proyecciones del lado BC:
= 180
Rbo BC
(Rbo AB + Defl. BC) =
= 180° - 170°23' = N 9°37' E
0
-
Proyecciones del lado BC:
x
y
=
=
BC sen Rbo BC
BC cos Rbo BC
=
=
250 sen 9°37' =
= 250(.16706)
(E)
=
41.77 m
250 cos 9°37' =
= 250(.98595) = 246.49 m
(N)
d)
Cálculo de las coordenadas del vértice C:
Coordenadas
B
proys. BC
C
e)
X
Y
+401.65
+ 41.77
+443.42
+188.14
+246.49
+434.63
Cálculo del rumbo y de la longitud del lado AC:
1+
tan Rbo AC
Xc - X A
Ya _ YA -
=
443.42 - 200
434.63 - 200
=
(E)
243.42
234.63
=
1.03746
(N)
Rbo AC
AC
=
= N 46°03' E I
Xc - X A
sen Rbo AC
AC = 338.10 ro
243.42
sen 46°03'
I
=
243.42
.71995
= 338.10
Planimetría
175
También se puede calcular A C aplicando la fórmula :
AC= V(X O -X A)2+ (yo- YAF~
= V (243.42)~ +
10.
(234.63):!
=
338.09 m
Para levanta:- el predio ABCD fue necesario, por los accidentes del
terreno, establecer un triángulo de apoyo, en el interior del predio,
desde cuyos vértices, por radiaciones se fijaron los vérticesA. B,
CyD.
Con los datos del registro de campo siguiente, calcular:
Las coordenadas de los vértices A, E, e y D;
b) Los rumbos y las longitudes de los lados A B, BC, CD
a)
y DA;
e)
Los ángulos interiores, comprobando el cierre angular, y
d)
La superficie del predio.
Libreta de campo
Levantamiento con tránsito de l' y
cinta de acero, por el método de medida directa de ángulos
Est.
1
2
57 ° 18'
229°50'
S 11°30' E
14 °07'
13r36'
234 ° 12'
N
B
181.00
51.58
48.80
1
D
52.35
48.95
108°35'
200°26'
N 69°00' W
3
C
3
~
R.M.O.
203.75
23.39
A
2
O
P.v Distancias
-- --
Tehuacán, Pue.
15-SEP-76
Levantó: F. Garda Lara
cierre angular:
=
57° 18 '
1
2
= 14°07'
3
= 108°35 '
ángs. obs = 180°00 '
Az 1 - 2
168°35'
=
N
EA.
3°00' E
=
O
SOLUCIÓN
Cálculo del triángulo de apoyo:
Error angular:
Croquis y notas
EA = O
D
e
176
Curso básico de topografía
Azimutes de los lados del triángulo:
Az 1 - 2
=
168 °35'
+ 180°
348 °35'
+L2 =
14°07'
362°42'
- 360°
Az 2 - 3 =
2°42' + 180°
182°42'
+L3 =
Az 3/ - 1
=
108°35'
291 °17'
- 180°
111 ° 17'
+ Ll= 57°18'
Az 1 - 2 = 168°35'
Conversión de azimutes a rumbos.
179°60'
- 168°35'
Rbo 1 - 2 = S 11 ° 25' E ,
Rbo 2 - 3
=N
2°42' E
- 291 °17'
Rbo 3 - 1 = N 68°43' W
Proyecciones de los lados del triángulo:
1- 2
X
{
2 - 3
{
3 - 1
{
Ex
Ey
= 203.75
y
=
X
=
y
=
X
=
y
=
= !X E = !y" -
sen 11 °25' = 203.75 ( .19794) = 40.33 E
203.75 cos 11 °25' =
"
(.98021) = 199.72 S
181.00 sen
181.00 cos
2 °42' = 181.00(.04711) =
8.53 E
2°42' =
"
(.99889) = 180.80 N
52.35 sen 68°43'
52.35 cos 68 °43'
=
=
52.35(.93180)
" (.36298)
48.78
=
+0.08 m
Iys = 199.80 - 199.72
=
+0.08 m
S: xw
=
48.86 -
=
=
48.78 W
19.00 N
Planimetría
177
Error lineal: EL
E L '=
VE! ,+
= V (0.08)2 +
E~
(0.08)2
=
0.11 m
Tolerancia lineal T L
¡L
437.10
T L = 3000 = .3000 = 0.15 m
Compensación lineal del triángulo de apoyo.
Factores unitarios de corrección:
Ez
Kz=----
0.08
000
97.64 = . 082
E1I
K1I=---¡YN'+ ~Ys
3~~~2 = 0.00020
¡XE
,+ ~x w
Correcciones que se aplicarán a las proyecciones:
x
¡
y
Xl-.2
=
X 2- 3
=
8.53 X
"
= 0.01
X3- 1
=
48.78 X
"
=
0.04 "
Yl-2 = 199.72 X 0.00020
=
0.04 m
Y2~3 =
40.33 X 0.00082 = 0.03 m
"
180.80 X
"
= 0.04 "
19.00 X
"
= -
40.33 - 0.03
=
40.30 E
Y = 199.72 '+ 0.04
199.76 S
8.53 - 0.01
=
=
Y = 180.80 - 0.04
=
180.76 N
48.78 '+ 0.04 =
19.00 O =
48.82 W
19.00N
{
Y3-1
=
"
Proyecciones corregidas:
1_ 2 { x
2 _ 3 { x
3 - 1
=
=
{X =
y =
8.52 E
Después de aplicar las correcciones calculadas a las proyecciones de los lados del triángulo 1 - 2 - 3, se tiene:
¡XE -
¡ X lV =
48.82 -
48.82 = O
¡YN - ¡Ys = 199.76 - 199.76 = O
12
178
Curso básico de topografía
Coordenadas de los vértices del triángulo:
Para que el triángulo de apoyo y los vértices del predio
ABCD, levantados por radiaciones, queden alojados en el
primer cuadrante, se asumirá:
1 (+ 100.00;
+300.00)
Estaciones
X
y
1
+100.00
+ 40.30
+300.00
-199.76
2
+140.30
+ 8.52
+ 100.24
+180.76
3
+ 148.82
- 48.82
+281.00
+ 19.00
1
+100.00
+300.00
~
$~
Los resultados del cálculo del triángulo de apoyo se anotan
en una planilla, como a continuación se indica:
Lados
Est.
P.V. Distancias
- - -1
2
3
2
3
1
'1:,L=
203 .75
181.00
52.35
57° 18'
14 °07'
108°35'
437.10
180°00'
Correcciones
E
y
E
-0.03
-0.01
+0.04
+0.04
-0.04
40.30
8.52
O
48.82
W
W
168°35' S 11 °25' E 40.33
8.53
2°42' N r42' E
291 ° 17' N 68°43' W
48.86
SUMAS
Proyecciones corregidas
x
SUMAS
Proyecciones sin corregir
Angulos
Rumbos
Comp. Azimutes calculados
N
N
S
199.72
48.78
180.80
19.00
48.78 199.80 199.72
Coordenadas
S
Vértices
X
Y
199.76
1
2
3
+ 100.00
+ 140.30
+ 148.82
+300.00
+100.24
+281.00
180.76
48.82 19.00
48.82 199.76 199.76
Cálculo del rumbo y de las proyecciones de las líneas 1 - A,
2 - B, 2 - e y 3 - D. (Fig. NQ 81.)
180
Curso
básico de topografía
Roo 1 - A -= 180° - (229°50' - 68°43') = 180° - 161 °07'
Rbo l-A=N18°53'W
Rbo 2 - B =234°12' - (11°25' + 180°) = 234°12' - 19~025'
Rbo 2 - B = S 42°47' W
Rbo 2 -
e
= (180° + 11 °25') - 137°36' = 191 °25' - 137 °36'
Rbo 2 - C = S 53°49' E
Rbo 3 - D = (2°42' + 200°26') - 180° = 203°08' - 180°
Rbo 3 - D =N 23°08' E
Proyecciones:
l-A
2 - B
2-C
3-D
a)
{
x = 23.39 sen 18°53' = 7.57 W
y = 23.39 cos 18°53' = 22.13 N
{
x = 48.80 sen 42 °47' = 33.15 W
y = 48.80 cos 42 °47' = 35.82 S
{
x = 51.58 sen 53 °49'
y = 51.58 cos 53°49'
{
x = 48.95 sen 23°08' = 19.23 E
y = 48.95 cos 23 °08' = 45.01 N
Cálculo de las coordenadas de los vértices del prediO'.
1
Proys. l-A
~
= 41.63 E
= 30.45 S
$~
(+ 100.00;
-
+300.00)
A
7.57;
(+ 92.43;
'+ 22.13
-+ 322.13)
2
(+ 140.30;
+ 100.24)
+ 41.63;
(+ 181.93;
-
(+ 140.30;
+ 100.24)
- 33.15;
(+ 107.15;
- 35.82
+ 64.42)
(+ 148.82;
+281.00)
+ 19.23;
(+ 168.05;
+ 45.01
+326.01)
Proys. 2-C
C
2
Proys. 2-B
B
3
Proys. 3-D
D
30.45
+ 69.79)
Planimetría
181
Cálculo de los rumbos y longitudes de los lados AB, Be,
CD y DA.
b)
(E)
Rbo AB
=
XB
YB
-
-
XA
YA
= 107.15 - 92.43
+14.72
-257.71
64.42 - 322.13
= 0.057118
(S)
I
AB
=
Rbo AB
= S 3° 16' E
14.72
sen 3°16'
XB - XA
sen Rbo AB
I
14.72
0.05698
= 258.34
I
AB ·= 258.34 m
(E)
Rbo BC = Xc - X B = 181.93 - 107.15
Yc - YB
69.79 - 64.42
+74.78 = 13.92551
1+5.37
~
(N)
I
BC
=
$~
Roo BC '= N 85"53'.5 E
74.78
sen 85°53'.5
Xo - XB
----=-:----=-__=_
sen Rbo BC
74.78
0.99743
BC = 74.97 m
= 74.97
I
(W)
Rbo CD = X D
YD
-
-
Xc =
Yo
168.05 - 181.93
326.01 - 69.79
-13.88
+256.22
= 0.05417
(N)
I Rbo CD = N 3°06' W
CD
=
XD
Xo
-
sen Rbo CD
13.88
sen 3 °06'
13.88
0.05408
= 256.66
CD = 256.66 m
(W)
Rbo DA
=
-
XD
= 92.43 - 168.05
YA -
YD
322.13 - 326.01
XA
-75.62
- 3.88
(S)
=
19 48969
.
182
Curso básico de topografía
I Roo DA = S 87°04' W
DA
=
75.62
sen 87°04' -
X A -XD
sen Roo DA
I
e)
DA
= 75.72
m
75.62
0.99869 = 75.72
I
Cálculo de los ángulos interiores del predio ABCD.
Una vez conocidos los rumbos de los lados del predio, se
dibuja un croquis que permite obtener los ángulos interiores
con mayor facilidad.
A = 180° - (Rbo AB
= 180° -
B
= Rbo
AB
= 3°16'
C
D
=
=
(3°16'
+ Roo
+ 87°04')
+ 85°53'.5 = 89°09'.5
180° -
+ Roo CD)
(85°53'.5 + 3°06') = 91°0'.5
CD
== 3°06'
= 89°40'
+ RboBC
180° - (Roo BC
= Rbo
DA)
+ Roo
DA
+ 87°04' = 90°10'
Comprobación:
Planimetría
N
N
A
3 016'
N
N
3 0 06'
B
85° 53'.5
Figura 83
e
183
184
Curso básico de topografía
d)
D
•
Dobles superficies
Coordenadas
Vértices
A
B
C
Cálculo de la superficie del predio.
X
Y
+ 92.43
+ 107.15
+ 181.93
+168.05
+322.13
+ 64.42
+ 69.79
+326.01
X ..- 1 + X ..
199.58
289.08
349.98
260.48
Y .. -
Y .. - J
-257.71
+ 5.37
+256.22
- 3.88
SUMAS
~
2S
=
s=
-
+
.51433.7618
1552.3596
89671.8756
1010.6624
52444.4242
91224.2352
52444.4242
38779.8110
19389.9055 m.2
Comprobación del cálculo de la superficie.
Vértices
-A
B
e
D
A
11.
Productos cruzados
Coordenadas
X
Y
+ 92.43
+107.15
+ 181.93
+ 168.05
+ 92.43
+322.13
+ 64.42
+ 69.79
+326.01
+322.13
\¡+
.l'-
34516.2295
11719.9306
11728.2095
30133.1043
5954.3406
7477.9985
59310.9993
54133.9465
126877.2849
88097.4739
SUMAS:
88097.4739
38779.8110
2S =
s = 19389.9055 m.2
Con los datos del registro de campo que a continuación se inserta,
calcular:
a)
Las coordenadas de los vértices del predio ABCD;
b)
Los rumbos y las longitudes de los lados AB, BC, CD y DA;
c)
Los ángulos interiores A, B, C y D, Y
d)
La superficie.
Planimetría
185
Libreta de campo
Levantamiento con tránsito de l' Y
cinta de acero, por el método de medida directa de ángulos
EsJ.
O
1
2
P.V. Distancia:
Piedra Gorda, Cuautitlán
29-JUN-74
Levantó: E. Garda Castro
R.M.O.
-&
101 °02'
243°00'
S 46°30' E
A
31.96
23.60
2
B
49.96
20.46
92°30'
236°05'
N 46°00' E
3
C
47.72
18.90
101°55'
206° 16'
N 32°00' W
1
Croquis y nOH1S
r
O
D
62.93
23.20
S 32°30' W
~
:.--
N
!
~1Ji:onaJ
\'h
rí'\
~
A
J
133°32'
-;¡ -.~.
\
I
64°33'
213 °02'
=
e
3
I
3
Az 0- 1
Cal le Leona Vicario
8
SOLUCIÓN
Cálculo de la poligonal de apoyo.
Error angular (EAJ
LO=101°02'
~
L 1
=
L2
= 101 °55'
L 3 = 64°33'
ángs. obs = 360°00'
ángs. ints
Azimutes de los lados:
Az O - 1 = 133 °32'
+ 180°
92°30'
Condición geométrica:
~
-
= 360°00'
313 °32'
+ L1=
92°30'
406°02'
- 360°
Az 1 - 2 = 46°02'
+ 180°
226°02'
+ L 2 = 101 °55'
Az 2 - 3 = 327°57'
- 180°
147°57'
+L3 = 64°33'
Az 3 - O = 212°30'
- 180°
32°30'
+ .L 0 = 101 °02'
Az O - 1 = 133°32'
df" apoyo
186
Curso básico de topografía
-
Conversión de azimutes a rumbos:
179°60'
- 133°32'
S 46°28' E
-
359°60'
- 327°57'
N 32°03' W
212°30'
- 180°
S 32°30' W
Proyecciones de los lados:
0-1
31.96 sen 46°28' =
{ Yx === 31.96
cos 46°28' =
1- 2
{ Y = 49.96
31.96(.72497) = 23.17 E
31.96(.68878) = 22.01 S
x = 49.96 sen 46°02' = 49.96(.71974) = 35.96 E
cos 46°02' = 49.96(.69424) = 34.68 N
2-3
{
x = 47.72 sen 32°03' = 47.72(.53066) = 25.32 W
y = 47.72 cos 32°03' = 47.72(.84759) -:- 40.45 N
{
x = 62.93 sen 32°30' = 62.93(.53730) = 33.81 W
y = 62.93 cos 32°30' = 62.93(.84339) = 53.07 S
3-0
-
Errores
Ez =
Ex
¡XE -
y By:
¡xw = 59.13 - 59.13/= O
ElI ;:::: ¡YN - ¡Ys = 75.13 - 75.08 = +0.05 m
-
Error lineal (EJ:
V E; + t:; = V O + (0.05 F = 0.05 m
- Tolerancia lineal (T J:
EL =
¡L = 192.57 = 006
T L = 3000
3000
.
m
-
Compensación lineal de la poligonal de apoyo.
Factores unitarios de corrección:
O
118.26 = O
0.05 = 0.00033
15-0.21
Planimetría
-
187
Correcciones que se aplicarán a las proyecciones:
y
YQ-'.l
= 22.01
Yl~
= 34.68 X
"
= 0.01 "
=
==
40.45 X
"
=
53.07 X
"
= 0.02 "
)':2--3
Y.3-'O
-
X
0.00033
= 0.01
m
0.01 "
Proyecciones corregidas:
{x:......
Y=
O_ 1
.
23.17
22.01 ,+ 0.01
I
=
23.17 E
= 22.02 S
1 - 2 { x = 35.96
= 35.96 E
Y = . 34.68 - 0.01 = 34.67 N
X =:
2 - 3
{
3- O
{
=
Y
X =:
-
=
y
25.32
40.45 - 0.01
=
=
25.32 W
40.44 N
33.81
53.07 1+ 0.02
=
=
33.81 W
53.09 S
Coordenadas de los vértices de la poligonal de apoyo:
Est.
X
Y
O
+ 100.00
+ 23.17
+ 100.00
22.02
1
+123.17
+ 35.96
+ 77.98
+ 34.67
2
+ 159.13
- 25.32
+ 112.65
+ 40.44
3
+ 133.81
- 33.81
+153.09
- 53.09
O
+100.00
+100.00
~
$~
Planilla de cálculo
Lados
Est.
O
31.96
49.96
47.72
62.93
101 °02'
92°30'
101°55'
64 °33'
SUMAS:
192.57
360°00'
O
1
2
3
Proyecciones sin corregir
Angulos Azimu- Rumbos
P.V. Distancias Comp.
tes
calculados
1
2
3
133 °32'
46°02'
327°57'
21Z030'
S
N
N
S
E
W
N
46°28' E 23.17
46°02' E 35.96
32°03' W
25.32
32°30' W
33.81
34.68
40.45
59.13 59.13
75.13
SUMAS
'.
S
22.01
53.07
75.08
Curso básico de topografía
188
Correcciones
x
--
-
Proyecciones corregidas
y
E
+0.01
-0.01
-0.01
+0.02
23.17
35.96
SUMAS
W
S
22.02
25.32
33.81
59.13
N
59.13
34.67
40.44
53.09
75.11
Vértices
°
1
2
3
Coordenadas
X
+ 100.00
+123.17
+ 159.13
+ 133.81
Y
+
+
+
+
100.00
77.98
112.65
153.09
75.11
Cálculo del rumbo y de las proyecciones de las líneas O - A,
1 - B, 2 - e y 3 - D. (Fig. NQ 84.)
D
e
A
Figura 84
Planimetría
Rbo O - A
= 360°
- (32°30' + 243°00')
Rbo O - A = N 84°30' W
Roo
1- B
=
236°05' - (46°28' + 180°00')
Rbo 1 - B = S 9°37' W
Roo
2 - C
Rbo 2 - C
Roo
3- D
.. (206°16' + 46°02') - 180°00'
= N 72 °18' E
= 213°02' - (32°03'
+ 180°00')
Rbo 3 - D = N 0°59' E
Proyecciones:
23.60 cos 84 °30'
=
=
=
=
20.46 sen
20.46 cos
9°37'
9°37'
y
=
=
3 - D { x
=
y
==
. x
O-A
1-B
{
y
{
x
y
X
2 - C
a)
{
=
=
23.49 W
23.60(.09585)
=
=
=
=
20.46(.16706)
20.46(.98595)
=
=
3.42 W
20.17 S
18.90 sen 72°18'
18.90 cos 72° 18'
=
=
18.90(.95266)
18.90( .30403)
=
=
18.01 E
5.75 N
23.20 sen
23.20 cos
=
=
23.20(.01716)
23.20(.999,85)
=
=
0.40 E
23.20 N
23.60 sen 84°30'
0 °59'
0°59'
23.60(.99540)
2.26 N
Cálculo de las coordenadas de los vértices del predio.
(+ 100.00;
O
Proy. O - A - 23.49;
(+ 76.51;
A
+ 100.00)
+ 2.26
+ 102.26)
2
(+159.13;
Proy. 2 - C + 18.01;
C
(+177.14;
+ 112.65)
+ 5.75
+ 118.40)
(+123.17;
3.42;
Proy. 1-B B
(+119.75;
+ 77.98)
20.17
+ 57.81)
(+133.81;
3
Proy. 3-D + 0.40;
D
(+134.21;
+ 153.09)
23.20
+ 176.29)
1
~
$~
+
189
190
Curso básico de topografía .
b)
Cálculo de los rumbos y longitudes de los lados AB, Be,
CD y DA.
(E)
tan Roo AB = X B
-
YB
-
I
AB
=
XA
YA
=
119.75 - 76.51
57.81 - 102.26
1+43.24
-44.45
= 097278
.
(S)
Roo AB ,= S 44°13' E
X B - X,A.
sen Rbo AB
43.24
sen 44°13'
AB 1= 62.00 m
43.24
0.69737
= 62 00
.
I
(E)
tan Roo BC
=
Xc - X B
Yc - YB
=
+ 57.39 = 094719
177.14 - 119.75
118.40 - 57.81
+ 60.59
.
(N)
Roo BC = N 43°27' E
BC
=
Xc - X B
sen Roo BC
_
57.39
57.39
sen 43°27' - 0.68772 = 83.45
¡ BC = 83.45
m
(W)
tan Roo CD
=
XD
YD
-
Xc
Yo
=
134.21 - 177.14
176.29 - 118.40
= -
42.93
+ 57.89
=
(N)
I Roo CD= N 36°34' W ¡
CD =
X D - Xc
42.93
42.93
sen Roo CD - sen 36°34' - 0.59576 = 72.06
074158
.
Planimetría
I Rbo DA
DA =
X,A - X D
sen Roo DA
= S 37°56' W
57.70
sen 37°56'
I
57.70 = 93 86
0.61474
.
DA = 93.86 m
e)
Cálculo de los ángulos interiores del predio ABCD.
Estos se hallan con el auxilio del croquis siguiente:
6° 34'
44 0 13'
B
Figura 85
191
Curso básico de topografía
192
A = 180° - (Roo AB
=
180° - (44°13'
B = Roo AB
C
=
=
=
D =
-+-
+
Rbo DA)
+ 37 °56') = 97°51'
Rbo Be
+ 43 °27' = 87°40'
180° - (Roo BC + Rbo CD)
180° - (43°27' + 36 °34') = 99°59'
Rbo CD + Rbo DA
44° 13'
Comprobación:
A =
97 °51'
87°40'
C = 99°59'
D = 74°30'
ángs. ints. = 360°00'
B =
~
d)
Vértices
-A
B
e
D
Cálculo de la superficie del predio.
