MODELO DE TRIPLEPOROSIDAD YACIMIENTOS NATURALMENTE FRACTURADO

Universidad Autónoma del Carmen
Facultad de Química
SIMULACIÓN NUMERICA EN YACIMIENTOS
NATURALMENTE FRACTURADOS
MÉTODOS PARA MODELAR
FLUJO DE FLUIDOS
EN UN SISTEMA
FRACTURADO
MODELO DE:
Barenblatt 1960
Warren and Root 1963
Kazemi 1969
Streltsoba 1983
Barker 1988
Camacho/Cols y Rodriguez/Cols 2008
PRESENTAN:






José Manuel Gómez Martínez
Victor Antonio Yam Che
Yael Aldahir Martiñón Aguilar
Leonel Cantú Román
Alex Ofir Jiménez García
Jorge Axel Granados Alonso
PROFESOR:
Ing. Eduardo Rosado Vázquez
CD. DEL CARMEN, CAMPECHE A 15 DE OCTUBRE DEL 2018
Contenido
Solución para Yacimientos de Doble Porosidad .................................................................................. 3
Modelo de Warren & Root .............................................................................................................. 4
Modelo de Kazemi (1969) ............................................................................................................. 13
Modelo de Tatiana D. Streltsova (1983) ....................................................................................... 19
Modelo de Barker 1988................................................................................................................. 21
MODELO DE TRIPLE POROSIDAD ...................................................................................................... 25
(Camacho/Cols y Rodríguez/Cols) 2008 ........................................................................................ 25
Introducción
Los yacimientos naturalmente fracturados se pueden definir como yacimientos que
contienen fracturas, ya sean planas o discontinuas creadas por procesos tectónicos o
de cambio de volumen (Sarma, 2003). En estos sistemas rocosos las fracturas se pueden
considerar como porosidades secundarias las cuales, al estar conectadas entre sí, estimulan
el flujo en el yacimiento. Sin embargo, dichos conductos pueden llevar a la producción
prematura de agua lo que resulta en el fracaso de métodos de recobro empleados en
las zonas de interés.
Usualmente se ignora la presencia de fracturas en los yacimientos, no obstante con el
tiempo de producción las simulaciones dejan de ajustarse a los resultados reales y los
tratamientos de remediación no impactan como se requieren.
Es por esto que se hace necesario el uso de modelos que representen la naturaleza de
éstos yacimientos para un mayor entendimiento del comportamiento de flujo y los
distintos mecanismos de intrusión de agua que puedan llevar a la muerte prematura
de pozos productores.
En éste documento se analizaran los distintos métodos de estudio de los sistemas
fracturados, y las estrategias de solución que puedan impactar más en los diferentes
escenarios.
Solución para Yacimientos de Doble Porosidad
Dada la importancia de los Yacimientos Naturalmente (YNF), sobre todo en los yacimientos
de México de donde se extrae la mayor producción actualmente, en esta sección se
menciona el modelo propuesto por Warren & Root para el análisis de pruebas de presión
en este tipo de yacimientos.
Los Yacimientos Naturalmente Fracturados también se conocen como sistemas de doble
porosidad. La matriz relativamente tiene permeabilidad baja, mientras que la fractura
usualmente existe como una intercomunicación, con permeabilidad alta. Dos
comportamientos básicos ocurren en estos yacimientos. Si las fracturas existen y dominan
la tendencia del flujo en una sola dirección, el yacimiento puede parecerse a aquellos que
tiene una permeabilidad anisotrópica, y se aplica un método apropiado para este caso. La
segunda clase de yacimientos, exhiben dos distintos tipos de porosidad. La región matriz
contiene poros finos y a menudo su porosidad es alta. La región restante es un conjunto de
fracturas intercomunicadas, fisuras y cavernas tiene porosidad baja y permeabilidad alta
comparada con la matriz. Idealmente se estima la permeabilidad del medio con el análisis
de cada región mediante datos de pruebas de presión. Varios modelos de yacimiento de
doble porosidad están disponibles, siendo el modelo de Warren y Root el más utilizado para
estos casos.
Modelo de Warren & Root

Premisas
El modelo de Warren & Root (1963), es una forma simplificada del modelo de doble
porosidad en el cual se intenta resolver la Ecuación de Difusividad dentro de bloques
individuales, que representan el medio poroso fracturado.
En este modelo se superponen dos sistemas porosos con diferentes características. La
porosidad primaria que corresponde a la porosidad matriz y la porosidad secundaria que
corresponde a la red de fracturas. Si embargo este modelo simplifica a dos medios
distribuidos: matriz y fracturas.
La matriz se considera de capacidad de alta de almacenamiento y permeabilidad baja,
mientras que las fracturas se consideran con capacidad baja de almacenamiento y
permeabilidad alta.
El Modelo de Warren & Root presenta al yacimiento fracturado como un sistema idealizado
formado por paralelepípedos rectangulares idénticos separados por una red ortogonal de
Fracturas (Fig. x).
Se considera que el flujo hacia el pozo ocurre en la red de fracturas mientras que la matriz
continuamente alimenta al alimenta al sistema de fracturas bajo condiciones de flujo
pseudoestacionario.

