Problema 1.2

EJERCICIOS Y PROBLEMAS – REPASO PROPIEDADES ELEMENTALES
Problema 1.2
Problema de clase
Para un recinto portuario, un relleno hidráulico, formado por arena (Gs = 2,71)
y agua del mar (γwm.= 11,5 kN/m3), puede realizarse según tres posibilidades:
a) Con una concentración de 0,4 kN/m3.
b) Con un contenido de arena del 40% en peso.
c) Con un contenido de arena del 40% en volumen.
Se pide:
1) Sin calcular los pesos específicos correspondientes, indicar en cual de
los tres casos se obtendrá un relleno con el peso específico mayor.
2) Determinar el peso específico en cada caso.
3) Determinar, para el caso a), que porcentaje de arena se tiene en peso y
en volumen.
4) Determinar, para los casos b) y c) la concentración.
5) Determinar el peso específico de una mezcla, a partes iguales en
volumen, de los tres casos y determinar la concentración y los contenidos
de arena en peso y en volumen.
6) ¿Qué opina sobre el concepto y valor de la concentración que se ha
manejado en la resolución del problema?.
1) – Entre los casos b) y c) está claro que tendrá mayor peso específico con 40% en
volumen que con un 40% en peso, pues el peso específico de las partículas de
arena es 2,71 (GS) veces mayor que el del agua y un peso del 40% supondrá menos
volumen de suelo que un 40% del volumen (y por tanto menos cantidad de suelo y
menos peso específico final). Veámoslo:
con un 40% en volumen:
VS = 0,4 ⋅ VT 
0,4
⋅ VWm → VS ≈ 0,67 ⋅ VWm
 → VS =
VWm = 0,6 ⋅ VT 
0,6
mientras que con un 40% en peso:
PS = 0,4 ⋅ PT 
0,4
0,4
⋅ PWm → VS ⋅ γ S =
⋅ VWm ⋅ γ Wm →
 → PS =
PWm = 0,6 ⋅ PT 
0,6
0,6
→ VS =
0,4 γ Wm
γ
⋅
⋅ VWm ≈ 0,67 ⋅ Wm ⋅ VWm p 0,67 ⋅ VWm
0,6 γ S
γS
( pues
γ Wm
p 1)
γS
será pues en el caso c) en el que más cantidad de arena habrá en el relleno y por
tanto tendrá mayor peso específico.
El caso a) es más difícil de comparar “a simple vista” con los anteriores, pero, por m3
de volumen total, se tiene un contenido en volumen de suelo de:
VS =
PS
γS
=
PS
0,4
=
= 0,01476 m3
GS ⋅ γ W 2,71⋅10
→ VS ≈ 0,015 m3
es decir, un 1,5 % en volumen y por tanto el peso específico será menor.
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2) – El peso específico en cada caso será:
PS
= 0,4 kN / m3
VT
Se puede resolver tomando un volumen total de 1 m3, para el cual, como se vio
antes:
Caso a): concentración de 0,4 kN/m3, es decir, c =
PS = 0,4 kN = VS ⋅ γ S → VS =
0,4
γS
=
0,4
0,4
=
= 0,01476 m3 ≈ 0,015 m3
GS ⋅ γ W 2,71 ⋅10
de donde:
VWm = 1 − 0,015 = 0,985 m3 → PWm = VWm ⋅ γ Wm = 0,985 ⋅11,5 = 11,3275 ≈ 11,33 kN
y por tanto, denominando γR al peso específico del relleno:
γR =
PT PS + PWm 0,4 + 11,3
=
=
= 11,73 kN / m3
VT
VT
1
Es mejor resolverlo de una forma más general:
γR =
 PS = c ⋅ VT

PT PS + PWm
c ⋅ VT + γ Wm (VT − VS )
=
→
 →γ R =
VT
VT
VT
 PWm = γ Wm ⋅ VWm = γ Wm (VT − VS ) 

VS
 γ R = c + γ Wm (1 − V )

T
→
 VS = PS = c
 VT γ S ⋅ VT γ S



→


γ R = c + γ Wm (1 −
c
γS
→
)
y, expresándolo en función de los datos conocidos:
γ R = c + γ Wm (1 −
c
)
GS ⋅ γ W
por tanto:
γ R = 0,4 + 11,5 ⋅ (1 −
0,4
) = 11,7303 kN / m3
2,71⋅10
→ γ R ≈ 11.73 kN / m3
que es el mismo valor obtenido antes.
Nota: En este y otros problemas pueden obtenerse resultados ligeramente diferentes según los
redondeos que se realicen y las diferentes vías de cálculo que se elijan.
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PS
= 0,4
PT
Lo resolveremos de una forma general, partiendo de la definición de γR y tratando de
expresar todos los términos en función de uno sólo desconocido, que se eliminará.
Caso b): concentración en peso del 40%: cP =