Coordenadas
X
Y
+ 76.51
+119.75
+ 177.14
+ 134.21
+102.26
+ 57.81
+ 118.40
+176.29
Dobles superficies
X"- J
+X
196.26
296.89
311.35
210.72
ft
Y,,- Y"- J
+
-44.45
+60.59
+57.89
-74.03
17988.5651
18024.0515
SUMAS
2S
=
s
8723 .7570
36012.6166
24323.3586
11689.2580
= 5844.6290 m 2
Comprobación del cálculo de la superficie:
Coordenadas
Vérti
ces
-AB
e
D
A
X
+
+
+
+
+
76.51
119.75
177.14
134.21
76.51
Productos cruzados
y
\1+
-
,1'-
+102.26
12245.6350
+ 57.81 4423 .0431 10240.4634
+ 118.40 14178.4000 15890.4640
+176.29 31228.0106 13487.9479
+102.26 13724.3146
SUMAS: 63553.7683 51864.5103
51864.5103
2S =
11689.2580
s = 5844.6290 m 2
15599.6016
24323.3586
Planimetría
12.
193
Una barda de piedra en el lindero oriente del predio O - 1 - 2
- 3 - 4 - 5 - 6 - 7 - O impidió hacer estación con el tránsito
en los vértices 3, 4, 5 Y 6 del mismo. En consecuencia, se establecieron las estaciones A, B Y C, para levantar por radiaciones
los . vértices mencionados.
Calcular, con los datos del registro de campo siguiente:
a. La poligonal O - 1 - 2 - A - B - C - 7 - O;
b. Las coordenadas de los vértices 3, 4, 5 Y 6;
c. Los ángulos interiores del predio, y
d. La superficie del mismo.
Libreta de campo
Toluca de Lerdo, México
23-MAY-77
Levantó: A. García Lara
Levantamiento con tránsito de l' y
cinta de acero, por el método de medida directa de ángulos
Est.
P. V. Distancias
O
1
147.50
1
2
87.30
2
A
34.06
B
3
250.50
19.40
C
78.17
20.27
10.04
Á
B
4
5
I
B-
Croquis y
R.M.O.
270°01'
no~a.J.
Az 0- 1 = 81 °08'
N 81 °00' E
N
4°30' E
N S 000' E
218° 16' S
4rS2'
177°33' S 7°00' E
109°42' S 75°00' E
139° 11' S 45°00' E
B
-
~
5
C
7
6
146.40
13.09
7
o
280.00
263°41'
143°17'
S 7rOO' W
S 44°00' E
-
6
7
SOLUCIÓN
a.
Cálculo de la poligonal O - J - 2 - A - B - C - 7 - O.
LO = 270°01'
L 1 = 90°29'
L 2 = 325 °33'
LA = 218°16'
LB = 177 °33'
L C = 263°41'
L 7 = 274°25'
-.;' ángs. obs = 1619 c 58'
(1)
Curso básico de topografía
194
Condición geométrica:
¡ ángs. exteriores = 180° (n + 2)
n=7
¡ ángs. exteriores = 180°(9) = 1620°00'
Error angular: EA
Tolerancia angular:
==
1619 °58' - 1620°00' = -2'
-- ..
T A = +ay n = +1'y 7 = +2.6'
r
(2)
EA
<
TA
Compensación angular:
Orden Est.
n
7
= EA = 2 =
3
La corrección angular C se aplicará, con signo contrario al
error, a los ángulos observados en las estaciones 2 y C.
Est.
Angs. observados
o
270°01'
90°29'
325 °33'
218 ° 16'
177 °33'
263 °41'
274°25'
1
2
A
B
C
7
e
+ l'
+ l'
Angs. compensados
270°01'
90°29'
325°34'
218°16'
177°331'
263°42'
274°25'
+2'
SUMAS:
Azimutes de los lados:
317 ° 11'
Az O - 1 =
81 °08'
+ 180°
261 °08'
+ L 1 = 90°29'
Az 1 - 2 = 351 °37'
- 180°
171 °37'
+ L 2 = 325°34'
497 °11'
- 360°
-Az 2 - A = 137° 11 '
+ 180 0
317 ° 11'
+ LA = 218°16'
535 °27'
- 360°
Az A - B = 175°27'
+ 180°
355°27'
+ LB = 177°33'
533°00'
- 360°
Az B - C = 173 °00'
+ 180°
353°00'
+ L C = 263°42'
616 b42'
Planimetría
195
351 °07'
- 180°
171 °07'
+ LO = 270°01'
441 °08'
- 360°
Az O - 1 = 81 °08'
616 °42'
- 360°
Az C - 7 = 256°42'
- 180°
76 °42'
+ L 7 = 274°25'
Az 7 - O = 351 °07'
Conversión de azimutes a rumbos:
Rbo O - 1 = N 81 °08' E
180°
- 173°
Rbo B - C = S 7 °00' E
359 °60'
- 351 °37'
Rbo 1 - 2 = N 8 °2 3' W
256°42'
- 180°
Rbo C - 7 = S 76 °42' W
179 °60'
- 137°11'
Rbo 2 - A = S 42 °49' E
•
359°60'
- 351 °07'
Rbo 7 - O = N 8 °53' W
179°60'
- 175°27'
Rbo A - B = S 4 °33' E
Proyecciones de los lados:
0-1 { yx
=
=
147.5
147.5
87.3
1 - 2 { yx=
= 87.3
sen 81 °08'
cos 81 °08'
sen
cos
8°23' =
8°23' =
x= 34.06 sen 42°49'
2-A { y=
34.06 cos 42°49'
A _ B {
x = 250.5 sen
= 250.5 cos
y
B _ C { x =
y =
C _ 7 { x
y
7 _ O { x
y
78.17 sen
78.17 cos
= 147.5 (.98805) = 145.74 E
= 147.5 (.15414) = 22.74 N
87.3 ( .14580) = 12.73 W
87.3 (.98931) = 86.37 N
= 34.06(.67965) = 23.15 E
= 34.06(.73353) = 24.98 S
4°33' = 250.5 (.07933) = 19.87 E
4°33' = 250.5 (.99685) = 249.71 S
7 °00' =
7°00' =
78 .17(.12187) =
78.17(.99255) =
= 146.4
= 146.4
sen 76°42' = 146.4 (.97318)
cos 76°42' = 146.4 (.23005)
= 280.0
= 280.0
sen
cos
9.53 E
77.59S
= 142.47 W
= 33.68 S
8°53' = 280.0 (.15442) = 43.24 W
8°53' = 280.0 (.98800) = 276.64 N
196
Curso básico de topografía
Errores Ex y By:
Ex = ¡XE - ¡Xw = 198.29 - 198.44 = -0.15
ID
E y = !.YN - ¡Ys = 385.75 - 385.96 = -0.21
ID ..
Error lineal:
EL =
V E2x + E y2 ' V (-0.15)2 + (-0.21)2 = 0.26
ID
Tolerancia lineal:
=
T
L
¡L
3000
=
1023.93
3000
=
O 34
.
ID
Compensación lineal de la poligonal.
Factores unitarios de corrección:
0.15
396.73
=
0.0
00
0.21
771.71
=
0.00027
38
Correcciones que se aplicarán a las proyecciones:
X
Xo-'l
=
X l -2
-
12.73
"
---
-X:2-A
=
23.15
"
XA - B
=
19.87
"
=
=
X B-C
=
9.53
"
- --
X C-7
=
142.47
"
X7-'O
43.24
"
=
=
Y{)--l
22.74(0.00027)
Yl-2 -
86.37
"
145.74(0.00038)
y'2-A
=
24.98
"
YA-B
=
249.71
"
77.59
"
Y C-7
=
-
33. 68
"
Y 7-'0
=
276.64.
"
y
YB- C
=
0.06
ID
0.01 "
0.01 "
0.05 "
0.02 "
= 0.01
= 0.02
= 0.01
= 0.07
= 0.02
= 0.01
= 0.07
ID
"
"
"
"
"
"
e
Planimetría
197
Proyecciones corregidas.
Aparecen anotadas en la planilla de este problema y se
obtienen aplicando a las proyecciones, las correcciones calculadas.
Coordenadas de los vértices de la poligonal:
~
$~
Y
X
Est.
O
+100.00
+145.80
+400.00
+ 22.75
1
+245.80
- 12.73
+422.75
+ 86.39
2
+233.07
+ 23.16
+509.14
- 24.97
A
+256.23
+ 19'.88
+484.17
-249.64
B
+276.11
+ 9.53
+234.53
- 77.57
e
+285.64
-142.42
+156.96
- 33.67
7
+143.22
- 43.22
+123.29
+276.71
O
+100.00
+400.00
PLANILLA DE CALCULO
Lados
Est.
O
1
2
A
B
e
7
Distancias
P.V.
1
2
A
B
e
7
o
SUMAS:
147.50
87.30
34.06
250.50
78.17
146.40
28Ó.00
11023.93
Angulos
compenRumbos
Azimutej calculados
sados
270°01'
90°29'
325°34'
218 ° 16'
17r33'
263 °42'
274 °25'
1620°00'
81 °08'
351 °37'
137° 11'
175°27'
173 °00'
256°42'
351 °07'
N
N
S
S
S
S
N
Proyecciones sin corregir
+E
81 °08' E 145.74
8°23' W
42°49' E 23.15
4°33' E 19.87
7°00' E
9.53
76°42' W
8°53' W
SUMAS: 198.291
W
+N
12.73
22.74
86.37
-s
24.98
249.71
77.59
33.68
142.47
43.24 276.64
198.44 385.75 385.96
Curso básico de topografía
198
Correcciones
Proyecciones corregidas
x
y
+E
+0.06
+0.01
+0.02
-0.01
-0.07
-0.02
-0.01
I +0.07
145.80
+ 0.01
+0.01
-0.05
-0.02
12.73
+N
198.37
142.42
43.22
198.37
-s
22.75
86.39
24.97
249.64
77.57
33.67
23.16
19.88
9.53
SUMAS:
b.
-w
276.71
385.85
Coordenadas
Vértices
Y
X
+ l00~OO
O
1
2
+24~.80
+233.07
+256.23
+ 276.i 1
+285.64
+143.22
A
B
C
7
+400.00
+422.75
+509.14
+484.17
+234.53
+ 156.96
+123.29
385.85
Cálculo del rumbo y p'royecciones de las líneas A - 3, B - 4,
B - 5 Y e - 6 Y de las coordenadas de lw vértices 3, 4, 5
Y 6 del predio. (Fig. NQ 86.)
Rumbos:
Roo A - 3 = L 2A3 - Rbo 2 - A
=
= 47°52' - 42°49' = N 5°03' E
Rbo B - 4
=
=
180° - (LAB4 - Roo AB) =
180° - (109°42' - 4°33') = S 74°51' E
Rbo B - 5
=
=
180° - (LAB5 - Roo AB) =
180° - (139°11' - 4°33') = S 45°22' E
Roo C - 6
=
=
180° - (LBC6 - Rbo BC) =
180° - (143°17' - 7°00')
= S 43°43' E
Proyecciones:
A - 3
X
{
=
19.40 sen
y = 19.40 cos
5°03'
5°03'
=
=
19.40(.08803)
19.40(.99612)
=
=
1.71 E
19.32 N
. x = 20.27 sen 74°51' = 20.27(.96524) = 19.57 E
= 20.27 cos 74°51' = 20.27(.26135) = 5.30 S
B-4 {
y
B-5
C-6
= 10.04 sen 45°22'
Y = 10.04 cos 45°22'
X
{
X
{
y
=
=
13.09 sen 43°43'
13.09 cos 43 °43'
=
=
10.04(.71162) = 7.14 E
10.04(.70257) = 7.05 S
=
13.09(.69109)
13.09(.72277)
=
=
=
9.05 E
9.46 S
Planimetría
N
2
6
Figura 86
199
200
Curso básico de topografía
Coordenadas:
A
proy. A - 3
3
( +256.23;
....l1.71;
( + 257.94;
I
+484.17)
+ 19.32
+503.49)
~
$~
B
4
( +276.11;
+ 19.57;
( +295.68;
+234.53)
5.30
+229.23)
B
proy. B - 5
5
(+276.11;
+ 7.14;
( +283.25;
+234.53)
7.05
+227.48)
C
proy. C - 6
6
( +285.64;
+ 9.05;
( +294.69;
+156.96)
9.46
+147.50)
proy. B - 4
.
Cálculo de los rumbos y longitudes de los lados 2 - 3, 3 - 4,
4 - 5, 5 - 6 y 6 - 7.
C.
(E)
tan Rbo 2 - 3
=
X3
-
+!~~!~ = 4.401770
257.94 - 233.07
503.49 - 509.14
X2
Y3 - Y 2
(S)
I
2 - 3
=
Rbo 2 - 3 ,= S 77 ° 12' E
24.87
sen 77 ° 12'
Xa - X2
sen Rbo 2 - 3
I
24.87 = 25.50 ro
0.97515
(E)
tan Rbo 3- 4
=
X4
-
Xa
Y4
-
Y3
=
295.68 - 257.94
229.23 - 503.49
=
+ 37.74
- 274.26
=
O 137601
.
(S)
I Rbo 3 3- 4=
X4
-
X3
sen Rbo 3 - 4
4
=
S 7°50' E
37.74
sen 7°50'
I
37.74
0.13629
=
276.91
ID
Planimetría
201
(W)
X5 - X4
tan Rbo 4 - 5 = Y5 - Y 4
283.25 - 295.68
227.48 - 229.23
-=- 1:'~~3
= 7.102857
(S)
Rbo 4 - 5 = S 81 °59' W
4- 5=
X 5 - X4
sen Rbo 4 - 5
12.43
. sen 81 °59'
12.43
.
0.99023 = 12.55 ro
(E)
X6
-
X5
tan Rbo 5 - 6 = Y 6
-
Y5
294.69 - 283.25
147.50 - 227.48
+ 11.44 = O 143036
-79.98
.
(S)
I
5 - 6=
X6
-
Rbo 5 - 6 = S 8 °08' E
11.44
X5
sen Rbo 5 - 6
-sen
-8°08'
11.44 = 80.86
0.14148
ID
(W)
X1
tan Rbo 6 - 7 = Y 1
-
X6
143.22 - 294.69
Y 6 = 123.29 - 147.50
- 151.47,= 6.256506
- 24.21
(S)
Rbo 6 - 7 = S 80°55' W
6 - 7 =
d.
X1 - X6
sen Rbo 6 - 7
151.47
sen 80°55'
151.47
0.98746 - 153.39
ID
Cálculo de los ángulos interiores del predio. (Fig. NQ 87.)
L 0 '= 180° - (Rbo 7 - O + Rbo O - 1)
= 180° - (8°53' '+ 81 °08')
L 1 = 180°
= 180°
+ (Rbo O - 1 '+ Rbo
+ 81 °08' '+ 8°23'
L 1 = 269°31'
1 - 2)
I
Planimetría
203
L 2 - ' Roo 2 - 3 - Rbo 1 - 2
= 77° 12' - 8°23'
L3 =
180~
=
180°
+ Roo 3 - 4 - Roo
+ 7°50' - 77°12' .
I
=
¿4
L3
=
2 - 3
110°38' I
180° - (Roo 3 - 4 + Rbo 4 - 5)
+ 81 °59')
= 180° - (7°50'
L5
= 180° + Rbo 4 - 5 + Rbo 5 - 6 =
= 180°
L5
L6
=
= 270°07' I
180° - (Roo 5 - 6
I
L 7 = Roo 6 - 7
L6
+ 81 °59' + 8°08'
=
+ Roo
6 - 7) =
= 180° - (8°08'
+ 80°55')
90°57'
+ Roo 7
- O = 80°55'
+ 8°53'
I L 7 = 89°48'
Comprobación del cálculo de los ángulos interiores.
LO= 89°59'
Ll= 269°31'
condición geométrica:
L2= 68°49'
~ ángs. ints = 180° (n - 2)
L3= 110°38'
,L 4= 90° 11'
n=8
L5:..-. 270°07'
L6= 90°57' ¡ ángs. ints = 180°(6) = 1080°00'
L7= 89°48'
~
ángs. ints '= 10'80°00'
Curso básico de topografía
204
e.
Cálculo de la superficie del predio.
Coordenadas
Vértices
Y
X
+ 100.00 +400.00
+245.80 +422.75
+233.07 +509.14
+257.94 . +503.49
+295.68 +229.23
+283.25 +227.48
+294.69
+ 147.50
+143.22 + 123.29
O
1
2
3
4
5
6
7
Dobles superficies
X,.-l + X .. y,. - Y ..- l
345.80
478.87
491.01
553.62
578.93
577.94
437.91
243.22
+ 22.75
+ 86.39
5.65
-274.26
1.75
- 79.98
- 24.21
+276.71
2S
.5
=
S
=
67301.4062
116537.9355 212448.5975
212448.5975
95910.6620
/
47,955.3310 m 2
Comprobación del cálculo de la superficie.
Coordenadas
Vértices
O
1
2
3
4
5
6
7
O
X
+ 100.00
+245.80
+233.07
+257.94
+295.68
+283.25
+294.69
+ 143.22
+ 100.00
Y
Productos cruzados
~(+)
-
2774.2065
151835.8212
1013.1275
46223.6412
10601.8011
SUMAS
~ff
+
7866.9500
41369.5793
/'(-)
98320.0000
+400.00
42275.0000
98530.3425
+422.75
+509.14 125146.6120 · 131327.5716
+503.49 117348.4143 148871.9232
64929.3975
+229.23 59127.5862
67036.0812
+227.48 67261.2864
21124.9500
+ 147.50 41779.3750
12329.0000
+ 123.29 36332.3301
+400.00 57288.0000
SUMAS: 546558.6040
642469.2660
642469.2660
95910.6620
25=
S = 47,955.3310 m:2
I
CAPÍTULO
III
AGRIMENSURA
La agrimensura (del latín ager-campo y mensura-medida) es la parte
de la topografía que se ocupa de la medida y división de superficies de
terrenos.
La superficie se determina por cualquiera de los métodos siguientes:
Métodos gráficos
Para aplicar estos métodos es necesario el plano de la figura para tomar
los datos con ayuda de la escala. Se requiere además de una construcción
del plano ejecutada con el mayor esmero, una escala bastante grande para
medir con suficiente precisión las líneas necesarias, ya que las superficies
se obtienen por medio del producto de las distancias y cualquier error que
haya en éstas tiene mucha influencia en los resultados.
Cuando no se tienen los datos requeridos para efectuar el cálculo de
la superficie, se puede emplear alguno de los métodos que se exponen a
continuación :
1. Dividir el polígono en figuras geométricas cuya superficie pueda
calcularse con facilidad ( triángulos, cuadrados, rectángulos, trapecios) y
medir gráficamente sobre el dibujo las longitudes de las líneas necesarias,
a fin de poder aplicar las fórmulas correspondientes.
Se puede tomar como unidad el milímetro cuadrado y multiplicar luego
el resultado por el número de metros cuadrados que representa un milímetro cuadrado. Si, por ejemplo, la escala es 1: 500, cada milímetro cuadrado del dibujo representará 0.25 metros cuadrados del terreno.
2. Utilizar una cuadrícula de mica o papel tran spar,en te, dividida en
milímetros cuadrados:
Colocándola sobre el dibujo y contando el número de milímetros
cuadrados dentro del polígono, apreciándose a ojo las fracciones, o
b) Determinando gráficamente las coordenadas de los vértices con
relación a un sistema de ejes elegidos de entre las líneas de la cuadrícula
a)
206
Curso básico de topografía
y haciendo después el cálculo por alguna de las fórmulas que dan a conocer
la superficie en función de las coordenadas.
Métodos mecánicos
~ff
.5
Las superficies se pueden determinar mecánicamente, con planímetro.
Los planimetros son instrumentos por medio de los cuales se va siguiendo con un punzón el perímetro del polígono dado, transmitiéndose
este movimiento a un tambor graduado, en el cual se lee el número de
revoluciones recorridas, siendo este número proporcional a la superficie.
Existen dos clases de planímetros: polar y rodante.
El planímetro polar es el que más se usa por la facilidad de su manejo.
(En el capítulo relativo a los levantamientos con brújula y cinta figuran
la descripción del planímetro polar y las reglas prácticas para su empleo.)
Este método es útil cuando las superficies que se necesita conocer están
limitadas por líneas curvas o son muy irregulares.
Ordinariamente, se puede esperar en la medida de superficies pequeñas una precisión del 1 %, y en la medida de figuras de tamaño grande
la precisión puede ser de 0.1 a 0.2 % .
Métodos analíticos
Para aplicar estos métodos no es absolutam-ente indispensable un plano
-exacto, cuyo único objeto es el de guiar las operaciones numéricas, obteniéndose el mismo resultado con un simple croquis del terreno, porque
no se toma ningún dato directo del plano o del croquis.
La superficie se determina analíticamente:
....
Por
Po;
Por
Por
Por
triangulación del polígono;
coordenadas;
medio de las dobles distancias meridianas;
la regla de los trapecios, y
la regla de Simpson.
Triangulación del polígono
Este procedimiento sólo se emplea para polígonos de dimensio.nes reducidas y lo.s cálculos se basan en las medidas lineales y angulares hechas
en el campo.
La superficie de cada uno. de los triángulos en los que se puede dividir
el terreno, se obtienen aplicando las fórmulas geométricas y trigonométricas procedentes.
Agrimensura
207
PROBLEMAS
1.
Calcular la superficie de un terreno triangular cuyos lados se midieron con cinta y comprobar el cálculo.
DATOS:
FÓRMULA:
a = 203.75 m
b = 181.00 "
e = 52.35 "
s = Vs(s -
a) (s - b)s - e)
SOLUCIÓN
1
1
s=2 (a+b+e)
=2" (437.10) =218.55
s - a = 218.55 - 203.75 = 14.80
s - b = 218.55 - 181.00 = 37.55
s - e = 218.55 - 52.35 = 166.20
s=
V218.55(14.8) (37.55) (166.2)
=
4492.8999 m2
Comprobación:
1
1
S = -be sen A = - (181) (52.35) (0.948324)
2
2
= 4492.8509 m2
sen ~ = .f(s - b) (s - e) .= .... / (37.55) (166.2) =
2
"be
" (181)(52.35)
0.811564;
2.
A
2
= 54°15';
A
= 108°30';
sen A = 0.948324
Calcular la superficie del triángulo con los datos que se indican
en la Fig. NQ 88.
DATOS:
=
A
B =
e
=
38°40'
75°10'
104.70 m
FÓRMULA:
e 2 sen A sen B
2 sen C
S=------
208
Curso básico de topografía
\.1
~ff
Ac
.5
/
/
b
\
/
\
/
\ a
\
/
\
/
/
s=?
\
\
//
/
75010~
/,\38 4 0 ' ]
A/
0
c= 104.70m
Figura 88
SOLUCIÓN
s=
(104.7) 2 sen 38 040' sen 75 010'
2 sen 66 10'
0
(104.7)2(0.62479) (0.96667)
. 2(0.91472)
s=
3618.9910 m 2
Método de las coordenadas
El procedimiento consiste esencialmente en encontrar las superficies de
los trapecios formados al proyectar los lados del polígono sobre un par
de ejes coordenados.
