INSTITUTO POLITECNICO NACIONAL ESCUELA SUPERIOR DE INGENERIA MECANICA Y ELECTRICA ZACATENCO INGENERIA EN COMUNICACIONES Y ELECTRONICA. PROBLEMAS DE FISICA Dinámica y Leyes de movimiento de Newton GRUPO: NOMBRE DEL PROFESOR: FECHA DE REALIZACION: 1CM11 Ingrid Jazmín Guerrero Moreno 18/ Diciembre/ 2015 1 INDICE Dinámica • • • • • • • • • • • • • • • 3.4 ……………………………………………………………….…… 3 3.8………………………………....………………………………….. 3 3.9………………………………………....………………………….. 4 3.10……………………………………………………………….…… 6 3.11……………………………………………………………………. 7 3.12……………………………………………………………………. 8 3.13……………………………………………………………………. 9 3.14……………………………………………………………….….. 10 3.15…………………………………………………………………... 11 3.17…………………………………………………………………... 12 3.18…………………………………………………………………... 13 3.20…………………………………………………………………… 14 3.22…………………………………………………………………… 15 3.23…………………………………………………………………… 17 3.32…………………………………………………………………… 17 Leyes del movimiento • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 26……………………………………………………………………... 18 27……………………………………………………………………... 20 28……………………………………………………………………... 21 29……………………………………………………………………... 22 30……………………………………………………………………... 23 31……………………………………………………………………... 23 33……………………………………………………………………... 24 37...…………………………………………………………………… 25 38……………………………………………………………………... 26 47……………………………………………………………………... 26 48……………………………………………………………………... 27 55……………………………………………………………………... 28 59……………………………………………………………………... 29 61……………………………………………………………………... 30 65……………………………………………………………………... 31 69 (opcional)………………………………………………………… 33 73 (opcional) ………………………...……………………………… 34 75 (opcional) ………………...……………………………………… 35 87……………………………………………………………………... 36 Realizaron……………………………………………………………………………….. 37 2 DINÁMICA 3.4 Se ata una cuerda a un cuerpo de 2 kg de masa y se comienza a jalar verticalmente hacia arriba. Se observa que la aceleración del cuerpo es de 18 m/s2. Determine la tensión en la cuerda. Datos: w = (2kg) (9.81 m/s2) = 19.62 N M = 2kg. F = (18 m/s2) (2kg) = 36N A = 18 m/s2 ∑fx = 0 Formulas: ∑fy + w = T F=m(a) T = 36 N + 19.62 N = 55.62 N w=m(g) ∑fy = -w + T Tension w=mg 3.8 Tres cuerpos de masas m1, m2 y m3 están conectados con cuerdas de masa despreciable y se encuentran sobre una superficie horizontal lisa. El cuerpo m1 se jala con una fuerza F1 horizontal, mientras que m3 con una fuerza F2>F1 horizontal en el sentido opuesto. Encuentre la tensión en la cuerda que une los cuerpos m1 y m2. F1 F2 M1 M3 M2 ∑fy = 0 ∑fx = F2 - T3 - T2 - T1 - F1 T1 = F2 - T3 - T2 - ∑fx - F1 3 3.9 Dos cuerpos cuelgan verticalmente sobre una polea pequeña sin fricción; un cuerpo tiene masa de 3kg y el otro de 5 kg. Inicialmente, el primer cuerpo está a 2m más abajo que el segundo. El sistema se libera del reposo. ¿En cuánto tiempo los dos cuerpos estarán en la misma altura? DIBUJO DIAGRAMA DE CUERPO LIBRE CUERPO 1 2 𝑦 𝑑 𝑦 y y DATOS 𝑚2 CUERPO 𝑚1 = 5𝑘𝑔 𝑇 𝑇 𝑥 y 𝑚2 = 3𝑘𝑔 𝑚1 𝑥 y 𝑊1 𝑑 = 2𝑚 𝑊2 DESARROLLO CONTINUACIÓN DEL DESARROLLO Obtenemos ecuaciones de los dos diagramas igualándolo a masa por aceleración ya que está en movimiento casa masa: Sustituyendo valores nos queda: 𝑚 (5 𝑘𝑔 − 3 𝑘𝑔) 𝑠2 (3 𝑘𝑔 + 5 𝑘𝑔) 9.81 𝑎= CUERPO 1: ∴ 𝒂 = 𝟐. 