Introduzione
alla Cosmologia
Introduzione all’Astrofisica
AA 2013/2014
Prof. Alessandro Marconi
Dipartimento di Fisica e Astronomia
Università di Firenze
Dispense e presentazioni disponibili all’indirizzo
http://www.arcetri.astro.it/„marconi
Ultimo aggiornamento: 4 giugno 2014
1
Introduzione: le osservazioni fondamentali
La Cosmologia studia la struttura e l’evoluzione dell’Universo osservabile
utilizzando le leggi della Fisica cosı̀ come sono state dedotte dalle esperienze
condotte sulla Terra.
Non esistono però indicazioni che queste leggi debbano essere valide su
grande scale, ovvero su scala cosmica. La Cosmologia è quindi anche un
modo per verificare le leggi della Fisica in un contesto spaziale (e temporale)
molto più ampio di quello in cui sono state dedotte.
La Cosmologia ha una particolarità molto importante rispetto agli altri
rami della Fisica: non è possibile riprodurre le misure, ovvero ripetere le
misure su altri sistemi fisici simili a quello oggetto di studio. L’Universo
è unico e gli altri Universi, se anche esistessero, non sarebbero osservabili.
Pertanto non confideremo mai alcuna proprietà dell’Universo come tipica.
Le osservazioni in Cosmologia sono estremamente difficili perchè la gran
parte dell’Universo è estremamente distante: le sorgenti sono molto deboli.
Questo spiega perchè la nostra conoscenza dell’Universo si è sviluppata in
parallelo con lo sviluppo di grandi telescopi e rivelatori sensibili. La nostra
conoscenza attuale è fondata sui telescopi della classe degli 8 metri, e sui
satelliti di ultima generazione in X, infrarosso e sub-millimetrico.
La caratteristica più importante delle osservazioni cosmologia è la velocità
finita della luce: quando osserviamo una sorgente a distanza D, la osserviamo
in uno stadio evolutivo in cui era più giovane di adesso di ∆t “ pD{cq. Quindi possiamo osservare lo stato attuale dell’universo solo localmente. Però,
sempre grazie alla velocità finita della luce, è possibile osservare nel passato.
Alla distanza di 10 miliardi di anni luce, le galassie sono osservate in uno
stadio evolutivo in cui avevano meno di un terzo dell’età attuale. Pertanto,
anche se non potremo mai studiare il passato di una galassia come la Via
Lattea, potremo però identificare galassie simili alla Via Lattea ma in stadi
evolutivi diversi.
Supponiamo di essere in uno spazio Euclideo (in cui lo spazio è descritto
dalla geometria basata sui postulati di Euclide); se siamo collocati nell’origine
~x “ 0 al tempo attuale t “ t0 , allora possiamo solo osservare eventi nello
spazio tempo per i quali |~x| “ cpt0 ´ tq. Non è possibile osservare un evento
arbitrario p~x, tq nello spazio tempo. Il fatto di poter osservare solo sorgenti
collocate nel nostro cono di luce passato implica che le nostre possibilità
di osservare l’universo sono estremamente limitate. Pertanto, noi saremo
in grado di comprendere la struttura dell’Universo combinando osservazioni
e modelli teorici solo se questa è molto semplice. Fortunatamente, sembra
proprio che sia cosı̀.
1
Le osservazioni fondamentali su cui il nostro modello di universo è fondato
sono:
• il paradosso di Olbers, ovvero il cielo di notte è buio;
• su grandi scale, le galassie sono distribuite uniformemente in cielo;
• esiste una radiazione cosmica di fondo nelle microonde (Cosmic Microwave Background, CMB) con intensità isotropa e rimarchevolmente
omogenea con fluttuazioni dell’ordine di „ 10´5 ; lo spettro della CMB
è quello di un corpo nero con T0 “ 2.728 ˘ 0.004K;
• gli spettri delle galassie presentano un redshift (spostamento verso
il rosso delle righe spettrali), che è proporzionale alla distanza della
galassie stesse (legge di Hubble);
• gli ammassi globulari più vecchi della nostra galassia hanno un’età di
„ 12 Gyr;
• in quasi tutti gli oggetti cosmici (stelle, nubi di gas, ecc.) la frazione in
massa di Elio è „ 25 ´ 30%.
Vediamo adesso come alcune di queste osservazioni sono incompatibili con
l’assunzione che l’universo sia infinito, statico e che sia esistito da sempre.
1.1
Il paradosso di Olbers
Sia n‹ la densità media di stelle nell’universo, costante nello spazio e nel
tempo, e sia R‹ il loro raggio medio. Consideriamo una shell sferica di raggio
r e spessore dr centrata su di noi: questa contiene n‹ dV “ 4πr2 n‹ dr stelle.
Ciascuna sottende un angolo solido πR‹2 {r2 , come vista da noi, per cui le
stelle nella shell sottendono un angolo solido totale
dω “ 4πr2 n‹ dr
πR‹2
“ 4π 2 n‹ R‹2 dr
2
r
(1)
dω non dipende da r. L’angolo solido sotteso complessivamente dalle stelle
in cielo è pertanto
ż8
ż8
dω
2
2
ω“
dr “ 4π n‹ R‹
dr
(2)
0 dr
0
questo integrale diverge. Il motivo della divergenza è che non abbiamo tenuto
conto del fatto che i dischi stellari si sovrappongono tra loro sulla sfera celeste.
Se si tien conto di questo, allora per r Ñ 8, ω Ñ 4π. Ovvero l’angolo solido
2
Figura 1: Proiezione supergalattica delle galassie rivelate dalla survey 2MASS (2
Micron All Sky Survey). I colori delle galassie indicano la loro magnitudine K:
blu per K ă 10, verde per 10 ă K ă 12.5 e rosso per le galassie più deboli
K ą 12.5. Il superammasso locale si estende lungo l’equatore della proiezione (la
proiezione supergalattica è definita proprio in riferimento al piano di simmetria
del superammasso locale). La Via Lattea è indicata con la fascia celeste.
di cielo che noi vediamo coperto da stelle è 4π. Ogni linea di vista incontra
prima o poi una stella. Poiché la brillanza superficiale si conserva, lungo ogni
direzione abbiamo una brillanza superficiale pari a quella dell’atmosfera di
una stella media. Tutto il cielo dovrebbe quindi avere la brillanza di una
superficie di una stella, con una temperatura efficace di qualche migliaio di
gradi Kelvin. Questo è il paradosso di Olbers. Poiché questo non avviene
o l’universo è finito o ha un’estensione finita. Nel primo caso non ci sono
abbastanza stelle nell’universo finito per ricoprire il cielo, nel secondo solo la
luce di alcune stelle ha fatto in tempo a raggiungerci.
Nel caso in cui l’universo abbia un’età finita, questa deve essere di almeno
12 miliardi di anni, ovvero maggiore o uguale dell’età degli ammassi globulari
più vecchi.
