Demostrar que los círculos de colores son arquimedianos Para demostrarlo utilizaré mi propio grá…co y tan sólo demostraré que el círculo F1 es arquimediano. Datos AC = 2a; AB = 2a + 2b; AO1 = a; AO2 = 2a + b O punto medio de AB y O0 punto medio de O1 O2 D1 = (O1 ) \ (O0 ) y D2 = (O2 ) \ (O0 ) W6 proyección ortogonal de D1 sobre AB L proyección ortogonal de F1 sobre AB a+b 0 Sea el 4O1 D1 O0 (es isósceles ) puesto que sus lados son O1 D1 = a; O0 D1 = a+b 2 y O1 O = 2 0 Vamos a calcular D1 W6 que es la altura del 4O a su vértice D1 p 1 D1 O correspondiente 1 a+b a+b Primero calcularemos S4O1 D1 O0 = (s a+b ) s(s a) donde s = a + = a + 21 b 2 2 2 + 2 S4O1 D1 O0 = Como S4O1 D1 O0 = D1 W6 O1 O 0 2 1 p a b (2a + b) 4 p a b (2a + b) 2S4O1 D1 O0 D1 W6 = = O1 O0 1 a+b El 4AD1 C es rectángulo en D1 ya que D1 2 (O1 ) y conocemos su hipotenusa AC = 2a y la altura D1 W6 correspondiente al vértice D1 .Vamos a determinar AW6 y W6 C AD1 y D1 C . Si AW6 = x (x > a) aplicando el teorema de la altura ( (2a+b)a a2 b (2a + b) 2 a+b = x(2a x) () x = D1 W6 = AW6 W6 C , ab 2 (a + b) a+b < a no vale Por lo que AW6 = (2a + b) a ab y W6 C = (radio círculo arquimediano) a+b a+b Aplicando ahora el teorema del cateto en 4AD1 C obtenemos s s (2a + b) b D1 C = 2a AD1 = 2a 2 (a + b) 2(a + b) H es el punto medio del segmento AD1 .Consideramos la homotecia de centro A y radio 12 Si aplicamos dicha homotecia a los triángulos 4AD1 C y 4AD1 W6 obtendremos los triángulos 4AHO1 y 4AHL respectivamente. Por lo que s s 1 2a + b 1 1 b AH = AD1 = a ; AO1 = AC = a; HO1 = D1 C = a 2 2 (a + b) 2 2 2(a + b) p 1 a (2a + b) a 1 ab 1 HL = D1 W6 = ; LO1 = W6 C = (2a + b) b; AL = AW6 = 2 2(a + b) 2 2(a + b) 2 2(a + b) Resaltemos que el segmento LO1 es la mitad del radio arquimediano. Consideramos 4O1 LE1 y 4O1 F 0 F1 rectángulos en L y F 0 respectivamente siendo F 0 la proyección ortogonal de F1 sobre a AB. 4O1 LE1 4O1 F 0 F1 siendo la razón de semejanza para pasar del primero al segundo a+b .Por lo que F 0 O1 = q F F1 = OF12 0 F 0 O12 = a ab a a2 b LO=1 = a+b 2(a + b) a + b 2(a + b)2 s AF 0 = a Y como F 0 O = AO p a (2a + b) (a + 2b) (3ab + 2a2 + 2b2 ) a4 b2 = 4(a + b)4 2(a + b)2 a2 Vamos a calcular F 0 O a2 b Al ser F 0 O1 = 2(a+b) y como AF 0 = AO1 2 (1) F 0 O1 por la relación (1) a 3ab + 2a2 + 2b2 a2 b = 2 2(a + b)2 2 (a + b) (2) AF 0 por (2) tendremos F 0O = a + b a 3ab + 2a2 + 2b2 2 2 (a + b) = b 4ab + 3a2 + 2b2 2 2 (a + b) Si consideramos ahora 4F1 F 0 O rectángulo en F 0 por Pitágoras q a2 + ab + b2 OF1 = F 0 O2 + F 0 F12 = 1 a+b (3) Como OF1 + F1 G1 = OG1 = a + b …nalmente por (3) obtenemos que F1 G 1 = a + b a2 + ab + b2 ab = a+b a+b Lo que nos permite a…rmar que los círculos (F1 ) y (G1 ) son arquimedianos 0 Si ahora consideramos la homotecia de centro O1 y radio a+b a y se la aplicamos al 4O1 F F1 obtendremos el O1 LE1 : Conocido este punto E1 trazando por él una paralela al segmento AB y escogiendo un punto H1 en dicha paralela tal que D(E1 ; H1 ) = ab 2D(L; O1 ) = a+b es obvio que los circulos (E1 ) y (H1 ) son arquimedianos Los círculos (H2 ) y (E2 ) son arquimedianos ya que son simétricos de (E1 ) y (H1 ) con respecto a la recta perpendicular a AB que pasa por O0 Los otros círculos (F2 ) y (G2 ) también son arquimedianos y se pueden obtener a partir de (H2 ) y (E2 ) como se ve en el dibujo 2 2 2 1 b (4ab+3a +2b ) 4(a+b)4 2 + a2 (2a+b)(a+2b)(3ab+2a2 +2b2 ) 4(a+b)4 = (a2 +ab+b2 )2 (a+b)2 2