Modelo Conceptual
Fig. X Sistema idealizado para un yacimiento naturalmente fracturado (Warren & Root,
1963).
Bajo condiciones de régimen transitorio, la respuesta de la presión se ha desarrollado como
función de dos nuevos parámetros adimensionales que son λ y ω.
Donde ω, es una medida de la capacidad de almacenamiento de las fracturas y λ es un
parámetro que gobierna el flujo interporoso, es decir la facilidad con que la matriz aporta
fluido a las fracturas.

Modelo Matemático
El modelo matemático que describe el sistema que describe el sistema idealizado para
un yacimiento naturalmente fracturado o de doble porosidad (Figura X), es la ecuación
de continuidad para un dominio fracturado, en 2D y un fluido ligeramente
compresible, por lo tanto, la ecuación de Warren & Root (1963) es:
𝑘𝑓𝑥 𝜕 2 𝑝𝑓 𝑘𝑓𝑦 𝜕 2 𝑝𝑓
𝜕𝑝𝑓
𝜕𝑝𝑚
+
− 𝜙𝑚 𝑐𝑚
= 𝜙𝑓 𝑐𝑓
2
2
𝜇 𝜕𝑥
𝜇 𝜕𝑦
𝜕𝑡
𝜕𝑡
Donde:
Kf= Permeabilidad en Fractura.
Km= Permeabilidad en la matriz.
Φf= Porosidad en Fractura
Φm= Porosidad en la matriz.
Cf= Compresibilidad en la Fractura.
Cm= Compresibilidad en la matriz.
De acuerdo con Warren & Root, si el estado pseudoestacionario existe en el sistema
matriz, la ley de Darcy es aplicable y la siguiente ecuación es válida para cada punto en
el sistema Matriz:
𝜙𝑚 𝑐𝑚
𝜕𝑝𝑚 𝛼𝑘𝑚
=
(𝑝𝑓 − 𝑝𝑚 )
𝜕𝑡
𝜇
Ambas ecuaciones anteriores definen el modelo de doble porosidad para flujo
monofásico.
Es importante entender que la primera ecuación es la ecuación que gobierna el flujo de
fluidos en sistema fracturado y la segunda ecuación define al sistema matriz.

Solución del Modelo Matemático
El parámetro α en la segunda ecuación se define como el factor de forma que refleja la
geometría de la matriz y controla el flujo entre dos medios porosos. Warren & Root
establecieron la siguiente definición de factor de forma para bloques de matriz cúbicos:
𝛼=
4𝑛(𝑛 + 2)
𝑙2
Donde n es el conjunto de fracturas normales y l es la longitud característica dada por
las ecuaciones siguientes donde a,b y c son longitudes del bloque de matriz cúbico.
Aplicando la ecuación de difusividad para un yacimiento con la geometría del modelo
planteado por Warren & Root, se obtienen las ecuaciones siguientes en forma radial
adimensional:
8
En este modelo se considera que el flujo de fluidos de la matriz al sistema de fracturas es
proporcional a la diferencia de presión entre los dos medios.
Warren & Root (1963) concluyeron que son suficiente dos parámetros λ y ω a fin de
describir el comportamiento de doble porosidad.
Modelo de Barenblatt (1960)
La manera más simple de ver un yacimiento naturalmente fracturado es la idealización de
Barenblatt y sobre un yacimiento fisurado, la cual considera un sistema de bloques porosos,
separados por un sistema de fisuras.

Modelo Conceptual
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9
Fig. X Medio continúo del modelo de Barenblatt
El sistema de fisuras impide la difusión directa entre bloques adyacentes, y el volumen del
sistema de fisuras es muy pequeño en comparación de los bloques. Entonces los bloques
proveen el almacenamiento de masa y las fisuras las vías de flujo.

Premisas
La construcción de la construcción de este modelo introduce dos presiones para los fluidosla presión Pm en los bloques y la Presión Pf en el sistema de fracturas donde cada una de
ellas es un promedio sobre un volumen que contiene una cantidad sustancial de bloques.
La matriz puede ser vista como el volumen que contiene una cantidad sustancial de bloques.
La matriz puede ser vista como una fuente que alimenta a la red de fracturas. Es importante
mencionar que el considerar bloques de matriz cúbicos es una interpretación de Warren &
Root del Barenblatt, la cual es restrictiva e innecesaria, ya que los bloques de matriz no
requieren tener una forma específica.
Recientemente, se ha presentado un nuevo modelo que permite interpretar la respuesta
de presión en yacimientos naturalmente fracturados con porosidad vugular; el modelo
considera que existe una interacción matriz, vúgulos y sistema de fracturas. Se consideran
dos casos: sin flujo a través de los vúgulos, el cual es una extensión del modelo de Warren
& Root y el segundo, cuando el proceso de disolución de las gargantas de los poros ha
creado un sistema interconectado de vúgulos y cavernas.

