UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO
FACULTAD DE INGENIERÍA ELÉCTRICA Y ELECTRÓNICA
ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERÍA ELÉCTRICA
MECANICA DE SOLIDOS
DISEÑO POR PANDEO
Integrantes:
Postigo Mariño José
(1713120444)
Docente:
ING. ORTIZ ALBINO PITHER ASCENCION
CALLAO - PERÚ
2019
DISEÑO POR PANDEO
Página 0
DISEÑO POR PANDEO
I.
INTRODUCCION
Para el desarrollo de este trabajo utilizaremos elementos de la armadura (primer trabajo) la cual
deberán cumplir con el análisis necesario y no llegar al límite de pandeo, pues de no ser así se
romperían.
Con ellos realizaremos el análisis de empernaje de elementos a nuestra armadura, estos
elementos serán analizados para hallar las características de la soldadura y la fuerza que debe de
soportar dicha soldadura, esta debe ser mucho mayor a la que fue hallada antes por las fuerzas
internas.
Finalmente calcularemos el tamaño y especificaciones de la soldadura, teniendo en cuenta en la
fuerza que debe soportar la soldadura de la armadura antes analizada.
II. OBJETIVOS
Diseñar armaduras considerando pandeo de sus elementos.
Elegir el tipo de perfil más adecuado para que la estructura no sufra pandeo.
III.
MARCO TEÓRICO
En general, cuando se somete un material a un conjunto de fuerzas se produce tanto flexión,
como cizallamiento o torsión, todos estos esfuerzos conllevan la aparición de tensiones tanto
de tracción como de compresión. Aunque en ingeniería se distingue entre el esfuerzo de
compresión (axial) y las tensiones de compresión.
En un prisma mecánico el esfuerzo de compresión puede ser simplemente la fuerza resultante que
actúa sobre una determinada sección transversal al eje baricéntrico de dicho prisma, lo que tiene
el efecto de acortar la pieza en la dirección de eje baricéntrico. Las piezas prismáticas sometidas a
un esfuerzo de compresión considerable son susceptibles de experimentar pandeo flexional, por lo
que su correcto dimensionado requiere examinar dicho tipo de no linealidad geométrica.
Los ensayos practicados para medir el esfuerzo de compresión son contrarios a los aplicados al de
tracción, con respecto al sentido de la fuerza aplicada. Tiene varias limitaciones:
Dificultad de aplicar una carga concéntrica o axial, sin que aparezca pandeo.
Una probeta de sección circular es preferible a otras formas.
El ensayo se realiza en materiales:
Duros.
Semiduros.
Blandos.
Diseño por pandeo
Página 1
En una pieza prismática no-esbelta, y que no sea susceptible de sufrir pandeo sometida a
compresión uniaxial uniforme, la tensión el acortamiento unitario y los desplazamientos están
relacionados con el esfuerzo total de compresión mediante las siguientes expresiones:
Donde:
𝜎
𝜖
𝑢(𝑥)
𝐸
es la tensión de compresión
el acortamiento unitario o deformación unitaria.
el campo de desplazamientos a lo largo del eje baricéntrico del prisma.
el módulo de elasticidad longitudinal
Para analizar el comportamiento (deformación) de un material frente a los esfuerzos, se toma una
muestra y se ensaya en el laboratorio sometiéndola al esfuerzo deseado. Las conclusiones que se
obtienen del ensayo nos permiten deducir el comportamiento posterior del material en
condiciones reales (en servicio). El ensayo realizado es el de TRACCION aplicado a metales,
especialmente al ACERO por ser el metal mayormente utilizado en la construcción de maquinaria,
estructuras y elementos resistentes.
A. COMPRESION
Cuando se somete a compresión una pieza de gran longitud en relación a su
sección, se arquea recibiendo este fenómeno el nombre de pandeo. El pandeo es
un fenómeno de inestabilidad elástica que puede darse en elementos
comprimidos esbeltos, y que se manifiesta por la aparición de desplazamientos
importantes transversales a la dirección principal de compresión Los pilares y
columnas son ejemplo de elementos diseñados para resistir esfuerzos de
compresión.