Deducción de la fórmula gen.eral empleada para obtener la superficie
de un polígono en función de las coordenadas de sus vértices. (Fig. 89.)
En la figura: XI, Yl; X ',! , y',!; ... , X 5 , Y5 son las coordenadas de
los vértices 1, 2, . .. , 5, respectivamente.
1'2' = y : ! - Y 1 , es la proyección vertical del lado 1 - 2; 2'3' =
Y a - y:!, es la proyección vertical del lado 2 - 3 ... y 5'1' = Y1 - y "
la del lado 5 - 1.
Obs~rvemos que la superficie del polígono 1 - 2 - 3 - 4 - 5 - 1 es
igual a la suma de las superficies de los trapecios formados con los lados
Agrimensura
209
y
5
- - - ·2 'VM'#l.W){,/A-
-"1 ~~"~'.1 LL'kIJ~
y2
Y1
o
x
Figura 89
1 - 2, 2 - 3 Y 3 - 4 menos la suma de las superficies de los trapecios
formados con los lados 4 - 5 Y 5 - 1.
Si designamos por S la superficie del polígono, se tendrá:
S
=
~ 1'122'
~ 2'233'
+
+
~ 3'344' -
- ~ 4'455' -
~ 5'511'
(1)
Ahora bien, la superficie de un trapecio es igual a la mitad del producto
de la altura por la suma de las bases, por tanto:
S=
1
2"
(Xl
+X
2 )
(Y2
-
Yl )
+ 21 (X + Xa)
2
(Ya - Y. 2 )
+
1
- 2 (X 4 + X 5 )
(Y4
2S = (X''.
-
Y5)
-
2:1
(X 5
+ Xl) (Y
5 -
4
(Xa
4)
(Y4
4)
4 -
3)
-
-
Y3)
Yl )
+ X 2) (Y2 - Y 1) + (X'2 + X 3) (Ya - Y.2) +
+ (X + X (Y Y
(X + X (n - (X + Xl) (Y
3
5)
4
5
14
+X
5
Y5) Y1)
210
Curso básico de topografía
Efectuando las operaciones indicadas:
2S
= X :1Y.z
- X1Y 1 + XiY i - X'z Y 1 + XzY.a - X!Y~ + X"Y" X 4Y 4 +
- XaY,z + X aY 4
X 9 Y 9 + X4Y.~
X 4 fa
+ X 4 Y 5 - X 5 Y 4 + X 5 Y 5 - X 5 Y 5 + XSY 1 - X 1Y 5 + X1Y 1
simplüicando:
~=~~-~~+~~-~~+~~-
- X 4Y a + X 4Y 5
X 5Y 4
-
+ XSY 1 -
X1.Y s
(2)
y sacando las x como factor, se encuentra:
2S = X1(Y Z
-
Y5)
+X
12
(Y.a - Y1)
+ X ,a (Y 1':2) +
+ X (Y S - Ya) + X
4 -
4
5
(Y1. - Y 4 )
Luego, "la doble superficie es igual a la suma algebraica de los productos
que se obtienen multiplicando la abscisa de cada vértice por la diferencia
entre la ordenada siguiente y anterior al vértice de que se trata".
De una manera semejante se demuestra que "la doble superficie de un
polígono es igual a la suma algebraica de los productos que se obtienen
multiplicando la ordenada de cada vértice por la diferencia entre las abscisas
siguiente y anterior al vértice considerado".
Y, si en la igualdad ® se ordenan los términos, colocando primero
los positivos y después los negativos, se halla:
~=~~+~~+~~+L~+~~-
- X 2 Y1. - X aY'2 - X 4 Ya - X SY 4
-
X'l.Y 5
A este resultado se puede llegar con mayor facilidad si se tabulan ordenadamente las coordenadas de los vértioes, repitiendo al final las del
primero. Si se hacen los produotos cruzados se obtienen los mismos productos de la fórmula anterior.
Coordenadas
Vértices
1
2
3
4
5
1
X
Y
X'l
Xz
Xa
X4
Xs
X 'l
Y1
~
Y2
Ya
Y4
Y5
Y1
7'(-)
(+)
X1Y1Z
X :zYa
X.gY4
X 4Y S
XSY'l.
¡ Prod '\¡
/~ff
~
Productos cruzados
X'2 Y l
XaY.2
X.Ya
XsY.
X1Y s
¡ Prod 7'
-
S 1=
~
[
-
-
-
- --- --
--- -- - - - -
(.>: Prod '") - (1: Prod ;') ]
211
Agrimensura
PROBLEMAS
1.
Calcular la superficie de un polígono dadas las coordenadas de
sus vértices.
DATOS:
1 (+25.00;
2( + 14.36;
3(+ 4.37;
4( + 5.88;
5(+18.31;
+25.00)
+ 12.51)
+21.49)
+36.62)
+36.31)
SOLUCIÓN
Coordenadas
Vért.
Productos
y
X
Y"+l -
Diferencia
Y,,-l
-
+
,
1
2
3
4
5
+25.00
+14.36
+ 4.37
+ 5.88
+ 18.31
+25.00
+12.51
+21.49
+36.62
+ 36.31
12.51
21.49
36.62
36.31
25.00
-
36.31
25.00
12.51
21.49
36.62
-23.80
- 3.51
+24.11
+ 14.82
-11.62
SUMAS
2S =
s
=
595.0000
50.4036
105.3607
87.1416
212.7622
858.1658
192.5023
-858.1658
665.6635
332.83175 m 2
Comprobación:
Coordenadas
Vért.
X
1
2
3
4
5
1
+25.00
+ 14.36
+ 4.37
+ 5.88
+ 18.31
+25.00
Productos cruzados
y
+25.00
+ 12.51
+21.49
+36.62
+36.31
+25.00
SUMAS
2S =
S=
~
(+)
/' (-)
359.0000
54.6687
126.3612
670.5122
907.7500
312.7500
308.5964
160.0294
213.5028
457.7500
2118.2921
1452.6286
2118.2921
665.6635
332.83175 m 2
Curso básico de topografía
212
2.
Calcular la superficie de un pfedio con los siguientes. datos:
A (+28.3; + 11.2)
B( +41.7; +21.5)
C( +24.8; +41.8)
D( + 13.6; +28.9)
SOLUCIÓN
Vért.
A
B
e
D
Coordenadas
y
X
+28.3
+41.7
+24.8
+13.6
+ 11.2
+21.5
+41.8
+28.9
Productos
Xn+l - Xn- l
41.7
24.8
13.6
28.3
-
13.6
28.3
41.7
24.8
Dil·
+
314.72
+28.1
- 3.5
-28.1
+ 3.5
75.25
1174.58
SUMAS
2S
~ff
=
s=
101.15
415.87 1249.83
1249.83
833.96
416.98 m 2
.5
comprobación:
Vért.
- A
B
e
D
A
Productos cruzados
Coordenadas
y
X
+28.3
+41.7
+24.8
+13.6
+28.3
\¡(+)
+ 11.2
+21.5
+41.8
+28.9
+ 11.2
SUMAS
2S
=
s=
-
/' (-)
467.04
608.45
533.20
1743.06
568.48
716.72
817.87
152.32
3220.55 2386.59
2386.59
833.96
416.98 m 2
----
Agrimensura
3.
213
Calcular la superficie de un po.lígo.no. cuando. se co.no.cen las co.o.rdenadas de sus vértices y comprobar el cálculo..
DATOS:
A(- 4.15;
+11.25)
B( + 6.10;
+22.45)
C( +25.10;
+
D( + 16.35;
6.75)
-28.30)
E( -
8.95;
-20.65)
F( -
4.00;
9.15)
SOLUCIÓN
Productos
Coordenadas
Vértices
A
B
C
DE
F
Yn +1 - Y n-1
X
Y
- 4.15
+ 6.10
+25.10
+ 16.35
- 8.95
- 4.00
+ 11.25
+22.45
+ 6.75
-28.30
-20.65
- 9.15
-
+
+ 31.60 - - 4.50 - -50.75 --27.40 - + 19.15 - + 31.90 - -
I
SUMAS
SUPERFICIE
131.1400
27.4500
1273.8250
447.9900
171.3925
127.6000
2179.3975
= 1089.69875 m 2
comprobación:
Vértices
A
B
C
D
E
F
A
Coordenadas
y
X
- 4.15
+ 6.10
+25.10
+ 16.35
- 8.95
- 4.00
- 4.15
Productos cruzados
~
+ 11.25
+22.45
+ 6.75
-28.30
-20.65
- 9.15
+ 11.25
SUMAS:
2S
=
SUPERFICIE
(+)
7' (-)
+
93.1675 +
+ 41.1750 +
- 710.3300 +
- 337.6275 +
+ 81.8925 +
45.0000
-1063.0575 +
-1116.3400
2179.3975
= 1089.69875 m 2
68.6250
563.4950
110.3625
253.2850
82.6000
37.9725
-
1116.3400
214
Curso básico de topografía
Método de las dobles distancias meridianas
El cálculO' de la superficie de un pO'lígO'nO' pO'r este método no implica
el uso' directO' de las cO'O'rdenadas de los vértices. La superficie se obtiene
en función de las prO'yecciones de lO's lados y se tO'ma cO'mO' meridiano de
referencia el que pase por algún vértice del polígO'nO', generalmente y pO'r
cO'modidad el vértice que queda más hacia el W y se calculan las dO'bles
distancias meridianas y el dO'ble de las superficies de lO's trapecios o triángulO's fO'rmadO's pO'r la proyección de IO's lados del polígO'nO' sobre el
meridiano. La suma algebraica de estas dO'bles superficies es el doble
de la superficie del pO'lígO'nO'.
Distancia m-eridiana de un punto es la IO'ngitud de la perpendicular
bajada del puntO' al meridianO' de referencia.
Doble distancia meridiana de un lado es la suma de las distancias
meridianas de sus extremO's.
d
I
I
I
e
e
b
- Ji-
I
~~
~
I
I
I
,le'- -,k.íf- _i
e
I
I
B
Figura 90
En la figura NQ 90, la distancia meridiana de B es Bb.
La doble distancia meridiana del ladO' BC es Bb + Cc.
En la misma figura se ve que cada trapecio o triángulO' formadO' pO'r
las prO'yecciO'nes, al que correspO'nde un ladO' de la poligO'nal, está limitado
al nO'rte y al sur por distancias meridianas y al O'este pO'r la proyección del
ladO' que se cO'nsidera sO'bre el meridiano.
Agrimensura
215
El doble de la superficie de cualquier triángulo o trapecio formado
por las proyecciones de un lado determinado sobre el meridiano es igual
al producto de la doble distancia meridiana del lado por la proyección del
lado sobre el meridiano.
ASÍ, la doble superficie del trapeciO' BCeb, es:
2S ~
BCcb ¡;::::
+ Ce)be
(Bb
En la figura anterior, la doble distancia meridiana de AB es simplemente
la proyección del lado AB sobre el eje de las X, pues la distancia meridiana de A es nula, luego:
d.d.m. AB
= Bb = X A B
(1)
La proyección del lado sobre el eje de las abscisas es positiva si su sentido
es hacia el E y negativa si es hacia el W.
La doble distancia meridiana de Be es:
d.d.m. BC
=
Bb
+
Ce
=
Bb
+
eb'
+
~
b'C
$ut~
pero:
Bb = d.d.m. AB
eb' = proyección del lado AB sobre el eje de las X ,=
b'C = proyección del lado BC sobre el eje de las X ,=
XAB
XBC
luego:
d.d.m. BC = d.d.m. AB
+ XAB + XB C
(2)
La doble distancia meridiana de CD es:
eb'
+ b'C -
d.d.m. CD
=
Ce
+
Dd
=
Ce
+
eb'
+
b'd'
=
Ce
+
d'C
ahora bien:
Ce
+ eb' = Ce + Bb = d.d.m. BC
b'C = proyección del lado BC
sO'bre el eje de las X =
d'C = proyección del lado CD sobre el eje de las X =
X BC
X CD
por tanto :
d.d.m. CD
= d.d.m.
BC
+ XBC
-
(3)
X CD
La doble distancia meridiana de DE es:
d.d.m.
~E
+ Ce = d.d.m.
CD
= Dd + Ee = Dd + Ce -
Cd' - d'e'
pero:
Dd
Cd'
d' e'
= proyección del
= prO'yección del
lado CD sobre el eje de las X
lado DE sobre el eje de las X
= X CD
=
XmíJ
216
Curso básico de topografía
luego:
d.d.m. DE
= d.d.m.
CD -
XCD -
(4)
XDE
Por último, la doble distancia meridiana de EA es:
d.d.m. EA
siendo:
X EA
=
= Ee =
(5)
XEA
proyección del lado EA sobre el eje de las X ..
De aquí la siguiente regla:
"La doble distancia meridiana de un lado cualquiera de un polígono
es igual a la del lado anterior más la suma algebraica de las proyecciones
sobre el eje de las abscisas del lado anterior y del que se considera, con
excepci -Sn del primero y del último lados cuya doble distancia meridiana
es simplemente igual a su proyección sobre el eje de las abscisas."
Podrían haberse utilizado las dobles distancias paralelas, tomándose
como p:lfalelo de referencia el más meridional. En la práctica; sin embargo,
se usan poco, excepto como comprobación del cálculo de la superficie
por medio de las dobles distancias meridianas.
En realidad el método de las dobles distancias meridianas es una aplicación del anterior, pues las y no son sino las diferencias de ordenadas
y n-Y nr-l y las d.d.m., son las sumas de dos abscisas consecutivas Xnr-l
y X n, así es que la diferencia estriba en que no se hacen intervenir las
coordenadas sino simplemente las proyecciones.
~ff
.5
PROBLEMAS
1.
Calcular la superficie de un polígono por el método de las dobles
distancias meridianas, dadas las proyecciones de los lados.
DATOS:
Proyecciones corregidas
Lados
0-1
1- 2
2-3
3-4
4-0
SUMAS
+E
17.72
21.82
-w
19.32
19.24
0.98
39.54
39.54
+N
13.58
9.52
12.92
-S
10.75
25.27
36.02
36.02
Agrimensura
217
SOLUCIÓN
a)
Cálculo de las dobles distancias meridianas:
O1234 -
d.d.m.
d.d.m.
d.d.m.
d.ct.m.
d.d.m.
b)
1=
2=
3 "=
4 =
O=
17.72
17.72 + 17.72 + 21.82 = 57.26
57.26 + 21.82 - 19.32 = 59.76
59.76 - 19.32 - 19.24 = 21.20
0.98
Cálculo de las dobles superficies:
2S0-'1 = 17.72( + 13.58) = +240.6376
2S1-'2 = 57.26( + 9.52) = +545 .1152
2$2-3 == 59.76( + 12.92) = +772.0992
2S3 - 4 = 21.20( -10.75) = -227.9000
284-'0 = O.98( -25.27) = - 24.7646
e)
Cálculo de .la superficie del polígono:
2S0 - '1-'2-3-4-'O
== [(240.6376 + 545.1152 + 772.0992) - (227.9000 + 24.7646)]
2S0-'1..J2-3-4..JO
=
I
d)
1305.1874
SO-'1--'2-,3-4-'O
= 652.5937 m 2
Comprobación del cálculo de la superficie por medio de las
dobles distancias al paralelo de referencia.
Dobles distancias paralelas:
d.d.p.
d.d.p.
d.d.p.
d.d.p.
d.d.p.
O12 3 4 -
1=
2 =
3 =
4 =
O=
13.58
13.58 + 13.58 + 9.52 = 36.68
36:68 + 9.52 + 12.92 = 59.12
59.12 + 12.92 - 10.75 = 61.29
25.27
'Dobles superficies:
2So-1=
2S1 -;2 =
25;2--3 =
283-4 =
2S4 - 0 =
13.58(+17.72)
36.68( +21.82)
59.12( -19.32)
61.29(-19.24)
25.27( ~ 0.98)
= + 240.6376
= + 800.3576
= -1142.1934
= -1179.2196
= 24.7646
218
Curso básico de topografía
2S()-Jl--'2-3-4~O
Si()-'1-'2-3-4~O
= -
=-
1305.1874
652.5937 m 2
El signo de la superficie no tiene importancia y depende únicamente del orden en que se tomen los lados del polígono.
2.
Por el método de las dobles distancias meridianas calcule la superficie de un polígono con los siguientes datos:
Proyecciones corregidas
+E
Lados
0-1
1- 2
2-3
3-4
4-0
-w
,
140.97
17.69
136.65
33.89
188.23
SUMAS
-
-
--
- - -- -
--
-s
+N
_
- - --
107.13
81.10
188.23
.. _ - - - -
25.00
138.33
79.48
101.84
242.81
242.81
Compruebe el cálculo de la superficie" en función de las coordenadas de los vértices.
~ff
~
SOLUCIÓN
a)
El cálculo de la superficie se simplifica disponiéndolo de la
manera siguiente:
Dobles superficies
Proyecciones
Lados
x
0-1
1 - "2
2-3
3-4
4-0
+ 17.69
+ 136.65
+ 33.89
-107.13
- 81.10
y
d.d.m.
-140.97 17.69
+ 25.00 172.03
+ 138.33 342.57
+ 79.48 269.33
-101.84 81.10
SUMAS
2S=
s=
+
-
2493.7593
4300.7500
47387.7081
21406.3484
8259.2240
10752.9833
73094.8065
-10752.9833
62341.8232
31170.9116 m 2
Agri'7"ensura
d.d.m. O - 1 =
17.69
+
17.69
+ 136.65
d.d.m. 1 - 2 = 172.03
+ 136.65
+
33.89
d.d.m. 2 - 3 = 342.57
+
33.89
- 107.13
d.d.m. 3 - 4 = 269.33
- 107.13
81.10
d.d.m. 4 - 0= 81.10
b)
Comprobación del cálculo de la superficie:
Coordenadas
Vértices
O
1
2
3
4
O
X
y
O
O
+ 17.69
-140.97
+
17.69
-140.97
+ 136.65
+ 25.00
+154.34
-115.97
+ 33.89
+138.33
+ 188.23
+ 22.36
-107.13
+ 81.10
+ 79.48
+ 101.84
81.10
-101.84
O
O
219
220
Curso básico de topografía
Coordenadas
V értices
O
1
2
3
4
O
~
~)
Productos cruzados
X
Y
O
O
-140.97
-115.97
+ 22.36
+ 101.84
O
~
(+)
?' (-)
O
- 21757.3098
O
- 2051.5093
-21829.0331
+ 3451.0424 + 1813.3960
+ 19169.3432
O
O
SUMAS
+ 20568.8763 - 41772.9469
41772.9469
62341.8232
2S =
S =31170.9116 m 2
+ 17.69
+ 154.34
+ 188.23
+ 81.10
O
f
Regla de los trapecios
Si el linderO' de un prediO' sigue una línea irregular O' curva, cO'mO' un
ríO', un arrO'yO', una barranca O' un caminO', se puede trazar una poligO'nal
en una posición cO'nveniente cerca del linderO' y IO'calizar éste por O'rdenadas
de la p~ligO'nal.
CuandO' el linderO' es una curva gradual, generalmente las O'rdenadas
se tO'man a intervalO's regulares.
SupO'ngamO's que la figura NQ 91 representa una pO'rción de un prediO'
que queda entre el lado AB de una pO'ligO'nal y un lindero irregular CD,
habiendO' tO'mado las O'rdenadas Y 1 , Y 2 , Y 3 , • • • , Y n a intervalos regulares d.
RIO DE LOS REMEDIOS
el
I
I
~
I
yl
I
I hl
y2
J
I
I
I
A.
d
'h2
J
I
,1
d
I
~
I
y3 Ih3
I
y4
I
I
I
J
h4
I
y5 Ih
I
I
, hn-ll
I
J
I
I
I
I
1
I
d
d
d
d
I
Figura 91
yn
- B
Agrimensura
221
La suma de las superficies de los trapecios es la superficie total S:
S
=
Y1
+ Y2 d +
Y~
2
+Y
3
d
+
Ya
+y
2
4
d
+
+
y n-l
2
+
yn d
2
o bien:
s
=
~
[ Y.
+ 2(Y, + Y, +
y. + .. , +
Y.-.)
y designando por s la suma de las ordenadas intermedias Y z
+ ... +
nrb
+
+
y.]
Ya
+y +
4
la igualdad anterior queda así:
en la ClJal:
= superficie total buscada
d = distancia común entre ordenadas
Y Y n = primera y última ordenadas
s = suma de las ordenadas intermedias.
S
y1
Esta fórmula se puede expresar prácticamente en la forma de la regla
siguiente:
Regla de los trapecios:
"Súmense las ordenadas extremas al doble de la suma de las ordenadas
intermedias y el resultado obtenido multiplíquese por la mitad de la distancia común entre ordenadas."
En la misma figura hl' hz, ha, . . . , h n..: 1 , representan las medianas de
los trapecios, de manera que:
por tanto, la superficie total buscada en función de las medianas es:
S
= h d + hzd + hgd + ... + hn-'l d
1
S
o bien:
= d (h + hz + h + ... + hn-l)
1
S -=
g
d(~h)
®
de aquí ,que "la superficie es igual al producto de la distancia común entre
ordenadas por la suma de las medianas de los trapecios".
Curso básico de topografía
222
PROBLEMAS
1.
Por la regIa de los trapecios calcule la superficie comprendida entre
un lado de una poligonal y un lindero curvo, tomando ordenadas
a intervalos de 20 m. Los valores de las ordenadas son: Y1 = 3.20
metros, Y'2 = 10040 m, Ya = 12.80 m, Y4 = 11.20my Ys ~ 4AOm.
SOLUCIÓN
S
~ff
d
= -2 (Y + 2s + Y n) =
1
=
S = 10[3.20
2~
[ 3.20
+ 2(10.40 + 12.80 + 11.20) + 4.40]
+ 2(34.40) + 4040]
= 10(3.20
+ 68.80 + 4040)
S = 764.00 m 2
Comprobación del cálculo:
S = d(¡h)
h1
= 3.20 ~
10040
6.8
h 2 = 10040 ~ 12.80
= 11.6
ha = 12.80 ; 11.20 = 12.0
h4
= 11.20 ¿-
4040 =
7.8
¡h = 38.2
S = 20(38.2) = 764
I
2.
S = 764.00 m 2
I
Determinar la superficie total de la parte disponible del terreno
(Fig. NQ 92), abarcando las dos márgenes del río. La distancia
común entre ordenadas es de 20 m.
