ct zz bt yy at xx += += += dz z w dy y w dx x w dw zyxwwSi ∂ ∂ +

Lista de Fórmulas para el Segundo Examen Parcial
de Matemáticas III para Ingeniería
Ecuaciones Paramétricas de una Recta:
Componentes tangencial y
normal de la aceleración:
r r
voa
aT = r
v
; aN
x = x0 + at
r r
v ×a
= r
v
y = y0 + bt
z = z 0 + ct
Diferencial total de una función:
Teorema de la Función Implícita
w = w( x, y, z ) ⇒
∂w
∂w
∂w
dw =
dx +
dy +
dz
∂x
∂y
∂z
Si z = f ( x, y ) → F ( x, y, z ) = 0
∂z − ∂F ∂x
∂z − ∂F ∂y
=
y
=
∂x
∂F ∂z
∂y
∂F ∂z
Si
Vector Gradiente, Derivada Direccional
y Ecuación del Plano Tangente:
Regla de la Cadena:
w = ( x, y, z ) ; x = f (r , s, t );
y = g (r , s, t ) ; z = h(r , s, t )
 ∂f   ∂f   ∂f 
∇f ( x, y, z ) =  iˆ +   ˆj +  k
 ∂x   ∂y   ∂z 
∂w ∂w ∂x ∂w ∂y ∂w ∂z
=
+
+
∂r ∂x ∂r ∂y ∂r ∂z ∂r
∂w ∂w ∂x ∂w ∂y ∂w ∂z
=
+
+
∂s ∂x ∂s ∂y ∂s ∂z ∂s
∂w ∂w ∂x ∂w ∂y ∂w ∂z
=
+
+
∂t ∂x ∂t ∂y ∂t ∂z ∂t
Duˆ f ( x, y, z ) = ∇f ( x, y, z ) o uˆ
Máximos y Mínimos
f x = 0 ; f y = 0 ⇒ puntos críti cos
[ ]
D = f xx f yy − f xy
2

< 0 máximo
> 0 f xx 
D
 > 0 mínimo
 < 0 punto silla

Si
z = f ( x, y )
z − z 0 = f x ( x0 , y0 )( x − x0 ) + f y ( x0 , y0 )( y − y0 )
Multiplicadores de Lagrange
∇f = λ∇g
ó ∇f + λ∇g = 0
Coordenadas Cilíndricas Coordenadas Esféricas
x = r cosθ
y = rsenθ
x = ρ cosθsenφ
y = ρsenθsenφ
z=z
dV = dz (rdrdθ )
z = ρ cos φ
dV = ρ 2 senφdρdθdφ
r 2 = x2 + y2
ρ 2 = x2 + y2 + z 2