Subido por Ricardo Diaz

aplicaciones ecuaciones diferenciales

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7.Para un circuito RCL sin fuente de tension externa, L = 20,R = 0 y C =
0
1
, determine la
60
corriente en el momento t dadas las condiciones iniciales: I(0) = 100,I (0) = 25.
Grafique la solución determinada y analizar el comportamiento a largo plazo de la corriente.
Suponga unidades consistentes en todas las constantes
1
L = 20
R=0
C=
60
0
cond.i I(0) = 100 I (0) = 25
VR = I × R → RESIST EN CIA
0
VL = L × I → IN DU CT OR
1
VR =
× q → CAP ACIT OR
c
0
q = I → RELACION : CARGA − CORRIEN T E
Por Ley de tensiones de Kirchhoff se establece que:
VR + VL + VC = VT
(1)
En el ejercicio no se considera una fuente de tension externa VT = 0
0
I ×R+L×I +
1
×q =0
c
(2)
Usando la relacion de carga corriente y derivando con respecto a t:
00
0
L×I +R×I +
00
I +
1
×I =0
c
R 0
1
I +
I=0
L
cL
(3)
(4)
Procedemos a resolver la EDO homogénea y de coeficientes constantes
λ2 +
√
R
1
λ+
= 0 → λ = 3i
L
cL
(5)
√
√
I = C1 cos 3t + C2 sin 3t
(6)
√
√
√
√
0
I = − 3C1 sin 3t + 3C2 cos 3t
(7)
Aplicando las condiciones iniciales encontramos la ecuación que describe la corriente:C1 = 100 y
25
C2 = √
3
√
√
25
I = 100 cos 3t + √ sin 3t
(8)
3
1
8.Para un circuito RCL sin fuente de tension externa, L = 10,R = 40 y C =
0
1
, determine la
50
corriente en el momento t dadas las condiciones iniciales: I(0) = 100,I (0) = 25.
Dibuje la solución determinada y analizar el comportamiento a largo plazo de la corriente. Suponga
unidades consistentes en todas las constantes.
L = 10
R = 40
cond.i
I(0) = 100
1
50
0
I (0) = 25
C=
Por Ley de tensiones de Kirchhoff se establece que:
VR + VL + VC = VT
(9)
En el ejercicio no se considera una fuente de tension externa VT = 0
00
I +
R 0
1
I +
I=0
L
cL
(10)
Procedemos a resolver la EDO homogénea y de coeficientes constantes
λ2 +
R
1
λ+
= 0 → λ = −2 + ±i
L
cL
(11)
I = e−2t [C1 cos t + C2 sin t]
(12)
I = e−2t [(C2 − 2C1 ) cos t + (−C1 − 2C2 ) sin t]
(13)
0
Aplicando las condiciones iniciales encontramos la ecuación que describe la corriente:C1 = 100 y
C2 = 225
I = e−2t [100 cos t + 225 sin t]
2
(14)
3
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