TRIEDRO DE FRENET, CURVATURA Y TORSIÓN DE CURVAS
REGULARES EN R3
CÉSAR ROSALES.
CURVAS Y SUPERFICIES
Tras la experiencia con curvas p.p.a. vamos a estudiar cómo se definen el triedro de Frenet,
la curvatura y la torsión de curvas regulares en R3 . Procederemos igual que se hizo para definir
el diedro de Frenet y la curvatura de curvas en R2 .
Sea α : I → R3 una curva regular. Sabemos que existe un difeomorfismo creciente φ : J → I
entre intervalos abiertos de R tal que la reparametrización β : J → R3 dada por β := α ◦ φ es
una curva p.p.a. Para cada t ∈ I, definimos:
Tα (t) := Tβ (φ−1 (t)),
kα (t) := kβ (φ−1 (t)).
Nótese que kα > 0 en I si y sólo si kβ > 0 en J. En tal caso, introducimos también:
Nα (t) := Nβ (φ−1 (t)),
Bα (t) := Bβ (φ−1 (t)),
τα (t) := τβ (φ−1 (t)).
El siguiente resultado refleja que las definiciones anteriores no dependen del difeomorfismo
creciente φ que se utilice para reparametrizar α por el arco. Además, nos enseña expresiones de
cálculo útiles que sólo involucran a la curva α y sus derivadas.
Lema 1. Sea α : I → R3 una curva regular. Entonces, se tiene que:
Tα (t) =
α0 (t)
,
|α0 (t)|
Bα (t) =
α0 (t) × α00 (t)
,
|α0 (t) × α00 (t)|
Nα (t) = Bα (t) × Tα (t).
Además, se cumple que:
kα (t) =
|α0 (t) × α00 (t)|
,
|α0 (t)|3
τα (t) = −
det(α0 (t), α00 (t), α000 (t))
.
|α0 (t) × α00 (t)|2
Finalmente, se cumplen las ecuaciones:
0
0
Tα (t) = |α (t)| kα (t) Nα (t),
Nα0 (t) = −|α0 (t)| kα (t) Tα (t) − |α0 (t)| τα (t) Bα (t),
0
Bα (t) = |α0 (t)| τα (t) Nα (t),
para cada t ∈ I.
Demostración. Sea φ : J → I un difeomorfismo creciente tal que β := α ◦ φ está p.p.a. Como
β 0 (s) = φ0 (s) α0 (φ(s)),
(1)
tomando módulos y usando que β está p.p.a., se sigue que:
1
(2)
φ0 (s) = 0
.
|α (φ(s))|
Derivando con respecto a s y teniendo en cuenta (2), llegamos a:
0
(3)
00
φ (s) = −
α (φ(s))
φ0 (s) α00 (φ(s)), |α
0 (φ(s))|
|α0 (φ(s))|2
=−
α0 (φ(s)), α00 (φ(s))
.
|α0 (φ(s))|4
2
CÉSAR ROSALES. CURVAS Y SUPERFICIES
Por otro lado, a partir de (1), obtenemos:
(4)
β 00 (s) = φ00 (s) α0 (φ(s)) + φ0 (s)2 α00 (φ(s)),
(5)
β 000 (s) = φ000 (s) α0 (φ(s)) + 3 φ0 (s) φ00 (s) α00 (φ(s)) + φ0 (s)3 α000 (φ(s)).
Vamos a probar lo que dice el lema. Dado t ∈ I denotaremos s := φ−1 (t) ∈ J, por lo que
φ(s) = t. Calculemos Tα (t) y kα (t). Nótese que:
Tα (t) = Tβ (s) = β 0 (s) =
α0 (t)
,
|α0 (t)|
donde en la última igualdad hemos usado (1) y (2). Por otro lado:
kα (t)2 = kβ (s)2 = |β 00 (s)|2 = φ00 (s)2 |α0 (t)|2 + φ0 (s)4 |α00 (t)|2 + 2 φ0 (s)2 φ00 (s) α0 (t), α00 (t)
α0 (t), α00 (t)
=
|α0 (t)|6
2
α0 (t), α00 (t)
|α00 (t)|2
+ 0 4 −2
|α (t)|
|α0 (t)|6
|α0 (t)|2 |α00 (t)|2 − α0 (t), α00 (t)
=
|α0 (t)|6
2
=
2
|α0 (t) × α00 (t)|2
,
|α0 (t)|6
donde hemos usado (4), (2) y (3). Tomando raíces cuadradas tenemos la expresión anunciada
para kα (t).
