UNIVERSIDAD DEL NORESTE “CONTROL ESTADÍSTICO DE LA CALIDAD Y SEIS SIGMA” ING. INDUSTRIAL Y DE SISTEMAS CONTROL ESTADISTICO DE LA CALIDAD MARTIN CASTILLO ILSE DAMARIZ CASANOVA REBOLLEDO 6° CUATRIMESTRE CICLO ESCOLAR 2016/02 CONTROL ESTADÍSTICO DE LA CALIDAD Y SEIS SIGMA CAPITULO 1 CONCEPTOS CLAVE Variables de entrada en el proceso: Definen las características de los insumos y las variables de operación y control de un proceso. Variables de salida: Son las características de calidad en las que se reflejan los resultados obtenidos por un proceso. Calidad: característica de un producto o servicio que le confieren su aptitud para satisfacer necesidades explicitas o implícitas. Satisfacción del cliente: Es la percepción de éste acerca del grafo con el cual sus necesidades o expectativas han sido cumplidas. Tiempo de ciclo: Es el tiempo que transcurre desde que el cliente inicia in pedido que se transforma en requerimientos de materiales, órdenes de producción y otras tareas, hasta que todo se convierte en un producto en las manos de éste. Competitividad: Es la capacidad de una empresa para generar valor para el cliente y sus proveedores de mejor manera que sus competidores. Productividad: Es la capacidad de generar resultados utilizando ciertos recursos. Se incrementa maximizando resultados y/u optimizando recursos. Eficiencia: Relación entre los resultados logrados y los recursos y reduciendo tiempos desperdiciados por paros de equipo, falta de material, retrasos, etcétera. Eficacia: Grado con el cual las actividades planeadas son realizadas y los resultados previstos son logrados. Se atiende maximizando resultados. Acciones preventivas: Son aquellas que se implementan para eliminar la causa de una no conformidad potencial o de alguna otra situación potencial no deseable. Acciones correctivas: Se emplean para eliminar la causa de una no conformidad detectada. Es decir están orientadas a prevenir recurrencias. Sistema de medición de desempeño: Se refiere a cuantificar los signos vitales de la organización y con base en ellos encauzar el pensamiento de los empleados y fijas prioridades. Conformancia: Consiste en cumplir con las especificaciones de calidad y enfocarse a reducir el retrabajo y los desperdicios. CONTROL ESTADÍSTICO DE LA CALIDAD Y SEIS SIGMA Variabilidad: Se refiere a la diversidad de resultados de una variable o de un proceso. 6M: Son los materiales, mano de obra (gente), mediciones, medio ambiente, máquinas y métodos que conforman un proceso. Pensamiento estadístico: Filosofía de aprendizaje y acción que establece la necesidad de un análisis adecuado de los datos de un proceso, como una acción indispensable para mejorar su calidad (reducir su variabilidad) Ciclo de la calidad (ciclo PHVA): Proceso de cuatro etapas para desarrollar proyectos de mejora; consiste en planear, hacer, verificar y actuar (PHVA). PREGUNTAS 1. ¿Qué es un proceso? Es un conjunto de actividades mutuamente relacionadas o que interactúan, las cuales transforman elementos de entrada en resultados. 2. ¿Qué es una variable de salida (característica de calidad) de un proceso? Son las características de calidad en las que se reflejan los resultados obtenidos por un proceso. 3. ¿Qué es calidad? Características de un producto o servicio que le confieren su aptitud para satisfacer necesidades explícitas o implícitas. 4. ¿Cuáles son los tres indicadores de la competitividad y de la satisfacción del cliente? La calidad del producto, el precio y la calidad del servicio. 5. ¿Cuál es la relación entre calidad, precio y tiempo de entrega, tanto desde el punto tradicional como actual? Se hacen las cosas mejor que otros, cuando se es capaz de ofrecer mejor calidad a bajo precio y mediante un buen servicio. 6. Explique la reacción en cadena que se da al mejorar la calidad, y señale quién la formuló por primera vez. Al mejorar la forma en que se realizan todas las actividades se logra una reacción que genera importantes beneficios; por ejemplo, se reducen reprocesos, errores, retrasos, desperdicios y artículos defectuosos; asimismo, disminuye la devolución de productos, las visitas a causa de la garantía y las quejas de los clientes y fue presentado por primera vez en 1950 por Edwards Deming. 7. ¿Qué significa que una empresa sea competitiva? Es la capacidad de una empresa para generar valor para el cliente y sus proveedores de mejor manera que sus competidores. CONTROL ESTADÍSTICO DE LA CALIDAD Y SEIS SIGMA 8. La productividad la constituyen la eficiencia y la eficacia. Proporcione una definición general de productividad y explique sus dos componentes. La productividad es la capacidad de generar resultados utilizando ciertos recursos. Se incrementa maximizando resultados y/u optimizando recursos. Y sus dos componentes: La eficiencia es la relación entre los resultados logrados y los recursos empleados. Se mejora optimizando recursos y reduciendo tiempos desperdiciados por paros de equipo, falta de material, retrasos, etcétera y la eficacia es el grado con el cual las actividades planeadas son realizadas y los resultados previstos son logrados. Se atiende maximizando resultados. 9. ¿Por qué es fundamental establecer un buen sistema de medición del desempeño de la organización? Porque es fundamental como decidir qué y cómo se va a medir su salud y desempeño, ya que la elección de lo que un negocio o un área mide y analiza comunica valor, encauza el pensamiento de los empleados y fija las prioridades. 10. Explique cómo han evolucionado los criterios para medir el desempeño de una organización. Se incorporan nuevas métricas y criterios para evaluar la salud y el desempeño de la organización. Nuevas formas de tomar decisiones y establecer prioridades. 11. Muestre en forma gráfica las cinco guías clave para evaluar el desempeño de una organización y explique qué aspectos incluyen cada una de estas guías. 12. Se dice que la variabilidad siempre existe. Comente tres situaciones prácticas donde se refleja esto. 1.- El tiempo que tardamos en trasladarnos de nuestra casa al trabajo o escuela es diferente de un día a otro. 2.- La temperatura del ambiente es distinta de una hora a otra. 3.- Lo dulce de una bebida que es preparada en casa es diferente de un día a otro aunque aparentemente se preparó igual. 13. ¿Cuáles son las 6 M en las que se divide un proceso? Son los materiales, mano de obra (gente), mediciones, medio ambiente, máquinas y métodos que conforman un proceso. CONTROL ESTADÍSTICO DE LA CALIDAD Y SEIS SIGMA 14. ¿Por qué es necesario el control estadístico? Para poder realizar mediciones y así convertir las ideas en acción, o sea medir lo que es clave e importante en los procesos y así mejorar los resultados para generar cambios óptimos. 15. Se dice que el pensamiento estadístico es una filosofía de aprendizaje y acción, ¿por qué aprendizaje y por qué acción? Pensar en forma estadística implica tomar información del proceso para conocerlo (aprendizaje), y también es actuar de acuerdo con ese aprendizaje (acción). 16. Explique los tres principios del pensamiento estadístico. En el primer principio del pensamiento estadístico se habla de procesos interconectados para enfatizar que los procesos no operan de manera aislada, más bien, interactúan con el resto del sistema, el segundo principio reconoce que los resultados de todos los procesos son variables, y esto ya lo hemos justificado antes y quedará en evidencia a lo largo del libro y el tercer principio es una de las razones y objetivos principales de esta obra: reducir la variabilidad hasta lograr el nivel de calidad Seis Sigma. 17. Describa la forma en que el pensamiento estadístico puede ayudar en los niveles estratégico, directivo y operacional de una organización. Estratégico – Crea estrategias y las comunica, Emplea datos de varias fuentes para dirigir, Desarrolla e implementa sistemas de medición para dirigir el progreso y estimula a los empleados a experimentar nuevas formas de hacer su trabajo. Directivo – Desarrolla proyectos estructurados, fija metas y se enfoca en los procesos y no reclama a los empleados por su variación. Operacional – Conoce la variación, gráfica datos de los procesos e identifica medidas clave y oportunidades de mejora. 18. Describa en qué consiste el ciclo de la calidad o ciclo PHVA. Proceso de cuatro etapas para desarrollar proyectos de mejora; consiste en planear, hacer, verificar y actuar (PHVA). 19. ¿A qué tipo de problemas se les debe aplicar la metodología de los ocho pasos? Problemas recurrentes o a proyectos de mejora. 20. De las cuatro fases del ciclo de la calidad, a su juicio ¿en cuáles es necesario hacer mayor énfasis? Argumente. La fase hacer, ya que es en la cual consta que lo que se planifico llevarlo a cabo, ya sea en pequeña escala o sobre una base de ensayo. 21. A un equipo de mejora se le responsabiliza de resolver un problema importante, y como una estrategia de eficiencia y prontitud en la primera reunión empiezan a proponer soluciones a tal problema. ¿Están procediendo de manera correcta? No, primero se debe seleccionar y caracterizar el problema para posteriormente identificar todas las posibles causas, reconocer las que en realidad afectan y posteriormente proponer soluciones al problema. CONTROL ESTADÍSTICO DE LA CALIDAD Y SEIS SIGMA 22. Investigue quiénes fueron Edwards Deming y Joseph Juran, resaltando sus aportes a la calidad. Edward Deming fue un estadístico estadounidense que hizo grandes aportaciones a la calidad, tales como: el ciclo de Deming, los Catorce Puntos, y las 7 Enfermedades de la Gerencia. Joseph Juran fue un consultor de gestión de la calidad que creó la Trilogía de Juran que consiste en tres procesos de gestión: la planificación, control de calidad y la mejora de la calidad. 23. Averigüe qué son las normas IS0-9000. Es un conjunto de normas sobre calidad y gestión de calidad, establecidas por la Organización Internacional de Normalización (ISO). Estandarizar las actividades del personal que trabaja dentro de la organización por medio de la documentación. Incrementar la satisfacción del cliente al asegurar la calidad de productos y servicios de manera consistente, dada la estandarización de los procedimientos y actividades. Medir y monitorear el desempeño de los procesos. Incrementar la eficacia y/o eficiencia de la organización en el logro de sus objetivos. Mejorar continuamente en los procesos, productos, eficacia, entre otros. Reducir las incidencias negativas de producción o prestación de servicios. Mantienen la calidad. 24. Utilizando una base de datos académica, como por ejemplo scholar.google.com, encuentre un artículo técnico en donde se reporte la realización de un proyecto de mejora donde se apliquen técnicas estadísticas o el ciclo PHVA. Lea y comprenda de manera general lo que se hizo, y sintetice haciendo lo siguiente. a) Anote los detalles de la referencia académica: nombre de los autores, año de publicación, capítulo del trabajo y revista donde se publicó. Martín Almagro-Gorbeat, Pablo Alonso, José Enrique Benito, Ana M 0 Martín, José Luis Valencia. 1997. Capítulo 8. Universidad Complutense, Madrid. b) Describa el problema abordado y el porqué era importante. Deseaban conocer con precisión la validez de los resultados obtenidos, por lo que dicha tarea debería considerarse como última fase del proceso antes de dar por finalizado cualquier proyecto de prospección. Le han puesto especial interés en obtener una fórmula estadística que permita mejorar la precisión y optimizar el método de trabajo utilizado en la ocasión anterior para controlar la calidad de cualquier prospección arqueológica. c) Sintetice el procedimiento seguido para su solución. Realizaron una hipótesis de trabajo, recolectando los datos necesarios, después realizando una prospección de la muestra control, una determinación del número total de yacimientos y por último, se realiza una determinación estadística de la calidad de la prospección y se analizan los resultados para generar conclusiones. CONTROL ESTADÍSTICO DE LA CALIDAD Y SEIS SIGMA d) Señale algunos de los análisis estadísticos que se hicieron. Determinación inicial del nivel de calidad aceptable Determinación de la unidad muestral Determinación del tamaño de la muestra Nivel y tipo de inspección Obtención de una muestra aleatoria e) Cuáles fueron los beneficios obtenidos con el proyecto de mejora. Darse cuenta de que se debían prospectar por áreas o tomar muestras más pequeñas, y comprobar que los métodos utilizados son convenientes para el área a estudiar, así como el control y verificación de la calidad aceptable. 25. Haga algo similar a lo que se propone en el ejercicio anterior, pero ahora donde se proponga alguna metodología o estrategia de mejora. El método que utilizaron se ha inspiró en el de inspección por atributos, computaron el número de defectos (yacimientos o hallazgos no encontrados) por la superficie que se inspecciona calculada en número de unidades de prospección controladas. El grado de disconformidad se expresa en número de defectos (yacimientos no encontrados) en cada 100 unidades de muestreo o cuadrículas. De este modo obtuvieron el NCA: NCA = (yacimientos no encontrados/n unidades inspeccionadas) x 0,01 CAPITULO 2 CONCEPTOS CLAVE Capacidad de un proceso. Consiste en conocer la amplitud de la variación natural del proceso para una característica de calidad dada; esto permitirá saber en qué medida tal característica de calidad es satisfactoria. Estadísticos. Cantidades o mediciones que se obtienen a partir de los datos de una muestra y que ayudan a resumir las características de las mismas. Tendencia central. Valor en torno al cual los datos o mediciones de una variable tienen a aglomerarse o concentrarse. Media. Medida de tendencia central que es igual al promedio aritmético de un conjunto de datos, que se obtienen al sumarlos y el resultado se divide entre el número de datos. Mediana. Medida de tendencia central que es igual al valor que divide a la mitad a los datos cuando son ordenados de menor a mayor Moda. Medida de tendencia central de un conjunto de datos que es igual al dato que se repite más veces. CONTROL ESTADÍSTICO DE LA CALIDAD Y SEIS SIGMA Desviación estándar muestral. Medida de la variabilidad que indica que tan esparcidos están los datos con respecto a la media. Desviación estándar del proceso. Refleja la variabilidad de un proceso. Para su cálculo se debe utilizar un número grande de datos que hayan sido obtenidos en el transcurso de un lapso amplio. Rango. Medición de la variabilidad de un conjunto de datos que es resultado de la diferencia entre el dato mayor y el dato menor de tal conjunto. Coeficiente de variación. Medida de variabilidad que indica la magnitud relativa de la desviación estándar en comparación con la media. Es útil para contrastar la variación de dos o más variables que están medidas en diversas escalas. Desigualdad de Chebysev. Resultado teórico que relaciona X y S, y establece el porcentaje mínimo de datos que caen en el intervalo (X- kS,X + kS), con k> 1. Regla empírica. Resultado práctico que relaciona a X y S, y establece el porcentaje de datos de la muestra que cae dentro del intervalo (X-leS, X+ k5) con k= 1, 2, 3 Limites reales. Se obtienen con Jl- 30'y Jl+ 30', e indican de dónde a dónde varía la salida de un proceso Histograma. Representación gráfica de la distribución de un conjunto de datos o de una variable, donde los datos se clasifican por su magnitud en cierto número de clases. Permite visualizar la tendencia central, la dispersión y la forma de la distribución. Tabla de frecuencias. Representación en forma de tabla de la distribución de unos datos, a los que se clasifica por su magnitud en cierto número de clases. Distribución sesgada. Forma asimétrica de la distribución de unos datos o una variable, donde la cola de un lado de la distribución es más larga que la del otro lado. Distribución multimodal. Forma de la distribución de unos datos en la que se aprecian claramente dos o más modas (picos). Dato raro o atípico. Medición cuta magnitud es muy diferente a la generalidad de las mediciones del conjunto de datos correspondiente. Rango intercuartílico. Es igual a la distancia entre el cuartil inferior y el superior, y determina el rango en el que se ubican SO% de los datos que están en el centro de la distribución. Estratificación. Consiste en clasificar y analizar datos de acuerdo con las distintas fuentes de donde proceden, como, por ejemplo por máquinas, lotes, proveedores, turnos, etcétera. Sesgo. Es una medida numérica de la asimetría en la distribución de un conjunto de datos. CONTROL ESTADÍSTICO DE LA CALIDAD Y SEIS SIGMA Curtosis. Estadístico que mide qué tan elevada o plana es la curva de la distribución de unos datos respecto a la distribución normal. Cuantiles. Medidas de localización que separan por magnitud un conjunto de datos en cierto número de grupos o partes que contienen la misma cantidad de datos. Por ejemplo, los deciles dividen los datos en 10 grupos. PROBLEMAS 2.1 Con sus palabras y apoyándose en gráficas, conteste los siguientes incisos. a) ¿Qué es la tendencia central y que es la variabilidad de un proceso o unos datos? La tendencia central: Es un valor en torno al cual los datos o mediciones de una variable tienden a aglomerarse o concentrarse. Variabilidad de un proceso: Es saber que tan diferentes son entre sí. Desviación estándar muestral: Medida de la variabilidad que indica qué tan esparcidos están los datos con respecto a la media. Desviación estándar del proceso: Refleja la variabilidad de un proceso. Para su cálculo se debe utilizar un número grande de datos que hayan sido obtenidos en el transcurso de un lapso amplio. Se denota con la letra griega sigma σ. Rango: Medición de la variabilidad de un conjunto de datos que es resultado de la diferencia entre el dato mayor y el dato menor de tal conjunto. Coeficiente de variación: Medida de variabilidad que indica la magnitud relativa de la desviación estándar en comparación con la media. Es útil para contrastar la variación de dos o más variables que están medidas en diversas escalas b) Represente de manera gráfica y mediante curvas de distribución, dos procesos con la misma variabilidad pero diferente tendencia central. CONTROL ESTADÍSTICO DE LA CALIDAD Y SEIS SIGMA c) Elabore la gráfica de dos procesos con la misma media pero diferente dispersión. d) Represente dos procesos cuya forma de distribución es diferente. Gráfica de distribución (Damariz Rebolledo) 0.07 Distribución Media Poisson 300 Distribución Media Desv.Est. Normal 300 6 0.06 Densidad 0.05 0.04 0.03 0.02 0.01 0.00 250 275 300 325 350 X 2.2. Si una característica de calidad debe estar entre 30 ± 2, y se sabe que su media es 𝜇 = 29.9; entonces, ¿se tiene buena calidad, se cumple con las especificaciones? Paso 1. Datos: 𝜇 = 29.9, 𝐸𝐼 = 30 − 2 = 28, Paso 2. Fórmula: Paso 3. Procedimiento : CONTROL ESTADÍSTICO DE LA CALIDAD Y SEIS SIGMA - 𝐸𝑆 = 30 + 2 = 32 Paso 4. Gráfica: 28 𝜇 = 29.9 30 Paso 5. Resultados, interpretacione s y toma de decisiones. 32 No sabemos si se cumple con las especificaciones porque no conocemos la desviación estandar de la población (proceso). Todo parece indicar que el proceso está ligeramente descentrado por la izquierda No tenemos informacion suficiente (desconocemos Cp) para evaluar la calidad, pero podemos suponer que no es buena porque el proceso no está centrado. 2.3 ¿De qué manera afectan los datos raros o atípicos a la media? Explique su respuesta. Un dato raro es una medición cuya magnitud es muy diferente a la generalidad de las mediciones del correspondiente conjunto de datos. Para poder determinar la media, se necesita de cierta cantidad de mediciones ya que si obtendríamos datos raros causaría una dificultad al realizar el cálculo porque no sería una respuesta correcta, 2.4 Un grupo de 30 niños va de paseo en compañía de tres de sus maestras. La edad de los niños varía entre 4 y 8 años, la mitad tiene 5 años o menos. La edad que se repite más es la de 4. La edad de las tres maestras es diferente, pero es cercana a los 30 años. Con base en lo anterior, incluyendo a las tres maestras, proponga un valor aproximado para la media, la moda, y la mediana de la edad de los 33 paseantes. Argumente sus propuestas. Paso 1 Datos Paso 2 Formula Paso 3 Procedimiento Paso 4 Gráfica CONTROL ESTADÍSTICO DE LA CALIDAD Y SEIS SIGMA X =33 - - Paso 5 Resultado Media: 11, aproximadamente ya que hay valores extremos. Moda: 4, La tendencia central de los datos es la cantidad que más se repite. Mediana: 5, este es el valor medio, ya que menciona 50% tiene una edad inferior a 5 años. 2.5 En una empresa se llevan los registros del número de fallas de equipos por mes; la media es de 4 y la mediana de 6. Paso 1. Datos Paso 2. Fórmula Paso 3. Procedimiento Paso 4. Gráficas Paso 5. Resultados interpretaciones y toma de decisiones. Media: 4 Mediana: 6 a) Si usted tiene que reportar la tendencia central de fallas, ¿qué número reportaría? ¿Por qué? Reportaría el 6, porque da el valor medio de fallas que ocurrieron en cada mes. Es decir; que el 50% de fallas es inferior a 6 y el otro 50% es superior a 6. b) ¿La discrepancia entre la media y la mediana se debió a que durante varios meses ocurrieron muchas fallas? Si, por que al haber distintas fallas en unos meses y en otros no. Esto proporciona valores extremos que influyen en el análisis de los datos, perdiendo representatividad el valor que se tiene de la media. 