223
Agrimensura
20m
Q
p
15.3
18.4
19.0
17.2
21.1
25.0
p'
Q'
M"
N'
28.6
22.5
14.4
15.1
20.0
19.7
M
Figura 92
SOLUCIÓN
a)
S1
Cálculo de la superficie PQQ' p'
= 2~ [
Sl
b)
=
15.3
Sl
+ 2(18.4 + 19.0 + 17.2 + 21.1) + 25.0
10(15.3
+ 151.4 + 25.0) = 1917.00
]
m2
Cálculo de la superficie MNN' M' = S2
0
S, = 22 [ 28.6
+ 2(22.5 + 14.4 + 15.1 + 20.0) + 19.7
s'2 = 10(28.6
c)
:=
+ 144.0 + 19.7)
]
= 1923.00 m 2
Cálculo de la superficie total:
S
= Sl + S2 =
1917.00
+ 1923.00 =
3840.00 m 2
comprobación:
h1
=
15.3 ~ 18.4 = 16_85
h2 = 18.4; 19.0 = 18.70
ha
=
19.0 ; 11.2 = 18.10
h1
= 28.6 ;
h 2 = 22.5 ;
22.5
= 25.55
14.4 = 18.45
15.1 = 1475
ha. = 14.4 +
2
.
224
Curso
básico de topografía
h4 = 17.2 ; 21.1 = 19.15
h4 = 15.1 ,;
h5 = 21.1 ~ 25.0
h5 = 20.0 1~ 19.7 = 19.85
=
23 .05
¡h
¡h = 95.85
S1
=
=
20(95 .85)
1917.00 m 2
s=
S1
20.0 = 17.55
S2 = 20(96.15)
+ S2 =
=
=
96.15
1923.00 m 2
3840.00 m2
Regla de Simpson
Cuando los linderos curvos son de carácter tan definido que lo justifiquen, la superficie se puede calcular con mayor precisión, suponiendo que
el lindero está formado de arcos de parábolas.
Supongamos en la figura N<? 93 que AB sea un lado de una poligonal,
CDE una parte del lindero curvo que se supone es un arco de parábola
y y 1 , Y 2 Y Y 3 tres ordenadas consecutivas cualesquiera del lado de la
poligonal al lindero, tomadas a intervalos regulares d.
D
r--e
F
I
----,-
~
I
I
I
'y3
I
I y2
Iy 1
I
I
~ff
----~
I
I
I
A +
v
..~
d
"
I
B
~
d
1/
01
Figura 93
La superficie entre el lado de la poligonal y la curva puede considerarse
compuesta del trapecio ABEC más la superficie del segmento entre el arco
parabólico CDE y la cuerda CE.
Una de las propiedades de la parábola es que la superficie del segmento CDE es igual a dGs· terciDS de la superficie del paralelogramo
ECFDG; por tanto, la superficie entre el lado de la poligonal y el lindero
curvo dentro de la longitud de 2d es:
S1
= (Y 1
=
Y1
4
+Y
3
2d
+~(
Y:2 _ Y 1
+Y
232
+ Y 3) d + "3 y 2d
2
- 3 (Y1
+ Y 3) d
3
)
2d
=
Agrimensura
1
d
4
= 3(Y~ + Ya)d + 3" Y
d
Sl = 3(Y1
2
d = 3"(Y1
+ Y + 4Y
3
225
2)
+ 4Y 2 + Ya)
(1)
y para los dos intervalos siguientes, de manera semejante, se tendrá:
(2)
La suma de las áreas parciales S¡, S2' ... , para (n - 1) intervalos,
siendo n un número impar y representando el número de ordenadas, es:
S=
~
[ Y1
+ Yn + 2(Y, + Y, + ... + Y.-, ) +
+ 4(Y, + Y , + . .. + Y .-a ) ]
Esta fórmula que es aplicable si el número de ordenadas es impar, se puede
expresar por medio de la siguiente Regla de Simpson:
"La superficie buscada se obtiene multiplicando un tercio de la distancia común entre ordenadas por la suma total de las ordenadas extremas,
el doble de la suma de las ordenadas intermedias nones y cuatro veces la
suma de las ordenadas intermedias pares."
PROBLEMAS
1.
Por medio de la Regla de Simpson determínese la superficie entre
el lado de la poligonal y el lindero curvo (Fig. NQ 94).
e
--
D
yi
--
y2
y3
y4
y5
y6
y7
A
d
d
)1
d
d
Figura 94
15
I!
}
d
d
B
226
Curso básico de topografía
d = 30 m
. Yl
y,:a
Y3
Y4
Y:;
Y6
Y7
=
24.80
= 29.10
= 31.20
= 32.50
= 31.30
= 28.40
= 22.60
m
"
"
"
"
"
"
~ff
-5
SOLUCIÓN
d
S
= 3"
S -
~O
[Y 1
+
Y7
+ 2(Y + Y:;) + 4(Y +
3
+Y
Y4
6 )]
+ 22.6 + 2(31.2 + 31.3) + 4(29.1 + 32.5 + 28.40)]
[24.8
S = 10[47.4
+ 2(62.5) + 4(90)] =
I
2.
2
S
=
10[47.4
+ 125.0 + 360.0]
5324.00 m'
Dadas las siguientes ordenadas de un lado de una poligonal a un
lindero irregular, tomadas con intervalos de 25 m, calcúlese la
superficie aplicando la regla de Simpson.
Distancias
en metros
Ordenadas
en metros
O
25
50
75
100
125
150
175
200
16.60
35.10
39.30
42.00
28.20
11.90
30.70
43.40
22.50
SOLUCIÓN
S=
~5 [
16.6
+ 22.5 + 2(39.3 + 28.2 + 30.7) +
+ 4(35.1 + 42.0 +
11.9
+ 43.4)
]
Agrimensura
s'= ~5
+
[39.1
2(98.2)
+
4(132.4)] _
s = 6375.83
3.
~5
(39.1
+
196.4
+
227
529.6)
m::!
Con los datos del problema anterior calcúlese la superficie aplicando la fórmula:
S ·= d(¡h)
en la cual:
d
¡h
= distancia
= suma de
común entre ordenadas
las medianas de los trapecios.
SOLUCIÓN
h1
=
h2
=
h3
=
h4
=
h5
=
h6
=
h7
=
hs
=
+
16.6
35.1
25.85
2
+
35.1
39.3
37.20
2
+
39.3
42
40.65
2
42
+
28.2
2
28.2
+
s=
-
11.9
+
30.7
+
43.4
2
43.4
+
2
22.5
35.10
21.30
2
30.7
6253.75 m 2
20.05
2
11.9
s = 25(250.15)
-
37.05
32.95
¡h = 250.15
AGRODESIA
La parte de la agrimensura que se ocupa del fraccionamiento de terre;nos se llama Agrodesia (ager-campo y daisia-división) palabra que significa
división del campo o del terreno. Los problemas de fraccionamientos los
podemos reducir a los siguientes:
228
Curso básico de topografía
1. Separar una parte determinada de terreno desde un punto situado
en el lindero, por medio de una línea cuya dirección no haya sido fijada
de antemano.
EJEMPLO:
La figura N<? 95 representa un predio de dimensiones con~cidas y D
es un punto del lindero por el que debe pasar una línea que divida el
predio en dos partes iguales.
F
t("U'l{l//l//T/IlZ!lan
f:z:e,.\ D
e
Figura 95
El pro<;edimiento para hallar la dirección y longitud de la línea divisoria
es el siguiente:
Se traza una línea DA al vértice de la poligonal que queda cerca
de la divisoria buscada.
b) Se calcula la superficie ABCDA y se determina la diferencia entre
esta superficie y la deseada.
a)
En la figura se supone que la superficie ABCD es mayor que la deseada y que DG es la posición correcta de la divisoria, por tanto el triángulo ADG representa la superficie en exceso.
e) Se calcula la longitud y el rumbo de la línea AD y el ángulo A
del triángulo ADG.
d) Conocidos la superficie, el ángulo A y el lado AD del triángulo
ADG, se calcula la distancia AG, con la fórmula:
S
1
= -2AG·AD sen
A
2S
AG
= AD sen
A
Agrimensura
229
e) Con el rumbo y la longitud de AG, se calculan las proyecciones
de AG y las coordenadas de G.
f) Por último, se calcula la superficie BCDGB que debe ser igual a
la mitad de la superficie del predio.
En el campo se traza DG en la dirección requerida, con lo que se
obti~ne una comprobación de su trazo y de los cálculos.
PROBLEMA:
Dividir el polígono O - 1 - 2 - 3 - 4 - O en dos partes iguales, por
medio de una línea que parta del vértice 1. (Fig. N9 96.)
Lados Dist.
0-1
1- 2
2-3
3-4
4-0
22.32
23.82
23.24
22.04
25.29
Rumbos
calculados
N
N
N
S
S
52 °52' E
66°26' E
56°14' W
60°48' W
2°13' W
Proyecciones
Coordenadas
x
y
Vért.
X
y
+ 17.72
+ 21.82
-19.32
-19.24
- 0.98
+ 13.58
+ 9.52
+ 12.92
-10.75
-25.27
O
O
O
1
2
3
4
+ 17.72
+39.54
+20.22
+ 0.98
O
O
2S=
S=
4
Figura 96
~
+
/'-
O
O
+ 13.58
+23.10 409.3320
+36.02 1424.2308
+25.27 510.9594
SUMAS
3
Productos cruzados
536.9532
467.0820
35.2996
O
O
2344.5222 1039.3348
1039.3348
1305.1874
652.5937 m 2
230
Curso básico de topografía
SOLUCIÓN
En el plano s~ ve a qué vértice habrá que unir el punto 1, para separar
una fracción que dé aproximadamente la superficie, siendo l~ línea 1 - 3
la que reúne tales condiciones.
Cálculo de la longitud y rumbo de la línea 1 - 3:
a)
(E)
20.22 - 17.72 _
tan Rbo 1 - 3 = 36.02 _ 13.58 -
0.111408
(N)
~ff
~
Rbo 1 - 3
Dist. 1 - 3
=
=
N 6°21' E
20.22 ~_1??2
= _ ?.~~ __ =
22.60 m
Cálculo de la superficie del triángulo 1 - 2 - 3:
b)
S¡-:!-3
+ 2.50
+ 22.44 =
=
ys(s - a)(s - b)(s - e)
= y 34:83(lf.Ol)(11.59) (12.23) '=
= 233.1446
m'!
a = 23.82
b
s- a
= 23.24
s - b
e = 22.60
2s = 69.66
= 11.01
= 11.59
s - e ,= 12.23
s = 34.83
e)
Diferencia entre la superficie calculada y la buscada:
Superficie del polígono:
Superficie buscada:
Superficie calculada:
s=
652.5937 m 2
~S =
326.2969 m 2
= 233.1446 m 2
Diferencia = 93.1523 m$
S1-.2-3
d) Cálculo del ángulo 1 - 3 - A Y del lado 3 - A del triángulo
1 - 3 - A. (Fig. N<? 97.)
1 - 3 - A = Roo 3 - 4 - Roo 3 - 1 = 60°48' - 6°21' = 54°27'
1 - 3 - A = 54°27'
Agrimensura
231
54? 27'
60 0 48'
4
lFigura 97
Ahora, aplicando la fórmula:
2S 1- 3 - A = 1 - 3 . 3 - A sen 1 - 3 - A
se tiene:
2(93.1523 )
22.6 sen 54°27'
2S1 - 3 - A
3 -A = ----------------~
1 - 3 sen 1 - 3 - A
3-A=10.13m
e) Cálculo de las proyecciones del lado 3 - A Y de las coordenadas
del punto A:
X3-A
Y3 - A
= 10.13
= 10.13
sen 60°48'
cos 60°48'
Vért.
3
proys. 3 -
A~
I
A
= 8.84
= 4.94
m (W)
m (S)
Coordenadas
y
X
+20.22
- 8.84
+ 11.38
+36.02
- 4.94
+31.08
232
Curso básico de topografía
f)
Cálculo del rumbo y longitud de la línea divisoria 1 - A:
(W)
Roo 1 -
tan
A
-6.34
17.50 = 0.362~86
= 11.38 - 17.72
(N)
Rbo 1 - A
.
DISt. 1 - A
g)
= N 19°55' W
~ff
~
= 11.38 -___17.72
___ = _ _6.34
. _ ___ = 18.61
m
Cálculo de la superficie O - 1 - A - 4 - O:
Dobles superficies
Coordenadas
Vértices
X
O
1
O
+ 17.72
+ 11.38
+ 0.98
A
4
Y
X"-l + X"
O
+ 13.58
+ 31.08
+25.27
17.72
29.10
12.36
0.98
y" -
Y"-l
+ 13.58
+ 17.50
- 5.81
-25.27
SUMAS
2S =
Superficíe que se busca: S =
-
+
240.6376
509.2500
749.8876
96.5762
653.3114
326.6557
71.8116
24.7646
96.5762
m2
2. Separar una parte determinada de terreno desde un punto situado
en el interior del polígono, por medio de linderos cuya dirección no se
fija previamente.
EJEMPLO:
Ccando se ha hecho el levantamiento de un predio y se conocen sus
dimensiones (Fig. NQ 98), para fraccionarlo desde un punto interior F,
se procede como sigue:
Se liga el punto F al perímetro por medio de su distancia al vértice
A, por ejemplo, y del ángulo EAF que forman el lado AE del polígono y
la línea AF.
a)
b)
Se calculan las proyecciones de la línea A F Y las coordenadas del
punto F.
Si se ha de dividir el polígono en dos partes iguales se calculan
rumbo, longitud y proyecciones del lado FD que limita aproximadamente
la superficie buscada.
e)
Agrimensura
233
D
DE
e
Figura 98
Se calcula la superficie AEDFA, determinándose la diferencia entreesta superficie y la que se desea.
e) Con los -elementos conocidos del triángulo DFG y procediendo
como en el caso anterior, se obtiene la distancia DG.
f) En seguida, se calculan las proyecciones de la línea DG, así como
las coordenadas del punto G.
g) Finalmente, se calcula la superficie AEDGFA que será igual a la
superficie buscada.
d)
PROBLEMA:
Con los dato!.: siguientes, divida el predio O - 1 - 2 - 3 - 4 - O en
dos partes iguales, desde el punto medio de la línea que une los vértices
1 y 4. (Fig. NQ 99.)
I
Lados DistanciaJ
0-1
1- 2
2- 3
3-4
4-0
16.99
12.90
11.74
13.54
12.46
Rumbos
calculados
N
N
S
S
S
29°49' E
53°01' W
60°13' W
0°04' W
75°28' E
Proyecciones
y
x
+ 8.45
-10.30
-10.19
- 0.02
+ 12.06
Coordenadas
Vért
+ 14.74 O
+ 7.76 1
- 5.83 2
-13.54 3
- 3.13 4
S = 310.4048 m 2
X
+ 12.06
+20.51
+ 10.21
+ 0.02
O
+
+ 12.06
y
Productos cruzados
~
(+)
7'(-)
O
O
+
+ 14.74 177.7644 150.4954
+22.50 461.4750 0.4500
+ 16.67 170.2007
O
+ 3.13 0.0626 37.7478
O
O
SUMAS
809.5027 188.6932
188.6932
2S= 620.8095
234
Curso básico de topografía
SOLUCIÓN
~ff
2
~
1
.;'
.;'
/'
/
M
/'
.;'
Figura 99
a)
Cálculo de las coordenadas del punto interior M.
20.5~ + O = 10.255
XM =
Y M = 14.74
b)
¿- 3.13 =
8.935
Cálculo de la superficie 2 - 3 - 4 - M - 2:
Vért.
·2
3
4
M
2
Coordenadas
y
X
+10.21
+ 0.02
O
+
+10.255
+ 10.21
+22.50
+16.67
+ 3.13
+ 8.935
+22.50
SUMAS
2S =
s=
Productos cruzados
\¡
(+)
;,,(-)
0.4500
170.2007
O
0.0626
32.0982
O
91.2263
230.7375
401.0008
123.7745
123.7745
277.2263
138.6132 m 2
I
Agrimensura
e)
Diferencia entre la superficie calculada y la que se busca:
s=
1
- S=
2
Superficie del polígono:
Superficie que se desea:
Superficie calculada
2 - 3 - 4 - M - 2:
d)
235
310.4048 ro 2
155.2024 ro'
=
Diferencia =
-138.6132 m~
16.5892 ro2
Cálculo del rumbo y longitud de la línea 2 - M:
(E)
Roo 2 - M
tan
= 10.255
- 10.21 =
8.935 - 22.50
=
+ 0.045
- 13.565
O 003317
.
(S)
Rbo 2-M=So011'E
Dist. 2 - M
=
=
10.255 - 10.21
sen 0° 11'
0.045
0.0032
=
14.06 m
e) Cálculo del ángulo M - 2 - N Y del lado 2 - N del triángulo
M - 2 - N:
M - 2 - N =ROO 2 - 1 - Rbo 2 - M = 53°01' - 0°11' = 52°50'
2 - N =
2(16.5892)
14.06(0.796882) = 2.96 m
2SM -'2-N
2 - M sen 52°50'
f)
Cálculo de las proyecciones del lado 2 - N Y de las coordenadas
del punto N:
X2-N
YZ-N
= 2.96
= 2.96
sen 53°01'
cos 53 °01'
= 2.36
= 1.78
m(E)
m (S)
Coordenadas
proys. 2
Vért.
X
y
2
+10.21
+ 2.36
+ 12.57
+22.50
- 1.78
+20.72
-N
IN
236
g)
Curso básico de topografía
Cálculo de la superficie O - 1 - N - M - 4 - O:
Coordenadas
Vértices
O
1
N
M
4
Y
X
+ 12.06
+ 20.51
+ 12.57
+ 10.255
O
Productos
O
+ 14.74
+20.72
+ 8.935
+ ~.13
Y n+1
-
Y n- 1
14.74 20.72 8.935 3.13 0-
Diferencias
+
+ 11.61
+20.72
- 5.805
-17.59
- 8.935
140.0166
424.9672
3.13
O
14.74
20.72
8.935
SUMAS
2S
superficie buscada:
=
S ,=
-
72.9689
180.3854
O
253.3543
564.9838
-253.3543
311.6295
155.8148 m 2
-------------------
3. Separar un? superficie determinada con linderos de dirección previamente fijada.
EJEMPLO:
1}
~.ff
.5
B
Figura 100
Sea ABCDEPA un predio de dimensiones y superficie conocidas (Fig.
NQ 100), que se desea dividir en dos partes, cada una de ellas de una
superficie determinada, por una línea trazada en una dirección dada. El problema se resuelve de la manera siguiente:
Por el vértice que se estime que pasará la línea que divida el
predio en las proporciones deseadas, se traza una línea de tanteo DG
en la dirección dada.
a)
Agrimensura
237
b) En el triángulo D FG se conocen las coordenadas de los vértices
D y F Y los rumbos de los lados DG y GF. Con estos datos se calculan
las dis!1ncias DG y GF.
e) Luego se calculan las proyecciones de los lados DG y GF, así como
las coordenadas del puntO' G.
d)
líne1
(<
~
A continuación se calcula la superlicie DEFGD, separada por la
tanteO' DG.
Se obtiene la diferencia entre la superlicie calculada DEFGD y la
que se busca. Esta diferencia está representada en la figura por el trapecio
DMNG, cuya base DG se conoce. Los ángulos D y G se pueden obtener
porque se conocen los rumbos de los lados DG, GF Y DE y, por tanto,
se pueden determinar los ángulos a y f3. (Fig. NC? 10l.)
e)
D
G' '\ ....
."
\
e
\
?- \~
Figura 101
f)
Cálculo de la altura x del trapecio DMNG.
La superlicie del trapecio es:
SDMNG
= DG· x -
GG', G'N
2
DD'.D'M
2
pero:
GG'
= x,
DD' = x ,
=
D'M =
G'N
x tan (3
x tan a
(1)
238
Curso básico de topografía
valO'res que sustituidO's en la igualdad (1), dan:
SDMNG
=
DG . x -
SDMNG
X2
= DG· x -
tan f3
2
tan a
X2
~ff
~
2
X2
2" (tan
+ tan 13)
a
(2)
La altura x del trapeciO' se encuentra resO'lviendo la ecuación (2).
g)
Se calculan DM, GN Y MN, cO'mO' sigue:
cO's
a -
cO's f3
=
x
DM '
x
GN=
GN
+ G'N) =
x(tan a + tan f3)
MN = DG - (D'M
MN
= DG
-
x
DM=
cO's
,a
x
cO's f3
DG - (x tan a
+x
tan /3)
Se calculan las prO'yecciO'nes de IO's lados DM y GN Y las coordenadas de los puntos M y N.
h)
Por último, se calcula la superficie EFNME que debe ser igual
a la superficie buscada.
i)
PROBLEMA:
Dividir el polígonO' O' - 1 - 2 - 3 - 4 - O' en dos partes que guarden la relación 2: 3 y con un linderO' de rumbo S 45°0'0" E (Fig. NQ 10'2).
Rumbos
Lados Dist. calculados
- --
0 - 1 41.17
1-2 21.32
2-3 30.66
3 - 4 I 32.56
4 - 0 / 25.39
N
N
S
S
S
Proyecciones
x
y
2 °27' E + 1.76 + 41.13
26 °03' E + 9.35 + 19.15
28°10' E + 14.46 -27.03
0°18' W¡- 0.17 -32.56
88°27' Jt -25.40 - 0.69
Vért.
Coordenadas
y
X
O
+
1
+ 1.76
+ 11.11
+25.57
+25.40
O
2
3
4
O
Superficie total del predio por fraccIOnar:
+
O
+41.13
+60.28
+ 33.25
+ 0.69
Productos cruzados
'\a (+)
7' (-)
-
O
O
456.9543
106.0928 1541.3596
369.4075 844.5500
17.6433
O
O
O
SUMAS 493.1436 2842.8639
2842.8639
2S = 2349.7203
S = 1174.8602 m 2
Agrimensura
239
SOLUCIÓN
3
4
o
a)
Figura 102
Cálculo de la superficie que se debe separar:
S'
2
=5
S
2
=5
(:r1174.8602 ) = 469.9441 m
2
En la figura se ve que por el vértice 1 del predio se puede hacer
pasar la línea de prueba 1 - A, en la dirección fijada; es decir, con el
rumbo S 45 °00' E.
e) En seguida, resolviendo el triángulo 1 - 3 - A, se encuentran las
distancias 1 - A Y A - 3, pues se conocen las coordenadas de los vértices
1 y 3 Y los rumbos de 1 - A Y de 3 - A.
b)
(E)
tan
Roo
1 - 3 = 25.57 - 1.76
33.25 - 41.13
23.81
-7.88
(S)
= 3.021574
240
Curso básico de topografía
Rbo 1 - 3 =S 71°41' E
.
