TECNOLÓGI
CONACI
ONALDEMÉXI
CO
I
NS
T
I
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UT
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ECNOL
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AL
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GACI
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M.
C.ENI
NGENI
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AELÉCTRI
CA
MECATRÓNI
CAYCONTROL
CONTROLI
NTELI
GENTE
TAREA4.CONTROLDI
FUSOADAPTABLE
PRESENTA:
I
NG.MARI
OI
VÁNNAVABUSTAMANTE
M1913001
CATEDRÁTI
CO:DR.
MI
GUELANGELLLAMA
TORREÓN,
COAHUI
LA
OCTUBREDE2
0
1
9
Índice
1. Introducción
2
Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2. Desarrollo
2
3
2.1. Modelado del péndulo de Furuta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
2.2. Diseño del controlador difuso
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
2.3. Diseño de los aproximadores difusos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
2.4. Diseño de las leyes de adaptación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
2.5. Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
3. Conclusiones
10
4. Bibliografı́a
10
5. Anexos
11
Control inteligente
1.
2
Introducción
El péndulo de Furuta (Figura 1) es un mecanismo que fue diseñado por el Doctor Katsuhisa
Furuta en 1992 como una solución alterna a las limitaciones fı́sicas que presenta el péndulo
invertido tradicional. Las mejoras al modelo consisten en generar una trayectoria circular que en
teorı́a no limita la posición del péndulo; sin embargo liberar estas restricciones incluye en la planta
dinámicas no lineales de orden superior que dificultan el desarrollo de modelos matemáticos con
un alto grado de exactitud, razón por la cual se abordan metodologı́as matemáticas de alto nivel
con el fin de tener un alto grado de aproximación a los fenómenos reales presentes en el sistema
Figura 1: Esquema del péndulo de Furuta
a) Objetivos
Aplicar la metodologı́a de control difuso adaptable indirecto vista en clase al Péndulo de
Furuta.
Desarrollar la simulación de la planta y su controlador en MATLAB/Simulink.
Graficar la respuesta del sistema (posiciones y velocidades rotacionales para el brazo y el
péndulo).
Tarea 4. Control Difuso Adaptable
2.
3
Desarrollo
2.1.
Modelado del péndulo de Furuta
El modelado del sistema se obtiene en forma compactada mediante
D(q)q̈ + C(q, q̇)q̇ + g(q) = F
(1)
Donde:
θ
q= 0
θ1
(2)
I0 + m1 (L20 + l12 sin2 (θ1 )) m1 l1 L0 cos(θ1 )
D(q) =
m1 l1 L0 cos(θ1 )
J1 + m1 l12
C(q, q̇) =
1
m l2 sin(2θ1 )θ̇1
2 1 1
−1
m1 l12 sin(2θ1 )θ̇0
2
−m1 l1 L0 sin(θ1 )θ̇1 + 21 m1 l12 sin(2θ1 )θ̇0
0
0
g(q) =
−m1 gl1 sin(θ1 )
τ
F =
0
Cuyos parámetros son:
I0 : Inercia del brazo
L0 : Longitud total del brazo
m1 : Masa del péndulo
(3)
(4)
(5)
(6)
Control inteligente
4
l1 : Distancia al centro de gravedad del péndulo
J1 : Inercia del péndulo alrededor del centro de gravedad
θ0 : Ángulo rotacional del brazo
θ1 : Ángulo rotacional del péndulo
τ : Torque de entrada aplicado al brazo
Este sistema es el sistema no lineal completo, dado que el control propuesto solo será en el
punto de equilibrio inestable, entonces el modelo linealizado en espacio de estado, está representado como:
0
θ0
θ̇0
0
d
=
=
θ1
dt
0
θ̇1
0
1
0
0
0
0
−m21 l12 L0 g
I0 (J1 +m1 l12 )+J1 m1 L20
0
(I0 +m1 L20 )m1 l1 g
I0 (J1 +m1 l12 )+J1 m1 L20
0 θ
0
0
J1 +m1 l2
0
θ̇
I0 (J1 +m1 l12 )J11 m1 L20
0
+
τ
1 θ1
0
−m1 l1 L0
0 θ̇1
I0 (J1 +m1 l2 )+J1 m1 L2
= AX + Bτ
Dados los parámetros:
: 0.0936Kgm2
: 0.48m.
