término algebraico

MATEMATICAS DE NOVENO REFUERZO Y PLAN DE MEJORAMIENTO
Contenidos:
- Conceptos algebraicos básicos
- Valoración de expresiones algebraicas
- Reducción de términos semejantes
- Operaciones con expresiones algebraicas
- Notación algebraicas
- Productos notables - FACTORIZACION
TÉRMINO ALGEBRAICO
Consta de:
a) signo
b) coeficiente numérico
c) factor literal
Ejemplo:
-3a4
Factor literal
Coeficiente numérico
GRADO DE UN TÉRMINO
Ejemplo:
Es la suma de los exponentes del factor literal
En el término 3x3 tiene grado 3 (por el exponente de x)
En el término 4x2y3 tiene grado 2 (2 + 3, la suma de los exponentes)
GRADO DE UNA EXPRESIÓN
Ejemplo:
Es el grado mayor de sus distintos términos.
En la expresión 3x3 + 5y5 tiene grado 5 (por el grado del segundo termino)
En el término 4x2y3 – 4b3y2z7 tiene grado 12 (por el grado del segundo termino)
EXPRESIÓN ALGEBRAICA
Es toda combinación de números y letras ligados por los signos de las operaciones aritméticas.
De acuerdo al número de términos puede ser:
x2yz4
MONOMIO: tiene uno término
Ej. 5
BINOMIO: tiene dos términos
Ej. 7 xy  y5
TRINOMIO: tiene tres términos
Ej. x2 + 3x - 5
POLINOMIO O MULTINOMIO: tiene varios términos
;
x2  y2
ab
; p+q
Ej. Inventa uno __________________________
TERMINOS SEMEJANTES
Los términos son semejantes cuando tienen el mismo factor literal. Los T. S. se pueden sumar o restar, sumando o
restando sus coeficientes numéricos y conservando el factor literal.
Ejemplo:
El término 3x2y y el término 2x2y , son semejantes. (tiene factor literal iguales) y al sumarlo da 5x2y
Reducción de términos semejantes. Es la operación que tiene por objeto convertir en un
solo término dos o más términos semejantes que se están sumado (o restando).
Otros ejemplos resueltos
Reducir los siguientes términos semejantes:
(1) a + a = 2 a.
(2) 2x + x = 3x.
(3) –3a2b3 + 12a2b3 = 9a2b3.
(4) a + 3b – c + 5a – 8b – 4c = 6a – 5b – 7c.
(5) 2a – 3ab + 5ab + 7a = 9a + 2ab.
(6) 15mx+1 - 5mx+1 - 3mx+1 = 7mx+1
EJERCICIOS:
1) Define con tus palabras:
a) Coeficiente numérico
b) Factor literal
c) Término algebraico
2) En cada término algebraico, determina el coeficiente numérico, factor literal y el grado.
a) 3x2y
h) 
2
a
3
i) 
d) –vt
c) mc2
b) m
1 3
x
2
j)
7a 2
3
k)
e) 0,3ab5
 3m
4
l)
g) -8x3y2z4
f) 3
3 4 2
a b
4
3) Determina el grado y el número de términos de las siguientes expresiones:
a) 7x2y + xy
f)
abc
2
b) -3 + 4x – 7x2
c) -2xy
g) x2 + 8x + 5
h) 2(3x + 4y)
d) vt +
1 2
at
2
e) 7m2n – 6mn2
i) 2x2(3x2 + 6y)
j)
b 2  c3h 4
4
4) Calcula el perímetro de cada rectángulo encontrando su expresión algebraica. Luego clasifica según su número de
términos, antes de reducir términos semejantes:
3a
4m
5x + 3y
7y – 2x
4mn
2a
4) Para cada uno de los siguientes términos algebraicos determina:
Coef.
Numérico
Factor
literal
Grado
Coef.
Numérico
2x2y
0,2ab4
a
ab
3
a
4
3 5
ab
5
-1,5x3
a2b3c
-0,7mn3
-8b3c2d3
1
abr3
4
xy 2
2
 3h 2 k 5
3
3x
Factor
literal
Grado
-2x
5) Clasifica cada una de las siguientes expresiones algebraicas según el número de términos que la
integran:
a) 5x
b)
a2 + b – c
c)
10x2y
d)
e)
f)
g)
x2 y3
4
2–x
2x – 3y2
a2 + ab + b2
h)
2x 3 y