Modelo Matemático
La expresión matemática que describe la idealización de Barenblatt:
Si (Vφc)m es el almacenamiento en la matriz y Pm la presión promedio en la matriz,
entonces se puede demostrar que:
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Para considerar la transferencia de fluido entre la matriz y el sistema de fracturas, se
obtiene la relación siguiente aplicando el principio de conservación de masa y la Ley de
Darcy
Si se hace V/Am igual a l , entonces la ecuación anterior puede ser escrita como
Ecuación expresada en términos adimensionales y coordenadas cilíndricas:

Solución
Desde el punto de vista Analítico es posible obtener tres soluciones aproximadas
1.- Si en la ecuación anterior se toma el límite cuando u→ 0, entonces
f(u)=1
2.- Reagrupando la ecuación de f(u) como se indica a continuación:
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11
Y tomando el límite u→ ∞
𝑓(𝑢) =
𝜔
𝜔2
−
1−𝜔 1−𝜔
Entonces
f(u→ ∞)= ω
3.- Streltsova-Adams mostró una aproximación que también puede ser empleada cuando
λ<<(1-ω)u y ω<<λ / [(1-ω)u]. Bajo estas condiciones:
𝑓(𝑢) =
𝜆
𝑢(1 − 𝜔)
Cuando se aplica u→ ∞ el soporte de presión de la matriz es despreciable y el yacimiento
se comporta como si fuera un sistema homogéneo con el producto porosidadcompresibilidad igual a (Vφ ct)f. Cuando se aplica la solución 1, el yacimiento se comporta
como si el producto porosidad efectiva-compresibilidad fuese igual a (Vφ ct)f +(Vφ ct)m.
La figura 2 muestra la respuesta para un pozo produciendo a gasto constante en un
yacimiento naturalmente fracturado de extensión infinita. Se muestra la influencia de λ y
ωEl tiempo adimensional está basado en (Vφct)f. A tiempos pequeños el pozo se comporta
como un sistema homogéneo con una porosidad-compresibilidad (Vφct)e = (Vφct)f,
(f(u)≈ω) y a tiempos grandes con una compresibilidad efectiva (Vφct)e =(Vφct)f+(Vφct)m,
(f(u)≈1). Durante estos dos periodos, se hacen evidentes dos líneas rectas semilogarítmicas
con pendientes aproximadamente igual a 1.51 cada una de ellas.
Frecuentemente se menciona que la respuesta de las líneas paralelas es característica de
los yacimientos naturalmente fracturados en flujo con geometría radial. El parámetro ω
gobierna la longitud entre las dos rectas semilogarítmicas y λ gobierna el tiempo al cual la
primera línea recta termina y también el tiempo al cual la segunda línea recta comienza.
Durante el periodo de tiempo intermedio pwD≈constante, [f(s)≈λ/u(1-ω)].
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Modelo de Kazemi (1969)
Modelo conceptual
Kazemi presento un modelo para le análisis de presión transitoria en yacimientos
naturalmente fracturados con distribución de fracturas uniforme , idealizo el yacimiento
fracturados, el cual consiste en un conjunto de capas de matriz horizontalmente
espaciadas y uniformes asi como un conjunto de fracturas espaciadas donde existe un
contraste de las permeabilidades entre las capas de matriz y fracturas en donde la matriz
contribuye dentro del pozo
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Premisas
El modelo considerado por estos autores se muestra en la figura 3. Una vez más
suponemos que la producción toma lugar vía el sistema de fracturas. A diferencia del
modelo de Barenblatt, este modelo examina la forma de los bloques de la matriz y es
conocido como “Modelo transitorio de flujo interporoso” ambos autores mostraron que
las principales características del modelo de Barenblatt se conservan. Las diferencias son
evidentes solo en el período intermedio entre los dos periodos semilogarítmicos lineales
mostrados en la figura 2.
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Figura 2. Presión adimensional, Pwd vs tiempo adimensional tD. Modelo de Warren y root
En esencia, la respuesta del yacimiento fracturado está gobernada por dos parámetros: λ’,
ω’ .
Ecuaciones
Considerando uno de los elementos simétricos del sistema, Serra, Reynolds y Raghavan en
1983 mostraron que f(u) está dada por:
𝜆′ 𝜔 ′
3𝜔′𝑢
𝑓(𝑢) = 1 + √
tanh(√
3𝑢
𝜆′
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Figura 3. Esquema de un yacimiento con elementos rectangulares de matriz
Las definiciones de ω’ y λ’ son, respectivamente
𝜔′ =
(𝜙𝑐1 ℎ)𝑚
(𝜙𝑐1 ℎ)𝑓
Y
12𝐿2 (𝑘ℎ)𝑚
𝜆 = 2
ℎ𝑚 (𝑘ℎ)𝑓
′
y u es la variable de Laplace considerando tD basado en (φct)f. En esencia la ecuación
(1.48) sugiere que la respuesta natural de un yacimiento fracturado está gobernada por
dos parámetros λ’, ω’ . Nuevamente, es posible mostrar que:
𝑓(𝑢 → ∞) = 1;
Y
𝑓(𝑢 → 0+ ) = 1 + 𝜔′ .
Durante estos periodos de flujo, se hacen evidentes líneas rectas semilogarítmicas con
pendientes aproximadamente iguales a 1.151. La distancia entre las dos rectas depende
de 1+ω´. El parámetro λ’ gobierna el tiempo al que la respuesta del pozo se desvía o se
une con la línea recta semilogarítmica.
