Integrales dobles Integrales triples Cambios de variable Integrales dobles 1 Integrales dobles 2 Integrales triples 3 Cambios de variable Integrales triples Cambios de variable Integrales triples Cambios de variable Integrales dobles y triples Integrales dobles Integrales triples Cambios de variable Integrales dobles R: rectángulo R = [a, b] × [c, d] f : R → R: campo escalar e dos variables. Si f es continua en R ⇒ fx : [c, d] → R y fy : [a, b] → R son funciones continuas en su dominio de definición. Además, ambas son funciones reales de una variable real continuas y, por tanto, integrables Riemann. f (x, y) dxdy Podemos definir: b Z F : [c, d] → R, F (y) = Z d Z : R b fy (s) ds = f (s, y ) ds a G [a, b] → R, G (x) = Z a d fx (t) dt = c f (x, t) dt c Tanto F como G son, a su vez, funciones continuas y, por lo tanto, pueden volver a integrarse. De esta forma, podemos definir las integrales reiteradas: Z d Z d Z b Z d Z b IR1 = F (y ) dy = fy (s) ds dy = f (s, y ) ds dy c Z IR2 c b a b Z d Z G (x) dx = = a Teorema Si f : R → R es continua en R = [a, b] × [c, d], entonces IR1 = IR2 y, además, en este caso su valor común se representa como Z Z Z c b a d Z fx (t) dt dx = a c f (x, t) dt dx a c Si f es un campo escalar continuo de dos variables con f (x, y ) ≥ 0 para todo punto (x, y) perteneciente a un rectángulo R entonces Z Z f (x, y) dxdy R representa el volumen del sólido comprendido bajo la gráfica de z = f (x, y) y sobre la región R. Integrales dobles Integrales triples Cambios de variable Integrales dobles Integrales triples Cambios de variable Ejemplo Calcula el volumen de la región comprendida bajo la gráfica de f (x, y ) = x 2 + y 3 y sobre el rectángulo R = [0, 1] × [2, 3] RR Puede calcularse el volumen V = R f (x, y ) dxdy de dos formas: # # Z 3 "Z 1 Z 3 "Z 1 V = f (x, y ) dx dy = x 2 + y 3 dx dy 2 0 2 0 o bien Z 1 "Z V = Integrales triples Cambios de variable Integrales sobre regiones simples f : A → R donde: n o A = (x, y ) ∈ R2 : a ≤ x ≤ b, f1 (x) ≤ y ≤ f2 (x) En este caso: Z Z f (x, y ) dxdy A representa el volumen del sólido comprendido bajo la gráfica de z = f (x, y ) y sobre la región A y se calcula: # Z Z Z b "Z f2 (x) f (x, y ) dxdy = f (x, y) dy dx A a f1 (x) Integrales dobles # Z 1 "Z f (x, y ) dy dx = 0 Integrales dobles 3 2 0 Integrales triples 3 # x 2 + y 3 dy dx 2 Cambios de variable Integrales dobles Integrales triples Cambios de variable Integrales dobles Integrales triples Cambios de variable Integrales dobles Integrales triples Cambios de variable Integrales sobre regiones simples f : A → R donde: n o A = (x, y ) ∈ R2 : g1 (y ) ≤ x ≤ g2 (y) , c ≤ y ≤ d En este caso: Z Z f (x, y ) dxdy A representa el volumen del sólido comprendido bajo la gráfica de z = f (x, y ) y sobre la región A y se calcula: # Z Z Z d "Z g2 (y ) f (x, y ) dxdy = f (x, y) dx dy A c Integrales dobles g1 (y ) Integrales triples Cambios de variable RR EJEMPLO: Calcula la integral (xy) dxdy siendo A la región del plano A comprendida entre y = x, xy = 1, y = 2 Cálculo de áreas con integrales dobles Tomando f (x, y ) = 1 la expresión Z Z 1dxdy A representa el área de la región del plano A. A= 1 (x, y) : 1 ≤ y ≤ 2, ≤x ≤y y Ejemplo: Área de un cı́rculo de radio r . o bien 1 1 A = (x, y ) : ≤ x ≤ 1, ≤ y ≤ 2 ∪ {(x, y) : 1 ≤ x ≤ 2, x ≤ y ≤ 2} 2 x Dos posibilidades para calcular el volumen: Z 2 Z Z V = (xy ) dxdy = A 1 Z y (xy) dx dy, 1 y Z 1 "Z 2 Z Z V = (xy ) dxdy = A 1 2 1 x # Z 2 Z 2 (xy ) dy dx+ 1 x (xy) dy dx Integrales dobles Integrales triples Cambios de variable