3
4
i)
j)
k)
a3 – 3a2b + 3ab2 – b3
m2 – n2
a – b + c – 2d
l)
abc
4
m)
a b
3
n)
2a·3b
6) Reduce los términos semejantes en cada una de las expresiones siguientes:
EVALUACION DE EXPRESIONES
A cada letra o FACTOR LITERAL se le asigna un determinado valor numérico.
Ejemplo:
Si a = 3 y b = 2, reemplazamos esos valores en la expresión:
3 a – 2b – 5a + 4b – 6a + 3b =
33 - 22 -53+42-63+32 =
9
- 4 - 15 + 8 - 18 + 6 = -14
Veamos ahora un ejemplo con números racionales: Si a =
2
1
y b = , evaluemos la expresión:
3
2
3a - 2b - 5a + 4b - 6a + 3b =
1
2
2
1
2
1
3
- 2
- 5
+ 4
- 6
+ 3
=
3
2
3
3
2
2

10
17
5
2 - 1 + 2 - 4 +
=
 2
3
6
6
Ejercicios:__________________________________________________________
3
2
1.
Si
a = -2 ;
b = 4 ; c = -1
encuentra el valor de cada expresión
a) 12a - 8a + 10a + 3a - 18a + 5a =
b) 7a - 8c + 4b + 6c - 4b + 3a =

1
2
; c=
encuentra el valor de cada expresión
3
4
2
a) 2 a - 8 a + 10 a + 3 a a +5a=
3
2
1
b) -1 a + 5 b - 3 c + 2 a - 4 c + 7 b =
3
2
4
1
c) -5 c + 3 b - (-4 a) + 4 c + (-5 b) - 0,6 c =
5
2
2. Si
a=
1
;
2
b=
3) En las siguientes expresiones algebraicas, reduce los términos semejantes y luego reemplaza en cada caso por a = -2 y
b = 7, para valorar la expresión.
a) 3ab – b + 2ab + 3b
b) 3a2b – 8 a2b – 7a2b + 3a2b
d) ab2 – b2a + 3ab2
e)
3 2
a b–1
2
2
1
1
f)  b 2  b  b 2  b
7
5
14
c) 2a2b –
3
4
5
7
a b a b
2
5
4
10
4) Calcula el valor numérico de las siguientes E. A.(expresiones algebraicas), considera para cada caso a = 2; b = 5; c = -3;
d = -1 y f = 0
a) 5a2 – 2bc – 3d
b) 7a2c – 8d3
d) d4 – d3 – d2 + d – 1
e) 3(a – b) + 2(c – d)
g)
h) b  ca
3
2
1
7
a c b f
4
5
2
8
c) 2a2 – b3 – c3 – d5
cd ab

f)
2
7

i) a  b  c ( 2a 3d )