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La aproximación del tiempo intermedio se obtiene con la suposición de que u es
suficientemente grande tal que tanh x ≈ 1 y λ′ω′/(3u) >>1. Bajo estas circunstancias f (u)
puede ser aproximado por
𝑓(𝑢) ≈ √
𝜆′ 𝜔 ′
3𝑢
Solución
La importancia de esta aproximación radica en que sugiere la posible existencia de una
línea recta semilogarítmica intermedia con una pendiente igual a un medio de la primera
o terceras líneas semilogarítmicas, para ciertos rangos del valor de λ’ y ω’ (Serra y cols.
1983 y Streltsova 1983). Por lo tanto, puede ser evidente un quiebre de la pendiente de la
línea recta en una gráfica de decremento o incremento de presión debido a diferentes
razones. Esto enfatiza la necesidad de incorporar consideraciones geológicas cuando se
analiza una prueba de presión. Las figuras 4 y 5 presentan una respuesta típica de un pozo
que sigue la idealización de Kazemi. La letra x indica el comienzo o el fin de un segmento
de línea recta. Para el rango de tiempo considerado aquí, la respuesta del pozo que refleja
la ecuación 1.51 no es evidente porque ω’ es grande. Obsérvese que la duración de la
línea recta semilogarítmica que indica la ecuación 1.53 se incrementa conforme ω’ crece.
El quiebre en la pendiente es evidente. Las figuras, sin embargo, muestran que las
respuestas deben estar disponibles en varios ciclos para identificar ambas líneas rectas
con precisión.
Si comparamos estas respuestas con la idealización de Warren y Root para valores
idénticos de λ y ω (λ’ ≈λ, ω’≈1/[1+ω’]), encontraremos que el periodo de transición
comienza mucho más temprano y termina más tarde que si usamos la idealización de
Kazemi.
Este comportamiento es una característica de los modelos de interporosidad transitoria.
Como puede verse, la solución de un yacimiento homogéneo se puede usar para modelar
la solución de un yacimiento naturalmente fracturado simplemente reemplazando la u en
el argumento de la función de Bessel o función exponencial por uf(u).
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Figura 4. Efecto de λ sobre la existencia y duración de los regímenes de flujo; ω’=103
(Serra, 1981).
Figura 5. Efecto de λ sobre la existencia y duración de los regímenes de flujo; ω’=104
(Serra, 1981).
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Modelo de Tatiana D. Streltsova (1983)
Esta autora asume que el gasto de flujo para la matriz a fractura es proporcional al promedio
de gradiente de presión a través de la matriz y que el flujo de matriz a la fractura es vertical.
El gradiente de presión esta dado por el resultado de aplicar la transformada de Laplace a
la ecuación que describe la distribución de la presión en la matriz
𝜕 2 ∆𝑃̅𝑚
𝑠
=
∆𝑃̅ (∗ 1)
𝜕𝑧 2
𝜂𝑚 𝑚
Donde:
S = parámetro de Laplace
Y el flujo es una función para
𝜕∆𝑃𝑚
(∗ 1)
𝜕𝑡
La distribución de la matriz (asumiendo flujo vertical) está dada por la Ec.*3
𝜕 2 ∆𝑃𝑚
1 𝜕𝑃𝑚
=
(∗ 3)
𝜕𝑧 2
𝜂𝑚 𝜕𝑡
La solución para la Ec.*1 en espacio de Laplace es:
∆𝑃̅𝑚 (𝑧) = ∆𝑃̅
𝑠
[𝐶𝑜𝑠ℎ(𝐻 − 𝑧)√𝜂 ]
𝑚
𝑠
[𝐶𝑜𝑠ℎ (𝐻 √𝜂 )]
𝑚
(∗ 4)
Donde las siguientes condiciones de frontera son utilizadas:
∆𝑃̅𝑚 = ∆𝑃̅ 𝑐𝑜𝑛 𝑧 = 0
Y
𝜕∆𝑃̅𝑚
= 0 𝑐𝑜𝑛 𝑧 = 𝐻
𝜕𝑧
La Ec.*4 da la distribución a través de la matriz en respuesta a los cambios de presión en la
relación matriz fractura, ∆𝑃̅.
̅̅, en la cara del bloque z=0, de la Ec.*4 es
El flujo de matriz a fractura, ̅𝑉̅𝑚
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20
̅̅
̅̅ =
𝑉𝑚
̅̅𝑚
̅̅ 𝑘𝑚
𝑘𝑚 𝜕∆𝑃
𝑠
𝑠
=
∆𝑃̅√ 𝑇𝑎𝑛ℎ (𝐻 √ ) (∗ 5)
𝜇 𝜕𝑧
𝜇
𝜂𝑚
𝜂𝑚
En la solución invertida para las Ec.*4 y *5 son respectivamente,
∞
1
1
𝑛𝜋
𝑛𝜋 2
∆𝑃𝑚 (𝑧 ′ ) = ∆𝑃 {1 −
∑
sin ( 𝑧 ′ ) ∙ 𝑒𝑥𝑝 [− ( ) 𝛼𝑡]} (∗ 6)
4
𝑛
2
2
𝑛=1,3,5
Y
2
𝑛𝜋
̅̅
̅̅ = 𝑘𝑚 2∆𝑃𝑚 = 2∆𝑃𝑚 𝐾𝑚 ∑∞
𝑉𝑚
𝑛=1,3,5∙ 𝑒𝑥𝑝 [− ( 2 ) 𝛼𝑡] (*7)
𝜇 𝜕𝑧
𝐻
Streltsova cuenta con una ecuación que describe la distribución de la presión en un
yacimiento naturalmente fracturado, esta es una ecuación diferencial, ella menciona que
esta describe el flujo radial a través de las fracturas argumentando que el flujo de la matriz
(𝑉𝑚 ) esta dada por la siguiente ecuación
𝜕 2 ∆𝑃 1 𝜕∆𝑃 1 𝜕∆𝑃 𝑉𝑚
+
=
+
(∗ 8)
𝜕𝑟 2
𝑟 𝜕𝑟
𝜂 𝜕𝑡
𝑇
Donde:
T = Transmisibilidad efectiva del yacimiento naturalmente fracturado;
𝑘𝑓 ℎ𝑡 𝑚𝑑−𝑓𝑡
𝜇
,
𝑐𝑝
.
ℎ𝑡 = Espesor; ft
𝑉𝑚 = Flujo de matriz – fractura por unidad de área de la interface de matriz – fractura
por unidad de tiempo, para Z=0.
Streltsova concluye que se puede dar una curva para 𝑃𝑤𝑓 contra tiempo en una gráfica semi
– log siendo esta una línea recta de pendiente “m” en un pozo productor de un yacimiento
naturalmente fracturado a gasto constante, la cual será dada por la Ec.*9.
𝑚=
162.6𝑞𝐵𝜇
(∗ 9)
𝑘𝑓 ℎ𝑡
En México los doctores Cinco ley y Samaniego (1985), suponen que el flujo se transfiere solo
a través de la red de fracturas, y que este flujo obedece a la Ley de Darcy, así como que los
gradientes de presión son pequeños y los efectos de gravedad son despreciables.
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Modelo de Barker 1988