1.2
La struttura a grande scala delle galassie
La figura 1 mostra la distribuzione sulla sfera celeste delle galassie nell’universo locale. Sono presenti strutture che sono identificabili con ammassi,
filamenti e vuoti. Tuttavia, quando si misura il numero medio di galassie su
grossi volumi spaziali, questo diventa rimarchevolmente costante, indipen3
Figura 2: Mappa delle fluttuazioni della radiazione cosmica di fondo ottenuta dal
satellite Planck: l’ampiezza delle fluttuazioni di intensità mostrate in figura è di
soli ∆I{I „ 10´5 (rms). Queste fluttuazioni corrispondono a variazioni della
temperatura di corpo nero della radiazione che sono ovviamente un fattore 4 più
piccole.
dentemente dalla posizione di riferimento. Si trova che la distribuzione di
galassie in cielo è omogenea e isotropa su scale superiori ai „ 20 Mpc (si
ricordi che le dimensioni tipiche di un ammasso di galassie sono „ 1 Mpc).
1.3
La radiazione cosmica di fondo
La CMB fu scoperta nel 1965 da Penzias e Wilson nel corso di uno studio
volto a caratterizzare le cause del rumore di fondo che disturbava le trasmissioni transoceaniche. La radiazione cosmica di fondo è un’emissione diffusa
proveniente da tutte le direzioni dello spazio e rimarchevolmente omogenea e
isotropa. L’intensità presenta piccole fluttuazioni dell’ordine di ∆I{I „ 10´5
(rms). La mappa a tutto cielo di queste fluttuazioni ottenuta recentemente dal satellite Planck è riportata i figura 2. Lo spettro della radiazione
cosmica di fondo è quello di un corpo nero con una temperatura media di
T0 “ 2.728 ˘ 0.004 K; le deviazioni dallo spettro di corpo nero sono quantificabili in ∆Iν {Iν ď 3 ˆ 10´5 e |µ| ď 10´4 , dove µ rappresenta il potenziale
chimico nelle distribuzioni di Bose-Einstein o Fermi-Dirac (ovvero l’esponente a denominatore è hν{kT ` µ; per il corpo nero si deve ovviamente avere
µ “ 0). La CMB fornisce l’esempio più preciso noto di radiazione di cor-
4
po nero. Le fluttuazioni in intensità osservate corrispondono a variazione
di temperatura che sono ovviamente un fattore 4 più piccole (ricordare che
F “ πI “ σB T 4 ).
1.4
La legge di Hubble
Negli anni ’20 Edwin Hubble condusse uno studio sistematico degli spettri
delle galassie e trovò che le lunghezze d’onda delle transizioni atomiche e
molecolari presenti negli spettri erano sistematicamente più grandi dei valori
di laboratorio, ovvero erano sistematicamente spostate verso il rosso (redshifted ); il redshift z cosı̀ definito era proporzionale alla distanza D delle galassie.
Hubble trovò che
λoss ´ λem
“ αD
(3)
z“
λem
con oss e em valori osservati e emessi. Interpretando il redshift come effetto
Doppler, si poteva ottenere una relazione tra la velocità di recessione delle
galassie Vgal e la loro distanza
Vgal “ cz “ pαcqD “ H0 D
(4)
H0 è nota con il nome della costante di Hubble e misure recenti la pongono
uguale a H0 » 70 km s´1 Mpc´1 . La legge di Hubble indica che tutte le
galassie si allontanano da noi con una velocità radiale che è proporzionale alla
distanza ma indipendente dalla direzione verso cui facciamo le osservazioni:
per esempio una galassia distante 10 Mpc si allontana da noi con una velocità
di recessione pari a 700 km s´1 .
La legge di Hubble indica quindi che l’universo è in espansione uniforme,
almeno dal nostro punto di vista. Vedremo tra poco come in realtà questa
sia una caratteristica comune ad ogni osservatore.
2
Il Principio Cosmologico
Le evidenze trovate fino ad ora suggeriscono che l’universo è omogeneo (densità costante), isotropo (proprietà che non dipendono dalla direzione di osservazione) e in espansione uniforme (tasso di espansione H0 uguale per tutte
le direzioni di osservazione). Queste proprietà sono state trovate da un osservatore particolare (noi) al tempo t “ t0 (quale che sia la scala del tempo
cosmico).
L’assunzione alla base del modello cosmologico prende il nome di Principio Cosmologico e consiste nell’indipendenza di queste proprietà dall’osservatore: qualsiasi osservatore in qualsiasi parte dello spazio e in qualsiasi
tempo deve ottenere dalle osservazioni gli stessi nostri risultati.
5
Figura 3: Significato della velocità di recessione: lo spazio è rappresentato dalla
quadrettatura. Le galassie si mantengono “ferme” nella loro posizione ma l’espansione dello spazio da luogo ad una velocità apparente di allentamento. Questa
velocità di recessione è osservata indifferentemente da tutte le galassie.
Non è immediato capire il significato dell’espansione e come la legge di
Hubble possa valere per una qualsiasi osservatore se, apparentemente, noi
siamo il centro dell’espansione. In realtà, non esiste alcun centro dell’espansione, tutto lo spazio e quindi tutte le distanze in esso misurate si espandono
uniformemente nel tempo tali che, considerate due qualsiasi distanze `i e `j
misurate a due qualsiasi tempi t1 e t2 risulti:
`i pt1 q
`i pt2 q
“
“ costante
`j pt1 q
`j pt2 q
6
(5)
questo è il significato dell’espansione uniforme: tutte le lunghezze variano
dello stesso fattore in un dato intervallo di tempo in modo che il rapporto
tra due qualsiasi di esse rimanga costante. Poichè nell’espressione appena
vista le posizioni e i tempi sono qualsiasi, l’unica possibilità è che esista una
funzione universale del tempo aptq tale che
`i pt2 q
`j pt2 q
apt2 q
“
“
`i pt1 q
`j pt1 q
apt1 q
(6)
la funzione universale del tempo aptq è indipendente dalla posizione e prende
il nome di “fattore di scala”. Il significato dell’espansione è schematizzato
in figura 3 dove lo spazio è rappresentato dalla quadrettature che si espande
uniformemente nel tempo: ogni galassia vede allontanarsi le altre a velocità
costante: questa non è una vera velocità, perchè tutte le galassie stanno
ferme nella loro posizione, ma è la conseguenza dell’espansione dello spazio.
Scegliamo un riferimento centrato su di noi e consideriamo una data galassia; il modulo del vettore posizione della galassia varia a causa dell’espansione
e pertanto la posizione della galassia la possiamo indicare con
~x “ aptq~r
(7)
dove abbiamo scelto di indicare con ~r la posizione della galassia al tempo
t “ t0 . Ne risulta che apt0 q “ 1. Poiché l’espansione è uniforme la funzione
aptq deve essere la stessa per tutte le galassie e varia solo la loro posizione ~r
al tempo t0 ; aptq è il fattore di scala e ~r rappresenta le coordinate comoventi
che identificano univocamente un punto nello spazio indipendentemente dal
tempo t, ovvero indipendentemente dall’espansione. Derivando membro a
membro rispetto al tempo l’equazione 7 si ottiene:
d~x
9 r
“ aptq~
dt
9
aptq
~xptq
~v “
aptq
~v “ Hptq~xptq
(8)
per t “ t0 , ponendo per Hpt0 q “ H0 , otteniamo la legge di Hubble:
~v “ H0~r
(9)
Abbiamo quindi trovato che la costante di Hubble misurata al tempo t è
Hptq “
7
9
aptq
aptq
(10)
la velocità di recessione è quindi una velocità apparente dovuta all’espansione
dell’universo, ovvero ad una variazione del fattore di scala aptq.
