apuntes

BLOQUE 1
Integrales.
1.
Funciones primitivas.
El cálculo integral tiene su origen en el estudio del área de figuras planas limitadas por lı́neas curvas.
Primero estudiaremos el calculo de primitivas, herramienta necesaria para el cálculo de estas áreas.
Definición de primitiva: Sea f (x) y F (x) dos funciones reales definidas en un mismo dominio, se dice
que F es una primitiva de f si cumple que:
F 0 (x) = f (x)
∀x ∈ Dom(f )
Por lo tanto, f (x) es la función derivada de F (x).
Ejemplo:
x3
, por lo que esta expresión es una primitiva de x2 .
3
Es decir, podemos decir que la primitiva es una de las funciones originarias de donde proviene una
función derivada. Hay que señalar que existen funciones cuyas primitivas no son expresables por medio de
funciones elementales. En este caso se dice que no son integrables.
La función x2 proviene de la función
Hay que tener en cuenta que la derivada de una función, de existir, es única, mientras que si F (x) es
una primitiva de f (x), F (x) + C, ∀C ∈ <, también lo es, ya que la derivada de cualquier constante C es
0. Es decir, tendrá infinitas primitivas. A C se le llama constante de integración.
Para hallar todas las primitivas de una función f (x) basta calcular una primitiva concreta F (x), ya
que las infinitas primitivas de dicha función serán todas las de la forma F (x) + C con C una constante
cualquiera.
2.
Integral indefinida.
Se llama integral indefinida de una función f (x)
Z al conjunto de las infinitas las primitivas de f (x). A
dicho conjunto lo representaremos con el sı́mbolo
Z
f (x) dx = F (x) + C / F 0 (x) = f (x), C ∈ <
La función f (x) se llama integrando de la integral indefinida. dx se lee diferencial de x e indica respecto
a qué variable se realiza la integración.
La constante de integración C se puede calcular si tenemos alguna otra condición como, por ejemplo,
un punto.
Ejemplo:
Calcula una primitiva F de f (x) = 2x cuya gráfica pasa por el punto (1, 3).
Una primitiva serı́a F (x) = x2 + C, pero como sabemos que pasa por (1, 3), tenemos que 3 = 12 + C, de
donde C = 2. La función buscada es F (x) = x2 + 2
1
2
1. INTEGRALES.
Propiedades de la integral indefinida:
Z
Z
Z
(f (x) ± g(x))dx = f (x)dx ± g(x)dx
Z
Z
kf (x)dx = k f (x)dx ∀k ∈ <
Hay que tener en cuenta que en general
Z
Z
Z
(f (x) · g(x))dx 6= f (x)dx · g(x)dx
R
Z
f (x)dx
f (x)
R
dx 6=
g(x)
g(x) dx
No todas las integrales se pueden expresar como una función elemental e inmediata. Para poderlas
calcular necesitaremos combinar varios de los métodos de integración que vamos a estudiar. Todos estos
métodos tienen como objetivo final transformar la integral inicial en otras hasta llegar finalmente a las
llamadas integrales inmediatas (ver tabla de integrales inmediatas).
Por ello, el primer método y base de todos los demás es el de integración inmediata. Podemos decir que
es utilizar al revés la tabla de derivadas de las funciones elementales ya vistas.
Método de integración por descomposición:
Aplicar las propiedades de las integrales a veces nos proporciona soluciones sencillas a determinadas
integrales. Por ejemplo:
Z
1
1
dx =
7x
7
Z
1
1
dx = Ln(x) + C
x
7
Como principio conviene descomponer lo más posible el integrando:
Aplicando la propiedad distributiva.
Sumando y restando una misma cantidad o multiplicando y dividiendo por una misma cantidad para
poder agrupar y simplificar el cálculo de las integrales.
Ejemplo:
Z
x+1
dx =
x
Z Z
Z
1
1
1+
dx = 1 dx +
dx = x + Ln|x| + C
x
x
3.
Integral definida.
Interpretación geométrica: La integral definida sirve para calcular el área bajo una curva.
La integral definida de la función f (x) en el intervalo [a, b] representa el área de la región del plano
comprendida entre las gráficas de la función f (x), el eje de abscisas y = 0 y las rectas x = a y x = b.
Para calcular dicha área usamos la Regla de Barrow:
Si f (x) es una función positiva (por encima del eje x) y continua en [a, b] y F (x) es una primitiva de
f (x), entonces el área del recinto entre la función f (x), los números a y b y el eje OX viene dada por:
Z
a
b
f (x) dx = [F (x)]ba = F (b) − F (a)
A los números a y b se les llama lı́mite inferior y superior de la función.
Hay que tener en cuenta el significado del signo de la integral definida.