Premisas
Listadas debajo están las principales asunciones hechas en el desarrollo del modelo de
flujo radial generalizado. Los símbolos son definidos como estos aparecen, pero una lista
completa de la notación se provee.
1. El flujo es radial, un flujo n-dimensional de una fuente a un medio homogéneo e
isotrópico fracturado, caracterizado por una conductividad hidráulica K f y una
capacidad espefísica Ssf. (Generalización a el caso de un doble medio poroso es
dada en la sección 2.4)
2. La ley de Darcy aplica en todo el sistema.
3. La fuente es una esfera n-dimensional (proyectado a través de un espacio de 3
dimensiones,; e.g., un cilindro finito en 2 dimensiones, Figura 1b) de un radio rw y
una capacidad de almacenamiento de Sw (el cambio volumétrico en el
almacenamiento la cual acompaña a una unidad de cambio en cabeza).
4. La fuente tiene un daño infinitesimal la cual es caracterizado por un factor de daño
sf: la pérdida principal a través de la superficie de la fuente es proporcional a s f y el
índice de flujo a través de la superficie.
5. Cualquier piezómetro en el sistema fracturado tiene un tamaño despreciable y una
capacidad de almacenamiento.
En todo el desarrollo matemático r será usado para representar la distancia radial desde el
centro a la fuente medida en el sistema de flujo fracturado. La distancia real (Euclidian)
desde la fuente debe por lo tanto ser igual a r dividido por la tortuosidad, la cual puede
ser considerado como un parámetro empírico.
Modelo conceptual
FACULTAD DE QUÍMICA – SIMULACIÓN NUMÉRICA EN YNF
22
Figura 1. Geometrías de flujo para dimensiones integrales: (a)
flujo de una dimensión desde un plano (n = 1, v = ½); (b) el flujo
de dos dimensiones de un cilindro (pozo) (n = 2, v = 0); y (c) el
flujo en tres dimensiones desde una esfera (n = 3, v = - ½).
Modelo matemático
Solución general de la ecuación de flujo
Suponiendo que durante todo el periodo Δt la cabeza en estos cambios de la capa por Δh,
así el volumen del agua entrante, desde la ley de Darcy, el índice de flujo volumétrico neto
en la capa y tomando los límites, será
𝜕ℎ
𝐾
𝑓
𝑆𝑠𝑓 𝜕𝑡 = 𝑟 𝑛−1
𝜕
𝜕ℎ
(𝑟 𝑛−1 𝜕𝑟 )
𝜕𝑟
(5)
Será normalmente asumido que las condiciones iniciales es que la cabeza es cero en todo
el sistema:
ℎ(𝑟, 0) = 𝐻(0) = 0 (9)
Laplace transformada de (5) es, usando la condición de (9)
𝑝𝑆𝑠𝑓 ℎ(𝑟, 𝑝) =
𝐾𝑓
𝑑
𝑑ℎ
𝑟 𝑛−1 𝑑𝑟
(𝑟 𝑛−1 𝑑𝑟 )
(10)
La siguiente ecuación representa la solución de Laplace transformada en las ecuaciones de
flujo en la forma de las relaciones entre h, H, y Q. Cada ecuación es de un interés
particular la cuál dependerá de la prueba bajo consideraciones.
𝑄̅ (𝑝)
̅ (𝑝)
𝐻
= 𝑝𝑆𝑤 + 𝐾𝑓 𝑏 3−𝑛 𝛼𝑛 𝑟𝑤𝑛−2 𝜙𝑣 (𝜇)/[1 + 𝑠𝑓 𝜙𝑣 (𝜇)]
̅(𝑟,𝑝)
ℎ
̅ (𝑝)
𝐻
=
𝜌𝑣𝐾𝑣 (𝜇𝜌)
𝐾𝑣 (𝜇)
1+𝑆𝑓 𝜙𝑣 (𝜇)
(23)
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(21)
23
̅(𝑟,𝑝)
ℎ
𝑄̅ (𝑝)
=
𝜌𝑣 𝐾𝑣 (𝜇𝜌)
𝐾𝑣 (𝜇)
∗ [𝑝𝑆𝑤 [1 + 𝑠𝑓 𝜙𝑣 (𝜇)] + 𝐾𝑓 𝑏 3−𝑛 𝑎𝑛 𝑟𝑤𝑛−2 𝜙𝑣 (𝜇)]−1 (25)
La solución puede ser extendida usando un medio poroso doble usando
𝜆2 = 𝑝𝑆𝑠𝑓 [1 + 𝜎𝐵(𝜉)]/𝐾𝑓
(26)
Donde σ es de un radio del almacenamiento de la matriz para el almacenamiento de la
fractura por unidad de volumen,
𝜉 2 = 𝑝𝑆𝑠𝑚 𝑎2 /𝐾𝑚
(27)
Donde Ssm y Km son el almacenamiento específico y la conductividad hidráulica de la
materia de la matriz, y a es el volumen del radio del área de los bloques.
La función B(𝜉) caracteriza la forma de los bloques de la matriz y ha sido denominación en
función de la geometría del bloque (BGF) [Baker, 1985b, c]. Debe ser BGF que ha sido
empleado para las funciones familiares:
𝐵𝜃 (𝜉) = 𝜉 −1 𝐼𝜃 (𝜃𝜉)/𝐼𝜃−1 (𝜃𝜉)
2
(28)
2
La cual corresponde a un bloque en forma plana, cilíndrica y esférica cuando θ es igual a 1,
2 y 3, respectivamente. Las demás extensiones para incluir el daño de fractura [e.g.,
Moench, 1984] es posible, y el lector interesado debería consultar Barker [1985c] para
más detalles.
Solución
El primer caso especial considerado es una prueba de índice constante, la cual incluirá
generalizaciones de la formula normalmente atribuida a Theis, Theim, y Jacob. Usando la
Laplace se transforma usando por la ecuación dada
𝑄̅ (𝑝) = 𝑄𝑜 /𝑝 (29)
Si el agua es inyectada a un índice constante Qo comenzando a un tiempo 0. Note la
convención que Qo es positiva para inyección de agua la cual da positivo en cabezas, desde
que la condición inicial es de 0 en cabeza. Si el agua está siendo extraído entonces los
siguientes resultados permanecen sin resultados, pero h debe ser interpretada como
reducción.
Por lo tanto la integración de los casos dimensionales de (35) son:
ℎ(𝑟, 𝑡) =
1
𝑄𝑜 𝑟
2 2
∗
((𝐾
𝑡/𝜋𝑆
𝑟
)
− 1)
𝑓
𝑠𝑓
2𝐾𝑓 𝑏 2
4𝐾𝑓 𝑡
𝑄
ℎ(𝑟, 𝑡) = 4𝜋𝐾𝑜 𝑏 ∗ [ln( 𝑆
𝑓
𝑠𝑓 𝑟
FACULTAD DE QUÍMICA – SIMULACIÓN NUMÉRICA EN YNF
2
) − 𝛾]
𝑛=1
𝑛=2
24
ℎ(𝑟, 𝑡) =
1
𝑄𝑜
∗ (1 − 𝑟(𝑆𝑠𝑓 /𝜋𝐾𝑓 𝑡)2 )
4𝜋𝐾𝑓 𝑟
donde γ es una constante de Euler.
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𝑛=3
25
MODELO DE TRIPLE POROSIDAD
(Camacho/Cols y Rodríguez/Cols) 2008