Supponiamo di passare ad un osservatore O1 qualsiasi che si trova a ~xO1 “
aptq~rO1 rispetto a noi. La galassia precedente che per noi si trova a ~xptq, per
l’osservatore O1 si trova ad una posizione ~x 1 ptq tale che
~x 1 “ ~x ´ ~xO1
~x 1 “ aptq~r ´ aptq~rO1 “ aptq~r 1
~x 1 “ aptq~r 1
(11)
ovvero anche l’osservatore O1 osserva l’espansione dell’universo e una velocità
di recessione delle galassie.
Il redshift cosmologico. Vediamo di capire adesso qual è l’origine
del redshift cosmologico. Consideriamo due osservatori comoventi al tempo
t la cui separazione è dr sempre in coordinate comoventi. La velocità di
allontanamento dovuta all’espansione è dv “ Hptqaptqdr; il tempo impiegato
dalla luce a viaggiare dall’uno all’altro è dt “ aptqdr{c. Il fattore di scala
entra in gioco perchè dobbiamo sempre considerare le distanze “proprie”
al tempo t non le distanze comoventi che valgono al tempo t “ t0 . Gli
osservatori “vedono” la legge di Hubble e misurano un redshift dλ{λ “ dz “
dv{c. Si ottiene
a9
dv
Hptq
Hptq
cdt
dλ
“
“
aptqdr “
aptq
“ dt
λ
c
c
c
aptq
a
dλ
da
“
λ
a
(12)
la cui soluzione è λpaq “ Ca, con C costante. La luce è stata emessa con
λ “ λe per t “ te , a “ ae , e osservata con λ “ λoss per toss “ t0 , a “ aoss “ 1:
imponendo queste condizioni si ottiene C “ λoss e quindi λe “ apte qλoss .
Ricordando che p1 ` zq “ λoss {λe si ottiene infine
1`z “
1
ae
(13)
ovvero il redshift cosmologico altro non è che il fattore di scala della radiazione quando è stata emessa, ed è dovuto all’espansione dell’universo: è come se
la lunghezza d’onda dei fotoni venisse “stirata” dall’espansione dell’universo
(figura 4).
Cosa si espande? Prima di procedere oltre cerchiamo di rispondere ad
una domanda molto importante. Se lo spazio si espande, si espandono anche
le galassie, gli atomi e noi stessi? In realtà, lo spazio si espande ma non
8
lation between the redof the relative velocity,
from us. Furthermore,
r is experiencing a local
rate H(t) which depends
l now derive a relation
ce, which is directly obor the scaling factor a(t),
ce emitted the light we
we are able to measure. If the scale factor is a monotonic function of time, i.e., if the right-hand side of
(4.31) is different from zero for all a ∈ [0, 1], then z is
also a monotonic function of t. In this case, which corresponds to the Universe we happen to live in, a, t, and
z are equally good measures of the distance of a source
from us.
ht ray that reaches us togine fictitious comoving
ametrized by the cosmic
ve been emitted by the
ing observers along the
om each other see their
Fig. 4.10. Due to cosmic expansion, photons are redshifted,
mic expansion according
Figura 4: i.e.,
I fotoni
spostati verso
il ross (redshifted)
a seguito
dell’espansione
theirsono
wavelength,
as measured
by a comoving
observer,
dell’universo:
la loro
lunghezza
col fattore
di scala
a. Questo
measure it as a redshift
increases
with
the scaled’onda
factoraumenta
a. This sketch
visualizes
this
effetto
è
qui
rappresentato
da
un’onda
stazionaria
in
una
scatola
in
espansione.
akes a time dt = dr/c for effect as a standing wave in an expanding box
si espandono le “molecole del gas cosmico” ovvero della materia distribuita
nell’universo. Gli atomi, la Terra, le stelle non si espandono perchè sono
tenuti insieme da forze elettriche e gravitazionali. E una galassia?
Consideriamo una galassia come un sistema sferico di massa MG e raggio
RG . Il suo potenziale gravitazionale è » GMG {RG e la velocità di fuga
vf “ p2GMG {RG q1{2 . Inserendo i dati per la nostra galassia (MG „ 1011 Md ,
RG „ 10 kpc) si ottiene vf {c „ 10´3 . D’altra parte, il punto della nostra
galassia a distanza RG dal centro dovrebbe seguire l’espansione di Hubble
con una velocità v{c “ H0 RG {c » 2 ˆ 10´6 , trascurabile rispetto alla velocità
di fuga. Questo significa che possiamo effettivamente considerare le galassie
come le molecole del gas cosmico che pervade l’universo.
Per conoscere l’espansione dell’universo dobbiamo quindi conoscere il
fattore di scala aptq.
3
Il modello di universo
Consideriamo un universo omogeneo e isotropo in espansione uniforme riempito di gas cosmico con densità ρptq al tempo t. Consideriamo una superficie
sferica di raggio r in coordinate comoventi; il suo raggio al tempo t è pertanto
xptq “ aptqr. La massa M racchiusa nella sfera è
4
4
M pxq “ πxptq3 ρptq “ πr3 aptq3 ρptq
3
3
9
(14)
questa massa si deve conservare, e se identifichiamo con ρ0 la densità al tempo
attuale t “ t0 , ne risulta immediatamente che
ρptq “ ρ0 aptq´3
4 3
M pxq “
πr ρ0
3
(15)
Consideriamo adesso una particella o galassia sulla superficie della sfera di
raggio x (particella comovente, ovvero che rimane ferma nella sua posizione e
segue l’espansione), è soggetta alla forza di gravità della massa M pxq pertanto
la sua equazione di moto è semplicemente
:ptq “ ´
x
4πG ρ0 r3
GM pxq
“
´
x2
3 x2
(16)
:“a
:ptqr otteniamo infine l’equazione per aptq
ovvero sostituendo x “ aptqr, x
a
:ptq “ ´
4πG ρ0
4πG
“´
ρptqaptq
2
3 aptq
3
(17)
questa equazione può essere facilmente integrata moltiplicando membro a
9 ottenendo
membro per 2aptq
a9 2 “
8πG ρ0
8πG
´ Kc2 “
ρptqaptq2 ´ Kc2
3 a
3
(18)
dove Kc2 è la costante di integrazione. Da notare che se moltiplichiamo
membro a membro per r2 {2 otteniamo
r2
vptq2 GM pxq
´
“ ´Kc2
2
xptq
2
(19)
che significa che l’energia cinetica e l’energia potenziale sono costanti sulla
superficie della sfera di raggio x: questa è proprio l’equazione di conservazione
dell’energia.
Si noti come K sia proporzionale all’energia totale della particella comovente per cui determina la storia dell’espansione ovvero il comportamento di
aptq:
• K ă 0, il secondo membro dell’equazione 19 è sempre positivo; siccome
9 0 q “ H0 ą 0, significa che aptq
9
adesso apt
rimarrà sempre positivo,
ovvero l’universo si espande per sempre;
• K “ 0, poiché H0 ą 0, l’universo si espande per sempre come nel caso
9
precedente ma adesso aptq
Ñ 0 per t Ñ 8.
10
• K ă 0, il secondo membro dell’equazione 19 si annulla quando a “
9
amax “ p8πGρ0 q{p3Kc2 q. Per questo valore di a si ha aptq
“ 0: l’espansione si arresta e in seguito si trasforma in una contrazione per cui
l’universo collassa nuovamente.
