SOLUCIONARIO DE RESISTENCIA DE MATERIALE

SOLUCIONARIO DE RESISTENCIA DE MATERIALES U.T.P.L.
2008
SOLUCIONARIO DE
RESISTENCIA DE
MATERIALES
ESCUELA DE INGENIERÍA CIVIL
Singer Ferdinand L, Pytel Andrew; Resistencia de Materiales, introducción a la
mecánica de sólidos; cuarta edición.
Karen A. Romero M.
U.T.P.L.1
24/07/2008
SOLUCIONARIO DE RESISTENCIA DE MATERIALES U.T.P.L.
UNIVERSIDAD TÉCNICA PARTICULAR DE LOJA
ESCUELA DE INGENIERÍA CIVIL
CAPÍTULO I
ESFUERZO SIMPLE
103. Determine el máximo peso W que pueden soportar los cables mostrados en la
figura P-103. Los esfuerzos en los cables AB y AC no deben exceder 100 MPa, y 50
MPa, respectivamente. Las áreas transversales de ambos son: 400 mm2 para el cable
AB y 200 mm2 para el cable AC.
200
100
10
100 400
10
40
109. En la figura P-109 se muestra parte del tren de aterrizaje de una avioneta.
Determine el esfuerzo de compresión en el tornapunta AB producido al aterrizar
por una reacción del terreno R=20. kN. AB forma un ángulo de 53.1° con BC.
∑
0
53.13° 0.45
0.65
20 0.65
0.36
0
0
36.1
36.13
5.5 10
65.72
0.02
/
0.015
5.5 10
2
SOLUCIONARIO DE RESISTENCIA DE MATERIALES U.T.P.L.
112. Calcule el peso del cilindro más pesado que se coloca en la posición que se
indica en la figura P-112, sin rebasar el esfuerzo de 50MN/m2 en el cable BC.
Desprecie el peso de la barra AB. El área transversal del cable BC es 100 mm2.
⁄
50 10
1 10
5
6
10
53.13°
53.13°
0.8º
53.13°
0.6
0
4000 10
4
10000
0
0.6 10000
6000
//
3
SOLUCIONARIO DE RESISTENCIA DE MATERIALES U.T.P.L.
114. Se quiere punzonar una placa, tal como se indica en la figura 1-10c, que tiene
un esfuerzo cortante último de 300 MPa. (a) Si el esfuerzo de compresión
admisible en el punzón es 400 MPa, determine el máximo espesor de la placa
para poder punzonar un orificio de 100 mm de diámetro. (b) Si la placa tiene un
espesor de 10 mm, calcule el máximo diámetro que puede punzonarse.
(a)
0.31416
400
.
.
3.1416
3.1416
3.1416
0.31416
300
3.1416
300
0.31416
0.033
(b)
0.01
1
100
100
.
1
100
4
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100
300
1
2
2
100
300
0.01
0.030
//
.
115. figura P-115 muestra la unión de un tirante y la base de una armadura de
madera. Despreciando el rozamiento, (a) determine la dimensión b si el
esfuerzo cortante admisible es de 900 kPa. (b) Calcule también la dimensión c
si el esfuerzo de contacto no debe exceder de 7 MPa.
(a)
900 10
/
50 10
150
30°
0
30
0.5
30
0.866 50 10
0
0
86602.54
900 10
/
30° 86602.54
0.150
5
SOLUCIONARIO DE RESISTENCIA DE MATERIALES U.T.P.L.
43301.27
0.150
⁄
900 10
135000
43301.27
0.321
321
//sol
(b)
7
.
7 10
50
30°
/
43.301
7 10
1050
50
0.150
/
30°
43.301
0.04123
41.2
//sol
6
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118. La palanca acodada que se representa en la figura P-118 está en equilibrio. (a)
Determine el diámetro de la barra AB si el esfuerzo normal está limitado a 100
MN/m2 . (b) Determine el esfuerzo cortante en el pasador situado en D, de 20 mm de
diámetro.
(a) D=?
100
/
0
0.2
0.2
30
60° 0.24
0
6.24
31.2
0
30
31.2
60° 0.24
15
46.2
0
7
SOLUCIONARIO DE RESISTENCIA DE MATERIALES U.T.P.L.
30
60°
26
26
46.2
53
31200
100 10 /
3.12 10
2
2
2
3.12 10
2
7.05 10
2
0.01410
14.10
(b)
1000
/1
//
τ=?
8
SOLUCIONARIO DE RESISTENCIA DE MATERIALES U.T.P.L.
53.0
0.02
4
53.0
3.1415 10
168.7
/
//
119. La masa de la barra homogénea AB mostrada en la figura P-119 es 2000 kg.
La barra está apoyada mediante un perno en B y mediante una superficie vertical
lisa en A. Determine el diámetro del perno más pequeño que puede usarse en B
si su esfuerzo cortante está limitado a 60 MPa. El detalle del apoyo en B es
idéntico al apoyo b mostrado en la figura P-118
2000 9.8
19600
0
8
19600 3
0
7350
0
7350
0
19600
7350
19600
20932.81
9
SOLUCIONARIO DE RESISTENCIA DE MATERIALES U.T.P.L.
20932.81
20932.81
60 10 /
3.49 10
, 2
2
2
2
2
3.49 10
2
7.4529 10
2
2 7.45 10
0.0149
14.9
1000
/1
//
10
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120. Dos piezas de madera, de 50 mm de ancho y 20mm de espesor indica la figura
P-120. (a) Aplicando las ideas que se expresan en la figura 1-4, determine la fuerza
cortante y el esfuerzo cortante en la unión si P = 6000 N. (b) Generalice el
procedimiento para demostrar que el esfuerzo cortante en una sección
inclinada un ángulo θ respecto a una sección transversal de área A, tiene un
⁄2
valor dado por
2
(a)
6000
60°
5196.1524
6000
60°
3000
50
60°
57.74
57.74 20
1154.80
0
600
60°
3000
//
3000
1154.80 10
11
SOLUCIONARIO DE RESISTENCIA DE MATERIALES U.T.P.L.
2.598
.
//
(b)
2
2
2
2
L.Q.Q.D.
12
SOLUCIONARIO DE RESISTENCIA DE MATERIALES U.T.P.L.
132. Un recipiente cilíndrico a presión está fabricado de placas de acero que tienen un
espesor de 20 mm. El diámetro del recipiente es 500 mm y su longitud, 3 m. Determine la
máxima presión interna que puede aplicársele si el esfuerzo en el acero está limitado
a 140 MPa. Si se aumentara la presión interna hasta que el recipiente fallara, bosqueje
el tipo de fractura que ocurriría.
0.02
0.5
3
140 10
/
2
2
2
140 10 2 0.02
0.5
11200
/
11.20
.
Para cilindros en los que la parea tenga un espesor igual o menor que un décimo de
su radio interior, el esfuerzo medio calculado es prácticamente igual al esfuerzo
máximo que aparece en la superficie interior del cilindro:
1
0.25
10
0.02
0.025
0.025
13
SOLUCIONARIO DE RESISTENCIA DE MATERIALES U.T.P.L.
134. Un depósito cilíndrico de agua de eje vertical tiene 8 m de diámetro y 12 m de altura.
Si ha de llenarse hasta el borde, determinar el mínimo espesor de las placas que lo
componen si el esfuerzo está limitado a 40 MPa.
40 10
/
í
?
.
1000
9.8 /
/
9800 /
12
9800
117600 /
.
40 10
.
2
/
117600 /
2
8
0.01176
11.76
14
SOLUCIONARIO DE RESISTENCIA DE MATERIALES U.T.P.L.
135. En el depósito cilíndrico de la figura 1-16 la resistencia de las juntas longitudinales
es de 480 kN y de las trasversales, de 200 kN. Si la presión interior ha de ser de
1.5 MN/m 2 , determinar el máximo diámetro que se puede dar al depósito.
1.5 10
/
.
.
200
/
.
480
/
.
.
.
480
1.5 10
/
/
0.32
2
0.64
.
2
2 .
.
2 .
2 200
1.5 10
/
/
0.267
2
0.53
//
La resistencia interna admisible imprime de la resistencia de las juntas longitudinales
15
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UNIVERSIDAD TÉCNICA PARTICULAR DE LOJA
ESCUELA DE INGENIERÍA CIVIL
CAPÍTULO II
DEFORMACIÓN SIMPLE
204. Una barra prismática de longitud L, sección transversal A y densidad p se
suspende verticalmente de un extremo. Demostrar que su alargamiento total es
, llamando M a su masa total demostrar que también
a)
.
. .
.
. . .
.
.
dy
. . .
.
2
2
. .
2
b)
. . .
. .
. . .
2
. .
2
,
. . .
16
SOLUCIONARIO DE RESISTENCIA DE MATERIALES U.T.P.L.
205. Una varilla de acero que tiene una sección constante de 300 mm y una longitud
de 150 m se suspende verticalmente de uno de sus extremos y soporta una carga de
20 kN que pende de su extremo inferior. Si la densidad del acero es 7850 kg/m3 y
E
200 x 10 3 MN/m2, determinar el alargamiento de la varilla. Indicación:
Aplique el resultado del problema 204.
300
0.0003
150
20
20 10
7850
/
200 10
/
2040.82
200 10
/
0.0003 7850 150
353.25
. .
2
7850 9.8 150
2 200 10
0.004327
4.33
.
. .
2
353.25 9.8 150
2 0.0003 200 10
0.004327
4.33
.
17
SOLUCIONARIO DE RESISTENCIA DE MATERIALES U.T.P.L.
207. Una llanta de acero, de 10 mm de espesor, 80 mm de ancho y de 1500 mm de
diámetro interior, se calienta y luego se monta sobre una rueda de acero de 1500.5
mm de diámetro. Si el coeficiente de fricción estática es 0.30, ¿qué par se requiere
para girar la llanta con respecto a la rueda? Desprecie la deformación de la rueda
y use E = 200 GPa,
:
10
0.01
80
0.08
1500
1.5
:
1500.5
1.5005
0.30
?
200 10
/
209. Una barra de aluminio de sección constante de 160 mm 2 soporta unas
fuerzas axiales aplicadas en los puntos indicados en la figura. Si E= 70GPa.
Determinar el alargamiento o acortamiento total de barra.
10 10 0.8
160 10 70 10
7.147 10
5 10 1.0
160 10 70 10
4.46 10
35 10 0.6
160 10 70 10
0.001875
0.001607
1.61
15 KN
10KN
30 KN
35 KN
18
SOLUCIONARIO DE RESISTENCIA DE MATERIALES U.T.P.L.
