Birrefringencia inducida en una fibra embobinada

1
Birrefringencia inducida en una fibra embobinada
Dr. Alfonso Garcia Weidner
4.1 Birrefringencia circular inducida por el efecto Faraday
El efecto Faraday se caracteriza por inducir un giro en el estado de polarización de la luz
que atraviesa un medio debido a la aplicación de un campo magnético. La ecuación constitutiva
para un medio que exhibe el efecto Faraday, es similar a la ecuación constitutiva de un medio que
posee birrefringencia circular 𝛿𝑐 (ecuación 66), con la diferencia de que en este último caso (𝛿𝑐 ) se
⃗ = |𝐺|𝑧̂ (depende de la dirección de propagación 𝑧̂ ), mientras que para el efecto Faraday
tiene ⃗𝑮
⃗⃗ = 𝒢 ⃗⃗⃗𝑩 por lo que el equivalente a la ecuación 66 quedaría como,
se tiene que 𝑮
⃗𝑫
⃗ =
1
1
⃗⃗ + 𝑖𝜖0 𝒢 ⃗𝑩
⃗ × ⃗𝑬 =
⃗ + 𝑖𝜖0 𝜇𝑚 𝒢 ⃗𝑯
⃗⃗ × ⃗𝑬 ,
[𝕀]𝑬
[𝕀]𝑬
𝑛2
𝑛2
(𝟏𝟕𝟒)
⃗ es la densidad de flujo
donde 𝒢 es el coeficiente de magneto-giro (magnetogyration coefficient), ⃗𝑩
⃗⃗⃗ es el campo magnético. Entonces, debido a
magnético o simplemente inducción magnética y 𝑯
⃗⃗ = 𝒢 ⃗⃗⃗𝑩 su valor no depende de la dirección de propagación de la luz, esto es el sentido del
que 𝑮
ángulo de giro 𝜃𝑓 , que se introduce en el estado de polarización de la luz, es el mismo (incluyendo
el signo) independientemente si la luz se propaga de derecha a izquierda o viceversa.
El efecto Faraday se origina por el movimiento de precesión del momento magnético de
un electrón que gira (ver Figura 33). Debido a que el electrón orbita alrededor del núcleo de un
átomo y simultáneamente gira sobre su propio eje, provocando una corriente eléctrica, por ser una
carga en movimiento, y al hacer una espira de corriente con el movimiento, desarrolla un momento
magnético m. Luego, colocando el sistema atómico en un campo magnético 𝑯, el momento
magnético del electrón tenderá a alinearse con el campo magnético externo 𝑯, causando que el
⃗ para realizar dicha alineación. La fuerza 𝑭
⃗ aunada al momento
electrón experimente una fuerza 𝑭
angular que el electrón posee por el giro que tiene, provoca un movimiento de precesión alrededor
de la dirección del campo magnético, en forma similar al movimiento de un trompo sujeto a la
fuerza de gravedad.
1
Figura 33. Explicación gráfica de la interacción de un campo magnético externo con un
medio con permeabilidad magnética. (Iizuka K., 2002).
En la Figura 33 se tiene un haz polarizado linealmente (paralelo al eje vertical 𝑥̂) incide en
un medio con giro (efecto Faraday) produciendo un haz polarizado linealmente a la salida, pero su
inclinación ya no es paralela al eje vertical 𝑥̂. El haz linealmente polarizado que está incidiendo, lo
podemos interpretar o descomponer como la suma de dos estados de polarización circulares R
y L en fase y de igual magnitud. Al incidir en el medio con giro las constantes de propagación de
R y L se ven afectadas por el momento magnético m y el campo 𝑯 resultando en un giro 𝜃𝑓 en el
estado de polarización lineal emergente. En la Figura 34 se ilustra como este efecto no es
reversible en el espacio.
Figura 34. Ilustración de la no reversibilidad en el espacio para el efecto de Faraday.