2.6. De acuerdo con los registros de una empresa, el ausentismo por semana del personal de labor directa es de 25 personas en promedio, con una desviación estándar de 5. Con base en esto, conteste: a) ¿Entre qué cantidad se espera que usualmente varíe el número de personas que no acuden a trabajar por semana? La cantidad de personas que no está yendo a trabajar varía entre aproximadamente 20 personas, lo que es un 68% de los casos. CONTROL ESTADÍSTICO DE LA CALIDAD Y SEIS SIGMA b) Si en la última semana hubo 34 ausencias, ¿significa que pasó algo fuera de lo normal, por lo que se debe investigar qué sucedió y tomar alguna medida urgente para minimizar el problema? Significa que algo está incorrecto, ya que si la media poblacional es de 25 personas y el registro de ausentismo en la última semana está demasiado elevado, significa que se debe analizar y tomar medidas urgentes para minimizar el problema. 2.7 En una empresa se lleva un registro semanal del número de empleados que acuden a la enfermería de la empresa a recibir atención médica. De acuerdo con los datos de los primeros seis meses del año se tiene que el número promedio por semana es de 16, y la desviación estándar es de 3.5. Con base en esto conteste los siguientes dos incisos: Paso 1: Datos Paso 2: Fórmula Paso 3: Procedimiento Paso 4: Resultados μ = 16 σ= 3.5 𝐿𝑅 = 𝜇 ± 3𝜎 𝐿𝑅 = 16 + (3)(3.5) = 26.5 𝐿𝑅 = 16 − (3)(3.5) = 5.5 a) ¿Entre qué cantidades se espera que varíen usualmente el número de empleados que acuden a la enfermería por semana? Se espera que acudan a la enfermería por semana entre 26 y 5 empleados. A pesar de que los datos se ven afectados por datos demasiado aleatorios que afectan a la media y a la desviación estándar. b) Si en la última semana acudieron a la enfermería 25 personas, esto significa que en esa semana pasó algo fuera de lo usual. Conteste sí o no y explique por qué. No, porque se refiere a la última semana en la que se contó para tomar la media, por lo tanto, existen datos que se encuentran alejados y afectan a la media. 2.8. De acuerdo con cierta norma, a una bomba de gasolina en cada 20 L se le permite una discrepancia de 0.2 L. En una gasolinera se hacen revisiones periódicas para evitar infracciones y ver si se cumplen las especificaciones (El = 19.8, ES= 20.2}. De acuerdo con los resultados de 15 inspecciones para una bomba en particular, la media y la desviación estándar de los 15 datos son 19.9 y 0.1, respectivamente. De acuerdo con esto, ¿se puede garantizar que la bomba cumple con la norma? Argumente su respuesta. CONTROL ESTADÍSTICO DE LA CALIDAD Y SEIS SIGMA Paso 1. Datos El = 19.8, ES= 20.2, μ=19.9 σ=0.1 Paso Fórmula 2. 𝐿𝑅𝐼 = 19.9 − 3(0.1) = 19.6 Paso 3. Procedimiento Paso Gráficas Calculado en Minitab 4. Paso 5. Resultados, interpretación y decisiones Para garantizar que se cumple c0on la norma, los limites reales deben estar dentro de los límites de las especificaciones. Con los resultados obtenidos se puede evidenciar que el LRI es menor a EI, lo cual indica que la bomba no cumple con la norma. 2.9 La desigualdad de Chebyshev y la regla empírica establecen la relación entre la media y la desviación estándar. Explique esta situación y señale si se aplica para el caso muestra poblacional o para ambos. Si una variable aleatoria tiene una desviación estándar pequeña, esperaríamos que la mayoría de los valores se agrupen alrededor de la media. Por lo tanto, la probabilidad de que una variable aleatoria tome un valor dentro de cierto intervalo alrededor de la media es mayor que para una variable aleatoria similar con una desviación estándar mayor si pensamos en la probabilidad en términos de un área, esperaríamos una distribución continua con un valor grande de σ que indique una variabilidad mayor y, por lo tanto, esperaríamos que el área este extendida. Sin embargo, una desviación estándar pequeña debería tener la mayor parte de su área cercana a µ. 2.10.- Dos máquinas, cada una operada por una persona, son utilizadas para cortar tiras de hule, cuya longitud ideal es de 200 mm, con una tolerancia de ±3 mm. Al final del turno un inspector toma muestras e inspecciona que la longitud cumpla CONTROL ESTADÍSTICO DE LA CALIDAD Y SEIS SIGMA especificaciones. A continuación se muestran las últimas 110 mediciones para ambas máquinas: Paso 1. Datos 199.2 199.7 201.8 202 201 201.5 200 199.8 200.7 201.4 200.4 201.7 201.4 201.4 200.8 202.1 200.7 200.9 201 201.5 201.2 201.3 Paso 2. Fórmula 200.9 200.7 200.5 201.2 201.7 201.2 201.2 200.5 200.1 201.4 200.2 201 201.4 201.4 201.1 201.2 201 200.6 202 201 201.5 201.6 𝑛 200.6 200.1 201.3 200.6 200.7 201.8 200.5 200.5 200.8 200.3 200.7 𝜀𝑖 Mediana= 2 x= 𝑛 199.5 198.6 200.3 198.5 198.2 199.6 198.2 198.4 199 199.7 199.7 𝑠2 = 199 198.4 199.1 198.8 198.3 198.9 199.6 199 198.7 200.5 198.4 199.2 198.8 198.5 198.9 198.8 198.7 199.2 199.3 199.7 197.8 199.9 𝜀(𝑋𝑖−𝑋)2 𝑛−1 199 199 198.7 199.1 200.3 200.5 198.1 198.3 199.6 199 199.7 S=√ 198.9 199.2 197.9 200.3 199.6 199.4 198.7 198.5 198.7 198.6 198.5 𝜀(𝑋𝑖−𝑥)2 Paso 3. Procedimiento Calculado en Minitab Paso 4. Gráfica Informe de resumen de LONGITUD Damariz Rebolledo 𝑛−1 Prueba de normalidad de Anderson-Darling A-cuadrado Valor p Media Desv.Est. Varianza Asimetría Curtosis N Mínimo 1er cuartil Mediana 3er cuartil Máximo 1.84 <0.005 200.00 1.16 1.34 -0.03705 -1.25761 110 197.80 198.97 200.10 201.00 202.10 Intervalo de confianza de 95% para la media 198.00 198.75 199.50 200.25 201.00 201.75 199.78 200.21 Intervalo de confianza de 95% para la mediana 199.60 200.50 Intervalo de confianza de 95% para la desviación estándar 1.02 1.33 Intervalos de confianza de 95% Media Mediana 199.50 Paso. 5 Resultados, interpretaciones y toma de decisiones 199.75 200.00 200.25 200.50 a) Obtenga las medidas de tendencia central y con base en ellas señale si la tendencia central del proceso es adecuada. Las medidas de tendencia central del proceso son: Las modas son 199, 200.5, 201.4 La mediana es 200.1 La media es 200 CONTROL ESTADÍSTICO DE LA CALIDAD Y SEIS SIGMA b) Calcule la desviación estándar y una aproximación de los límites reales. A partir de éstos decida si la variabilidad de los datos es aceptable. La desviación estándar es 1.16 Los límites reales son aproximadamente 198.97 y 201. c) Obtenga un histograma e interprételo (tendencia central, variabilidad, acantilados, sesgos, etc). d) Con la evidencia obtenida antes, cuál es su opinión acerca de lo adecuado o no de la longitud de las tiras que se cortaron en el periodo que representan las mediciones. La longitud no es la adecuada, ya que presenta diversas variaciones dando como resultado un proceso con una distribución multimodal, es decir, presenta 3 realidades diferentes. e) utilizando el sesgo y curtosis estandarizadas, y la evidencia gráfica, ¿qué puede decir respecto a la normalidad de los datos? Debido a que la curtosis es negativa, la curva es plana, lo que quiere decir es que las diferencias entre los datos son menos fuertes, sin embargo afectan de manera seria la capacidad del proceso. 2.11 En el caso del ejercicio anterior, considere que los primeros 55 datos (ordenados por renglón) corresponden a una máquina, y los últimos 55 a otra. Ahora conteste lo siguiente. a) Evalué las dos máquinas en cuanto a su centrado (tendencia central) y con respecto a la longitud ideal (200). Estadísticos descriptivos: Maquina 1, Maquina 2 N para Variable Media Desv.Est. Mediana Modo Maquina 1 201.12 1.35 201.00 201.4 Maquina 2 199.01 0.677 199.00 199 moda 6 6 La máquina 2 es más exacta que la máquina 1. b) Analice la dispersión de ambas maquinas utilizando la desviación estándar y la regla empírica. Estadísticos descriptivos: Maquina 1, Maquina 2 Variable Desv.Est. Varianza Q1 Q3 Curtosis CONTROL ESTADÍSTICO DE LA CALIDAD Y SEIS SIGMA Maquina 1 1.35 1.83 200.60 201.40 33.69 Maquina 2 0.677 0.458 198.50 199.60 -0.25 De acuerdo a las especificaciones ambas máquinas cumplen las tolerancias permitidas. Pero la máquina 2 es la más exacta a la media ideal de 200 mm, porque su desv. Est. es menor a la de la máquina c) Haga un histograma para cada máquina e intérprete cada uno de ellos. La máquina 1: Tiene un sesgo positivo y tiene hacia la izquierda. La máquina 2: Tiene un sesgo negativo y tiende hacia la derecha. d) De acuerdo a lo anterior, ¿cuál es el problema de cada máquina? La máquina 1 tiene menor precisión, la mayoría de sus valores son inferiores a la media ideal (200 mm). La máquina 2 es más precisa, pero la mayoría de sus valores son superiores e inferiores. e) Considere que cada máquina es operada por una persona diferente, y determine cuáles son las posibles causas de los problemas señalados en el inciso anterior y señale qué haría para corroborar cuáles son las verdaderas causas Causas: a) Puede ser que la persona que está operando la máquina no esté revisándola constantemente, ya que la máquina puede ser muy antigua y se descontrole fácilmente. b) El operario no ha sido capacitado correctamente. Precauciones: a) Revisar constantemente la máquina. b) Evaluar al operario CONTROL ESTADÍSTICO DE LA CALIDAD Y SEIS SIGMA f) Vuelva a analizar el histograma realizado en el inciso c) del ejercicio anterior y vea si de alguna forma se vislumbraba lo que detectó con los análisis realizados en este ejercicio. En ambas graficas se demuestra que la máquina 2 es más precisa, aunque la mayoría de sus valores son superiores e inferiores. 2.12 En un área de servicios dentro de una empresa de manufactura se realiza una encuesta para evaluar la calidad del servicio proporcionado y el nivel de satisfacción de los clientes internos. La encuesta consiste de 10 preguntas, y cada una de ellas evalúa diferentes aspectos del servicio proporcionado. Las respuestas para cada pregunta es un número entre O y 10. Para hacer un primer análisis de los resultados obtenidos se suman los puntos obtenidos de las 10 preguntas para cada cuestionario. A continuación se muestran los puntos obtenidos en 50 cuestionarios. Paso 1 Datos Paso 2 Formula 78 78 82 85 81 86 80 73 84 78 𝑛 Mediana= 2 68 84 75 78 76 76 82 85 91 80 70 87 77 82 84 48 49 39 39 43 𝜀𝑖 𝑠2 = x= 𝑛 Paso 3 Procedimiento 35 42 34 44 49 34 30 43 31 34 41 42 45 42 35 38 39 42 43 29 𝜀(𝑋𝑖−𝑋)2 S=√ 𝑛−1 Calculado en Minitab Paso 4 Gráfica Histograma de C1 (Damariz Rebolledo) (con intervalo de confianza t de 95% para la media) 12.5 Frecuencia 10.0 7.5 5.0 2.5 0.0 _ X 36 48 60 C1 CONTROL ESTADÍSTICO DE LA CALIDAD Y SEIS SIGMA 72 84 𝜀(𝑋𝑖−𝑥)2 𝑛−1 Paso 5 Resultado a) Calcule las medidas de tendencia central, de dispersión a los datos anteriores y dé una primera opinión acerca de la calidad en el servicio : La media de los datos de satisfacción es 59.80 La mediana de los datos de satisfacción es 58.50 Las modas de los datos de satisfacción son 42 y 78 La varianza de los datos de satisfacción es 446.29 La desv. Estandar es de los datos de satisfacción es 21.13 b) Realice el histograma e interprételo con cuidado. El conjunto de datos de satisfacción está ligeramente descentrado por la izquierda. La distribución es bimodal c) ¿Qué es lo más destacado que observa en el histograma? Que la distribución es bimodal d) ¿Tendría alguna utilidad hacer un análisis por separado de cada una de las preguntas? Explique. Si, por que los datos presentan mucha variación y no permiten precisar en qué aspectos hay menor satisfacción e) ¿Hay normalidad en los datos? Argumente. No, ya que el valor P es mayor a 0.089, Y el estadístico AD 2.13. En una fábrica de piezas de asbesto una característica importante de la calidad es el grosor de las láminas. Para cierto tipo de lámina el grosor óptimo es de 5 mm y se tiene una discrepancia tolerable de 0.8 mm, ya que si la lámina tiene un grosor menor que 4.2 mm se considera demasiado delgada y no reunirá las condiciones de resistencia exigidas por el cliente. Si la lámina tiene un grosor mayor que 5.8 mm, entonces se gastará demasiado material para su elaboración y elevarán los costos del fabricante. Por lo tanto, es de suma importancia fabricar las láminas con el grosor óptimo, y en el peor de los casos dentro de las tolerancias especificadas. De acuerdo con los registros de las mediciones realizada en los últimos tres meses se aprecia un proceso con una estabilidad aceptable, el grosor medio es 𝝁= 4.75, la mediana 4.7, y la desviación estándar 𝝈 = 0.45 CONTROL ESTADÍSTICO DE LA CALIDAD Y SEIS SIGMA 4.8 4.5 4.7 5.7 4.5 5.3 4.4 5.1 4.6 4.9 4.2 4.6 5.3 5.2 4.7 4.1 5.1 5 5 4.9 4.6 4.9 5.2 4.8 4.7 5.1 4.9 4.8 4.7 5.1 5.1 5.3 5.1 5 5.3 5 5.1 5.2 4.7 5 5 5.3 5.1 5.1 4.5 5.2 4.1 5.1 4.9 4.9 4.6 5 4.6 4.8 4.7 4.9 4.4 4.5 5.3 5.3 4.4 5 4.2 4.5 5.3 5.1 4.8 4.4 4.7 5.3 5.1 4.7 4.7 4.8 5 5 4.9 5.2 5.6 5.1 5.2 4.5 4.6 5.2 4.9 5 5.3 4.9 5 4.4 4.9 4.7 4.6 5.3 4.8 4.7 4.6 5.1 4.4 5 S=√ 𝜀(𝑋𝑖−𝑥)2 Paso 1. Datos 𝜇 = 4.75 𝜎 = 0.45 la mediana 4.7 Paso 2. Fórmula Paso 3. Procedimiento 𝑛 Mediana= 2 𝜀𝑖 x= 𝑛 𝑠2 = 𝜀(𝑋𝑖−𝑋)2 𝑛−1 Calculado en Minitab Paso 4. Gráfica CONTROL ESTADÍSTICO DE LA CALIDAD Y SEIS SIGMA 𝑛−1 4.5 5 5.2 4.7 5.9 5.3 5.6 5 5 4.5 Informe de resumen de grosor(Damariz Rebolledo) Prueba de normalidad de Anderson-Darling A-cuadrado Valor p Media Desv.Est. Varianza Asimetría Curtosis N Mínimo 1er cuartil Mediana 3er cuartil Máximo 0.85 0.028 4.8917 0.3291 0.1083 0.018781 0.232272 120 4.1000 4.7000 4.9000 5.1000 5.9000 Intervalo de confianza de 95% para la media 4.2 4.5 4.8 5.1 5.4 4.8322 5.7 4.9512 Intervalo de confianza de 95% para la mediana 4.8000 5.0000 Intervalo de confianza de 95% para la desviación estándar 0.2921 0.3770 Intervalos de confianza de 95% Media Mediana 4.80 4.85 4.90 4.95 5.00 a) De acuerdo con la media y la mediana, ¿el centrado del proceso Paso 5. es adecuado? Resultados interpretacione El centrado del proceso no es el adecuado, todo parece indicar que el s y toma de proceso esta descentrado con mucha variabilidad. decisiones b) Si considera sólo la media y la mediana, ¿puede decidir si el proceso cumple con las especificaciones? El proceso no es adecuado para el trabajo, y no cumple con las especificaciones, requiere de modificaciones serias. c) Calcule los límites reales, haga la gráfica de capacidad y señale si el proceso cumple con especificaciones. Si cumple con las especificaciones ya que la media cae dentro de los límites reales. 2.14 En el problema anterior, con el propósito de mejorar la calidad que se tenía en cuanto al grosor de las láminas, se implementó un proyecto de mejora siguiendo la metodología Seis Sigma (vea el capítulo 16). Varios de los cambios implementados fueron relativos a mejora y estandarización de los procedimientos de operación del proceso. Para verificar si el plan tuvo éxito, se eligieron láminas de manera aleatoria y se midió su grosor. Los 120 datos obtenidos durante tres días se muestran a continuación: Paso 1: Datos 4.8 4.7 4.7 4.9 4.9 4.6 4.2 4.3 5.7 4.1 4.8 5.00 5.00 4.5 4.8 4.5 5.1 4.7 5.00 4.6 5.3 5.1 5.3 5.00 5.1 5.3 4.8 5.1 4.9 4.4 5.00 5.1 5.1 4.7 4.8 CONTROL ESTADÍSTICO DE LA CALIDAD Y SEIS SIGMA 4.6 5.1 4.9 5.3 5.1 4.9 4.4 4.9 4.6 4.6 5.1 4.5 4.4 4.7 4.6 4.9 4.9 5.00 5.2 4.5 5.3 5.00 4.2 5.2 5.3 4.1 5.3 5.1 4.9 4.6 4.8 5.00 5.1 5.3 4.7 4.8 5.3 4.7 5.1 4.9 4.4 4.7 4.5 5.2 5.1 5.2 4.9 5.00 4.8 5.00 5.00 4.9 5.2 5.6 5.3 4.9 5.00 4.4 4.9 4.4 5.00 4.5 5.00 5.2 5.1 5.2 4.5 4.7 4.6 5.3 4.7 5.00 5.3 4.6 4.8 5.6 5.2 4.9 5.00 4.7 4.6 5.1 5.00 5.00 4.5 Proyecto Mediana = 4.7 μ = 4.75 σ = 0.45 Nuevo Mediana = 4.90 μ = 4.88 Paso 2: Fórmula Paso 3: Procedimiento 𝜇= 𝜇= 586.30 120 𝛴𝑋 𝑁 𝜎= √ = 4.88 Paso 4: Datos 𝛴 (𝑋 − 𝜇)² 𝑁 Calculado en Minitab σ = 0.3155 μ= 4.9 Paso 5: Fórmula 𝐿𝑅 = 𝜇 ± 3𝜎 𝑀𝑒𝑑𝑖𝑎 = Paso 6: Procedimiento σ = 0.3155 (𝐿𝑅𝐼 + 𝐿𝑅𝑆) 2 𝐿𝑅𝐼 = 4.9 − (3)(0.3155) = 3.93 𝐿𝑅𝑆 = 4.9 + (3)(0.3155) = 5.83 𝑀𝑒𝑑𝑖𝑎 = Paso 7: Gráfica CONTROL ESTADÍSTICO DE LA CALIDAD Y SEIS SIGMA (3.93 + 5.83) = 4.88 2 Summary Report for números (Damariz Rebolledo) Anderson-Darling Normality Test A-Squared P-Value Mean StDev Variance Skewness Kurtosis N Minimum 1st Quartile Median 3rd Quartile Maximum 1,01 0,011 4,8858 0,3155 0,0995 -0,198957 -0,098073 120 4,1000 4,7000 4,9000 5,1000 5,7000 95% Confidence Interval for Mean 4,2 4,5 4,8 5,1 5,4 5,7 4,8288 4,9429 95% Confidence Interval for Median 4,8798 5,0000 95% Confidence Interval for StDev 0,2800 0,3614 95% Confidence Intervals Mean Median 4,85 Paso 8: Resultados 4,90 4,95 5,00 a) Calcule la media y mediana de estos datos, y compárelas con las que se tenían antes del proyecto, decida si con los cambios se mejoró el centrado del proceso. En comparación con las medidas que se tenían antes, sin embargo, no se encuentra en lo óptimo, si no dentro de los límites tolerables. Se puede en el histograma que aún está descentrado y con mucha variabilidad. b) Calcule la desviación estándar y, con ésta, obtenga una estimación de los nuevos límites reales y decida si la variabilidad se redujo. Se redujo la variabilidad en comparación con las medidas que se tenían antes, ya que esta disminuye de acuerdo con la desviación estándar, más los límites si son capaces de ser cumplidos ya que la media de los mismos se encuentra entre ellos, aunque aún sigue habiendo variabilidad, lo cual significa que debe reducirse debido a que no es lo óptimo. c) Construya un interprételo. histograma, inserte las especificaciones e Se observa que el histograma se encuentra descentrado y con mucha variabilidad. Tiene una curva leptocúrtica, por lo tanto, no es lo normal. d) De acuerdo con todo lo anterior, ¿el proyecto dio buenos resultados? Argumente. Los resultados son aceptables, más sin embargo, no son los óptimos, ya que aún existe variabilidad. Lo bueno es que los límites y las medias están dentro de las especificaciones dadas por el proyecto. e) Si se observaron mejoras, ¿son suficientes para garantizar un producto dentro de especificaciones? No, puede haber la probabilidad de que funcione, aunque esto no es asegurable, de acuerdo con lo mencionado anteriormente. CONTROL ESTADÍSTICO DE LA CALIDAD Y SEIS SIGMA 2.15 En la elaboración de envases de plástico primero se elabora la preforma, para la cual se tienen varios criterios de calidad, uno de ellos es el peso de esta. Para cierto envase se tiene que el peso debe estar entre 28.00 ± 0.5 g. A continuación se muestran los últimos 112 datos obtenidos mediante una carta de control para esta variable. Paso 1. Datos. MEDIANA= 𝑛 𝜇= 2 ∑𝑁 𝑖=1 𝑋𝑖 𝑁 Paso 2. Formula 𝑆=√ Paso 3. Procedimiento Paso 4. Gráfica ∑𝑖(𝑋𝑖 − 𝑋)2 𝑛 Calculado en minitab Informe de resumen Damariz Rebolledo Prueba de normalidad de Anderson-Darling A-cuadrado Valor p Media Desv.Est. Varianza Asimetría Curtosis N Mínimo 1 er cuartil Mediana 3er cuartil Máximo 0.41 0.340 27.976 0.1 44 0.021 0.1 86808 -0.288861 112 27.630 27.872 27.960 28.087 28.390 Intervalo de confianza de 95% para la media 27.75 27.90 28.05 28.20 28.35 27.949 28.003 Intervalo de confianza de 95% para la mediana 27.931 28.000 Intervalo de confianza de 95% para la desviación estándar 0.1 27 Intervalos de confianza de 95% Media Mediana 27.94 27.96 CONTROL ESTADÍSTICO DE LA CALIDAD Y SEIS SIGMA 27.98 28.00 0.1 65 Paso 5. Resultados, interpretaciones y toma de decisiones. a) Obtenga las medidas de tendencia central y señale si la tendencia central de las mediciones es adecuada. La media de los pesos es de 27.98 g. La mediana de los pesos de los envases es de 27.96g. La varianza de los pesos es de 0.021 La desviación estándar de los datos obtenidos es de 0.1437. La moda del peso de los envases es de 27.94 La tendencia central es la adecuada, puesto que está en el rango marcado por la empresa. b) Calcule la desviación estándar y una aproximación de los límites reales y con base en estos decida si la variabilidad de los datos es aceptable. La desviación estándar de los datos es de 0.1437. Es aceptable puesto que está dentro del rango de .5 que la empresa está manejando para el peso de sus botellas. c) obtenga un histograma e interprételo (tendencia central, variabilidad, acantilados, sesgos, etc.). Tendencia central: La media de los pesos es de 27.98 g. La mediana de los pesos de los envases es de 27.96g. La desviación estándar de los datos obtenidos es de 0.1437. La moda del peso de los envases es de 27.94 La tendencia central es la adecuada puesto que está en el rango marcado por la empresa. Variabilidad: Los valores de los datos no varían más de 1 del valor más pequeño al más grande, lo cual especifica la empresa, por lo tanto es aceptable. Acantilados: Con lo que se puede observar en el histograma mis pesos están saliendo en mayoría en el rango de -.5 y los que son +.5 son más dispersos. Sesgo: CONTROL ESTADÍSTICO DE LA CALIDAD Y SEIS SIGMA Está un poco más inclinado al lado positivo, sin embargo es mínimo. d) ¿Es adecuado el peso de las preformas? Si es el adecuado puesto que está en el rango establecido por la misma empresa como rango de tolerancia. e) ¿Hay evidencias en contra de la normalidad de los datos? Se podrían tomar como evidencia en contra algunos datos que están un poco más dispersos que la mayoría, sin embargo están dentro del estándar. 