15 KN
PAl
10KN
PAl
35 KN
210. Un tubo de aluminio está unido a una varilla de acero y a otra de bronce, tal
como se indica en la figura P-210, y soporta unas fuerzas axiales en las
posiciones señaladas. Determinar el valor de P con las siguientes condiciones:
La deformación total no ha de exceder de 2 mm, ni las tensiones han de
sobrepasar 140MPa en el acero, 80MPa en el aluminio ni 120MPa en el bronce.
Se supone que el conjunto está convenientemente aislado para evitar el
para el
pandeo y que los módulos de elasticidad son 200 10
acero,70 10
para el aluminio y 83 10
para el bronce.
ALUMINIO
BRONCE
A=450 mm²
3P
ACERO
A=600 mm²
P
3P
4P
2P
A=300 mm²
PAL
P
PA
2P
2 10
3 0.6
450 10 83 10
1.8
37.55
4.82 10
0.691
2
42
2 1.0
600 10 70 10
1.6
60
4.76 10
2
300 10
0.8
200 10
2 10
2 10
2.67 10
2 10
2 10
19
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2.894 10
28.94
2 28.94
300 10
192933.33
/
192.933
.
140
.
í
2
300 10
140
0.021
21
2
600 10
80
24
3
450 10
120
18
á
18
.
20
SOLUCIONARIO DE RESISTENCIA DE MATERIALES U.T.P.L.
211. Dos barras AB y CD que se suponen absolutamente rígidas están
articuladas en A y en D y separadas en C mediante un rodillo, como indica la
figura P-211. En B, una varilla de acero ayuda a soportar la carga de 50 kN.
Determinar el desplazamiento vertical del rodillo situado en C.
50 KN
A
B
D
C
200 10
/
T
300
3
B
A
∑
0
3
25 4.5
25 KN
0
50 KN
37.5
C
D
0
4
50 2
RC
0
25
A
C
y
C'
21
SOLUCIONARIO DE RESISTENCIA DE MATERIALES U.T.P.L.
37.5 3
300 10 200 10
0.001875
∆
3
0.001875
4.5
3
0.0084375
0.002812
2.81
.
212. Un bloque prismático de concreto de masa M ha de ser suspendido de
dos varillas cuyos extremos inferiores están al mismo nivel, tal como se indica
en la figura P-212. Determinar la relación de las secciones de las varillas, de
manera que el bloque no se desnivele.
ALUMINIO
E=70 GPa
L = 6m
.
.
.
.
2
3
5
200
6
ACERO
E=200 GPa
L = 3m
70
5.14 10
0.006
0.006
3
5
.
5.14 10
masa=M
.
8.57
8.57
.
TA
TAL
W
22
SOLUCIONARIO DE RESISTENCIA DE MATERIALES U.T.P.L.
213. La barra rígida AB, sujeta a dos varillas verticales como se muestra en la
figura P-213, está en posición horizontal antes de aplicar la carga P. Si
50 , determine el movimiento vertical de la barra.
ALUMINIO
E=70 GPa
L = 4m
A=500 mm²
ACERO
E=200 GPa
L = 3m
A=300 mm²
A
B
P
∑
0
5
TA
50 2
TAL
0
20
0
50 KN
50 3
5
0
30
30 KN
20 KN
50 KN
23
SOLUCIONARIO DE RESISTENCIA DE MATERIALES U.T.P.L.
30000 3
300 10
2 10
.
.
.
.
20000 4
500 10
7 10
.
2.29
.
0.79
0.0015
/
/
1.5
2.286 10
2.29
1.5
.
215. Una varilla de longitud L y sección circular tiene un diámetro que varía
linealmente desde D en un extremo hasta d en el otro. Determinar el alargamiento
que le producirá una fuerza P de tensión.
2
.
2
2
δ
1
P
4
4
.
4
4
24
SOLUCIONARIO DE RESISTENCIA DE MATERIALES U.T.P.L.
4
1
4
1
4
1
1
4
2
4
4
4
4
.
216. Una varilla de longitud L y sección recta constante, situada en un plano
horizontal experimenta una rotación alrededor de un eje vertical que pasa por uno
de sus extremos llamado a la densidad y
a la velocidad angular. Demostrar
que el alargamiento total de la varilla viene dado por
W
dx
.
25
SOLUCIONARIO DE RESISTENCIA DE MATERIALES U.T.P.L.
2
2
.
2
.
.
. .
.
.
2
2
2
2
2
6
6
. . .
3
217. Dos varillas de aluminio AB y BC articuladas en A y C a soportes rígidos,
como indica la figura P-217, están unidas en B mediante un pasador y soportan la
carga P = 20 kN. Si las varillas tienen una sección de 400 mm 2 y E = 70 x 103
MN/m2, determinar las deformaciones totales de cada una y el desplazamiento
horizontal y vertical del punto B. Considérese α= 30˚ y β = 30°.
A
0
L=3m
30
0.5
0.5
30
20
20
1
α
B
θ
L=2 m
P
C
26
SOLUCIONARIO DE RESISTENCIA DE MATERIALES U.T.P.L.
0
30
30
0.87
0.87
0.5
0.5
2
20
0.87
0.87
0.87
1
^
0
0.5
2
0.4350.5
0.435
0.435
0.435
0.87
17.4
17.4
0
20
20
20 2000
400 10 70 10
1.43
,
0.87 20
0.87
20
20 3000
400 10 70 10
2.14
,
30
1.238
60
0.5
27
SOLUCIONARIO DE RESISTENCIA DE MATERIALES U.T.P.L.
30
1.853
1.238
0.5
60
0.5
0.5
1.853
0.5
0.5
3.091
3
30
0.715
60
0.87
30
1.07
60
0.87
0.715
0.87
1.07
0.87
0.87
0.355
3
0.5
^
0.435
3.091
0.87
0.435
0.435
0.87
4
4
0.5
0.87
0.87
0.435
0.87
0.355
0.5
2.689
0.178
2.857
3.295
2.885
0.4095
3.579
28
SOLUCIONARIO DE RESISTENCIA DE MATERIALES U.T.P.L.
ELEMENTOS ESTÁTICAMENTE INDETERMINADOS O HIPERSTÁTICOS
232. Una barra de acero de 50 mm de diámetro y 2 m de longitud se envuelve con un
cascarón de hierro fundido de 5 mm de espesor. Calcular la fuerza de compresión que
es preciso aplicar para producir un acortamiento de 1 mm en la longitud de 2 m de la
barra compuesta. Para el acero, E = 200 x 109 N/m2, y para el hierro fundido, E = 100 x
109 N/m2.
0.025
.
m
2
∆
0.0
5
0.005
200 10
/
100 10
/
1
P
0.001
0.025
0.03
86394 10
0.05
2 0.005
0.06
2
200 10
2
100 10
2 10
1 10
2
0.025
2
200 10
29
SOLUCIONARIO DE RESISTENCIA DE MATERIALES U.T.P.L.
5.09 10
2
100 10
8.639 10
2.315 10
0.001
5.09 10
196463.65
0.001
2.315 10
43196.54
196463.65
43196.54
240
233. Una columna de concreto armado de 250 mm de diámetro se diseña para soportar
una fuerza axial de compresión de 400kN. Si el esfuerzo admisible en el concreto es
de 6MPa y en el acero de 120MPa, determinar la sección de refuerzo de acero que se
necesitará. Ec = 14GPa y Ea = 200GPa.
0.125
14 10
0.125
200 10
0.07
0.07 120 10
8.4 10
8.4
/
6
,
30
SOLUCIONARIO DE RESISTENCIA DE MATERIALES U.T.P.L.
6 10
0.07
85.71 10
85.71
/
/
400 10
6 10
400 10
294527.31
105475.69
0.125
6 10
85.71 10
85.71 10
70710000
1.3232 10
1323
234. Una columna de madera de sección 250 x 250 mm se refuerza mediante placas
de acero de 250 mm de ancho y espesor t, en sus cuatro caras laterales. Determinar
el espesor de las placas de manera que el conjunto pueda soportar una carga axial
de 1200kN sin que se excedan los esfuerzos admisibles de 8 MN/m2 en la madera y
de 140 MN/m2 en el acero. Los módulos elásticos son Em = 10 x 10 3 MN/m2 y Ea =
200 x 10 3 MN/m2
800
140 10
800
175000 /
4
4
4
1200 KN
5 10
4 10
800
800 8 10
6400 10
/
t
t
31
SOLUCIONARIO DE RESISTENCIA DE MATERIALES U.T.P.L.
6400
140,
4
1200 10
4
1200 10
175 10 0.25 0.25
1200 10
10937.5
1189062.5
140 10
4 140 10
0.25
140 10
8.4933 10
8.4933
235. Un bloque completamente rígido de masa M se apoya en tres varillas situadas
en un mismo plano, como indica la figura P-235. Las varillas de cobre tienen una
sección de 900 mm2, E = 120GPa, y esfuerzo admisible de 70MPa. La varilla de
acero tiene una sección de 1200mm 2 , E = 200GPa, y el esfuerzo admisible es
140MPa. Calcular el máximo valor de M.
∑
0
2
M
0.24
200 10
0.16
120 10
1.2 10
Cobre
160 mm
Acero
240mm
Cobre
160 mm
1.33 10
1.11 10
1.11 70 10
77700000 /
77.7
/
2
32
SOLUCIONARIO DE RESISTENCIA DE MATERIALES U.T.P.L.
2
77.7 10
1200 10
2 70 10
900 10
9.81
22348.62
22.35
237. Los extremos inferiores de las barras de la figura P-237 están en el mismo
nivel antes de colgar de ellas un bloque rígido de masa 18Mg. Las barras de
acero tienen una sección de 600mm2 y E = 200 GN/m2. La barra de bronce tiene
una sección de 900 mm2 y E = 83 GN/m2. Determinar el esfuerzo en las tres barras.
∑
0
18 10 9.81
2
17580
Acero
L=1m
2
Acero
L=1m
0
Bronce
L=1.6m
2
18 Mg
600 10
1
200 10
1.6
900 10 83 10
2.14 10
8.33 10
2.57
2
17580
73910.53
28753.96
73910.53
600 10
123.18 10
/
33
SOLUCIONARIO DE RESISTENCIA DE MATERIALES U.T.P.L.
