Politecnico di Torino – II Facoltà di Architettura Corso di Istituzioni di Matematiche I Esercizi di geometria analitica del piano 1) Determinare le componenti di un vettore parallelo e di un vettore perpendicolare alle rette: r1 : r4 : x = 2 + 3t y = 5 − 4t 2x + y − 5 = 0, r2 : r5 : x = −1 − 3t y=2 x + y = 0, r3 : r6 : y+4 x−3 = 2 3 y−3=0 r7 : x = 0. 2) Scrivere le equazioni parametriche e cartesiane delle rette passanti per i punti a) A = (0, 0), B = (3, −2) b) A = (2, 1), B = (0, 0), c) A = (2, 1), B = (5, 1) 3) Scrivere l’equazione cartesiana delle rette r ed s passanti per il punto P0 = (3, −5) e parallele rispettivamente alle rette r0 : 4) Date le rette r : ed s0 : x + 2y − 4 = 0 x + ky + k = 0 ed s : x = 1 + 2t y =3+t kx + y + k = 0, con k ∈ R, determinare per quali valori di k le rette sono parallele. 5) Calcolare l’area del triangolo di vertici A = (0, 1), B = (3, 0), C = (1, 5). 6) Data la retta y = 4x+k, con k ∈ R, determinare k in modo che la retta passi per il punto P 0 = (−1, −1). 7) Trovare i valori di k per cui le rette dell’esercizio 4 sono perpendicolari. Quali rette si otengono? 8) Scrivere l’equazione cartesiana della retta passante per i punti A = (1, 0) e B = (2, k). Trovare per quale valore di k ∈ R tale retta è perpendicolare alla bisettrice del secondo e quarto quadrante. Per tale valore di k trovare il punto di intersezione delle due rette. Risultati. 1) r1 : parallelo (3, −4), perpendicolare (4, 3); r3 :parallelo(1, 3 3 2 ),perpendicolare(− 2 , 1); r5 :parallelo(1, −1),perpendicolare(1, 1); r7 :parallelo(0, 1),perpendicolare(−1, 0); x = 3t x = 2t 2) a) , y = − 32 x; b) y = −2t y=t r2 : parallelo (−3, 0),perpendicolare(0, 3); r4 :parallelo(1, −2),perpendicolare(2, 1); r6 :parallelo(0, 3),perpendicolare(−3, 0); , y = − 21 x; 3) r : x + 2y + 7 = 0, s : 2y = x − 13; 4) k = ±1; 5) S = 13 2 ; 6) k = 3; 7) k = 0; 8) y = (2 − k) · (x − 1), k = 1, intersezione in( 21 , − 21 ); 1 c) x = 5 − 3t y=1 , y = 1; Esercizi di geometria analitica dello spazio 1) Scrivere le equazioni cartesiane dei piani soddisfacenti le seguenti condizioni: a) passante per A = (1, 2, 3) e perpendicolare a u = j − 2k; b) passante per A = (1, 2, 3) e parallelo a u = i − k e v = i + 2j + k; c) passante per A = (1, 2, 3) e B = (0, 2, 1) e parallelo a u = j − 2k; d) passante per A = (1, 2, 3), B = (0, 2, 1) e C = (1, −1, 2). 2) Scrivere l’equazione parametrica delle rette soddisfacenti le seguenti condizioni: a) passante per A = (1, 2, 3) e B = (0, 2, 1) b) passante per A = (1, 2, 3) e parallela a u = j − 2k; b) passante per A = (1, 2, 3) e ortogonale al piano 2x − y + 3z − 5 = 0. 3) Verificare che i piani π : 2x − 3y + z = 0 e π 0 : x − 23 y + 12 z = 1 2 non hanno punti in comune; 4) Dire se il piano 2x − y + z = 0 contiene almeno una retta parallela alla retta s: ( x=t y =2+t z =1+t 5) Trovare l’equazione parametrica di una retta passante per A = (1, 0, 1) e parallela ai piani x − y + z = 0 e x + y = 1. 6) Verificare che la retta r: ( x=1 y=t z=1 non interseca il piano passante per i punti P1 = (1, 1, 0), P2 = (1, −1, 0) e P3 = (2, 1, 0). 7) Verificare che la retta passante per P1 = (1, 1, 1) e P2 = (2, 2, 2) è contenuta nel piano di equazione x + y − 2z = 0. 8) Dati il piano π : x + 2y − 3z + 1 = 0 e la retta passante per A = (0, 0, 4) e B(k, 2, 1 − k), determinare k ∈ R in modo che la retta non intersechi il piano. 9) Trovare l’equazione parametrica della retta intersezione del piano π : 0 π : x − y + 2z = 0. Risultati. 1) a) 2 x + y + z = 1 con il piano