1
En la Figura 34 (a) tenemos luz lineal en la dirección 𝑥̂ (vertical) que incide en el medio y
despues de girar un ángulo (en este caso 𝜃𝑓 = 90°) emerge como un haz lineal en la dirección
horizontal 𝑦̂. Alternativamente, en la Figura 34 (b) se muestra que incide de regreso el mismo haz
lineal 𝑦̂ pero después de girar el mismo ángulo 𝜃𝑓 = 90º con el mismo sentido emerge como un
haz lineal −𝑥̂. Es decir, el ángulo de 𝜃𝑓 giro es el mismo independientemente de la dirección de
propagación de la luz (±𝑧̂ ). El ángulo de giro 𝜃𝑓 siempre está en la dirección de la precesión
(Figura 35) y para un material con longitud 𝐿, está dado por,
Figura 35. Ilustración de como el ángulo de giro 𝜽𝑭 sigue el movimiento de precesión (Iizuka,
2002).
𝐿
𝜃𝐹 = 𝑉𝑓 ∫ 𝑯 ∙ 𝑑𝑳 ,
(𝟏𝟕𝟓)
0
𝑉𝑓 = −
𝜋𝒢
,
𝜆𝑛
(𝟏𝟕𝟔)
donde 𝑉𝑓 es la constante de Verdet y tiene una fuerte dependencia con 𝜆. Para una fibra SMF-28
se tiene 𝑉𝑓 = 0.562rad/T ∙ m para 𝜆 = 1550nm. En nuestro caso tenemos a una fibra óptica
enrollada alrededor de un alambre conductor que produce un campo magnético 𝑯. La ley de
Ampere, establece que el campo magnético 𝑯 alrededor de un conductor y la corriente eléctrica
𝐼𝐸 que porta, están relacionados por una integral de línea alrededor de un circuito (curva cerrada
𝐶),
𝐼𝐸 =
∮ 𝑯 ∙ 𝑑𝑳 .
𝐶
(𝟏𝟕𝟕)
1
Entonces de esta ecuación se tiene que para un alambre conductor cilíndrico el campo
magnético a una distancia 𝑅 del alambre es 𝐻 = 𝐼𝐸 /2𝜋 𝑅. Considerando 𝑑𝐿 = 𝒩 𝑅 𝑑𝓌
donde 𝒩 es el número de vueltas del embobinado de la fibra, la ecuación 175 nos queda,
2𝜋
𝒩 𝑉𝑓 𝐼𝐸
𝜃𝑓 =
∫ 𝑑𝓌 = 𝒩 𝑉𝑓 𝐼𝐸 ,
2𝜋
(𝟏𝟕𝟖)
0
es decir que tenemos una birrefringencia circular inducida 𝛿𝑓 = 2𝜃𝑓 , de tal manera que utilizando
la ecuación 69 su matriz de Jones es
𝛿𝑓
2
𝑴𝑭 = 𝑴𝑪 (𝛿𝑓 ) = [
𝛿𝑓
− sen
2
cos
𝛿𝑓
2 ] = [ cos 𝜃𝑓
− sen 𝜃𝑓
𝛿𝑓
cos
2
sen
sen 𝜃𝑓
],
cos 𝜃𝑓
(𝟏𝟕𝟗)
y considerando 𝐵𝐹 = 𝛿𝑓 /𝑧 su matriz N correspondiente es
𝑵𝑭 =
𝐵𝐹 0
[
2 1
−1
] .