28758.96
900 10
31.9 10
/
238. La plataforma rígida de la figura P-238 tiene masa despreciable y descansa
sobre dos barras de aluminio, cada una de 250.00 mm de longitud. La barra central
es de acero y tiene una longitud de 249.90 mm. Calcule el esfuerzo en la barra de
acero una vez que la carga central P de 400kN se haya aplicado. Cada barra de
aluminio tiene un área de 120 mm2 y un módulo E de 70GPa. La barra de acero
tiene un área de 2400 mm2 y un módulo E de 200GPa.
P
120
70
240
ALU MINIO
0.0001
ACE RO
ALU MINIO
200
0.0001
0.25
70 10
0.2499
200 10
3.57 10
1.25 10
3.57 10
1.25 10
2.858
0.0001
0.0001
0.0001
80 10
2.856
400 10
80 10
400 10
120 10
2.856
400 10
120 10
0.00685
592000
80 10
2400 10
192000
0.00697
84935437.59 /
34
SOLUCIONARIO DE RESISTENCIA DE MATERIALES U.T.P.L.
85 10
/
85
2.858
80 10
2.858 85 10
162.76 10
80 10
/
162.76
240. Como indica la figura P-240, tres alambres de acero de 30 mm 2 de sección
cada uno soportan una carga de masa M. Las longitudes iniciales de los
alambres son 19.994 m, 19.997 m y 20.000 m. (a) ¿Cuál es el esfuerzo en el
alambre más largo, si M = 600 kg? (b) Si M = 200 kg, determinar el esfuerzo en
el alambre más corto. Emplee
200 /
300
19.994
19.997
1
20.000
600
9.81
5886 19.994
30 10 200 10
19.61
5886
2
3
0.01961
M
35
SOLUCIONARIO DE RESISTENCIA DE MATERIALES U.T.P.L.
241. El conjunto de la figura P-241 consiste de una barra rígida AB, de masa
despreciable, articulada en O mediante un perno y fija a las varillas de
aluminio y de acero. En la configuración mostrada, la barra AB está en posición
horizontal y hay un claro A=4 mm entre la punta inferior de la varilla de aluminio
y su articulación en D. Calcule el esfuerzo en la varilla de acero cuando la
punta inferior de la varilla de aluminio se articuló en el apoyo D.
A
B
0
Aluminio (Al)
A=400 mm²
E=70 GPa
Acero (a)
A=300 mm²
E=200 GPa
L= 1.5 m
D
C
? = 4 mm
0
1.2
0.6
2
0
1
∆
∆
∆
0.6
2
1.2
∆
2
4 10
4 10
1
4 10
2
2
2
2
2
36
SOLUCIONARIO DE RESISTENCIA DE MATERIALES U.T.P.L.
300 10 200 10
2 1.5
1.496
900 10 70 10
4 10
80000
2
1.068
3.068
2
80000
26075.6
26.1
2
52.2
52.2
300 10
174000
/
174
242. Una varilla homogénea de sección constante se empotra en sus extremos
en soportes indeformables. Soporta una carga axial P aplicada, como indica la
/ y
figura P-242. Demostrar que las reacciones vienen dadas por
/ . Obsérvese que estas reacciones son análogas a las de una viga
simplemente apoyada con una carga concentrada transversal aplicada en el
mismo punto.
∑
0
P
R1
∆
R2
∆
37
SOLUCIONARIO DE RESISTENCIA DE MATERIALES U.T.P.L.
.
38
SOLUCIONARIO DE RESISTENCIA DE MATERIALES U.T.P.L.
244. La barra representada en la figura P-244 está firmemente empotrada en
sus extremos. Determinar los esfuerzos en cada material cuando se aplica la
fuerza axial P = 200 kN
P
A c e ro (a )
A =1200 m m ²
E=200 G Pa
A lu m i n io ( A l)
A=900 m m ²
E =70 G Pa
0.3
1200 10 200 10
900 10
0.2
700 10
3.17 10
1.25 10
2.336
Ta
Pa
0
2.586
200
200
3.536
Pa
P
PAL
56.561
56.561
900 10
62.8
2.586
/
200
143.44
143.44
1200 10
120
/
39
SOLUCIONARIO DE RESISTENCIA DE MATERIALES U.T.P.L.
246. Una varilla está formada de tres partes distintas, como indica la figura
P-246, y soporta unas tuerzas axiales P 1 = 120kN y P 2 = 50kN. Determinar los
esfuerzos en cada material si los extremos están firmemente empotrados en
unos nudos rígidos e indeformables.
600 mm
400 mm
300 mm
P2
P1
Bronce
A=2400 mm²
E=87 GPa
0
Aluminio
A=1200 mm²
E=70 GPa
Acero
A=600 mm²
E=200 GPa
PB
R
0
PB
P1
R
120
120
120
R
P1
P2
PA
0
120
50
170
170
0
40
SOLUCIONARIO DE RESISTENCIA DE MATERIALES U.T.P.L.
0
0.6
83 10
2400 10
3.01 10
120 10 0.4
70 10
1200 10
4.76 10
5.71 10
170 10 0.3
200 10
600 10
25 10
4.25 10
0
0
9.96 10
1.027 10
96981.5
97
170
97
170
73
73
600 10
122000
122
/
/
251. Según se muestra en la figura P-251 una viga rígida de masa despreciable
está articulada en O y sujeta mediante dos varillas de diferentes longitudes;
pero por lo demás idénticas. Determine la carga en cada varilla si P=30kN
2
3.5
1.5
.
0.75
2
O
.
L-1.5 m
L-2m
0.571
0.76
P
A
B
41
SOLUCIONARIO DE RESISTENCIA DE MATERIALES U.T.P.L.
0
2
30 2
60
0.76
60
1.52
60
5.02
3.5
2
0
3.5
3.5
0
0
11.95
0.76
0.76 11.95
9.08
252. Una viga rígida de masa despreciable está articulada en un extremo y
suspendida de dos varillas. La viga está inicialmente en posición horizontal y en
seguida se aplica la carga P. Calcule el movimiento vertical de la carga si P = 120kN.
Acero
A=600 mm²
E=200 GPa
L=4 m
3m
Aluminio
A=900 mm²
E=70 GPa
L=3 m
2m
1m
P
600 10
4
200 10
3.33 10
100 10
3
70 10
4.76 10
42
SOLUCIONARIO DE RESISTENCIA DE MATERIALES U.T.P.L.
3
6
1
4.76 10
6
1
3.33 10
3
7.93 10
111 10
0.714
0
3
120 5
0.714
3
2.142
6
0
6
600000
6
600000
0
0
73691.97
0.714
0.714 73691.97
52616
6
5
5
6
5
6
5 4.76 10
73691.97
6
2.92 10
2.92
43
SOLUCIONARIO DE RESISTENCIA DE MATERIALES U.T.P.L.
253. Una barra rígida, de masa despreciable, está articulada en un extremo y
suspendida de una varilla de acero y una de bronce, según se muestra en la figura P-253.
¿Cuánto vale la carga máxima P que puede aplicarse sin exceder un esfuerzo en el
acero de 120 MN/m2 mínimo en el bronce de 70 MN/m2?
0
2
5
6
Acero
A=900 mm²
E=200 GPa
L=3 m
0
3m
2m
3
200 10
1m
P
2
83 10
1.5 10
Bronce
A=300 mm²
E=83 GPa
L=2 m
2.41 10
1.51
1.61 70 10
112.7 10
/
112.7
/
, por tanto el acero no sobrepasará su esfuerzo admisible de
120
/
sin que el bronce exceda el suyo.
2
5
6
6
2
6
2
6
2 112.7 10
0
5
5
800 10
5 70 10
300 10
47553.33
47.55
44
SOLUCIONARIO DE RESISTENCIA DE MATERIALES U.T.P.L.
255. Tres varillas, situadas en un mismo plano, soportan conjuntamente una fuerza de
10kN como se indica en la figura P-255. Suponiendo que antes de aplicar la carga
ninguna de las tres estaba ni floja ni tensa, determinar las tensiones que aparecen en
cada una. Para el acero, Ea = 200 x 109 N /m2, y para el bronce. Eb = 83 x 109 N /m2,
Acero L=3m
Bronce
Bronce
10 kN
3
cos 30°
3.46
h
3m
TA
TB
TB
0
2
30
10
á
10 kN
0.87
0.87
3.46
83 10
4.17 10
δA
3
0.87
200 10
1.5 10
0.87
δB
0.313
45
SOLUCIONARIO DE RESISTENCIA DE MATERIALES U.T.P.L.
cos 30
2 0.313
1.544
10000
10000
6476.68
6.48
0.313
0.313 6.48
2.03
256. Tres barras AB, AC y AD se articulan en A para soportar juntas un carga P= 20kN,
como se indica en la figura P-256. El desplazamiento horizontal del punto A está impedido
por una corta varilla horizontal AE que se supone infinitamente rígida. Determinar los
esfuerzos en cada barra y la fuerza total en AE. Para la barra de acero, A = 200 m2 y
E = 200 GPa, y para cada una de las barras de aluminio, A 400 mm2 y E = 70 GPa.
C
B
D
Acero
L=3 m
Aluminio
Aluminio
E
P
cos 45
cos 30
cos 30
200 10
75 10
cos 45
3
200 10
1.42 10
1
3.46
.
cos 30 400 10
70 10
1
4.24
.
cos 45 400 10
70 10
2.13 10
46
SOLUCIONARIO DE RESISTENCIA DE MATERIALES U.T.P.L.
1.42 10
75 10
1.89
1.42 10
2.13 10
0.66
ESFUERZOS DE ORIGEN TÉRMICO
261. Una varilla de acero de 150 mm2 de sección está sujeta en sus extremos a dos
puntos fijos, estando estirada con una fuerza total de 5000 N a 20º C. Calcular el esfuerzo
de la varilla a -20ºC ¿A qué temperatura se anulará el esfuerzo?
11.7 / °c y
9
2
E = 200 x 10 N/m .
Acero
A=150 mm²
P=5000 N
atº=20ºC
δP1
δT
∆
5000
150 10
200 10
200 10
5 10
1.666 10
5 10
0.0006346
126.92 10
127
0
11.7 10
40
0.000468
/
/
1.666 10
∆
1.666 10
11.7 10
∆
14.24
11.7 10 ∆
47
SOLUCIONARIO DE RESISTENCIA DE MATERIALES U.T.P.L.