2.16 Una característica clave en la calidad de las pinturas es su densidad, y un componente que influye en ésta es la cantidad de arenas que se utilizan en su elaboración. La cantidad de arena en la formulación de un lote se controla por medio del número de costales, que según el proveedor contienen 20 kg. Sin embargo, continuamente se tienen problemas en la densidad de la pintura que es necesario corregir con retrabajo y reprocesos adicionales. En este contexto se decide investigar cuánta arena contienen en realidad los costales. Para ello, se toma una muestra aleatoria de 30 costales de cada lote o pedido (500 costales). Los pesos obtenidos en las muestras de los últimos tres lotes se muestran adelante. Las especificaciones iniciales que se establecen para el peso de los costales de arena son de 20 ± 0.8 kg. Paso 1. Datos Paso 2. Fórmula Paso 3. Procedimiento 𝑛 Mediana= 2 𝜀𝑖 x= 𝑛 𝑠2 = 𝜀(𝑋𝑖−𝑋)2 𝑛−1 S=√ Calculado con minitab Paso 4. Gráfica CONTROL ESTADÍSTICO DE LA CALIDAD Y SEIS SIGMA 𝜀(𝑋𝑖−𝑥)2 𝑛−1 Informe de resumen de LOTES Damariz Rebolledo Prueba de normalidad de Anderson-Darling A-cuadrado Valor p 5.95 <0.005 Media Desv.Est. Varianza Asimetría Curtosis N 19.674 1.196 1.430 5.5306 43.5561 90 Mínimo 1er cuartil Mediana 3er cuartil Máximo 17.800 19.100 19.600 20.000 29.100 Intervalo de confianza de 95% para la media 18 20 22 24 26 19.424 28 19.925 Intervalo de confianza de 95% para la mediana 19.400 19.700 Intervalo de confianza de 95% para la desviación estándar 1.043 1.402 Intervalos de confianza de 95% Media Mediana 19.4 19.6 19.8 20.0 Informe de resumen de LOTE 1 Damariz Rebolledo Prueba de normalidad de Anderson-Darling A-cuadrado Valor p 0.52 0.167 Media Desv.Est. Varianza Asimetría Curtosis N 19.353 0.554 0.307 1.00450 1.40174 30 Mínimo 1er cuartil Mediana 3er cuartil Máximo 18.600 19.000 19.250 19.650 21.000 Intervalo de confianza de 95% para la media 18.5 19.0 19.5 20.0 20.5 21.0 19.147 19.560 Intervalo de confianza de 95% para la mediana 19.100 19.477 Intervalo de confianza de 95% para la desviación estándar 0.441 0.745 Intervalos de confianza de 95% Media Mediana 19.1 19.2 19.3 19.4 19.5 Informe de resumen de LOTE 2 Damariz Rebolledo Prueba de normalidad de Anderson-Darling A-cuadrado Valor p Media Desv.Est. Varianza Asimetría Curtosis N Mínimo 1er cuartil Mediana 3er cuartil Máximo 0.17 0.920 19.297 0.690 0.476 0.064659 -0.257977 30 17.800 18.800 19.350 19.700 20.700 Intervalo de confianza de 95% para la media 18.0 18.5 19.0 19.5 20.0 19.039 20.5 19.554 Intervalo de confianza de 95% para la mediana 18.923 19.600 Intervalo de confianza de 95% para la desviación estándar 0.550 Intervalos de confianza de 95% Media Mediana 19.0 19.2 CONTROL ESTADÍSTICO DE LA CALIDAD Y SEIS SIGMA 19.4 19.6 0.928 Informe de resumen de LOTE 3 Damariz Rebolledo Prueba de normalidad de Anderson-Darling A-cuadrado Valor p 6.55 <0.005 Media Desv.Est. Varianza Asimetría Curtosis N 20.373 1.687 2.846 5.0888 27.0454 30 Mínimo 1er cuartil Mediana 3er cuartil Máximo 19.600 19.700 20.000 20.400 29.100 Intervalo de confianza de 95% para la media 20 22 24 26 19.743 28 21.003 Intervalo de confianza de 95% para la mediana 19.823 20.200 Intervalo de confianza de 95% para la desviación estándar 1.344 2.268 Intervalos de confianza de 95% Media Mediana 20.0 Paso 6: Resultados 20.5 21.0 a) De acuerdo con los 90 datos, ¿el centrado del proceso es adecuado? El centrado es adecuado, pero requiere un debido control. b) ¿la variabilidad es poca o mucha? Apóyese en los estadísticos adecuados. La variabilidad es mucha ya que están muy alejados uno del otro. c) Obtenga un histograma especificaciones. para los 90 datos, inserte las d) Dé su conclusión general acerca de si los bultos cumplen con el peso especificado. Los bultos no cumplen con el peso especificado ya que no están dentro de los límites permitidos. e) Haga un análisis de cada lote por separado y con apoyo de estadísticos y gráficas, señale si hay diferencias grandes entre los lotes. Si analizamos los 3 lotes juntos, tendríamos como resultado 2 realidades, ya que un conjunto de datos queda fuera de la curva, por lo tanto, el proceso no es el adecuado. f) ¿Las diferencias encontradas se podrían haber inferido a partir del histograma del inciso e)? Si los lotes se analizan por separado, podemos encontrar diversos resultados. El lote 1 está centrado por la izquierda, con una distribución bimodal, mientras que el lote 2 está centrado y el lote 3 está totalmente a la izquierda dejando un conjunto de datos fuera de la curva; por lo tanto concluimos que es mejor analizar los datos por separado, para tener una mejor visión de la realidad. g) Obtenga un diagrama de caja para cada lote y compárelos. CONTROL ESTADÍSTICO DE LA CALIDAD Y SEIS SIGMA 2.17 En una empresa que fabrica y vende equipo para fotocopiado utilizan como un indicador importante de la calidad en el servicio posventa, el tiempo de respuesta a solicitudes de apoyo técnico debido a fallas en los equipos. Para problemas mayores, en cierta zona del país se estableció como meta que la respuesta se de en un máximo de 6 horas hábiles; es decir, de que habla el cliente solicitando apoyo, y que si el problema se clasifica como grave no deben pasar más de 6 horas hábiles para que un técnico acuda a resolver el problema. A continuación se aprecian los tiempos de respuesta en horas para los primeros nueve meses del año (65 datos). Paso 1. Datos Paso 2. Fórmula Paso 3. Procedimiento Paso 4. Gráficas 𝑛 𝜀𝑖 Mediana= 2 𝑠2 = x= 𝑛 𝜀(𝑋𝑖−𝑋)2 𝜀(𝑋𝑖−𝑥)2 S=√ 𝑛−1 𝑛−1 Calculado en minitab Informe de resumen de Tiempos de respuestas (Damariz Rebolledo) Prueba de normalidad de Anderson-Darling A-cuadrado Valor p Media Desv.Est. Varianza Asimetría Curtosis N Mínimo 1er cuartil Mediana 3er cuartil Máximo 0.48 0.225 5.3545 1.5601 2.4340 -0.333250 -0.546564 55 1.7000 4.2000 5.4000 6.8000 8.3000 Intervalo de confianza de 95% para la media 1.6 3.2 4.8 6.4 8.0 4.9328 5.7763 Intervalo de confianza de 95% para la mediana 4.9572 5.9000 Intervalo de confianza de 95% para la desviación estándar 1.3134 1.9218 Intervalos de confianza de 95% Media Mediana 5.0 Paso 5. Resultados, interpretacione s y toma de decisiones 5.2 5.4 5.6 5.8 a) Calcule las medidas de tendencia central y con base en éstas, ¿cree que se cumple con la meta? De acuerdo a las medidas de tendencia central se llega a la conclusión de que los límites no sobrepasan y por esto se cumple la meta que se estableció. b) Aplique la regla empírica, interprete y diga qué tan bien se cumple la meta. Si se cumple la meta CONTROL ESTADÍSTICO DE LA CALIDAD Y SEIS SIGMA c) Haga un histograma e interprete sus aspectos más relevantes. Se presenta mucha variabilidad y está descentrada. d) A partir del análisis que se ha realizado, ¿qué recomendaciones daría para ayudar a cumplir mejor la meta? Daría una clasificación menor de tiempo para los problemas que son considerados como graves. 2.18. Los siguientes datos representan las horas caídas de equipos por semana en tres líneas de producción. Paso 1. Datos. Paso 2. Formulas. MEDIANA= Paso3. Procedimiento 𝑛 2 𝜇= ∑𝑁 𝑖=1 𝑋𝑖 𝑁 Calculado en minitab CONTROL ESTADÍSTICO DE LA CALIDAD Y SEIS SIGMA ∑𝑖(𝑋𝑖−𝑋)2 𝑆=√ 𝑛 Linea 1 Damariz Rebolledo Paso 4. Gráficas Prueba de normalidad de Anderson-Darling A-cuadrado Valor p Media Desv.Est. Varianza Asimetría Curtosis N Mínimo 1 er cuartil Mediana 3er cuartil Máximo 0.33 0.493 6.8720 1 .0498 1 .1 021 -0.226827 -0.94071 2 25 5.0000 6.0500 7.1 000 7.7500 8.6000 Intervalo de confianza de 95% para la media 5 6 7 6.4387 8 7.3053 Intervalo de confianza de 95% para la mediana 6.21 98 7.5802 Intervalo de confianza de 95% para la desviación estándar 0.81 97 1 .4604 Intervalos de confianza de 95% Media Mediana 6.5 7.0 7.5 Linea 2 Damariz Rebolledo Prueba de normalidad de Anderson-Darling A-cuadrado Valor p Media Desv.Est. Varianza Asimetría Curtosis N Mínimo 1 er cuartil Mediana 3er cuartil Máximo 0.23 0.779 6.9960 1 .0006 1 .001 2 0.1 33962 0.0081 61 25 5.0000 6.2500 6.9000 7.5500 9.2000 Intervalo de confianza de 95% para la media 5 6 7 8 6.5830 9 7.4090 Intervalo de confianza de 95% para la mediana 6.41 98 7.4000 Intervalo de confianza de 95% para la desviación estándar 0.781 3 1 .3920 Intervalos de confianza de 95% Media Mediana 6.50 6.75 7.00 7.25 7.50 Linea 3 Damairz Rebolledo Prueba de normalidad de Anderson-Darling A-cuadrado Valor p Media Desv.Est. Varianza Asimetría Curtosis N Mínimo 1 er cuartil Mediana 3er cuartil Máximo 1 .21 <0.005 7.3280 0.8754 0.7663 -0.51 749 -1 .29007 25 5.8000 6.3500 7.5000 8.1 000 8.5000 Intervalo de confianza de 95% para la media 6.0 6.4 6.8 7.2 7.6 8.0 8.4 6.9667 7.6893 Intervalo de confianza de 95% para la mediana 6.7594 8.0802 Intervalo de confianza de 95% para la desviación estándar 0.6835 Intervalos de confianza de 95% Media Mediana 7.0 7.5 CONTROL ESTADÍSTICO DE LA CALIDAD Y SEIS SIGMA 8.0 1 .21 78 Paso 5. Interpretación. a) Analice los datos por cada línea y anote las principales características de la distribución de los datos. Linea 1 Media: 6.8720 Desv: 1.0498 Mediana: 7.100 Linea 2. Media: 6.9960 Desv: 1.0006 Mediana:6.9000 Linea 3. Media: 7.3280 Desv: 0.8754 Mediana: 7.500 Las Lineas 1 y 2 son muy parecidas en cuanto a su media y mediana, sin embargo la desv. Estándar de cada una es muy diferente. Por lo cual guiándonos por la Desv. Podemos decir que la línea 1 tiene menos control, sin embargo las demás líneas tienen mas caídas de producción. b) Compare las tres líneas, ¿Nota alguna diferencia importante? La línea 2 tiene caídas aparentemente similares y las líneas 1 y 3 tienen caídas parecidas. 2.19 Una característica importante en la calidad de la leche de vaca es la concentración de grasa. En una industria en particular se fijó 3.0% como el estándar mínimo que debe cumplir el producto que se recibe directamente. de los establos lecheros. Por medio de muestreos y evaluaciones en cierta época del año se obtuvieron los siguientes 90 datos sobre concentración de grasa en cierta región. Paso 1. Datos Paso 2. Fórmula 𝑛 Mediana= 2 𝜀𝑖 x= 𝑛 CONTROL ESTADÍSTICO DE LA CALIDAD Y SEIS SIGMA 𝑠2 = 𝜀(𝑋𝑖−𝑋)2 𝑛−1 S=√ 𝜀(𝑋𝑖−𝑥)2 𝑛−1 Paso 3. Procedimiento Calculado en minitab Paso 4. Gráficas Paso 5. Resultados, interpretación y toma de decisiones a) Calcule las medidas de tendencia central y de variabilidad, y comente acerca del cumplimiento del estándar mínimo para la concentración de grasa. La media de los datos es de 3.18 La desviación estándar es de 0.31 La varianza de los datos es de 0.09 b) Obtenga un histograma, inserte el estándar mínimo e intérprete de manera amplia. El conjunto de datos de grasa está ligeramente descentrado por la derecha y la distribución es bimodal. c) La población de donde provienen estos datos, ¿cumple el estándar mínimo? Si, cumple con los estándares fijados en el conjunto de datos d) ¿Se puede suponer distribución normal? Sí, porque los datos concuerdan y no existe mucha variabilidad. CONTROL ESTADÍSTICO DE LA CALIDAD Y SEIS SIGMA 2.20 En la elaboración de envases de plástico es necesario garantizar que cierto tipo de botella en posición vertical tenga una resistencia mínima de 20 kg fuerza. Para garantizar esto, en el pasado se realizaba una prueba del tipo pasa-no-pasa, donde se aplicaba la fuerza mínima y se veía si la botella resistía o no. En la actualidad se realiza una prueba exacta, en la que mediante un equipo se le aplica fuerza a la botella hasta que ésta cede, y el equipo registra la resistencia que alcanzó. ¿Qué ventajas y desventajas tiene cada método? En la prueba pasa-no-pasa la ventaja sería que puede que haya menos probabilidad de que las botellas se rompan, ya que la fuerza aplicada es mínima, sin embargo, el control de la calidad no sería tan eficiente, ya que el rango de fuerza aplicada es mínimo, y no se tiene una garantía de que la botella resista una fuerza mayor. En la prueba exacta, como su nombre lo dice, el control de calidad es más exacto, ya que se tiene un registro de la resistencia promedio que una botella puede soportar sin romperse, por lo tanto, ya se tiene una media de presión registrada y un control establecido, teniendo así mejores resultados y productos de mayor calidad. 2.21 En el caso del problema anterior, a continuación, se muestran 100 datos obtenidos en las pruebas destructivas de la resistencia de botellas. Paso 1: Datos 28,3 26,8 26,6 26,5 28,1 24,8 30,4 27,7 27,0 26,1 28,1 26,9 26,2 27,7 27,2 25,9 26,5 28,3 28,4 26,3 28,1 28,7 27,0 25,5 28,8 25,0 25,3 27,7 25,2 28,6 29,3 27,8 25,1 26,6 26,8 26,4 26,9 27,7 26,2 27,0 27,6 28,8 27,1 26,4 Paso 2: Fórmula 27,2 27,3 27,0 27,7 29,5 26,4 25,8 26,7 27,4 26,2 29,4 28,6 24,9 25,2 28,0 27,6 𝜇= 𝛴𝑋 𝑁 25,6 29,5 27,6 27,3 26,5 29,1 23,7 29,7 26,8 29,5 26,9 27,2 27,6 25,5 28,3 27,4 27,9 28,7 25,3 29,2 26,5 28,7 26,4 26,3 𝛴 (𝑋 − 𝜇)² 𝜎= √ 𝑁 𝑁 − 𝐹𝑖 − 1 𝑀𝑒 = 𝐿𝑖 + 2 ∙ 𝑡𝑖 𝑓𝑖 𝑀𝑜 = 𝐿𝑖 + [𝑓𝑖 − (𝑓𝑖 − 1)] ∙ 𝑡𝑖 [𝑓𝑖 − (𝑓𝑖 − 1)] + [𝑓𝑖 − (𝑓𝑖 − 1)] CONTROL ESTADÍSTICO DE LA CALIDAD Y SEIS SIGMA 28,3 27,0 23,7 27,7 26,5 28,6 25,7 27,1 27,8 24,7 27,6 26,2 24,7 27,2 23,8 27,4 𝐿𝑅 = 𝜇 ± (3)(𝜎) 𝜎 (100) 𝜇 𝐶𝑣 = Paso 3: Procedimiento Calculado en minitab 𝜇 = 27.095 𝜎 = 1.389 𝑀𝑒𝑑𝑖𝑎𝑛𝑎 = 27.100 𝑀𝑜𝑑𝑎 = 27.7 𝐿𝑅𝐼 = 27.095 − (3)(1.389) = 22.928 𝐿𝑅𝑆 = 27.095 + (3)(1.389) = 31.262 𝜎 2 = 1.929 𝑀í𝑛𝑖𝑚𝑜 = 23.700 𝑀á𝑥𝑖𝑚𝑜 = 30.400 𝑅𝑎𝑛𝑔𝑜 = 6.700 𝐶𝑣 = 5.126 Paso 4. Gráficas Summary Report for C1 (Damariz Rebolledo) Anderson-Darling Normality Test A-Squared P-Value Mean StDev Variance Skewness Kurtosis N Minimum 1st Quartile Median 3rd Quartile Maximum 0,25 0,753 27,095 1,389 1,929 -0,182670 -0,101006 100 23,700 26,300 27,100 28,075 30,400 95% Confidence Interval for Mean 24,0 25,5 27,0 28,5 30,0 26,819 27,371 95% Confidence Interval for Median 26,800 27,452 95% Confidence Interval for StDev 1,219 1,613 95% Confidence Intervals Mean Median 26,8 Paso 5: Resultados 26,9 27,0 27,1 27,2 27,3 27,4 a) Calcule las medidas de tendencia central y de variabilidad. Se encuentran calculadas en el paso 3: Procedimiento. CONTROL ESTADÍSTICO DE LA CALIDAD Y SEIS SIGMA b) Estime los límites reales y comente si las botellas cumplen la resistencia mínima que se desea garantizar. Si cumplen, ya que la media cae dentro de los límites reales, por lo tanto, se cumple con las especificaciones. c) Obtenga un histograma, inserte una línea vertical en el valor de la resistencia mínima e interprete ampliamente. Como se observa en el paso 4: gráficas, el histograma se encuentra un poco sesgado a la derecha, tiene mucha variabilidad, y no se muestra fácilmente el valor de la resistencia mínima, por lo tanto, puede que sea conveniente realizar otros ajustes. d) Con base en los análisis anteriores. ¿considera que el proceso cumple con la especificación inferior? No, ya que como mencionado anteriormente, no se muestra en el histograma que muchos datos cumplan con esa especificación. 2.22. En una empresa que elabora productos lácteos se tiene como criterio de calidad para la crema que ésta tenga un porcentaje de grasa de 45 con una tolerancia de ± 5. De acuerdo con los muestreos de los últimos meses se tiene una media de 44 con una desviación estándar de 1.3. Haga un análisis de capacidad para ver si se está cumpliendo con la calidad exigida, represente gráficamente los datos y comente los resultados obtenidos. Paso 1. Datos: 𝜇 = 44, 𝐸𝐼 = 45 − 5 = 40, Paso 2. Fórmula: Paso 3. Procedimiento: 𝐶𝑝 = 𝐶𝑝 = 𝜎 = 1.3 𝐸𝑆 = 45 + 5 = 50 𝐸𝑆 − 𝐸𝐼 6𝜎 50 − 40 10 𝐶𝑝 = = 1.28 6(1.3) 7.8 CONTROL ESTADÍSTICO DE LA CALIDAD Y SEIS SIGMA Paso 4. Gráfica: 40 Paso 5. Resultados, interpretaciones y toma de decisiones. 𝜇 = 44 45 50 Todo parece indicar que el proceso está descentrado por la izquierda. Se tiene información necesaria para evaluar la calidad donde 𝐶𝑝 es mayor que 1 pero menor que 1.33 (1 < 𝐶𝑝 < 1.33) cuando el proceso está centrado, donde el proceso está parcialmente adecuado, y requiere de un control estricto, pero podemos suponer que no es buena porque el proceso no está centrado. 2.23 El volumen en un proceso de envasado debe estar entre 310 y 330 mi. De acuerdo con los datos históricos se tiene que µ= 318 y σ= 4. ¿El proceso de envasado funciona bien en cuanto al volumen? Argumente su respuesta. Paso 1. Datos EI=310 ES= 330 Paso 2. Fórmula 𝐶𝑝 = Paso 3. Procedimiento 𝐶𝑝 = σ= 4 𝐸𝑆 − 𝐸𝐼 6𝜎 330 − 310 20 𝐶𝑝 = = 0.8333 6(4) 24 Paso 4. Gráficas 310 µ= 318 𝜇 = 318 CONTROL ESTADÍSTICO DE LA CALIDAD Y SEIS SIGMA 330 Paso 5. Resultados, interpretación y decisiones Si hacemos una nalisis de la media poblacional y relacionamos con los limites de control esta se encuentra dentro de rango por lo tanto se puede afirmar que el proceso marcha bien mas sin embargo todo parece indicar que el proceso está descentrado por la izquierda. Se tiene información necesaria para evaluar la calidad donde 𝐶𝑝 es menor que 1 pero mayor que 0.67 (0.67 < 𝐶𝑝 < 1) cuando el proceso está centrado, donde el proceso no es adecuado para el trabajo. Es necesario un análisis del proceso. Requiere de modificaciones serias para alcanzar una calidad satisfactoria. 