1

 PS = c p .PT → VS = c p ⋅ PT ⋅ γ

P
PT


S
γR = T =
→
→
VT VS + VWm
 P = (1 − c ) ⋅ P → V = (1 − c ) ⋅ P ⋅ 1 
p
T
Wm
p
T
 Wm
γ Wm 
PT
1
→ γR =
→ γR =
cp 1− cp
1
1
c p ⋅ PT ⋅ + (1 − c p ) ⋅ PT ⋅
+
γS
γ Wm
γs
γ Wm
y, expresándolo en función de los datos conocidos:
γR =
1
cp
GS ⋅ γ W
+
1− cp
γ Wm
por tanto:
γR =
1
= 14,9401 kN / m3
0,4
1 − 0,4
+
2,71⋅10 11,5
Caso c): concentración en volumen del 40%: cv =
→ γ R ≈ 14,94 kN / m3
VS
= 0,4
VT
Con el mismo criterio que antes:
 VS = cv .VT → PS = cv ⋅ VT ⋅ γ S

PT PS + PWm
=
→
→
V
(
1
c
)
V
P
(
1
c
)
V
=
−
⋅
→
=
−
⋅
⋅
γ
VT
VT
Wm
v
T
Wm
v
T
Wn


c ⋅ V ⋅ γ + (1 − cv ) ⋅ VT ⋅ γ Wm
→ γR = v T S
→ γ R = cv ⋅ (γ S − γ Wm ) + γ Wm
VT
γR =
y, expresándolo en función de los datos conocidos:
γ R = cv ⋅ (GS ⋅ γ W − γ Wm ) + γ Wm
por tanto:
γ R = 0,4 ⋅ (2,71⋅10 − 11,5) + 11,5 = 17,74 kN / m3 → γ R = 17,74 kN / m3
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3) – De las fórmulas obtenidas en los apartados b) y c) anteriores:
γR =
1
1

−

γ R γ Wm

c p =

1
1


−
 → 
GS ⋅ γ W γ Wm




γ R − γ Wm
cv = G ⋅ γ − γ
S
W
Wm

1
cp
GS ⋅ γ W
+
1 − cp
γ Wm
γ R = cv ⋅ (GS ⋅ γ W − γ Wm ) + γ Wm
con el valor del peso específico obtenido para el caso a): γR = 11,73 kN/m3:
1
1
−
11,73 11,5
cp =
= 0,03406 →
1
1
−
2,71⋅10 11,5
Concentración en peso cp ≈ 3,41 %
11,73 − 11,5
= 0,01474 →
2,71⋅10 − 11,5
Concentración en volumen cv ≈ 1,47 %
cv =
4) – De la fórmula obtenida para el caso a):
γ R = c + γ Wm ⋅ (1 −
c
γ −γ
) → c = R Wm
γ
GS ⋅ γ W
1 − Wm
GS .γ W
Para un 40 % de arena en peso, se tenía que γR = 14,94 kN/m3, y por tanto:
c=
14,94 − 11,5
= 5,9759 kN / m3
11,5
1−
2,71⋅10
→
Concentración: c ≈ 5,98 kN/m3
Para un 40 % de arena en volumen, γR = 17,74 kN/m3, y por tanto:
c=
17,74 − 11,5
= 10,84 kN / m3
11,5
1−
2,71⋅10
→
Concentración: c ≈ 10,84 kN/m3
5) – El peso específico de la mezcla, γRm, será la media de los tres pesos
específicos, γR1, γR2 y γR3 :
n
γ Rm =
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γ R1 + γ R 2 + γ R 3
3
→
en general:
→ γ Rm =
∑γ
i =1
n
Ri
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lo anterior se puede comprobar fácilmente:
PTm PT 1 + PT 2 + PT 3 
=
P +P +P
P
P
1 P