B. TRACCIÓN
En el cálculo de estructuras e ingeniería se denomina tracción al esfuerzo interno a
que está sometido un cuerpo por la aplicación de dos fuerzas que actúan en
sentido opuesto, y tienden a estirarlo. Lógicamente, se considera que las tensiones
que tiene cualquier sección perpendicular a dichas fuerzas son normales a esa
Diseño por pandeo
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sección, y poseen sentidos opuestos a las fuerzas que intentan alargar el cuerpo.
Son muchos los materiales que se ven sometidos a tracción en los diversos
procesos mecánicos. Especial interés tienen los que se utilizan en obras
de arquitectura de ingeniería, tales como las rocas, la madera, el hormigón,
el acero, varios metales, etc.
Cada material posee cualidades propias que definen su comportamiento ante la
tracción. Algunas de ellas son:
-
elasticidad
plasticidad
ductilidad
fragilidad
Catalogados los materiales conforme a tales cualidades, puede decirse que los de
características pétreas, bien sean naturales, o artificiales como el hormigón, se
comportan mal frente a esfuerzos de tracción, hasta el punto que la resistencia
que poseen no se suele considerar en el cálculo de estructuras. Por el contrario, las
barras de acero soportan bien grandes esfuerzos a tracción y se considera uno de
los materiales idóneos para ello. El acero en barras corrugadas se emplea en
conjunción con el hormigón para evitar su fisuración, aportando resistencia a
tracción, dando lugar al hormigón armado.
PANDEO
Los pilares y barras comprimidas de celosías pueden presentar diversos modos de fallo en función
de su esbeltez mecánica:
Los pilares muy esbeltos suelen fallar por pandeo elástico y son sensibles tanto al pandeo local
del propio pilar como al pandeo global de la estructura completa.
En los pilares de esbeltez media las imperfecciones constructivas como las heterogeneidades
son particularmente importantes pudiéndose presentar pandeo inelástico.
Los pilares de muy baja esbeltez fallan por exceso de compresión, antes de que los efectos del
pandeo resulten importantes.
El pandeo local es el que aparece en piezas o elementos aislados o que estructuralmente pueden
considerarse aislados. En este caso la magnitud de la carga crítica viene dada según el caso por la
fórmula de Leonhard Euler o la de Engesser.
Diseño por pandeo
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La carga crítica de Euler depende de la longitud de la pieza, del material, de su sección transversal
y de las condiciones de unión, vinculación o sujeción en los extremos.
Para una pieza que puede considerarse biarticulada en sus extremos la carga crítica de Euler viene
dada por:
Siendo: Fcrit, la carga crítica; E, Módulo de Young del material de que está hecha la
barra; Imin, momento de inercia mínimo de la sección transversal de la barra; L, longitud de la barra
y λ la esbeltez mecánica de la pieza.
Cuando las condiciones de sujeción de los extremos son diferentes la carga crítica de Euler viene
dada por una ecuación del tipo:
Al producto: ∝ 𝐿 se le llama 'longitud de pandeo'.
Pandeo global:
En una estructura compleja formada por barras y otros elementos enlazados pueden aparecer
modos de deformación en los que los desplazamientos no sean proporcionales a las cargas y la
estructura puede pandear globalmente sin que ninguna de las barras o elementos estructurales
alcance su propia carga de pandeo.
Debido a este factor, la carga crítica global de cierto tipo de estructuras (por ejemplo en
entramados de cúpulas monocapa) es mucho menor que la carga crítica (local) de cada uno de sus
elementos.