2.24 En la elaboración de una bebida se desea garantizar que el porcentaje de co2 ( gas) esté entre 2.5 y 3.0. En el monitoreo del proceso se obtuvieron los siguientes 115 datos: Paso 1. Datos 2.61 2.62 2.65 2.56 2.68 2.51 2.69 2.53 2.67 2.66 2.58 2.61 2.53 2.57 2.56 2.52 2.58 2.64 2.59 2.73 2.60 2.61 2.55 2.66 2.69 2.56 2.61 2.49 2.63 2.72 2.65 2.67 2.61 2.50 2.65 2.57 2.55 2.64 2.66 2.56 2.56 2.62 2.63 2.57 2.60 2.53 2.61 2.60 2.52 2.62 2.51 2.57 2.55 2.57 2.58 2.52 2.61 2.55 2.55 2.60 2.64 2.67 2.60 2.59 2.67 2.56 2.63 2.57 2.61 2.49 2.58 2.59 2.65 2.67 2.61 2.52 2.65 2.57 2.52 2.64 Paso 2. Fórmulas 𝑋̅ = 𝑆= √ Paso 3. Procedimiento 2.63 2.51 2.67 2.60 2.67 2.64 2.60 2.52 2.61 2.52 2.59 2.58 2.56 2.70 𝑥1 + 𝑥2 + ⋯ 𝑥𝑛 𝑛 (𝑥1 − 𝑥̅ )2 + (𝑥2 − 𝑥̅ )2 + ⋯ + (𝑥𝑛 − 𝑥̅ )2 𝑛−1 Calculado en Minitab CONTROL ESTADÍSTICO DE LA CALIDAD Y SEIS SIGMA 2.61 2.71 2.64 2.56 2.53 2.60 2.67 2.64 2.49 2.64 2.59 2.62 2.64 2.57 2.66 2.57 2.66 2.57 2.48 2.65 2.60 Paso. 4 Gráfica Damariz Rebolledo Normal Media 2.599 Desv.Est. 0.05580 N 115 25 Frecuencia 20 15 10 5 0 2.50 2.55 2.60 2.65 2.70 co2 Paso 5. Resultados, interpretaciones y toma de decisiones a) Por medio de medidas de tendencia central determine si la tendencia central de las mediciones es adecuada. Media: 2.5989 Desv. Estándar: 0.0558 Varianza: 0.00311 Mediana: 2.6000 Moda: 2.61 b) Calcule la desviación estándar y una aproximación de los límites reales y, con base en éstos, decida si la variabilidad de los datos es aceptable. Variable N N* Media estándar Desv.Est. Mínimo % de Co2 115 0 2.6250 0.0259 0.2779 2.4800 Varianza 0.0772 CoefVar 10.59 c) Obtenga un histograma e interprételo (tendencia central, variabilidad, acantilados, sesgos, etc). Paso 4 d) Con la evidencia obtenida antes, ¿cuál es su opinión acerca de la capacidad del proceso referido? Hay una cierta cantidad que no cumple con el rango de calidad (falta agregar más Co2) CONTROL ESTADÍSTICO DE LA CALIDAD Y SEIS SIGMA CAPITULO 3 CONCEPTOS CLAVE Experimento aleatorio: Su resultado no puede anticiparse aun cuando se repita bajo las mismas condiciones. Espacio muestra: Es el conjunto de resultados posibles de un experimento aleatorio. Evento: Es un subconjunto del espacio muestra de un experimento aleatorio. Variable aleatoria: Función que asocia un número a cada resultado de un experimento aleatorio. Variable aleatoria discreta: Variable a la que se pueden numerar los posibles valores que toma Distribución de probabilidad de X: Es una descripción del conjunto de los valores posibles de X con la probabilidad asociada a cada uno de estos valores Experimento Bemoulli: Ensayo aleatorio que sólo tiene dos resultados posibles llamados "éxito" y "fracaso". Distribución binomial 𝝁, p: Proporciona la probabilidad de observar x éxitos en una secuencia den experimentos Bernoulli independientes con una probabilidad constante p de éxito. Distribución geométrica: Proporciona: la probabilidad de requerir X repeticiones independientes de un experimento Bernoulli para observar el primer éxito Distribución hipergeométrica: Da la probabilidad de obtener X éxitos en n experimentos Bernoulli, donde la probabilidad de éxito cambia de un experimento al siguiente. Distribución normal: Es una distribución continua cuya densidad tiene forma de campana. Es muy importante tanto en la estadística teórica como en la aplicada. Gráfica de probabilidad: Procedimiento que permite determinar si los datos muéstrales se ajustan a una distribución específica. PROBLEMAS 3.1 Señale qué es una variable aleatoria e incluya un par de ejemplos de variables aleatorias discretas y otro par de continuas. Es la función que asocia un número a cada resultado de un experimento aleatorio. a) Variable aleatoria discreta: (Conjunto finito o numerable) Una recepcionista recibe 20 llamas por día, Una muestra de tornillos defectuosos en un proceso es de 15. b) Variable aleatoria continua: (Intervalo finito o infinito) Peso, volumen, longitud. CONTROL ESTADÍSTICO DE LA CALIDAD Y SEIS SIGMA 3.2. ¿Qué es una distribución de probabilidad? Es una descripción del conjunto de los valores posibles de X con la probabilidad asociada a cada uno de estos valores. 3.3. ¿Qué es una función de densidad de probabilidades y qué requisitos debe cumplir? La distribución se representa a través de una tabla que relaciona resultados con probabilidades, o bien, por medio de una fórmula. En el caso discreto, la función f(x) = P(X = x) que va del rango de X al intervalo [0, 1] recibe el nombre de función de probabilidad, y cumple con las siguientes propiedades: l.f(x) = P(X = x). 2.f(x) � O para toda x (no hay probabilidades negativas). 3.lf(x) = 1 (la suma de las probabilidades de todos los posibles valores de X es igual a 1). 3.4 Explique en cada caso qué tipo de variables siguen una distribución binomial, de Poisson e hipergeométrica. Mencione dos ejemplos de cada una de ellas. a) Distribución binomial: Son variables del tipo “pasa, no pasa”; es decir, variables que tienen que cumplir con determinado criterio. La probabilidad de éxito es constante. Un proceso produce 5% de piezas defectuosas si se encuentran X número de piezas defectuosas en las siguientes 20. Un virus está afectando al 20% de la población si X cantidad de las siguientes 30 personas estudiadas lo tienen. b) Distribución de Poisson: La variable que calcula la distribución de Poisson es la cantidad de defectos en un sistema. Numero de impurezas en un líquido dado su volumen. Numero de defectos en una línea de producción. c) Distribución Hipergeometrica: En esta distribución, la probabilidad de éxito del experimento no se mantiene constante, pero sigue el tipo de variable “pasa, no pasa”. Determinada debido a que el tamaño de la muestra es muy pequeño. Se toma una muestra de una línea de producción que se sabe contiene defectos. Se estudia el efecto de una vacuna en una porción de la población que se sabe contiene viruela. 3.5 ¿Cuál es la relación entre la distribución normal y la distribución ji-cuadrada? Si a es un número entero, entonces r(a) = (a- 1). La media y la varianza de una distribución jicuadrada con k grados de libertad están dadas por E (X) = k y <r2 = 2k. Esta distribución es relevante para hacer inferencias acerca de la desviación estándar, o; de una población con CONTROL ESTADÍSTICO DE LA CALIDAD Y SEIS SIGMA distribución normal, ya que, si se obtiene una muestra de tamaño n, entonces el estadístico tiene una distribución ji-cuadrada con n- 1 grados de libertad (S2, es la varianza muestra). 3.6 ¿Cómo se relaciona la distribución T de Student con la ji-cuadrada? Tanto la distribución T y la Ji-cuadrada, manejan n-1 grados de libertad cuando se busca la densidad. Ambas se acercan a la distribución normal, Ji-cuadrada cuanto más crecen sus grados de libertad y T cuando el tamaño de la muestra aumenta. Además la distribución T, necesita de una variable que tenga una distribución Ji-cuadrada. La distribución Ji-cuadrada sirve principalmente para analizar la desviación estándar, mientras que la distribución T sirve para analizar la media poblacional. 3.7. El departamento de compras inspecciona un pedido de 500 piezas eléctricas, para lo cual toma una muestra aleatoria de 20 de ellas y se prueban. El vendedor asegura que el porcentaje de piezas defectuosas es sólo de 5%, así, suponiendo el peor de los casos según el vendedor, p = 0.05, responda lo siguiente: Paso 1. Datos Paso 2. Fórmula Paso 3. Procedimiento Paso 4. Gráfica Hipergeomètrica= 500 piezas N=20 M=5% P= 0.05 Probabilidad (x>2) =? Variable discreta p(x>2) =p(x≥3) =? Calculado en minitab CONTROL ESTADÍSTICO DE LA CALIDAD Y SEIS SIGMA Paso 5. Resultados, interpretación y toma de decisiones a) ¿Cuál es la probabilidad de que el porcentaje muestra de defectuosos sea mayor a 10%? La probabilidad del porcentaje de muestra es de 0.0716 b) ¿cuál es la probabilidad de obtener una o menos piezas defectuosas? La probabilidad para obtener las piezas que son defectuosas es de 0.0736 CONTROL ESTADÍSTICO DE LA CALIDAD Y SEIS SIGMA 3.8 Un proceso de producción de partes trabaja con un porcentaje promedio de defectos de 5%. Cada hora se toma una muestra aleatoria de 18 artículos y se prueban. Si la muestra contiene más de un defecto el proceso deberá detenerse. CONTROL ESTADÍSTICO DE LA CALIDAD Y SEIS SIGMA 3.9 Un fabricante de calculadoras electrónicas desea estimar la proporción de unidades defectuosas producidas, para ello toma una muestra aleatoria de 250 y encuentra 25 defectuosas. Con base en esto el fabricante afirma que el porcentaje de calculadoras defectuosas que se produce es de 10%, ¿es real esta afirmación? Argumente su respuesta. CONTROL ESTADÍSTICO DE LA CALIDAD Y SEIS SIGMA 3.10. Un fabricante de galletas desea que, con probabilidad de 0.95, cada galleta contenga al menos una pasa. Paso 1. Datos Probabilidad =0.95 𝜇=1 𝑒 −ʎ ʎ𝑥 𝑓 (𝑥, ʎ) = 𝑥! 𝑒 −1 17 𝑓(7,1) = = 0.00008324 7! Paso 2. Formula Paso 3. procedimiento Paso 4. grafica Gráfica de distribución( Damariz Rebolledo) Poisson; Media=1 0.4 Probabilidad 0.3 0.2 0.1 0.6321 0.0 0 1 X Gráfica de distribución(Damariz Rebolledo) Poisson; Media=1 0.4 Probabilidad 0.3 0.2 0.1 0.0 Paso 5. Resultados, interpretaciones y toma de decisiones 0 X 0.00008324 7 ¿Cuántas pasas en promedio por galleta deberá agregar a la masa como mínimo? Deberá agregar a la masa como mínimo 0.6321 ¿Cuál es la probabilidad de que una galleta contenga más de seis pasas? La probabilidad de que una galleta contenga más de 6 pasas es del 0.00008324 CONTROL ESTADÍSTICO DE LA CALIDAD Y SEIS SIGMA 3.11. En un almacén se inspeccionan todos los lotes de cierta pieza que se reciben; para ello, se emplean muestras de tamaño 100. Se sabe que el proceso genera 1% de piezas defectuosas y se tiene el criterio de rechazar el lote cuando se encuentran más de tres piezas defectuosas en la muestra. ¿Cuál es la probabilidad de aceptar un lote? ¿Cuál es la probabilidad de que se tengan que inspeccionar 10 lotes antes de rechazar el primero del día? Paso 1. Datos Paso 2. Fórmula Paso 3. Procedimiento Paso 4. Gráfica N : 100, p: 0.01, x < 3 Probabilidad Calculado en minitab Gráfica de distribución (Damariz Rebolledo) Binomial, n=100, p=0.01 0.4 Probabilidad 0.3 0.2 0.1 0.0 0 1 2 3 4 5 6 X Paso 5. Resultados, interpretaciones y decisiones De acuerdo con la gráfica de distribución binomial, la probabilidad de aceptar un lote es de 0.01837. 3.12. Una caja contiene cuatro artículos defectuosos y ocho en buen estado. Se sacan dos artículos al azar. Paso 1. Datos Paso 2. Formula Paso 3. procedimiento M=8 , k=4 , N=12, n=2 CONTROL ESTADÍSTICO DE LA CALIDAD Y SEIS SIGMA - Paso 4. Gráfica Gráfica de distribución(Damariz Rebolledo) Hipergeométrico; N=12; M=8; n=2 0.5 0.9091 Probabilidad 0.4 0.3 0.2 0.1 0.0 0 1 X Gráfica de distribución(Damariz Rebolledo) Hipergeométrico; N=12; M=8; n=2 0.5 0.4242 Probabilidad 0.4 0.3 0.2 0.1 0.0 Paso5. Resultados interpretaciones y toma de decisiones 0 X 2 a) ¿Cuál es la probabilidad de que al menos uno sea bueno? La probabilidad de que sea al menos uno bueno es de P(X>=1)=0.9091 b) ¿Cuál es la probabilidad de que los dos sean del mismo tipo (buenos o malos)? La probabilidad de que los dos sean del mismo tipo buenos o malos es 𝑃 (𝑋 = 2) + 𝑃(𝑋 = 0) = 1 − 𝑃 (𝑋 = 1) 𝑃 = 1 − 𝑂. 4242 = 0.5758 c) ¿Cuál es el valor esperado de los artículos buenos? 𝑀 Valor esperado= 𝑛𝑝 = 𝑛 ∗ 𝑁 8 𝑛𝑝 = 2 ∗ 12 𝑛𝑝 = 0.833 CONTROL ESTADÍSTICO DE LA CALIDAD Y SEIS SIGMA 3.13 Un gerente de producción de cierta compañía está interesado en probar los productos terminados que están disponibles en lotes de tamaño 50. Le gustaría retrabajar el lote si puede estar seguro de que 10% de los artículos están defectuosos en la muestra. Entonces, decide tomar una muestra de tamaño 10 sin reemplazo y retrabajar el lote si encuentra uno o más defectuosos en la muestra. ¿Es éste un procedimiento razonable? Argumente su respuesta. Paso 1. Datos Paso 2. Fórmula Paso 3. Procedimiento N=50 M=5 n=10 Calculado en minitab Calculado en minitab Paso 4. Gráfica Gráfica de distribución (Damariz Rebolledo) Hipergeométrico, N=50, M=5, n=10 Probabilidad 0.4 0.3 0.2 0.1 0.0 0 1 2 3 4 5 X ¿Es éste un procedimiento razonable? Paso 5. Resultados, No ya que está tomando solo una pequeña muestra de toda la población y interpretaciones podría haber más defectuosas en el resto que no está tomando. y toma de decisiones 3.14. Una máquina llena cajas de cereal y lo hace siguiendo una distribución normal con varianza igual a 0.01 onzas. ¿Qué nivel de contenido deberá fijarse en la máquina sí se desea que sólo 1% de las cajas contenga menos de 20 onzas? Paso 1. Datos 𝜇 = 20 𝜎 = 0.01 Paso 2. Fórmula Calculado en Minitab Paso 3. Procedimiento Calculado en Minitab CONTROL ESTADÍSTICO DE LA CALIDAD Y SEIS SIGMA Paso 4. Gráficas Gráfica de distribución Damariz Rebolledo Normal, Media=20, Desv.Est.=0.01 40 Densidad 30 20 10 0 0.01 20 X Paso 5. Resultados, interpretaciones y toma de decisiones. 20.02 El nivel de contenido que deberá fijarse en la máquina para que el 1% de las cajas contenga menos de 20 onzas es de 20.02. 3.15 En una compañía aérea 40% de las reservaciones que se hacen con más de un mes de anticipación son canceladas o modificadas. En una muestra de 20 reservaciones ¿Cuál es la probabilidad de que 10,11 o 12 reservaciones no hayan cambiado? a) Conteste usando la distribución binomial. CONTROL ESTADÍSTICO DE LA CALIDAD Y SEIS SIGMA b) Resuelva con base en la distribución normal con la media y la varianza de la binomial considerando el rango de 9.5 a 12. 3.16. Se hace un estudio de la duración en horas de 20 focos y se obtienen los siguientes datos: 138.62, 37, 62, 25.00, 59.36, 87.50, 75.49, 56.46, 33.86, 61.30, 323.52, 1.50, 186.34, 193.65, 11.34, 52.20, 381.41, 2.68. Paso 1. Datos Paso 2. Fórmulas Paso 3. Procedimiento Paso 4. Gráfica 138.62, 37, 62, 25.00, 59.36, 87.50, 75.49, 56.46, 33.86, 61.30, 323.52, 1.50, 186.34, 193.65, 11.34, 52.20, 381.41, 2.68. 1 -x Calculado en minitab CONTROL ESTADÍSTICO DE LA CALIDAD Y SEIS SIGMA Paso 5 Resultados, Interpretaciones y toma de decisiones a) Encuentre, mediante gráficas de probabilidad, una distribución continua que se ajuste de manera adecuada a los datos. La gráfica de probabilidad se encuentra en el paso 4 b) Considere una distribución exponencial con parámetro = 1 - x obtenga la probabilidad de que los focos duren más de 300 horas La probabilidad de que los focos duren más de 300 horas es del 95% 3.17 Una máquina realiza cortes de manera automática de ciertas tiras metálicas con media µ=40,1 cm y una desviación estándar 0,2 cm. La media óptima de tales tiras debe ser de 40 cm con un tolerancia de más o menos 0,5 cm. Suponiendo distribución normal estime el porcentaje de las tiras que cumple con las especificaciones Paso 1. Datos Paso 2. Fórmula Paso 3. Procedimiento Media: µ=40.1 cm Desviación estándar: 0.2 cm Media Optima: 40 cm Tolerancia: 0.5 cm Especificación inferior= 39,5 Especificación Superior = 40,5 X: Medida de corte de las tiras metálicas (cm) ~ N( µ,σ2) Z= (X-µ)/σ P( 39,5 < X <40,5)= P[( 39,5-40,1)/0,2 < Z < ( 40,5-40,1)/0,2]=??? P[3< Z< 2]=0,976 Paso 4. Gráficas CONTROL ESTADÍSTICO DE LA CALIDAD Y SEIS SIGMA Paso 5. Resultados interpretaciones y toma de decisiones. a) Si usted tiene que reportar la tendencia central de fallas, ¿qué número reportaría? ¿Por qué? Si el objetivo es reportar que valores de número de fallas se encuentran centrados reportaría el 6 que representa a la mediana ya que esto me confirma en un 50% existen fallas menores a 6 y en otro 50% son mayores. Y también porque la mediana no se ve afectada cuando existe un dato o cuando la distribución de datos se encuentra sesgadas. b) ¿La discrepancia entre la media y la mediana se debió a que durante varios meses ocurrieron muchas fallas? Se podría decir que si, ya que si el número de muestra es relativamente grande o también se podría confirmar que en estas tomas de medidas de fallas pueda que exista un dato raro o hay un sesgo muy importante. 3.18 Verifique si los siguientes datos se ajustan bien a una distribución normal. Paso 1 Datos Paso 2 Formula Paso 3 Procedimiento Paso 4. Gráfica 2.51 2.10 2.32 2.69 2.29 2.31 2.19 2.09 2.48 2.65 2.50 2.48 2.27 2.26 2.86 3.73 2.98 1.08 2.25 3.30 3.15 2.27 2.23 2.61 2.11 5.70 2.31 2.00 2.35 1.76 2.91 1.84 2.09 2.78 2.59 1.87 2.59 2.07 3.10 2.32 2.59 2.42 2.04 2.13 1.98 2.02 2.18 2.26 2.10 2.60 Calculado en minitab Calculado en minitab Paso 5 De acuerdo al valor p nos damos cuenta que los datos no siguen una Resultados, distribución normal. Ya que estos estan dentro de el rango 0.05 ó 0.10. interpretaciones y toma de decisiones CONTROL ESTADÍSTICO DE LA CALIDAD Y SEIS SIGMA 3.19. Una compañía refresquera históricamente reporta un promedio de 0.5% de botellas por debajo del nivel de llenado estipulado. Considere una muestra aleatoria de 1 000 refrescos a los que se mide el volumen cuidadosamente. Paso. 1 Datos Paso 2 Formulas Paso 3 Sustitución Paso 4 Gráficas Paso 5 Resultados, Interpretacione s y toma de decisiones Promedio= 0.5% Muestras aleatorias (N)= 1000 X= 5,10 𝑛 ( )= 𝑃 𝑥 (1 − 𝑝)𝑛−𝑥 𝑥 𝑛 ( )= 0.55 (1 − 0.5)1000−5 = 0 𝑥 𝑛 ( )= 0.510 (1 − 0.5)1000−10 = 0 𝑥 a) ¿Cuál es la probabilidad de que 5 o menos botellas tengan un nivel insatisfactorio de llenado? La probabilidad de que 5 o más botellas tengan un nivel de insatisfacción de llenado es de 0. b) ¿Cuál es la probabilidad de que 10 o más botellas tengan un nivel insatisfactorio de llenado? La probabilidad de que 10 o más botellas tengan un nivel de insatisfacción de llenado es de 0. c) Un grupo de consumidores mide cuidadosamente el volumen de 500 botellas y encuentran 10 o más con un nivel insatisfactorio de llenado. ¿Qué deberían concluir? justifique su respuesta. Las técnicas de probabilidad utilizadas en los refrescos no son las adecuadas. 3.20 Una fábrica de muebles encontró que el número de quejas concernientes a los pedidos de madera enviados por un proveedor son 6 en promedio por año. ¿Cuál es la probabilidad de que no haya ningún reclamo el año próximo? ¿Y en el próximo cuatrimestre? Paso. 1 Datos Paso. 2 Formula Paso. 3 Procedimiento Paso. 4 Gráfica µ= 6 quejas f(x, 𝜆)= 0 𝑋! f(0;6)= e (6) /0= 2.4787 x 10-3 CONTROL ESTADÍSTICO DE LA CALIDAD Y SEIS SIGMA -6 𝑒 −𝜆 𝜆𝑋 - Paso. 5 La probabilidad de que no haya ningun reclamo el próximo año es de Resultados, 2.4787 x 10-3 interpretaciones y toma de decisiones 3.21 Una máquina produce artículos defectuosos con probabilidad p = 0.05. Suponiendo independencia entre los artículos, ¿cuál es la probabilidad de que el vigésimo artículo sea el primer defectuoso? ¿Y cuál de que el primero ocurra en el lugar vigésimo o antes? Paso 1. Datos P= 0.05 µ1 = 20 µ2 ≤ 20 Paso 2. Fórmula Paso 3. Procedimiento Paso 4. Gráficas Calculado en minitab Calculado en minitab Gráfica de distribución Damariz Rebolledo Normal, Media=10, Desv.Est.=1 0.4 Densidad 0.3 0.2 0.1 0.05 0.0 10 X Paso 5. Resultados, interpretaciones y toma de decisiones 11.64 La probabilidad de que el vigésimo artículo salga defectuoso es de p = 0.396. La probabilidad de que el primero que ocurra sea el vigésimo o antes es de p = 0.572 3.22. Suponga que Z es una variable aleatoria normal estándar (N (0,1)). Calcule las siguientes probabilidades: Paso 1: Datos Paso 2: Formula a) P (Z<-0.62) 𝑃( CONTROL ESTADÍSTICO DE LA CALIDAD Y SEIS SIGMA 𝑋−µ X−µ ≤ ) σ 𝜎 Paso 3: Sustitución Paso 4: Resultado 𝑃( −0.62 − 0 −0.62 − 0 ≤ ) 1 1 0,267629 b) P (Z> 1.06) Paso 1: Datos Paso 2: Formula Paso 3: Sustitución 𝑃( 𝑃( 1.06 − 0 1.06 − 0 ≤ ) 1 1 Paso 4: Resultado 0,855428 c) P (-0.37< Z <0.51) Paso 1: Datos Paso 2: Formula Paso 3: Sustitución 𝑃( 𝑃( 𝑋−µ X−µ ≤ ) σ 𝜎 −0.37 − 0 0.51 − 0 ≤ ) 1 1 Paso 4: Resultados -0,37 0,355691 0,51 0,694974 d) P (IZI 0.47) Paso 1: Datos Paso 2: Formula Paso 3: Sustitución 𝑋−µ X−µ ≤ ) σ 𝜎 𝑃( 𝑃( Paso 4: Resultados CONTROL ESTADÍSTICO DE LA CALIDAD Y SEIS SIGMA 𝑋−µ X−µ ≤ ) σ 𝜎 0.47 − 0 0.47 − 0 ≤ ) 1 1 0,680822 3.23. Una variable aleatoria discreta X tiene la siguiente función de probabilidades: a) Represente con una gráfica de barras la distribución de probabilidad de esta variable X. Distribución de Probabilidad (Damariz Rebolledo) 0.54 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 0.3 0.1 1 2 0.05 3 0.01 4 5 b) Dibuje también la función de distribución acumulada F(x). Distribución Acumulada (Damariz Rebolledo) 0.08 0.06 0.0598568 0.0438386 0.0333061 0.04 0.0310271 0.0292983 0.02 0 1 2 3 4 5 c) Encuentre la media y la desviación estándar de la variable aleatoria X. La media es de: 3 y la desviación estándar de: 1.581 CONTROL ESTADÍSTICO DE LA CALIDAD Y SEIS SIGMA 3.24 Suponga que la probabilidad de detectar una grieta de 0.003 pulgadas en una pieza metálica es de 0.20. Si se envían a inspección una serie de estas piezas, sea Y el número de piezas que será necesario revisar para observar la primera grieta. Utilice un modelo de probabilidad adecuado y obtenga lo siguiente: a) P (Y ≥ 5) La probabilidad que Y sea mayor igual a 5 es de 0.4096 (CALCULADO EN EXCEL) b) P (Y ≤ 4) La probabilidad que Y sea menor igual a 4 es de 0.4096 (CALCULADO EN EXCEL) c) E (Y) La probabilidad de E (Y) es de 0.4096 (CALCULADO EN EXCEL) d) Var (Y) La probabilidad de Var (Y) es de 0.4096 (CALCULADO EN EXCEL) 3.25. Sí X sigue una distribución normal con media 5 y varianza 4, encuentra la constante c tal que: a) P(X<c) = 0.8749 Paso 1. Datos: Paso 2. Fórmula: Paso 3. Procedimiento: 𝑃(𝑋 < 𝐶 ) = 0.8749 𝑃(𝑍 < 1.15) = 0.8749 𝜇=5 𝜎=4 TABLA DE DISTRIBUCIÓN NORMAL Z 𝑋 = 5 + 1.15 ∗ 2 = 7.3 Paso 4. Gráfica: Paso 5. La constante c de una distribución normal Z de 1.15 con una media de Resultados, 5 y varianza de 4, dado que el valor X es menor, fue 7.3. interpretaciones y toma de decisiones. a) P(c<X) = 0.6406 Paso 1. Datos: Paso 2. Fórmula: 1 − 𝑃 (𝑍 > 0.6406) = 0.3594 𝑍 = −0.36 𝜇=5 𝜎=4 TABLA DE DISTRIBUCIÓN NORMAL Z CONTROL ESTADÍSTICO DE LA CALIDAD Y SEIS SIGMA Paso 3. Procedimiento: 𝑋 = 5 − 0.36 ∗ 2 = 4.28 Paso 4. Gráfica: Paso 5. La constante c de una distribución normal Z de -0.36 con una media de Resultados, 5 y varianza de 4, dado que el valor X es mayor, fue 4.28. interpretaciones y toma de decisiones. c) P(|X-5|<c) = 0.95 Paso 1. Datos: Paso 2. Fórmula: Paso 3. Procedimiento: 𝑃 ((𝑋 − 5) < 𝐶 ) = 0.95 𝑍 = 1.65 𝜇=5 𝜎=4 TABLA DE DISTRIBUCIÓN NORMAL Z 𝑋 = (5 + 1.65 ∗ 2) + 5 = 13.3 Paso 4. Gráfica: - Paso 5. La constante c de una distribución normal Z de 1.65 con una media de 5 Resultados, y varianza de 4, dado que el valor X es menor, con un valor absoluto de interpretaciones y 5, fue 13.3. toma de decisiones. 