Nel caso speciale in cui K “ 0, la densità attuale ρ0 assume un valore partico9
lare detto densità critica che si può ottenere dall’equazione per aptq
ponendo
9 0 q “ H0
t “ t0 , apt0 q “ 1, apt
ρcr “
3H02
“ 9.2 ˆ 10´30 g cm´3
8πG
(20)
ρcr è una densità caratteristica per l’universo attuale. Pertanto è utile esprimere la densità attuale riscalandola con la densità critica:
Ω0 “
ρ0
ρcr
(21)
9
Analogamente a prima, si può valutare l’equazione per aptq
ponendo t “ t0 ,
9 0 q “ H0 e ricavare K ottenendo
apt0 q “ 1, apt
K“
H02
pΩ0 ´ 1q
c2
Quindi, K ą 0 corrisponde a Ω0 ą 1, K “ 0 a Ω0 “ 1 e K ă 0 a Ω0 ă 1.
Ω0 , parametro di densità, è uno dei parametri cosmologici fondamentali.
4
Modifiche apportate dalla Relatività Generale
L’approccio che abbiamo seguito fino ad ora è puramente Newtoniano e,
anche se porta al risultato corretto, non è fisicamente appropriato. In particolare abbiamo applicato il Teorema di Gauss per il campo gravitazionale
ad una distribuzione infinita di massa, cosa non corretta. L’approccio corretto richiede l’utilizzo della Relatività Generale. L’assunzione di universo
omogeneo, isotropo ed in espansione uniforme porta a scrivere una metrica,
detta di Friedmann, Robertson e Walker, in cui compare come incognita il
fattore di scala aptq. Utilizzando la metrica FRW con le equazioni di campo
di Einstein, si ottengono due equazioni per aptq di cui una è l’equazione 18
già trovata nel caso Newtoniano. In particolare, si trova che le modifiche più
importanti apportate dalla relatività sono:
11
• l’equivalenza tra materia ed energia conseguenza della Relatività Speciale (energia a riposo di una particella, E “ mc2 ) comporta che non
c’è solo la materia a contribuire a ρ nell’equazione di moto. In particolare, la densità ρ è da considerarsi in realtà come densità di massa
equivalente alla densità di energia ε “ ρc2 , ed è per questo che tutti
i contributi a ε contribuiscono alla gravità. Per esempio la radiazione cosmica di fondo che permea l’universo avrà una certa densità di
energia εrad che contribuirà alla densità di energia totale.
• Le equazioni della Relatività Generale formulate inizialmente da Einstein non prevedevano una soluzione stazionaria per l’universo. Poiché
la legge di Hubble non era ancora stata scoperta, Einstein credeva
fermamente all’universo stazionario e pertanto introdusse un termine
addizionale Λ nelle equazioni di campo per poter ottenere una soluzione
stazionaria. Λ prende il nome di costante cosmologica.
• La Relatività Generale mostra il vero significato di espansione dell’universo: come abbiamo detto si tratta di una vera espansione dello spazio.
In particolare il redshift cosmologico non è dovuto all’effetto Doppler
ma proprio all’espansione dello spazio.
Poiché le soluzioni delle equazioni per aptq dipendono principalmente dalla
densità di energia, dobbiamo considerare un’equazione dell’energia. Durante
l’espansione dell’universo, il gas cosmico deve effettuare una trasformazione
adiabatica: in effetti ci possono essere scambi di energia tra vari elementi di
volume di gas ma questi devono essere a bilancio nullo altrimenti si creerebbe
uno squilibro tra la densità di energia in due punti dello spazio violando
l’omogeneità e l’isotropia dell’universo. L’equazione dell’energia deve essere
pertanto quella che caratterizza le trasformazioni adiabatiche
dU “ ´pdV
(22)
ovvero
dU
dV
“ ´p
(23)
da
da
poiché V “ aptq3 Vc con Vc volume in coordinate comoventi, si ha U “ εV “
Vc aptq3 ε ottenendo infine
‰
d “
d
aptq3 ε “ ´p raptq εs
da
da
dε
ε`p
“ ´3
da
a
12
(24)
Le equazioni che si ottengono dalla Relatività Generale sono pertanto equivalenti a
8πG 2
1
a9 2 “
ρa ´ Kc2 ` Λa2
(25)
3
3
dε
ε`p
“ ´3
(26)
da
a
dove abbiamo sostituito ε0 {c2 a ρ0 (ε0 è la densità totale di energia per t “ t0 )
ed è comparso il termine legato alla costante cosmologica Λ. Si noti come,
:, il termine con
derivando rispetto al tempo la prima equazione per ottenere a
:) mentre il termine
G diviene negativo (ovvero di segno opposto rispetto a a
con Λ resta positivo: il primo è il termine di forza gravitazionale, attrattivo,
mentre il secondo è l’effetto della costante cosmologica che corrisponde ad
una forza repulsiva.
Vediamo adesso il legame tra la densità di energia e la pressione per le
componenti principali dell’universo e come queste variano durante l’espansione.
Materia (non relativistica). La pressione è quella del gas perfetto, pm “
c2s ρm (il pedice m indica la materia non relativistica) ma poiché in condizioni
normali c2s ! c2 , allora relativisticamente parlando pm “ 0. I cosmologi chiamano questa componente polvere. Considerando che εm “ ρm c2 , l’equazione
per la conservazione dell’energia è
ρm
dρm
“ ´3
(27)
da
a
questa equazione è facilmente risolvibile per separazione delle variabili e la
soluzione è
ρm “ ρ0 a´3
(28)
dove abbiamo imposto la condizione che ρ “ ρ0 per t “ t0 . Questa è la
relazione già trovata con la semplice condizione di conservazione della massa. Ricordiamo che abbiamo rinormalizzato la densità di massa al momento
attuale usando il parametro
Ω0 “
ρ0
8πG
“
ρ0
ρcr
3H02
(29)
Radiazione e Materia Ultrarelativistica. Se consideriamo radiazione o
materia ultrarelativistica come i neutrini o particelle simili (kB T " mc2 ),
l’equazione di stato è
1
1
(30)
p r “ ε r “ ρ r c2
3
3
13
Se sostituiamo nell’equazione per la conservazione dell’energia otteniamo
dεr
εr
“ ´4
da
a
(31)
εr “ ε0 a´4
(32)
la cui soluzione è
dove abbiamo imposto la condizione che ε “ ε0 per t “ t0 . Analogamente a
prima il parametro di densità di radiazione è
Ωr,0 “
8πGρr,0
ρr,0
“
ρcr
3H02
(33)
con ρr,0 “ ε0 {c2 .