20
14.24
34.24
264. Una llanta de acero de 10 mm de espesor y 75 mm de ancho se coloca
sobre una rueda motriz de locomotora, de 1.8 m de diámetro, calentándola a
90°C, temperatura a la cual encaja perfectamente sobre la rueda, que está a
20°C. Determinar la presión de contacto entre ambas ruedas al descender la
temperatura común a 20°C. Despreciar la deformación de la rueda producida
por la presión de contacto
11.7 / °c y E = 200 x 103 N/m2 .
0.075 0.01
0.00075
Acero
2.545
0.9
0.075 m
1.8
m
0.9
Rueda
0.01 0.075
0.06825
∆
11.7 10
2
0.9 90
Acero
5.95 10
δPA
δTA
∆
11.7 10
2
0.9 50
3.31 10
5.95 10
0.00264
5.654
7.5 10 200 10
3.31 10
3.77 10
48
SOLUCIONARIO DE RESISTENCIA DE MATERIALES U.T.P.L.
70026.53
70026.53
0.06825
1026029.67 /
.
0.97001
0.9
1026029.67
923426.70
0.91
1014454.62 /
1.015
/
265. Un aro de bronce de 20 mm de espesor cuyo diámetro interior es de
600mm se coloca perfectamente ajustado sobre otro de acero de 15 mm de
espesor, a una temperatura común de 130°C. EI ancho, igual para los dos, es de
100 mm. Determinar la presión de contacto entre ambos aros cuando la
temperatura descienda hasta 20°C. Despreciar el hecho de que el aro interior
pueda abollarse por pandeo. Ea = 200GPa y
11.7 / °c . Eb= 83GPa y
19 / °c .
Bronce
Acero
m
:
0.310 2
19 10
3.94 10
2
D=
0.6
∆
D=0
110
0.1 m
.57 m
t=0.02 m
0.310
t=0.015 m
1.884
1.884
3.94 10
1.8800
49
SOLUCIONARIO DE RESISTENCIA DE MATERIALES U.T.P.L.
2
1.880
2
0.29921
:
∆
11.7 10
0.3 2
110
2.425 10
2
0.30
1.884
1.884
2.425 10
1.881
2
1.881
2
0.29945
3.94 10
2.425 10
0.001515
0.001515
0.001515
1.884
200 10
0.001515
6.28 10
0.001515
1.762 10
1.884
83 10
1.1349 10
50
SOLUCIONARIO DE RESISTENCIA DE MATERIALES U.T.P.L.
85981.84
0.21 0.015
0.0015
0.1 0.02
0.002
0.1 0.035
0.0035
85981.84
0.0035
24566240 /
.
24565240 0.035
0.3
2866061 /
2.87
/
51
SOLUCIONARIO DE RESISTENCIA DE MATERIALES U.T.P.L.
266. A una temperatura de 20°C se coloca una plancha rígida que tiene una
masa de 55 Mg sobre dos varillas de bronce y una de acero, como se indica en
la figura P-266. ¿A qué temperatura quedará descargada la varilla de acero?
Datos Acero: A = 6000 mm 2 , E = 200 x 10 9 N/m2 y
11.7 / °c . Bronce
2
9
2
19 / °c .
(cada una): A = 6000 mm , E = 83 x 10 N/m y
55Mg
55 10
9.81 /
Bronce
539.55
Acero
Bronce
∆
19 10
0.25 ∆
0.00000124∆
∆
11.7 10
0.3 ∆
269.775 0.25
600 10 83 10
1.354 10
109.22
109.22
20
129.22
52
SOLUCIONARIO DE RESISTENCIA DE MATERIALES U.T.P.L.
ACERO
ACERO
BRONCE
267. A una temperatura de 20°C hay un claro ∆ = 0.2 mm entre el extremo inferior
de la barra de bronce y la losa rígida suspendida de las dos barras de acero,
según se muestra en la figura P-267. Despreciando la masa de la losa, determine el esfuerzo en cada barra cuando la temperatura del conjunto se eleva a
100°C. Para la barra de bronce, A = 600 mm 2 , E = 83 x 10 9 N/m2 y
18.9 / °c . Para cada barra de acero, A = 400 mm2, E = 200 x 109 N/m2 y
11.7 / °c .
800 mm
Δ
0
∆
∆
∆
0.0002
∆
11.7 10
0.8 80
18.9 10
0.0002
0.0007488
4.212 10
1 10
0
0.8
400 10 200 10
0.8 80
0
3.212 10
2 0.8
600 10 83 10
0.0012096
0
0.0002608
6191.83
6.19183
400 10
15473.53
/
2 6.19183
600 10
20639.43
/
53
SOLUCIONARIO DE RESISTENCIA DE MATERIALES U.T.P.L.
268. Un cilindro de aluminio y otro de bronce, perfectamente centrados, se
aseguran entre dos placas rígidas que se pueden apresar mediante dos
tornillos de acero, como se observa en la figura P-268. A 10°C no existen
fuerzas axiales en conjunto del dispositivo. Determinar las tensiones en cada
material a 90°C, con los siguientes datos:
Aluminio, A = 1200 mm 2 , E = 70 x 10 9 N/m2 ; y
Bronce, A = 1800 mm2 , E = 83 x 109 N/m2 , y
Cada tornillo, A = 500 mm2 , E = 200 x 10 9 N/m2 , y
20 mm
75 mm
100 mm
ALUMINIO
20 mm
BRONCE
2 0.075
0.1 80
19 10
1200 10 70 10
2 0.1
0.215
0.215 80
11.7 10
1800 10 83 10
500 10 200 10
23 10
0.075 80
13.8 10
1.79 10
88.76 10
15.2 10
1.34 10
20.124 10
2.15 10
5.28 10
16810.61
16811
2
2
33622
54
SOLUCIONARIO DE RESISTENCIA DE MATERIALES U.T.P.L.
16811
500 10
33.62
2 16811
33622
33622
1200 10
28.02
/
33622
1800 10
18.68
/
273. La barra compuesta de figura P-273, está firmemente sujeta a soportes
indeformables. Se aplica una fuerza axial P = 200kN a una temperatura de
20°C. Calcular los esfuerzos en cada material a la temperatura de 60°C.
11.7 / °c para el acero y
23.0 / °c para el aluminio.
P
Acero (a)
A=1200 mm²
E=200 GPa
Aluminio (Al)
A=900 mm²
E=70 GPa
0
Ta
Pa
0
200000
Pa
P
PAL
55
SOLUCIONARIO DE RESISTENCIA DE MATERIALES U.T.P.L.
200000
2
100 10
23 10
0.2 20
100 10 0.2
70 10
900 10
0.000184
0.0001404
11.7 10
0.3 40
0.3
200 10
1200 10
3.17 10
1.25 10
5920 /
5.920
/
100 10
900 10
111111111.1 /
111.111
/
275. Una varilla está formada por los tres segmentos que indica la figura P-275.
Si las fuerzas axiales P 1 y P2 son nulas, determinar los esfuerzos en cada
material al descender la temperatura 30°C en los casos siguientes: (a) los
soportes no se mueven en absoluto, y (b) los soportes ceden 0.300 mm.
18.9 / °c Para el bronce,
23.0 / °c para el aluminio y
11.7 / °c para el acero.
800 mm
500 mm
400 mm
P2
P1
Bronce
A=2400 mm²
E=83 GPa
Aluminio
A=1200 mm²
E=70 GPa
Acero
A=600 mm²
E=200 GPa
a)
∆
∆
∆
56
SOLUCIONARIO DE RESISTENCIA DE MATERIALES U.T.P.L.
0.8
2400 10
0.4
1200 10
600 10
83 10
70 10
200 10
0.3 30
11.7 10
18.9 10
0.8 20
23 10
1.33 10
0.3
0.4 90
9.39 10
70602
70602
2400 10
29.42
/
70602
1200 10
58.84
/
70602
600 10
117.7
/
b)
0.3 10
1.33 10
9.39 10
1.33 10
6.39 10
0.3 10
48045.11
48045.11
2400 10
20
/
48045.11
1200 10
40
/
48045.11
600 10
80
/
57
SOLUCIONARIO DE RESISTENCIA DE MATERIALES U.T.P.L.
277. La barra está articulada mediante un perno en O y conectada a dos
varillas según se muestra en la figura P-277. Si la barra AB se mantiene en
posición horizontal a determinada temperatura, calcule la relación de áreas de las
varillas para que la barra AB se mantenga horizontal a cualquier temperatura. Desprecie
la masa de la barra AB.
A
B
0
Aluminio
E=70 GPa
L=8 m
Acero
E=200 GPa
L= 8 m
23.0
/
°c Aluminio
11.7
/
°c
∆
Acero.
∆
23 10 ∆
70 10
0
1610090.5∆
2340000 ∆
0
3
4
0
4
3
3
4
2340000∆
312 10 ∆
58
SOLUCIONARIO DE RESISTENCIA DE MATERIALES U.T.P.L.
312 10 ∆
1610090.5∆
0.516
278. Una barra rígida horizontal de masa despreciable está conectada a dos varillas
según se muestra en la figura P-278. Si el sistema está originalmente libre de esfuerzos,
determine el cambio de temperatura que causará un esfuerzo de tensión de 60MPa en
la varilla de acero.
18.9
/
°c Bronce
11.7
/
°c
Acero.
Acero
A=900 mm²
E=200 GPa
L=3 m
2
5
0
2
2m
5
3m
Bronce
A=1200 mm²
E=83 GPa
L=2 m
0
5
2
2.5
2
5
1
18.9 10
2
2 ∆
2.5
1200 10
1
1.7 10
5
1.89 10 ∆
2.51 10
11.88 10 ∆
60 10
3 ∆
2
83 10
900 10
7.02 10 ∆
3
200 10
3.33 10
2.18 10
900 10
54000
11.88 10 ∆
∆
0.0011772
99
59
SOLUCIONARIO DE RESISTENCIA DE MATERIALES U.T.P.L.
279. Para el conjunto mostrado en la figura P-279, determine el esfuerzo en cada
una de las dos varillas verticales si la temperatura se eleva 40°C después que se aplica
la carga P = 50 kN, Desprecie la deformación y la masa de la barra horizontal AB.
Acero
A=600 mm²
E=200 GPa
Alnuminio
A=900 mm²
E=70 GPa
3m
3m
4m
3m
3m
50 kN
23.0
/
°c Aluminio
11.7
/
°c
Acero.
