Representar la función: y=ln(x2-1) 1. INFORMACIÓN EXTRAÍDA DE LA FUNCIÓN 1) Dominio El ln de x2-1 no existe desde -1 a 1, ya que sólo existe el logaritmo de los números positivos, luego la función está definida en (-,-1) y en (1,) 2) Cortes con los ejes y signo Con el eje OY: cuando x=0 la función no está definida luego no tiene corte con este eje. Con el eje OX: resolvemos la ecuación ln(x2-1)=0, es decir (x2-1)=1 resultando las soluciones x=-2, y x=2 Cambia el valor de x en la escena o arrastra el punto rojo con el ratón, podrás ver los valores que toma y=f(x). Observa como en el intervalo [1,1] la función no alcanza ningún valor. x (-,2) y + (-2,2 1) 0 - [1,1] (1,2) 2 (2,) - 0 + 3) Simetría Se trata de una función PAR ya que f(-x)=ln((-x)2-1)=f(x) por tanto es simétrica respecto al eje de ordenadas. 4) Asíntotas Cambia el valor de x o arrastra el punto rojo con el ratón VERTICALES, las rectas x=-1 y x=1 ya que HORIZONTALES, no hay puesto que En este caso tampoco hay OBLICUAS acercándote a 1 o a -1, para comprobar que cuando x-1y; y que cuando x1+ y 2. INFORMACIÓN EXTRAÍDA DE LA PRIMERA DERIVADA 5) Crecimiento y decrecimiento. Máximos y mínimos Calculamos la derivada y'=2x/(x21) La ecuación: 2x/(x2-1)=0 tiene como solución x=0 que no pertenece al dominio de la función, por lo que ésta no tendrá extremos relativos. Ahora bien: o Si x<-1 f'(x)<0 o Si x>1 f'(x)>0 luego la función es decreciente antes de -1 y creciente después de 1. x (-,-1) [-1,1] (1,) y' - + \ / En la escena aparece representada y=f'(x). ¿Qué signo presenta según los valores de x?. Observa que en este caso el intervalo [-1,1] no pertenece al dominio. Cambia el valor de x pulsando sobre las flechas o arrastrando el punto rojo con el ratón. 3. INFORMACIÓN EXTRAÍDA DE LA SEGUNDA DERIVADA 6) Concavidad y convexidad. Puntos de inflexión Calculamos la segunda derivada y''=(-2x2-2)/(x2-1)2 Observamos que la ecuación y''=0 no tiene soluciones reales por lo que la función no tendrá puntos de inflexión. Por otra parte y''<0 para cualquier valor de x, luego siempre presenta la concavidad hacia abajo. x (-,-1) [-1,1] (1,) y'' - - Observa la gráfica de f''(x) ¿corta al eje de abscisas?, ¿qué signo presenta en todo su dominio?. También puedes comprobar los resultados cambiando el valor de x en la escena 4. REPRESENTAR LA CURVA 7) Dibujar la gráfica Resumir en una tabla los resultados anteriores ayudará a reflejarlos en la gráfica x -2 -1- [-1,1] 1+ 2 y 0 0 y' - + y'' - - \ / En la escena está resumida la información anterior. Da a "¿dibujar?" valor 1 para ver la gráfica de la función. 4. Obtenida la información, REPRESENTAR LA CURVA 7) Dibujar la gráfica Distinguir en el plano coordenado las zonas en las que la función no está definida y las regiones en que se dibujará, a partir del dominio y del signo. Considerar la simetría si existe. Dibujar las asíntotas y averiguar en el caso de las horizontales y oblicuas si la función se aproxima por encima o por debajo de la recta, y en el caso de las verticales si tiende a - ó + Situar los extremos relativos y los puntos de inflexión Completar la gráfica teniendo en cuenta el crecimiento o decrecimiento y la curvatura, y haciéndola pasar por los puntos ya conocidos. En ocasiones, si los datos obtenidos no resultan suficientes, siempre podemos ampliarlos con una tabla de valores. Resumir la información obtenida en una tabla nos ayudará a reflejarla en la gráfica. x A la vista de la gráfica completa la tabla en tu cuaderno: (-,-1) y y' y'' -1 (-1,0) 0 AV - 0 + (0,1) 1 (1,+) AV + - Da a función valor 1 y escribe una tabla semejante para la función representada ahora. 1. INFORMACIÓN EXTRAÍDA DE LA FUNCIÓN 1) Dominio Conjunto de números reales que tienen imagen, es decir, donde está definida la función. 