Se consideriamo che la radiazione cosmica di fondo è un perfetto corpo
nero allora sappiamo che la sua densità di energia è
εr “
4σB 4
4σB 4 ´4
T “ εr,0 a´4 “
T a
c
c 0
(34)
con T0 temperatura attuale della radiazione cosmica di fondo. Si ottiene
infine la variazione della temperatura della radiazione cosmica di fondo col
fattore di scala
T “ T0 a´1
(35)
o, analogamente, col redshift
T “ T0 p1 ` zq
(36)
Costante cosmologica ed energia del vuoto. La costante cosmologica corrisponde ad una energia del vuoto che ha un effetto repulsivo rispetto all’effetto attrattivo della gravità; ovvero l’energia del vuoto tende a far
espandere l’universo rispetto all’attrazione gravitazionale che tende a farlo
contrarre. Si trova che l’equazione di stato dell’energia del vuoto è
pv “ ´ρv c2
(37)
dove la densità di materia equivalente è data da
ρv “
Λ
εv
“
2
c
8πG
(38)
Applicando l’equazione di conservazione dell’energia si ottiene
dεv
“0
da
14
(39)
ovvero εv “ ρv c2 “ cost. come si deve avere per una energia del vuoto, ovvero
associata (probabilmente) a fluttuazioni quantistiche nel vuoto. Il parametro
di densità è
ρv
Λ
ΩΛ “
“
(40)
ρcr
3H02
5
L’equazione di espansione
Se consideriamo la definizione della densità di energia del vuoto e quindi di
ρv vediamo che l’equazione 25 per a9 la possiamo scrivere nella forma che
avevamo trovato con la trattazione Newtoniana
a9 2 “
8πG 2
ρa ´ Kc2
3
(41)
con ρ che rappresenta relativisticamente tutte le componenti che contribuiscono all’energia ovvero
ρptq “ ρm ptq ` ρr ptq ` ρv
“ ρ0 a´3 ` ρ0,r a´4 ` ρv
“ ρcr pΩ0 a´3 ` Ωr,0 a´4 ` ΩΛ q
sostituendo nell’eq. 41 si ottiene
ˆ
˙
Ω0 Ω0,r
2
2
2
a9 “ H0
` 2 ` ΩΛ a ´ Kc2
a
a
(42)
(43)
9 0 q “ H0 , si ottiene
valutandola per t “ t0 e ricordando che apt0 q “ 1, apt
K“
H02
pΩ0 ` Ω0,r ` ΩΛ ´ 1q
c2
(44)
ovvero il tipo di evoluzione di aptq che abbiamo visto dipendeva dal segno
di K dipende dal segno di pΩ0 ` Ω0,r ` ΩΛ ´ 1q. L’equazione che regola
l’espansione di aptq è infine
˙
ˆ
˙
„ ˆ
1
1
2
2
2
´ 1 ` Ωr,0
´ 1 ` ΩΛ pa ´ 1q ` 1
(45)
a9 “ H0 Ω0
a
a2
9
oppure, ricordando Hptq “ a{a,
“
‰
Hptq2 “ H02 Ω0 a´3 ` Ωr,0 a´4 ` ΩΛ ` a´2 p1 ´ Ω0 ´ Ωr,0 ´ ΩΛ q
(46)
Nel contesto della Relatività Generale K rappresenta la curvatura dell’universo:
15
4. Cosmology I: Homogeneous Isotropic World Models
152
Fig. 4.6. Two-dimensional analogies for the three possible
180◦ , in a universe of negative curvature it is smaller than
◦ , and in a flat universe the sum of angles is exactly
curvatures
of
space.
In
a
universe
with
positive
curvature
5: Analogie bidimensionali per le geometrie180
permesse
con i diversi valori
(K > 0) the sum of the angles in a triangle is larger than
180◦
Figura
di K. Per K ą 0 si ha una geometria sferica (chiusa), per K ă 0 si ha una
geometria iperbolica (aperta) e per K “ 0 si ha la geometria Euclidea (piana).
speculated in Sect. 4.2.1, the order of magnitude of 4.3 Consequences
the curvature radius is c/H0 according to (4.30).
of the Friedmann Expansion
• If K < 0, the space is called hyperbolic – the twoanalogy would
be the surface
of a saddle
“ dimensional
0, la geometria
è piatta,
ovvero
corrisponde
geometria
EucliThe cosmicalla
expansion
equations imply
a number of im(see Fig. 4.6).
mediate consequences, some of which will be discussed
• K
dea che ben conosciamo;
In particular, we will first demonstrate that the
Hence GR provides a relation between the curvature next.
? Universe
must have evolved out of a very dense
of space
the density of
Universe.
In fact, this
• Ką
0, laand
geometria
è the
sferica
(chiusa)
e 1{early
K
rappresenta
il raggio di
is the central aspect of GR which links the geometry and hot state called the Big Bang. We will then link
curvatura
dell’universo;
of spacetime
to its matter content. However, Einstein’s the scaling factor a to an observable, the redshift, and
theory makes no statement about the topology of space-
explain what the term “distance” means in cosmology.
time0,and,
particular, saysènothing
about the(aperta);
topology
• Kă
la ingeometria
iperbolica
of the Universe.4 If the Universe has a simple topology,
finite in thele
caseanalogie
of K > 0, whereas
it is infinite if per
4.3.1le The
Necessity of
a Big Bang
la figura it5is mostra
bidimensionali
geometrie
determinate
K ≤ 0. However, in both cases it has no boundary (comdal segnopare:
di the
K.surface of a sphere is a finite space without The terms on the right-hand side of (4.31) each have
a different
dependence on a:
L’equazione
dell’espansione può essere risolta
numericamente
per deterboundaries).
•
With
(4.29)
and
(4.30),
we
finally
obtain
the
For
very
small
a,
the
first
dominates and the
minare aptq ma è opportuno capire quando i vari termini dominano.term
Consiexpansion equation in the form
Universe is radiation dominated then.
deriamo innanzitutto il rapporto tra la densità di
materia
e di aradiazione
• For
slightly larger
! aeq , the dust (or matter) term
! "2
dominates.
´3
ȧ
ρ0 a
Ω0 K $= 0, the third term, also called the curvature
ρm ptq
= H 2 (t)
“
“ • aIfterm,
(47)
a
´4
#
dominates for larger a.
Ωr,0
r ptq
= H02 a−4 (t)Ωρr +
a−3 (t)Ωmρr,0 a
•
For
very
large
a,
the
cosmological
constant
$
−2
2 from zero.
2 ΩΛ .
4 dominates if it is different
+
a
(t)(1
−
Ω
−
Ω
)
+
m
Λ
sostituendo il valore di ρ “ ε {c “ σ T {4c e ρ “ Ω H {p8πGq si
r,0
r,0
B 0
0
0
0
The differential equation (4.31) in general cannot be
ottiene infine
ρm ptq
3c3 H02 Ω0 solved analytically. However, its numerical solution for
a(t) poses no problems. Nevertheless,
we can analyze
4 The surface of a cylinder is also considered“
(48)
a flat space, like a plane,4 aptq
ρr ptqon a cylinder
32πGσ
T◦0. the qualitative behavior of the function a(t) and thereby
because the sum of angles in a triangle
is alsoB180
But the surface of a cylinder obviously has a topology different from
understand the essential aspects of the expansion his´1 on
a plane;
in particular,
liness´1
do exist
– walking
sostituendo
i valori
Hclosed
70 km
Mpc
, T0 “tory.
2.738
ottiene
0 “ straight
FromKthesiHubble
law, we conclude that ȧ(t0 ) > 0,
a cylinder in a direction perpendicular to its axis, one will return to
i.e., a is currently an increasing function of time. Equathe starting point after a finite amount of time.