: 0.0443Kg.
: 0.158m.
: 0.00036781Kgm2
Nm
fc : 0.745
(del motor actuador)
rad
fv : 0.144N m (del motor actuador)
Nm
fv2 : 0.0209
(del pendulo)
rad
I0
L0
m1
l1
J1
1
(7)
0
(8)
Tarea 4. Control Difuso Adaptable
2.2.
5
Diseño del controlador difuso
La ley de control para la planta linealizada es:
u=
1 n
−f (x) + kT e + ym
g(x)
(9)
donde e = ym − y = ym − x, e = [e, ė, . . . , e(n−1) ]T y k = [kn , kn−1 , . . . , k1 ]T . Se busca que todas
las raı́ces del polinomio se encuentren en el semiplano izquierdo, para con ello conseguir que el
sistema sea estable.
El sistema en lazo cerrado obtenido es:
e(n) + k1 e(n−1) + · · · + kn e = 0
(10)
Con una elección idónea de k, se tiene que e(t) → 0 conforme t → ∞. Con ello la salida de la
planta converge a la salida real.
El objetivo del controlador difuso adaptable es, a partir de que f (x) y g(x) son desconocidos,
aproximar dichos parámetros por medio de las funciones fˆ(x) y ĝ(x). Sea θf , ∈, RMf y θg , ∈, RMg
parámetros libres en fˆ(x) y ĝ(x), se denota fˆ(x|θf ) y ĝ(x|θg ). La ley de control adaptable difusa
es:
h
i
1
T
n
ˆ
−f (x|θf ) + k e + ym
(11)
u = uI =
ĝ(x|θg )
La ecuación de lazo cerrado considerando la ley de control adaptable difusa es:
e(n) = −kT e + [fˆ(x|θf ) + f (x)] + [ĝ(x|θg ) − g(x)]uI
2.3.
(12)
Diseño de los aproximadores difusos
Para la obtención de los aproximadores difusos se utilizaron las siguientes expresiones:
Pp1 Pp2
P
Q
· · · plnn=1 ȳfl1 l2 ···ln ( ni=1 µlAi i (xi ))
l
=1
l
=1
1
2
fˆ(x|θf ) =
(13a)
Pp 1
Ppn Qn
li
·
·
·
(
µ
(x
))
i
l =1
ln =1
i=1 Ai
Pp1 Pp21
Pp n
l1 l2 ···ln Qn
( i=1 µlBi i (xi ))
l1 =1
l2 =1 · · ·
ln =1 ȳf
ĝ(x|θg ) =
(13b)
Pp 1
Ppn Qn
li
l1 =1 · · ·
ln =1 ( i=1 µBi (xi ))
donde:
Control inteligente
6
n: Número de entradas.
li : Número de conjuntos difusos.
ȳ: Funciones de salida.
pi : Funciones de membresı́a de cada entrada.
Para desarrollar un comportamiento adaptable, se separa (13a) y (13b) en su parte fija y variable:
fˆ(x|θf ) = θfT ξ(x)
(14)
θgT η(x)
(15)
ĝ(x|θg ) =
Las partes fijas están dadas por:
Qn
ξl1 ,l2 ···ln (x) = Pp1
l1 =1 · · ·
Qn
ηl1 ,l2 ···ln (x) =
2.4.
µlAi i (xi )
Qn
li
(
i=1 µAi (xi ))
ln =1
i=1
Ppn
li
i=1 µBi (xi )
Ppn Qn
Pp1
ln =1 ( i=1
l1 =1 · · ·
µlBi i (xi ))
(16)
(17)
Diseño de las leyes de adaptación
Se utiliza el método de aproximación sintética de Lyapunov para el cálculo de los parámetros
libres θf y θg .
Sea
Λ=
0
0
..
.
1
0
..
.
0
1
..
.
···
···
..
.
0
0
..
.
−kn −kn−1 −kn−2 · · · −k1
0
0
b = ..
.