2) Cortes con los ejes y signo de f(x) Con el eje OY: hacemos x=0 en la fórmula de la función y calculamos el valor de y resultante. Con el eje OX: aquí debe ser y=0, luego resolvemos la ecuación f(x)=0 Estudiar el SIGNO de f(x) puede servirnos para determinar las regiones donde se dibujará la gráfica. Consideramos los intervalos determinados por los puntos de corte con el eje OX y los puntos de discontinuidad si los hubiera, y estudiamos el signo de la función en cada uno de ellos. Dando a función valor 1, se dibujará una función y=f(x). Cambiando el valor de x ó arrastrando el punto rojo con el ratón podrás ver los valores que toma Escribe el dominio de la función de la figura ¿En qué puntos corta a los ejes coordenados? ¿En qué intervalos f(x)>0?, ¿dónde es f(x)<0? Utiliza el botón LIMPIAR, después da a función valor 2, se dibujará otra función y=g(x) Contesta a lo mismo para y=g(x) 3) Simetría y periodicidad Una función y =f(x) es PAR si f(-x)=f(x). En este caso la gráfica es simétrica respecto al eje de ordenadas Una función y=f(x) es IMPAR si f(-x)=-f(x). En este caso es simétrica respecto al origen. Una función es PERIÓDICA de periodo P si f(x+P)=f(x). Su gráfica se repite cada cierto intervalo de amplitud P. Da a función valor 1, comprueba, cambiando el valor de la x ó arrastrando el punto rojo con el ratón, que la función que se dibuja es IMPAR. Observa la simetría respecto al origen. Si das a función valor 2 se dibujará otra función, ¿es PAR o IMPAR? 4) Asíntotas VERTICALES: Si HORIZONTALES: Si la recta y=b es asíntota horizontal. OBLICUAS: Cuando y=mx+n, donde puede haber asíntota oblícua, la recta la recta x=a es asíntota vertical. Observa la función de la escena. Comprueba, cambiando el valor de x, que cuando x-1 y cuando x1, y. ¿Cuáles son las asíntotas verticales?. ¿Qué ocurre cuando x ó cuando x?, Utiliza el botón LIMPIAR, después da a función valor 1, se dibujará de nuevo y=f(x). Cambia el valor de x o arrastra el punto rojo. ¿Qué asíntotas tiene esta función?, escríbelas. 2. INFORMACIÓN EXTRAÍDA DE LA PRIMERA DERIVADA 5) Crecimiento y decrecimiento. Máximos y mínimos Consideramos los intervalos determinados por las soluciones de f'(x)=0 y los puntos de discontinuidad Si f'(x)>0 en (a,b) la función es CRECIENTE en (a,b) Si f'(x)<0 en (a,b) la función es DECRECIENTE en (a,b) Si f'(x)=0 en x0 y además o la función pasa de ser creciente a ser decreciente hay un MÁXIMO relativo en x0 o la función pasa de ser decreciente a ser creciente hay un MÍNIMO relativo en x0 También podemos aplicar el criterio de la derivada segunda: o o f'(x0)=0 y f''(x0)<0 MÁXIMO en (x0,f(x0)) f'(x0)=0 y f''(x0)>0 MÍNIMO en (x0,f(x0) En la escena aparece representada la gráfica de la función derivada de otra y=f'(x) Observa en qué puntos corta al eje de abscisas.¿Cuál es el signo de f´(x) antes y después de esos valores?. Escribe los intervalos de crecimiento y decrecimiento de y=f(x). ¿Tiene máximos o mínimos esta función? Para comprobarlo cambia el valor de x. Si das a ¿dibujar?, valor 1, aparecerá la gráfica de y=f(x) Utiliza el botón INICIO y dando a función valor 2, se dibujará otra función derivada y=g'(x) Repite los pasos anteriores en este caso. 3. INFORMACIÓN EXTRAÍDA DE LA SEGUNDA DERIVADA 6) Concavidad y convexidad. Puntos de inflexión Consideramos los intervalos determinados por las soluciones de f''(x)=0 y los puntos de discontinuidad Si f''(x)>0 en (a,b) la función presenta su concavidad hacia arriba (), es CONVEXA en (a,b) Si f''(x)<0 en (a,b) la función presenta la concavidad hacia abajo (), es CÓNCAVA en (a,b) Si f''(x)=0 en x0 y además la función cambia su concavidad hay un PUNTO DE INFLEXIÓN en x0 Ahora en la escena está representada y=f''(x) ¿Dónde se hace 0?, ¿para qué valores de x es f''(x)>0 ó f''(x)<0?, ¿los puntos donde f''(x) cambia el signo son de inflexión? Como antes si cambias el valor de x y das a ¿dibujar?, valor 1, aparecerá la gráfica de f(x) y podrás comprobarlo. Utiliza el botón INICIO y da a función valor 2, se dibujará y=g''(x). Observa esta nueva función. Escribe los intervalos de concavidad ó convexidad de y=g(x), ¿hay puntos de inflexión?. Puedes comprobarlo en la escena también.