3. INTEGRAL DEFINIDA.
3
Figura 1. Integral definida
b
Z
f (x) dx > 0 y coincide con el área del recinto limitado por la
Si f (x) > 0 entre [a, b] la integral
a
curva f (x), el eje OX y el intervalo [a, b]
Z b
f (x) dx < 0. El valor del recinto será el opuesto al calculado.
Si f (x) < 0 entre [a, b] la integral
a
Si f (x) cambia de signo en el intervalo [a, b], la integral nos da la suma algebraica de las áreas que
están por encima y por debajo del eje OX, cada una con su signo. El área se calculará descomponiendo el intervalo en subintervalos donde las ordenadas tengan el mismo signo. Luego se sumarán
esas áreas. Habrá que fijarse en los puntos de corte con el eje OX.
Figura 2. Integral definida con distintos signos
Z
d
b
Z
f (x) dx ±
f (x) dx =
a
Z
a
c
Z
f (x) dx ±
b
d
f (x) dx
c
Ejemplo 1. Calcula el área del recinto limitado por la parábola y = x2 , el eje OX y las rectas x = 2 y
x = 4.
Calculamos la integral definida :
Z
2
4
x3
x dx =
3
2
4
=
2
43 23
56
−
=
' 18, 6 u2
3
3
3
4
1. INTEGRALES.
Como el resultado es positivo significa que la función está sobre la curva.
Ejemplo 2. Calcula el área del recinto limitado por la función f (x) = x4 − 2x3 + 2 y las rectas x = −1
y x = 2.
Calculamos la integral definida:
2
x5 x4
(x − 2x + 2) dx =
−
+ 2x
5
2
−1
Z
4
3
2
=
−1
51 2
u
10
Ejemplo 3. Calcula el área del recinto limitado por la función f (x) = −x2 y las rectas x = −2 y x = 2.
Calculamos la integral definida :
Z
2
−x2 dx =
−2
−x3
3
2
=
−2
−16 2
u
3
En este caso, como la gráfica está por debajo del eje OX (es negativa), el área buscada es la inversa de
16
la calculada:
3
Ejemplo 4. Calcula el área del recinto limitado por la función f (x) = x3 − 6x2 + 8x y el eje OX.
Comprobamos primero los puntos de corte con el eje OX. Haciendo f (x) = 0 obtenemos x1 = 0, x2 = 2
y x3 = 4 por lo que tendremos que integrar en dos partes distintas.
Calculamos primero la integral definida :
Z
0
2
x4
(x − 6x + 8x) dx =
− 2x3 + 4x2
4
3
2
2
0
= 4 u2
3. INTEGRAL DEFINIDA.
5
Figura 3. Ejemplo 2
Y luego:
Z
2
4
x4
(x − 6x + 8x) dx =
− 2x3 + 4x2
4
3
2
4
= −4 u2
2
En esta última, al estar la curva bajo el eje OX el área buscada es la opuesta a la calculada: 4 u2
El área total buscada será la suma de las dos: 8 u2 .
En alguna ocasión también nos podrı́an pedir calcular el área del recinto limitado por la gráfica de dos
funciones y las rectas x = a y x = b. Para ello tendremos que calcular los puntos de intersección de ambas
curvas.
√
Ejemplo 5. Calcula el área de la región limitada por las parábolas y = x2 e y = x.
√
Primero calculamos sus puntos de intersección igualando ambas funciones: x2 = x, de donde obtenemos
x1 = 0 y x2 = 1.
Calculamos la integral definida de cada función entre esos puntos:
6
1. INTEGRALES.
Figura 4. Ejemplo 3
Figura 5. Ejemplo 4
3. INTEGRAL DEFINIDA.
1
Z
x2 dx =
0
Z
0
1√
x dx =
x3
3
1
=
0
7
1 2
u
3
√ 1
2
2
x3 = u2
3
3
0
Al área mayor le restaremos la menor y la diferencia será el área buscada:
1 2
u
3
Figura 6. Ejemplo 5
3.1. Propiedades.
Z a
1.
f (x) dx = 0
a
Z b
Z c
Z b
2. Si f (x) es continua en [a, b], [a, c] y [c, b], con a < c < b, entonces
f (x) dx =
f (x) dx+ f (x) dx
a
a
c
Z b
Z a
3. Si f (x) es continua en [a, b], entonces
f (x) dx = −
f (x) dx
a
b
Z b
Z b
Z b
4. Si f (x) y g(x) son continuas en [a, b], entonces
[f (x) ± g(x)] dx =
f (x) dx ±
g(x) dx
a
a
a
Z b
Z b
5. Si f (x) es continua en [a, b] y k es una constante,
k · f (x) dx = k ·
f (x) dx
a
a
Z b
Z b
6. Si f (x) ≥ g(x) para cualquier valor x ∈ [a, b], entonces
f (x) dx ≥
g(x) dx
a
a