0
3
6
150 10
6
50 10 9
2
1
3
2
2
600 10
4
200 10
2
11.7 10
3
900 10
3.33 10
1787 10
3.33 10
9.52 10
1
4 40
70 10
9.52 10
23 10
3 40
5.52 10
3.65 10
3
3
3.33 10
9.52 10
150 10
2
3.65 10
60
SOLUCIONARIO DE RESISTENCIA DE MATERIALES U.T.P.L.
2.238 10
17.95 10
80206
ó
10412
ó
:
10412
900 10
11.56
/
80206
600 10
134
/
61
SOLUCIONARIO DE RESISTENCIA DE MATERIALES U.T.P.L.
UNIVERSIDAD TÉCNICA PARTICULAR DE LOJA
ESCUELA DE INGENIERÍA CIVIL
CAPÍTULO III
TORSIÓN
304. Calcular el mínimo diámetro de un árbol de acero que, sometido a un momento
torsionante de 14
. , no debe experimentar una deformación angular superior a 3° en una
longitud de 6 m. ¿Cuál es entonces el esfuerzo cortante máximo que aparecerá en él?
83
/
Use
.
.
.
.
14 10
3
3
83 10
180
1.932 10
.
32
32
1.932 10
/
0.118
118
.
0.118
2
1.932 10
14 10
43
/
62
SOLUCIONARIO DE RESISTENCIA DE MATERIALES U.T.P.L.
305. En un árbol macizo de 5m de longitud, en el que el árbol total de torsión es de 4º, el
esfuerzo cortante máximo es de 60 MPa. Si G= 83GPa, calcular su diámetro. ¿Qué pòtencia
podrá transmitir a 20r/s?
.
.
60 10
.
60 10
60 10
1
2
.2 .
0.0130 2
20
1.64
.
.
. .
4
83 10
180
5
1158898623
1158.90
1
.
2
2
60 10
60
.
1158.90
1158.90
5.177 10
5.177
103.54
63
SOLUCIONARIO DE RESISTENCIA DE MATERIALES U.T.P.L.
306. Hallar la longitud de una varilla de bronce de 2 mm de diámetro para que pueda
torcerse dos vueltas completas sin sobrepasar el esfuerzo cortante admisible de 70
. Use
35
.
0.002
2
4
35 10
70 10
6.283 10
6.283
308. Demostrar que un árbol hueco de sección, circular, cuyo diámetro interior sea la
mitad del exterior, tiene una resistencia a la torsión que es igual a
de la que tiene un árbol
macizo del mismo diámetro exterior.
Á
:
16
16
5.093
Á
:
16
16
2
16
16
16
16 16
15
5.432
64
SOLUCIONARIO DE RESISTENCIA DE MATERIALES U.T.P.L.
ó :
5.432
5.093
16
15
1.0665
16
. . .
15
311. Un árbol de transmisión de acero corista de una parte hueca de 2 m de longitud y
diámetros de 100 mm y 70 mm, y otra parte maciza de 70 mm de diámetro y 1.5 ni de
longitud. Determinar el máximo momento torsionante que puede soportar sin que el esfuerzo
sobrepase el valor de 70
/ , ni el ángulo total de torsión supere el valor de 2.5° en la
longitud total de 3.5 m, Use
83
/ .
2
2.5
180
3.49 10
1.5
2
7.46 10
1.5
83 10
2.357 10
83 10
313. El árbol de la figura P‐313 gira a 3 r/ s absorbiendo 30 kW en A y 15 kW en B de los 45 kW
aplicados en C. Si
83 10 / , calcular el esfuerzo cortante máximo y el ángulo de
torsión de la rueda A respecto de la rueda C. (Material acero.)
30 10 .
2 3
/
1591.55 .
15 10 .
2 3
/
65
SOLUCIONARIO DE RESISTENCIA DE MATERIALES U.T.P.L.
795.77 .
/
45 10 .
2 3
/
2387.32 .
/
0.05
32
6.14 10
0.075
32
3.11 10
.
1591.55 0.025
6.14 10
64.80
.
2387.32 0.0375
3.11 10
28.80
/
314. Un árbol de acero se encuentra cargado según se muestra en la figura P‐314. Usando un
módulo
83
/ , calcule el diámetro requerido del árbol si el esfuerzo cortante está
y el ángulo de rotación en el extremo libre no debe exceder de 4°.
limitado a 600
/
4
180
6.98 10
1000
.
500
500 .
66
SOLUCIONARIO DE RESISTENCIA DE MATERIALES U.T.P.L.
500 .
1000 .
500
500
500
1000
.
.
500 2
6.98 10
32
83 10
6.98 10
1.23 10
6.98 10
4.91 10
1000 3
32
83 10
3.68 10
7.03438 10
5.15 10
51.5
16
60 10
16 500
188495559.2
8000
4.244
0.03488
34.88
67
SOLUCIONARIO DE RESISTENCIA DE MATERIALES U.T.P.L.
315. A un eje de sección constante y 5m de longitud que gira a 2 r/s se le aplican 70 kW a
través de un engrane situado a 2 m del extremo izquierdo, en donde se absorben 20 kW Em el
extremo derecho se utilizan 30 kW y a 1.5m de éste, los otros 20 kW. (a) Dimensionar el
árbol si el esfuerzo cortante no ha de exceder 60 MN/m2. (b) Si el eje tiene un diámetro de
100mm, determinar el ángulo total de torsión de un extremo al otro. Use
83
/
2
70
20
30
20
/
60 10
2
32
70
2 2
5.57
50
2 2
3.98
.
20
2 2
1.59
.
30
2 2
2.39
.
20
2 2
1.59
.
16
60 10
16 5.57
60 10
89.12
4.73 10
68
SOLUCIONARIO DE RESISTENCIA DE MATERIALES U.T.P.L.
7.79 10
47.9
16
16
16 3.98
60 10
63.68
188495.55
3.3783 10
6.964 10
69.64
.
.
3.98 5
83 10
0.1
32
9.82 10
0.815
83 10
19.90
19.90
24.42
180
0.426°
69
SOLUCIONARIO DE RESISTENCIA DE MATERIALES U.T.P.L.
316. Un eje de acero de 3 m de longitud tiene un diámetro que varía uniformemente
desde 60 mm en un extremo hasta 30mm en el otro. Suponiendo que es válida la
ecuación (3‐1) en cada elemento diferencial de longitud sin error apreciable, determinar el
83 10
/
ángulo total de torsión si transmite un par torsor de 170 N.m. Use
0.015
3
0.005
0.03
2 0.005
0.03
0.01
0.03
0.03
0.01
32
0.01
3 10
1 10
10
3
.
32
0.03
10
.
170 32
3
83 10
2.09
2.09
0.01
3
3
2.09
3
3
2.09
3
3
0.02257
3
3
180
1.29°
70
SOLUCIONARIO DE RESISTENCIA DE MATERIALES U.T.P.L.
317. Un árbol hueco de bronce de 75 mm de diámetro exterior y 50 mm interior tiene dentro
un eje de acero de 50 mm de diámetro y de la misma longitud, estando ambos materiales
firmemente unidos en los extremos del eje. Determinar el máximo esfuerzo en cada material
cuando se somete el conjunto a un par torsor de 3 kN.m.
35
/
para el bronce y
para el acero.
83
/
.
.
32
0.05
32
6.14 10
32
0.075
0.05
32
2.49 10
1
.
.
83 10
6.14 10
1.962 10
0.585
2
2.49 10
35 10
1.147 10
2
1
3 10
0.585
3 10
1.585
1892.74 .
16
71
SOLUCIONARIO DE RESISTENCIA DE MATERIALES U.T.P.L.
16 1107.26
0.05
45113831 /
45.11
3 10
/
1892.74
1107.26 .
16
.
16 1892.74 0.075
0.075
0.05
28474030 /
28.5
/
318. Un árbol compuesto está construido con tres materiales diferentes y sujeto a dos
pares aplicados según se ilustra en la figura P‐318. (a) Calcule el máximo esfuerzo cortante
desarrollado en cada material. (b) Calcule el ángulo de rotación del extremo libre del árbol.
28
/ ;
83
/ ;
35
/
Use los siguientes valores:
0.1
32
9.82 10
32
0.075
32
3.11 10
1
72
SOLUCIONARIO DE RESISTENCIA DE MATERIALES U.T.P.L.
2
4 10
1.5 10
.
16
16 1.5 10
0.075
18108396 /
18.11
/
.
16
16 1.5 10
0.075
18108396 /
18.11
/
.
4 10
4 10
1.5 10
3
5.5 10
1.5 10
4 10
2.5 10
16
16 2.5 10
0.1
12732406 /
12.73
/
.
73
SOLUCIONARIO DE RESISTENCIA DE MATERIALES U.T.P.L.
.
.
1.5 10 1.5
35 10
3.11 10
180
2.067 10
1.1843°
1°11 3.48
319. En el árbol de la figura P‐319, firmemente empotrado en sus extremos, la porción AB
tiene 75 mm de diámetro y es de bronce, con
60
/
y
35
/ . La porción
BC es de acero, de 50 mm de diámetro,
80
/ ;
83
/ . Si a= 2 m y
b=1.5 m, determinar el par torsor máximo T que puede aplicarse en el punto B de unión de
las dos partes.
∑
0
1
.
.
.
.
. 1.5
83 10
6.14 10
2.934 10
0.624
. 2
3.11 10
35 10
1.837 10
1
0.624
1.624
1.602
1
1.602
74
SOLUCIONARIO DE RESISTENCIA DE MATERIALES U.T.P.L.
2.602
32
0.075
32
32
0.05
32
3.1063 10
6.14 10
.
0.05
2
6.14 10
80 10
1964.8 .
1.964 10
.
.
0.05
2
3.11 10
60 10
4976 .
4.976 10
.
1.624 4.976
8.08
.
2.602 1.964
5.11
.
á
6.94
.
á
.
75
SOLUCIONARIO DE RESISTENCIA DE MATERIALES U.T.P.L.
320. En el problema anterior determinar la relación de longitudes b/a que debe existir para
que el acero y el bronce trabajen al máximo esfuerzo posible. ¿Qué par torsor T es necesario
para ello?
.
.
.
.
.
.
6.14 10
83 10
1.962 10
.
.
.
.
.
3.11 10
9.186 10
35 10
.
0.46819
1
.
80 10 6.14 10
0.025
1964.8 .
60 10 3.11 10
0.0375
4976 .
1 :
4976
.
1964.8
4976
. 0.46819
1964.8
1.19
1.964
6.94
.
