Trabajo para optar al Título de Licenciado Ejercicios Resueltos Capacitancia de un Condensador 1. Un condensador que tiene una capacitancia de 4 µF está conectado a una batería de 60 V. ¿Qué carga hay en él? Rsta.: Datos: C = 4 µF Fórmula: Desarrollo: 𝑄 = (4 𝑥10−6 𝐹)(60 𝑉) 𝑄 = 𝐶. 𝑉 = 4 x 10-6 F V = 60 V Q=? Q = 240 µC ∴ Hay una carga de 240 µC. 2. Las placas de un condensador en paralelo están separadas entre sí, el cual tienen una medida de 2 cm a lo ancho y 4 cm a lo largo. ¿Cuál debe ser la separación en el aire de las placas de este condensador si la capacitancia total ha de ser de 4 pF? Rsta.: Antes de hallar el área de cada placa cambiaremos las unidades de medida del ancho y largo. Ancho: 2 cm = 0.02 m Entonces el área de cada placa se obtiene como sigue: Largo: 4 cm = 0.04 m 𝐴 = (0.02 𝑚)(0.04 𝑚) = 8 𝑥 10−4 𝑚2 Datos: Fórmula: A = 8 x 10-4 m2 𝐴 𝐶 = 𝜀0 C = 4 pF 𝑑 = 4 x 10-12 F 𝐴 → 𝑑 = 𝜀0 d=? 𝐶 ε0 = 8.85 x 10-12 F/m Desarrollo: 𝑑 = (8.85 𝑥10−12 𝐹/𝑚)( 8 𝑥 10−4 𝑚2 ) 4 𝑥 10−12 𝐹 d = 1.77 mm ∴ La separación de entre las placas debe ser de 1.77 mm. 3. Un determinado condensador tiene una capacitancia de 5 nF cuando sus placas están separadas 0.22 mm por espacio vacío. ¿Cuál será el área de cada una de las placas del condensador? Rsta.: Datos: C = 5 nF = 5 x 10-9 F d = 0.22 mm = 2.2 x 10-4 m A=? ε0 = 8.85 x 10-12 F/m Fórmula: 𝐶 = 𝜀0 → 𝐴= Desarrollo: 𝐴 𝑑 𝐴= (2.2 𝑥 10−4 𝑚)(5 𝑥 10−9 𝐹) ) 8.85 𝑥 10−12 𝐹/𝑚 𝑑𝐶 𝜀0 A = 0.124 m2 ∴ El área de cada placa del condensador será de 0.124 m2. Br. Jhonnathan R. Castillo Benjamin Trabajo para optar al Título de Licenciado 4. Un condensador de placas paralelas de 28 µF está conectado a una fuente de diferencia de potencial el cual su carga almacenada es de 3.36 mC. ¿Qué voltaje tuvo que suministrarle para almacenar dicha carga? Rsta.: Fórmula: Datos: C = 28 µF = 28 x 10-6 F Q = 3.36 mC = 3.36 x 10-3 C V=? Desarrollo: 𝑄 𝐶= 𝑉 → 𝑉= 3.36 𝑥 10−3 𝐶 𝑉= 28 𝑥 10−6 𝐹 𝑄 𝐶 V = 120 V ∴ Se tuvo que suministrar un voltaje de 120 V. 5. Un cable coaxial posee un radio interno a igual a 0.15 mm y un radio externo b igual a 2.1 mm, el cual actúa como un condensador cilíndrico. ¿Cuál es su capacitancia si el cable tiene una longitud de 8 metros? Rsta.: Datos: a = 0.15 mm = 0.15 x 10-3 m b = 2.1 mm = 2.1 x 10-3 m C=? L=8m ε0 = 8.85 x 10-12 F/m Fórmula: 𝐶 = 2𝜋𝜀0 𝐿 𝑏 ln( ) 𝑎 Desarrollo: 𝐶 = 2𝜋(8.85 𝑥 10−12 𝐹/𝑚) 8𝑚 2.1 𝑥 10−3 ln( ) 0.15 𝑥 10−3 C = 168.56 pF ∴ Su capacitancia será de168.56 pF. 6. Un capacitor de placas paralelas tiene placas circulares de 8.22 cm de radio y 1.31 cm de separación. (a) Calcule la capacitancia; (b) ¿Qué carga aparecerá en las placas si se aplica una diferencia de potencial de 116 V? Rsta.: En el inciso (a) primero hallaremos el área de la placa circular con los datos obtenidos: Ac = π.r2 → Ac = π.(0.0822)2 = 0.0212 m2 Datos: r = 8.22 cm = 0.0822 m d = 1.31 cm = 0.0131 m (a) C = ? Si: V = 116 V (b) Q = ? Fórmula: 𝐴𝑐 𝐶 = 𝜀0 𝑑 Desarrollo: inciso (a): 𝐶 = (8.85 𝑥 10 C = 14.32 pF Br. Jhonnathan R. Castillo Benjamin −12 0.0212 𝑚2 𝐹/𝑚) 0.0131 𝑚 Trabajo para optar al Título de Licenciado En el inciso (b), con el valor de la capacitancia obtenido en (a) hallaremos la carga Q: Fórmula: 𝑄 = 𝐶. 𝑉 Desarrollo: inciso (b): 𝑄 = (14.32 𝑥10−12 𝐹)(116 𝑉) Q = 1.66 nC ∴ La carga que aparecerá en las placas será de 1.66 nC. 7. La placa y el cátado de un diodo de tubo al vacío tienen la forma de dos cilindros concéntricos, siendo el cátodo el cilindro central. El diámetro del cátodo es de 1.62 mm y el de la placa es de 18.3 mm, teniendo ambos elementos una longitud de 2.38 cm. Calcule la capacitancia del diodo. Rsta.: Datos: a = 1.62 mm b = 18.3 mm L = 2.38 cm = 2.38 x 10-2 m C=? ε0 = 8.85 x 10-12 F/m Fórmula: 𝐶 = 2𝜋𝜀0 𝐿 𝑏 ln( ) 𝑎 Desarrollo: 𝐶 = 2𝜋(8.85 𝑥 10−12 𝐹/𝑚) 2.38 𝑥 10−2 𝑚 18.3 𝑚𝑚 ln( ) 1.62 𝑚𝑚 C = 545.86 fF 8. Las placas de un capacitor esférico tienen radios de 38 mm y 40 mm. (a) Calcule la capacitancia del capacitor esférico y (b) ¿Cuál debe ser el área de la placa de un capacitor de placas paralelas con la misma separación entre placas y la misma capacitancia? Rsta.: Desarrollando el inciso (a): Datos: a = 38 mm = 38 x 10-3 m b = 40 mm = 40 x 10-3 m C=? ε0 = 8.85 x 10-12 F/m Fórmula: 𝐶 = 4𝜋𝜀0 𝑎. 