0
(𝟏𝟖𝟎)
4.3 Birrefringencia circular inducida por la fase topológica de Berry
En 1984 M. V. Berry estableció que un sistema cuántico cuyos parámetros son alterados
cíclicamente no regresa a su estado original sino que adquiere, en adición a la usual fase dinámica,
una fase adicional llamada fase geométrica. Esta fase que adquiere un sistema al efectuar una
trayectoria que lo devuelve al punto original, mientras se encuentra sujeto a un parámetro que
cambia de forma adiabática fue descubierta por primera vez en 1956 por Shivaramakrishnan
Pancharatnam, y redescubierto en 1984 por Michael Berry. Este teorema fue aplicado en
sistemas ópticos y a diferencia de la fase topológica (capítulo 3.2) donde se tiene como parámetro
a los eigenvectores en el espacio de polarización, cuando el parámetro es el momento lineal del
⃗⃗ , a la fase correspondiente se le denomina fase de Berry 𝜉𝐵 . Al integrar la
fotón ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝒎𝒑 = ℏ 𝑲
ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo a través de un ciclo cerrado, es posible aplicar
el teorema de Stokes para transformar la integral de línea en una integral de superficie. Esto
permite relacionar la fase geométrica 𝜉𝐵 que se adquiere en cada ciclo con el ángulo sólido Ω
(Figura 36) definido por la trayectoria del sistema con respecto a un punto de degeneración (un
mismo nivel de energía o auto valor del operador hamiltoniano que posee más de un estado
asociado). Entonces utilizando el teorema de Gauss–Bonnet (Ryder L. H., 1991), se demostró
que el ángulo geométrico de giro 𝜉𝐵 es igual al ángulo solido Ω subtendido por la trayectoria
cerrada en el espacio del parámetro que se está variando.
1
⃗ alrededor de una
En la Figura 36 se muestra el transporte paralelo de un vector 𝑽
trayectoria cerrada sobre una esfera. El vector puede representar por ejemplo, la dirección de
oscilación de un péndulo (péndulo de Foucault) y la esfera representaría a la tierra. El transporte
paralelo empieza en el punto A sobre el ecuador, posteriormente llega a los puntos N y B para
finalmente regresar al punto A, donde se ve que el mismo vector ⃗𝑽 ha girado un angulo 𝜉𝐵 =Ω.
El signo de Ω lo determina el sentido de giro de la trayectoria (sentido horario en la Figura 36). Si
se hubiera seguido la trayectoria inversa A →B→N→A entonces 𝜉𝐵 = −Ω.
Figura 36. Ángulo solido Ω subtendido por
la trayectoria A →N→B→A.
⃗ , ⃗𝑩
⃗ y el plano
Figura 37. Vectores ⃗𝑻, ⃗𝑵
⃗ 𝒐𝑵
⃗⃗ ).
osculador (𝑻
⃗ en espacio de K (Kx, Ky,
En nuestro caso estudiaremos la evolución del vector de onda ⃗𝑲
⃗⃗ estará determinada por la trayectoria 𝑠(𝜙) que sigue la fibra óptica en el
Kz). La trayectoria de ⃗𝑲
espacio. Como la fibra está enrollada, esta trayectoria será helicoidal y utilizaremos el marco de
Frenet-Serret, como se puede ver en la Figura 37, para definir un sistema de coordenadas que
⃗ y binormal ⃗𝑩
⃗ forman tres
gira junto con la trayectoria 𝑠(𝜙) . Los vectores tangencial ⃗𝑻, normal ⃗𝑵
⃗⃗ 𝒐𝑩
⃗⃗ ) y el plano
planos perpendiculares entre sí: el plano osculador (𝑇⃗𝒐𝑁⃗ ), el plano normal (𝑵
⃗⃗ 𝒐𝑻
⃗ ). Las ecuaciones paramétricas 𝑠(𝜙) de una hélice circular con radio 𝑅 están
rectificador (𝑩
dadas por
𝑥 = 𝑅 cos 𝜙
𝑦
𝑠(𝜙) ⟹ { = 𝑅 sen 𝜙
𝑧 = 𝑏𝑝 𝜙
,
(𝟏𝟖𝟏)
1
donde 𝑏𝑝 es el parámetro de paso. La gráfica de 𝑠(𝜙) se ilustra en la figura 38 donde 𝛾𝑃 es el
ángulo de paso y 𝛾𝐻 es el ángulo de la hélice. El paso 𝑃𝑎 de la hélice está dado por
𝑃𝑎 = 2𝜋𝑏𝑝
,
(𝟏𝟖𝟐)
⃗ y ⃗𝑩
⃗ son,
y los vectores ⃗𝑻, ⃗𝑵
𝑑𝑠
−𝑅 sen 𝜙
1
𝑑𝜙
⃗𝑻 =
=
[ 𝑅 cos 𝜙 ] ,
𝑑𝑠
√𝑅 2 + 𝑏𝑝2
𝑏𝑝
| |
𝑑𝜙
𝑑𝑇
−cos 𝜙
𝑑𝜙
⃗⃗ =
𝑵
= [ sen 𝜙 ] ,
𝑑𝑇
| |
0
𝑑𝜙
⃗𝑩
⃗ = ⃗𝑻 × ⃗𝑵
⃗ =
Figura 38. Hélice circular.