25.57 - 1.76
DISt. 1 - 3 = sen 71°41'
+ 23.81
= 25.08 m
LA-1-3=
Rbo 1 - 3 - Rbo 1 - A
=
71 °41' - 45°00' = 26°41'
Ll-3-A=
180° - (Rbo 3 - 1
+ Rbo
3 - A) = 180° - (71 °41'
+ 0 °18')
L 1 - 3 - A =180° - 71°59' = 108°01'
LI-A-3=
Rbo 1 -A
+
Rbo A - 3
=
45°00'
+
0°18'
=
45°18'
comprobación:
.L 1
+ L 3 + LA
= 26°41'
+
108 °01'
+ 45°18' =
180°00'
Aplicando la ley de los senos, se encuentra:
1-A
A - 3
sen 1 - 3 - A
sen A - 1 - 3
1- 3
sen 1 - A - 3
25.08 sen 71 °59'
sen 45° 18'
1 _ A = 1 - 3 sen 1 - 3 - A
sen 1 - A - 3
=
A _ 3
=
23.850242
0.710799
=
33.55 m
15.08 sen 26°41'
sen 45°18'
1 - 3 sen A - 1 - 3
sen 1 - A - 3
11.262402 = 15.84 m
= 0.710799
~ff
~
d) Cálculo de las proyecciones de los lados 1 - A Y A - 3 Y de las
coordenadas del punto A.
/
(
{
Xi-A
= 33.55 sen 45°
= 23.72 m (E)
Yi-A.
= 33.55 cos 45°
= 23.72 m (S)
X3-A
= 15.84 sen
0°18' =
Y3-A
= 15.84 cos
0°18' = 15.84 m (S)
0.09 m (W)
Agrimensura
cálculo
Vért.
-1
proys. 1-A
A
comprobación
y
Coordenadas
X
+ 1.76
+23.72
+25.48
Coordenadas
II
y
241
X
y
+ 25.57
- 0.09
+25.48
+33.25
- 15.84
+ 17.41
Vért.
I
3
proys. 3 -A
A
+41.13 I
-23.72
+17.41 I
Cálculo de la superficie 1 - 2 - 3 - A - 1 separada por la línea
de prueba 1 - A.
e)
Coordenadas
X
Y
+ 1.76
+ 11.11
+2$.57
+25.48
+ 1.76
+41.13
+60.28
+33.25
+17.41
+41.13
Vértices
1
2
3
A
Productos cruzados
':,¡
(+)
~
(-)
456.9543
106.0928
1541.3596
369.4075
847.2100
445.1737
30.6416
1047.9924
1968.6664
2876.1655
2876.1655
907.4991
453 .7496 ro:!
SUMAS:
2S =
s=
f) Diferencia entre la superficie calculada 1 - 2 - 3 - A - 1 Y la
que se busca.
Superficie que se busca: S'
Superficie calculada 1 - 2 - 3 - A - 1
Diferencia
g)
= 469.9441
= 453.7496
= 16.1945
m2
m2
Cálculo de la altura x del trapecio ABe1 (Fig. NQ 103).
A'BA
LO - 1 - A
f3
=
1- A - 3
= Roo 1 -
A
=
45°18'
'+ Rbo
O- 1
=
47°27'
= 90° - 47 c 27' = 42°33'
La superficie del trapecio es:
SABOl
16
m2
=
1 - A .x
+
A'A· A'B
2
1'1 . l'e
2
242
Curso básico de topografía
N
,,
l' /
,
JC..
e
,
~ff
~
"",,
,
3
,
N
",
"
o
"
Figura lOS
pero:
= 16.1945 m 2
1 - A = 33.55 m
SABe!
A'A = 1'1 = x
A'B = x tan ,a = x tan 44°42'
l'C = x tan .f3 = x tan 42°33'
y, sustituyendo los valores
® en la CD, se obtielle la ecuación:
16.1945 = 33.55x
X2
+2
(tan 44 °42' - tan 42°33') 4
o bien :
0.035822x2
-33.55 ±
x
=
+
33.55x - 16.1945 = O
y (33.55)2 - 4(0.035822) (-16.1945)
2(0.035822)
®
Agrimensura
h)
x=
-33.55 ± -y 1127.9230
0.071644
x=
- 33.55 + 33.585
0.071644
Cálculo de AB, 1 AB=
1-C=
BC
AA'
e
COSa
1'1
cos {3
---cos f3
=1-
A
0.035 = 0.48 m
0.071644
0.48
0.48
= 0.68 m
cos 44°42' 0.710799
COS a
x
- 33.55 ± 33.585
0.071644
y Be:
x
-
243
0.48
cos 42°33'
+ A'B - l'e =
1- A
0.48
= 0.65 m
0.736687
+x
tan
=1BC
= 33.55 + 0.48(tan
Be
= 33.55 + 0.48(0.0716446) =
a -
x tan p
+ x (tan
A
=
tan f3)
a -
44°42' - tan 42°33')
33.55
+ 0.03 = 33.58
m
Cálculo de las proyecciones de los lados AB y 1 - e y de las
coordenadas de los puntos B y e.
i)
YAB
=
=
XI-C
= 0.65 sen 2°27' = 0.03 m (W)
YI-C
= 0.65 cos 2°27' = 0.65 m (S)
XAB
{
{
0.68 sen 0°18'
0.68 cos 0°18'
= 0.00 m
= 0.68 m
(W)
(S)
Coordenadas
Coordenadas
Proys
Vértices
X
Y
Vértices
X
A
AB
B
+25.48
- 0.00
+25.48
+ 17.41
- 0.68
+ 16.73
1
1-C
C
+ 1.76
-0.03
+ 1.73
Proys
Cálculo de la superficie 1 - 2 - 3 - B igual a la que se desea separar.
j)
e-
Y
+41.13
- 0.65
+40.48
1 que debe ser
244
Curso básico de topografía
Coordenadas
Vértices
X
1
2
3
B
+ 1.76
+11.11
+25.57
+25.48
+ 1.73
+ 1.76
C
I
y
+ 41.13
+60.28
+ 33.25
+ 16.73
+40.48
+41.13
SUMAS
~,
~
f
2S' =
S'=
Productos cruzados
\¡
(+)
7'(-)
456.9543
1541.3596
847.2100
28.9429
71.2448
106.0928
369.4075
427.7861
1031.4304
71.1549
2945.7116
2005.8717
2945.7116
939.8399
469.9199 m 2
CAPÍTULO
IV
ALTIMETRÍA O NIVELACIÓN
Generalidades
Recibe el nombre de nivelación o altimetría el conjunto de los trabajos
que suministran los elementos para conocer las alturas y forma del terreno
en sentido vertical.
Todas las alturas .de un trabajo de topografía, están referidas a un
plano común de referencia. Este plano llamado de comparación es una
superficie plana imaginaria, cuyos puntos se asumen con una elevación
o altura de cero. (Fig. NQ 104.)
B.N.
cota del B. N.
plano de comparación
Figura 104
Se denomina cota, elevación o altura de un punto determinado de la
superficie terrestre a la distancia vertical que existe desde el plano de
comparación a dicho punto.
Comúnmente se usa como plano de comparación el del nivel medio
del mar, que se establece por medio de un gran número de observaciones
245
246
Curso básico de topografía
en un aparato llamado mareógrafo a través de un largo período de años.
En los trabajos topográficos, dada su limitada extensión sup~rficial, el
plano de comparación no es necesariamente el nivel medio del mar, sino
que el operador lo elige a su arbitrio, procurando que todas las cotas resulten positivas para comodidad del cálculo.
El plano de comparación se considera como un plano solamente en
extensiones cortas, ya que en realidad es una superficie de nivel.
Se entiende por superficie de nivel aquella que en todos' sus puntos
es normal a la dirección de la gravedad; por tanto, el desnivel entre dos
puntos es la distancia que existe entre las superficies de nivel de dichos
puntos. (Fig. NQ 105.)
superficie de nivel
__
~--#l--
hlAB
superficie del nivel de
_-"*"-----
h AB
= desnivel entre los puntos
AyB.
Figura 105
Se llama banco de nivel (BN) a un punto fijo, de carácter más o menos
permanente cuya elevación con respecto a algún otro punto, es conocida.
Se usa como punto de partida para un trabajo de nivelación o como punto
de comprobación de cierre. (Fig. NQ 106.) Los B.N. se emplean como
4
~ff
.5
Banco de. Nivel (B.N.)
Figura 106
varilla
Altimetría o nivelación
247
puntos de referencia y de control para obtener las cotas de los puntos del
terreno. Se establecen sobre roca fija, troncos de árboles u otros sitios
notables e invariables y también por medio ' de monumentos de concreto,
con una varilla que defina el punto.
La elevación de un B.N. puede referirse al nivel medio del mar o
asumirse convencionalmente, dándosele en este caso un valor de CERO o
de CIEN.
Métodos de nivelación
Exhten varios métodos que han surgido de las necesidades de los
trabajos a ejecutar, pero los básicos son los siguientes:
Nivelación directa o topográfica.
Nivelación indirecta o trigonométrica.
Nivelación física o barométrica.
NlVELACION DIRECTA O TOPOGRAFICA
La nivelación directa o topográfica es la que se realiza por medio
de los aparatos llamados niveles y se llama directa porque al mismo tiempo
que se va ejecutando, vamos conociendo los desniveles del terreno.
Niveles
En los trabajos de ingeniería se emplean varias clases de niveles, a
saber:
Niveles de albañil: de regla, de plomada y de manguera.
Niveles fijos o topográficos: tipo ame'ricano y tipo inglés.
Nivel de mano.
,
tubos de vidrio si la manguera es opaca
Niveles de albañil
\,
----H--- --
nivel de regla
nivel de plomada
Figura 107
Figura 108
nivel de manguera
Figura 109
248
Curso básico de topografía
Niveles fijos o topográficos
Esto.s aparato.s se llaman fijos o "montados" porque se fijan en un
tripié. Constan esencialmente de un anteojo. y un nivel d~ burbuja que
van unidos a una barra '<? regla metálica, la cual puede girar alrededor de
un eje que se coloca en posición vertical por medio de tomillos niveladores.
El nivel de burbuja o nivel de aire es un tubo de cristal h~rméticamente
cerrado, que contiene en su interior, éter, alcoholo una mezcla de lo.s dos
en cantidad suficiente para llenarlo casi por completo exceptuando un
pequeño. espacio que forma la burbuja de aire que indica la hDrizontalidad
del nivel.
La sensibilidad de los niveles de burbuja depende de su curvatura; a
mayor radio de curvatura corresponde mayor sensibilidad y los que se
usan en aparato.s comunes tienen generalmente radios de 15 a 30 metros.
Los niveles tienen un tomillo de presión y otro tangencial. El tomillo
de presión es para fijar el movimiento. general del anteojo y el tangencial
para los pequeños movimientos del mismo.
La instalación del nivel es fácil porque se hace en -el lugar que convenga
al operador y no sobre determinado punto, razón por la cual las patas
de los tripiés de los niveles generalmente no son ajustables.
Nivel tipo americano o tipo "Y"
Descansa so.bre do.s soportes de forma de Y y sus características principales son las siguientes:
El anteojo puede girarse sobre su propio eJe independientemente
de los soportes.
b) El anteojO' es desmontable y puede invertirse su posición sacándolo
de los soportes. El objeto. de esta construcción -es el de facilitar el ajuste
o corrección del instrumento.
e) El nivel de burbuja -está unido al anteojo.
d) Lo.s soportes son ajustables.
~ff
a)
Nivel tipo inglés
~
a) Tiene el anteojo fijo a la barra, ID cual no permite que pueda
quitarse de sus soportes y po.r lo mismo no puede girar sobre su propio eje.
b) Este instrumento es más simple y compacto que el anterior y
aunque es menos fácil de ajustar, su ajustamiento dura más.
e) El nivel va fijo a la barra de sostén de los so.portes.
d) Los soportes son fijo.s, unidos rígidamente a la barra, y sin ajuste.
Nivel de mano
Pertenece a los aparatos empleados para la nivelación directa o topográfica ya que su uso se ajusta en to.do a la técnica del nivel fijo.
Altimetría o nivelación
249
El nivel de mano permite, como todo nivel, dirigir visuales horizontales
y está formado por un tubo que lleva en su parte superior un nivel de
burbuja. El tubo tiene practicada una ventana en su parte superior y
median~e un espejo colocado con una inclinación de 45 o con respecto
al eje de figura del anteojo, se puede ver la posición que guarda la burbuja.
El nivel de mano no tiene ningún poder amplificador, pero es de gran
utilidac. para trabajos que no requieren gran "'exactitud.
Esta,dal
Es una regla de madera, de 3 o 4 metros de largo, y de 4, 5, 8 Ó 10
centímetros de ancho, por 2 centímetros de espesor.
Existen muchos modelos, pero los principales son los que se ven en las
figuras 110, 111 Y 112.
__...,...~~._28_3. m
Figura 110
Figura 111
250
Curso básico
de topografía
~f
Figura 112
En algunos estadales se pueden leer hasta milímetros, por medio del
uso del vernier, que va fijo a una rodela que puede correrse a lo largo
del estadal.
Condiciones que debe reunir un nivel tipo americano
1.
Uno de los hilos de la retícula debe ser horizontal y perpendicular al
eje de rotación.
Revisión:
Se enfoca un punto fijo, coincidiendo en un extremo del hilo horizontal;
se fijan los movimientos y se gira lentamente el anteojo con el tomillo tan-
gencial del movimiento horizontal y el punto debe verse coincidiendo con
el hilo hasta el otro extremo.
Ajuste:
Si el punto se separa del hilo deberá enderezarse la retícula aflojando
los tomillos que la sujetan al tubo, moviéndola, y apretándolos nuevamente. Estas operaciones pueden hacerse con uno o con los dos hilos, vertical
y horizontal.
2.
La línea de co!i11UlCión debe coincidir con el eje de figura del tubo
del anteojo.
Altimetría o nivelación
251
Revisión:
Se aflojan las abrazaderas y se visa un punto haciéndolo coincidir con
el cruce de los hilos de la retícula.
En seguida, se gira el anteojo dentro de las abrazaderas, hasta que el
nivel quede arriba, y el punto visado permanezca en el cruce de los hilos.
Ajuste:
Si la condición anterior no se cumple, se mueven los tomillos opuestos
·de la retícula, simultáneamente, con dos punzones, primero los horizontales
y después los verticales, hasta lograr la coincidencia del cruce de los hilos
de la retícula con el punto visado.
3.
La línea de colimación debe ser paralela a la directriz del nivel.
Esta revisión y ajuste comprende dc;>s partes:
La línea de colimación y la directriz del nivel debenl quedar en el
mismo plano vertical.
a)
Revisión:
Se aflojan las abrazaderas y se centra la burbuja del nivel. A continuación, se gira el anteojo ligeramente y la burbuja debe permanecer
centraca.
Ajuste:
Si la burbuja se sale, el nivel se corrige con los tomillos de calavera
del movimiento lateral.
La línea de colimación y la directriz del nivel deben estar en dos
planos horizontales paralelos.
b)
Revisión:
Se aflojan las abrazaderas, se centra la burbuja y se desmonta el anteojo
sin mover la regla. Invirtiéndolo extremo por extremo, se monta nuevamente
y en esta nueva posición la burbuja debe quedar en el centro.
Ajuste:
Si no sucede aSÍ, se corrige la mitad de la desviación de la burbuja
con los tomillos que fijan el nivel al anteojo, y la otra mitad, con los
tomillos niveladores.
252
4.
Curso básico de topografía
La regla debe ser paralela a la directriz del nivel.
Revisión:
"~ff
~
Se c~ntra la burbuja del nivel y se hace girar el anteojo 180 0 , debiendo
quedar centrada la burbuja en esta segunda posición.
Ajuste:
Si la burbuja no queda en el centro después del giro de 180 0 que
se dio al anteojo, se corrige la mitad de la desviación de la burbuja con
los tomillos de los soportes, y la otra mitad con los tomillos niveladores.
Condiciones que debe reunir un nivel tipo inglés
1.
Un hilo de la retícula debe ser horizontal; es decir, perpendicular al
eje de rotación.
La revisión y el ajuste se ejecutan como en el nivel tipo americano.
2.
La directriz del nivel debe ser paralela a la regla.
Revisión:
Se centra la burbuja y se da un giro de 180 0 al anteojo. En esta nueva
posición la burbuja debe quedar en el centro.
Ajuste:
Si la burbuja no queda centrada, la mitad de la desviación se corrige
con el tomillo de ajuste del nivel y la otra mitad con los tomillos niveladores.
3.
La directriz del nivel debe ser paralela a la línea de colimación..
Revisión:
Se marcan dos puntos fijos, a una distancia de unos 100 metros uno
de otro, en un terreno sensiblemente plano.
Se instala el instrumento a igual distancia de los dos puntos, se nivela
y se toman lecturas en estadales colocados en dichos puntos. (Fig. NQ 113.)
La diferencia de lecturas dará el desnivel entre los puntos y este
desnivel será el verdadero aunque el aparato esté incorrecto, por estar
a igual distancia de los dos puntos, ya que los errores que se producen
en ambas lecturas son iguales.
Se traslada el instrumento a uno de los puntos y se acerca lo más
posible al estadal, para tomar una lectura prácticamente sin error. Esta lec-
Altimetría o nivelación
253
estadales
1.518
t-______~:x:7-------D--1.723
--- - -- ------.---1-
Figura 118
tura se toma visando por el objetivo y con el ocular hacia el estada!. Con
esta lectura y el desnivel se calcula lo que deberá leerse en el otro punto.
(Fig. NQ 114.)
..Ajuste:
En 'caso de no observar en el otro punto la lectura calculada, se sube
o se baja la retícula hasta que marque dicha lectura.
1.5
L=?
100 m aprox.
Figura 114
B
254
Curso básico de topografía
Este ajuste se comprueba cambiando de altura de aparato en el mismo punto o bien instalando el instrumento en el otro punto y repitiendo
la operación.
EJERCICIO:
Con los datos de las figuras anteriores, que corresponden a las operaciones realizadas en el campo, para revisar y ajustar un nivel tipo inglés,
a fin de que la directriz del nivel sea paralela a la línea de colimación,
calcule:
a) El desnivel entre los puntos A y B de la figura NQ 113.
b) La lectura que deberá tomarse en el punto B, si el nivel está
correcto. (Fig. NQ 114.)
SOLUCIÓN
a)
b)
= lectura en B - lectura en A = 1.723 - 1.518 =
Lectura en B == lectura en A + h = 1.582 + 0.205 =
h
0.205 m
1.787 m
Errores en la nivelación
Algunos de los errores que comúnmente ocurren en los trabajos de
nivelación son:
Error
Error
Error
Error
Error
por curvatura de la Tierra y refracción atmosférica.
por no estar vertical el estada!.
por no estar centrada la burbuja del nivel.
por reverberación.
de apreciación de fracciones en las lecturas del estad al.
1.- Objetivo.
2.- Ocultar del anteojo.
3.- Ocultar del nivel de coincidencia.
3~
4.- Tomillo de enfoque.
5.- Tornillo de presión del movimiento
2
azimutal:
6.- Tomillo tongencial del movimiento
azimutal.
7
7.- Tomillo de inclinación.
8. Espejo orientable.
9. Tomillos niveladores.
10. Tripié.
~f
.5
Figura 115
6
9
-lO
Altimetría o nivelación
1.
255
Error por curvatura de la Tierra y refracción atmosférica.
Se comete un error por curvatura de la Tierra cuando se dirige una
visual a un estadal para tomar una lectura; pero por la refracción atmosférica los rayos luminosos son desviados, cometiéndose un error por refracción que disminuye ,el de curvatura, como puede verse en la figura
siguiente.
nivel aparente de A
-visual desviada por refracción 1\1
R
o
Figura. 116
A = estación
h = desnivel entre A y B.
B = punto visado
R = radio terrestre
MP = error por curvatura de la Tierra = Ec
MN = error por refracción atmosférica = E,.
NP = error total = MP - MN = E
E
=
E, - E.
Error por curvatura y refracción
I
= Error por curvatura - Error por refracción
a)
Error por curvatura de la Tierra.
En el triángulo rectángulo OAM, se tiene:
AM2
=
OM2 - OA:2
256
Curso básico de topografía
pero:
J AM
.~
D = distancia entre los puntO's A y B
1 OM = OP
l OA =R
+ MP
= R
+ Ec
luegO':
D2
=
(R
+ Ec)2
=
- R'2
R2
+ 2R . Ec + El
- R2
y, considerandO' que Ec2 es muy pequeñO', puede despreciarse su valO'r sin
cometer un errO'r apreciable y, entO'nces queda:
D2
=
2R· Ec
~ff
D2
Ec
b)
=
~
®
2R
Error por refracción atmosférica.
Si en el mismO' triángulo OAM (Fig. NQ 116), pO'r un razonamiento
semejante, en vez, del radiO' de la Tierra se toma 7R que es un valO'r
aproximado del radiO' de curvatura de IO's rayos refractados, se encuentra:
AM2
=
(7R
y si se desprecia
+ Er)2
E;
-
(7R)2
=
(7R)2
+ 14R· E + El 1•
(7R)2
por ser muy pequeñO' su valor, queda:
D2 = 14R ·Er
D2
Er =
14.R
®
Si se sustituyen los valores hallados para Ec y Er, en la igualdad (D, se
obtiene:
.
E
=
D2
D·2
2R -
14R
=
1)
D·2 (
2R
1- 7
6D·2
= 14R
=
D2
0.43
R
y, pO'r últimO', tomandO' el valO'r del radiO' terrestre: R = 6340000 m
se encuentra:
E = 0.000 000 0.67
D2/
E = errO'r pO'r curvatura de la Tierra y refracción atmO'sférica, en metros.
D = distancia entre los puntO's, en metros.
A,l timetría o nivelación
257
EJERCICIO:
Calcule el error por curvatura y refracción, cuando la distancia entre
la estación y el punto visado es de 500 metros.
DATOS:
D = 500 m
E =?
SOLUCIÓN
E
E
=
=
0.000000067 D"2 = 0.000 000 067 (500)2
0.017 m
En los trabajos de nivelación directa el error por curvatura y refracción
no es apreciable, porque las visuales son del orden de 100 metros; sin embargo, para evitar que este error se haga acumulativo es conveniente que
las visuales tengan, aproximadamente, la misma longitud.
2.
Error por no estar vertical el estadal.
Para evitar este error se imprime al estad al un movimiento de vaivén,
hacia adelante y hacia atrás ("bombeo"), para que el operador tome la
mínima lectura, que corresponde al paso delestadal por la vertical (Fig.
NQ 117), o se usa un nivel especial para estada!.
Figura 117
3.
Error por no estar centrada la burbuja del nivel.
Para evitarlo conviene llevar la burbuja al centro, después de haber
apuntado el anteojo al estadal, antes de hacer la lectura. En algunos niveles
17
258
Curso básico de topografía
europeos y norteamericanos el control de la burbuja se facilita mediante
un tornillo que permite pequeños movimientos de inclinación del anteojo.