𝑏 𝑏−𝑎 Desarrollo: inciso (a): 𝐶 = 4𝜋(8.85 𝑥 10 −12 (38 𝑥 10−3 𝑚)(40 𝑥 10−3 𝑚) 𝐹/𝑚) (40 𝑥 10−3 𝑚 − 38 𝑥 10−3 𝑚) C = 84.52 pF Desarrollando el inciso (b): tomaremos como dato el valor capacitancia encontrada en el inciso (a) y la distancia (d) de separación entre las placas será de: b – a, entonces: (40 x 10-3 m) – (38 x 10-3 m) = 2 x 10-3 m = d Br. Jhonnathan R. Castillo Benjamin Trabajo para optar al Título de Licenciado Fórmula: 𝐴 𝐶 = 𝜀0 𝑑 → 𝐴= Desarrollo: (2 𝑥 10−3 𝑚)(84.52 𝑥 10−12 𝐹) 𝐴= ) 8.85 𝑥 10−12 𝐹/𝑚 𝑑𝐶 𝜀0 A = 19.10 x 10-3 m2 ∴ El área de la placa debe ser de 19.10 x10-3 m2. Ejercicios Propuestos 1. Una diferencia de potencial de 110 V se aplica a través de las placas de un condensador de placas paralelas. Si la carga total en cada placa es de 1200 µC, ¿Cuál es la capacitancia? 2. Calcular la carga acumulada por un condensador de 100 mF al cual se le aplica una ddp (diferencia de potencial) de 40V. 3. ¿Qué diferencia de potencial se requiere para almacenar una carga de 800 µC en un condensador de 40 µF? 4. Las placas de un capacitor de placas paralelas están separadas por un distancia de 1 mm. ¿Cuál debe ser el área de su placa si la capacitancia ha de ser 1 F? 5. El espaciemineto entre los conductores de un cable coaxial largo, usado para transmitir señales de TV, tiene un radio interior a = 0.13 mm y un radio exterior b = 1.9 mm. ¿Cuál es la capacitancia por unidad de longitud de este cable? 6. El electrómetro es un aparto que sirve para medir la carga estática. Se coloca una carga desconocida en las placas de un capacitor y se mide la diferencia de potencial. ¿Cuál es la carga mínima que puede medirse con un electrómetro con una capacitancia de 50 pF y una sensibilidad de voltaje de 0.15 V? 7. Los dos objetos de metal de la figura tienen cagas netas de +73 pC y -73 pC, dando como resultado una diferencia de potencial de 19.2 V entre ellos. (a) ¿Cuál es la capacitancia del sistema?; (b) si las cargas se cambian a +210 pC y -210 pC ¿Cuál es la capacitancia resultante? 8. Considere un condensador de placas paralelas, cada una con un área de 0.2 m2 y separadas una distancia 1cm. A este condensador se le aplica una diferencia de potencial V = 3000 voltios hasta que el condensador se carga, después de lo cual se desconecta de la batería y el condensador queda aislado. Calcule la capacitancia del condensador. Br. Jhonnathan R. Castillo Benjamin Trabajo para optar al Título de Licenciado 9. Calcular la capacidad de un condensador esférico de a = 5 cm y b = 8 cm. Supongamos ahora, que este condensador cargado con 6 μC se une a otro inicialmente descargado de radios a = 4 cm y b = 10 cm. Determinar la carga de cada condensador después de la unión. 10. Calcular de la capacidad de un condensador cilíndrico de radio interior a = 3 cm, exterior b = 5 cm y longitud d = 30 cm. Supongamos ahora que ese mismo condensador se conectan a una diferencia de potencial de 100 V, después de lo cual se aísla de la diferencia de potencial. Calcular ahora la carga del condensador. 11. Calcular cual es la capacitancia de un capacitor de placas paralelas formado por dos conductores cuadrados de lado 10 cm y separados por 1 mm. Luego calcule el voltaje que se le tienen que suministrar para que el capacitor tenga una carga de 2.1 nC. 12. Un condensador de placas paralelas de área 100 cm2 y capacitancia 180 pF se carga a 12 voltios y luego se desconecta de la bateria. Determinar la distancia de separacion de las placas paralelas y la carga que experimenta el condensador. 13. Un codensador esférico de 12 pF es cargado con una diferencia de potencial de 110 V. Calcular el radio exterior del condensador si su radio interior es de 13 cm y tambien hallar la carga que experimenta. Br. Jhonnathan R. Castillo Benjamin