Supongamos ahora que kα > 0 y calculemos Nα (t) y Bα (t). Nótese que:
Nα (t) = Nβ (s) =
=−
=
β 00 (s)
φ00 (s) α0 (t) + φ0 (s)2 α00 (t) 0 3
=
|α (t)|
00
|β (s)|
|α0 (t) × α00 (t)|
α0 (t), α00 (t) |α0 (t)|3 0
|α0 (t)|3
α
(t)
+
α00 (t)
|α0 (t)|4 |α0 (t) × α00 (t)|
|α0 (t)|2 |α0 (t) × α00 (t)|
α0 (t), α00 (t)
|α0 (t)|
00
α
(t)
−
α0 (t),
|α0 (t) × α00 (t)|
|α0 (t)| |α0 (t) × α00 (t)|
donde hemos usando nuevamente (4), (2) y (3), junto con la expresión de antes para |β 00 (s)|.
Teniendo en cuenta lo obtenido para Tα (t) y Nα (t), conseguimos:
Bα (t) = Bβ (s) = Tβ (s) × Nβ (s) = Tα (t) × Nα (t) =
α0 (t) × α00 (t)
,
|α0 (t) × α00 (t)|
donde en la última igualdad hemos usado que u × v = 0 si los vectores u y v son proporcionales.
Como {Tα (t), Nα (t), Bα (t)} es una base ortonormal positiva de R3 concluimos que:
Nα (t) = Bα (t) × Tα (t).
En cuanto a la torsión τα (t), gracias a las ecuaciones (1), (4), (5), a propiedades de los
determinantes, y a la expresión de antes para |β 00 (s)|, obtenemos:
τα (t) = τβ (s) = −
det(β 0 (s), β 00 (s), β 000 (s))
φ0 (s)6 det(α0 (t), α00 (t), α000 (t)) |α0 (t)|6
=−
,
00
2
|β (s)|
|α0 (t) × α00 (t)|2
que, por (2), nos da la igualdad deseada para τα (t) tras simplificar.
Finalmente, como (φ◦φ−1 )(t) = t, podemos derivar para obtener φ0 (s) (φ−1 )0 (t) = 1, es decir:
1
(φ−1 )0 (t) = 0
= |α0 (t)|,
φ (s)
donde hemos usado (2). Como consecuencia:
Tα0 (t) =
d
Tβ (φ−1 (t)) = (φ−1 )0 (t) Tβ0 (s) = |α0 (t)| kβ (s) Nβ (s) = |α0 (t)| kα (t) Nα (t),
dt t
TRIEDRO DE FRENET, CURVATURA Y TORSIÓN DE CURVAS REGULARES EN R3
3
donde en la tercera igualdad hemos usando la primera ecuación de Frenet de β. La demostración
de las restantes igualdades es análoga.
Definición. Sea α : I → R3 una curva regular con kα > 0 en I. Para cada t ∈ I, la base
ortonormal positiva de R3 dada por {Tα (t), Nα (t), Bα (t)} se llama triedro de Frenet de α en t.
Las rectas α(t) + L(Tα (t)), α(t) + L(Nα (t)) y α(t) + L(Bα (t)) son, respectivamente, las rectas
afines tangente, normal y binormal de α en t. El plano afín α(t) + L(Tα (t), Nα (t)) se llama plano
afín osculador de α en t. Las funciones diferenciables kα , τα : I → R son la curvatura y torsión
de α. Las tres últimas igualdades en el enunciado del Lema 1 son las ecuaciones de Frenet de
α. Cuando α está p.p.a. deducimos las expresiones ya conocidas.
Terminaremos este apartado con algunas propiedades útiles de la curvatura y la torsión.
Lema 2. Se cumplen las siguientes propiedades:
(i) (Carácter local). Sean α : I → R3 y β : J → R3 dos curvas regulares y t0 ∈ I ∩ J. Si se
cumple α = β en un intervalo (t0 − ε, t0 + ε) ⊂ I ∩ J, entonces kα (t0 ) = kβ (t0 ). Además,
si kα (t0 ) > 0 entonces τα (t0 ) = τβ (t0 ).
(ii) (Comportamiento frente a movimientos rígidos). Sea α : I → R3 una curva regular y
φ : R3 → R3 un movimiento rígido. Definimos la curva β := φ ◦ α : I → R3 . Entonces β
es regular y kβ = kα . Además, si kα > 0, entonces τβ = τα si φ es directo, mientras que
τβ = −τα si φ es inverso.
(iii) (Invarianza por reparametrizaciones). Sea α : I → R3 una curva regular y φ : J → I
un difeomorfismo. Definimos la curva β := α ◦ φ : J → R3 . Entonces β es regular y se
cumplen las igualdades kβ = kα ◦ φ y τβ = τα ◦ φ.
Ejercicio. Demostrar el Lema 2.