4.
Error por reverberación.
~ff
~
Es debido a que el suelo al estar más caliente que el aire, produce
corrientes de abajo hacia arriba, que hacen que la imagen del estadal
oscile. En virtud de no poder evitar este fenómeno, conviene" no tomar
lecturas menores de 10 cm en el estada!.
5.
Error de apreciación de fracciones en las lecturas del estadal.
NIVELACIÓN DIFERENCIAL
Se llama así a la nivelación que tiene por único objeto determinar la
diferencia de elevación 'e ntre dos o más puntos del terreno sin tomar en
cuenta distancias.
La nivelación diferencial puede ser simple o compuesta.
Nivelación simple
La nivelación diferencial es simple cuando el desnivel entre dos puntos
puede obtenerse haciendo solamente una estación con el instrumento. Este
caso se presenta cuando los puntos cuyo desnivel se desea conocer no están
separados por una distancia mayor de 200 metros y el desnivel entre los
mismos no es mayor que la longitud del estadal.
EJEMPLO:
Para determinar el desnivel entre los puntos A y B (Fig. NQ 118), se
estaciona el instrumento a igual distancia de ambos puntos, para eliminar
los errores por curvatura de la Tierra y refracción atmosférica, y se toman las lecturas de estadal en A y B.
El desnivel se obtiene por la diferencia de las lecturas de estadal hechas
en A y B.
LA
= lectura
de estadal en el punto A.
LB
= lectura
de estadal en el punto B.
h
= desnivel
7\
= altura de instrumento.
~
entre A y B.
$~Jnla/
El desnivel entre A y B, en este ejemplo, es:
h
:=
LA - LB
=
2.108 - 1.583
=
+0.525 m
Altura de instrumento es la elevación de la línea de colimación con
respecto al plano de comparación y no la altura del anteojo con respecto
al suelo del lugar donde esté instalado el instrumento.
259
--
260
urso básico de topografía
estadales
LB
LA
~w!t~~~AwAVJi~1!'1 Jhr\
200 m aprox.
plano de comparación
Figura 118
Se indica por las iniciales AJ. o con la figura
7\.
Lectura atrás es la que se hace en el estadal colocado sobre un punto
de elevación conocida y se indica con signo positivo.
Lectura adelante es la que se toma en el estad al sobre un punto de
elevación desconocida y se indica con signo negativo. En este ejemplo:
h = lectura de atrás - lectura de adelante.
Si la diferencia resulta positiva indicará que el punto de adelante está
más alto que el punto de atrás y viceversa.
Las lecturas atrás y adelante se indican con signos positivo y negativo,
respectivamente, porque la primera se SUMA a la elevación del punto
donde se hace la lectura para obtener la ALTURA DE INSTRUMENTO, Y la
segunda se RESTA de la altura del instrumento para determinar la ELEVACIÓN
del punto donde se hace la lectura.
En el ejemplo anterior, se da la cota de A, por tanto, la lectura del
estad al en este punto debe sumarse a la cota del mismo, para obtener la
altura del instrumento; y la lectura hecha en el punto B se restará de la altura del instrumento para hallar la cota de B.
Las operaciones pueden disponerse como sigue:
Cota A =
~ff
~
84.153 m
2.108 "
7\ 86.261"
:- 1.583 "
Cota B =
84.678"
+
Nivelación diferencial
261
Cuando se conoce la ELEVACIÓN o COTA del punto A y se desea obtener
la correspondiente al punto B, se emplea la siguiente fórmula:
COTA
B
=
COTA
A -+- DESNIVEL ENTRE A Y B
En el ejemplo propuesto el desnivel resultó positivo, lo que indica que
el punto B o de adelante está más alto que el punto A o de atrás, luego:
COTA
B
=
84.153
+ 0.525 =
84.678 m
Nivelación compuesta
Cuando no puedan cumplirse las condiciones señaladas para la nivelación simple porque los puntos extremos de la línea cuyo desnivel se desea
conocer estén muy lejanos uno de otro, o hay obstáculos intermedios, entonces d desnivel se obtiene por medio de una nivelación compuesta, que
consiste en repetir la operación indicada para la nivelación simple, tantas
veces como sea neCesario, estableciendo puntos intermedios denominados
puntos de liga (P.L.) donde se hacen dos lecturas en el estadal, una adelante y otra atrás.
Los P.L. deben ser puntos definidos y se establecerán empleando objetos
naturales o artificiales como rocas, troncO's de árboles, estacas con clavos
o grapas y marcas pintadas o -labradas con cincel.
La nivelación diferencial compuesta requiere una serie de cambios de
instrumento a lo largo de la ruta general y, para cada cambio, una lectura
atrás en el estada: colocado sobre un punto de elevación conocida y otra
lectura adelante al punto de elevación desconocida.
El trabajo yel registro se llevan como se indica en el ejemplo siguiente (Fig. NQ 119):
BN - 1 representa un banco de nivel de elevación conocida y BN - 2
un banco que se va a establecer.
Se desea determinar la elevación de BN - 2.
Un estadal se coloca sobre BN - 1; el instrumento se instala en un lugar conveniente, como A, a lo largo de la ruta general, pero no necesariamente en la línea directa que une BN - 1 a BN - 2. El nivelador hace
la lectura atrás eD el estadal colocado en BN - 1, anotándola en el registro
de campo.
Luego, elestadalero se dirige hacia adelante y, según las indicaciones
del nivelador, marca un punto de liga (PL 1 ), sobre el cual coloca el
estadal para que el nivelador haga ahora la lectura adelante y la anote
también en el registro.
En seguida, el nivelador instala el instrumento en otro punto, como B,
Y toma una lectura atrás en el estadal colocado sO'bre PL1 ; después el estadalerO' va a establecer un segundo punto de liga (PL:.J , Y el nivelador hace
la lectura adelante en el estadal colocado sobre PL2; y así se va repitiendO'
el procedimiento, hasta llegar a BN - 2.
262
Curso básico de topografía
+
0.943
~ff
.5
estad al
nivel
1.874
ota PL2
cota PLl
elevo BN-l =
plan
paraClon
Figura 119
En la figura NQ 119 se ve que si se suman la lectura atrás y la elevación del punto en que se tomó, se obtiene la altura del instrumento; y
que si se resta a la altura del instrumento la lectura adelante, se determina la elevaciór. del punto sobre el cual se tomó la lectura.
Además, la diferencia entre la lectura atrás, tomada en un punto de
elevación conocida, y la lectura adelante, tomada en el punto siguiente,
es igual al desnivel entre los dos puntos. De esto se infiere que la diferencia
entre la suma de todas las lecturas atrás y la suma de todas las lecturas
adelante, da el desnivel entre los bancos de nivel BN - 1 Y BN - 2.
Registro de campo
Lugar: México, D. F.
Fecha: 24-ABR-72
Niveló: Alejandro García L.
Nivelación diferencial
Est.
+
BN -1
PL - 1
PL-2
BN- 2
1.874
2.108
0.943
4.925
7\
-
0.912
0.714
1.819
3.445
Cotas
Notas
209.776 Monumento de concreto, a 25.50 m
a la izquierda de Est. 7 + 280 del Camino Sola de Vega-Juquila.
Nivelación diferencial
263
En la página izquierda de la libreta de campo, se anotan los datos
numéricos y la página derecha se reserva para descripciones de bancos
de nivel y estaciones, a fin de que puedan encontrarse en el campo sin
dificultad.
Las alturas de instrumento y las elevaciones de las estaciones pueden
calcularse en el gabinete, a menos que las elevaciones se necesiten durante
el trabajo que se está desarrollando o para comprobación del mismo.
El cálculo de las alturas de instrumento y las elevaciones puede disponerse de la manera siguiente:
Elev. BN - 1 =
209.776
+
7\=
1.874
211.650
=
0.912
210.7.38
Elev. PL - 1
7\
Elev. PL - 2
7\
Elev. BN - 2
=
+
=
altura de instrumento en A
2.108
212.846 ~ altura del instrumento en B
0.714
212.132
=
=
~
+
0.943
213.075 ~ altura del instrumento en
e
1.819
211.256
La comprobación del cálculo de las alturas de instrumento y las elevaciones, se conoce generalmente como "comprobación aritmética" y se realiza como sigue:
Se suman todas las lecturas (1+); se suman todas las lecturas (-);
la diferencia entre estas dos sumas debe ser igual a la diferencia entre las
elevaciones de la última y primera estación.
En el ejemplo propuesto, la comprobación aritmética es:
-
¡ Lecturas (+) = 4.925
~ Lecturas (-) =
3.445
h = -+-1:--.4""-::"8--:::-"0 m
-
Elev. B.N. - 2 (llegada) =
Elev. B .N . - 1 (salida) h =
211.256
209.716
+ 1.480 m
264
Curso básico de topografía
PROBLEMAS
1.
Con los datos del registro de campo siguiente:
a)
b)
Determine las alturas de instrumento y las elevaciones.
Haga la comprobación aritmética de las operaciones.
Lomas de Sote/o, D. F.
30-AGO-70
Niveló: Enrique Cárdenas L.
Nivelación diferencial
+
Est.
BN
PL
PL
PL
BN
-4
- 1
-2
- 3
- 5
0.871
0.745
0.659
0.511
SUMAS
2.786
7i
-
74.278
-
-
Orilla camino viejo
I
------- -- - - ----
Cálculo de alturas de
instrumento y elevaciones.
Cota BN - 4 = 74.278
+ 0.871
7\ = 75.149
- 2.433
Cota PL - 1 = 72.716
+ 0.745
7\ = 73.461
- 1.917
Cota PL - 2 = 71.544
+ 0.659
7\ = 72.203
- 1.614
Cota PL - 3 = 70.589
+ 0.511
7\~ "7i.100
- 1.518
Cota BN - 5 = 69.582
I
Sobre grapa, en tronco de cedro
SOLUCIÓN
a)
.
Notas
Cotas
2.433
1.917
1.614
1.518
7.482
I
b)
Comprobación aritmética.
= 2.786
= 7.482
-=-4.696 m
-
¡ Lecturas (, +)
¡ Lecturas (-)
h
-
Cota BN - 5 = 69.582
Cota BN - 4 = 74.278
h =-4.696 m
~ff
~
Nivelación di'erencial
2.
265
Con los datos de la figura N<? 120:
b)
Elabore el registro de notas.
Calcule las elevaciones de los PL y ..._3_.1_8_8_----E-:-0.....8_6_5_~
e)
Haga la comprobación del cálculo .
a)
J
.129
h
2.451
Elev. BN-10 = 504.018 m.
Figura 120
Elev. BN - 1
= 504.018
ID
SOLUCIÓN
Est.
+
7\
BN - 10
PL-1
PL- 2
PL- 3
2.451
3.129
3.188
506.469
509.366
512.411
SUMAS
8.768
comprobación aritmética:
¡ Lecturas (+) =
8.768
- ¡ Lecturas (-) = 1.240
h = +7.528 ro
-
0.232
0.143
0.865
1.240
Cotas
504.018
506.237
509.223
511.546
266
Curso básico de topografía
-
3.
Cota PL - 3 (llegada) =
Cota BN - 10 (salida) =
h=
511.546
504.018
+ 7.528 rn
Completar el registro de nivelación que sigue, comprobando las
operaciones.
Est.
BN - 1
PL - 1
PL - 2
PL - 3
BN- 2
+
1.038
2.479
1.823
1.694
7\
-
Cotas
100.000
0.876
2.256
1.168
1.699
~ff
~
Comprobación de una nivelación
El trabajo de campo de una nivelación puede comprobarse por alguno
de los procedimientos siguientes:
a) Repitiendo la nivelación en sentido contrario, ya sea siguiendo la
misma ruta u otra distinta. Este procedimiento tiene la ventaja de que
al repetir la nivelación en dirección contraria, se pueden eliminar ciertos
errores de acumulación.
b) Por medio de dos nivelaciones llevadas al cabo en el mismo sentido, pero con distintos puntos de liga. Este procedimiento empleado para
comprobar una nivelación se llama de doble punto de liga, porque se eligen dos series de puntos de liga, de tal manera que se tenga la misma
altura de instrumento en ambas series de observaciones, pero diferentes
lectura:> de estada!.
c) Por doble altura de ap'arato, ejecutando a la vez dos nivelaciones
en igua~ dirección con los mismos puntos de liga, pero con diferentes alturas de instrumento.
Los dos últimos procedimientos son útiles cuando las líneas de nivelación son muy largas y no se quiere regresar al punto de partida.
Como al efectuar la comprobación de una nivelación, se obtienen dos
valores para el desnivel total, el valor más probable es el promedio de
los dos resultados o media aritmética.
El error de cada nivelación es la diferencia entre cada uno de los
desniveles obtenidos y el valor más probable del desnivel.
Nivelación dilerencial
267
Tolerancias en nivelaciones topográficas comunes
Nivelaciones
Tolerancias, en metros
T
DE IDA Y REGRESO
P
=
P
=
yP
=
+0.015
yP
Doble de la distancia recorrida, en km.
T
POR DOBLE ALTURA
+0.01
Suma de las distancias recorridas en una y otra
dirección, en kilómetros
T
POR DOBLE PUNTO
DE LIGA
=
=
+0.02
vI>
DE APARATO
P
ENTRE DOS PUNTOS
DE COTAS CONOCIDAS, para nive-
=
Doble de la distancia recorrida, en km.
T= +0.02
P
=
yP
Distancia recorrida de un banco al otro, en km.
lar bancos intermedios
PROBLEMAS
1.
Para establecer el BN - 2 se corrió una nivelación diferencial a
partir del BN - 1, de cota 100.000 m.
La comprobación de la nivelación se hizo por el procedimiento ,
de doble altura de aparato, obteniéndose los datos de los registros
siguientes:
a)
Calcule las cotas de los P.L. (s) y del BN - 2.
b)
Compruebe el cálculo de cotas.
e)
Determine el error en la nivelación.
d)
Calcule la tolprancia, sabiendo que la distancia entre los B.N.
es 125.00 m.
e)
Obtenga la cota definitiva para el BN - 2.
268
Curso básico de topografía
DATOS:
1<:1 posición
2<:1 posición
+
P.V.
BN-1
1.193
1.901
1.916
1.719
PL - 1
PL - 2
PL - 3
BN-2
6.729
SUMAS
Cotas
-
7\
P.V.
100.000 BN-1
PL - 1
1.147
PL- 2
2.535
PL - 3
1.495
BN-2
1.926
SUMAS
7.103
SOLUCIÓN
Cálculo de cotas de los P.L.(s):
a)
Cota BN - 1
= 100.000
+ 1.193
7\ = 101.193
Cota
Cota
Cota
Cota
1.147
PL - 1 = 100.046
+ 1.901
7\ = 101.947
2.535
PL - 2 = 99.412
+ 1.916
7\ = 101.328
1.495
PL - 3 = 99.833
"+ 1.719
7\ = 101.552
1.926
BN - 2 = 99.626
+
-
7\
1.423
1.999
2.047
1.825
7.294
¡ Lect (+)
=
-2; Lect (-) -:
h
=
2 =
6.729
7.103
- 0.374 m
Cota BN 99.626
Cota BN - 1:;=: 100.000
·h = - 0.374 m
h
= desnivel entre los bancos BN
I
100.000
1.377
2.633
1.628
2.028
7.666
.
~ff
~
100.000
+ 1.423
101.423
1.377
100.046
+ 1.999
102.045
2.633
99.412
+ 2.047
101.459
1.628
99.831
+ 1.825
101.656
2.028
99.628
Comprobación aritmética:
b)
CottM
7.294
7.666
0.372 m
99.628
-100.000
0.372 m
- 1 Y BN - 2.
1
N ivelación diferencial
c)
269
Error en la nivelación.
El valor más probable para la cota del BN - 2, es:
cota BN - 2
= 99.626 ~ 99.628 = 99.627 m
y el error:
99.626 - 99.627 = -0.001 m
E= {
99.628 - 99.627 = +0.001 m
( 1~ posición)
(2~
posición)
E = +0.001 m
d)
Tolerancia en la nivelación:
La comprobación de la nivelación se hizo por doble altura
de aparato, por tanto, se aplica la fórmula:
T
=
+0.02
yP
siendo P el doble de la distancia recorrida, en kilómetros.
P
= 2(.125) =
T
= +0.02 Y0.250 .
0.250 km
luego:
+0.010 m
E<T
e)
Cota definitiva para BN - 2:
El error resultó menor que la tolerancia, lo cual indica que
el trabajo se ejecutó correctamente y, por consiguiente, se adoptará como cota definitiva para el BN ·- 2, el promedio de las
cotas obtenidas o valor más probable.
COTA BN
2.
-.·2 ::::: 99.627 m
En la nivelación ·entre dos puntos, por doble punto de liga, se
tomaron las lecturas de estadal que aparecen en los registros de
campo siguientes:
Curso básico de topografía
270
+
P.V.
-
7\
BN-l
PL - 1
PL- 2
PL - 3
BN-2
1.252
1.507
0.196
0.183
SUMAS
3.138
---
1.075
0.223
0.384
0.563
2.245
--
Cotas
P.V.
+
115.217 BN-1
PL - 1
PL- 2
PL - 3
BN- 2
1.252
1.591
0.309
0.702
SUMAS
3.854
-
7\
Cotas
115.217
1.149
0.582
0.671
0.563
2.965
----
La distancia del BN - 1 al BN - 2 es de 290.00 m.
a)
b)
c)
d)
e)
Calcule las cotas de PL(s) y BN - 2.
~ff
Haga la comprobación aritmética.
Determine el error en la nivelación.
~
Calcule la tolerancia, y
Obtenga el valor más probable para la cota del BN - 2.
SOLUCIÓN
a)
Cálculo de las cotas de los P.L.(s) y del BN - 2:
cota BN - 1 = 115.217
1.252 *
7\ = 116.469
1.075
1 = 115.394
+ 1.507
7\= 116.901
0.223
2 = 116.678
0.196
+---7\= 116.874
0.384
3 = 116.490
+ 0.183
7\= 116.673
0.563 *
2 = 116.110
cota BN - 1 = 115.217
'+
cota PL -
+
7\ =
cota PL - 1
=
+
7\ =
\
cota PL -
cota PL -
cota BN -
*
cota PL
~.
2
=
+
7\
=
cota PL - 3
=
+
7\=
cota BN - 2
=
1.252 *
116.469
1.149
115.320
1.591
116.911
0.582
116.329
0.309
116.638
0.671
115.967
0.702
116.669
0.563 *
116.106
La primera y la última lecturas son iguales en ambas nivelaciones.
.
Nivelación diferencial
b)
Comprobación aritmética;
¡ Lect (+) =
3.854
- ¡ Lect (~) =
2.965
h = -+~0.-=8-=-89'="' m
¡ Lect (+) =
3.138
- ¡ Lect (~) = 2.245
h = --:+--=0,--,.8,. . ",. 9-=-3 m
-
cota BN
cota BN
~
~
h
e)
271
2 = ,116.110
1=
115.217
h = + 0.893 m
= desnivel
cota BN - 2 =
116.106
-cota BN - 1 = 115.217
h = + 0.889 m
entre BN - 1 Y BN - 2.
Valor más probable para la cota del BN - 2:
cota BN - 2 = 116.110 ~ 116.106 = 116.108 m
d)
Error en la nivelación:
E=
e)
I
116.110 - 116.108 = +0.002
{ 116.106
~
116.108 = -0.002
E
==
±0.OO2 m
Tolerancia en la nivelación:
T
=
+0.015
V 0.580
= +0.011
ID
E ·< T
3.
Con los datos del registro siguiente:
Calcule las cotas de los P.L(s).
b) Compruebe el cálculo, y
e) Determine el error, indicando si está dentro de la tolerancia
establecida.
a)
P.v.
+
BN-l
PL - 1
PL- 2
PL - 3
PL- 4
BN-l
1.003
2.545
1.331
1.250
3.702
SUMAS
9.831
7\
-
3.124
2.655
1.953
1.393
0.701
9.826
Cotas
Notas
40.485
Monumento de concreto,
Desarrollo de la línea
nivelada = 0.720 km
1
272
Curso básico de topografía
SOLUCIÓN
a)
Cálculo de las cotas de los P.L.(s):
cota BN - 1
= 40.485 * * Cuando partiendo de un punto
+
7\
=
cota PL - 1 =
+
7\=
cota PL - 2 =
+
1.003
41.488
3.124
38.364
2.545
40.909
2.655
38.254
1.331
39.585
1.953
37.632
1.250
38.882
1.393
37.489
3.702
41.191
0.701
40.490 *
_ .
7\ =
cota PL - 3
=
+
7\
cota PL - 4
=
=
+
7\ =
cota BN - 1 =
b)
.~
-~
de cota conocida, se vuelve a él
después de una serie de estaciones, se debería, teóricamente,
encontrar como resultado final
la cota de partida, pero generalmente se encuentra una diferencia que se denomina ERROR DE
CIERRE.
c)
~-
Error en la nivelación:
E = cota llegada - cota salida
E = 40.490 - 40.485 = 0.005 m
T = -+-0.01 ,¡-0.720 = -+-0.008 m
El trabajo se ejecutó correctamente, puesto que:
E<T
Comprobación del
cálculo:
Lect (.+) =
Lect ( - ) =
Dif. =
9.831
9.826
+ 0.005 m
~%
~
cota BN - 1 (llegada) = 40.490
- cota BN - 1 (salida) = 40.485
Dif. = 0.005 m
NIVELACION ,D E PERFIL
En la nivelación de perfil el objeto es encontrar las elevaciones de
puntos a distancias conocidas, obteniéndose el perfil del terreno a lo largo
de la línea de nivelación.
Nivelación diferencial
273
Durante la localización y trazo de caminos, ferrocarriles, canales, etc.,
se colocan estacas a intervalos regulares para materializar el eje de la
vía de comunicación de que se trata. Ordinariamente, el intervalo entre
estacas es de 20 m y los puntos colocados a cada veinte metros desde el
principi:> de la línea se llaman estaciones completas.
El trabajo de campo en la nivelación' diferencial y en la nivelación de
perfil, es casi' el mismo; la diferencia principal es que en la primera, todas
las estaciones son puntos de liga, mientras que en la segunda hay estaciones intermedias. Además, en la nivelación de perfil, se miden las distancias entre las estaciones intermedias.
En los BN y PL el estadal se coloca sobre la varilla, estoperol o grapa
de estos puntos, se le imprime' movimiento de vaivén, hacia adelante y
hacia atrás para tomar la mínima lectura y ésta se aproxima al milímetro;
en cambio, en las estaciones intermedias, el estad al se coloca en el terreno
porque éste es el dato que se necesita, manteniéndolo vertical a ojo y las
lecturas se toman generalmente al centímetro.