f
5) Encuentra el valor numérico de las siguientes fórmulas, aplicando en cada caso solo los valores asignados para las
variables respectivas.
at 2
2
b) Ep = m·g·h
a2 3
c) A 
4
r ·r
d) R  1 2
r1  r2
a) d  vi ·t 
q ·q
e) F  K · 1 2 2
r
; si vi = 8 m/seg , t = 4 seg , a = 3 m/seg2 (d : distancia q’ recorre un móvil)
; si m = 0,8 hg , h = 15 m , g = 9,8 m/seg2 (Ep: energía potencial)
; si a = 3,2 m (A : área de triángulo equilátero)
; si r1 = 4 ohm y r2 = 6 ohm (R : resistencia eléctrica total en paralelo)
; si k = 9·109
Nm 2
; q1 = q2 = 4c y r = 10 m (F : fuerza atracción entre dos cargas)
c2
6) Evalúa la expresión x2 + x + 41 para los valores de x = 0, 1, 2, 3, 4, …, 40. ¿Qué característica
tienen los números que resultan?
ENCONTRANDO FÓRMULAS
A Continuación debes encontrar una fórmula que represente a todos los términos de la sucesión de números, esta fórmula
debe ser válida para valores naturales, es decir si le damos valores a la fórmula, debe irnos entregando los términos de la
sucesión.
Ejemplo: la sucesión 2, 4, 6, 8, ….. tiene una fórmula que general estos números, una manera de encontrarla es
descomponer sus términos:
2=2· 1
4=2· 2
6=2· 3
8=2· 4
……..
2 · n, donde n  N. Esta es la fórmula que genera a esta sucesión. ¡Prueba dándole valores a “n” !
Encuentra la fórmula para las siguientes sucesiones:
1) 22, 42, 62, 82, 102, …..
2) 73, 93, 113, 133, …..
3) -1, 1 , -1 , 1 , -1 , ……
4) 4, 10, 18, 28, ……
5) 0, 2, 5 ,9, …..
6) 2, 4, 8, 16, 32 ,……..
6) Mersenne, antiguo matemático, propuso la expresión 2p – 1. Al reemplazar p por un número entre 1
y 10, ¿cuáles resultan números primos?
7) Verifica si la fórmula 24n + 4(n + 1) + 10 entrega múltiplos de 7, para n  N.
ALGEBRA Y GEOMETRÍA: CÁLCULO DE PERÍMETROS
Se dan los siguientes segmentos :
a
b
d
c
e
1) Elige un segmento y dibujas 3 veces el segmento elegido
2) Elige dos segmentos y dibuja la suma de dichos segmentos
3) Elige otros dos segmentos y dibuja la diferencia entre ambos segmentos.
Recordemos el concepto de PERÍMETRO
1 cm
2 cm
P = 2 + 4 + 3 + 1 = 10 cm es decir ,
perímetro es la suma de todos sus
lados
3 cm
4 cm
b
a
P = a + b + a + b, es decir, P = 2a + 2b
a
b
c
b
d
e
P=a+b+c+d+e
a
ejercicios:
4.
5.
m
x
a
a
b
x
p
a
6.
b
x
x
a
x
a
a
m
P = _____________
P = ____________
P = __________
6.
7.
8.
m
2c
2c
r
2m
2m
m
c
P = _________
r
10.
2y
y
5t
m
y
y
4t
P = _________________
11.
m
2s
P = _____________
P = __________
9.
3t
1
m
2
P = ____________________
y
12.
x
x
x
x
y
x
x+y
x
x
1,5x
1,5x
0,5y
0,5y
1,5x
x
x
1,5x
x
x
y
x
y
P = ________________
P = ____________________
13. Si P = 4x – y + 4 y Q = 2x + 3y + 5. Calcular:
(i)
P+Q=
(ii)
2P – Q =
(iii) 3P – 2Q =
(iv) Q – P =
(v) – Q – 2P =
14. El perímetro de la figura siguiente está dado por la fórmula:
5y
x
x
6y
3x
3x
ELIMINACIÓN DE PARÉNTESIS
Para resolver paréntesis se debe seguir por las siguientes reglas:
a) si el paréntesis está precedido por signo positivo, se consideran los términos por sus respectivos
signos,
b) si el paréntesis está precedido por signo negativo, debes Sumar su opuesto, es decir, cambiar el
signo de los términos que están dentro del paréntesis que vas a eliminar.
I)
Para suprimir un paréntesis precedidos por el signo +, se deja cada uno de los términos que agrupa con el mismo
signo.
a + (b – c + d) = a + b – c + d. R.
II)
Para suprimir paréntesis precedidos por el signo  se cambia cada uno de los signos de los términos que agrupa.
a  (b – c + d) = a  b + c  d. R.
Ejemplos resueltos
Elimine paréntesis y luego reduzca términos semejantes:
(1) 2m + (5n – 14m) + 15n  (6m – 10n)
= 2m + 5n – 14m + 15n - 6m + 10n
= -18m + 30n
(2) 5a + [13b – (-8a + 10b)] = 5a + 13b – (-8a + 10b) se suprimen corchetes
= 5a + 13b + 8a – 10b
se suprimen paréntesis redondos
= 13a + 3b.
(3) 23x + {-5y – [-2x + (-4x + 7y)]} = 23x + -5y – [-2x + (-4x + 7y)] se elimina llaves.
= 23x + -5y + 2x - (-4x + 7y) se elimina corchetes
= 23x + -5y + 2x + 4x – 7y
se elimina paréntesis.
= 29x  12y
(4)
2m – 3n – (-4n + 4m - 1) + (4m – 8n + 5) + 12 = 2m – 3n +4n -4m +1 +4m +8n +5
= 2m +9n +6
15) 5a - 3b + c + ( 4a - 5b - c ) =
16) 8x - ( 15y + 16z - 12x ) - ( -13x + 20y ) - ( x + y + z ) =
17) -( x - 2y ) -  { 3x - ( 2y - z )} - { 4x - ( 3y - 2z ) } =
18) 3a + ( a + 7b - 4c ) - ( 3a + 5b - 3c) - ( b - c ) =
19) 9x + 13 y - 9z - 7x - { -y + 2z - ( 5x - 9y + 5z) - 3z } =
20) 6a - 7ab + b - 3ac + 3bc - c - {(8a + 9ab - 4b) - (-5ac + 2bc - 3c)} =
1
3
3
3
21) 8x - ( 1 y + 6z - 2 x ) - ( -3 x + 20y ) - ( x + y + z ) =
2
4
5
4