4.976
.
.
76
SOLUCIONARIO DE RESISTENCIA DE MATERIALES U.T.P.L.
321. Un árbol compuesto, que consta de un segmento de aluminio y uno de acero, está some‐
tido a dos momentos de torsión como se muestra en la figura P‐321. Calcule el máximo valor
admisible de T de acuerdo con las siguientes condiciones:
100
;
70
,y
el ángulo de rotación del extremo libre, limitado a 12˚. Use los valores
83
;
28
.
0.075
32
32
.
3.11 10
6.14 10
10485.95 .
1
2
2 .
.
2 . 1.5
83 10
6.14 10
12
180
5.89 10
3556.52 .
3
3556.52
2
1778.26 .
16
16 1778.26
0.075
21.47
70
77
SOLUCIONARIO DE RESISTENCIA DE MATERIALES U.T.P.L.
16
16
0.075
70 10
5798.45 .
16
0.05
100 10
16
2454.375 .
2
3
3
10485.95 .
3495.32 .
16 3495.32
0.075
42.2
70
322. Un par torsor T se aplica, como indica la figura P‐322, a un árbol macizo con
extremos empotrados. Demostrar que los momentos torsionantes en los
empotramientos son
/
/ ¿Variarían estos valores si el árbol fuera
hueco?
.
.
.
.
.
.
.
.
78
SOLUCIONARIO DE RESISTENCIA DE MATERIALES U.T.P.L.
.
.
.
.
.
.
.
. . . .
.
.
.
.
.
.
.
. . . .
324. Un árbol se compone de tres porciones AC, CD y DB soldadas entre sí y el
conjunto firmemente empotrado en sus extremos y cargado como indica la figura P‐
324. Para el acero
83
/ ; para el aluminio G= 28 GN/m2; y para el bronce
35
/ . Determinar la tensión cortante máxima en cada material.
∑
0
300
700
300
2
1
79
SOLUCIONARIO DE RESISTENCIA DE MATERIALES U.T.P.L.
0.025
32
32
0.05
32
6.14 10
0.025
32
3.83 10
32
32
3.83 10
0
.
.
.
.
.
.
. 2
3.83 10
1000 1
3.83 10
35 10
83 10
6.29 10
0.74599
0.00146225
528
0
7.46 10
300 1.5
6.14 10
28 10
0.02617
8.725 10
0
0
0.77216
1000
472 .
.
472 0.0125
3.83 10
156 10
/
528 .
.
528 0.0125
3.83 10
172 10
528
/
300
80
SOLUCIONARIO DE RESISTENCIA DE MATERIALES U.T.P.L.
228 .
.
228 0.025
6.14 10
9.3 10
/
338. Un tubo de 3mm de espesor, tiene una forma elíptica. Hallar el momento torsionante que
producirá en el esfuerzo cortante de 60 MN/m2
. .
4
0.15 0.075
4
8.84 10
.2 .
60 10 2 8.84 10
3 10
3.182 .
81
SOLUCIONARIO DE RESISTENCIA DE MATERIALES U.T.P.L.
UNIVERSIDAD TÉCNICA PARTICULAR DE LOJA
ESCUELA DE INGENIERÍA CIVIL
CAPÍTULO IV
FUERZA CORTANTE Y MOMENTO FLEXIONANTE EN VIGAS
Escribir las distribuciones de momentos flexionantes y fuerza cortante en las vigas de los
problemas siguientes. Trazar también sus diagramas, marcando los valores en todos los puntos
de discontinuidad, y en los de fuerza cortante nula, despreciar el peso propio de las vigas.
403. La viga cargada como se indica en la figura.
0
6
50 2
20 7
0
20 1
0
40
0
6
50 4
30
0
40
30
70
70
50
20
30
30
30
50
20
82
SOLUCIONARIO DE RESISTENCIA DE MATERIALES U.T.P.L.
30
50
2
30
50
100
100
20
30
50
40
20
30
50
2
40
6
30
50
100
40
240
20
140
:
:
100
20
5
83
SOLUCIONARIO DE RESISTENCIA DE MATERIALES U.T.P.L.
406. La viga cargada como se indica en la figura.
0
20 2 1
40
20 2
40
160
20 4 2
80
40 2
4
0
4
40
0
40 2
80
20 2 1
40
120
4
20 2 3
4
200
120
20 2 5
20 6
0
0
140
84
SOLUCIONARIO DE RESISTENCIA DE MATERIALES U.T.P.L.
0
20
140
40
180
180
40
20
20
120
20
20
20
10
20
20
20
120
2
140
20
2
10
20
10
120
140
80
20
X
0 AB
2
2 BC
4
4 CD
6
40
20
20
20 6
20
140
140
40
280
280
20
20
20
2
140
10
20
140
10
80
120
V
‐20
‐60
80
40
0
‐40
2
2
280
40
40
4
160
M
0
‐80
‐80
40
40
0
85
SOLUCIONARIO DE RESISTENCIA DE MATERIALES U.T.P.L.
410. Ménsula cargada con la carga triangular que indica la figura.
.
2
2
2
.
6
2
.
.
2
86
SOLUCIONARIO DE RESISTENCIA DE MATERIALES U.T.P.L.
413. Viga con la carga indicada en la figura.
∑
0
5
25
50 4.5
0
40
0
5
5
25
25
30 1.5
45
20 1
0
20
10
10
0
1
10
10
10
10
10
2
10
10
20
30
10
10
25
10
2
2
1
2
25
5
1
2
2
87
SOLUCIONARIO DE RESISTENCIA DE MATERIALES U.T.P.L.
10
25
5
2
10
25
5
2
5
2
10
2
25
10
40
50
10
70
10
10
2
5
7
20
10
25
40
5
10
2
10
25
40
200
5
2
5
2
50
1
2
2
270
:
30
10
0
3
5
2
10
5 3
2
10 3
58
30
25
25
25
0
30
3
10
1
30
0
30
30
10
10
10
X
0
1
1
2
2
5
5
7
V
10
10
10
10
10
‐20
20
0
M
0
10
‐15
‐5
‐5
‐30
‐20
0
1
88
SOLUCIONARIO DE RESISTENCIA DE MATERIALES U.T.P.L.
418. Voladizo o ménsula cargada como indica la figura.
0
60
5 2 4
20
0
.
0
20
60
0
5 2 3
10
0
5 2
10
10
0
10
10
10
0
0
10 2 0.5
10
10
10 2
30
60
30
10 1
20
20
30
30
20
0
89
SOLUCIONARIO DE RESISTENCIA DE MATERIALES U.T.P.L.
419. Viga cargada como indica la figura.
0
30
0
20 3 0.5
60
2
3
3
5
5
12
30
12
18
0
3
20
3
6.67
18
2
18
6.67 .
2
18
3.33
90
SOLUCIONARIO DE RESISTENCIA DE MATERIALES U.T.P.L.
18
2 3
.
18
18
3
.
1.11
5
20 3
2
18
12
18
30
18
30
60
2
3
3
60
12
á
18
18
:
3.33
3.33
2.32
18
1.11
18 2.32
X
AB 0
3
BC 3
5
1.11 2.32
27.89
.
V
18
‐12
‐12
‐12
M
0
24
24
0
91
SOLUCIONARIO DE RESISTENCIA DE MATERIALES U.T.P.L.
420. Una carga distribuida con un total de 60 kN, soportada por una reacción uniforme como
indica la figura.
7.5
7.5 .
2
3.75
15
1
7.5
15
1
3.75
15
15
V
0
15
0
2)
15
15
X
0
2
4
7.5
30
7.5
7.5
1
2
2
2
6)
6)
3.75
2
M
0
15
30
92
SOLUCIONARIO DE RESISTENCIA DE MATERIALES U.T.P.L.
422. Determinar las distribuciones de V y M en el arco semicircular de la figura, si (a) la fuerza
P es vertical como se indica, y (b) si es horizontal y hacia la izquierda, pero aplicada en el
mismo punto.
cos 90
2
sen θ
2
0
θ
90
x
cos θ
cos θ
1
2
1
93
SOLUCIONARIO DE RESISTENCIA DE MATERIALES U.T.P.L.
cos
90
/
cos 180
cos 180
cos 180
cos
2
sen θ
2
2
2
2
2
1
V
0
0
22.5 0.19
45
0.35
67.5 10.46
90
0.5
90
‐0.5
112.5 ‐0.46
135
‐0.35
157.5 ‐0.19
180
0
M
0
0.038
0.146
0.309
0.500
0.500
0.309
0.146
0.033
0
94
SOLUCIONARIO DE RESISTENCIA DE MATERIALES U.T.P.L.
Sin escribir la ecuaciones de momento flexionante y fuerza cortante, trazar los diagramas
correspondientes a las vigas de los problemas siguientes. Dar los valores numéricos en todos
los puntos de discontinuidad y en los de fuerza cortante nula.
429. Viga cargada como indica la figura.
:
0
5
20 2 6
5
240
80
20 4
80
10 4 2
10 2 1
0
20
76
95
SOLUCIONARIO DE RESISTENCIA DE MATERIALES U.T.P.L.
0
20 2
10 6
76
0
20
44
á
:
0
.
.
20 2
.
20 2
76
36
.
20 2
76
36
.
20 2
76
20
16
.
20 2
76
20
10 4
.
24
.
20
40
44
24
20
10 2
0
∆
Á
:
∆
0
∆
20 2
0
20 2
76
36
40
∆
36
0
∆
36
20
∆
10
∆
∆
24
20
36
16
10 4
24
44
20
10 2
0
96
SOLUCIONARIO DE RESISTENCIA DE MATERIALES U.T.P.L.
á
:
∆
Á
0
∆
0
40 2 0.5
∆
40
∆
4
∆
8.8
∆
20
36 1
40
4
16 1.6 0.5
8.8
24 2.4 0.5
20 2 0.5
20
0
24
16
4
64
16
64
40
24
1.60
2.4
24
10
8.80
8.8
10 .
.
2
0
2
1.33
á
8.80
4.6
97
SOLUCIONARIO DE RESISTENCIA DE MATERIALES U.T.P.L.
431. Viga cargada y apoyada como indica la figura.
0
7
7
10 7 3.5
245
250
50 5
160
45
20 4 2
120
10 3 1.5
40 3
10 3 8.5
40 10
0
0
70
0
50 2
100
10 7 3.5
245
400
7
20 4 5
7
255
400
0
0
200
98
SOLUCIONARIO DE RESISTENCIA DE MATERIALES U.T.P.L.