3.26. El grosor de ciertas placas de metal puede considerarse una variable aleatoria normal con media µ=20 mm y una desviación estándar de ð=0.04 mm. Paso 1. Datos. X: medida de corte de las tiras metálicas (cm) ~ N( µ,σ2) LI: 19.95 LS: 20.10 µ=20 Paso 2. Formulas. Paso3. Procedimiento. CONTROL ESTADÍSTICO DE LA CALIDAD Y SEIS SIGMA Z= (X-µ)/σ Calculado en minitab Paso 4. Gráfica Gráfica de distribución a) Damariz Rebolledo Normal, Media=20, Desv.Est.=0.04 10 0.8881 Densidad 8 6 4 2 0 19.95 20 20.1 X Gráfica de distribución b) Damariz Rebolledo Normal, Media=20, Desv.Est.=0.04 0.5161 10 Densidad 8 6 4 2 0 Paso 5. Resultados, interpretaciones y toma de decisiones. 19.972 20 X 20.028 a) ¿Qué porcentaje de placas defectuosas se esperaría observar si las especificaciones son [19.95, 20.10]? Se espera un porcentaje de 88.81% de placas defectuosas. b) ¿Cuánto tendrían que valer las especificaciones para que el desperdicio fuera a lo más de 5%? Deberían de estar entre los 19.972 y 20.028 para tener un 5% de desperdicio aproximadamente. 3.27. Una compañía automotriz otorga una garantía de 5 años o 100000 kilómetros para el diferencial de un automóvil. Históricamente 5 % de los compradores de estos autos han reclamado el servicio de garantía. Paso 1. Datos Garantía: 5% de los compradores CONTROL ESTADÍSTICO DE LA CALIDAD Y SEIS SIGMA Paso 2. Fórmula Paso 3. Procedimiento Paso 4. Gráficas Paso 5. Resultados interpretaciones y toma de decisiones. 𝑃 (𝑋 = 𝑥 ) 𝑃 (𝑥 = 0) = 10! (0.05)0 (1 − 0.05)10−0 = (0.95)10 = 0.5987 0! (10 − 0)! - a) Encuentre la probabilidad de que a un nuevo distribuidor le reclamen la garantía en el décimo auto vendido. Existe el 59.87% de que no reclamen la garantía y un 40.1263% de que la reclamen b) Sea X igual al número de autos vendidos hasta el primer reclamo. Encuentre el valor esperado de X, su varianza y la desviación estándar. 𝑛 𝑛! ( )= 𝑥 𝑥! (𝑛 − 𝑥 )! 2 𝜎 = 𝑉(𝑋) = 𝑛𝑝(1 − 𝑝) 𝜎 = √𝑉(𝑋) = 𝑛𝑝(1 − 𝑝) 3.28 En relación a una distribución uniforme: a) Represente gráficamente la función de probabilidad de una distribución uniforme discreta que toma los valores {1,2,3,4,5}. CONTROL ESTADÍSTICO DE LA CALIDAD Y SEIS SIGMA b) Grafique la función de densidad de una distribución uniforme continua con parámetros a= 1 y b = 5. c) Comente las diferencias entre los dos casos anteriores. d) Calcule la media y varianza para ambas distribuciones. La desviación estándar es más grande en la gráfica número dos, ya que la cantidad de datos solo son dos, no como en la gráfica número uno que son cinco datos. Grafica Numero Uno: Media: 3 Desviación Estándar: 2.828 Grafica Numero Dos: Media: 3 Desviación Estándar:1.581 e) Grafique la distribución acumulada para ambos casos. Gráfica de distribución (Damariz Rebolledo) Normal; Media=3; Desv.Est.=1,581 0,25 Densidad 0,20 0,15 0,10 0,05 0,025 0,00 0,025 -0,09870 3 X 6,099 3.29. Vaya al capítulo 13 lea y reporte los aspectos básicos sobre las distribuciones exponenciales, Weibull y lognormal. Distribución exponencial Weibull: Modelo muy versátil debido a que su función de riesgo puede ser decreciente, constante o creciente, dependiendo del valor de su parámetro de forma. CONTROL ESTADÍSTICO DE LA CALIDAD Y SEIS SIGMA Dada su flexibilidad, la distribución Weibull es de las más utilizadas para describir la vida de productos, ya que permite modelar productos con tasas de riesgo creciente, constante y decreciente. Distribución exponencial lognormal: Modela el tiempo de falla de procesos de degradación (fatiga, desgaste), y puede servir cuando los tiempos a la falla son el resultado de muchos efectos pequeños que actúan de manera multiplicativa El modelo lognormal es apropiado cuando los tiempos a la falla son el resultado de muchos efectos pequeños que actúan de manera multiplicativa. Esto hace que al sacar el logaritmo dichos efectos se conviertan en efectos que actúan de manera aditiva sobre el logaritmo del efecto global o logaritmo del tiempo de falla, y estos últimos tienden a distribuirse normal. 3.30. Con la distribución del ejercicio 25 del capítulo 13, conteste lo siguiente: Paso 1. Datos: 1 𝑓 (𝑡 ) = (10000) 𝑒 −𝑡⁄ 1000 Paso 2. Fórmula: Calculado en Excel Paso 3. Procedimiento: Calculado en Excel 𝑡>0 Histograma de RESISTENCIA Paso 4. Gráfica: Normal Media 27.22 Desv.Est. 1.430 N 55 14 12 Frecuencia 10 8 6 4 2 0 24.0 25.6 27.2 28.8 30.4 RESISTENCIA a) Grafique la función de densidad, comente en qué rango Paso 5. es el tiempo de vida del producto. Resultados, b) Obtenga la probabilidad de que el producto dure más de interpretaciones y 100 horas, más de 500, y entre 100 y 500 horas. toma de decisiones. La probabilidad es de 0.2675 (CALCULADO EN EXCEL) c) Calcule la media y varianza para esta distribución. Media Varianza 202.50 5.00 CONTROL ESTADÍSTICO DE LA CALIDAD Y SEIS SIGMA 3.31 Mediante un software estadístico genere 200 muestras de tamaño cinco de una distribución normal estándar. Por ejemplo en Excel con =DISTR.NORM. INV(ALEATORI0(),0,1) se genera un número aleatorio de una distribución normal estándar, por lo tanto se puede repetir esta instrucción en cinco columnas, y en 200 renglones. Para cada muestra de tamaño 5 calcule la media, la desviación estándar de la muestra. Además haga lo siguiente. Paso 1. Datos Paso 2. Fórmula: 𝑛 Mediana= 2 Paso 3. Procedimiento: 𝜀𝑖 x= 𝑛 𝑠2 = 𝜀(𝑋𝑖−𝑋)2 𝑛−1 S=√ 𝜀(𝑋𝑖−𝑥)2 𝑛−1 𝑋̅ T= 𝑆/ √𝑛 Muestras calculadas en excel =DISTR.NORM. INV(ALEATORI0 Calculado en Minitab CONTROL ESTADÍSTICO DE LA CALIDAD Y SEIS SIGMA Paso 4. Gráfica: Gráfica de distribución (Damariz Rebolledo) 0.4 Densidad 0.3 0.2 0.1 0.05 0.0 X 0 2.015 Informe de resumen de Datos aleatorios (Damariz Rebolledo) Prueba de normalidad de Anderson-Darling A-cuadrado Valor p Media Desv.Est. Varianza Asimetría Curtosis N Mínimo 1er cuartil Mediana 3er cuartil Máximo 0.36 0.457 0.00317 1.04756 1.09738 0.0634387 -0.0921733 201 -2.97897 -0.73418 0.01053 0.75541 3.06599 Intervalo de confianza de 95% para la media -3 -2 -1 0 1 2 -0.14253 3 0.14887 Intervalo de confianza de 95% para la mediana -0.20320 0.08870 Intervalo de confianza de 95% para la desviación estándar 0.95419 1.16135 Intervalos de confianza de 95% Media Mediana -0.2 Paso 5. Resultados, interpretaciones y toma de decisiones. -0.1 0.0 0.1 0.2 En la gráfica del histograma se puede observar que parece ser una distribución de Chi-cuadrada, también al elevar los valores al cuadrado. Así cómo también se observa que la distribución es bastante parecida a una T student con n grados de libertad. 3.32. Ilustrando el teorema central del límite. Utilice un software estadístico para generar 300 muestras aleatorias cada una de tamaño 4 de una distribución uniforme en el intervalo [6,14]. Cada muestra se puede hacer con Excel con la instrucción ALEATORIO( )*(14-6)+6. Calcule la media para cada muestra, a las 300 medias represéntelas en un histograma. CONTROL ESTADÍSTICO DE LA CALIDAD Y SEIS SIGMA Paso 1. Datos Paso 2. Fórmula Paso 3. Procedimiento Muestras (HOJA DE EXCEL) =ALEATORIO( )*(14-6)+6 Cálculos realizados en Excel y Minitab CONTROL ESTADÍSTICO DE LA CALIDAD Y SEIS SIGMA Paso 4. Gráficas Histograma de MUESTRAS (Damariz Rebolledo) 25 Frecuencia 20 15 10 5 0 6.0 7.5 9.0 10.5 12.0 13.5 MUESTRAS Paso 5. Resultados interpretaciones y toma de decisiones. a) Comente la forma del histograma. En el histograma se muestran claramente el resultado de un experimento aleatorio el cual no puede anticiparse aun cuando se repita bajo las mismas condiciones de aleatoriedad; mas sin embargo en la gráfica se muestra el conjunto de resultados posibles de un experimento aleatorio. b) Obtenga la media de las medias y la desviación es-tándar de las medias. Variable media desv.est. Muestras 9.989 2.310 c) ¿de manera aproximada qué distribución siguen las medias de las muestras? Argumente. Siguen la distribución de probabilidad x en donde se describe el conjunto de los valores posibles que podrían tomar las 300 variables de x con la probabilidad asociada a cada uno de los valores. CONTROL ESTADÍSTICO DE LA CALIDAD Y SEIS SIGMA 3.33 Repita el ejercicio anterior, pero ahora use un tamaño de muestra de tamaño 10. Comente sobre las similitudes y diferencias. Paso 1. Datos: Paso 2. Fórmula (HOJA DE EXCEL) =ALEATORIO( )*(14-6)+6 CONTROL ESTADÍSTICO DE LA CALIDAD Y SEIS SIGMA Paso 3. Procedimiento: Calculado en Excel y Minitab Paso 4. Gráfica: Dámariz Rebolledo 25 Frecuencia 20 15 10 5 0 6.0 7.5 9.0 1 0.5 1 2.0 1 3.5 muestras Paso 5. Resultados, interpretaciones y toma de decisiones. a) Comente la forma del histograma. En el histograma se muestran claramente el resultado de un experimento aleatorio el cual no puede anticiparse aun cuando se repita bajo las mismas condiciones de aleatoriedad; mas sin embargo en la gráfica se muestra el conjunto de resultados posibles de un experimento aleatorio. b) Obtenga la media de las medias y la desviación estándar de las medias. Variable Media Desv.Est. Muestras 10.016 2.301 c) ¿De manera aproximada qué distribución siguen las medias de las muestras? Argumente. Siguen la distribución de probabilidad X en donde se describe el conjunto de los valores posibles que podrían tomar las 300 variables de X con la probabilidad asociada a cada uno de los valores. CONTROL ESTADÍSTICO DE LA CALIDAD Y SEIS SIGMA 3.34. Repita el ejercicio 32 pero ahora utilice la distribución exponencial con parámetro 𝝀=3 para generar las muestras. En Excel los números aleatorios exponenciales se pueden obtener con = -LN (1-ALEATORIO())*𝝀 Paso 1. Datos: 𝜆=3 CONTROL ESTADÍSTICO DE LA CALIDAD Y SEIS SIGMA 300 medias Paso 2. Fórmula: (HOJA DE EXCEL) Las 300 muestras con tamaño de 4 y las 300 medias de estas. (MINITAB) Se calculó la media y Desv. Estándar. Paso 3. Procedimiento: (HOJA DE EXCEL) = -LN (1-ALEATORIO())*𝜆 Paso 4. Gráfica: Histograma de C1 (Damariz Rebolledo) Normal 50 Media 2.995 Desv.Est. 1.760 N 300 Frecuencia 40 30 20 10 0 0.0 1.5 3.0 4.5 6.0 7.5 9.0 10.5 C1 Paso 5. Resultados, interpretacione s y toma de decisiones. a) Comente la forma del histograma. El histograma presentó una mayor concentración de las 300 medias hacia el lado izquierdo entre 0.5 a 6.0 teniendo así una media de 2.995 con una desviación estándar de 1.760. b) Obtenga la media de las medias y la desviación estándar de las medias. Media=2.995 Desv. Est=1.760 c) ¿De manera aproximada qué distribución siguen las medias de las muestras? Argumente. La distribución de 300 medias de las 300 muestras de esta población es aproximadamente normal debido a que no está en el límite central y está un poco desviada a la izquierda. CONTROL ESTADÍSTICO DE LA CALIDAD Y SEIS SIGMA CAPITULO 4 – ELEMENTOS DE INFERENCIA ESTADÍSTICA (MAPA SEMÁNTICO) Población y muestra Población Parámetro Conjunto formado por la totalidad de individuos, objetos o medidas de interés sobre los que se realiza un Estudio. Es un valor representativo y descriptivo de una población, como la media o la desviación estándar. Inferencia estadística Estadístico Es hacer afirmaciones válidas acerca de una población o proceso con base en la información contenida en una muestra. Muestra Parámetros y Estadísticos Parte de una población. Que conserva las características más importantes de dicha población. Distribuciones de Probabilidad Estimación Puntual y Por Intervalo Distribución de una variable aleatoria x Error Estándar Relaciona el conjunto de los valores posibles de X con la probabilidad asociada a éstos. Desviación estándar de un estadístico que ayuda a determinar qué tan precisas son las estimaciones que se realizan con tal estadístico. Estimador Puntual Estadístico que estima el valor de un parámetro. Medidas o funciones de los datos muéstrales que ayudan a caracterizar la distribución de tales datos. Intervalo de Confianza Forma de estimar un parámetro en la cual se calcula un intervalo que indica con cierta probabilidad un rango donde puede estar el parámetro. Hipótesis Estadística Es una afirmación sobre los valores de los parámetros o una característica de una población o proceso, que puede probarse a partir de la información contenida en una muestra. Hipótesis Nula 𝑯𝒐 Planteamiento de una hipótesis estadística Afirmación acerca del valor de un parámetro poblacional que se considera válida para desarrollar el procedimiento de prueba. Hipótesis Alternativa 𝑯𝑨 Afirmación que se aceptará si los datos muéstrales proporcionan evidencia de que la hipótesis nula es falsa. Inferencia Estadística Estadístico de Prueba Región de Rechazo Estadístico de Prueba Conjunto de posibles valores del estadístico de prueba que llevan a rechazar 𝐻𝑜 . Fórmula que permite calcular un número a partir de los datos y de 𝐻𝑜 . La magnitud de este número permite discernir si 𝐻𝑜 se rechaza o no. Región de aceptación Hipótesis Bilateral Conjunto de posibles valores del estadístico de prueba donde no se rechaza 𝐻𝑜 . Es cuando la hipótesis alternativa es del tipo “no es igual”, por lo que puede haber evidencia en contra de 𝐻𝑜 en cualquier lado de la distribución de referencia. Prueba de Hipótesis Pruebas de una y dos colas Hipótesis Unilateral Error Tipo II Es cuando se rechaza una 𝐻𝑜 que es verdadera. Riesgo de una decisión equivocada 3 Criterios de Rechazo o Aceptación equivalentes Significancia observada a significancia predefinida Intervalo de Confianza CONTROL ESTADÍSTICO DE LA CALIDAD Y SEIS SIGMA Es cuando se acepta una 𝐻𝑜 que es falsa. Potencia de la Prueba Es cuando la hipótesis alternativa es del tipo “no es igual”, por lo que puede haber evidencia en contra de 𝐻𝑜 en cualquier lado de la distribución de referencia. Estadístico de prueba frente a valor critico Error Tipo II Es la probabilidad de rechazar 𝐻𝑜 cuando es falsa. Significancia Predefinida Es el riesgo máximo que se está dispuesto a correr con respecto al error tipo I. Significancia Calculada/Observada (valor –p) Ces el área bajo la distribución de referencia más allá del valor del estadístico de prueba. PROBLEMAS 4.1 En un estudio estadístico, ¿qué es una población y para qué se toma una muestra? La población es un conjunto formado por la totalidad de individuos, objetos o medidas de interés sobre los que se realizan un estudio. La muestra se utiliza cuando tenemos una población infinita y por medio de cálculos muestréales adecuados nos permitirá hacer afirmaciones acerca de toda la población. 4.2 ¿Qué significa probar una hipótesis? Es un estudio estadístico por lo general se busca responder con cierto nivel de confianza la pregunta planteada para poder tomar las decisiones pertinentes. 4.3 ¿Qué implica realizar una estimación puntual y en qué consiste la estimación por intervalo para la media? El estimador puntual de un parámetro es un estadístico que genera un valor numérico simple, y que se utiliza para proporcionar una estimación del valor del parámetro desconocido. Por ejemplo, con frecuencia es necesario estimar el valor de: o La media 𝜇 del proceso (o población objeto de estudio). o La varianza 𝜎 o la desviación estándar del proceso. o La proporción p de artículos defectuosos. 4.4. ¿Por qué no es suficiente la estimación puntual y porqué se tiene que recurrir a la estimación por intervalo? Porque a veces es conveniente obtener unos límites entre los cuales se encuentre el parámetro con un cierto nivel de confianza, en este caso necesitamos de estimación por intervalos. 4.5. Explique el papel que desempeñan las distribuciones de probabilidad en la inferencia estadística. Una distribución de probabilidad Distribución de una variable o X relaciona el conjunto de valores posibles de aleatoria X, con la probabilidad asociada a estos valores. Una distribución de probabilidad también se puede considerar una distribución teórica de frecuencia, que describe cómo se espera que varíen los resultados de la variable aleatoria. De esta forma, lo aleatorio se modela (describe, acota), y al observar una realización específica de un estadístico es posible corroborar o rechazar supuestos (prueba de hipótesis) o hacer estimaciones poblacionales. Las distribuciones de probabilidad que más se emplean en intervalos de confianza y pruebas de hipótesis son las distribuciones: normal,iT de Student,jicuadrada y F. CONTROL ESTADÍSTICO DE LA CALIDAD Y SEIS SIGMA 4.6 En el contexto de estimación por intervalo, señale en forma específica qué parámetro utiliza cada una de las siguientes distribuciones para realizar estimaciones: T de Student, normal y Chi-cuadrada. T de Student µ Chicuadrado σ (sigma al cuadrado) 4.7 Explique que es un estadístico de prueba y señale su relación con los intervalos de aceptación y rechazo Un estadístico de prueba es un valor estandarizado que se calcula a partir de los datos de la muestra durante una prueba de hipótesis. Puede utilizar los estadísticos de prueba para determinar si puede rechazar la hipótesis nula. 4.8. ¿Qué son los errores tipo 1 y tipo 11 en las pruebas de hipótesis? Error tipo I: Es cuando se rechaza un Ho que es verdadera. Error tipo II: Es cuando se acepta que una Ho que es falsa. 4.9 Señale y describa de manera breve los tres criterios equivalentes de rechazo de una hipótesis. Estadístico de prueba frente a valor crítico: Este criterio se utilizó en el ejemplo previo y es el que de manera tradicional se empleaba antes de los avances en materia computacional que ahora existe. Este método consiste en rechazar H0 sí el estadístico de prueba cae en la región de rechazo que está delimitada por el valor crítico. Significancia observada frente a significancia predefinida: La significanda predefinida que se denota con o: es el riesgo máximo que se está dispuesto a correr por rechazar H0 indebidamente (error tipo I). Mientras que la significanda observada o calculada, también conocida como p-value o valor-p, es el área bajo la distribución de referencia que está más allá del valor del estadístico de prueba. Significancia observada frente a significancia predefinida: La significanda predefinida que se denota con o: es el riesgo máximo que se está dispuesto a correr por rechazar H0 indebidamente (error tipo I). Mientras que la significanda observada o calculada, también conocida como p-value o valor-p, es el área bajo la distribución de referencia que está más allá del valor del estadístico de prueba. 4.10 Mencione un ejemplo de datos o muestras pareadas Son conocidas como muestras asociadas Ejemplo: Medir la presión arterial a 10 personas por la mañana Medir la presión arterial a las mismas 10 personas por la tarde. CONTROL ESTADÍSTICO DE LA CALIDAD Y SEIS SIGMA 4.11. En la elaboración de envases de plástico es necesario garantizar que cierto tipo de botella en posición vertical tenga una resistencia mínima de 50 kg de fuerza. Para asegurar esto, en el pasado se realizaba una prueba del tipo pasa-no-pasa, donde se aplicaba la fuerza mínima y se veía si la botella resistía o no. En la actualidad se realiza una prueba exacta, en la que mediante un equipo se aplica fuerza a la botella hasta que ésta cede, y el equipo registra la resistencia que alcanzó la botella. Paso 1. Datos: 𝑆=3 X = 55.2 𝑁. 𝐶 = 95% 𝜇 = 52 𝑥 = 50 𝑘𝑔 𝑓𝑢𝑒𝑟𝑧𝑎 𝑛 = 20 𝛼 = 0.05 Paso 2. Fórmula: 𝑺 ̅ − 𝒕𝜶 𝑿 , 𝒏−𝟏 ̅ + 𝒕𝜶 𝑿 , 𝒏−𝟏 𝟐 𝟐 √𝒏 𝑺 √𝒏 𝒗= 𝒏−𝟏 Paso 3. Sustitución: 𝟓𝟓. 𝟐 − (𝟐. 𝟎𝟗𝟑) 𝟓𝟓. 𝟐 + (𝟐. 𝟎𝟗𝟑) 𝟑 √𝟐𝟎 𝟑 √𝟐𝟎 𝒗 = 𝟐𝟎 − 𝟏 = 𝟏𝟗 Paso 4. Operaciones: Límite inferior =53.79 Límite superior =56.60 Paso 5. Datos: Paso 6. Fórmula: 𝑆=3 X = 55.2 𝑁. 𝐶 = 95% 𝜇 = 52 𝑥 = 50 𝑘𝑔 𝑓𝑢𝑒𝑟𝑧𝑎 𝑛 = 20 𝛼 = 0.05 (𝒏 − 𝟏)𝑺𝟐 𝝌𝟐𝜶 𝟐 , 𝒏−𝟏 (𝒏 − 𝟏)𝑺𝟐 𝝌𝟐 𝜶 𝟏− , 𝒏−𝟏 𝟐 𝒗= 𝒏−𝟏 CONTROL ESTADÍSTICO DE LA CALIDAD Y SEIS SIGMA Paso 7 Sustitución: (𝟐𝟎 − 𝟏)(𝟑)𝟐 𝟑𝟐. 𝟖𝟓𝟐 (𝟐𝟎 − 𝟏)(𝟑)𝟐 𝟖. 𝟗𝟎𝟕 𝒗 = 𝟐𝟎 − 𝟏 = 𝟏𝟗 Paso 8. Operaciones: Límite inferior: 5.2051 Límite superior: 19.1983 Paso 9. Resultados, interpretaciones y toma de decisiones. a) ¿Qué ventajas y desventajas tiene cada método? 1° Método: Paso – no pasa Ventajas: Es más rápido Desventajas: Imprecisión en los datos 2°Método: Hacer pruebas de resistencia Ventajas: Precisión en los datos Desventaja: Es más lento b) Para evaluar la resistencia media de los envases se toma una muestra aleatoria de n= 20 piezas. De los resultados se obtiene que X = 55.2 y S= 3. Estime con una confianza de 95% ¿cuál es la resistencia promedio de los envases? La resistencia promedio de los envases se encuentra entre 53.79 y 56.60. c) Antes del estudio se suponía que 11= 52. Dada la evidencia de los datos, ¿tal supuesto es correcto? No, la media de 52 es incorrecta porque está por debajo del límite inferior. d) Con los datos anteriores, estime con una confianza de 95% ¿cuál es la desviación estándar poblacional (del proceso)? La desviación estándar poblacional del proceso se encuentra entre 5.2051 y 19.1983. 