(4.31)
ρm ptq
Ω0
“
aptq “ 1.9 ˆ 104 Ω0 aptq
ρr ptq
Ωr,0
(49)
come vedremo Ω0 “ 0.3, pertanto per t “ t0 , si ha ρ0 {ρr,0 " 1 ovvero al
momento attuale la materia domina la gravità rispetto alla radiazione. Però
c’è stato un momento aeq in cui la densità di materia e di radiazione erano
equivalenti
Ωr,0
5.2 ˆ 10´5
aeq “
“
(50)
Ω0
Ω0
16
to zero as a tends to infinity. It has a particularly simple variation of a(t) with
cosmic epoch,
! "2/3
t
a=
κ = 0,
(7.24)
t0
where the present age of the world model is t0 = (2/3)H0−1 .
Some solutions of (7.21) are displayed in Fig. 7.2 which shows the well-known
relation between the dynamics and geometry of the Friedman world models with
Λ = 0. The abscissa in Fig. 7.2 is in units of H0−1 and so the slope of the relations
at the present epoch, a = 1, is always 1. The present age of the Universe is given by
the intersection of each curve with the line a = 1.
Another useful result is the function a(t) for the empty world model, Ω0 = 0,
a(t) = H0 t, κ = −(H0 /c)2 . This model is sometimes referred to as the Milne
216
7 The Friedman World Models
Fig. 7.2. The dynamics of the classical Friedman models with ΩΛ = 0 characterised by the
Fig. 7.5. The dynamics of spatially flat world models, Ω0 + ΩΛ = 1, with different combinadensity parameter Ω0 = $0 /$c . If Ω0 > 1, the Universe collapses to a = 0 as shown; if
and ΩΛ . The abscissa is plotted in units of H0−1 . The dynamics of these models
tions
Ω0 to
as aoftends
Ω0 < 1, the Universe expands to infinity and has a finite velocity of expansion
−1
compared
with those shown in Fig. 7.2 which have ΩΛ = 0
infinity. In the case Ω0 = 1, a = (t/t0 )2/3 where t0 = (2/3)H0 . The timecan
axisbe
is given
in
terms of the dimensionless time H0 t. At the present epoch a = 1 and in this presentation, the
0
Λ
three curves have the same slope of 1 at a = 1, corresponding to a fixed value of Hubble’s
1
for
Ω
=
0,
constant at the present day. If t0 is the present age of the Universe, then H0 t0 =
0
7.4.1 The
Deceleration Parameter
H0 t0 = 2/3 for Ω0 = 1 and H0 t0 = 0.57 for Ω0 = 2
Figura 6: Soluzioni dell’equazione di espansioni per modelli senza costante
cosmologica (sinistra) e con costante cosmologica ma Ω ` Ω “ 1.
Just as Hubble’s constant H0 measures the expansion rate of the Universe at the
present epoch, so we can define the present deceleration of the Universe ä(t0 ). It
prima di quel momento dominava
la radiazione.
is conventional to define the deceleration parameter q0 to be the dimensionless
deceleration
at the present epoch through the expression
Pertanto, tornando all’equazione
dell’espansione,
! "
“
‰
aä
2
2
´3
´4
´2
q0 = −
Hptq “ H0 Ω0 a ` Ωr,0 a ` ΩΛ ` a p1 ´ Ω0 ´ Ωȧ2r,0t0 ´. ΩΛ q
(51) (7.61)
si trova che:
Substituting a = 1, ȧ = H0 at the present epoch into the dynamical equation (7.40),
we find
• per a ă aeq domina la radiazione, l’equazioneq0è=
Ω0
− ΩΛ .
2
(7.62)
Equation (7.62) represents
the present competition between the decelerating effect
2
Hforce
of the attractive
r,0gravity and the accelerating effect of the repulsive dark
0 Ωof
2
9 Substituting
(52)
“
energy.a
2 favoured values of Ω0 = 0.3 and ΩΛ = 0.7 (see Chaps. 8
athe
and 15), we find q0 = −0.55, showing that the Universe is accelerating at the present
epoch because of the dominance of the dark energy.
integrando per separazione di variabili e considerando il caso in cui
a9 ą 0 si ha
aptq “ p2H0 Ωr,0 q t1{2
(53)
ricordando che aeq “ Ωr,0 {Ω0 si ottiene che il passaggio dalla fase
dominata dalla radiazione alla fase dominata dalla materia avviene per
teq “
Ωr,0
“ 4.0 ˆ 106 yr
2
2Ω0 H0
(54)
con Ω0 “ 0.3, ovvero dopo quattro milioni di anni.
• Per a ą aeq domina la materia, e per a ! 1 l’equazione è
H02 Ω0
a9 “
a
2
17
(55)
integrando per separazione di variabili e considerando il caso in cui
a9 ą 0 si ha
‰
2“
1{2
(56)
apt0 q3{2 ´ aptq3{2 “ H0 Ω0 pt0 ´ tq
3
´
¯´1
1{2
imponendo che ap0q “ 0 si ottiene t0 “ 3{2H0 Ω0
ovvero
ˆ
aptq “
1{3
Ω0
˙2{3
3
H0 t
2
(57)
• Nell’epoca attuale (a „ 1) la radiazione è trascurabile e l’equazione è
˙
„ ˆ
1
2
2
2
´ 1 ` ΩΛ pa ´ 1q ` 1
(58)
a9 “ H0 Ω0
a
possibili soluzioni di questa equazione sono mostrate in figura 6 e sono
ottenute numericamente. Si noti come l’età attuale dell’universo si
ha quando a “ 1, con ovviamente a9 ą 0. Nella fase iniziale in cui
a " 1 la soluzione numerica è ben approssimata dalla soluzione trovata
precedentemente.
Una soluzione analitica sempre valida si ha per Ω0 “ 1 e ΩLambda “ 0
(modello di Einstein-de Sitter): in questo caso
ˆ
aptq “
˙2{3
3
H0 t
2
(59)
1{3
come nel caso dominato dalla materia (a meno del fattore Ω0
adesso è pari a 1) e l’età dell’universo è
t0 “
2
“ 9.3 Gyr
3H0
che a
(60)
Si noti come 1{H0 “ 14.0 Gyr ha le dimensioni di un tempo (tempo di
Hubble) ed è il tempo scala tipico che caratterizza l’età dell’universo.
Un’altra semplice soluzione analitica si ha per Ω0 “ 0 ΩΛ “ 0 ovvero
l’universo vuoto di Milne:
aptq “ H0 t
(61)
in cui l’espansione avviene ad un tasso costante e t0 “ 1{H0 .
• Per a " 1 domina l’energia oscura e l’equazione è
a9 2 “ H02 ΩΛ a2
18
(62)
4.3 Consequences of the Friedmann Expansion
153
for all times, unless the
hes for some value of a:
when the right-hand side
or a value of a > 1, the
nd the Universe will recher hand, if H 2 = 0 for
< 1, then the sign of ȧ
h, a collapsing Universe
.
es describes our Uniparameters. We find the
ee Fig. 4.7):
all a ≤ 1, whereas the
on Ωm :
espectively), H 2 > 0 for
ll expand for all times. Fig. 4.7. Classification of cosmological models. The straight
Figura 7: Tipi di soluzioni (e di geometrie) al variare di Ω0 (Ωm ) e ΩΛ . I modelli
solid line connects flat models (i.e., those without spatial curted from the Newtonian
”loitering” sono quelli che ammettono una soluzione asintotica stazionaria, ovvero
vature,
Ω che
+Ω
and separates open (K < 0) and closed
Λ = 1)
≤ 0, the kinetic energy
inproprio
sono
quelli m
voleva
ottenere Einstein introducendo Λ.