En la figura NQ 121 se ilustran en planta y en elevación las operaciones
que se ejecutan para levantar un perfil.
I-L
o
o
Figura 121
18
274
Curso básico de topografía
Supongamos que se trata de un camino. En este caso las estacas se
colocan cada 20 metros.
Se coloca el instrumento en un lugar conveniente A y el estadal, en el
BN - 1, con elevación de 91.049 m y se toma la lectura (1+3.401 m).
Luego se toman lecturas de estadal en las estaciones sucesivas 1 y 2, a lo
largo de la línea. Estas lecturas (2.39 y 1.99) se denominan intermedias
para distinguirlas de las lecturas tomadas en los BN o en los PL y se
anotan en la columna L.I. del registro de nivelación.
Cuando el estadal llega a un punto donde ya no pueden tomarse lecturas en las estaciones intermedias, se elige un PL1 y se hace la lectura
(-0.042) para determinar su elevación.
A continuación se transporta el instrumento hacia un nuevo punto B
donde se instala y se hace la lectura en el PL 1 que se acaba tle colocar.
Se toman las lecturas de las estaciones intermedias (3 y 4) Y se elige un
punto de liga PL 2 , para cambiar al punto e el instrumento; y de esta
manera va ejecutándose el trabajo hasta llegar al punto final de la línea.
El registro de la nivelación de perfil se lleva como se indica en el
ejemplo siguiente:
~ff
.5
Estaciones
+
BN-1
O + 060
+ 080
PL - 1
0+100
+ 120
PL- 2
+ 140
+ 160
PL - 3
+ 180
O + 200
BN-2
3.041
SUMAS ·
7\
-
L.I.
Cotas
91.049
2.39
1.99
3.087
0.042
3.24
0.03
3.908
0.026
3.77
3.12
0.034
3.976
3.85
2.67
14.012
--
3.991
4.093
---
El cálculo de las cotas de los PL y BN - 2, Y la comprobación del
cálculo se efectúan como en la nivelación diferencial.
Las cotas de' las estaciones intermedias se obtienen restando las lecturas intermedias correspondientes de la altura del instrumento y se registran
aproximándolas al centímetro.
Nivelación diferencial
a)
Cálculo de cotas de
~L(s):
cota BN - 1 = 91.049
3.041
+
7\= 94.090
0.042
cota PL -1= 94.048
3.087
+
]\= 97.135
0.026
cota PL - 2 = 97.109
3.908
+
7\ = 101.017
0.034
cota PL - 3 = 100.983
+
3.976
7\ = 104.959
3.991
cota BN - 2 = 100.968
b)
Comprobación aritmética:
¡ Lect (+) = 14.012
--¡ Lect (-) =
4.093
h = + 9.919 m
-
275
Cálculo de cotas de estaciones intermedias:
c)
7\
=
94.09
2.39
91 .70
94.09
1.99
92.10
7\
=
97.14
3.24
93.90
97.14
0.03
97.11
7\
= 101.02
3.77
97.25
101.02
3.12
97.90
7\= 104.96
3.85
101.11
104.96
2.67
102.29
Los resultadO's del cálculO' se anotan
en el registro de la nivelación.
cota BN - 2 =
100.968
cota BN - 1 =
91.049
..
h =--:-+-9".919 m
Construcción de un perfil
Concluidos lO's trabajO's de campo cO'rrespondientes a una nivelación
de perfil, se procede a la cO'nstrucción del perfil.
Una vez calculadas las cotas de tO'dO's lO's puntO's y cO'nO'cidas las distancias horizontales de punto a punto, se dibuja el perfil, generalmente, en
papel milimétrico (Fig. NQ 122).
En el perfil hay que representar dO's clases de distancias: las horizO'ntales, de punto a punto; y las verticales contadas desde el plano de cO'mparaC:0n a las cotas dadas.
Las escalas para representar estas distancias deben ser diferentes. Debe
ser mucho menO'r la hO'rizontal que la vertical para apreciar mejO'r la diferencia de alturas entre lO's puntos del terreno.
276
Curso básico de topografía
Se fija primero la escala horizontal y, por lo general, adoptada ésta,
la escala vertical se hace diez veces mayor. Así pues, si para las distancias
horizontales se toma 1: 1,000, para las verticales será 1: lOO..
Aún cuando es lo común adoptar las escalas en la forma expuesta, no
es indispensable, pues la escala vertical será la que mejor convenga.
~ff
~
terreno natural
ESCALAS:
oriz
ertic
kilometraje
o
+
m
o
o
+
00
o
o
o
o
+
¡....a.
+
¡....a.
+
¡....a.
o
l'V
~
o
Figura 122
o
o
o
+
¡....a.
·m
o
+
¡....a.
00
O
o
+
l'V
O
o
Nivelación diferencial
277
PROBLEMAS
l.
Con los datos del registro de nivelación siguiente:
a)
Calcule las elevaciones de los PL(s) y de' las estaciones intermedias.
b)
Compruebe el cálculo.
e)
Construya el pedil correspondiente (escalas: horizontal 1: 1,000
y vertical 1: 100) .
Estaciones
+
7\
BN - 3
1.003
41.488
1 + 460
+ 480
1 + 500
+ 520
+ 540
+ 560
+ 580
1+600
PL - 1
+ 620
+ 640
+ 660
+ 680
1 + 700
+ 720
+ 740
PL - 2
+ 760
+ 780
1+800
+ 820
+ 840
+ 860
+ 880
1 + 900
PL - 3
+ 920
+ 940
+ 960
L.I.
1.08
1.25
1.36
1.50
1.72
2.05
2.56
3.15
0.545
38.909
3.124
1.18
1.69
2.04
2.27
2.43
2.57
2.65
1.331
37.585
2.655
1.34
1.32
1.35
1.40
1.61
1.51
1.77
1.97
1.250
36.882
1.953
1.14
1.16
1.54
BN-4
SUMAS
-
4.129
1.393
9.125
Cotas
40.485
40.41
40.24
40.13
39.99
39.77
39.44
38.93
38.34
38.364
37.73
37.22
36.87
36.64
36.48
36.34
36.26
36.254
36.25
'36.27
36.24
36.19
35.98
36.08
35.82
35.62
35.632
35.74
35.72
35.34
35.489
278
Curso básico de topografía
comprobación aritmética:
~
-~
4.129
Lect (+) =
Lect (-) = 9.125
h = -4.996 m
h
=
-
desnivel entre BN - 3
cota BN - 4
cota BN - 3
h
= 35.489
= 40.485
= - 4.996
m
Y BN - 4.
SOLUCIÓN
Los resultados del cálculo aparecen en el registro anterior.
2.
Con los datos de la figura N<? 123:
a)
Elabore el registro de notas.
b)
Calcule las cotas de los PL.
c)
Haga la comprobación aritmética del cálculo, y
d)
Obtenga las cotas de . los puntos intermedios.
~ff
~
M
1.0
~
I
OQ
ftUoI• I ro!
CJ:J.
PL-l
Cota BN - 1 = 508.715 m
Figura 128
~
~I
M
tM
I~
,.....,
c.o
~I
~l
~
.::z:..
M
o
cv:l
Nivelación diferencial
279
SOLUCIÓN
a)
Registro de notas:
P.V.
-
+
BN-l
7\
b)
Cálculo de las cotas de los PL:
Cotas
0.751
508.715
a
0.98
1.36
b
PL - 1
e
d
PL- 2
e
= 508.715
+ 0.751
7\ = 509.466
BN - 1
COTA
L.l.
1.209
2.314
COTA
PL
COTA
PL
2.06
1.25
1.516
1.289
1.61
1.49
f
PL - 3
2.113
1.417
g
1.92
1.51
h
PL-4
SUMAS
c)
1.306
5.221
6.694
COTA
PL
COTA
PL
1.209
-.1 = 508.257
+ 2.314
7\ = 510.571
1.289
- 2 = 509.282
+ 1.516
7\= 510.798
1.417
- 3 = 509.381
+ 2.113
7\ = 511.494
1.306
- 4 = 5io.188
Comprobación aritmética:
Metros
¡ Lect (+) =
- ¡ Lect (-) =
Diferencia =
d)
6.694
5.221 + 1.473
= 509.47
7\
=
cota a
0.98
508.49
cota c
=
7\
= 509.47
7t
=
cota b
1.36
508. f1
=
cota PL - 4 (llegada) =
cota BN - 1 (salida) Diferencia =
510.188
508.715
+ 1.473
Cálculo de las cotas de los puntos intermedios:
7\
=
Metros
cota d
=
510.57
2.06
508.51
510.57
1.25
509.32
7\ "--
cota e
=
7'\
=
cota f
=
510.80
1.61
509.19
7\=
cota g
=
510.80
7\
1.49
509.31 cota h
=
=
511.49
1.92
509.57
511.49
1.51
509.98
Las alturas de instrumento y las cotas calculadas deben anotarse en el
registro de la nivelación.
'.
"
NIVELACIÓN TRIG,O NOMÉTRICA
La nivelación indirecta o trigonométrica tiene por objeto determinar la
diferencia de alturas entre dos puntos, midiendo la distancia horizontal o
inclinada que los separa y el ángulo vertical que forma la línea que les
une con el plano horizontal que pasa por el punto donde se hace la observación.
En la topografía ordinaria la nivelación trigonométrica proporciona un
medio rápido de determinar los desniveles y las cotas de los puntos en terreno quebrado.
Este método se basa en las propiedades trigonométricas de los triángulos
rectángulos. (Fig. NQ 124.)
B
h
A
e
Dh
Figura 124
Dr = distancia real entre A y B
= distancia horizontal entre
h = desnivel entre A y B
Dh
a
= ángulo
A y B
vertical o de inclinación del terreno.
Cuando se miden el ángulo ve'ftical y la distancia inclinada o real, el
desnivel se obtiene por medio de la fórmula:
h
= Dr· sen
la
(1)
281
Curso básico de topografía
282
y si los datos son el ángulo vertical y la distancia horizontal, entonces el
desnivel se halla aplicando la fórmula:
h
=
Dh' tan
(2)
a
En los reconocimientos topográficos se emplean aparatos llamados
eclímetros o clisÍmetros para medir ángulos verticales y puede ser usada
también la plancheta de pendientes.
El uso del tránsito está reservado para las invelaciones trigonométricas
de precisión.
Eclímetro
~ff
~
Figura 125
El de uso más común consta esencialmente de un tubo para dirigir
visuales (Fig. N9 125), de un nivel de burbuja que puede girar alrededor
de un eje normal al semicírculo vertical que lleva doble graduación, una
exterior para ángulos verticales y otra interior, en tantos por ciento; y
de un vernier cuyo Índice se mueve junto con el nivel y marca en la doble
graduación el valor del ángulo.
uso
del eclímetro:
Se observa a través del tubo el punto que se desea localizar y se mueve
el nivel, por medio de un tomillo, hasta que se vea por reflexión a través
de un espejo inclinado 45 o con respecto al eje del tubo, que la burbuja
queda bisectada por la línea de referencia. Cuando el aparato se encuentra
en esta posición, el Índice señalará el valor del ángulo, en el semilimbo
graduado.
N ivelación trigonométrica
283
Eclímetro de la brú¡ula
Está formado de un nivel de forma tórica al que va unido un índice,
en posición normal al nivel, que sirve para determinar las graduaciones;
de un semilimbo con doble graduación, una en grados sexagesimales y otra
en tantos por ciento; y de una pequeña palanca de cabeza fresada que se
encuentra en la cara inferior de la caja de la brújula, en el exterior del
aparato.
Para dirigir visuales se usan como elementos de puntería la pínula ocular
de la brújula y la línea o referencia marcada en la parte no azogada de
.la tapa del aparato. (Fig. NQ 126.)
espejo
semilimbo graduado
pínula ocular
línea de referencia en la parte
no azogada
uso
Figura 126
del eclímetro de la brújula:
Para medir un ángulo vertical con este aparato, se toma la brújula con
la mano izquierda y en posición vertical, colocando el espejo de la tapa
con una inclinaciór- aproximada de 45 o con relación al plano del limbo
y se visa la señal colocada en el punto dado a una altura igual a la que
tiene sobre el suelo el ojo del observador. Esta visual se dirige acercando
el ojo a la perforación de la pínula ocular y de manera que, haciéndola
pasar por la línea de referencia en la ventana de la tapa, vaya a dar al
punto observado.
Sin dejar de visar el punto, con el dedo medio de la mano derecha
obrando sobre la cabeza de la palanca se hace que la burbuja del nivel
tórico entre en sus referencias y entonces, el índice que va adherido a
dicho nivel marcará el ángulo vertical.
Por reflexión se ve cuando la burbuja ,del nivel queda centrada.
284
Curso básico de topografía
Plancheta de pendientes
Este aparato que también se denomina clisÍmetro de perpendículo está
formado por un semicírculo de cartón, madera o lámina (Fig. NQ 127), o
bien por una tabla o cartón de 25 X 25 cm.
Del punto A, localizado en la parte superior y al centro de su eje
se suspende un hilo con una plomada en el extremo inferior.
El semicírculo o bien ,el borde inferior de la tabla lleva una doble
graduación: grados sexagesimales y pendientes. Cuando el hilo de la plo-
+
25Lcm
pendientes en
%
~~lnff
.5
f
JI..
25 cm
1
Figura 127
mada está en reposo y el borde superior de la plancheta de pendientes
es normal a la dirección del hilo a plomo, el CERO, origen de las graduaciones, quedará coincidiendo con dicho hilo.
Para poder apreciar las pendientes ascendentes y descendentes, las primeras llevan signo (+) y las segundas signo (-).
uso
de la plancheta de pendientes:
El observador dirige una visual, tangente al borde superior de la plancheta, a la marca o señal de la baliza, colocada a la misma altura que
tiene sobre el terreno el ojo del observador, a fin de que la visual sea
paralela al terreno; y sostiene esa posición hasta que la plomada entre
en reposo; luego, con el dedo pulgar de la mano izquierda fija el hilo al
N ivelación trigonométrica
285
cuerpo de la plancheta y mirando las graduaciones toma el valor del ángulo
vertical o el de la pendiente de la línea. (Fig. NQ 128.)
,.,. "
a
a
= estación
'--__ A
B = punto visado
a
= altura
de ojo del observador
a = ángulo vertIcal.
A
Figura 128
PROBLEMAS
1.
En un reconocimiento topográfico se midieron la distancia inclinada a pasos y el ángulo vertical con el eclímetro. Calcular el
desnivel entre los puntos A y B del terreno, con los siguientes
datos (Fig. NQ 129):
Amplitud del paso del topógrafo
te~!!.o_ -
---
vialal par_la al
""'.....c.::-=-==---.- -
= '0.61
m
-
I
.......__'-~ __ .Q-._.
A
90°
Figura 129
~
+
D, _
a -
217~5
~sos
+7 00
h =?
286
Curso básico de topografía
SOLUCIÓN
Dr = 217.5 (0.61)
h
= Dr' sen a =
= 132.68
m
132.68 sen 7°00' = 132.68 (0.1219)
Ih=
2.
+ 16.17
m
I
Para determinar el desnivel entre A y B (Fig. NQ 130), se utilizaron el podómetro y la plancheta de pendientes, obteniéndose los
siguientes datos: AB = .147.50 m y pendiente de la línea AB =
= -10.5%. Calcule el desnivel.
....1IIIlIInlIDlIJJ_~J~~.Y~~~a~..:e~tno
t
hl AJ
-t-----A
Figura 180
-
~ff
SOLUCIÓN
La pendiente de una línea es igual a la tangente trigonométrica
de su ángulo de inclinación :
pendiente AB
= -10.5% =
10.5
=
-0.105
= -tan
100
a =
=
la
= tan
(-a)
-6°
luego:
h = AB sen a
=
147.50 sen (-6 ° )
I
3.
=
h l= -15.41 m
- 147.5 (0.1045)
I
En la figura N<? 131, MN representa un poste de concreto cuya
base tiene 30 cm de diámetro. En el punto A se instala un tránsito
N ivelación trigonométrica
y se miden la distancia AN, el ángulo vertical
a
287
y la altura del
instrumento. Detenninar la altura del poste con los siguientes datos:
/
'"
/
/
/
./'
""
./
/
/
./
d = 30 cm
AN =28.60 m
a = 24°37'
7\ = 1.48 m
h=?
"" ""
./
./
.ddÁ
""
o(
.....rtfUI¡w.Ji. __________ _
Figura 181
SOLUCIÓN
En el triángulo rectángulo A'M'M, por trigonometría, se tiene:
MM'
=
A'M' tan a
MM' = (28.60
MM'
= 13.17
= (
+ 0.15)
AN
+ ~ ) tan
tan 24°37'
=
a
28.75(0.4582)
m
y, en la misma figura vemos que:
h
= MM' + ti. =
\ h
4.
13.17
=
+ 1.48 =
14.65 ro
14.65
I
En el punto B se instaló él tránsito, se niveló y se tomó la lectura
en el estadal colocado en el punto A, de cota conocida. Se tomó,
con auxilio del estadal, la altura del instrumento en B , midiéndose
la distancia Be', por medio de la cinta de acero, y el ángulo vertical a. (Fig. NQ 132.)
288
Curso básico
de topografía
_\
~e1.1.~o
,~ ~ ".......
~..,~e\.;,- ,.....
-\j
r--
-'
~~~~
estadal
o<..
C
I
~
LA
Jj;l--·
C'
Figura 132
~ff
~
DATOS:
Cota A = 128.19 m
Lectura de estad al en A:
Altura del instrumento en B :
Distancia horizontal:
Angulo vertical:
LA =
7\
=
Be' =
a =
2.87 m
1.52 m
52.60 m
+ 19°30'
CALCULAR:
Cota B = ?
Desnivel entre B y C
Cota C = ?
=
h nc := ?
SOLUCIÓN
cota B
=
(cota A + L A) -
I cota B =
7\
=
(128.19 + 2.87) - 1.52
129.54 m
I
En el triángulo rectángulo BC'C, se tiene:
ce'
= h BC
h nc = BC' tan ex = 52.60 tan 19 °30' ,= 52.6(0.3541)
\ h BC
=
+18.63 m
I
h
Be
Nivelación trigonométrica
Cota
e = cota B + hBc =
Cota
5.
e=
129.54
148.17 m
289
+ 18.63
I
Un tránsito se instala en A y se mide su altura sobre el terreno en
ese punto. Después se dirige una visual al punto B, colocando el
hilo medio sobre el estadal a la misma altura que tiene el tránsito
en A y se lee un ángulo vertical de .-4°58'. La distancia horizontal entre A y B es de 238.74 m. ¿Cuál es el desnivel entre
A y B Y cuál la cota del punto B, si la cota del punto A es de
516.42 m? (Fig. NQ 133.)
estad al
A
Figura 133
s O L U e ION
h AB = 238.74 tan 4°58' = 238.74(0.0869)
h AB
cota B
=
=
-20.75 m
cota A - hAB
=
516.42 - 20'.75
cota B = 495.67 m
Determinar la elevación de un punto inaccesible:
Si no se conoce la distancia o es difícil medirla (Fig. NI? 134), pueden
tomarse dos ángulos verticales, uno en A y otro en un punto auxiliar e,
ambos situados en el mismo plano vertical ABB'; se mide la distancia d
y se determina el desnivel h' entre A y C. De esta manera se obtienen
los datos suficientes para calcular el desnivel entre la estación O y el punto
inaccesible B, así como la elevación de B.
290
Curso básico de topografía
",
"",/
~ff
~
,/'"
"'"
,/
"'"
"","'"
/
/
/ /
h
/
/
/
Figura 184
En el triángulO' rectángulo ABB':
= BB'
AB'
cot a
(a)
y, en el triángulo rectángulo CBB':
CB"
=
BB" cot .p
(b)
restando la (b) de la ( a), se halla:
AB' - CB"
=
BB' cot
a -
BB" cot f3
(e)
pero:
AB' - CB"
y:
BB"
=
d
= BB' + h'
valores que sustituidos en la (e) dan:
d
= BB'
+ h') cot ,f3 = BB' cot a d + h' cot {3 = BB'(cot a ~
cot a - (BB'
despejando a BB':
BB'
y, por último:
siendo h el desnivel buscado.
=
h
d + h' col P
cot la - cot f3
=
BB'
+ 7\
BB' cot f3 - h' cot
P
cot f3)
CD
®
Nivelación trigonométrica
291
Caso particular: Si el punto C quedara en el mismo plano horizontal
de A, como se ve en la figura NQ 135, la fórmula CD se simplificaría, ya
que en este caso h' = 0, y se tendría entonces:
BB'
= ___d_ __
cot a - cot f3
A este resultado se llega también procediendo de la manera siguiente:
B
}¡'igura 135
Del triángulo rectángulo ABB' se obtiene:
AB'
y del triángulo rectángulo CBB':
=
BB' cot ,a
(a)
CB'
=
BB' cot {3
(b)
ahora, restando (b) de (a):
AB' - CB'
pero en la figura vemos que:
=
BB' (cot a - cot (3)
AB' - CB'
=
d
luego:
d
1
1
=
BB' (cot
BB'
=
tlX -
cot [3)
d
cot
,a -
cot (3
Curso básico de topografía
292
PROBLEMAS
1.
Calcular el desnivel entre la estación O y el punto isaccesible B,
así como la cota de B, con los siguientes datos (Fig. N9 135):
= + 7 °03'
= + 11 040'
= 20.00 m
7\ 1.60 m
cota Est. O = 192.23 m
h=?
cota B = ?
,a
,(3
d
~ff
~
SOLUCIÓN
20
cot 7 °03' - col 11 °40'
d
BB' = cot
20
a -
cot f3
6.17 m
=
h
=
BB' +
7\
h
=
6.17 + 1.60
= + 7.77
=
7.77 m
m
cota B ;::: cota O + h = 192.23 + 7.77 = 200.00 m
cota B
2.
=
200.00 m
Con los datos de la figura N9 136, encuentre la cota del punto B.
SOLUCIÓN
BB'
= d + h' cot f3 = 23.10 + 1.76 cot 46 °08'
cot ,a - cot f3
BB'
cot 31 °20' - cot 46°08'
= 23.10 + 1.76(0.9613) = 24.7919 = 36 3
- _. - -
h
cota B
- - ---
0.6817
= BB' + 7\ = 36.37 + 1.47 = +37.84
= cota A + h = 614.83 + 37.84
cota B
=
652.67 m
. 7
m
N ivelación trigonométrica
293
h
I
lB'
-f--'=-f~_ . _ .
1.76
In
23.10 m
Elev. A
= 614.83
m
Figura 136
3.
Determine la elevación de B con respecto al punto A (Fig. N9 137) ,
cuando se conocen: 0', f3, 7\, d Y h'.