PREMISAS
1)
Desarrollar un modelo de triple porosidad - una permeabilidad, para simular
numéricamente el flujo multifásico y multidimensional en yacimientos petroleros
que presentan triple porosidad.
Características:
1.
2.
3.
4.
Tres Dimensiones
Totalmente implícito
Tres Fases
Triple Porosidad
En el modelo propuesto para ser implementado en el simulador, se considera un sistema
compuesto por tres medios, en donde el medio uno posee propiedades bien definidas e
interactúa con otros dos medios que poseen diferentes porosidades y permeabilidades. El
medio uno se considera continuo, mientras que los medios dos y tres proporcionan
almacenamiento pero no contribuyen con el transporte y flujo de los fluidos.
Para el modelo propuesto, un sistema con triple porosidad está compuesto por tres medios:
uno continuo y dos discontinuos anidados, similar a los modelos propuestos por Camacho
y cols y por Rodríguez y cols.
Finalmente cabe mencionar que aunque implícitamente el algoritmo presente algunas
desventajas en el sentido de adquisición de información, también presenta valiosas
ventajas: hay un mayor grado de libertad para poder realizar ajustes de historia en YNF con
triple porosidad.
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26

FORMULACIÓN MATEMÁTICA
Consideraciones geológicas










Porosidad
Sistema de Múltiple Porosidad
Evaluación Cuantitativa de la Porosidad Secundaria
Compresibilidad
Compresibilidad de la Roca
Compresibilidad Total (roca y fluido)
Presión Capilar
Curvas de Presión Capilar
Permeabilidad
Permeabilidad Relativa
MODELO CONCEPTUAL Y MATEMÁTICO
Para un mejor entendimiento del modelo de Triple Porosidad, es necesario definir el
modelo de doble porosidad.