Integrales dobles Integrales triples Cambios de variable Cálculo de volúmenes con integrales triples 1 Todo lo anterior puede extenderse sin dificultad a funciones de tres variables f : [a, b] × [c, d] × [r , s] → R para obtener la integral triple Z Z Z f (x, y , z) dxdydz Integrales dobles A 2 Integrales triples En el caso más general, el campo escalar f no estará definida en [a, b] × [c, d] × [r , s], sino en una región del plano A dada por: o n A = (x, y , z) ∈ R3 : a ≤ x ≤ b, g1 (x) ≤ y ≤ g2 (x) , h1 (x, y ) ≤ z ≤ h2 (x, y ) 3 Cambios de variable en este caso, Z Z Z b Z "Z g2 (x) "Z h2 (x,y ) f (x, y , z) dxdydz = A # # f (x, y , z) dz dy dx a g1 (x) h1 (x,y) Para calcular el volumen de la región A es suficiente tomar f (x, y , z) = 1 Integrales dobles Integrales triples Cambios de variable Integrales dobles Ejemplo Calcula el volumen V de la región encerrada por la superficie z = 4 − x 2 − y 2 y los planos z = 0, x + y = 2, x = 0, y = 0 Z 2 "Z 2−x "Z V = 4−x 2 −y 2 # # dz dy dx 0 0 0 1 Integrales dobles 2 Integrales triples 3 Cambios de variable Integrales triples Cambios de variable Integrales dobles Integrales triples Cambios de variable Definición de cambio de coordenadas Integrales dobles Integrales triples Coordenadas polares La transformación en coordenadas polares es útil cuando la región A es una circunferencia, cı́rculo o porción de cı́rculo o circunferencia y viene dada por la siguiente relación: Sea R un conjunto Rn . Una función g : R → Rn se llama cambio de coordenadas en A si verifica: 1 g tiene derivadas parciales continuas en el interior de R x = r cos θ 2 g es inyectiva en R y = r sin θ 3 g(R) = A r ≥ 0, 0 ≤ θ ≤ 2π 4 Cambios de variable ∂(x,y) ∂(u,v ) det(Jg (x)) 6= 0 para todo x del interior de R. Fijemos un cambio de variable (en 2 variables) g(u, v ) = (x(u, v ), y(u, v )): Notación: ∂x ∂x ∂ (x, y ) ∂v = det(Jg (u, v )) = det ∂u ∂y ∂y ∂ (u, v ) ∂u ∂v representa el determinante de la matriz Jacobiana, ∂x ∂x ∂ (x, y ) cos θ −r sin θ ∂v = det ∂u = det =r ∂y ∂y sin θ r cos θ ∂ (u, v ) ∂u ∂v Cambio de coordenadas: Z Z Z Z ∂ (x, y ) f (x, y ) dxdy = (f ◦ g) (u, v ) dudv ∂ (u, v ) A R Integrales dobles Integrales triples Cambios de variable Coordenadas elı́pticas x = ar cos θ ∂x ∂u ∂y ∂u y = br sin θ r ≥ 0, 0 ≤ θ ≤ 2π ∂x ∂v ∂y ∂v Cambios de variable = det a cos θ −ra sin θ b sin θ rb cos θ La transformación en coordenadas cilı́ndricas viene dada por Φ (r , θ, z) = (r cos θ, r sin θ, z): en este caso ∂(x,y,z) ∂(r ,θ,z) x = r cos θ y = r sin θ z = z representa el determinante de la matriz Jacobiana, ∂x ∂x ∂x cos θ r sin θ 0 ∂r ∂θ ∂z ∂ (x, y , z) ∂y ∂y = det ∂y = det sin θ r cos θ 0 = r ∂r ∂θ ∂z ∂ (r , θ, z) ∂z ∂z ∂z 0 0 1 ∂r ∂θ ∂z En este caso, Integrales triples Coordenadas cilı́ndricas La transformación en coordenadas polares es útil cuando la región A es una elipse o porción de elipse, con ecuación en 2 2 forma canónica xa2 + yb2 = 1, y viene dada por la siguiente relación: ∂ (x, y ) = det ∂ (u, v ) Integrales dobles = rab Integrales dobles Integrales triples Cambios de variable Coordenadas esféricas La transformación en coordenadas esféricas viene dada por Φ (r , ϕ, θ) = (r sin ϕ cos θ, r sin ϕ sin θ, r cos ϕ): en este ∂ (x, y , z) ∂(x,y ,z) caso ∂(r ,ϕ,θ) = det ∂ (r , ϕ, θ) ∂x ∂r ∂y ∂r ∂z ∂r x = r sin ϕ cos θ y = r sin ϕ sin θ z = r cos ϕ representa el determinante de la matriz Jacobiana, ∂x ∂ϕ ∂y ∂ϕ ∂z ∂ϕ ∂x ∂θ ∂y ∂θ ∂z ∂θ sin ϕ cos θ = det sin ϕ sin θ cos ϕ r cos ϕ cos θ r cos ϕ sin θ −r sin ϕ −r sin ϕ sin θ r sin ϕ cos θ = r 2 sin ϕ 0