0
70
270
200
50
10 10
20 4
40
270
70
10
70
10
70
5
0
2
2
70
50
20
50
10
20
3
70
50
10
20
60
80
30
70
50
2
10
70
10
70
5
70
50
100
5
15
80
50
20
2
100
100
7
20
10
3
50
2
3
2
2
10
5
70
10
3
3
30
2
30
90
10
70
50
10
140
10
70
50
2
200
5
20 4
140
10
7
200
2
7
20 4
10
5
900
99
SOLUCIONARIO DE RESISTENCIA DE MATERIALES U.T.P.L.
X
AB 0
2
BC 2
3
CD 3
7
DE 7
10
V
70
50
0
‐10
‐10
‐130
70
40
M
0
120
120
115
115
‐165
‐165
0
434. Viga cargada como se muestra en la figura.
∑
0
30 1
20 3 1.5
60
5
0
60
0
24
0
5
30 6
20 3 3.5
66
0
66
24
90
90
30
30
20 3
0
1
30
30
36
20
66
20
20
1
1
4
20
56
30
66
1
20
1
30
66
66
10
1
1
2
100
SOLUCIONARIO DE RESISTENCIA DE MATERIALES U.T.P.L.
10
1
36
66
30
66
20 3
4
5
24
30
66
1
30
66
66
24
20 3
60
2.5
150
84
24
á
X
0
1
BC 1
4
CD 4
5
DE 5
6
AB
30
66
24
144
36
V
‐30
‐30
36
‐24
‐24
‐24
‐24
‐24
1
60
2.5
60
.
M
0
‐30
‐30
‐12
‐12
‐36
24
0
101
SOLUCIONARIO DE RESISTENCIA DE MATERIALES U.T.P.L.
435. Viga cargada como indica la figura.
0
20
40
10 4
100
0
40 2 1
10 2 1
5
120
40
20 2
40 3
5
0
32
102
SOLUCIONARIO DE RESISTENCIA DE MATERIALES U.T.P.L.
0
5
10 4 5
200
60
80
20 3
40 2
16 1 0.5
16 1 0.5
0
5
68
:
∆
Á
0
∆
0
10 2
∆
20
20
68
48
∆
48
10 2
∆
28
20
∆
8
∆
8
∆
0
32
28
8
8
40
32
16 2
0
0
:
∆
Á
0
∆
0
∆
á
64
0.5 20
20
2
20
48728
2
2
8 1
56
∆
56
64
∆
64
32 1
∆
32
32 2 0.5
32
0
.
103
SOLUCIONARIO DE RESISTENCIA DE MATERIALES U.T.P.L.
436. Viga en voladizo cargada como indica la figura.
0
20 2 1
10 3
40
30
30
20 5
0
100
.
0
10 1 0.5
20
160
150
10 9
30
20 2 4
5
30
0
5
5
30
104
SOLUCIONARIO DE RESISTENCIA DE MATERIALES U.T.P.L.
0
20
10
0
20 2
30
:
0
0
10 2
20
20
0
20
20
10
10
0
10
30
10
10
20 2
30
30
0
:
0
0
0.5 20 2
20
20 1
40
40
10 1
50
50
0.5 10 0.5
52.5
52.5
á
40
2
20
0.5 30 1.5
52.5
30
.
10
0.5
105
SOLUCIONARIO DE RESISTENCIA DE MATERIALES U.T.P.L.
439. Una viga apoyada en tres puntos como se muestra en la figura consiste en dos segmentos
unidos en un perno liso en el que el momento flexionante es nulo.
0
.
40
.
160
40
80
0
4
4
5
5
40 2
120
20 2 1
0
1
0
5
5
40 3
280
1
20 2 4
0
2
106
SOLUCIONARIO DE RESISTENCIA DE MATERIALES U.T.P.L.
0
5
20 4 3
0
48
0
5
0
120
1
20 4 2
32
4
5
120
5 32
4
70
280
5
180
2
70
5
42
160
42
70
160
48
160
160
:
∆
Á
0
∆
0
∆
42
42
∆
42
2
2
20
40
2
38
107
SOLUCIONARIO DE RESISTENCIA DE MATERIALES U.T.P.L.
∆
38
0
38
∆
38
70
32
∆
32
0
32
∆
32
4
20
∆
48
48
0
48
0
:
∆
Á
0
2
0
42
2
2
44
32
32
57.6
44
38 2
32 2
32
32
32 1.6
2
48 2.4
2
á
57.6
0
57.6
.
1.6
48
32
4
128
48
32
1.6
108
SOLUCIONARIO DE RESISTENCIA DE MATERIALES U.T.P.L.
440. Un marco ABCD, con esquinas rígidas en B y C, sostiene la carga concentrada P como se
muestra en la figura
0
0
2
0
0
109
SOLUCIONARIO DE RESISTENCIA DE MATERIALES U.T.P.L.
0
2
0
2
0
2
2
2
2
110
SOLUCIONARIO DE RESISTENCIA DE MATERIALES U.T.P.L.
444. Viga cargada como indica la figura.
0
1
2
2
1
2
2
2
0
1
2
4
2 2
5
6
2
32
4
1
2
1
2 32
6
1
4
4
111
SOLUCIONARIO DE RESISTENCIA DE MATERIALES U.T.P.L.
2
4
4
:
∆
Á
0
∆
1
4
0
∆
4
1
2
4
0
2
0
∆
1
2
0
∆
1
4
2
4
4
0
:
∆
Á
0
0
1
0
24
á
1
4
2
2
1
24
24
0
24
112
SOLUCIONARIO DE RESISTENCIA DE MATERIALES U.T.P.L.
445. Viga cargada como indica la figura.
180
100
180
40 2
100
40
40
2
2
180
2
40 2
180
2
80
2
1
20
1
40
2
2
2
2
40
40
2
20
113
SOLUCIONARIO DE RESISTENCIA DE MATERIALES U.T.P.L.
80
3
26.67
26.67
2
13.33
26.67
2
3
4.44
180
20
180
40 4
26.67
13.33
2
á
80
2
1
2
5
40 4
1
3
20
5
4.44
5
2
26.67
5
2
5
.
114
SOLUCIONARIO DE RESISTENCIA DE MATERIALES U.T.P.L.
447. Viga cargada como indica la figura.
0
60 3 0.5
2
3
3
20 4 5
1
3
3
2
5
20 7
0
20 2 1
5
144
0
60 3 0.5
20 2 1
20 2
0
46
115
SOLUCIONARIO DE RESISTENCIA DE MATERIALES U.T.P.L.
∑
0
46
144
190
60 3 0.5
20 4
20
190
60
3
20
46
2
20
2
46
10
46
46
30
2
46
20
6
3
46
60 3 0.5
46
90
20
46
90
60
20
20
46
144
20 2
20
20
20
3
60
16
46
90
2
46
90
180
20 2
4
20
10
3
3
2
3
5
100
160
90
2
20
144
5
5
5
2
116
SOLUCIONARIO DE RESISTENCIA DE MATERIALES U.T.P.L.
46
90
10
180
5
144
60
720
40
46
1
3
53.67
.
46 3
60 3 0.5
48
X
AB 0
3
BC 3
5
CD 5
7
V
46
‐44
‐44
‐84
60
20
10
5
380
á
46 1.75
160
80
.
1.75
1
3
3
.
M
0
48
48
‐80
‐80
0
117
SOLUCIONARIO DE RESISTENCIA DE MATERIALES U.T.P.L.
448. Viga cargada como indica la figura.
FIGURA
Σ
.
ÁREA
20
0.5
10
90
3
270
60
2.5
150
170
430
170
2.53
118
SOLUCIONARIO DE RESISTENCIA DE MATERIALES U.T.P.L.
0
5
170 2.53
86
0
5
170 2.47
84
0
170
84
170
86
170
170
:
∆
Á
0
84
84
20 1
64
0
64
20 3
86
64
64
64
86
20 1
0.5 60 3
86
0
0.5 6.67 1
40.66
:
∆
Á
0
0.5 84
64 1
74
119
SOLUCIONARIO DE RESISTENCIA DE MATERIALES U.T.P.L.
74
63.53
137.53
85.42
137.53
46.23
86 1
5.88
85.42
0.58
137.53
á
80
3
26.67
26.67
80
3
1
60
3
20
0.5 1.075 86
46.23
0.205 86
2
5.88
64
20
20
20
10
5
10
0.5
64
32
64
0
0
120
SOLUCIONARIO DE RESISTENCIA DE MATERIALES U.T.P.L.
1.72
29.6 1.72
3
16.97
29.6
64 1.72 0.5
16.97
63.53
449. Una viga sobre la cual actúa carga triangular de la figura, está sostenida por una reacción
distribuida uniforme
121
SOLUCIONARIO DE RESISTENCIA DE MATERIALES U.T.P.L.
2
0.5 6 60
2
180
90
2
/
60
3
40
á
:
0
1
3
2
60 3 0.5
1
3
0.5 2
26.67
3
90 1 0.5
45
26.67
0
1
40 2
2 1
1
30
26.67
1
30
1 10
2 1
30 1
1 1
3.33
15
Á
45
.
122
SOLUCIONARIO DE RESISTENCIA DE MATERIALES U.T.P.L.
450. Viga cargada y apoyada como indica la figura.
20 4
50
180
50
4
0.5 1
0.5 1
4
36
:
0
∆
0
50
∆
∆
∆
36 1 0.5
18
18
50
32
32
80
36 4
32
50
18
32
18
36 1 0.5
0
123
SOLUCIONARIO DE RESISTENCIA DE MATERIALES U.T.P.L.
6
2
1
32
1
32
32
6
:
0
6
26
6
0
á
26
.
124
SOLUCIONARIO DE RESISTENCIA DE MATERIALES U.T.P.L.
452. Viga cargada como indica la figura.
FIGURA
Σ
.
ÁREA
36
2
72
27
8
216
63
288
63
4.57
0
9
63 4.57
32
0
125
SOLUCIONARIO DE RESISTENCIA DE MATERIALES U.T.P.L.
9
63 4.43
31
0
63
31
32
63
63
63
:
31
31
12 6 0.5
5
5
18 3 0.5
32
32
32
0
:
0
47.5
47.5
4.45
43
15
43
27
1
12
6
2
31
31
2
12
31
2
6
6
31
2
0.5
0
31
126
SOLUCIONARIO DE RESISTENCIA DE MATERIALES U.T.P.L.
