UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA Facultad de Ingeniería Mecánica Cálculo Vectorial Lista de Ejercicios 19 la esfera x 2 + y 2 + z 2 = 9 y los planos y = x ; y = 3 x ; z = 0 en el primer octante. 3 Rpta: 8 02. Docente: Ms.C. Ronald Juven Reyes Narvaez Tema : Integrales Triles COORDENADAS CILÍNDRICAS Si f : U 3 → es una función continua sobre U , entonces la transformación de la integral triple f ( x; y; z) dV en coordenadas cilíndricas está dado U por: f ( x; y; z) dV = f (r cos ( ); r sen ( ); z) r dz dr d U 04. Mediante coordenadas esféricas. Calcule la integral d ( x; y; z ) =r d (r ; ; z ) 1) Calcule la integral ( x 2 −2 Rpta: está E, x2 + y2 ; z = 8. 4 2) Calcule el volumen de la parte del cilindro x 2 + y 2 = 6 x , comprendido entre el paraboloide x 2 + y 2 = 6 z , y el plano XY . Rpta: 81 / 4 u 3 x 2 + y 2 dx dydz . Donde E , es el sólido limitado por: z = x 2 + y 2 , z = 1 Rpta: / 6 2 x− x 2 2 0 0 1 0 z x 2 + y 2 dz dy dx S x2 + y2 + z2 coordenadas esféricas. dV 05. Calcule x + y2 + z2 2 U , Donde U es el sólido que está sobre el cono 3 z 2 = x 2 + y 2 y debajo de la 14 esfera 4 z = x 2 + y 2 + z 2 . Rpta: 3 06. Sea S el sólido ubicado en el primer octante comprendido entre las esferas con centro en el origen de radio 1 y 2 respectivamente y los planos y = 0; z = 0; y = 3x . z dV . Mediante Coordenadas Cilíndricas. E b) Calcule 5 Rpta: 8 cartesianas ENTRETENIMIENTO 1 3 z dV . Mediante Coordenadas Esféricas. E 07. Considere la siguiente integral triple en coordenadas Rpta: 8/9 Mediante dx dy dz ( x 2 + y 2 + z 2 ) 3 dz dy dx x2+y 2 (2 − 2) 2 7 a) Calcule E 4) Calcule + y ) dx dydz . Donde el limitado por las superficies 3) Calcule la integral triple 0 8− x 2 − y 2 2 E dominio 4− x 2 2 MISCELÁNEA 01. 03. Mediante coordenadas esféricas. Calcule el volumen de la región limitada por la superficie ( x 2 + y 2 + z 2 ) 2 = 27 x Rpta: 18 u 3 E Donde J (r ; ; z ) = z= Mediante coordenadas esféricas. Calcule z 2 dx dy dz , Donde S es la región por arriba del x2 + y2 + z2 S plano XY , y entre las esferas de radios respectivamente 2 y 4 centradas en el origen. 224 Rpta: 9 Calcule , Donde S es el sólido limitado por 4− x 2 2 0 0 16 − x 2 − y 2 0 x 2 + y 2 dz dy dx a) Modele la integral dada a coordenadas cilíndricas y evalúe. b) Modele la integral dada a coordenadas esféricas y evalúe.