4.12 Para evaluar el contenido de nicotina en cierto tipo de cigarros elaborados por un proceso se toma una muestra aleatoria de 40 cigarrillos y se obtiene que X= 18.1 mg y S= 1.7. CONTROL ESTADÍSTICO DE LA CALIDAD Y SEIS SIGMA Paso 1. Datos: 𝑥̅ = 18.1 n=40 S=1.7 Paso 2. Fórmula: Mediana= 𝑛 2 𝜀𝑖 x= 𝑛 𝑠2 = 𝜀(𝑋𝑖−𝑋)2 𝑛−1 𝑛= Paso 3. Procedimiento 𝜀(𝑋𝑖−𝑥)2 S=√ 𝑛−1 𝑍 2 𝛼⁄2 𝑝̂ (1 − 𝑝̂̂ ) 𝐸2 Calculado en Minitab (2.042)2 (0.05)(1 − 0.05) 𝑛= = 1.2378 (0.4)2 Paso 4. Gráficas Paso 5. Resultados, interpretaciones y toma de decisiones. a) Estime con una confianza de 95%, ¿cuál es la cantidad de nicotina promedio por cigarro? La cantidad promedio de nicotina por cigarro se encuentra entre 17.556 y 18.644. b) ¿Cuál es el error de estimación en el inciso anterior? El error de estimación es de 0.269. c) Antes del estudio se suponía que μ = 17.5. Dada la evidencia de los datos, ¿se puede rechazar tal supuesto? No, porque se encuentra dentro de los limites calculados en el inciso a. d) Si se quiere estimar la media con un error máximo de 0.4, ¿qué tamaño de muestra se requiere? Con un error máximo de 0.4 el tamaño de la muestra se requiere que sea de 1.2378. e) Con los datos anteriores, estime con una confianza de 95% ¿cuál es la desviación estándar poblacional (del CONTROL ESTADÍSTICO DE LA CALIDAD Y SEIS SIGMA proceso)? La desviación estándar del proceso está dentro 1.39 y 2.18. f) ¿Qué puede decir sobre la cantidad mínima y máxima de nicotina por cigarro? Es posible garantizar con suficiente confianza que los cigarros tienen menos de 20 mg de nicotina. 4.13 En un problema similar al del ejercicio 11 es necesario garantizar que la resistencia mínima que tienen un envase de plástico en posición vertical sea de 20 kg. Para evaluar esto se obtuvieron los siguientes datos mediante pruebas destructivas: 28.3 25.2 27.6 29.7 27.6 26.8 30.4 27.3 26.8 25.5 26.6 27.7 26.2 29.5 28.3 26.5 27.0 27.7 28.4 27.4 28.1 26.1 27.2 26.3 28.8 24.8 28.1 25.9 28.1 25.0 27.4 26.9 26.5 28.7 25.3 26.2 28.0 28.3 27.0 27.7 Paso 1. Hipótesis: 𝐻𝑜 : 𝜇 = 25 𝑘𝑔 𝐻𝐴 : 𝜇 ≠ 25 𝑘𝑔 Paso 2. Nivel de significancia: Paso 3. Estadístico de Prueba: Paso 4. Regla de Decisión: 𝛼 = 0.05 Calculado en minitab CONTROL ESTADÍSTICO DE LA CALIDAD Y SEIS SIGMA 29.4 27.6 26.5 25.5 25.2 28.6 25.6 29.1 26.9 28.6 24.9 29.5 23.7 27.2 27.9 Paso 5. Resultados, interpretaciones y toma de decisiones. a) Esta variable forzosamente tiene que evaluarse mediante muestreo y no a 100%, ¿por qué? Los datos se encuentran muy por encima de la especificación inferior (20Kg) se cumple con la calidad exigida. Media y mediana están alrededor de 27 kg, además su desviación es 1,43kg Coef Var= 5,25% Los límites reales se encuentran el 97,3% entre 22,93 y 31,51Kg El diagrama de caja nos señala cierta simetría de la información y que se encuentra los bigotes alejados de la especificación inferior. b) Realice un análisis exploratorio de estos datos (obtenga un histograma y vea el comportamiento de los datos obtenidos). Valor p < Alfa (0,05) entonces se rechaza Ho la media es diferente de 25 c) Estime con una confianza de 95%, ¿cuál es la resistencia promedio de los envases? Con una confianza del 95% se puede afirmar que la media verdadera de la resistencia de los envases se encuentran entre 26,833 y 27,607 Kg d) Antes del estudio se suponía que 11 = 25. Dada la evidencia de los datos, ¿tal supuesto es correcto? Sí, porque el método estándar se utiliza sólo para la distribución normal e) Con los datos anteriores, estime con una confianza de 95% ¿cuál es la desviación estándar poblacional (del proceso)? Con una confianza del 95% se puede afirmar que la desviación CONTROL ESTADÍSTICO DE LA CALIDAD Y SEIS SIGMA estándar verdadera de la resistencia de los envases se encuentra entre 1,20 y 1,76 Kg. 4.14 En la elaboración de una bebida se desea garantizar que el porcentaje de co2 (gas) por envase esté entre 2.5 y 3.0. Los siguientes datos fueron obtenidos del monitoreo del proceso: 𝐸𝐼 = 2.5 ES = 3.0 𝑁. 𝐶 = 95% 𝑛 = 68 𝛼 = 0.05 Paso 1. Datos: Paso 2. Fórmula: Datos Obtenidos en Minitab Paso 3. Operación: 𝑺 𝒏−𝟏 √𝒏 𝟐 ̅ − 𝒕𝜶 𝑿 , 𝑺 𝒏−𝟏 √𝒏 𝟐 ̅ + 𝒕𝜶 𝑿 , (𝒏−𝟏)𝑺𝟐 (𝒏−𝟏)𝑺𝟐 𝝌𝟐𝜶 , 𝒏−𝟏 𝟐 𝝌𝟐 𝜶 𝟏− , 𝒏−𝟏 𝟐 𝒗=𝒏−𝟏 IC de 95% (2.57987, 2.60693) 𝜇 = 2.5934 𝑆 = 0.0559 CONTROL ESTADÍSTICO DE LA CALIDAD Y SEIS SIGMA Paso 4. Gráfica: Histograma de C1 (Damariz Rebolledo) 14 12 Frecuencia 10 8 6 4 2 0 2.50 2.55 2.60 2.65 2.70 C1 Paso 5. Resultados, interpretaciones y toma de decisiones. a) Realice un análisis exploratorio de estos datos (obtenga un histograma y vea el comportamientos de los datos obtenidos). Existe un rango mayor de datos obtenidos dentro de un rango de 2.55 a 2.60 donde se demuestra que los niveles de CO2 aproximadamente están en este intermedio. b) Estime con una confianza de 95%, ¿cuál es el C02 promedio por envase? El promedio de CO2 promedio por envase esta entre 2.57987 y 2.606692. d) Se supone que μ debe ser igual a 2.75. Dada la evidencia, ¿es posible rechazar tal supuesto? No, la media de 2.75 es incorrecta porque está por debajo del límite inferior. e) Con los datos anteriores, estime con una confianza de 95% la desviación estándar del proceso. La desviación estándar del proceso es de 0.0559 f) De los datos muestrales se observa que el mínimo es 2.48 y el máximo 2.73, ¿por qué el intervalo obtenido en el inciso b) tiene menor amplitud? Porque la mayor parte de los datos se concentró en un rango de 2.55 a 2.60 dejando así menor amplitud que en la de datos muestrales, que aún se desconocen. 4.15. Una característica importante en la calidad de la leche de vaca es la concentración de grasa. En una industria en particular se fijó como estándar mínimo del producto que se recibe directamente de los establos lecheros sea de 3.0%. Por ̅ = 3.2 medio de 40 muestreos y evaluaciones en cierta época del año se obtuvo que 𝐗 y S= 0.3. CONTROL ESTADÍSTICO DE LA CALIDAD Y SEIS SIGMA Paso 1. Datos: 𝑁. 𝐶 = 90% 𝑆 = 0.3 𝑛 = 40 𝛼 = 0.10 𝑋̅ = 3.2 Paso 2. Fórmula: ̅ − 𝒕𝜶 𝑿 , 𝟐 𝑺 𝒏−𝟏 √𝒏 ̅ + 𝒕𝜶 𝑿 , 𝟐 𝑺 𝒏−𝟏 √𝒏 Paso 3. Sustitución: (Datos obtenidos de Minitab) IC de 90% (3.1201, 3.2799) Error Estándar de la media 0.0474 𝑁. 𝐶 = 90% 𝑆 = 0.3 𝑛 =? 𝑝̂ = 0.10 𝐸 = 0.05 Paso 4. Datos: 𝑋̅ = 3.2 Paso 5. Fórmula: 𝑛= 𝑍 2 𝛼⁄2 𝑝̂ (1 − 𝑝̂̂ ) 𝐸2 Paso 6. Sustitución: 𝑛= Paso 7. Datos: (1.64)2 (0.10)(1 − 0.10) = 39.73 (0.05)2 𝑁. 𝐶 = 90% 𝑆 = 0.3 𝑛 = 40 𝛼 = 0.10 𝑋̅ = 3.2 Paso 8. Fórmula: (𝑛 − 1)𝑆 2 𝜒𝛼2 2 , 𝑛−1 (𝑛 − 1)𝑆 2 𝜒2 𝛼 1− , 𝑛−1 2 𝑣 =𝑛−1 Paso 9. Sustitución: (40 − 1)(0.3)2 = 0.0801 43.773 CONTROL ESTADÍSTICO DE LA CALIDAD Y SEIS SIGMA (40 − 1)(0.3)2 = 0.1898 18.493 𝑣 = 40 − 1 Paso 10. Resultados, interpretaciones y toma de decisiones. a) Estime con una confianza de 90% el contenido promedio de grasa poblacional. El contenido promedio de grasa poblacional está entre 3.1201 y 3.2799. b) ¿Cuál es el error máximo de estimación para la media? ¿Porqué? El error máximo de estimación para la media es de 0.0474. c) Si se quiere estimar la media con un error máximo de 0.05, ¿qué tamaño de muestra se requiere? El tamaño de la muestra que se requiere debe ser 39.73, para estimar la media con un error máximo de 0.05. d) Estime con una confianza de 95%, ¿cuál es la desviación estándar poblacional? La desviación estándar poblacional se encuentra entre 0.0801 y 0.1898. e) ¿Qué puede decir acerca de la cantidad mínima y máxima de grasa en la leche? Que están en un rango mayor del 3.0%. ¿Es posible garantizar con suficiente confianza que la leche tiene más de 3.0% de grasa? Sí, porque de acuerdo a la hipótesis aceptada el contenido de grasa esta entre un límite de 3.1201 y 3.2799. 4.16 En la fabricación de discos compactos una variable de interés es la densidad mínima (grosor) de la capa de metal, la cual no debe ser menor de 1.5 micras. Por experiencia se sabe que la densidad mínima del metal casi siempre ocurre en los radios 24 y 57, aunque en el método actual también se miden los radios 32, 40 y 48. Se realizan siete lecturas en cada radio, lo cual da un total de 35 lecturas, de las cuales sólo se usa la mínima. A continuación se presenta una muestra histórica de 18 densidades mínimas: CONTROL ESTADÍSTICO DE LA CALIDAD Y SEIS SIGMA Paso 1 Datos Paso 2 Formula Paso 3 sustitución Paso 4 Gráficas 1.81 1.97 1.93 1.97 1.85 1.99 1.95 1.93 1.85 1.87 1.98 1.93 1.96 2.02 2.07 1.92 1.99 1.93 Cálculos realizados en Minitab Mediante el resumen grafico se pueden obtener todas las respuestas a todos los incisos de este ejercicio. Informe de resumen de 4.16 (Damariz Rebolledo) Prueba de normalidad de Anderson-Darling A-cuadrado Valor p Media Desv.Est. Varianza Asimetría Curtosis N Mínimo 1er cuartil Mediana 3er cuartil Máximo 0.36 0.401 1.9400 0.0646 0.0042 -0.226549 0.157296 18 1.8100 1.9075 1.9400 1.9825 2.0700 Intervalo de confianza de 99% para la media 1.80 1.85 1.90 1.95 2.00 1.8959 2.05 1.9841 Intervalo de confianza de 99% para la mediana 1.8846 1.9871 Intervalo de confianza de 99% para la desviación estándar 0.0446 0.1116 Intervalos de confianza de 99% Media Mediana 1.900 Paso 5 Resultados, interpretaciones y toma de decisiones. 1.925 1.950 1.975 2.000 a) Argumente en términos estadísticos si las densidades mínimas individuales cumplen con la especificación de 1.5 micras. Sugerencia: aplique la regla empírica. Observando por regla empírica, es decir; la media y la mediana, es fácil identificar que la especificación de 1.5 micras no se cumple debido a que las dos se encuentran con valores de 1.94, muy alejados de 1.5. b) Encuentre un intervalo de confianza de 99% para la media de la densidad mínima. El intervalo de confianza al 99% de la media se encontraría entre 1.8959 y 1.9841 c) Proporcione un intervalo de confianza de 99% para la desviación estándar. El intervalo de confianza de 99% para la desviación estándar esta entre 1.8846 y 1.9871 d) Dibuje el diagrama de cajas para los datos e interprete los resultados. El diagrama de cajas se muestra debajo del histograma. Se observa que no se encuentra cercano a 1.5 la media o la mediana. CONTROL ESTADÍSTICO DE LA CALIDAD Y SEIS SIGMA 4.17 En una auditoría se seleccionan de manera aleatoria 200 facturas de las compras realizadas durante el año, y se encuentra que 10 de ellas tienen algún tipo de anomalía. Paso 1. Datos Paso 2. Fórmulas Paso 3. Procedimiento Paso 4. Gráfica Paso 5. Resultados, interpretaciones y toma de decisiones n = 200 µ = 10 Calculado por Minitab Calculado por Minitab a) Estime con una confianza de 95% el porcentaje de facturas con anomalías en todas las compras del año. 28 facturas con anomalías en todas las compras del año b) ¿Qué tamaño de muestra se tiene que usar si se quiere estimar el porcentaje de facturas con anomalías con un error máximo de 2%? Resultados Margen de error 0.02 Tamaño de la muestra 960368 4.18. En la producción de una planta se está evaluando un tratamiento para hacer que germine cierta semilla. De un total de 60 semillas se observó que 37 de ellas germinaron. Paso 1. Datos Paso 2. Formula Paso 3. Procedimiento n=60 Germinaron= 37 P=0.6166 confianza de 90% (0.09) confianza de 95% (0.95) Calculado en Minitab CONTROL ESTADÍSTICO DE LA CALIDAD Y SEIS SIGMA Paso 4. Gráfica Gráfica de distribución (Damaríz Rebolledo) Binomial; n=60; p=0.6166 0.12 Probabilidad 0.10 0.08 0.06 0.04 0.02 0.02449 0.02093 0.00 29 45 X Gráfica de distribución (Damariz Rebolledo) Binomial; n=60; p=0.6166 0.12 Probabilidad 0.10 0.08 0.06 0.04 0.02 0.04365 0.00 Paso 5. Resultados, interpretaciones y toma de decisiones 0.03971 30 X 44 a) Estime con una confianza de 90% la proporción de germinación que se logrará con tal tratamiento. La estimación con una confianza de 90% es de 0.95458. b) Con una confianza de 90%, ¿es posible garantizar que la mayoría (más de la mitad) de las semillas germinarán? Si es posible garantizar que la mayoría de las semillas germinarán. Ya que existe una igualdad con el 90% y 95%. c) Conteste los dos incisos anteriores pero ahora con 95% de confianza. 4.19 Para evaluar la efectividad de un fármaco contra cierta enfermedad se integra en forma aleatoria un grupo de 100 personas. Se suministra el fármaco y transcurrido el tiempo de prueba se observa x= 65 personas con un efecto favorable. Paso 1. Datos X= 65 n = 100 Nivel de confianza = 0.90 CONTROL ESTADÍSTICO DE LA CALIDAD Y SEIS SIGMA Paso 2. Formula 𝜌(1 − 𝜌) 𝑛 𝑥 𝜌= 𝑛 65 𝜌= = 0.65 100 𝜌 − 𝑧𝜎⁄2 √ Paso 3. Sustitucion Paso 4. Resultado Paso 5. Resultados, interpretaciones y toma de decisiones 0.65 ± 0.45√ 0.65(1 − 0.65) 100 0.04 ± 2.06√ 0.04(1 − 0.04) 100 0.65 ± 0.022 0.65 + 0.022 = 0.672 0.65 – 0.022 = 0.628 0.04 ± 0.041 0.04 + 0.041 = 0.081 0.04 – 0.041 = .001 a) Estime con una confianza de 90% la proporción de efectividad que se logrará con tal fármaco. Realice una interpretación de los resultados. Con una confianza del 90 % se estima que 𝜌 está entre 0.672 y 0.628, o en términos porcentuales entre 67.2% y 62.8% b) ¿Con base en lo anterior se puede decir que a la mayoría de las personas (más de la mitad) les hizo buen efecto el fármaco? Con lo realizado anterior se confirma que más de la mayoría de las personas les hizo bueno el fármaco. c) ¿Qué tamaño de muestra debe usarse si se quiere tener un error de estimación máximo de 4% (0.04)? Debe usarse un 2.06 de muestra para que el error de estimación sea de 0.04 4.20 Con respecto al problema del ejercicio 11, los datos anteriores al diseño de la prueba continua muestran lo siguiente: de n= 120 envases de plástico probados para ver si tenían la resistencia mínima de 50 kg de fuerza, x= 10 envases no pasaron la prueba. CONTROL ESTADÍSTICO DE LA CALIDAD Y SEIS SIGMA Paso 1. Datos: 𝑁. 𝐶 = 95% 𝑆 = 0.3 𝑥 = 10 𝑋̅ = 3.2 𝑛 = 120 𝛼 = 0.05 Paso 2. Fórmula: ̅ − 𝒕𝜶 𝑿 , 𝟐 𝑺 𝒏−𝟏 √𝒏 ̅ + 𝒕𝜶 𝑿 , 𝟐 𝑺 𝒏−𝟏 √𝒏 Paso 3. Sustitución: Calculado en minitab IC de 95% (2.9854, 3.4146) Error Estándar de la media 0.0949 Paso 4. Datos: 𝑁. 𝐶 = 90% 𝑆 = 0.3 𝑛 =? 𝑝̂ = 0.05 𝐸 = 0.03 𝑥 = 10 𝑋̅ = 3.2 Paso 5. Fórmula: 𝑛= 𝑍 2 𝛼⁄2 𝑝̂ (1 − 𝑝̂̂ ) 𝐸2 Paso 6. Sustitución: (2.228)2 (0.05)(1 − 0.05) 𝑛= = 261.98 (0.03)2 Paso 7. Resultados, interpretaciones y toma de decisiones. a) Estime con una confianza de 95% la proporción de envases que no tienen la resistencia mínima especificada. Haga una interpretación de los resultados. Los 10 envases que no pasaron la prueba, se encuentran en los límites entre 2.9854 y 3.4146. b) ¿Cuál es el error de estimación? El error de estimación es de 0.0949. c) Calcule el tamaño de muestra que se necesita para que el error de estimación máximo sea de 0.03. Con un error de estimación máximo de 0.3 el tamaño de la muestra debería ser de 261.98. CONTROL ESTADÍSTICO DE LA CALIDAD Y SEIS SIGMA 4.21. Un inspector de la Procuraduría Federal del Consumidor acude a una planta que elabora alimentos para verificar el cumplimiento de lo estipulado en los envases de los productos en cuanto a peso y volumen. Uno de los productos que decide analizar es el peso de las cajas de cereal, en las cuales para una de sus presentaciones se establece que el contenido neto es de 300 gramos. El inspector toma una muestra de 25 cajas y pesa su contenido. La media y desviación estándar de la muestra son x = 298.3 y S= 4.5. 𝐻0 : 𝜇 = 300 𝐻0 : 𝜇 ≠ 300 α = 0.05 Paso 1. Hipótesis Paso 2. Nivel de significancia Paso 3. Estadístico de prueba Paso 4. Regla de decisión 𝑥̅ − 𝜇0 𝑆⁄√𝑛 𝑣 =𝑛−1 𝑡0 = 𝑣 = 25 − 1 = 24 Regla de decisión: 𝐻0 no se rechaza ya que su valor del estadístico de prueba (t) se encuentra entre -2.064 y 2.064 Paso 5. Toma de decisión 𝑡 = −0.19 (Calculado por minitab) CONTROL ESTADÍSTICO DE LA CALIDAD Y SEIS SIGMA Decisión: 𝐻0 no se rechaza 𝐻0 : 𝜇 = 300 𝐻1 : 𝜇 ≠ 300 ∝ = 0.10 Paso 6. Hipótesis Paso 7. Nivel de significancia Paso 8. Estadístico de prueba 𝑥̅ − 𝜇0 𝑠 ⁄ 𝑛 √ 𝑣 =𝑛−1 𝑡0 = Paso 9. Regla de decisión Gráfica de distribución (Damariz Rebolledo) T, df=24 0.4 Densidad 0.3 0.2 0.1 0.05 0.0 0.05 -1.711 0 X 1.711 Regla de decisión: 𝐻0 no se rechaza si el valor del estadístico de prueba (t) se encuentra entre -1.711 y 1.711 CONTROL ESTADÍSTICO DE LA CALIDAD Y SEIS SIGMA Paso 10. Toma de decisión Paso 11. Conclusiones Paso 12. Hipótesis Paso 13. Nivel de significancia Paso 14. Estadístico de prueba Decisión 𝐻0 no se rechaza c) ¿Desde la perspectiva del consumidor del producto cuál debe ser la hipótesis alternativa que debe plantear el inspector en este problema? Argumente. Desde el punto de vista del consumidor la hipótesis alternativa que debe plantearse debería indicar que la media es menor a 300. Porque le conviene al consumidor que el peso de la caja no sea menor a 300 𝐻0 : 𝜇 ≥ 300 𝐻1 : 𝜇 < 300 ∝ = 0.05 𝑥̅ − 𝜇0 𝑠 ⁄ 𝑛 √ 𝑣 =𝑛−1 𝑡0 = Paso 15. Regla de decisión Regla de decisión: 𝐻0 no se rechaza si el valor del estadístico de prueba (t) es mayor o igual a -1.711 CONTROL ESTADÍSTICO DE LA CALIDAD Y SEIS SIGMA 4.22 En el problema anterior respecto a la desviación estándar: 𝐻0 : 𝜇 = 300 𝐻0 : 𝜇 ≠ 300 α = 0.05 Paso 1. Datos Paso 2. Fórmulas 𝑡0 = 𝑥̅ − 𝜇0 𝑆⁄√𝑛 𝑣 =𝑛−1 Paso 3. Procedimiento 𝑣 = 25 − 1 = 24 Operaciones y cálculos realizados en Minitab 17 Paso 4. Gráficas Paso 5. Resultados, interpretaciones y resultados a) Pruebe la hipótesis de que 𝝈= 3.0 contra la alternativa que es diferente. La alternativa es diferente. b) ¿Si lo que se quiere es proteger al consumidor del exceso de variabilidad, la conclusión del inciso anterior le es favorable? Argumente. La conclusión del inciso anterior es favorable ya que se protege al consumidor del exceso de variabilidad. CONTROL ESTADÍSTICO DE LA CALIDAD Y SEIS SIGMA 4.23. Las especificaciones técnicas de un comprensor establecen que el aumento promedio de temperatura en el agua usada como enfriador en la cámara del compresor es menor a 5 °C. Para verificar esto se mide el aumento de temperatura en el agua en 1O periodos de funcionamiento del compresor, y se obtiene que son x = 6.6 y S= 2.0. 𝐻0 : 𝜇 = 5 𝐻0 : 𝜇 ≠ 5 α = 0.05 Paso 1: Hipótesis Paso 2: nivel de significancia Paso 3: Estadístico de prueba PASO 4: Regla de decisión 𝑥̅ − 𝜇0 𝑆⁄√𝑛 𝑣 =𝑛−1 𝑡0 = Gráfica de distribución (Damariz Rebolledo) T; df=9 0,4 Densidad 0,3 0,2 0,1 0,0 Paso 5: Toma de decisión Paso 6: Hipótesis 0,005 0,005 -3,250 0 X 3,250 Regla de decisión: 𝐻0 no se rechaza ya que su valor del estadístico de prueba (t) se encuentra entre -2.062 y 2.062 𝑡 = 9 (Calculado por minitab) Decisión: CONTROL ESTADÍSTICO DE LA CALIDAD Y SEIS SIGMA 𝐻0 no se rechaza ∝ = 0.10 Paso 7: Nivel de significancia Paso 8: Estadístico de prueba 𝑥̅ − 𝜇0 𝑠 ⁄ 𝑛 √ 𝑣 =𝑛−1 𝑡0 = Paso 9: regla de decisión Gráfica de distribución (Damariz Rebolledo) T; df=9 0,4 Densidad 0,3 0,2 0,1 0,025 0,0 0,025 -2,262 0 X 2,262 Regla de decisión: 𝐻0 no se rechaza si el valor del estadístico de prueba (t) se encuentra entre -3250 y 3250 Paso 10: Toma de Decisión Paso 11: Resultados, interpretaciones y resultados Decisión 𝐻0 no se rechaza c) Si en lugar de trabajar con una significancia de 5%, lo hace con una de 1%, ¿se mantiene la conclusión del inciso anterior? Explique. Desde el punto de vista la hipótesis alternativa que debe plantearse debería indicar que la media es menor a 10. Porque le conviene al consumidor que el peso de la caja no sea menor a 10. CONTROL ESTADÍSTICO DE LA CALIDAD Y SEIS SIGMA 4.24 En relación con el problema anterior, pruebe la hipótesis para la desviación estándar de σ= 1.5 contra la alternativa de que es mayor. σ= 1.5 Datos del problema anterior: Paso 1. Datos 𝑥̅ = 6.6 𝑆 = 2.0 Paso 2. Hipótesis Paso 3. Estadístico Prueba v= 9 𝐻0 : 𝜎 < 1.5 𝐻𝐴 : 𝜎 > 1.5 Regla de Decisión: de Distribution Plot (Damariz Rebolledo) T; df=9 0,4 Density 0,3 0,2 0,1 0,05 0,0 Paso 4. Toma Decisión de -1,833 0 X 𝐻0 𝑛𝑜 𝑠𝑒 𝑟𝑒𝑐ℎ𝑎𝑧𝑎 𝑠𝑖 𝑠𝑢 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑒𝑠𝑡𝑎𝑑í𝑠𝑡𝑖𝑐𝑜 (𝑡)𝑠𝑒 𝑒𝑛𝑐𝑢𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟 𝑎 − 1.833 Decisión: 𝐻0 𝑠𝑒 𝑟𝑒𝑐ℎ𝑎𝑧𝑎 CONTROL ESTADÍSTICO DE LA CALIDAD Y SEIS SIGMA 4.25. En relación con el ejercicio 16 de este capítulo, con una significancia α= 0.05 pruebe la hipótesis de que la media de la densidad mínima de la capa de metal de los discos es igual a 2.0 micras, contra la alternativa de que es menor. α= 0.05 Paso 1. Datos Paso 2. Fórmula 𝜎= √ Paso 3. Procedimiento Paso 4. Gráficas Paso 5. Resultados, interpretación y decisiones 𝛴 (𝑋 − 𝜇)² 𝑁 Operaciones y cálculos realizada en Minitab La media de la densidad mínima de la capa de metal de los discos es menor a 2.0 micras. 