El tipo de estructura más simple que presenta 'pandeo global' para carga crítica diferente de la de
sus elementos está formado por dos barras articuladas entre sí y a la cimentación, que se muestra
en la figura
Diseño por pandeo
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Las ecuaciones que gobiernan el comportamiento de la estructura son:
Ecuación del equilibrio :
Relación elástica entre acortamiento y esfuerzo axial:
Relación geométrica de las configuraciones no-deformada y deformada:
Substituyendo la segunda de las ecuaciones en la primera, despejando ΔL de la tercera y
substituyendo su valor también su valor en la primera se llega a:
El valor de Δθ para el que se alcanza el máximo es precisamente la carga crítica global. Las
cargas de pandeo global y local vienen dadas por:
Cada una estas cargas presenta modos de fallo diferentes en la estructura. De entre los
dos posibles modos de fallo por pandeo ocurrirá el que presente un ángulo de aparición
mayor donde estos ángulos vienen dados por:
Diseñar armaduras considerando pandeo de sus elementos.
Diseño por pandeo
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Elegir el tipo de perfil más adecuado para que la estructura no sufra
pandeo.
IV.
CUERPO
Del primer trabajo de armaduras
Diseño por pandeo
Página 6
Método matricial
-12.5
9.875
-5
-12.5
6.02409639
6.56174699
0
6.02409639
6.56174699
-5
-12.5
-12.5
9.875
0
9.5
9.5
𝐹1
𝐹2
𝐹3
𝐹4
𝐹5
𝐹6
𝐹7
𝐹8
𝐹9
𝐹10
𝐹11
𝐹12
𝐹13
𝑆𝑋1
𝑆𝑌1
𝑆𝑌
Observaciones:
El signo (+) fuerzas en tensión
El signo (-) fuerzas en compresión
Método de nodos
-12.46
9.95
-5
-12.46
6
6.62
0
6
6.62
-5
-12.46
-12.46
9.95
0
9.5
9.5
PROBLEMA
1. Diseñar la sección de un elemento en compresión y de un elemento en tracción de
la armadura de su primer trabajo para un material A53B.
V.
CALCULOS
DISEÑO POR COMPRESIÓN:
Sabemos que el material es de acero A53 y que el elemento EG está sometido a
compresión con una fuerza 𝐹𝐻𝐶 , entonces se sabe:
Datos del problema
𝑆𝑦 = 2500
𝑘𝑔𝑓
= 245𝑀𝑃𝑎
𝑐𝑚2
𝐸 = 29𝑥106 𝐾𝑆𝐼 = 200𝐺𝑃𝑎
L =2.5m=8.20pies=98.4251plg
𝐹1 = 𝐹𝐴𝐻 = 12.5kN
K=1 (𝑓𝑖𝑗𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑎𝑟𝑡𝑖𝑐𝑢𝑙𝑎𝑑𝑎)
Diseño por pandeo
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HIPOTESIS
𝐊𝐋
Primero veremos qué valor puede tomar “ 𝐫 ”
Sabemos que para un diseño en tracción se debe cumplir lo siguiente:
𝐊𝐋
𝐫
< 𝟐𝟎𝟎;
Asumimos
𝐊𝐋
𝐫
= 𝟏𝟓𝟎
Reemplazando los datos:
𝟏𝟓𝟎 < 𝟐𝟎𝟎
a)
Calculo de Cc
2𝜋 2 𝐸
2𝜋 2 200𝑥109 𝑃𝑎
𝐶𝐶 = √
=√
= 126.94
𝑠𝑦
245𝑥106 𝑃𝑎
𝑘𝑙
𝑟
= 150 ≥ 𝐶𝑐 = 126.17 Pandeo elástico
b)
Calculo del esfuerzo
𝜎𝑝𝑒𝑟𝑚𝑖𝑠𝑖𝑏𝑙𝑒 =
(3.1416)2 ∗200∗103
= 1.03 ∗ 106 ⁄(𝐿𝑒⁄𝑟)2 [𝑀𝑝𝑎]
(𝐿𝑒⁄𝑟)2 ∗1.92
6 ⁄(1550)2 [𝑀𝑝𝑎]
[𝑀𝑝𝑎]
𝜎𝑝𝑒𝑟𝑚𝑖𝑠𝑖𝑏𝑙𝑒 = 1.03 ∗ 10
= 45.78
𝑃
𝜎𝑝𝑒𝑟𝑚𝑖𝑠𝑖𝑏𝑙𝑒 = 𝐴 ;
𝐴=𝜎
𝑃
𝑝𝑒𝑟𝑚𝑖𝑠𝑖𝑏𝑙𝑒
12.5𝐾𝑁
= 45.77∗103 𝐾𝑁⁄𝑚2 = 2.7304 ∗ 10−4 𝑚2 = 0.423𝑝𝑙𝑔2
Con este valor nos vamos a la tabla realizada del perfil y seleccionamos una aproximada
que cumpla con esta condición.