 1

1
 1

22) 9x + 3 y - 9z - 7x   y  2z   5 x  9 y  5z  3z  
 3

2
 2


COMPLEMENTARIOS
1) Si la arista de un cubo mide 6a cm. Calcula:
a) La superficie del cubo
b) El volumen del cubo
c) La superficie y el volumen para a = 1, 2, 4, … , 16
¿en qué relación aumentan la superficie y el volumen cuando a aumenta en estos valores?
2) En una caja negra hay “b” bolitas blancas y “a” bolitas azules, Se realizan en orden los siguientes
cambios:
1º Sacar 3 bolitas azules y 5 blancas
2º Duplicar las bolitas azules y cuadruplicar las bolitas blancas
3º Agregar una bolita blanca y sacar 1 bolita azul.
A partir de esta información completa la tabla de sucesos para determinar cuántas bolitas quedan al
final.
Nº bolitas blancas Nº bolitas azules Total bolitas
Inicio
b
a
a+b
1º
2º
3º
Repite los mismos pasos pero tomando 5 bolitas blancas y 8 bolitas azules, en lugar de b y a,
respectivamente.
3) Valorar 5 x 2 
1 6
y  2 xyz , para x =
27
4) Valorar a 1b 2 c 3  a(b  c) 1 
b
2,y=
(1  a) 2
1

 c 1
1
3 ;z=0
; para a =
1
,b=–1;c=2
2
1
1

 1
5) Valorar 5 2m n 
; para m = , n = 2
2· n 3  
4
4

 mn
6) Valorar
a 2 bc1  1 3 3 2
1
 a bc ; para a = ; b = – 6 ; c = 2
3
2ab
4
EJERCICIOS DE FACTORIZACIÓN
Factorización por Factor Común
1.  35m 2 n 3  70m 3
2. - x 3  x 5  x 7
3. - 9a 2  12ab  15a 3 b 2  24ab3
4.  16x 3 y 2  8 x 2 y  24x 4 y 4  40x 2 y 3
5. - 93a 3 x 2 y  62a 2 x 3 y 2 - 124a 2 x
6.  3xx  2  2 y  2  x 
7.  1  x  2a1  x 
8.  3a 2 b  6ab  5a 3 b 2  8a 2 bx  4ab2 m


x 
 Resp. - 35m 2 n 3  2m

 Resp. - 3a 3a  4ab  5a b  8b 
 Resp. - 8 x y 2 xy  1  3x y  5 y 
 Resp. - 31a x3axy  2 x y  4
 Resp. - x 3 1  x 2
4
2
2
2
2
2
 Resp. - ( x  23x  2 y 
 Resp. - 1  x 1  2a 

2
3
2
2

 Resp. - ab 3a  6  5a 2 b  8ax  4bm
Factorización por diferencia de cuadrados



 Resp. - 5 xy  115 xy  11
 Resp. - 7 xy z  a 7 xy z  a 
1.  a 2 b 8  c 2
 Resp. - ab4  c ab4  c
2.  25x y  121
2
4
2
3.  49x 2 y 6 z 10  a 12
4.  4 x 2 n 
6.  a  x    x  2 
3
 5 n b 6 x  5 n b 6 x
 7 a 
 Resp. -  7 a 
9 
9

1 
1

 Resp. -  a n b 2 n   a n b 2 n  
5 
5

b

81
1
25
Factorización por cuadrado perfecto
1) 49m 6  70am3 n 2  25a 2 n 4
5) 121 198x 6  81x 12
2) a 2  24am2 x 2  144m 4 x 4
6) 1  14x 2 y  49x 4 y 2
3)
1 25x 4 x 2


25
36
3
4)  4mn  m   4m 2  n  m 
7) a 2  2aa  b   a  b 
8) a 4  a 2 b 2 
2
Factorización de Trinomios de la forma x 2  bx  c
1) a 2  13a  40
5) a 2  7 a  60
2) n 2  28n  29
6) a 2 14a  33
3) n 2  6n  40
7) x 2  5 x  36
4) m 2  13m  30
8) a 2  2a  35
Factorización por Completación de Cuadrados
1) x 2  54x  648
15
7
x
4
8
2
3) x  6 x  216
2) x 2 
4) a 2  66a  1080
5
6
 Resp. - a  2 x  2 a  2 
2
12 x
8.  a 2 n b 4 n 
6
 Resp. - 3 x  y  x  y 
2
2
10 n
5
1 
1

 Resp. -  2 x n   2 x n  
3 
3

1
9
5.  4 x 2   x  y 
7.  49a
3
2
5) m 2  8m  1008
6) n 2  43m  432
7) m 2  41m  400
8) x 2  50x  336
Factorización de cocientes de Potencia Iguales
1) m 8  n 8
4) x 6  y 6
2) 66a 6  7296
5) x 7  128
3) 164  814
6) a 5  b 5 c 5
b2
4
2



Factorización empleando el Método de Ruffini
1) 2 x 3  3x 2  18x  8
3) x 3 7 x  6
2) 10x 4  20x 2  10
4) x 3  8 x 2  17x  10
5) Calcular el valor de m para que 15x 3  31x 2  m tenga como unas de sus raíces 2; calcule las otras
raíces y factorice.
6) x 3  ax2  x 2  ax  6 x  6a
7) x 3  bx2  ax2  x 2  bx  ax  abx  ab
8) 2 x 7  2 x 6  14x 5  14x 4  44x 3  48x 2