(K > 0) models. The nearly horizontal curve separates modrger than the modulus of els that will expand forever from those that will recollapse in
., the expansion velocity the distant future. Models in the upper left corner have an exocity and the expansion separando
variabili
e scegliendo
ą 0 si
ottiene
pansion le
history
where
a has nevera9 been
close
to zero and thus
did
not
experience
a
Big
Bang.
In
those
models,
a maximum
lt.
1{2
H0 ΩΛ pt´t0 q
2
aptq
“
e
(63)
H will vanish for redshift for sources exists, which is indicated for two cases.
Since we know that Ωm > 0.1, and sources at redshift > 6
1). The Universe will ovvero
guidata
dall’energia oscura. t0 è
haveun’espansione
been observed,esponenziale
these models can
be excluded
pansion when the scale sempre l’età attuale dell’universo.
recollapse thereafter. In
least formally.
At thisdelle
instant
the “size
of theper
Universe”
Non entreremo
nel dettaglio
soluzioni
possibili
i vari valori di Ω0 ,
otal energy of any spherΩΛ e Ωr,0formally
; quest’ultimo
oltretutto
importante
solo nelle
fasi dell’univanished.
As aè→
0, both matter
and prime
radiation
that it is gravitationally
verso, quando
a
!
1.
I
vari
tipi
di
possibili
soluzioni
sono
mostrati
densities diverge so that the density in this state must in figura
7; nella prossima
sezione
saranno
i allori
deia parametri
cosmologici
have been
singular.
Thediscussi
epoch at
which
= 0 and the
logical constant Λ come
> 0, ricavati dalle osservazioni. Quando ΩΛ ą 0 l’universo si espande sempre
evolution away from this state is called the Big Bang.
e complicated:
perchè quando a " 1 il termine repulsivo di energia oscura domina. I modelli
It is
useful to define this epoch (a = 0) as the origin
sono quelli che ammettono una soluzione asintotica stazionaria,
will expand for all a“loitering”
> 1.
of time, so that t is identified with the age of the Unie future behavior ofovvero
a(t) sono proprio quelli che voleva ottenere Einstein introducendo Λ.
verse, the ditime
since
Big Bang.
As weconcludere
will show,
Con l’eccezione
pochi
casithe
particolari
possiamo
che a deve
Λ is sufficiently small,
the
predictions
of
the
Big
Bang
model
are
in
impressive
aver avuto il valore a “ 0 a qualche istante in passato che noi abbiamo
ich the expansion comes
scelto come
origine dell’asse
dei tempi. Per
“ 0 le dimensioni
agreement
with observations.
Thet expansion
historydell’universo
for
n contrast, if ΩΛ is large
the special case of a vanishing vacuum energy density
ll expand forever.
19 values of the curvature.
is sketched in Fig. 4.8 for three
for all a ≤ 1.
To characterize whether the current expansion of the
is in principle possible
Universe is decelerated or accelerated, the deceleration
= amin < 1. Such modparameter
m value for a existed in
ed by observations (see
q0 := −ä a/ȧ2
(4.32)
formalmente svaniscono e, considerando l’espressione di ρptq, sia la densità
di materia che di radiazione diventano infinite; anche la temperatura della
radiazione diventa infinita. Lo stato in cui a “ 0 prende il nome di “Big
Bang”. Lo stato di a “ 0 si raggiunge per t ą 0 anche nei modelli in cui
ΩΛ “ 0 e Ω0 ą 1: in questo caso l’universo ricollassa alla singolarità iniziale
e si parla di “Big Crunch”.
6
I valori dei parametri cosmologici
Il parametro di densità Ω0 contiene il contributo di tutta la materia, sia quella
visibile che quella oscura. Se si considera tutta la materia in stelle ed il gas
intergalattico (come quello negli ammassi rivelato nei raggi X), ovvero tutta
la materia che viene rivelata dalla sua emissione e.m., si arriva ad un valore
Ωb » 0.04. Se si considera la materia oscura nelle galassie e soprattutto
quella presente negli ammassi di galassie si arriva ad una stima complessiva
per la materia di Ω0 “ Ωb ` ΩDM » 0.3. Pertanto, solo una piccola frazione
è materia rivelata per la sua emissione e questa è la materia barionica ovvero
costituita da barioni (p, n). Come vedremo tra poco, la materia oscura non
può essere materia ordinaria (barionica).
Per ottenere misure di Ω0 e ΩΛ è necessario misurare i flussi di candele
standard oppure le dimensioni di “lunghezze standard”. Nel primo caso si
misurano i flussi osservati di sorgenti la cui luminosità è nota indipendentemente, nel secondo caso si misurano le dimensioni angolari (sul cielo) di
strutture le cui dimensioni fisiche sono note indipendentemente. Utilizzando
la metrica di Friedmann-Robertson-Walker è possibile definire una grandezza
DL , detta distanza di luminosità, funzione del redshift z della sorgente, e dei
parametri cosmologici (Ω0 , ΩΛ e H0 ) tale che il flusso osservato (bolometrico,
ovvero NON per unità di banda) è
DL “ DL pz; H0 , Ω0 , ΩΛ q
L
F “
4πDL2
(64)
con L luminosità della sorgente. Ovviamente per piccoli redshift (z ! 1) la
distanza di luminosità tende alla classica distanza D. Pertanto, osservando delle candele standard e confrontandone flusso e luminosità di possono
vincolare i parametri cosmologici.
Analogamente, è possibile definire una grandezza DA , detta distanza angolare, tale che le dimensioni di una sorgente di lunghezza ` sul piano del
20
cielo siano
DA “ DA pz; H0 , Ω0 , ΩΛ q “
θ “
DL
p1 ` zq2
`
DA
(65)
Anche in questo caso per piccoli redshift (z ! 1) la distanza angolare tende
alla classica distanza D.
Per quanto appena detto, DL » D per z ! 1, misure con le candele
standard a basso redshift permettono soltanto di misurare la costante di
Hubble H0 : di solito si utilizzano le variabili Cefeidi (caratterizzate da una
relazione periodo luminosità).
Recentemente, utilizzando come candele standard le Supernovae di tipo
Ia (nane bianche in sistemi binari che superano il limite di Chandrasekhar
per accrescimento dalla compagna), è stato possibile vincolare contemporaneamente Ω0 e ΩΛ trovando per la prima volta l’evidenza osservativa per
ΩΛ ‰ 0 ovvero per l’esistenza della costante cosmologica (figura 8).
Lo studio delle fluttuazioni della radiazioni cosmica di fondo fornisce dei
vincoli soprattutto sulla geometria dello spazio ovvero su Ω0 ` ΩΛ dalle scale
sulle quali si osservano le fluttuazioni (figura 9) ma anche su Ωb ovvero sulla
densità di massa barionica: infatti le fluttuazioni della radiazione cosmica di
fondo tracciano proprio le fluttuazioni di densità della materia barionica.