9.32
31
12
2.58
0.75 31
3
7.75
31 2.58 0.5
40
47.75
á
47.5
.
3.33
127
SOLUCIONARIO DE RESISTENCIA DE MATERIALES U.T.P.L.
453. Una carga variable uniformemente está sostenida por dos reacciones uniformemente
distribuidas, como se muestra en la figura.
FIGURA
1
2
Σ
ÁREA
5
6
11
0.33
0.66
.
1.65
3.96
5.61
11
.
12
6
1
2
12
6
0.51
/
5
10
/
0
128
SOLUCIONARIO DE RESISTENCIA DE MATERIALES U.T.P.L.
4
1
3
0.5 10 5
4
41.67
5
11 0.51
0
5.61
9.0
FIGURA
1
2
Σ
ÁREA
5
30
35
1.67
3.33
.
8.35
99.90
108.25
35
3.09
0
1
3
1
108.15
4
0.5 2 1
0.33
4
35 3.09
0
27.0
0
12 6 0.5
9
36
27
36
36
129
SOLUCIONARIO DE RESISTENCIA DE MATERIALES U.T.P.L.
UNIVERSIDAD TÉCNICA PARTICULAR DE LOJA
ESCUELA DE INGENIERÍA CIVIL
CAPÍTULO V
ESFUERZOS EN VIGAS
503. Una viga en voladizo, de 60 mm de ancho por 200 mm de canto y 6 m de longitud,
soporta una carga que varía uniformemente desde cero en el extremo libre hasta 1000 N/m
en el empotramiento. Determinar el valor y el signo del esfuerzo en una fibra situada
a 40 mm del extremo superior de la viga en una sección a 3 m del extremo libre.
0.06 0.2
12
12
500 3
2
1
3
3
4 10
750 .
750 0.06
4 10
1125000 /
505. Una sierra de cinta de acero de alta resistencia, que tiene 20 mm de ancho y 0.8 mm
de espesor, pasa por unas poleas de 600 mm de diámetro. ¿Qué esfuerzo máximo se
desarrolló por la flexión al rodear las poleas? ¿Qué diámetro mínimo pueden tener las
mismas sin que sobrepase el esfuerzo de 400 MPa. ? E = 200 GPa.
0.02 0.008
12
12
8.53 10
1
2
1
2
130
SOLUCIONARIO DE RESISTENCIA DE MATERIALES U.T.P.L.
200 10
0.3
/
5.69 10
8.53 10
.
8.53 10
0.0004
2.13 10
.
á
á
5.69 10
2.13 10
á
267136.15
á
267
/
131
SOLUCIONARIO DE RESISTENCIA DE MATERIALES U.T.P.L.
508. Determinar el espesor mínimo b de la viga de la figura, de manera que el máximo
esfuerzo normal no exceda de 10 MPa .
0
5000
2000 4
13000
0
5000 2
8000 1
3
6000
7000
:
0
0
2000 1
2000
2000
7000
2000 3
5000
7000
1000
2000 3
7000
5000
4000
2000 4
7000
5000
6000
2000 4
7000
5000
6000
0
:
0
2000 1 0.5
1000
5000
á
0.5 5000
0.5 4000
1000
1000 2
6000 1
5000
0
5000 .
132
SOLUCIONARIO DE RESISTENCIA DE MATERIALES U.T.P.L.
0.3
12
12
6.67 10
5000 0.1
6.67 10
10 10
0.075
75
510. Una barra de 40 mm ele diámetro se emplea como viga simplemente apoyada sobre
un claro de 2 m. Determine la máxima carga uniformemente distribuida que puede
aplicarse a lo largo de la mitad derecha de la viga si el esfuerzo debido a la flexión está
/
limitado a un valor de 60
1
0
1.5
2
0.75
133
SOLUCIONARIO DE RESISTENCIA DE MATERIALES U.T.P.L.
0.25
:
0.25
0.25
0.75
:
0.25
1
0.25
0
0.25
0.25
0.03125
0.28125
0
0.28125
Á
0.02
4
6.28 10
á
0.28125
6.28 10
á
60 10
44785
1340 /
134
SOLUCIONARIO DE RESISTENCIA DE MATERIALES U.T.P.L.
518. Una viga de sección S380x74, está simplemente apoyada en sus extremos. Soporta una
carga concentrada central de 40 kN y una uniformemente distribuida de 1.5 kN/m, incluido su
peso propio. Calcular la máxima longitud que puede tener si el esfuerzo admisible es de 140
MPa.
DENOMINACIÓN
ÁREA(mm2)
ALTURA(mm)
S380x74
9500
381
10
203
/
10
1060
ANCHO
(mm)
143
ESPESOR(mm) ALMA(mm)
15.87
14
/
146
0
2
15
40
15
40
2
7.5
20
7.5
20
135
SOLUCIONARIO DE RESISTENCIA DE MATERIALES U.T.P.L.
0
7.5
20
7.5
20
20
15
40
7.5
2
20
7.5
20
20
20
15
20
7.5
20
2
20
Á
0.5
Á
0.25 7.5
Á
1.875
2
140 10
7.5
7.5
7.5
20
0
20
40
10
/
2 203 10
10
406 10
4.06 10
0.251 7.5
40 0.1805
4.06 10
40 10
56.84
0.357
1.905
5.08
159.215
10.33
.
0
15.41
136
SOLUCIONARIO DE RESISTENCIA DE MATERIALES U.T.P.L.
520. Una viga de sección W200 x 27 se usa como viga en voladizo de 6 m de longitud. Calcule
la máxima carga uniformemente distribuida que puede aplicarse a todo lo largo de la
viga, además de su propio peso, si el esfuerzo por flexión no ha de exceder el valor de
140MN/m2.
DENOMINACIÓN ALTURA(mm)
W200x27
207
10
25.80
/
10
249
.
Á
1
4
140 10
/
0.1035
2 25.8 10 10
140 10
7.224
6
7.224
3.726
1.94
0.1035
/
137
SOLUCIONARIO DE RESISTENCIA DE MATERIALES U.T.P.L.
531. Se aplica una carga concentrada de 90 kN en el centro de una viga simplemente apoyada
de 8m de claro. Si el esfuerzo admisible es de 120MN/m2, elegir la sección w más ligera.
180 10
1200 10
0.0015
.
/
10
1
1500 10
10
1550
74.7
0.73281
DENOMINACIÓN
W530x74
9.81
MASA (Kg/m)
74.7
A(mm2)
9520
I(106mm4)
411
732.81 /
/
1550 10
1500 10
1550 10
1548.7 10
48.7 10
138
SOLUCIONARIO DE RESISTENCIA DE MATERIALES U.T.P.L.
1
10
1550 10
120 10
1550 10
185844000 .
1548.7 10
10
1
119.90
25
119.90
2.92 4 0.5
5.84
.
5.84
120 10
10
1
4.87 10
48.7 10
567. Una viga de madera de 90 mm de ancho y 160 mm de altura está sometida a una fuerza
cortante vertical de 20 kN. Determinar el esfuerzo cortante en puntos tomados de 20 en 20 mm a
lo alto de la viga, a partir de su borde superior
12
0.09 0.160
12
20
30.72 10
911.46
0.09
0.09 0.02 0.07
/
20
30.72 10
1562.50
30.72 10
0.09
0.09 0.04 0.06
/
139
SOLUCIONARIO DE RESISTENCIA DE MATERIALES U.T.P.L.
20
30.72 10
1953.125
/
20
30.72 10
2083.33
3
2
0.09 0.06 0.05
0.09
0.09 0.08 0.04
0.09
/
3
20
2 0.09 0.16
2083.33
/
570. Una viga simplemente apoyada de 4 m de claro tiene la sección indicada en la figura
Determinar la máxima carga uniformemente distribuida que puede aplicarse a todo lo largo de la
viga si el esfuerzo está limitado a 1.2 MPa.
0.150 0.2
12
.
.
0.1 0.15
12
71.875 10
∑
2
2 0.1
0.025 0.05
71.875 10
0.1 0.025 0.0875
0.05
260.87
1.2
260.87
1.2 10
4600 /
4.6
/
140
SOLUCIONARIO DE RESISTENCIA DE MATERIALES U.T.P.L.
573. la sección recta de una viga de madera es un triángulo isósceles, con el vértice hacia
arriba, de altura h y de base b. Si V es el esfuerzo cortante vertical, demostrar también que
3 / , y que tiene lugar en el punto medio de la altura.
á
3
á
2
3
1
3
1 2
3 3
2
9
3
2
9
2
3
2
2
2 3
.
36
2
á
4
3
2
3 .
á
4
3
8
4
2
4
3
6
1
4
. . . .
á
2
3
2
2 3
36
18
9
36
2
3
3
6
2
9
2
9
141
SOLUCIONARIO DE RESISTENCIA DE MATERIALES U.T.P.L.
3
2
3
2
3
6
4
3
2
3
3
4
3
6
2
9
4
3
2
9
3
4
3
3
18
0
3
18
2
3
18
1
6
581. Una viga está formada por tres tablas de sección 150 x 60 mm, encoladas entre sí para
formar una sección de 150 mm de ancho por 180 mm de altura. Si el cortante admisible en las
juntas es de 600 kPa, el cortante admisible en la madera es 900 kPa y el normal permisible
también en la madera vale 8 MPa, determinar la carga máxima uniformemente distribuida que
puede resistir la viga sobre un claro de 2 m.
142
SOLUCIONARIO DE RESISTENCIA DE MATERIALES U.T.P.L.
.
.
7.29 10
á
0.15
7.29 10
0.06 0.15 0.05
49.38
600
49.38
12.15
/
0.09 0.15 0.045
7.29 10
0.15
.
55.56
.
55.56
900
16.20
/
0.09
2
7.29 10
617.28
8 10
/
12.96
617.28
/
143
SOLUCIONARIO DE RESISTENCIA DE MATERIALES U.T.P.L.
582. Calcule las dimensiones del cuadrado más pequeño que sea la sección transversal de la
viga mostrada en la figura, si
900
y
80
∑
0
4
0
5
4 2
5
8
3
0
3
1
3
0
3 1
3
3
5
2
1
2
3 1
1
1 1
0
3
á
3
á
.
.
3
12
2
.
4
9
2
900
/
9
2
9
900 2
144
SOLUCIONARIO DE RESISTENCIA DE MATERIALES U.T.P.L.
0.0707
3
.
2
12
36
2
18
8 10
/
18
0.131
145