Diseño por pandeo
Página 8
Perfil W
Para la evaluación vamos a utilizar el perfil W 8 × 10 cuyas características son:
𝐴 = 2.96 𝑝𝑢𝑙𝑔2 =1.9098*10−3 𝑚2
𝐼𝑥𝑥 = 30.8 𝑝𝑙𝑔4
;
𝑟𝑥 = 3.2257 𝑝𝑢𝑙𝑔
𝐼𝑦𝑦 = 2.09 𝑝𝑙𝑔4
;
𝑟𝑦 = 0.8403 𝑝𝑢𝑙𝑔
Se sabe que para diseñar un elemento en compresión se debe cumplir que:
KL
< 200
r
(1)(98.4252)
< 200
0.8403
Diseño por pandeo
Página 9
𝟏𝟏𝟕. 𝟏𝟑 < 𝟐𝟎𝟎 (𝐂𝐔𝐌𝐏𝐋𝐄)
Los cálculos serán:
𝐾𝐿
𝑟
a)
=
(1)98.4252
0.8403
= 117.13
Calculo de Cc
2𝜋 2 𝐸
2𝜋 2 200𝑥109 𝑃𝑎
𝐶𝐶 = √
=√
= 126.94
𝑠𝑦
245𝑥106 𝑃𝑎
𝑘𝑙
𝑟
b)
= 117 < 𝐶𝑐 = 126.94 Pandeo inelástico
Calculo del esfuerzo
𝐿𝑒
5 3( 𝑟 ) (𝐿𝑒/𝑟)3
𝐹. 𝑆. = +
−
3
8𝐶𝑐
8(𝐶𝑐 )3
𝐹. 𝑆. =
5
3(117)
(117)3
+
−
= 1.91
3 8(126.94) 8(126.94)3
(𝐿𝑒⁄ 2
𝑟) ))𝑆 }
𝑦
2𝐶𝑐2
{(1−(
c)
𝜎𝑝𝑒𝑟𝑚𝑖𝑠𝑖𝑏𝑙𝑒 =
𝐹.𝑆.
{(1 −
𝜎𝑝𝑒𝑟𝑚𝑖𝑠𝑖𝑏𝑙𝑒 =
(117.13)2
) 245𝑀𝑃𝑎}
2 ∗ (126.94)2
1.91
𝜎𝑝𝑒𝑟𝑚𝑖𝑠𝑖𝑏𝑙𝑒 = 73.66𝑀𝑃𝑎
Diseño por pandeo
Página 10
𝜎𝑝𝑒𝑟𝑚𝑖𝑠𝑖𝑏𝑙𝑒 =
𝜎𝑝𝑒𝑟𝑚𝑖𝑠𝑖𝑏𝑙𝑒 =
73.66𝑀𝑃𝑎
𝑃𝑎𝑑𝑚𝑖𝑠𝑖𝑏𝑙𝑒
𝐴
𝑃𝑎𝑑𝑚𝑖𝑠𝑖𝑏𝑙𝑒 = 73.66𝑀𝑃𝑎 ∗ 1.9098 ∗ 10−3 𝑚2 =140.687KN
𝑃𝑎𝑑𝑚𝑖𝑠𝑖𝑏𝑙𝑒 = 140.687KN
Entonces se observa:
𝑃𝑎𝑑𝑚𝑖𝑠𝑖𝑏𝑙𝑒 > 𝐹𝐴𝐵
140.687KN > 12.5 𝐾𝑁
Por lo tanto el perfil estructural de acero W 𝟖 × 𝟏𝟎 es el adecuado para el diseño
de este elemento.
