DIAGRAMAS DE ESFUERZO CORTANTE Y MOMENTO FLECTOR • Arango Mochco, Samuel – 17160 • Haro Jara, Luis-Fernando – 17160229 • Janampa Raurau, Olivert – 17160 • Patri Carbajal, Angelo Docente: Jaime Cjahua – 17160 Escuela Académica Profesional de Ingeniería de Minas ¿Qué es una viga? Estructura horizontal que puede sostener carga entre dos apoyos sin crear empuje lateral en éstos. Los materiales más comunes para la elaboración de vigas son la madera, hierro, acero, concreto. Tipos de viga: 1. Vigas de acero L 2. Vigas HIP 3. Vigas Flitch 4. Vigas de caja 5. Vigas de soporte Vigas de acero L Más común en el sector de la construcción Vigas HIP Proporcionan apoyo a otras vigas de carga. Vigas Flitch Híbridas de madera y metal, generalmente acero, echa con capas una encima de otra. Vigas de caja Las vigas de caja se hacen tomando una pieza de madera enchapada, y mediante el clavado o el pegado de trozos se crea una estructura larga. Flexión Ocurre flexión cuando un elemento se somete a momentos flectores. Esfuerzo cortante Es la resultante de las tensiones paralelas a la sección transversal de un prisma mecánico. 𝐹 𝜏= 𝐴 𝑉∗𝑄 𝜏= 𝐼∗𝑏 𝑄 = 𝑌′ ∗ 𝐴′ Momento Flector Momento de fuerza resultante de una distribución de tensiones sobre una sección transversal (viga) que es perpendicular al eje longitudinal a lo largo del que se produce la flexión. EJERCICIO Trace los diagramas de esfuerzo cortante y momento flector para el siguiente caso. 4 kN 2 kN/m B A 0.8 m 0.2 m 1.6 kN 4 kN 2 kN/m Ax B A Ay By 0.8 m 0.2 m • Σ𝐹𝑥 = 0 ⟶ 𝐴𝑥 = 0 • Σ𝐹𝑦 = 0 ⟶ 𝐴𝑦 − 1.6𝑘𝑁 − 4𝑘𝑁 + 𝐵𝑦 = 0 • Σ𝑀𝐴 = 0 ⟶ −1.6𝑘𝑁 ∗ 0.4𝑚 − 4𝑘𝑁 ∗ 0.8𝑚 + 𝐵𝑦 ∗ 1𝑚 = 0 𝐵𝑦 = 3.84𝑘𝑁 𝐴𝑦 = 1.76𝑘𝑁 1.6 kN 2 kN/m 4 kN B Ax=0 A C Ay=1.76 kN By=3.84 kN 0.8 m 0.2 m SECCIÓN AC 2 kN/m V A C Ay=1.76 kN x 0 ≤ 𝑥 ≤ 0.8 • Σ𝐹𝑦 = 0 ⟶ 1.76 − 2𝑥 − 𝑉 = 0 𝑉 = 1.76 − 2𝑥 𝑥 • Σ𝑀𝑒𝑥𝑡 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑟𝑡𝑒 = 0 ⟶ −1.76 ∗ 𝑥 + 2𝑥 ∗ + 𝑀 = 0 2 2 𝑀 = 1.76𝑥 − 𝑥 1.6 kN 2 kN/m 4 kN B Ax=0 A C Ay=1.76 kN By=3.84 kN 0.8 m 0.2 m SECCIÓN CB 1.6 kN 2 kN/m 4 kN V A C C Ay=1.76 kN x 0.8 ≤ 𝑥 ≤ 1 • Σ𝐹𝑦 = 0 ⟶ 1.76𝑘𝑁 − 1.6𝑘𝑁 − 4𝑘𝑁 − 𝑉 = 0 𝑉 = −3.84𝑘𝑁 • Σ𝑀𝑒𝑥𝑡 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑟𝑡𝑒 = 0 −1.76 ∗ 𝑥 + 1.6 𝑥 − 0.4 + 4 𝑥 − 0.8 + 𝑀 = 0 𝑀 = −3.84𝑥 + 3.84 FUERZA CORTANTE 3 2 1 𝑉 = 1.76 − 2𝑥 𝑉 = −3.84𝑘𝑁 V 0 0 1.76 0.8 0.16 0.8 -3.84 1 -3.84 0 V (kN) x 0,2 0,4 0,6 -1 -2 -3 -4 -5 L(m) 0,8 1 1,2 MOMENTO FLECTOR 0,9 0,8 0,7 x 𝑀 = −3.84𝑥 + 3.84 0,6 0 0 0.2 0.312 0.4 0.544 0.6 0.696 0.8 0.768 0.8 0.768 1 0.000 0,5 M 𝑀 = 1.76𝑥 − 𝑥 2 M 0,4 0,3 0,2 0,1 0 0 0,2 0,4 0,6 L(M) 0,8 1 1,2 EJERCICIO APLICATIVO Una viga de madera que se usa como sombrero para realizar en una mina sostenimiento Tipo cuadro cojo. Soporta una fuerza distribuida de 80 KN/m. Tal como se muestra en la figura 30 A B ° h=300 mm b=400 mm Donde: 𝐸𝑀𝑎𝑑𝑒𝑟𝑎 = 10 KN/𝑚𝑚2 Longitud de la viga= 4m Se pide: a) Determinar el momento en el empotramiento y las reacciones en A y B b) Dibujar el diagrama de esfuerzo Cortante y Momento flector c) Calcular el valor de la deflexión Máxima d) Si se requiriese que el valor de la deflexión mínima sea y= -1mm, cuanto debe ser el nuevo valor de ¨h¨ si se considera ¨b¨ como constante. SOLUCIÓN: 80 KN/m 𝐴𝑥 𝐵𝑥 = 𝐵𝑠𝑒𝑛30 𝐴𝑦 4m 𝐵𝑦 = 𝐵𝑐𝑜𝑠30 B A • • • ∑𝐹𝑦 =0 𝐴𝑦 + 𝐵𝑦 − 80 = 0 𝐴𝑦 + 𝐵𝑦 =80……….(U) ∑𝐹𝑥 =0 𝐴𝑦 − 𝐵𝑦 = 0 𝐴𝑦 = 𝐵𝑦 ∑𝑀𝐵 =0 80(2) + 𝑀𝐴 - 4𝐴𝑦 = 0 𝑀𝐴 = 4𝐴𝑦 − 160 ……….(i) x/2 20x 𝑀𝐴 M 𝐴𝑥 V 𝐴𝑦 • • x ∑𝐹𝑦 =0 𝐴𝑦 +V − 20x = 0 V= 20x - 𝐴𝑦 ∑𝑀𝑐𝑜𝑟𝑡𝑒 =0 𝑥 M + 𝑀𝐴 + 20x( )= 𝐴𝑦 X 2 M= 𝐴𝑦 X - 𝑀𝐴 - 10𝑥 2 • EC𝑦 ′ = • Ecy = 𝐴𝑦 2 𝐴𝑦 6 𝑥25 6 10 3 𝑥 -𝑀𝐴 x+𝐶1 3 𝑥3- 𝑥4- 𝑀𝐴 x+𝐶1 𝑋+𝐶2 2 En A: x=0 𝑦 ′ = 0 → 𝐶1 = 0 x=0 y=0 -> 𝐶2 = 0 En B: x=4 y=0 4𝑦 5 𝑀 (4)3 − 4 4 − 𝐴 4 2 = 0 6 6 2 64𝐴𝑦 − 48𝑀𝐴 = 1280 … … . 𝑖𝑖 • De (i) y (ii) 64𝐴𝑦 − 48(4𝐴𝑦 −160) = 1280 𝐴𝑦 = 50𝐾𝑁 • En (U) 50+𝐵𝑦 =80 𝐵𝑦 =30KN -> BCos30°=30 B=34,64KN • En (i) 𝑀𝐴 = 4 50 − 160 𝑀𝐴 =40KN.m v=20x-50 40 30 20 10 DIAGRAMA DE ESFUERZO CORTANTE 0 -10 0 1 2 3 4 5 v=20x-50 -20 -30 -40 -50 -60 M=50x-10x^2 -40 30 20 10 DIAGRAMA DE MOMENTO FLECTOR 0 -10 -20 -30 -40 -50 0 1 2 3 4 5 M=50x-10x^2 -40 C) Calcular la deflexión máxima • Ecy = 6 10 3 𝑥 3 2 25𝑥 2 10 X( 𝑥 3 𝐴𝑦 5 6 𝑀𝐴 x+𝐶1 𝑋+𝐶2 =F(x) 2 𝑥3- 𝑥4- 𝑌𝑚𝑎𝑥 𝐶𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝐹 ′ 𝑥 = 0 − 40𝑥 = 0 -25x-40)=0 𝑥1 = 0 𝑥2 = 5,186 𝑥3 = 2.3138 • EC= 10 KN/mm^2 x (400mm)(300mm)^3=90𝑥108 KNm 50 5 (90𝑋108 𝑋110−3 )^2𝑌𝑀𝐴𝑋 = (2.3138)3 - (2.3138)4 -20(2.3138) 6 6 𝑌𝑀𝐴𝑋 =-3.0811 MM d) Calcular el h variable b=400mm y=4mm h=? 50 5 Ecy = 6 𝑥 3 - 6 𝑥 4 -40𝑋 2 ℎ3 10X40012 −1 = h= 0.43653 m h= 436.53 mm 50 3 - 5 (2.3138)4 -40(2.3138)2 (2.3138) 6 6