1
(18)
La dinámica de la ecuación y el error mı́nimo de aproximación se pueden definir como:
ė = Λe + b{[fˆ(x|θf ) − f (x)] + [ĝ(x|θg ) − g(x)]uI }
(19)
w = [fˆ(x|θf∗ ) − f (x)] + [ĝ(x|θg∗ ) − g(x)]uI
(20)
Tarea 4. Control Difuso Adaptable
7
donde fˆ(x|θf∗ ) y ĝ(x|θg∗ ) son los mejores aproximadores de f (x) y g(x), mientras que θf∗ y θg∗ son
los parámetros de aproximación óptimos. Mediante desarrollos algebraicos, la ecuación dinámica
en lazo cerrado resulta ser:
ė = Λe + b[(θf − θf∗ )T ξ(x) + (θg − θg∗ )T η(x)uI + w]
(21)
Se pretende mediante la ley de control adaptable minimizar el error de seguimiento e y los errores
de los parámetros. La función candidata de Lyapunov considerada es
1
1
1
V = eT P e +
(θf − θf∗ )T (θf − θf∗ ) +
(θg − θg∗ )T (θg − θg∗ )
2
2γ1
2γ2
(22)
con γ1 y γ2 como constantes definidas positivas, y siendo P es una matriz definida positiva. Se
pretende obtener una ley adaptable en la cual V̇ sea negativa. Ante esto, la ley adaptable es
θ̇f = −γ1 eT P bξ(x)
θ̇g = −γ2 eT P bη(x)uI
2.5.
(23)
(24)
Resultados
En la sección de anexos se muestra el diagrama de bloques del controlador difuso adaptable,el
cual fue realizado con la herramienta Simulink de Matlab para poder simular los resultados.
El diagrama de bloques fue construido utilizando semibloques de funciones. Las funciones de
membresı́a para los errores de posición y velocidad para el cálculo de ξ y η se muestran en la
Figura 2
Figura 2: Funciones de memebresı́a
Obteniendo γ1 = 26 y γ2 = .001, y las ganancias kp = 1100 y kv = 950, además de considerar una referencia de posición dada por qd = .05sin(t), se procedió a realizar las simulaciones
Control inteligente
8
correspondientes y graficar posiciones y velocidades del péndulo y el brazo que conforman al
sistema del péndulo de Furuta. Las Figuras 3 y 4 muestran la posición y velocidad rotacional del
péndulo respecto a la referencia deseada.
0.12
Referencia de posición
Posición del péndulo
0.1
0.08
0.06
0.04
0.02
0
-0.02
-0.04
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
Tiempo
Figura 3: Posición rotacional del péndulo
0.1
0.08
Referencia de velocidad
Velocidad del péndulo
0.06
0.04
0.02
0
-0.02
-0.04
-0.06
-0.08
-0.1
2
4
6
8
10
12
14
16
18
Tiempo
Figura 4: Velocidad rotacional del péndulo
20
Tarea 4. Control Difuso Adaptable
9
Las Figuras 5 y 6 muestran la posición y velocidad rotacional del brazo.
35
30
25
20
15
10
Posición del brazo
5
0
-5
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
Tiempo
Figura 5: Posición rotacional del brazo
2.5
2
1.5
1
0.5
Velociad del brazo
0
-0.5
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
Tiempo
Figura 6: Velocidad rotacional del brazo
La Figura 7 muestra la gráfica resultante para el par aplicado al motor del péndulo de
Furuta.
Control inteligente
10
0.2
Par aplicado
0.15
Nm
0.1
0.05
0
-0.05
-0.1
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
Tiempo
Figura 7: Par aplicado
3.
Conclusiones
Los sistemas difusos tienen las caracterı́sticas necesarias para funcionar como aproximadores
difusos, y con ello establecer aplicaciones relacionadas al control adaptable. Es decir, un sistema
difuso puede ser utilizado para la identificación de parámetros desconocidos de una determinada
planta. En este trabajo, fueron realizados los procedimientos necesarios para aplicar la metodologı́a del control difuso adaptable indirecto al péndulo de Furuta. Los resultados obtenidos
muestran que dicha metodologı́a tiene buenos resultados para este tipo de tareas.
4.
Bibliografı́a
Apuntes del curso de control inteligente, impartido en Instituto Tecnológico de La Laguna
por el Dr. Miguel Angel Llama Leal. (2019).
Hugo Centeno Constantino, Director de Tesis: Dr. Miguel Ángel Llama, “Control difuso
adaptable de sistemas mecatrónicos: Aplicación experimental a un carro péndulo y a un robot
manipulador de 2 gdl”, (2008) ISSN 0188-9060
Tarea 4. Control Difuso Adaptable
5.
Anexos
11