DISEÑO POR TRACCION:
Sabemos que el material es de acero A53B y que el elemento BC está sometido a tracción
con una fuerza 𝐹𝐵𝐶 , entonces se sabe:
𝑆𝑦 = 2500
𝑘𝑔𝑓
= 245𝑀𝑃𝑎 = 35.55𝐾𝑆𝐼
𝑐𝑚2
𝐸 = 29𝑥106 𝐾𝑆𝐼 = 200𝐺𝑃𝑎
L =2metros =6.56 pies = 78.74pulgadas
𝑭𝑨𝑩 = 𝑭𝟐 = 9.95 𝐾𝑁
K=1 (𝑓𝑖𝑗𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑎𝑟𝑡𝑖𝑐𝑢𝑙𝑎𝑑𝑎)
Diseño por pandeo
Página 11
HIPOTESIS
𝐊𝐋
Primero veremos qué valor puede tomar “ 𝐫 ”
Sabemos que para un diseño en tracción se debe cumplir lo siguiente:
𝐊𝐋
𝐫
< 𝟑𝟎𝟎;
Asumimos
𝐊𝐋
𝐫
= 𝟐𝟖𝟎
Reemplazando los datos:
𝟐𝟖𝟎 < 𝟑𝟎𝟎
a) Calculo de Cc
2𝜋 2 𝐸
2𝜋 2 200𝑥109 𝑃𝑎
𝐶𝐶 = √
=√
= 126.94
𝑠𝑦
245𝑥106 𝑃𝑎
𝑘𝑙
𝑟
= 280 ≥ 𝐶𝑐 = 126.17 Pandeo elástico
b) Calculo del esfuerzo
𝜎𝑝𝑒𝑟𝑚𝑖𝑠𝑖𝑏𝑙𝑒 =
(3.1416)2 ∗200∗103
= 1.03 ∗ 106 ⁄(𝐿𝑒⁄𝑟)2 [𝑀𝑝𝑎]
(𝐿𝑒⁄𝑟)2 ∗1.92
6 ⁄(280)2 [𝑀𝑝𝑎]
[𝑀𝑝𝑎]
𝜎𝑝𝑒𝑟𝑚𝑖𝑠𝑖𝑏𝑙𝑒 = 1.03 ∗ 10
= 13.1377
𝑃
𝜎𝑝𝑒𝑟𝑚𝑖𝑠𝑖𝑏𝑙𝑒 = 𝐴 ;
𝐴=
𝑃
𝜎𝑝𝑒𝑟𝑚𝑖𝑠𝑖𝑏𝑙𝑒
=
9.95𝐾𝑁
13.1377∗103 𝐾𝑁⁄𝑚2
= 7.5736 ∗ 10−4 𝑚2 = 1.1738𝑝𝑙𝑔2
Con este valor nos vamos a la tabla realizada del perfil y seleccionamos la que cumpla con
esta condición.