VTm VT 1 + VT 2 + VT 3  → γ Rm = T 1 T 2 T 3 = ⋅ ( T 1 + T 2 + T 3 ) →
3 ⋅ VT
3 VT VT VT

VT 1 = VT 2 = VT 3 = VT

γ Rm =
1
→ γ Rm = ⋅ (γ R1 + γ R 2 + γ R 3 )
3
Con los valores obtenidos anteriormente:
γ Rm =
11,73 + 14,94 + 17,74
= 14,8033 kN / m3
3
→ γ Rm ≈ 14,80 kN / m3
La concentración y el contenido de arena en peso y volumen se pueden calcular con
las fórmulas obtenidas anteriormente:
c=
γ Rm − γ Wm
γ
1 − Wm
GS .γ W
1
cp =
cv =
γ Rm
−
→ c=
1
γ Wm
1
1
−
GS ⋅ γ W γ Wm
γ Rm − γ Wm
GS ⋅ γ W − γ Wm
14,8 − 11,5
= 5,7327
11,5
1−
2,71 ⋅10
→ c ≈ 5,73 kN / m3
1
1
−
14,8 11,5
= 0,38734 → c p ≈ 38,7 %
→ cp =
1
1
−
2,71⋅10 11,5
→ cv =
14,8 − 11,5
= 0,21154
2,71 ⋅10 − 11,5
→ cv ≈ 21,2 %
6) – La concentración de una suspensión de sólidos en un líquido es el peso de
sólidos dividido por el volumen total de la suspensión.
En todo momento, durante la resolución del problema, se ha tomado el peso de
sólidos como el peso de arena, y el líquido como el agua del mar.
Pero el agua del mar está formada por sales (que deben considerarse como parte de
la fase sólida del suelo) disueltas en agua (a la que se le asigna un peso específico
de 10 kN/m3 habitualmente).
Por tanto, la verdadera concentración de la suspensión será la suma de los pesos de
arena y sales dividida por el volumen total:
c=
PS PArena + PSales
=
VT
VT
Nota: Resolver el apartado F del problema complementario para ver la diferencia.
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Problema complementario 1.2:
A. Determinar el peso específico de una mezcla, a partes iguales en peso, de los tres
casos planteados. Y obtener la concentración, el contenido de arena en peso y en
volumen de esa mezcla.
B. Dibujar la variación del peso específico del relleno con:
1) La concentración.
2) Con el contenido de arena en % en peso (discutir el máximo valor que podrá
alcanzar dicho porcentaje).
3) Ídem con el % en volumen.
4) Discutir, en cada uno de los casos anteriores, cuando puede considerarse que
deja de ser un relleno hidráulico (empuje hidrostático) para ser un suelo.
C. Obtener las expresiones que relacionan, dos a dos, la concentración, el contenido de
arena en peso y el contenido de arena en volumen. Dibujar las gráficas de dichas
relaciones indicando los rangos de validez real de las mismas.
D. Si se dispone de un préstamo de otra arena, con un peso específico de las partículas
de 2,67 y una humedad natural del 12,4 % (agua con γw = 10 kN/m3), se pide:
1) Determinar que peso de esta última arena hay que añadir, por metro cúbico de
relleno, para que este alcance un peso específico de 16 kN/m3.
2) Dibujar la variación del peso específico del relleno con el peso por metro cúbico
añadido de la segunda arena.
3) Dibujar la variación de la concentración del relleno con el peso por metro cúbico
añadido de la segunda arena.
E. En el relleno original, de 5 m de altura y con una concentración de 0,4 kN/m3, se
supone, en un instante inicial, la arena distribuida uniformemente y formada por
partículas (asimilables a forma esférica) con la siguiente distribución por tamaños:
De 0,09 mm de diámetro
De 0,12 mm de diámetro
De 0,60 mm de diámetro
De 1,00 mm de diámetro
10 %
20 %
30 %
40 %
1) Si a partir del inicio de la sedimentación se toman mediciones de la concentración
a 1 m de profundidad, determinar a que intervalos de tiempo habrá que realizar
estas mediciones para comprobar la granulometría de la arena.
2) Estudiar la variación con el tiempo del peso de arena en los dos metros
superiores del relleno.
3) Si la arena sedimenta totalmente, determinar la profundidad de lámina libre de
agua que quedará sobre la arena (tomar las hipótesis que, razonadamente, se
consideren oportunas).
F. Teniendo en cuenta que el peso específico del agua del mar es mayor que la del
agua (10 kN/m3) debido a las sales disueltas, y considerando éstas como parte de la
fase sólida del suelo, calcular los verdaderos valores de la concentración, el
contenido de sólidos en peso y el contenido de sólidos en volumen del relleno. ¿Qué
dato(s) es necesario conocer para realizar dicho cálculo? (haga una hipótesis
razonable sobre dicho dato para realizar el cálculo).
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