1
√𝑅 2 + 𝑏𝑝2
𝑏𝑝 sen 𝜙
[−𝑏𝑝 cos 𝜙] .
𝑅
(𝟏𝟖𝟑)
(𝟏𝟖𝟒)
(𝟏𝟖𝟓)
Figura 39. Relación entre los parámetros de
la hélice.
⃗ , el cual para toda 𝜙
En nuestro caso, el vector ⃗𝑻 es paralelo a nuestro vector de onda ⃗𝑲
hace un ángulo constante 𝛾𝐻 respecto al eje de la hélice (en este caso el eje 𝑧). Para calcular este
ángulo realizamos el producto
−𝑅 sen 𝜙
̂ = [ 𝑅 cos 𝜙 ] ∙ [0 0 1] = 𝑏𝑝 ≡ |𝑲
̂ | 𝑐𝑜𝑠 (𝛾𝐻 ) ,
⃗⃗ ∙ 𝒌
⃗⃗ | ∙ |𝒌
𝑲
𝑏𝑝
(𝟏𝟖𝟔)
1
∴ cos (𝛾𝐻 ) =
𝑏𝑝
.
ℂ
(𝟏𝟖𝟕)
Con este resultado podemos construir un triángulo rectángulo, como se observa en la
Figura 39, que relaciona a los parámetros de la hélice; por lo tanto, también podemos escribir
tan (𝛾𝐻 ) = 𝑅 /𝑏𝑝 . El ángulo de paso 𝛾𝑃 y la longitud de arco 𝔰 se pueden calcular de la
siguiente manera,
𝜙
𝜙
𝑑𝑠
𝔰 = ∫ | | 𝑑𝜙 = ∫ √𝑅 2 + 𝑏𝑝2
𝑑𝜙
0
0
tan 𝛾𝑃 =
𝑑𝜙 = ℂ 𝜙 ,
𝑏𝑝
.
𝑅
(𝟏𝟖𝟖)
(𝟏𝟖𝟗)
⃗ y ⃗𝑵
⃗ rotan alrededor del vector tangencial ⃗𝑻 un ángulo 𝜃𝕋 =
Los ejes de los vectores ⃗𝑩
𝕋 𝔰 = 𝑏𝑝 𝜙/ℂ [rad]
con
𝕋 = 𝑏𝑝 /ℂ2 y ℂ2 = 𝑅 2 + 𝑏𝑝2 . A 𝕋 se le conoce como el
coeficiente de torsión y a 𝒦 = 𝑅/ℂ2 se le conoce como el coeficiente de curvatura.
𝜸𝑯
⃗⃗ (𝝓) (Tentori D. et al, 2001).