SOLUCIÓN
En el triángulo rectángulo DB"B:
DB" = BB" cot
(a)
,O'
y en el triángulo rectángulo CB' B :
CB'
=
BB' cot f3
(h)
y si se resta la (h) de la (a):
DB" - CB'
=
BB" cot
10' -
BB' cot f3 =
= BB" cot a - (BB" - h') cot f3
pero:
08"- CW
luego:
d = BB" cot a - BB" cot f3
. '
=
+ h'
=
cot f3 =
BB" (cot a - cot f3)
+ h'
cot f3
294
Curso básico de topografía
B
/Á
,,///
~ff
///
~
,./
//
/
//
//
//
/
//
.~
I
- --tE'
e
d
,. ---- +B"
(
Figura 137
BB"
=
d - h' cot f3
cot a - cot /3
y, finalmente:
Elev. B
=
BB"
+ 7i..
Determinar el desnivel entre dos puntos por el procedimiento de lecturas
recíprocas:
Este método se emplea principalmente en triangulaciones cuyos lados
son muy largos. Los errores por curvatura de la Tierra y refracción atmosférica se eliminan si se miden los ángulos verticales la y f3 ,el primero de
elevación y el segundo de depresión. (Fig. N9 138.) La distancia horizontal
A C se determina por algún método de medida.
El desnivel entre A y B obtenido por medio del ángulo a, medido con
el tránsito en A, es:
(a)
h B = AC tan a
Y si se designa por C la corrección por curvatura y refracción:
h
= hB + e = A C
tan a
'+ C
(b)
Nivelación trigonométrica
ho .Z
1:I Ollt a]
c
295
deB
Su perficie d
nivel de B
-Superficie de
nivel de A
Figura 138
Ahora bien, el desnivel entre A y B, en función de {3, tomado con el
tránsito en el punto. B, es:
hA
=
BE tan
p
(e)
y considerando. la corrección por curvatura y refracción:
h = hA - C
= BE
tan f3 - C
(d)
Si se suman las igualdades (b) Y (d), se halla:
2h = A C tan a
+ BE
tan f3
(e)
pero.:
AC = BE = distancia horizontal entre A y B, que representamos por D
por tanto, de la igualdad (e) se obtiene:
h=
D
2
(tan a
+ tan f3)
PROBLEMAS
1.
Calcular el desnivel entre los puntos A y B, con los siguientes datos (Fig. NQ 138):
D = 1200.00
=
+3°15'
f3 = -3 °17'
a
h =?
ID
296
Curso básico de topografía
~ff
~
SOLUCIÓN
h
D
=2
(tan
h
a
=
+ tan
1200
= -2-
(3 )
600(0.0568
+ tan
•
3 ° 17' )
+ 0.0573) = 600(0.1141)
I h = 68.46
2.
( tan 3 ° 15'
m
I
Con los mismos datos del problema 1, calcule el desnivel, entre los
puntos, primero en función de ,ex y después en función de /3.
Obtenga el desnivel entre A y B, promediando los desniveles
hallados, y compare el resultado con el obtenido en el problema
anterior.
SOLUCIÓN
= D tan
h:! = D tan
h1
h
=
= 1200 tan 3° 15' = 1200(0.0568) = 68.16 m
,(3 = 1200 tan 3 ° 17' = 1200(0.0573) = 68.76 m
h 1 ~ h~
,ex
= 68.16 + 68.76 = 68.46 m
I h = 68.46 m I
Observando la fórmula empleada en el problema 1, se ve que la
solución del problema 2 debe ser la misma que se obtuvo en el
anterior.
NIVELACIÓN BAROMÉ1'RICA
Se llama nivelación barométrica a la que se lleva al cabo por medio
del uso del barómetro.
Como la presión en la atmósfera de la Tierra varía inversamente con
la altura, puede emplearse el barómetro para hacer observaciones de diferencias de elevación.
La nivelaciór.. barométrica se emplea principalmente en los reconocimientos y en los trabajos de exploración, cuando las diferencias de elevación
son grandes, como ~n las zonas montañosas.
Los instrumentos que sirven para medir la presión atmosférica y que
pueden utilizarse para determinar desniveles y alturas son los barómetros
y los termobarómetros.
Barómetros
El barómetro (del griego baros-peso, y metron-medida) es un instrumento que sirve para medir la presión atmosférica y determinar gracias a
ella la altura a que se halla el observador sobre el nivel del mar o prever
aproximadamente las variaciones atmosféricas.
Los barómetros que se utilizan actualmente pertenecen a dos tipos:
a)
Los de mercurio, aplicación directa de la experiencia de Torricelli, y
b)
los metálicos o aneroides, basados en la elasticidad de los metales.
Barómetros de mercurio
Entre éstos se encuentran los llamados barómetros de cubeta que consisten en esencia de un tubo de vidrio, abierto en uno de sus extremos y
cerrado en el otro, que se llena de mercurio y se invierte después en una
cubeta que contiene también mercurio.
El espacio situado por encima de la columna de mercurio sólo contiene
vapor de mercurio cuya presión a la temperatura ambiente es tan pequeña
que puede despreciarse.
Los barómetros de cubeta dan origen a un error debido a que, cuando
el nivel del mercurio sube en el tubo, desciende el nivel del mismo en la
297
298
Curso básico de topografía
cubeta; y deja, por consiguiente, de coincidir con el último el cero de
la escala, y la altura barométrica leída es menor que la verdadera. Ocurre lo
contrario cuando baja el nivel del mercurio en el tubo.
Esa causa de error se evita en el barómetro de Fortin (Fig. NQ 139),
sustituyendo la parte inferior de la cubeta por un fondo de gamuza que
puede elevarse o bajarse por medio de un tomillo, con objeto de poner
la superficie del mercurio al ras de una aguja que marca el cero de la
escala. Un vernier permite obtener los diezmilímetros en las lecturas.
En la figura es fácil ver que:
Presión atmosférica
p =
=
pg(h..! - h 1 )
=
pgh
(1)
peso específico del mercurio
g = aceleración de la gravedad
h
= altura
de la columna de mercurio
Es costumbre expresar la presión atmosférica en centímetros de mercurio; sin embargo, un centímetro de mercurio no es una unidad real de
presión, puesto que la presión es la razón de una fuerza a un área.
La medida de la presión atmosférica se reduce a medir la altura de la
columna de mercurio. La altura leída no da exac~amente la verdadera
presión atmosférica porque la longitud de la columna de mercurio varía
con la temperatura, la altura del lugar, la latitud y por capilaridad.
Por consiguiente, para tener el valor de la presión atmosférica es preciso introducir las correcciones siguientes:
'~ff
1.
~
Por temperatura:
Como el mercurio se dilata cuando aumenta la temperatura, deberán
reducirse a 0 0 laE indicaciones barométricas hechas a otras temperaturas.
Si se designa por L' la lectura a t O e y por L la lectura corregida o sea
la reducida a 0 0 , en vista de que el coeficiente de dilatación del mercurio
es 0.0001818, se tiene:
L
2.
= L'(l
- 0.0001818t)
(2)
Por altura de la estación:
La lectura L de la columna de mercurio al nivel del mar se :halla por
medio de la fórmula:
L = L'(l - 0.0000002H)
en la cual:
(3)
N ¡velación barométrica
-
299
argolla para colgar el instrumen t o
.,...¡;.-+---+-_
cámara barométrica o vac í o de
Torriceli
O
vernier
escala
h
pres ón
atm sféri
L-l-+_ --------columna de mercurio
aguja de marfil
'-_______------cubeta
fondo de gamuza
tornillo para hacer
coincidir el nivel del
mercurio en la cubeta
con la punta de la aguja
Figura 139
300
Curso básico de topografía
=
lectura de la columna de mercurio en la estación
H = altura de la estación
L'
3.
~ff
Por latitud diferente de 45°:
Esta corrección se calcula aplicando la fórmula:
.5
L = L'(l - 0.00'26 cos 211')
(4)
siendo:
L = lectura corregida
L' = lectura a !po de latitud
4.
Por capilaridad:
Se obtiene la corrección por capilaridad en función del diámetro intefior del tubo.
Diámetro
Corrección
2.0 mm
2.5
3.0
3.5
4.0
5.0
6.0
4.43 mm
3.57
2.92
2.44
2.07
1.53
1.17
Diámetro Corrección
7 mm
8
9
10
11
12
13
0.91 mm
0.71
0.56
0.44
0.35
0.26
0.20
Diámetro
Corrección
14 mm
15
16
17
18
19
20
0.16 mm
0.12
0.10
0.08
0.06
0.04
0.03
i
Los barómetros de mercurio son los únicos que se utilizan para las
medidas de precisión, aunque presentan el inconveniente de ser pesados,
frágiles y voluminosos. Su aproximación varía de 1 a 2 m, en desniveles
hasta de 500 m, y de 2 a 4 m, en desniveles entre 500' m y 1,000 m.
Barómetros metálicos o aneroides
Mientras no se dispuso de otro medio para medir la preslOn atmosférica que el barómetro de mercurio, tan incómodo y poco práctico para
los trabajos de campo, quedó limitada la nivelación barométrica a un
estrecho círculo de investigación por parte de los geógrafos.
En 1847, Lucien Vidie, de París, construyó un aneroide (del griego
a-sin, aer-aire), instrumento que medía la presión atmosférica no por el
peso de una columna de mercurio sino por la elasticidad de una caja
metálica en cuyo interior había practicado el vacío. (Fig. N9 140.) El de-
Nivelación barométrica
301
aro graduado
tapa de lámina
delgada y ondulada
caja metálica con
vacío interior
ANEROIDE DE VIDlE
Figura 140
pósito metálico cünsiste en una caja cuya tapa es de lámina metálica, delgada y ondulada. Las exiguas deformaciones que esa tapa sufre a consecuencia de los cambios de presión, son amplificadas por un sistema de
palancas e indicadas por una aguja que recorre un arco graduado, en
el cual se pueden leer los milímetros de presión, como si se tratara
de un barómetro de mercurio.
Poco después construyó Bourdon un aneroide (Fig. NQ 141) cuyo depósito metálicO' vaCÍo consiste en un tubo curvado, de sección elíptica, con
un extremo fijo y el otrO' enlazado a un índice; cuando la presión del aire
disminuye, el tubo tiende a enderezarse y, por el contrariO', tiende a
encorvarse más cuando la presión del aire aumenta. Los cambios de curvatura son amplificados por el sistema de palancas que enlaza el tubo a
la aguja que recorre el arcO' graduado.
La graduación de los barómetros metálicos o aneroides se realiza por
comparación con uno de mercurio. Para ello se cülücan juntos los dos
aparatos y se lee en el barómetro de mercurio el número de milímetros
que señale la columna de mercurio, misma cantidad que se anotará en
el punto del arco que marque la aguja del aneroide en aquel instante;
haciendo varias observaciones en distintüs lugares y ocasiones, se señalan
diversas marcas, se subdividen los intervalos marcados y se numeran en
los puntos en que correspondan a un númerO' completo de centímetros,
quedando así determinada la graduación del aneroide.
302
Curso básico de topografía
En el campo se usa comúnmente el aneroide porque es ligero y se
transporta con facilidad. Cuando se emplea se debe dar tiempo al aneroide
para que adquiera la temperatura del aire antes de hacer una observación.
Los barómetros metálicos o aneroides que, en vez de las presiones
en milímetros, llevan grabadas las altitudes correspondientes reciben el
nombre de altímetros.
Los altímetros que se usan no son los de grandes dimensiones sino los
de bolsillo.
Dentro de un mismo sistema los constructores hacen divisiones de
escalas para diferentes amplitudes; unos desde el nivel del mar hasta
2,000 m; otros desde 1,000 m a 3,000 m, y así se puede escoger el modelo cuyas altitudes extremas abarquen las de los puntos donde se va a
operar.
La aproximación en los desniveles obtenidos con aneroide o altímetro varía de 1.5 m a 3 m.
Termobarómetros o hipsómetros
El termobarómetro, instrumento que sirve a la vez de termómetro y
de barómetro, o hipsómetro (del griego hipsos-altura y metrón-medida) se
emplea para medir la altura de un lugar determinando la temperatura a
que hierve el agua en dicho lugar.
aguja
¡ ...{
I
tubo de sección
elíptica con vacío
interior
~ff
~
ANEROIDE DE BOURDON
Figura 141
Nivelación barométrica
303
Los termobarómetros están fundados en el principio de que, cuando
se calienta el agua hasta su ebullición, la fuerza elástica del vapor aumenta
gradualmente hasta llegar a equilibrar la presión atmosférica en el instante
en que comienza él hervir el líquido. Por consiguiente, puesto que la temperatura de ebullición depende de la presión atmosférica, se puede utilizar
para la determinación de esta última.
La tabla siguiente da a conocer las presiones atmosféricas corres~
pondientes a diversas temperaturas de ebullición.
. $~
PRESIONES EN MILIMETROS CORRESPONDIENTES A LAS
TEMPERATURAS DE EBULLICION DEL AGUA, EN GRADOS
CENTIGRADOS y DECIMOS
DECIMOS DE GRADO
Temp.
o
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
Di/. por 0.01
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
355.4
370.0
385.2
400.8
417.0
433.7
451.0
468 .8
487.3
506.3
526.0
546.3
567.2
588.8
611.1
634.1
657.8
682.2
707.4
733.3
760.0
358.3
373.0
388.2
404.0
420.2
437.1
454.5
472.5
491.0
510.2
530.0
550.4
571.5
593.2
615.6
638.7
662.6
687.2
712.5
738.6
765.4
361.2
376.0
391.4
407.2
423.6
440.5
458.1
476.1
494.8
514.1
534.0
554.6
575.8
597.6
620.-2
643.4
667.4
692.2
717.6
743.9
770.9
364.1
379.0
394.5
410.4
427.0
444.4
461.6
479.8
498.6
518.0
538.1
558.7
580.1
602.1
624.8
648.2
672.3
697.2
722.8
749.2
776.4
367.1
382.1
397.6
413.7
430.3
447.5
465.2
483.5
502.5
522.0
542.1
563.0
584.4
606.6
629.4
653.0
677.2
702.2
728.0
754.6
782.0
0.15
0.15
0.16
0.16
0.17
0.18
0.18
0.19
0.19
0.20
0.21
0.21
0.22
0.22
0.23
0.24
0.25
0.25
0.26
0.27
0.28
(Tomado de las tablas meteorológicas smithsonianas.)
El termobarómetro (Fig. NQ 142) consiste esencialmente en un vaso
metálico al cual se atornilla una pieza dentro de la cual va un termómetro
de mercurio cuyo receptáculO' queda en el interior del vaso. Se pone en
éste cierta ·cantidad de agua, de modo. que no toque · el receptáculo de
mercurio del termómetro, y se calienta el líquido por medio de una lámpara de alcohol que se coloca debajo. Como la temperatura del vapor de
304
Curso básico de topografía
agua es la misma aunque ésta no sea pura, no hay necesidad de emplear
agua destilada.
Las lecturas deben tomarse un poco después de que ha comenzado la
ebullición, cuando ha disminuido la oscilación de la columna de mercurio.
Es conveniente que la escala de grados esté grabada sobre la cubierta
de vidrio del termobarómetro y que sea de longitud suficiente para que
se puedan apreciar décimos de grado cuando menos o hasta fracciones de
décimo, a ojo.
~
I~
, . 11
11
·11
receDtáculo
1
agua
lámpara de
alcohol
Figura 142
Con termobarómetro, la aproximación en la determinación de los
desniveles varía de 15 m a 30 m.
Medición de alturas
Cuandó se sube una montaña se ve disminuir paulatinamente la altura
barométrica. El fenómeno se debe a que a medida que se asciende va
disminuyendo la altura de la masa de aire que gravita sobre la capa atmosférica en que se halla el observador.
Por el cálculo y también por la experiencia se puede deducir la regla
siguiente:
N ¡velación barométrica
305
HA diez metros de elevación corresponde aproximadamente una dismi-
nución de un milímetro en la columna barométrica."
En las altas regiones donde el aire está notablemente más diluido que
al nivel del mar, la regla anterior no resulta aplicable y es preciso ascender
más de 10 metros para obtener una disminución de un milímetro en la
columna barométrica.
Si la densidad del aire fuera homogénea, la medición de alturas por
las indicaciones del barómetro sería sencilla y exacta, puesto que las variaciones de nivel serían proporcionales a las variaciones de presión y de
lectura del barómetro, pero el aire no tiene densidad homogénea ni constante y la determinación de alturas por las indicaciones barométricas no
es un problema tan exacto ni sencillo; su exactitud sólo puede considerarse
aceptable con ciertos límites de error que bastan para las necesidades de
la práctica.
Si sólo se trata de conocer aproximadamente el desnivel entre dos puntos, se puede emplear la fórmula siguiente:
h ·= 18312(log A - log a)
(5)
en la cual:
h
A
a
= desnivel
entre los dos puntos, en metros
= altura barométrica en la estación más baja
= altura barométrica en la otra estación.
En observaciones que no requieran mucha precisión, el desnivel se
obtiene aplicando la fórmula de Babinet:
h
=
16000 A - a
A + a
(l
+ 0.004
~
tm)
$~
siendo:
1m
=
(6)
h = desnivel entre las dos estaciones, en metros
A = presión atmosférica en la estación más baja
a = presión atmosférica en la otra estación
T 2
+ 1 = temperatura me d·la, en o e
T
t
= temperatura
=
en la estación más baja
temperatura en la otra estación.
La fórmula de Laplace que da el desnivel entre dos estaciones en función de las lecturas barométricas, de las temperaturas de los termómetros
y de la latitud, es la siguiente:
h
=
18405 (1
en la cual:
+ 0.0026
cos 2rp) [ 1
+
2(T
+ 1)
1 000
]
lag
aA
(7)
306
Cur:;,o básico da topografía
= desnivel entre las dos estaCiGlll!S, en metros
<p = latitud
t = temperaturas de los termómetros en el instante
h
T y
A y a
=
de hacer cada
observación, en grados centígrados
lecturas barométricas en las estaciones respectivas.
Las letras mayúsculas corresponden a la estación de menor nivel y
las minúsculas a las de nivel mayor.
Para las observaciones barométricas y termométricas debe esperarse
unos 30 minutos después de colocado el aparato en la estación, a fin de
que adquiera el equilibrio en la temperatura con el ambiente que le rodea
y asegurarse de que la columna barométrica no experimenta oscilaciones.
PROBLEMAS
1.
Calcular la preSlOn atmosférica correspondiente a un día en que
la altura barométrica es de 76 cm.
DATOS:
peso específico del mercurio
= 13.6 g/cm3
aceleración de la gravedad
= 980 cm/seg::!
altura de la columna de mercurio = 76 cm
presión atmosférica
=?
~ff
SOLUCIÓN
~
Pa tr/• -= pgh = 13.6 X 980 X 76 = 1 013000 dinas/cm 2
La presión atmosférica puede expresarse también en kilogramos por
centímetro cuadrado.
Patm
=
76
X
13.6 = 1033 g/cm::! = 1.033 kg/cm 2
Una. presión de 1.033
2.
7/CTl12
se denomina una atmósfera.
¿Cuál es la presión atmosférica en la cw'lad \.. Chihuahua?
DATOS:
Altura de la ciudad de Chihuahua sobre el nivel del mar
Altura a nivel del mar
Lectura de la columna de mercurio a nivel del mar
Variación media de la columna de mercurio a cada
100 metros de elevación
= 1 430
m
Om
76.2 cm
0.85 cm
Nivelación barométrica
307
SOLUCIÓN
\~~O
Variación de la lectura =
X
0.85 = 12.2 cm.
A mayor altura disminuye la presión atmosférica, por tanto:
Presión atmosférica en la ciudad de Chihuahua = 76.2 - 12.2
Presión atmosférica en la ciudad de Chihuahua = 64 cm Hg
3.
Obtener el desnivel entre dos estaciones con los
Presión atmosférica en la estación más baja =
Presión atmosférica en la otra estación
=
I>esnivel
=
siguientes datos:
75.1 cm Hg
73.9 cm Hg
?
SOLUCIÓN
~
/~
Se aplic.a la fórmula:
h = 18312(log A - log a)
(5)
h = 18312log 75.1
73.9 = 18312 log 1. 01624 = 18312(0. 006 995)
h=128.10 m
4.
Calcular el desnivel entre dos estaciones, cuando se conocen las
lecturas barométricas y las temperaturas.
I>ATOS:
Presión atmosférica en la estación más baja= 628 mm Hg
= 582 mm Hg
Presión atmosférica en la otra estación
Temperatura en la estación más baja
= 24. °9 C
Temperatura en la otra estación
= 17. ° 4 C
=?
~~~
SOLUCIÓN
En este caso el problema se puede resolver, aplicando la fórmula
de Babinet:
A -a
(6)
h = 16 000 A + a (1 + 0.004 1m)
24. °9 e
0
I = 17. 4C
A = 628 mm Hg,
a = 582 mm Hg,
1m
~
T
=
T;
t
=
21. °15
e
308
Curso básico de topografía .
sustituyendO' lO's valO'res de A, a y tm, en la fórmula (6), se encuentra:
628 - 582
h = 16000 628 + 582 [1 + 0.004(21.15)] - ..
= 16000 X
h
5.
= 659.44
0.038 X 1.0846
m
Calcular la altitud de la estación establecida en YECAPIXTLA, MOR.,
cÜ'n lÜ's da,t os siguientes O'btenidos simultáneamente -el 16 de junio
de 1975, en la estación establecida y en Chapultepec, D'. F., cuya
altitud es de 2 310m.
Datos
Chapultepec
Yecapixtla
581.6 mm
17. °5
19°25'
628.4 mm
24.°9
18°53'
Presión atmosférica:
Temperatura:
Latitud:
2310 m
Altitud:
?
SOLUCIÓN
-
Cálculo del desnivel entre las dos estaciones aplicandO' la fórmula de Laplace:
h = 18405 (1
+ 0.0026
cos 2cp) [ 1
+
2(T+t)]
A
1 000
-log
a
(7)
Latitud media:
cp
=
19°25'
+ 18°53' =
19009'
2
~~
2cp = 38°18';
T
+t=
A
log a
=
cos 2cp = 0.784776
17.°5 + 24. °9 '= 42.°4
628.4
log ~01 L: = log 1.0805 = 0.0336
~
(a)
(b)
(e)
sustituyendO' los valores (a), (b) y (e) en la fórmula de Laplace,
se halla:
h = 18405 (l + 0.00204) (1 + 0.0848) (0.0336)
h = 672 In
-
Cálculo de la altitud en
YECAPIXTLA, MOR.
La altitud buscada se obtiene restando el desnivel calculado a
la alfitud de la estación en Chapultepec, D. F.
Altitud erJ.
YECAPIXTLA, MOR. ,
= 2310 -
672 = 1638 m