4.26 En una planta embotelladora de bebidas gaseosas se desea estar seguro de que las botellas que usan tienen en promedio un valor que supera el mínimo de presión de estallamiento de 200 psi. Paso 1. Datos 𝜎= 7.0 Datos del problema anterior: 𝑥̅ = 202.5 𝑆 = 7.0 v= 14 CONTROL ESTADÍSTICO DE LA CALIDAD Y SEIS SIGMA 𝐻0 : µ > 200 𝐻𝐴 : µ ≤ 200 Paso 2. nivel de significancia Paso 3. fórmula Gráfica de distribución (Damariz Rebolledo) Normal, Media=202.5, Desv.Est.=7 0.06 0.05 Densidad 0.04 0.03 0.02 0.01 0.05 0.00 191.0 202.5 X 𝐻0 𝑛𝑜 𝑠𝑒 𝑟𝑒𝑐ℎ𝑎𝑧𝑎 𝑠𝑖 𝑠𝑢 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑒𝑠𝑡𝑎𝑑í𝑠𝑡𝑖𝑐𝑜 𝑠𝑒 𝑒𝑛𝑐𝑢𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟 𝑎 191 Paso 4. Toma de decisión Paso 5. Conclusión Decisión: 𝐻0 𝑛𝑜 𝑠𝑒 𝑟𝑒𝑐ℎ𝑎𝑧𝑎 a) Formule la hipótesis para la media pertinente al problema. 𝐻0 : µ > 200 𝐻𝐴 : µ ≤ 200 b) Si en una evaluación de la presión de estallamiento de 15 botellas seleccionadas al azar se obtiene que x = 202.5 y S= 7.0; pruebe la hipótesis formulada antes. Si procedió de manera correcta no se rechaza la hipótesis nula, y por lo tanto no se puede concluir lo que desea el embotellador, es decir que µ> 200. c) Explique por qué no se puede concluir esto a pesar de que la media muestra sí es mayor que 200. Dado que el estadístico de prueba se muestra lejos del margen que CONTROL ESTADÍSTICO DE LA CALIDAD Y SEIS SIGMA denota el que la hipótesis nula se rechace. No se puede concluir la hipótesis pese a que la media muestral es mayor debido a la desviación estándar que presenta la muestra. 4.27. En el problema anterior, pruebe la hipótesis para la desviación estándar de 𝝈= 5.0 contra la alternativa de que es mayor. 𝜎= 5.0 Datos del problema anterior: 𝑥̅ = 202.5 𝑆 = 7.0 v= 14 𝐻0 : 𝜎 < 5.0 𝐻𝐴 : 𝜎 > 5.0 PASO 1. Datos Paso 2. Nivel de significancia Paso 3. Fórmula Gráfica de distribución (Damariz Rebolledo) T; df=14 0.4 Densidad 0.3 0.2 0.1 0.05 0.0 -1.761 0 X 𝐻0 𝑛𝑜 𝑠𝑒 𝑟𝑒𝑐ℎ𝑎𝑧𝑎 𝑠𝑖 𝑠𝑢 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑒𝑠𝑡𝑎𝑑í𝑠𝑡𝑖𝑐𝑜 (𝑡)𝑠𝑒 𝑒𝑛𝑐𝑢𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟 𝑎 − 1.761 Paso 4. Toma de decisión CONTROL ESTADÍSTICO DE LA CALIDAD Y SEIS SIGMA 4.28. Para validar la afirmación de un fabricante que señala que la proporción de artículos defectuosos de sus lotes de producción no supera 5%; se toma una muestra aleatoria de 100 artículos de los últimos lotes y se obtiene que 8 son defectuosos. Paso 1. Datos Paso 2. Fórmula Paso 3. Procedimiento Paso 4. Gráficas n: 100 p: 0.05% x: 8 Operaciones y cálculos realizada en Minitab 17 Gráfica de distribución( Damaris Rebolledo) Binomial, n=100, p=0.05 0.20 Probabilidad 0.15 0.10 0.05 0.03708 0.00 1 13 X Gráfica de distribución Damaris Rebolledo Binomial, n=70, p=0.05 0.25 Probabilidad 0.20 0.15 0.10 0.05 0.02758 0.00 Paso 5. Resultados, interpretación y decisiones 0 X 10 a) Formular las hipótesis adecuada al problema, si lo que se quiere es concluir que la afirmación del fabricante es falsa, porque en realidad su calidad es peor. 𝐻𝑜 ∶ 𝑝 ≥ 5 𝐻𝐴 ∶ 𝑝 < 5 b) Probar la hipótesis formulada con una significancia de 5. CONTROL ESTADÍSTICO DE LA CALIDAD Y SEIS SIGMA c) Si procedió de manera correcta no se pudo concluir que p > 5%. Explique por qué no se puede concluir esto a pesar de que la proporción muestra! es mayor a 5%. Se argumenta porque el valor del estadístico es de 0.03708 lo cual significa que no pasa del 0.05 d) ¿En este problema cuál sería el tamaño de muestra a usar si se quiere tener un error máximo de estimación de 3%? La muestra debe ser de 70 para tener un error máximo de estimación de 3%. 4.29 ¿En el ejercicio 17 de este capítulo es correcto afirmar que más de 8% de las facturas tienen alguna anomalía? Para responder, formule y pruebe la hipótesis pertinente con una significancia de 5%. 𝐻0 : 𝜇 = 100 𝐻1 : 𝜇 ≠ 100 Paso 1. Hipótesis α=0.05 Paso 2. Nivel de significancia Paso 3. Estadístico de prueba Paso 4. Regla de decisión 𝑥̅ − 𝜇0 𝑆⁄√𝑛 𝑣 = 𝑛−1 𝑡0 = 𝑣 = 100 − 1 = 99 Gráfica de distribución (Damariz Rebolledo) T, df=99 0.4 Densidad 0.3 0.2 0.1 0.05 0.0 0 X 1.660 Regla de decisión: 𝐻0 no se rechaza ya que su valor del estadístico de prueba (t) es mayor que 1.660 Paso 5. Toma de decisión t=Caluculado con minitab CONTROL ESTADÍSTICO DE LA CALIDAD Y SEIS SIGMA Paso 6. Resultados 𝐻0 no se rechaza ya que su valor del estadístico de prueba (t) es mayor que 1.660, así que si es correcto afirmar que es de un 8%. 4.30 En un centro escolar se ha venido aplicando una campaña contra el uso del tabaco por parte de los estudiantes. Antes de la campaña, 30% de los alumnos eran fumadores activos, para investigar si disminuyó esta proporción se toma una muestra aleatoria de 150 estudiantes y se detecta que 35 de ellos son fumadores. Formule la hipótesis pertinente al problema. Justifique. Paso 1. Datos. Paso 2. Formula. Paso 3. Procedimiento. Paso 4. Gráfica n=150 p=0.30 x=35. Operaciones y cálculos realizados por minitab. Gráfica de distribución Damariz Rebolledo Binomial, n=1 50, p=0.3 0.08 0.07 Probabilidad 0.06 0.05 0.04 0.03 0.02 0.01 0.04286 0.00 Paso 5. Interpretación de los datos. 35 X 63 a) Formule la hipótesis pertinente al problema. Justifique. Ho =p ≥ 30 HA =p < 30 c) Con una significancia de 5% verifique la hipótesis planteada. d) ¿La conclusión anterior se mantiene sí se quiere tomar una decisión con una confianza de 99%? Argumente. Sí, porque la Ho no se rechaza en porque está dentro de los límites establecidos. CONTROL ESTADÍSTICO DE LA CALIDAD Y SEIS SIGMA 4.31 Dos máquinas, cada una operada por una persona, son utilizadas para cortar tiras de hule, cuya longitud ideal debe ser de 200 mm. De las inspecciones de una semana (25 piezas) se observa que la longitud media de las 25 piezas para una máquina es de 200.1 y para la otra es de 201.2. ¿Es significativa la diferencia entre los dos casos? Argumente su respuesta. Sean 𝜇𝑥 = 200.1 𝑦 𝜇𝑦 = 201.2 se da la hipótesis nula de que 𝐻0 : 𝜇𝑥 = 𝜇𝑦 pero gracias a la inspección esta hipótesis cambia de ser nula a ser afirmativa ella que se acepta que los datos muéstrales proporcionan evidencia de que la hipótesis nula es falsa 𝐻𝐴 : 𝜇𝑥 ≠ 𝜇𝑦 por lo tanto si es significativa la diferencia porque hace un cambio cuando en realidad se debería de operar mejor la máquina para ofrecer tiras de hule con la misma calidad para todos los clientes. 4.32 Se desea comprar una gran cantidad de bombillas y se tiene que elegir entre las marcas A y B. Para ello, se compraron 100 focos de cada marca y se encontró que las bombillas probadas de la marca A tuvieron un tiempo de vida medio de 1 120 horas, con una desviación estándar de 75 horas; mientras que las de la marca B tuvieron un tiempo de vida medio de 1 064 horas, con una desviación estándar de 82 horas. a) ¿Es significativa la diferencia entre los tiempos medios de vida? Use a= 0.05. Aplique la prueba T de Student suponiendo igualdad de varianzas. Paso 1. Datos Paso 2. Fórmulas Paso 3. Gráfica Paso 4Resultados, interpretaciones y toma de decisiones Marca A n = 100 µ = 1120 σ = 75 α = 0.05 Varianzas iguales Marca B n = 100 µ = 1064 σ = 82 α = 0.05 Varianzas iguales Calculado por Minitab Calculado por Minitab Error estándar de la Muestra N Media Desv.Est. media 1 100 1120.0 75.0 7.5 2 100 1064.0 82.0 8.2 Diferencia = μ (1) - μ (2) Estimación de la diferencia: 56.0 IC de 5% para la diferencia: (55.3, 56.7) Prueba T de diferencia = 0 (vs. ≠): Valor T = 5.04 Valor p = 0.000 GL = 198 Ambos utilizan Desv.Est. agrupada = 78.5780 CONTROL ESTADÍSTICO DE LA CALIDAD Y SEIS SIGMA Tienen un IC de 5% para la diferencia de 55.3 y 56.7, por lo tanto concluimos que no es significativa la diferencia entre los tiempos medios de vida de los focos entre ambas marcas. b) Repita lo anterior pero sin suponer igualdad de varianzas. Paso 1. Datos Paso 2. Fórmulas Paso 3. Gráfica Paso 4. Resultados, interpretaciones y toma de decisiones Marca A n = 100 µ = 1120 σ = 75 α = 0.05 varianzas diferentes Marca B n = 100 µ = 1064 σ = 82 α = 0.05 varianzas diferentes Calculado por Minitab Calculado por Minitab Error estándar de la Muestra N Media Desv.Est. media 1 100 1120.0 75.0 7.5 2 100 1064.0 82.0 8.2 Diferencia = μ (1) - μ (2) Estimación de la diferencia: 56.0 IC de 5% para la diferencia: (55.3, 56.7) Prueba T de diferencia = 0 (vs. ≠): Valor T = 5.04 Valor p = 0.000 GL = 196 Se puede observar, que en este caso no afecta el asumir varianzas iguales o diferentes, ya que no cambian los resultados, solo los Grados de Libertad. 4.33 En condiciones controladas, en un laboratorio se evaluó en 10 hombres y 10 mujeres, la temperatura que cada persona encontró más confortable. Los resultados en grados Fahrenheit fueron los siguientes: Mujeres 75 77 78 79 77 73 78 79 78 80 Hombre 74 72 77 76 76 73 75 73 74 75 Paso 1. Hipótesis Paso 2. Nivel de significancia CONTROL ESTADÍSTICO DE LA CALIDAD Y SEIS SIGMA 𝐻0 : 𝜇1 = 𝜇2 𝐻𝐴 : 𝜇1 ≠ 𝜇2 𝛼 = 0.05 Paso 3. Fórmula 𝑡0 = 𝑆𝑝 = √ 𝑥̅1 − 𝑥̅2 1 1 𝑆𝑃 √𝑛 + 𝑛 1 2 (𝑛1 − 1)𝑆12 + (𝑛2 − 1)𝑆22 𝑛1 + 𝑛2 − 2 𝑣 =𝑛−1 𝑣 = 10 − 1 = 9 Paso 4. Regla de decisión Gráfica de distribución (Damariz Rebolledo) T, df=24 0.4 Densidad 0.3 0.2 0.1 0.05 0.0 -1.711 0 X Regla de decisión: 𝐻0 se rechaza si el valor del estadístico (t) está entre -2.101 y 2.101 Paso 5. Resultados interpretaciones y toma de decisiones. Decisión: 𝐻0 𝑠𝑒 𝑟𝑒𝑐ℎ𝑎𝑧𝑎 a) ¿Cuáles son en realidad los tratamientos que se comparan en este estudio? Los tratamientos que se comparan en este estudio son : Temperatura de las mujeres Temperatura de los hombres b) ¿Las muestras son dependientes o independientes? Explique. CONTROL ESTADÍSTICO DE LA CALIDAD Y SEIS SIGMA Las muestras son independientes porque no hay relación de causa efecto entre la temperatura de las mujeres y la temperatura de los hombres. c) ¿La temperatura promedio más confortable es igual para hombres que para mujeres? La temperatura promedio no es igual para hombre que para mujeres. 75+77+78+79+77+73+78+79+78+80 = 774/10 = 77.4 74+72+77+76+76+73+75+73+74+75 = 745 / 10 = 74.5 No es igual, existe una diferencia de 2.9 grados fahrenheit 4.34 Se prueban 10 partes en cada nivel de temperatura y se mide el encogimiento sufrido en unidades de porcentaje multiplicado por 10. Los resultados fueron los siguientes: Paso 1. Datos Temperatura Baja 17.2 17.5 18.6 15.9 16.4 17.3 16.8 18.4 16.7 17.6 Temperatura Alta 21.4 20.9 19.8 20.4 20.6 21.0 20.8 19.9 21.1 20.3 𝐻0 : 𝜇₁ = 𝜇2 𝐻𝐴 : 𝜇₁ ≠ 𝜇2 Paso 2. Hipótesis α= 0.05 Paso 3. Nivel de Significancia Paso 4. Estadístico de Prueba 𝑥̅ − 𝜇0 𝑆⁄√𝑛 𝑣 =𝑛−1 𝑡0 = (𝑛1 − 1)𝑆12 + (𝑛2 − 1)𝑆22 𝑆𝑝 = √ 𝑛1 + 𝑛2 − 2 Paso 5. Regla de Decisión 𝑣 = 18 (Cálculo realizado en Minitab) CONTROL ESTADÍSTICO DE LA CALIDAD Y SEIS SIGMA Paso 6. Toma de Decisión Paso 7. Resultados Regla de Decisión: 𝐻0 se rechaza si el valor del estadístico (t) está entre -2.101 y 2.101 Decisión: 𝐻0 no se rechaza a) ¿Cuál temperatura provoca un encogimiento menor? La temperatura alta es la que provoca un encogimiento menor, ya que tiene una desviación estándar menor que la temperatura baja. Variable N StDev Variance C1 10 0,842 0,709 C2 10 0,520 0,271 b) Mediante una prueba F, compare las varianzas de las temperaturas y comente. Las varianzas de las temperaturas se encuentran demasiado alejadas basándonos en una prueba F, como se observa, la relación de las dos varianzas es de 0,651 y 10,551, lo cual, es demasiado alejado entre ellos. CI for CI for StDev Variance Method Ratio Ratio F (0,807; 3,248) (0,651; 10,551) c) Dibuje los diagramas de cajas simultáneos e interprete. Se observa que se encuentran dispersos entre ellos, sus medianas están algo alejadas y en la caja de temperatura alta se observa que la mediana no se encuentra totalmente centrada, lo que indica algo de variabilidad. CONTROL ESTADÍSTICO DE LA CALIDAD Y SEIS SIGMA Boxplot of C1; C2 (Damariz Rebolledo) 22 21 Data 20 19 18 17 16 C1 C2 4.35 Una compañía de transporte de carga desea escoger la mejor ruta para llevar la mercancía de un depósito a otro. La mayor preocupación es el tiempo de viaje. En el estudio se seleccionaron al azar cinco choferes de un grupo de 1 O y se asignaron a la ruta A; los cinco restantes se asignaron a la ruta B. los datos obtenidos fueron: 𝐻0 : 𝜇1 = 𝜇2 𝐻𝐴 : 𝜇1 ≠ 𝜇2 Paso 1. Hipótesis Paso 2. Nivel de significancia Paso 3. Fórmula α = 0.05 𝑡0 = 𝑥̅1 − 𝑥̅1 𝑆𝑝 √ 1 1 𝑛1 + 𝑛2 (𝑛1 − 1)𝑠12 + (𝑛2 − 1)𝑠22 𝑆𝑝 = √ 𝑛1 + 𝑛2 − 2 Paso 4. Regla de decisión CONTROL ESTADÍSTICO DE LA CALIDAD Y SEIS SIGMA Paso 5. Toma de decisión Regla de decisión: 𝐻0 no se rechaza si el valor del estadístico de prueba (t) se encuentra entre -2.306 y 2.306 Valor T = -1.10 Valor p = 0.305 GL = 8 Gráfica de distribución (Damariz Rebolledo) T, df=8 0.4 Densidad 0.3 0.2 0.1 0.025 0.0 Paso 6. Conclusiones 0.025 -2.306 0 X 2.306 Decisión: 𝐻0 no se rechaza a) ¿Existen diferencias significativas entre las rutas? Plantee y pruebe las hipótesis estadísticas correspondientes. No hay mucha diferencia entre las rutas ya que al probar la hipótesis nula no se rechaza. b) En caso de rechazar la hipótesis del inciso a), dibuje los diagramas de cajas simultáneos para determinar cuál ruta es mejor. Aquí se muestra la gráfica de caja, aunque la hipótesis nula se rechazó se puede ver que no hay mucha diferencia entre las dos rutas. CONTROL ESTADÍSTICO DE LA CALIDAD Y SEIS SIGMA Gráfica de caja de A, B (Damariz Rebolledo) A 36 B 34 32 30 28 26 24 22 c) Sugiera otra manera de obtener los datos (diseño alternativo), de manera que se pueda lograr una comparación más efectiva de las rutas. Mediante una gráfica de caja se muestra la comparación de las dos rutas para identificar cual es la más efectiva. Al compararlas se puede ver que la ruta b es la más efectiva, porque tiene menos defectos. 4.36 Se tienen dos proveedores de una pieza metálica, cuyo diámetro ideal o valor objetivo es igual a 20.25 cm. Se toman dos muestras de 14 piezas a cada proveedor y los datos obtenidos se muestran a continuación: Proveedor 1 2 Diámetros de las piezas de cada proveedor 21.38, 20.13, 19.12, 19.85, 20.54, 18.00, 22.24, 21.94, 19.07, 18.60, 21.89, 22.60, 18.10, 19.25 21.51, 22.22, 21.49, 21.91, 21.52, 22.06, 21.51, 21.29, 22.71, 22.65, 21.53, 22.22, 21.92, 20.82 𝐻0 : 𝜇1 = 𝜇2 𝐻1 : 𝜇1 ≠ 𝜇2 ∝= 0.05 Paso 1 Hipótesis Paso2. Nivel de significancia Paso3 Fórmula 𝑡0 = 𝑥̅1 − 𝑥̅1 1 1 𝑠𝑝⁄√𝑛 + 𝑛 1 2 (𝑛1−1)𝑠12 +(𝑛2−1)𝑠22 sp= √ CONTROL ESTADÍSTICO DE LA CALIDAD Y SEIS SIGMA 𝑛1 +𝑛2−2 Paso 4 Regla de decisión Gráfica de distribución (Damariz Rebolledo) T, df=26 0.4 Densidad 0.3 0.2 0.1 0.025 0.0 Paso5 Toma de decisión 0 2.056 X Regla de decisión: Ho no se rechaza si el valor del estadístico de prueba t se encuentra entre -2.056 y 2.056 Valor T = -3.63 Valor p = 0.001 𝐻0 : 𝜎1 = 𝜎2 𝐻1 : 𝜎 𝜎12 ≠ 𝜎22 ∝= 0.05 Paso 1 Hipótesis Paso 2. Nivel de significancia Paso3. Fórmula Paso 3. Regla de decisión Paso 4. TOMA DE DESICIÓN 0.025 -2.056 Fo= 2 1 2 𝑠 2 𝑠 Regla de decisión Ho no se rechaza si el valor del estadístico de prueba F se encuentra entre 0.3210 y 3.115 CONTROL ESTADÍSTICO DE LA CALIDAD Y SEIS SIGMA Paso 6. Conclusiones, interpretaciones y resultados a) Pruebe la hipótesis de igualdad de los diámetros de los proveedores en cuanto a sus medias. La hipótesis de igualdad de los diámetros se encuentra en la primera gráfica b) Pruebe la hipótesis de igualdad de varianzas. La prueba de hipótesis se encuentra en la segunda gráfica c) Si las especificaciones para el diámetro son 20.25 mm± 2.25 mm, ¿cuál proveedor produce menos piezas defectuosas? El proveedor que produce menos piezas defectuosas es el 1 d) ¿Con cuál proveedor se quedaría usted? Con el proveedor número 1, dado que produce menos piezas defectuosas. CONTROL ESTADÍSTICO DE LA CALIDAD Y SEIS SIGMA 4.37. En Kocaoz, S. Samaranayake, V. A. Nanni A. (2005) se presenta una investigación donde se estudian dos tipos de barras de polímero, cuya tensión se refuerza con fibra de vidrio (FRP). Estas barras, en sustitución de las vigas de acero, son utilizadas para reforzar concreto, por lo que su caracterización es importante para fines de diseño, control y optimización para los ingenieros estructurales. Las barras se sometieron a tensión hasta registrarse su ruptura (en Mpa). Los datos para dos tipos de barras se muestran a continuación: 𝐻0 : 𝜇1 = 𝜇2 𝐻1 : 𝜇1 ≠ 𝜇2 Paso 1. Hipótesis: Paso 2. Nivel de significancia: 𝛼 = 0.05 Paso 3. Estadístico de Prueba: 𝑡0 = 𝑥̅1 − 𝑥̅1 1 1 𝑠𝑝⁄√𝑛 + 𝑛 1 2 𝑆𝑝 = √ Paso 4. Regla de Decisión: (𝑛1−1)𝑠12 +(𝑛2 −1)𝑠22 𝑛1 +𝑛2−2 Regla de decisión: Gráfica de distribución (Damariz Rebolledo) T, df=14 0.4 Densidad 0.3 0.2 0.1 0.025 0.0 0.025 -2.145 0 X 2.145 𝐻𝑜 no se rechaza si el valor del estadístico de prueba (t) se encuentra entre -2.145 y 2.145. CONTROL ESTADÍSTICO DE LA CALIDAD Y SEIS SIGMA Paso 5. Resultados, interpretaciones y toma de decisiones. T=0.18 P= 0.858 (Calculado por minitab) Decisión: 𝐻𝑜 no se rechaza Paso 6. Hipótesis 𝐻0 : 𝜎1 = 𝜎2 𝐻1 : 𝜎 𝜎12 ≠ 𝜎22 Paso 7. Nivel de significancia Paso 8. Fórmula ∝= 0.05 Fo= 2 1 2 𝑠 2 𝑠 Paso 9. regla de decisión Paso 10. Resultados, interpretaciones y Regla de decisión: Ho no se rechaza si el valor del estadístico de prueba F se encuentra entre 0.2256 y 4.433 a) Formule la hipótesis para probar la igualdad de medias de los tratamientos. CONTROL ESTADÍSTICO DE LA CALIDAD Y SEIS SIGMA toma de decisiones. b) Anote la fórmula del estadístico de prueba para la hipótesis. c) Pruebe la hipótesis a un nivel de significancia de 5%. Para rechazar o no la hipótesis, apóyese tanto en el criterio del valor-p como en el del valor critico de tablas. 𝐻𝑜 no se rechaza si el valor del estadístico de prueba (t) se encuentra entre -2.145 y 2.145. d) Explique cómo se obtiene el valor-p del inciso anterior. Se calculó en Minitab e) Pruebe la hipótesis de igualdad de varianzas entre tratamientos. Ho no se rechaza si el valor del estadístico de prueba F se encuentra entre 0.2256 y 4.433 f) ¿Existe algún tratamiento mejor? Al parecer los dos tratamientos son iguales 4.38. Se realiza un estudio para comparar dos tratamientos que se aplicarán a frijoles crudos con el objetivo de reducir el tiempo de cocción. Un tratamiento {T1) es a base de bicarbonato de sodio; mientras que el otro, T2, se realiza con cloruro de sodio o sal común. La variable de respuesta es el tiempo de cocción en minutos. Se hacen siete replicas. Los datos se muestran en la siguiente tabla: Paso 1. Datos Paso 2. Nivel de significancia Paso 3. Fórmula 𝐻0 : 𝜇1 = 𝜇2 𝐻1 : 𝜇1 ≠ 𝜇2 𝛼 = 0.05 𝑥̅1 − 𝑥̅1 𝑡0 = 1 1 𝑠𝑝⁄√𝑛 + 𝑛 1 2 (𝑛1−1)𝑠12 +(𝑛2−1)𝑠22 Sp= √ CONTROL ESTADÍSTICO DE LA CALIDAD Y SEIS SIGMA 𝑛1 +𝑛2−2 Paso 4. Nivel de Significancia Gráfica de distribución (Damariz Rebolledo) T; df=12 0.4 Densidad 0.3 0.2 0.1 0.025 0.0 Toma de decisiones 0.025 -2.179 0 2.179 X Regla de decisión: 𝐻0 = 𝑁𝑂 𝑆𝐸 𝑅𝐸𝐶𝐻𝐴𝑍𝐴 𝑆𝐼 𝐸𝐿 𝑉𝐴𝐿𝑂𝑅 𝐸𝑆𝑇𝐴𝐷Í𝑆𝑇𝐼𝐶𝑂 𝐷𝐸 𝑃𝑅𝑈𝐸𝐵𝐴 𝑇 𝑆𝐸 𝐸𝑁𝐶𝑈𝐸𝑁𝑇𝑅𝐸 𝐸𝑁𝑇𝑅𝐸 − 2.172 𝑌 2.172 Valor T = 7.82 Valor p = 0.000 Decisión: 𝐻0 Se rechaza Paso 6. Hipótesis 𝐻0 : 𝜎1 = 𝜎2 𝐻1 : 𝜎 𝜎12 ≠ 𝜎22 Paso 7. Nivel de significancia Paso 8. Formula 𝛼 = 0.05 CONTROL ESTADÍSTICO DE LA CALIDAD Y SEIS SIGMA 2 𝐹0 = 𝑠1 2 𝑠2 Paso 9. Regla de decisión Regla de decisión: 𝐻0 si se rechaza si el valor del estadístico de prueba f se encuentra entre 0.2002 y 4.995. Paso 10. Resultados, interpretacio nes y toma de decisiones a) Formule la hipótesis para probar la igualdad de medias de los tratamientos. b) Anote la fórmula del estadístico de prueba para probar la hipótesis. c) Pruebe la hipótesis a un nivel de significancia de 5%. Para rechazar o no la hipótesis, apóyese tanto en el criterio del valor-p como en el valor crítico de tablas. 𝐻0 =no se rechaza si el valor estadístico de prueba t se encuentre entre2.172 y 2.172 d) Prube la hipótesis de igualdad de varianzas entre tratamientos. 𝐻0 si se rechaza si el valor del estadístico de prueba f se encuentra entre 0.2002 y 4.995 e) de acuerdo con el análisis realizado hasta aquí, ¿existe algún tratamiento mejor? El segundo tratamiento es mejor que el primero. 