Figura 40. Trayectoria del vector 𝑲
⃗ (𝜙) en el espacio de K (Kx, Ky, Kz) la
En la Figura 40 se ilustra la trayectoria del vector ⃗𝑲
cual forma un cono cuando es unida al origen. La fase geométrica para cada vuelta 𝒩 está dada
por el ángulo solido que sostiene la superficie 𝒮 del casquete esférico definido por el cono. El
ángulo sólido 𝛺 subtendido por la superficie la superficie 𝒮 se define como la superficie de una
esfera unitaria cubierta por la proyección de la superficie sobre la esfera. Esto se escribe,
𝛺≡∬
𝒮
⃗
𝒏
̂ ∙ 𝑑𝒂
= ∬ sen 𝛾 𝑑𝛾 𝑑𝜙 ,
𝑟2
𝒮
(𝟏𝟗𝟎)
̂ es un vector unitario desde el origen, 𝑑𝒂
⃗ es la diferencial de área, 𝑟𝑜 es la distancia al
donde 𝒏
origen y se han utilizado coordenadas esféricas donde 𝛾 es la colatitud (ángulo polar) y 𝜙 es la
longitud (azimutal). La ecuación 190 se reduce a,
2𝜋
𝛾𝐻
𝛾𝐻
𝜉𝐵 = 𝛺 = ∫ ∫ sen 𝛾 𝑑𝛾 𝑑𝜙 = 2𝜋 ∫ sen 𝛾 𝑑𝛾 = 2𝜋 (1 − cos 𝛾𝐻 ) ,
0
0
0
(𝟏𝟗𝟏)
1
es decir que tenemos el equivalente una birrefringencia circular acromática inducida 𝛿𝐵 = 2𝒩𝜉𝐵 ,
de tal manera que su matriz de Jones es
𝛿𝐵
2
𝑴𝑩 = 𝑴𝑪 (𝛿𝐵 ) = [
𝛿𝐵
− 𝑠𝑒𝑛
2
𝑐𝑜𝑠
𝛿𝐵
2 ] = [ 𝑐𝑜𝑠 𝒩𝜉𝐵
𝛿𝐵
− 𝑠𝑒𝑛 𝒩𝜉𝐵
𝑐𝑜𝑠
2
𝑠𝑒𝑛
𝑠𝑒𝑛 𝒩𝜉𝐵
] ,
𝑐𝑜𝑠 𝒩𝜉𝐵
(𝟏𝟗𝟐)
y considerando 𝐵𝐵 = 𝛿𝐵 /𝑧 su matriz 𝑵𝑩 correspondiente es,
𝑵𝑩 =
𝐵𝐵 0
[
2 1
−1
].
0
(𝟏𝟗𝟑)
4.4 Birrefringencia elíptica inducida por la torsión de la fibra
Esta birrefringencia ya se discutió en el capítulo 3 donde se vio que la birrefringencia
depende del ángulo de torsión 𝜏 (ecuación 138). Cuando se enrolla la fibra, se puede
adicionalmente ir aplicando un ángulo de torsión grande a la fibra. Entonces existen varias
posibilidades, pero este trabajo consideraremos que sólo se aplica la torsión 𝜏 que se generaría al
enrollar a la fibra de una manera natural y uniforme, para lo cual consideramos un ángulo 𝜏 = 𝜃𝕋
el cual está dado por,
𝜏 = 𝕋𝐿 =
𝑃𝑎
𝑃𝑎
𝜙 =
𝒩 [𝑟𝑎𝑑]
2
ℂ
ℂ
,
(𝟏𝟗𝟒)
Sustituyendo la ecuación 138 en la ecuación 134 podemos escribir la matriz de Jones para
una fibra óptica torcida cuyo eigenmodo principal tiene un ángulo de elipticidad 𝜀 = 𝜇 ,