Infine, la figura 10 mostra come sia possibile vincolare Ω0 e ΩΛ combinando tutte queste osservazioni. Sono anche indicati i vari tipi di modelli
cosmologici determinati dai valori di Ω0 e ΩΛ . Combinando tutte le misure
più recenti su cefeidi, ammassi, supernovae, radiazione cosmica di fondo (dal
satellite Planck) e struttura a grande scala delle galassie è possibile ottenere i
valori dei parametri cosmologici riportati in tabella 1. Si noti come la geometria dell’universo sia piatta Ω0 `ΩΛ “ 1 e come, dallo studio delle fluttuazioni
della radiazione cosmica di fondo, sia possibile vincolare la densità di massa
nei barioni a Ωb » 0.05 mentre la densità di massa totale è Ω0 » 0.3: questa
è la conferma definitiva che gran parte della materia non è barionica.
7
La storia termica dell’universo
A seguito dell’interazione materia radiazione (principalmente causata dallo
scattering Thomson), la temperatura della materia barionica è uguale alla
temperatura della radiazione per z Ç 400, ovvero per tempi cosmici inferiori
a circa 40 milioni di anni dal Big Bang („ 0.03% dell’età dell’universo). Come abbiamo visto la temperatura della radiazione decresce con l’espansione
21
Figura 8: Diagramma schematico magnitudine osservata - redshift, che mostra
l’evidenza per Λ ą 0 dalle supernovae di tipo Ia (punti con barra d’errore). La
riga grigia sotto i punti mostra dove dovrebbero trovarsi i dati se ΩΛ “ 0 e Ω0 “ 1,
ovvero se l’universo fosse piatto senza costante cosmologica. La linea nera invece
mostra il best fit con universo piatto Ω0 ` ΩΛ “ 1 ma ΩΛ “ 0.7 e Ω0 “ 0.3.
dell’universo, ovvero cresce andando indietro nel tempo:
T0
T “
“ T0 p1 ` zq
aptq
(66)
con T0 temperatura attuale (T0 » 2.738K). La radiazione ha una distribuzione di corpo nero, per cui alla temperatura T esistono fotoni con un ampio
spettro di energia attorno al valor medio kT . Pertanto è facile intuire come,
andando indietro nel tempo, la temperatura sia stata cosı̀ alta da aver potuto dissociare la materia nelle sue componenti fondamentali. Questo fatto è
mostrato in figura 11 dove di devono notare alcune epoche importanti.
• Epoca della Ricombinazione. Quando l’età dell’universo era dell’ordine di „ 106 anni, la radiazione era cosı̀ calda da riuscire a ionizza22
Figura 9: Schematizzazione di come le scale angolari su cui si osservano le
fluttuazioni della radiazione cosmica di fondo dipendono dalla geometria dello
spazio.
re l’idrogeno (13.6 eV), il costituente principale della materia barionica
(„ 90% degli atomi): per cui a epoche più remote l’universo era completamente ionizzato. Percorrendo questa fase di transizione nel verso del
tempo, si capisce come per t „ 106 yr l’universo “ricombini” e diventi
neutro. Alla ricombinazione i fotoni ricevono il loro “ultimo scattering” con gli elettroni: la radiazione cosmica di fondo che osserviamo
adesso è proprio la radiazione emessa in questa fase e raffreddata fino a
„ 3 K dall’espansione dell’universo. Nella fase precedente alla ricombinazione, l’universo è totalmente ionizzato e quindi otticamente spesso
per scattering Thomson: la ricombinazione costituisce una vero e propria barriera nel senso che non è possibile osservare oggetti più distanti
utilizzando la radiazione elettromagnetica. Quindi la ricombinazione
costituisce per noi un vero e proprio orizzonte.
• Transizione Epoca Radiazione - Epoca Materia. Poco prima
della Ricombinazione, l’universo effettua la transizione tra la fase in cui
23
Figura 10: Contorni di confidenza nel piano Ω0 , ΩΛ ottenuti combinando le osservazioni sugli ammassi di galassie (marrone), le supernovae Ia (blue) e la fluttuazioni della radiazione cosmica di fondo (verde). Il punto rosso rappresenta i valori
più probabili indicati da tutte queste osservazioni.
è dominato dalla radiazione, alla fase in cui è dominato dalla materia.
• Nucleosintesi. Intorno ai 100 s dopo il Big Bang la radiazione è sufficientemente calda da poter spezzare i legami nucleari: tutti i nuclei
pesanti vengono decomposti in protoni e neutroni. Visto secondo il verso del tempo, in questa fase si ha la nucleosintesi, ovvero da protoni e
neutroni si passa alla formazione di nuclei più pesanti. La nucleosintesi
avviene in modo “esplosivo” ovvero nell’arco di circa 300 secondi è già
terminata. A causa del fatto che non esistono nuclei stabili con A “ 5,
24
Tabella 1: Valori dei parametri cosmologici ottenuti combinando le osservazioni
della radiazione cosmica di fondo del satellite Planck (ESA) con le osservazioni
esistenti di cefeidi, supernove, ammassi e struttura delle galassie su grande scala.
Parametro
Valore
H0 [ km s´1 Mpc´1 ]
67.8 ˘ 0.8
Ω0
0.305 ˘ 0.004
ΩDM
0.257 ˘ 0.004
Ωb
0.0476 ˘ 0.0005
ΩΛ
0.692 ˘ 0.01
Ω0 ` ΩΛ
1.00 ˘ 0.01
Età dell’Universo [Gyr]
13.80 ˘ 0.04
e A “ 8 non si riescono a sintetizzare elementi giù pesanti di 7 Li e 7 Be.
La nucleosintesi è una prova fondamentale del modello cosmologico:
predice che l’abbondanza in massa di 4 He sia attorno al 25%, valore
osservato e non spiegabile con le reazioni nucleari all’interno delle stesse. Inoltre le abbondanze osservate di deuterio (D), 3 He e 7 Li, elementi
distrutti all’interno delle stelle e quindi prodotti solo dalla nucleosintesi permettono di vincolare la densità di massa dei barioni: infatti le
loro abbondanze come predette dal modello di nucleosintesi cosmologica dipendono significativamente da Ωb . Si trova Ωb » 0.05 in ottimo
accordo con la misura totalmente indipendente dalle fluttuazioni del
fondo cosmico.
• Fasi precedenti. Procedendo a ritroso nel tempo, si raggiunge la
fase dell’annichilazione di elettroni e positroni, ovvero la fase in cui la
radiazione era cosı̀ calda da produrre coppie e´ , e` dallo scattering
fotone-fotone. Andando ancora indietro nel tempo l’universo è cosı̀
denso e caldo da essere otticamente spesso ai neutrini e si ha una fase
analoga alla ricombinazione: quando saremo in grado di utilizzare i
neutrini per le osservazioni vedremo un fondo cosmico di neutrini che
si origina in questa fase. Andando ancora indietro nel tempo si arriva
all’annichilazione tra barione e antibarione: in questa fase l’antimateria
è stata totalmente distrutta e, grazie ad una piccola asimmetria nel
rapporto tra barioni e antibarioni (109 +1 barioni per 109 antibarioni!)
è rimasta solo la materia. In fasi ancora precedenti si entra in un regime
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Summary of the Thermal History of the
This diagram summ
epochs in the therm
Universe. The key e
• The epoch of re
• The epoch of eq
and radiation.
Figura 11: Storia termica dell’universo.
in cui la fisica è poco conosciuta e si spera che LHC ricreerà le condizioni
fisiche dell’universo primordiale per poterle studiare in dettaglio.
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