Cálculo III Tema 3. Integrales dobles y triples SEMANA 13. CLASE 27. MIÉRCOLES 09/03/16 4. Cambio de variables en la integral doble. 4.1. Fundamentos. Sean S y T dos regiones de R 2 . Sea F : T → S una aplicación biyectiva definida por F(u, v) = (x(u, v), y(u, v)) , esto es, por el par de funciones x = x(u, v) . y = y(u, v) La transformación inversa F −1 : S → T está dada por el par de funciones u = u(x, y) . v = v(x, y) Bajo ciertas hipótesis (de continuidad y diferenciabilidad) se verifica la siguiente fórmula de transformación para integrales dobles ∫∫ f(x, y)dA = ∫∫ S f[x(u, v), y(u, v)] ∂(x, y) dA , ∂(u, v) T donde ∂(x, y) ∂(u, v) indica el jacobiano de la transformación F, es decir ∂x ∂(x, y) ∂u J(u, v) = = ∂(u, v) ∂y ∂u el determinante: ∂x ∂v . ∂y ∂v Las hipótesis de continuidad y derivabilidad que se exigen son: a. Las funciones x(u,v), y(u,v) son continuas y tienen derivadas parciales continuas en T. b. J(u, v) ≠ 0 en todo punto (u, v) ∈ T. c. f(x,y) es continua sobre S. 4.2. Cambios de variables frecuentes: a. Coordenadas polares: x = r cos(θ) , J=r y = rsen(θ) b. Transformaciones lineales: x = au + bv , J = ad − bc. y = cu + dv Se supone ad − bc ≠ 0. José Luis Quintero 6 Cálculo III Tema 3. Integrales dobles y triples 4.3. Ejemplo ilustrativo. Calcule ∫∫ 2 dA , x R donde R es la región del primer cuadrante limitada por las curvas de ecuaciones y = ln(x) , y = 1 + ln(x) , y = 2 − ln(x) , y = 1 − ln(x) . Solución. Cambio de variables: u = y − ln(x) , v = y + ln(x) . Por lo tanto, (v − u) x=e J(u, v) = ∂x ∂u ∂x ∂v ∂y ∂u ∂y ∂v = − 12 e v −u 2 1 2 1 2 e v −u 2 1 2 2 , y= = − 12 e v −u 2 u+v . 2 . J(x, y) = ∂u ∂x ∂u ∂y ∂v ∂x ∂v ∂y = − 1x 1 1 x 1 =− 2 . x Nuevas ecuaciones: u = 0 , u = 1 , v = 2 , v = 1 . 1 ∫∫ 0 2 dvdu = 1 . 1 4.4. Ejemplo ilustrativo. Calcule ∫∫ x2 + y2 dxdy, S donde S es el dominio del plano definido por las condiciones x2 + y2 ≥ 9 , x2 + y2 ≤ 16 . Solución. Cambio a coordenadas polares: ∫∫ S x2 + y2 dxdy = donde T = {(r, θ) / 3 ≤ r ≤ 4, 0 ≤ θ ≤ 2π} . ∫∫ r2drdθ = 74π , 3 T 4.5. Ejemplo ilustrativo. Usando integrales dobles, encuentre la región encerrada por la curva de ecuación polar r = 1 + cos(θ) que es exterior a la curva de ecuación polar r = 1 . Solución. Gráfico (ver figura 4). Figura 4. Representación gráfica de la región del ejemplo José Luis Quintero 7 Cálculo III Tema 3. Integrales dobles y triples π ∫ ∫ ∫ ÁREA = 2 2 0 π = 0 1 + cos(θ) rdrdθ = 1 2 ∫ π 2 (1 + cos(θ)) − 1 dθ = 2 0 ∫ π 2 2 cos(θ) + cos2 (θ) dθ 0 2 cos(θ) + cos2 (θ) dθ = 2 + π . 4 4.6. Ejemplo ilustrativo. Plantee la integral I= ∫∫ x3 y3 dA R eliminando las barras de valor absoluto, donde R es la región triangular de vértices (−1, −1) , (2,2) y (0,2). Solución. x3 y3 x3y3 = 3 3 −x y si (x ≥ 0 ∧ y ≥ 0) ∨ (x ≤ 0 ∧ y ≤ 0) si (x ≥ 0 ∧ y ≤ 0) ∨ (x ≤ 0 ∧ y ≥ 0) (ver figura 5) 0 I= ∫∫ −1 y (y − 2) 3 2 x3y3dxdy − ∫∫ 0 0 (y − 2) 3 2 x3y3dxdy + ∫∫ 0 y x3y3dxdy 0 Figura 5. Representación gráfica de la región del ejemplo José Luis Quintero 8