𝑴𝑬𝑻
𝛿𝑔
cos ( )
2
=
𝛿𝑔
− sen ( )
2
[
𝛿𝑔
sen ( ) cos (𝛿𝜏 ) + 𝑖 sen (𝛿𝜏 ) cos 2𝜇
2
2
2
[
𝛿𝜏
𝛿𝑔
−sen ( ) sen 2𝜇
cos ( )
2
2 ]
𝛿𝜏
sen ( ) sen 2𝜇
2
],
𝛿𝜏
𝛿𝜏
cos ( ) − 𝑖 sen ( ) cos 2𝜇
2
2
𝛿𝑔 = 2𝜃𝜏 + 2𝜉𝑝 = 2𝐺𝜃 ,
(𝟏𝟗𝟓)
(𝟏𝟗𝟔)
y considerando 𝐵𝑇 = 𝛿𝜏 /𝑧 , 𝐵𝑔 = 𝛿𝑔 /𝑧 y 𝛿𝑔 = 2(𝜃𝜏 + 𝜉𝑝 ) su matriz 𝑵 correspondiente es,
𝑵𝑬𝑻 =
𝐵𝑇 𝑐𝑜𝑠(𝐵𝑔 𝑧) 𝑐𝑜𝑠 2𝜇
𝑖
[
2 𝐵𝑇 𝑠𝑒𝑛(𝐵𝑔 𝑧) 𝑐𝑜𝑠 2𝜇 + 𝑖(𝐵𝑔 + 𝐵𝑇 𝑠𝑒𝑛 2𝜇)
𝐵𝑇 𝑠𝑒𝑛(𝐵𝑔 𝑧) 𝑐𝑜𝑠 2𝜇 − 𝑖(𝐵𝑔 + 𝐵𝑇 𝑠𝑒𝑛 2𝜇)
4.5 Teoría de modos acoplados y matrices N
−𝐵𝑇 𝑐𝑜𝑠(𝐵𝑔 𝑧) 𝑐𝑜𝑠 2𝜇
] . (𝟏𝟗𝟕)
1
Se tiene un material homogéneo por el cual se hace transitar una onda electromagnética.
Dicho material tiene una permeabilidad y puede tener una anisotropía que se representa por la
matriz de la permitividad,
𝜖𝑥𝑥
𝝐 = [𝜖𝑦𝑥
𝜖𝑧𝑥
𝜖𝑥𝑦
𝜖𝑦𝑦
𝜖𝑧𝑦
𝜖𝑥𝑧
𝜖𝑦𝑧 ] ,
𝜖𝑧𝑧
(𝟏𝟗𝟖)
donde los elementos de la matriz son independientes de la posición longitudinal 𝑧, algunos de los
cuales pueden simplificarse a cero con la apropiada elección de los ejes coordenados del medio.
Cualquier propagación en un medio anisotrópico se puede describir como una combinación lineal
de sus modos normales acompañados de constantes de amplitud. Denominando a 𝑘1 y 𝑘2 como
los números de onda de dichos modos, 𝐴1 y 𝐴2 como las amplitudes y, 𝒆1 y 𝒆2 como los vectores
de dirección de la polarización, la combinación lineal que representaría a la propagación de la onda
en general sería,
⃗𝑬 = 𝐴1 𝒆1 𝑒 𝑖(𝜔𝑡−𝑘1 𝑧) + 𝐴2 𝒆2 𝑒 𝑖(𝜔𝑡−𝑘2 𝑧) ,
(𝟏𝟗𝟗)
donde las amplitudes 𝐴1,2 son independientes de la posición longitudinal 𝑧. Con la apropiada
elección de los ejes coordenados en el medio, 𝒆1 y 𝒆2 son ortogonales al vector de propagación
⃗ sin importar la anisotropía del medio. Esta anisotropía puede ser inducida mediante efectos de
𝑘
presión (esfuerzo mecánico), eléctricos, magnéticos y térmicos, en cuyo caso los nuevos
vectores 𝒆′𝟏 y 𝒆′𝟏 ya no serán los eigenvectores de la propagación como consecuencia de la
anisotropía y el tensor de permitividad dieléctrico sufriría el cambio
𝝐′ = 𝝐 + ∆𝝐 .