Modelo de Doble Porosidad
El modelo de doble porosidad fue introducido por Barenblatt y cols, y más tarde extendido
por Warren y Root. Los modelos de doble porosidad están basados en un medio de flujo
idealizado, que consta de una porosidad primaria creada por depositación y litificación, y
una porosidad secundaria creada por fracturamiento [Warren y Root]. La base de estos
modelos es la observación de que la masa de roca no fracturada (matriz), presenta gran
parte de la porosidad del medio (almacenamiento) pero poca permeabilidad (flujo). Por
otro lado, la fractura puede presentar poco almacenamiento pero alta permeabilidad. La
matriz y la fractura están idealizados como dos medios separados pero que se encuentran
interactuando en espacio y tiempo, donde la transferencia de fluidos ocurre de acuerdo al
potencial del fluido entre los dos medios.
En el modelo de doble porosidad, un yacimiento fracturado se concibe formado por dos
sistemas: uno de fracturas, que constituye un medio continuo; y un sistema de bloques de
matriz, que constituye un medio discontinuo. Adicionalmente se realizan las suposiciones
siguientes con respecto a la estructura del yacimiento y a la formulación matemática.
1. El sistema continuo de fracturas proporciona la trayectoria principal de flujo del
fluido en el yacimiento. El fluido que es desplazado de los bloques de matriz fluye
cerca de la interfase matriz-fractura, y entonces fluye a través del sistema de
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fracturas hacia el pozo. Lo anterior significa que los pozos se encuentran ubicados
únicamente en el sistema de fracturas.
2. La ley de Darcy es aplicable para describir el flujo multifásico en la fractura.
3. Los sistemas de fracturas y de bloques de matriz ocupan una misma malla
computacional, y por lo tanto, para cada conjunto de soluciones para el sistema de
fracturas, se obtiene un conjunto de soluciones para el sistema de bloques de
matriz.
Vúgulos Matriz Fracturas Matriz
Fracturas
Figura Idealización de un Yacimiento Naturalmente Fracturado (Modelo de Warren y
Root)

Modelo de Triple Porosidad
Una vez definido el modelo de doble porosidad, considérese ahora un sistema donde el
medio uno tiene propiedades homogéneas e interactúa con otros dos medios separados,
que tienen diferentes porosidades y permeabilidades.
Figura Idealización de un Sistema de Triple Porosidad
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Este sistema se refiere como un sistema de triple porosidad y es una representación más
realista de los yacimientos fracturados que el modelo tradicional de doble porosidad.

Modelo Conceptual
En el modelo propuesto para la construcción del simulador se considera un sistema
compuesto por tres medios. El flujo de fluidos entre estos tres medios es en serie; esto es,
el medio tres intercambia fluidos con el medio dos, el cual a su vez intercambia fluidos con
el medio uno. El medio uno se considera continuo, mientras que los medios dos y tres
proporcionan almacenamiento pero no contribuyen con el transporte y flujo de los fluidos.
Básicamente, el modelo propuesto toma las ideas planteadas por Camacho y cols y por
Rodríguez y cols y las extiende a flujo multifásico.
Para el modelo propuesto, un sistema con triple porosidad puede estar compuesto por tres
diferentes sistemas porosos con diferentes propiedades petrofísicas, que afectarán de
alguna manera el flujo de fluidos dentro del yacimiento. En la tabla 2.1 se presentan las
posibles configuraciones de un sistema de triple porosidad.
Tabla 2.1 Posibles Configuraciones de un sistema de Triple Porosidad
Sistema 1
Sistema 2
Sistema 3
F
f
m
F
m
v
F
m
m
Donde:
F = fracturas grandes
f = micro fracturas v
= vúgulos
m = matriz
Esto es, un YNF con triple porosidad puede estar compuesto por fracturas grandes (sistema
1), fracturas pequeñas (sistema 2) y matriz (sistema 3); o bien por fracturas (sistema 1),
matriz (sistema 2) y vúgulos (sistema 3), etc.
MODELO MATEMÁTICO
Las ecuaciones que describen el flujo trifásico en un yacimiento naturalmente fracturado
se desarrollan en el Apéndice A, y comprenden el conjunto siguiente de ecuaciones en cada
uno de los medios: medio 1, medio 2 y medio 3.
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Ecuaciones Diferenciales para el Medio Poroso 3
Al igual que en el medio poroso 2, las ecuaciones de transferencia no presentan términos
de flujo debido a que es un medio discontinuo; por lo tanto, únicamente aparecen el
término de transferencia entre los medios 2 y 3. Ecuaciones de Transferencia para cada
fase (agua, aceite y gas):
Ecuaciones de Presiones Capilares. Expresiones de presión capilar para describir la relación
entre las presiones de las fases:
Ecuación de Restricción. Una ecuación de restricción para las saturaciones de las fases:

