Tercero Medio Cientı́fico Álgebra y Modelos Analı́ticos Departamento de Matemática Prof.: Francisca Vera Ferreira Guı́a 4: Simplificación, multiplicación y división de fracciones algebraicas Simplificación Para simplificar una fracción es necesario y suficiente que el numerador y el denominador tengan un factor común. En el caso de monomios, la simplificación se hace en forma directa; en cambio, si el numerador o el denominador de la fracción tienen dos o más términos, es necesario factorizar primero y luego simplificar. Ejemplos: 2a2 3ab Aquı́ tanto el numerador (2a2 ) como el denominador (3ab) contienen el término a como factor. Simplificando por él, obtenemos: 2a2 2a = 3ab 3b Simplifiquemos 2a2 + 2 Simplifiquemos 4a En este caso no es posible hacer una simplificación directa, pues en el numerador hay un binomio (recordemos que no se pueden simplificar números que se suman o restan). Debemos entonces factorizar primero y después simplificar: 2a2 + 2 2(a2 + 1) a2 + 1 = = 4a 4a 2a Y ya no es posible seguir reduciendo porque el numerador no se puede factorizar más. Ejercicios: Simplifique las siguientes expresiones 1. −125x6 y 5 z 4 = 5xyz 1 2. 3. a2 + b 2 = (a2 + b2 )4 xy = − xy 3 x2 y 2 4. x4 − y 2 = x2 + y 5. 3a3 − 3a2 − 6a = 2a3 + 6a2 + 4a 6. x2 − 11x + 30 = x2 − 25 7. 2p2 x + 2px2 = p2 − pq + xp − xq 8. ac − ad − bc + bd = c2 − d 2 9. x2 + x − 2 = ax + 2a − x − 2 10. 2a2 b − 2ab2 = a2 − 2ab + b2 Multiplicación y división de fracciones algebraicas Multiplicamos los numeradores y los denominadores entre sı́ y hacemos todas las simplificaciones posibles. En el caso de los monomios, las simplificaciones pueden hacerse antes o después de multiplicar; en el caso de los polinomios es conveniente hacer todas las simplificaciones primero (factorizando) y luego las multiplicaciones. Para dividir fracciones, multiplicamos la primera por el recı́proco de la segunda. Ejemplos: Efectuemos el siguiente producto: 3ab 2b · 2a 3a2 3ab 2b 3ab · 2b 6ab2 b2 Multiplicando en forma directa obtenemos: · = = = 3 2a 3a2 2a · 3a3 6a3 a Efectuemos la siguiente división: 2ab 2a : 3x 3xy 2 Cambiamos el signo de división : por el de multiplicación · e invertimos la segunda fracción. Nos queda: 2ab 3xy 2ab 2a : = · = by 3x 3xy 3x 2a Ejercicios: Efectúe las operaciones indicadas 1. (x2 + 2xy + y 2 ) · 1 = x+y 2. a + 4 x2 − 4 2a + 4 · 2 · = 3a − 12 a − 16 x2 − 1 3. a2 − 25b2 a2 − 7b + 12b2 · = a − 3b a − 5b 4. 3x − 6 x2 − 9 1 · · = 2x − 6 x2 − 4 3 5. 1 + x 1 − x2 · = 1 − x (1 + x)2 6. a − 1 a2 − 1 : = a − 2 a2 − 4 7. x3 1 1 : 2 = 2 − 6x x − 12x + 36 c2 − d2 ac − ad − bc + bd : = a2 − b 2 a2 + 2ab + b2 22x2 y 11xy 9. : : 2x = 7 14 1 1 1 10. : : = x x x 8. 3