(𝟐𝟎𝟎)
Para este cambio 𝝐′ , conviene expresar la propagación de la onda en términos de una
combinación lineal de las amplitudes 𝐴1 y 𝐴2 cuando el medio no estaba perturbado, junto con la
suposición de que la anisotropía provocada es pequeña (𝜖 ≫ ∆𝜖). Las amplitudes 𝐴1,2 ahora
dependerán de 𝑧 y la perturbación también provoca que 𝒆1 𝑒 𝑖(𝜔𝑡−𝑘1 𝑧) y 𝒆2 𝑒 𝑖(𝜔𝑡−𝑘2 𝑧) ya no sean
los modos normales. El campo eléctrico se reescribiría
⃗ = 𝐴1 (𝑧)𝒆1′ 𝑒 𝑖(𝜔𝑡−𝑘1 𝑧) + 𝐴2 (𝑧)𝒆′2 𝑒 𝑖(𝜔𝑡−𝑘2 𝑧) .
𝑬
(𝟐𝟎𝟏)
De esta manera lo único que queda por resolver son las amplitudes, los otros términos ya
se conocen (medio no perturbado). Para encontrar las amplitudes se requiere resolver unas
ecuaciones diferenciales. Una manera de reescribir la ecuación de onda para el campo eléctrico
1
en el medio anisotrópico, es asumiendo que se engloba la dependencia temporal con el término
𝑒 −𝑖𝜔𝑡 . Entonces considerando el sistema de unidades MKS, la ecuación de onda se escribe
(Yariv A. et al, 1984),
⃗ − ∇ ∙ (∇ × 𝐄
⃗ ) = −ω2 μ0 𝝐′ ∙ 𝐄
⃗ = −ω2 μ0 (𝝐 + ∆𝝐) ∙ 𝐄
⃗ .
∇2 𝐄
(𝟐𝟎𝟐)
Si suponemos que el plano perpendicular al vector de propagación de las ondas
electromagnéticas ya tiene cierta dependencia con la coordenada 𝑧, la ecuación de onda puede
reformularse de la siguiente manera,
𝐸𝑥
𝑑2 𝐸𝑥
2
[𝐸 ] = −ω μ0 (𝝐 + ∆𝝐) [𝐸𝑦 ] ,
𝑑𝑧 2 𝑦
𝐸𝑧
0
(𝟐𝟎𝟑)
nótese que la componente 𝐸𝑧 del vector se anula para este caso. Si las soluciones en el plano de
la onda en modos normales tienen una dependencia en 𝑧 de la forma 𝑒 ∓𝛾𝑧 , la ecuación se
reescribiría,
𝐸𝑥
= −ω μ0 (𝝐 + ∆𝝐) [𝐸𝑦 ] , (𝑗 = 1,2)
𝐸𝑧
0
𝐸𝑥
𝛾𝑗2 [𝐸𝑦 ]
2
(𝟐𝟎𝟒)
siendo 𝛾1 y 𝛾2 las constantes a los dos modos normales de propagación. De esta ecuación se
obtendrían dos eigenvectores los cuales se propagarían por el medio sin cambios en su estado
de polarización. Entonces, suponiendo que 𝒆1 𝑒 𝑖(𝜔𝑡−𝑘1 𝑧) y 𝒆2 𝑒 𝑖(𝜔𝑡−𝑘2 𝑧) son los modos que se
propagan sin sufrir cambios, y considerando que 𝑘𝑎2 𝒆𝑎 − 𝜔2 𝜇0 𝜖𝒆𝑎 = 0 con 𝑎 = 1,2 se tiene que
𝑑2 𝐴1
𝑑𝐴1
( 2 − 2𝑖𝑘1
+ 𝜔2 𝜇0 ∆𝝐𝐴1 ) 𝒆1 𝑒 𝑖(𝜔𝑡−𝑘1 𝑧)
𝑑𝑧
𝑑𝑧
+(
𝑑 2 𝐴2
𝑑𝐴2
− 2𝑖𝑘2
+ 𝜔2 𝜇0 ∆𝝐𝐴2 ) 𝒆2 𝑒 𝑖(𝜔𝑡−𝑘2 𝑧) = 0 .