Diseño por pandeo
Página 12
Perfil W
Para la evaluación vamos a utilizar el perfil W 8 × 10 cuyas características son:
𝐴 = 2.96 𝑝𝑢𝑙𝑔2 =1.9098*10−3 𝑚2
𝐼𝑥𝑥 = 30.8 𝑝𝑙𝑔4
;
𝑟𝑥 = 3.2257 𝑝𝑢𝑙𝑔
𝐼𝑦𝑦 = 2.09 𝑝𝑙𝑔4
;
𝑟𝑦 = 0.8403 𝑝𝑢𝑙𝑔
Se sabe que para diseñar un elemento en TRACCION se debe cumplir que:
KL
< 300
r
(1)(78.74)
< 300
0.8403
𝟗𝟑. 𝟕𝟏𝟓𝟕 < 𝟑𝟎𝟎 (𝐂𝐔𝐌𝐏𝐋𝐄)
Diseño por pandeo
Página 13
Los cálculos serán:
𝐾𝐿
𝑟
a)
=
(1)78.74
0.8403
= 93.7157
Calculo de Cc
2𝜋 2 𝐸
2𝜋 2 200𝑥109 𝑃𝑎
𝐶𝐶 = √
=√
= 126.94
𝑠𝑦
245𝑥106 𝑃𝑎
𝑘𝑙
𝑟
b)
= 93.7157 < 𝐶𝑐 = 126.94 Pandeo inelástico
Calculo del esfuerzo
𝐿𝑒
5 3( 𝑟 ) (𝐿𝑒/𝑟)3
𝐹. 𝑆. = +
−
3
8𝐶𝑐
8(𝐶𝑐 )3
5 3(93.7157) (93.7157)3
𝐹. 𝑆. = +
−
= 1.89
3 8(126.94) 8(126.94)3
(𝐿𝑒⁄ 2
𝑟) ))𝑆 }
𝑦
2𝐶𝑐2
{(1−(
c)
𝜎𝑝𝑒𝑟𝑚𝑖𝑠𝑖𝑏𝑙𝑒 =
𝐹.𝑆.
{(1 −
𝜎𝑝𝑒𝑟𝑚𝑖𝑠𝑖𝑏𝑙𝑒 =
(93.7157)2
) 245𝑀𝑃𝑎}
2 ∗ (126.94)2
1.89
𝜎𝑝𝑒𝑟𝑚𝑖𝑠𝑖𝑏𝑙𝑒 = 94.3030𝑀𝑃𝑎
Diseño por pandeo
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𝜎𝑝𝑒𝑟𝑚𝑖𝑠𝑖𝑏𝑙𝑒 =
𝑃𝑎𝑑𝑚𝑖𝑠𝑖𝑏𝑙𝑒
𝐴
𝑃𝑎𝑑𝑚𝑖𝑠𝑖𝑏𝑙𝑒 = 94.3030𝑀𝑃𝑎 ∗ 1.9098 ∗ 10−3 𝑚2 =180.0997KN
𝑃𝑎𝑑𝑚𝑖𝑠𝑖𝑏𝑙𝑒 = 180.0997KN
Entonces se observa:
𝑃𝑎𝑑𝑚𝑖𝑠𝑖𝑏𝑙𝑒 > 𝐹𝐴𝐵
180.099𝐾𝑁 > 9.95 𝐾𝑁
Por lo tanto el perfil estructural de acero W 𝟖 × 𝟏𝟎 es el adecuado para el diseño
de este elemento.
VI.
CONCLUSIONES
Se llegó a la conclusión que las estructuras deberán resistir las cargas que se les
imponga como consecuencia de uso previsto. Estas cargas actuaran en las
combinaciones prescritas y no causaran esfuerzos que excedan los esfuerzos
admisibles de los materiales.
VII.
VIII.
RECOMENDACIONES
𝑘𝑙
Se recomienda para el diseño de compresión que asumamos valores 𝑟
alrededor de 150 que no exceda 200 para obtener mejores cálculos que nos
aproximen a las áreas de la tabla l mot.
𝑘𝑙
Se recomienda para el diseño de tracción que asumamos valores 𝑟 alrededor
de 180 que no exceda 300 para obtener mejores cálculos que nos aproximen a
las áreas de la tabla l mot.
BIBLIOGRAFIA
.William Lambe, Robert V. Whitman. Mecánica de Suelos. Instituto Tecnológico de
Massachusetts. Noriega Editores. México. 1997
Ortiz Berrocal, Luis. Resistencia de Materiales. McGraw-Hil
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