4.39 Con respecto al problema descrito en el ejercicio 30, el mejor método de inoculación se aplicó a dos variedades de maíz en dos localidades. Una vez infectada la mazorca, interesa medir el porcentaje final de la superficie de ésta que fue cubierta por el hongo, así como el peso en gramos del huitlacoche. Los resultados para la variedad 2 de maíz, obtenidos en 15 mazorcas de Texcoco y en 15 mazorcas de Celaya son los siguientes: CONTROL ESTADÍSTICO DE LA CALIDAD Y SEIS SIGMA Paso 1 Hipótesis Paso2. Nivel de significancia Paso3 Fórmula 𝐻0 : 𝜇1 = 𝜇2 𝐻1 : 𝜇1 ≠ 𝜇2 ∝= 0.05 𝑡0 = 𝑥̅1 − 𝑥̅1 1 1 𝑠𝑝⁄√𝑛 + 𝑛 1 2 sp= √ (𝑛1−1)𝑠12 +(𝑛2 −1)𝑠22 𝑛1 +𝑛2−2 Paso 4 Regla de decisión Gráfica de distribución (Damariz Rebolledo) T, df=22 0.4 Densidad 0.3 0.2 0.1 0.025 0.0 Paso 5Toma de decisión Paso 6 Resultados 0.025 -2.074 0 2.074 X Regla de decisión: 𝐻𝑜 no se rechaza si el valor del estadístico de prueba t se encuentra entre -2.074 y 2.074 Valor T = -1.67 Valor p = 0.108 a) ¿Se puede afirmar que el porcentaje de cobertura del hongo es mayor en Celaya que en Texcoco? Pruebe la hipótesis apropiada para las medias. Sí se puede afirmar la cobertura del hongo es mayor en Celaya en la gráfica del paso número 4 b) Utilice un diagrama de dispersión (gráfica tipo X-Y) para verificar si existe una relación lineal entre el porcentaje de cobertura de la mazorca con los gramos de huitlacoche. Gráfica de dispersión de PG Texcoco vs. PG Celaya (Damariz Rebolledo) 200 PG Texcoco 150 100 50 0 0 50 100 150 200 250 300 350 PG Celaya c) Ignore la cobertura y pruebe La igualdad de la producción promedio de huitlacoche en las dos localidades. La igualdad se muestra en la gráfica del paso número 4 CONTROL ESTADÍSTICO DE LA CALIDAD Y SEIS SIGMA 4.40 Se comparan dos métodos para inocular o contagiar una cepa del hongo del maíz conocido como huitlacoche. En una primera etapa del estudio, el experimentador quiere determinar cuál de los métodos genera mayor porcentaje de infección. El método A consiste en cortar la punta de la mazorca para aplicar la cepa, y en el método B se inyecta la cepa de forma transversal. De 41 mazorcas inoculadas con el método A, 20 se infectaron, es decir, generaron huitlacoche; en tanto, de 38 mazorcas inoculadas con el método B se infectaron 27. 𝐻0: 𝑝1 = 𝑝2 𝐻𝐴 : 𝑝1 ≠ 𝑝2 Paso 1. Datos 𝑛1 = 41 𝑛2 =38 𝑥1 = 20 𝑥2 =27 Paso 2. Fórmulas 𝑍0 = 𝑝̂ 1 − 𝑝̂ 2 1 1 √𝑝̂ (1 − 𝑝̂ )(𝑛 + 𝑛 ) 1 2 Paso 3. Procedimiento 𝑍0 = 20 27 41 − 38 √0.68(1 − 0.68)( 1 + 1 ) 41 38 =1 Paso 5. Resultados, ¿Existe evidencia estadística suficiente para afirmar que el método B genera una mayor infección de huitlacoche? Plantee y interpretaciones y toma de decisiones pruebe la hipótesis correspondiente. Existe evidencia estadística suficiente para afirmar que el método B genera una mayor infección en el huitlacoche. 4.41. Con respecto al problema del ejercicio 18 se desean comparar dos tratamientos para hacer que germine cierta semilla. Los datos del tratamiento A son los del ejercicio 18, es decir, de 60 semillas puestas a germinar se observó que 37 de ellas germinaron. Mientras que para el tratamiento 8, de 70 semillas se observó que 30 germinaron. Paso 1. Hipótesis Paso 2. Nivel de confianza 𝐻0 : 𝑝1 = 𝑝2 𝐻𝐴 : 𝑝1 ≠ 𝑝2 𝛼 = 0.95 CONTROL ESTADÍSTICO DE LA CALIDAD Y SEIS SIGMA Paso 3. Estadístico de prueba 𝑧0 = 𝑝̂ = Paso 4. Procedimiento Paso 5. Grafica 𝑋 − 𝑛𝑝0 √𝑛𝑝0 (1 − 𝑝0 ) 𝑥1+ 𝑥2 𝑛1 + 𝑛2 Realizado en Minitab y Excel Gráfica de distribución (Damariz Rebolledo) Binomial; n=70; p=0.4285 0.10 Probabilidad 0.08 0.06 0.04 0.02 0.00 0.02049 0.01878 21 X 39 Gráfica de distribución (Damariz Rebolledo) Binomial; n=60; p=0.6166 0.12 Probabilidad 0.10 0.08 0.06 0.04 0.02 0.04365 0.00 Paso 5. Resultados interpretaciones y toma de decisión 0.03971 30 X 44 Z = 2.18 Valor p = 0.0985371 a) ¿Hay una diferencia significativa entre los dos tratamientos? Pruebe la hipótesis correspondiente con 95% de confianza. No existe diferencia significativa entre los dos tratamientos; T1= 0.96075 y T2= 0.91664. b) Estime, con una confianza de 95%, la proporción de germinación que se logrará con cada tratamiento. CONTROL ESTADÍSTICO DE LA CALIDAD Y SEIS SIGMA 4.42 Se desea comparar dos proveedores; para ello, se toma una muestra aleatoria de la producción de cada uno de n = 150 piezas, y se les hace en orden aleatorio una prueba. En el caso del primer proveedor se obtuvieron x₁ = 11 piezas que no pasaron la prueba, mientras que para el segundo fueron x₂= 22. Paso 1. Datos n = 150 piezas x₁ = 11 x₂= 22 𝐻0 : 𝑝̂ ₁ = 𝑝̂ 2 𝐻𝐴 : 𝑝̂ ₁ ≠ 𝑝̂ 2 Paso 2. Hipótesis Paso 3. Nivel de Significancia Paso 4. Estadístico de Prueba α=0.05 (𝑝̂1 − 𝑝̂ 2 ) − 𝑧𝛼 √ 2 𝑝̂1 (1 − 𝑝̂1 ) 𝑝̂ 2 (1 − 𝑝̂ 2 ) + 𝒏𝟏 𝒏𝟐 𝑝̂1 (1 − 𝑝̂1 ) 𝑝̂ 2 (1 − 𝑝̂ 2 ) + 𝒏𝟏 𝒏𝟐 2 11 𝑝̂ ₁ = 150 𝑝̂ ₁ = 0.0733 22 𝑝̂ ₂ = 150 𝑝̂ ₂ = 0.1466 (𝑝̂1 − 𝑝̂ 2 ) + 𝑧𝛼 √ Paso 5. Regla de Decisión 0.0733(1 − 0.0733) + 0.1466 (1 − 0.1466) = (0.0733 − 0.1466) − 0.06√ (150)(150) −0.0733 − (0.06)(2.9290𝑥10−3 ) = −0.0734 0.0733(1 − 0.0733) + 0.1466 (1 − 0.1466) = (0.0733 − 0.1466) + 0.06√ (150)(150) −0.0733 + (0.06)(2.9290𝑥10−3 ) = −0.0731 Paso 6. Toma de Decisión Paso 7. Resultados Decisión: 𝐻0 no se rechaza a) ¿Qué proveedor parece mejor? El primer proveedor es el que parece mejor, ya que tiene menos piezas que no pasaron la prueba, sin embargo, como fue una prueba aleatoria, puede que al realizar las pruebas no se confirme este parecer. CONTROL ESTADÍSTICO DE LA CALIDAD Y SEIS SIGMA b) ¿Existe una diferencia significativa entre los dos proveedores? Pruebe la hipótesis correspondiente a 95% de confianza No, no existe una diferencia significativa entre los dos proveedores, por lo tanto, la Hipótesis Nula no se rechaza teniendo en cuenta un Nivel de Confianza del 95%. 4.43 La prueba actual de un solo disco se tarda 2 minutos en promedio. Se propone un nuevo método de prueba que consiste en medir sólo los radios 24 y 57, donde casi es seguro que estará el valor mínimo buscado: Si el método nuevo resulta igual de efectivo que el método actual, se podrá reducir en 60% el tiempo de prueba. Se plantea un experimento donde se mide la densidad mínima de metal en 18 discos usando tanto el método actual como el método nuevo con los siguientes resultados: Paso 1. Datos Paso 2. Formula Paso 3. Procedimiento Paso 4. Gráficas Cálculos y operaciones realizados por Minitab Histograma de nuevo, actual Damariz Rebolledo nuevo 4.8 3.6 Frecuencia 2.4 1 .2 0.0 actual 4.8 3.6 2.4 1 .2 0.0 1 .8 CONTROL ESTADÍSTICO DE LA CALIDAD Y SEIS SIGMA 1 .9 2.0 2.1 2.2 Paso 5. Interpretación. a) Pruebe la igualdad de las medias usando la prueba pareada. El estadístico de prueba me muestra que es muy semejante, sin embargo no se puede comprobar que en realidad son equivalentes o que el nuevo método supera al antiguo. b) ¿Cuál es el criterio de apareamiento? IC de 95%. c) Realice el análisis de los datos ignorando el apareamiento. Compare con los resultados del inciso a). “La semejanza es mucha por lo tanto se acepta” d) ¿Comente cuál análisis es el correcto, el del inciso a) o el del c)? El análisis puesto que es un poco más detallado y especifico al mencionar que no es seguro que nuestros dos métodos sean semejantes o se cumpla el objetivo. e) ¿Recomendaría usted la adopción del nuevo método? Argumente su respuesta. En realidad si apoyaría la introducción de este nuevo método puesto que los resultados son un 95% positivos y eso para mí es más que suficiente. 4.44 En una prueba de dureza, una bola de acero se presiona contra el material al que se mide la dureza. El diámetro de la depresión en el material es la medida de su dureza. Se dispone de dos tipos de bolas de acero y se quiere estudiar su desempeño. Para ello, se prueban ambas bolas con los mismos 10 especímenes elegidos de manera aleatoria y los resultados son: CONTROL ESTADÍSTICO DE LA CALIDAD Y SEIS SIGMA Paso 1 Hipótesis Paso 2 Nivel de significancia Paso 3 Formula Paso 4 Regla de decisión Paso 5 Toma de decisión Paso 6 Conclusiones 𝐻0 = 𝜇𝐷 = 0 𝐻𝐴 = 𝜇𝐷 ≠ 0 α= 0.05. 𝑑̅ 𝑡0 = 𝑠 𝑑 ⁄ √𝑛 REGLA DE DECISIÓN 𝐻0 Se rechaza si el valor estadístico de prueba (t) es mayor al valor P Valor T = 1.00 Valor p = 0.344 DECISIÓN: Como el valor p = 0.344 es menor que 𝑡0 = 1.00 𝐻0 no se rechaza. a) Analice paso a paso cómo se hizo el experimento y explique por qué es importante realizarlo de esa manera. b) Pruebe la hipótesis de que ambas bolas proporcionan las mismas mediciones de dureza en cuanto a la media. Como el valor p = 0.344 es menor que 𝑡0 = 1.00 𝐻0 no se rechaza c) Pruebe la igualdad de las bolas sin considerar que están pareadas. Compare los resultados con los obtenidos en el inciso b). El valor t=0.99 y el valor p=0.339 siendo de la misma manera que en el inciso anterior menor el valor p que el valor t. d) ¿En qué situación se esperaría que los análisis de los incisos b) y c) den los mismos resultados? En que la media sea igual y se asuma que las varianzas de igual manera. 4.45 Se conduce un experimento para determinar si el uso de un aditivo químico y un fertilizante estándar aceleran el crecimiento de las plantas. En cada una de 10 localidades se estudiaron dos plantas sembradas en condiciones similares. A una planta de cada localidad se le aplicó el fertilizante puro y a la otra el fertilizante más el aditivo. Después de cuatro semanas el crecimiento en centímetros fue el siguiente: CONTROL ESTADÍSTICO DE LA CALIDAD Y SEIS SIGMA Paso 1 Hipotesis Paso 2 Nivel de significancia Paso 3 Formula Paso 4 Regla de decisión Paso 5 Toma de decisión Paso 6 Conclusiones 𝐻0 = 𝜇𝐷 = 0 𝐻𝐴 = 𝜇𝐷 ≠ 0 α= 0.05. 𝑑̅ 𝑡0 = 𝑠 𝑑 ⁄ √𝑛 ̅̅̅̅̅̅ −2.0 𝑡0 = = −2.928 2.160⁄ √10 REGLA DE DECISIÓN 𝐻0 Se rechaza si el valor estadístico de prueba (t) es mayor al valor P Valor T = -2.93 Valor p = 0.017 DECISIÓN: Como el valor p = 0.017 es menor que 𝑡0 = −2.928 𝐻0 no se rechaza. a) ¿Los datos obtenidos apoyan la afirmación de que el aditivo químico acelera el crecimiento de las plantas? Plantee las hipótesis apropiadas para las medias y pruébelas usando α= 0.05. T pareada para Sin Aditivo - Con Aditivo Error estándar de la N Media Desv.Est. media Sin Aditivo 10 22.20 5.45 1.72 Con Aditivo 10 24.20 5.63 1.78 Diferencia 10 -2.000 2.160 0.683 b) Obtenga un intervalo a 95% de confianza para la diferencia promedio 𝝁𝑫 Con una confianza del 95%, se concluye que el aditivo químico no aceleran el crecimiento por igual, las mediciones que reportan son estadísticamente diferentes. CONTROL ESTADÍSTICO DE LA CALIDAD Y SEIS SIGMA 4.46 Se realizó un experimento para ver si dos técnicos tienen alguna tendencia a obtener diferentes resultados cuando determinan la pureza de cierto producto. Cada muestra fue dividida en dos porciones y cada técnico estableció la pureza de una de las porciones. Los resultados se muestran a continuación: 𝐻0 : 𝜇𝐷 = 0 𝐻𝐴 : 𝜇𝐷 ≠ 0 α= 0.05. Paso 1 Hipótesis Paso 2 Nivel de significancia Paso 3 Formula Paso 4 Regla de decisión Paso 5 Toma de decisión 𝑑̅ 𝑡0 = 𝑠 𝑑 ⁄ √𝑛 REGLA DE DECISIÓN 𝐻0 Se rechaza si el valor estadístico de prueba (t) es mayor al valor P Valor T = 3.30 Valor p = 0.013 Histograma de Diferencias (Damariz Rebolledo) (con Ho e intervalo de confianza t de 95% para la media) 3.0 2.5 Frecuencia 2.0 1.5 1.0 0.5 0.0 -0.5 _ X Ho -0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 Diferencias Paso 6 Conclusiones DECISIÓN: Como el valor p = 0.013 es menor que 𝑡0 = 3.30 𝐻0 no se rechaza. a) Estos datos deben analizarse en forma pareada, explique por qué. Estas muestras se toman en forma pareada porque ambas muestras se ven como pares porque tienen en común a los técnicos que empeñan los dos tipos de técnicas. b) Formule la hipótesis correcta para el problema. CONTROL ESTADÍSTICO DE LA CALIDAD Y SEIS SIGMA 𝐻0 : 𝜇𝐷 = 0 𝐻𝐴 : 𝜇𝐷 ≠ 0 c) Pruebe la hipótesis y obtenga conclusiones. Como el valor p = 0.013 es menor que 𝑡0 = 3.30 𝐻0 no se rechaza. d) Si los técnicos son diferentes, ¿hay alguna evidencia acerca de cuál de ellos hace mal el trabajo? Si, la gráfica del paso 5 demuestra la gran diferencia de quien de los dos ha tenido mayor eficiencia en la pureza de cierto producto. e) ¿Qué recomendaría para lograr una mayor uniformidad en las determinaciones de los dos técnicos? Tener el mismo proceso para cada producto. 4. 47 Buscar por medio de Internet, por ejemplo en scholar. google.com, un artículo de una revista científica o tecnológica donde se reporte el resultado de una investigación donde se comparen dos tratamientos, ya sea medias, medias pareadas, varianzas o proporciones. Anotar la referencia completa, es decir: autor( es), año, título del trabajo y nombre de la revista; además hacer una síntesis de lo que trata el artículo, detalles de los tratamientos que compara, los análisis estadísticos que hacen y las principales conclusiones. Bibliografía Academicos, S. d. (2006). XVI Verano de la investigación cientifica. Villahermosa, Tabasco, México: Memorias de congresos y simponsios. En este artículo nos habla de la evaluación del aprovechamiento de los alimentos, para poder conocer su valor nutricional real. La determinación de su digestibilidad para poder realizar dietas de bajo costo. Principalmente tienen como objetivo determinar la digestibilidad in vitro de de alimentos e ingredientes para tilapia utilizando extractos enzimáticos de la especie. Por medio de graficas estadísticas, apoyándose de los gl, valores p y medias que estos arrojen. La primera grafica que se muestra es de actividad proteolica de tactos digestivos de tilapias sometidas a diferetes alimentos. CONTROL ESTADÍSTICO DE LA CALIDAD Y SEIS SIGMA La segunda tabla muestra el resultado de proteolica acida con hemoglobina en tactos digestivos de tilapias. Y el tercer resultado nos muestra la actividad enzimática de los alimentos empleados en tilapias. De acuerdo a los resultados obtenidos al determinar la digestibilidad de los alimentos e ingredientes para la tilapia del nilo mediante cinética de absorbancias se concluyó que todos los alimentos pueden ser utilizados y aprovechados sin embargo el resultado nos muestra claramente que tiene un efecto más notorio la proteolica acida con hemoglobina en tactos digestivos de tilapias. 4. 48 Investigación sobre el sobrepeso y obesidad en tu escuela. Un problema de salud mundial es el sobrepeso y obesidad de la población en todas las edades. Se propone que mediante trabajo en equipo se desarrolle el siguiente proyecto, cuyo objetivo es profundizar en el conocimiento de la magnitud de este problema en el contexto escolar por sexo, comparar esta magnitud con los datos nacionales y afianzar los métodos vistos en los capítulos anteriores. El material requerido será una báscula adecuada CONTROL ESTADÍSTICO DE LA CALIDAD Y SEIS SIGMA para medir el peso de un individuo y una cinta métrica, preferentemente de pared. Las actividades a desarrollar son las siguientes. a) Integrar un equipo de tres a cinco miembros, e investigar sobre el tema de obesidad para hacer un breve reporte sobre el problema: antecedentes, por qué es importante, su nivel actual en algunos países. Dentro de los antecedentes se deberá resaltar la forma en que se calcula el índice de masa corporal (IMC), puntualizando las recomendaciones para medir el peso y estatura de un individuo. Se sugiere consultar la Encuesta Nacional de Salud (ENSANUT), México 2008. b) Establecer un método de muestreo aleatorio para seleccionar una muestra de estudiantes de la misma escuela para cada sexo. Es deseable que se seleccione de manera aproximada la misma cantidad de hombres que de mujeres, y en conjunto sean al menos 150 personas. Reportar los detalles del método de muestreo seguido. c) Diseñar un breve cuestionario para aplicarlo a los individuos seleccionados en la muestra y obtener de ellos su información básica (edad, carrera que estudian, sexo, si además de estudiar trabajan) y algunos de los principales hábitos relacionados con la salud, como son los de alimentación, la actividad física y su percepción personal de los entrevistados sobre si están satisfechos con su peso. El cuestionario debe ser breve, de un máximo de 20 preguntas, la mayoría de ellas de opción múltiple, y se concluye con los datos de peso y estatura del entrevistado. Para el diseño del cuestionario se pueden consultar encuestas parecidas que se han utilizado en investigaciones sobre los hábitos de los jóvenes. d) Hacer un análisis por sexo de las principales preguntas cualitativas del cuestionario. e) Analizar en forma descriptiva el peso y estatura de los estudiantes, en forma global y luego en forma separada por sexo. Escribir los aspectos más relevantes de este análisis. f) Además hacer una gráfica de dispersión del tipo x-y por sexo para relacionar la estatura y con el peso. Anotar los aspectos más relevantes. Investigación El estado de Tamaulipas enfrenta un severo reto ante los problemas que provocan el sobrepeso y obesidad, con 73% de adultos con este mal; el sector salud, arrancara un tercer tamizaje para determinar prevalencia entre niños y adolescentes. De acuerdo a información de la Encuesta Nacional de Salud y Nutrición 2006 del Instituto Nacional de Salud Pública, citada por las autoridades estatales, esta entidad ocupa el séptimo lugar con una prevalencia de sobrepeso y obesidad combinada de 31.4 por ciento en los niños CONTROL ESTADÍSTICO DE LA CALIDAD Y SEIS SIGMA de 5 a 11 años de edad. El sexto lugar en adolescentes de 12 a 19 años con 38 por ciento y el onceavo en mayores de 20 años de edad con 73 por ciento. Es decir, que 7 de cada 10 adultos en Tamaulipas presentan sobrepeso u obesidad. El Secretario de Salud en la entidad, Norberto Treviño García Manzo, reconoció que este padecimiento representa uno de los retos más importantes para el estado, y prioritario para la presente administración, encabezada por el Gobernador Egidio Torre Cantú. Por ello, el sector a su responsabilidad efectuará mediante un estudio muestral a través de las 12 jurisdicciones sanitarias del Estado, en coordinación con el sector educativo y cuyos resultados se obtendrán y darán a conocer a inicios del 2013. "Los niños y adolescentes son el presente y futuro de Tamaulipas, por ello el gobierno de Egidio Torre Cantú quiere garantizar su salud para alcanzar el desarrollo máximo de sus capacidades, con énfasis en el auto cuidado de la salud y la prevención para alejar las enfermedades y atender todos los ángulos de las irremediables enfermedades crónicas no transmisibles", indicó. Muestras tomadas de IMC 28 29 25 30 26 28 28 20 27 25 23 24 28 22 30 26 21 26 26 24 21 27 20 23 20 28 29 25 21 25 24 20 22 28 20 30 20 22 26 24 30 23 22 27 26 30 21 24 27 24 Cuestionario 1. 2. 3. 4. Sexo: Hombre Mujer Edad: 19-23 23-28 ¿Diría que lleva una dieta equilibrada? Si No ¿Cuántas veces a la semana realiza ejercicio? 1- 2 Todos los días Nunca Peso mujeres 27 de Hacen ejercicio no CONTROL ESTADÍSTICO DE LA CALIDAD Y SEIS SIGMA Peso hombres 29 de Hacen ejercicio no 30 26 24 26 27 23 21 22 26 25 28 29 27 21 30 28 30 23 no si si no no si si no no si si no no si si no no si 22 29 25 24 24 20 21 21 22 24 25 20 26 25 25 22 24 20 no si si no no si si no no si si no no si si no no si 21 si Diagrama de dispersión Gráfica de dispersión de Pesos vs. alturas (Damariz Rebolledo) 32 30 Pesos 28 26 24 22 20 150 155 160 165 170 175 180 185 alturas En este diagrama se puede observar que para la población que se está analizando existe un muy alto IMC, esto quiere decir que la mayoría de los jóvenes analizados tienen obesidad o se CONTROL ESTADÍSTICO DE LA CALIDAD Y SEIS SIGMA encuentran a punto de tenerla, también se observa que el IMC no está de acuerdo a las medidas de altura, esto ocurre en más del 65% de los analizados. 4.49 En el ejemplo 4.8 se hizo un estudio para comparar dos básculas. En esta actividad se propone que en grupo se desarrolle un estudio similar donde se comparen dos procesos de medición, pueden ser dos equipos (básculas, vernieres, etc.) o bien dos procesos de medición (mismo equipo operado por dos personas diferentes, mismo equipo, pero variando alguna otra condición). Se recomienda que en cualquier caso se midan por lo menos 10 piezas o muestras dos veces, una vez con cada equipo o proceso. Además, se sugiere que las piezas sean considerablemente diferentes, esto permitirá hacer mejor la comparación. Elaborar un reporte de la investigación: título, objetivo, descripción del problema, equipo y piezas medidas, resultados, análisis y conclusiones. ESTUDIO DE COMPARACIÓN OBJETIVO Lograr realizar una comparación de diferentes piezas para obtener un análisis y desarrollar resultados satisfactorios al problema. DESCRIPCIÓN DEL PROBLEMA Se pretende desarrollar el proceso de medición por medio de estudios similares esto para obtener una comparación de diferentes piezas propuestas. PIEZAS MEDIDAS CONTROL ESTADÍSTICO DE LA CALIDAD Y SEIS SIGMA RESULTADOS Con la medición de cada pieza diferentes se obtuvieron resultados que variaban, algunos en gran medida a diferencia de otros. ANALISIS Cualquier objetivo de medición es correcto, sin embargo no todas las muestras o piezas son medibles con el mismo instrumento. CONCLUSIÓN Con esto podemos concluir que existen diferentes métodos de medición que nos permiten llegar a un mismo objetivo que es conocer la medida exacta de la muestra o pieza que estemos evaluando. CONTROL ESTADÍSTICO DE LA CALIDAD Y SEIS SIGMA