2
𝑑𝑧
𝑑𝑧
(𝟐𝟎𝟓)
Consideraremos ondas que cumplen con la condición de variación lenta (slowly varying
envelope approximation SVEA), esto es que 𝐴1 (𝑧) y 𝐴2 (𝑧) son funciones que varían lentamente,
tanto que
𝑑2 𝐴𝑎
𝑑𝑧 2
≪ 𝑘𝑎2
𝑑𝐴𝑎
𝑑𝑧
para 𝑎 = 1, 2. En la Figura 41 se ilustra la SVEA donde se aprecia que
las variaciones de la amplitud A son muy pequeñas comparadas con la longitud de onda λ de la
luz. Ahora se realiza el producto escalar por los vectores 𝑒1 y 𝑒2 , esto resulta en,
1
Figura 41. Condición de variación lenta SVEA.
𝑑𝐴1
𝜔 2 𝜇0
= −𝑖
(∆𝜖11 𝐴1 + ∆𝜖12 𝐴2 𝑒 −𝑖(𝑘2 −𝑘1 )𝑧 ) ,
𝑑𝑧
2𝑘1
(𝟐𝟎𝟔)
𝑑𝐴2
𝜔 2 𝜇0
= −𝑖
(∆𝜖21 𝐴1 𝑒 𝑖(𝑘2 −𝑘1 )𝑧 + ∆𝜖22 𝐴2 ) .
𝑑𝑧
2𝑘2
(𝟐𝟎𝟕)
Las ecuaciones 206 y 207 las podemos vaciar en una sola en forma de un producto de
matriz con un vector de la siguiente manera
𝑑 𝐴1 (𝑧)
𝜅11
[
] = − 𝑖 [𝜅
21
𝑑𝑧 𝐴2 (𝑧)
𝜅12 𝐴1 (𝑧)
𝜅22 ] [𝐴2 (𝑧)] ,
(𝟐𝟎𝟖)
y si el campo está escrito de la forma
−𝑖𝑘1 𝑧
⃗ = [𝐸1 (𝑧)] = [𝐴1 (𝑧)𝑒
𝑬
] ,
𝐸2 (𝑧)
𝐴2 (𝑧)𝑒 −𝑖𝑘2 𝑧
(𝟐𝟎𝟗)
la ecuación 206 se puede reescribir así,
𝑑
⃗𝑬 = −𝑖𝑲𝒆 ⃗𝑬
𝑑𝑧
,
(𝟐𝟏𝟎)
donde el término (−𝑖) aparece debido a que las amplitudes se expresaron como 𝐴(𝑧)𝑒 −𝑖𝑘𝑧 . Los
coeficientes 𝜅𝑖𝑗 se conocen como coeficientes de acoplamiento y se pueden calcular para una
fibra monomodo utilizando las integrales del apéndice III. Alternativamente podemos realizar el
cálculo utilizando los vectores de Jones. El campo eléctrico ⃗𝑬(𝑧) (vector de Jones) de un haz
óptico que atraviesa un medio caracterizado por una matriz 𝑴 de Jones, sobre el que incide un
campo ⃗𝑬(0) está dado por,
⃗ (𝑧) = 𝑴 𝑬
⃗⃗ (0) .
𝑬
Tomando la derivada de esta expresión y utilizando la ecuación 84,
(𝟐𝟏𝟏)
1
⃗
𝑑𝑬
𝑑𝑴
⃗𝑬(0) = 𝑵𝑴𝑬
⃗ (0) .
=
𝑑𝑧
𝑑𝑧
(𝟐𝟏𝟐)
Finalmente utilizando la ecuación 211 llegamos a,
⃗
𝑑𝑬
⃗ (𝑧) .
= 𝑵𝑬
𝑑𝑧
(𝟐𝟏𝟑)
La ecuación 213 es la ecuación de modos acoplados en términos de los vectores de Jones
y es equivalente a la ecuación 210.