SOLUCIÓN NUMÉRICA
La solución numérica consiste en obtener una representación aproximada de las
ecuaciones en derivadas parciales en puntos predeterminados del dominio, en
espacio y tiempo, mediante el empleo de métodos de discretización en diferencias
finitas.
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El conjunto de ecuaciones que describen el comportamiento de flujo de fluidos en el
yacimiento, para los medios 1, 2 y 3, son no lineales y por consiguiente no se pueden
resolver por métodos analíticos. Se recurre a métodos numéricos para resolverlas
mediante su aproximación en diferencias finitas, lo que genera un sistema algebraico
de ecuaciones no lineales, que puede ser resuelto mediante el método iterativo de
Newton-Raphson.
Ecuaciones De Flujo En Diferencias Finitas.
Los sistemas de ecuaciones no lineales, para los medios 1, 2 y 3, se resuelven
numéricamente. El carácter continuo de estas ecuaciones en espacio y tiempo, se
cambia por un carácter discreto mediante su aproximación en diferencias finitas. Los
términos de flujo de las ecuaciones del medio 1, se aproximan mediante diferencias
centrales y los términos de acumulación en los medios 1, 2 y 3, mediante diferencias
regresivas. Este proceso de discretización da como resultado un sistema de
ecuaciones algebraicas no lineales en cada etapa de tiempo.
Ecuaciones Para El Medio 1.
Las ecuaciones de flujo en el medio 1 (establecidas anteriormente), aproximadas
mediante diferencias finitas para el caso de flujo tridimensional son las siguientes:
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Ecuaciones Para El Medio 2.
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Siguiendo un procedimiento similar para los medios 2 y 3, el sistema de ecuaciones
diferenciales que modelan el flujo multifásico en el medio 2, expresadas por las
ecuaciones, aproximadas mediante diferencias finitas, son las siguientes:
Ecuaciones Para El Medio 3.
Los términos de transferencia en los medios 1, 2 y 3, se definen de la forma siguiente:
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Solución del Sistema de Ecuaciones
El conjunto de ecuaciones en diferencias finitas, que describe el comportamiento de flujo
de fluidos en el yacimiento y constituyen un sistema algebraico de ecuaciones no lineales.
Debido a esto, su solución se obtiene mediante el método iterativo de Newton-Raphson,
lo que genera en cada iteración un sistema lineal de ecuaciones.
Método Iterativo de Newton Raphson
La aplicación del Método de Newton-Raphson comienza con definir las funciones de
residuos siguientes:
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Una vez expresadas las funciones de residuos, se establece la dependencia de las mismas,
para esto, se definen los siguientes vectores de incógnitas, en la celda i,j,k y para cada uno
de los medios:
En forma general, la dependencia de las funciones de residuos de las incógnitas de cada
medio, serán:
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El proceso iterativo se establece expandiendo las funciones de residuo mediante una serie
de Taylor truncada, alrededor del nivel de iteración (υ), de la que solo se conservan los
términos de menor orden, esto es:
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Conclusiones
Se presenta a continuación una comparación de los resultados de simulación con tres
métodos simple-porosidad, doble-porosidad y doble-permeabilidad, donde se puede
apreciar la sobre estimación de recursos en la que se puede incurrir si no se aplican
métodos más adecuados a los escenarios de estudio.
No se encontró en la literatura comparación de fracturas discretas con modelos de
doble-porosidad o doble-permeabilidad, lo que limita a una conclusión de cual
modelo es el mejor.
Figura 9 Depleción primara para tres técnicas de simulación. Como se aprecia en la
Figura 9 el factor de recobro para un modelo de simple-porosidad aumenta
gradualmente sin embargo la velocidad de incremento disminuye con el tiempo
de producción siguiendo un comportamiento normal, no obstante teniendo en
cuenta los modelos de doble-porosidad y doble-permeabilidad; se observa que la
producción de petróleo alcanza rápidamente un límite, lo que se podría interpretar
como ruptura abrupta de agua que se moviliza por las fracturas y no permite más la
producción del hidrocarburo.
Los comportamientos asociados a modelos de una y doble porosidad, representan
condiciones de flujo muy diferentes a las expectativas tradicionales en el contexto de
un yacimiento naturalmente fracturado; la obtención de parámetros del sistema pozo
yacimiento mediante pruebas de presión, permite un buen ajuste de los
comportamientos observados, así como de la predicción de condiciones futuras.
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Referencias.
A Generalized Radial Flow Model for Hydraulic Tests in Fractured Rock. J.A. Baker. October
1988. Pages 1796-1804. Vol24.
Streltsova, T. D., “Well Pressure Behavior of Naturally Fractured Reservoir”, Oct 1983
https://www.researchgate.net/publication/303988857_INTRODUCCION_AL_MODELAMIE
NTO_Y_SIMULACION_DE_YACIMIENTOS_NATURALMENTE_FRACTURADOS
http://132.248.9.34/hevila/Ingenieriapetrolera/2017/vol57/no2/2.pdf
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