𝟒𝟓 𝑇 − 𝑊1 = 𝑚1 (𝑎) Para obtener el tiempo utilizamos esta ecuación: ∴ 𝑇 = 𝑚1 (𝑎) + 𝑊1 CUERPO 2: 𝑑 = 𝑉𝑜 (𝑡) + −𝑇 + 𝑊2 = 𝑚2 (𝑎) ∴ 𝑇 = 𝑊2 − 𝑚2 (𝑎) 1 𝑎 𝑡2 2 Y como parte del reposo entonces su velocidad inicial es igual a 0, sustituimos valores y despejamos a 𝑡: Igualamos las dos ecuaciones y nos queda: 𝑑= 𝑚1 (𝑎) + 𝑊1 = 𝑊2 − 𝑚2 (𝑎) 1 𝑎 𝑡2 2 ∴ 𝑚1 (𝑎) + 𝑚2 (𝑎) = 𝑊2 − 𝑊1 ∴𝑡=√ Factorizamos términos y nos queda: 𝑎(𝑚1 + 𝑚2 ) = 𝑔(𝑚2 − 𝑚1 ) ∴𝑡=√ Despejando 𝑎 : 𝑎= 𝒎 𝒔𝟐 𝑔(𝑚2 − 𝑚1 ) (𝑚1 + 𝑚2 ) 2𝑑 𝑎 2(2 𝑚) 𝑚 2.45 2 𝑠 ∴ 𝒕 = 𝟏. 𝟐𝟕 𝒔 4 CONSIDERANDO OTRA FORMULA ∆𝑥 ∆𝑥 ∆𝑥 𝑎= = ∆𝑡 = 2 ∆𝑡 ∆𝑡 ∆𝑡 Donde ∆𝑥 = 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎 ∆𝑡 = 𝑡𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜 Por lo tanto al despejar 𝑡 𝑡2 = 𝑥 𝑥 =√ 𝑎 𝑎 Sustituyendo valores nos queda: 𝑡=√ 2𝑚 2.45 𝑚 𝑠2 ∴ 𝑡 = 0.9035 𝑠 5 3.10 Una caja se desliza por un plano inclinado sin fricción con un ángulo 𝜑 = 60°. Al techo de la caja está conectada mediante una cuerda una pelota de 100 g de masa, como se muestra en la figura 3.8. Determine la tensión de la cuerda. DIBUJO DIAGRAMA DE CUERPO LIBRE DATOS: 𝑦 y 𝜑 = 60° 𝑇 𝑚 = 100𝑔 = 0.1 𝑘𝑔 𝑊𝑥 𝑚 𝑤 = 𝑚(𝑔) = 0.1𝑘𝑔 (9.81 2 ) 𝑠 𝑊𝑦 𝜑 𝑊 𝑥 y ∴ 𝑤 = 0.981 𝑁 DESARROLLO CONTINUACIÓN DEL DESARROLLO Obteniendo ecuación del diagrama del cuerpo libre: Calculando nos da como resultado: ∴ 𝑊𝑦 = cos 60° (𝑊) = 0.4905 𝑁 ∴ 𝑊𝑥 = sin 60° (𝑊) = 0.8495 𝑁 𝑇 − 𝑊𝑦 = 0 Entonces nos queda: Aquí solo nos interesa la tensión por lo cual solo tomamos el eje 𝑦. Además lo igualamos a 0 ya que no hay movimiento, despejando 𝑇 tenemos: 𝑇 = 𝑊𝑦 =0.4905 𝑁 Por lo tanto la tensión es de: 𝑻 = 𝟎. 𝟒𝟗𝟎𝟓 𝑵 𝑇 = 𝑊𝑦 Para obtener 𝑊𝑦 y 𝑊𝑥 tomamos el ángulo de los datos y lo multiplicamos por 𝑊, para lo cual queda: 𝑊𝑦 = cos 𝜑 (𝑊) 𝑊𝑥 = sin 𝜑 (𝑊) 6 3.11 El bloque m1 de la figura 3.9 tiene una masa de 400 g y el bloque m 2 una masa de 200g; el Angulo del plano es =30°; el bloque m 1 se desliza hacia abajo y la superficie carece de fricción. Encuentre la aceleración del bloque m2. DCL m2 DCL m1 A2+2a1 |a1|=|2a1| a2= 2a1 1….. Fx=-T1-T2+mgsen30°=m1a1 Fy=N-m1gcos 30°=0 2…… Fx=T2-m2g=m2a 7 3.12 Se utiliza una cuerda para subir verticalmente un bloque con una masa de 50 Kg. Calcule la aceleración máxima a la que puede subir el cuerpo sin romper la cuerda si se sabe que esta se rompe cuando su tensión excede 600 N. T T=600N M=50 kg W=mg ∑ 𝐹𝑥 = 𝑜 ∑ 𝐹𝑦 = 𝑇 − 𝑊 = 𝑚𝑎 ∑ 𝐹𝑦 = 600 𝑁 − 𝑚𝑔 = 𝑚𝑎 ∑ 𝐹𝑦 = 600 𝑁 − 50𝑘𝑔(9.81𝑚/𝑠 2 ) = 𝑚𝑎 ∑ 𝐹𝑦 = 109.5 𝑁 = 𝑚𝑎 𝑎= 109.5 𝑁 50 𝐾𝑔 = 2.19 𝑚/𝑠 2 8 3.13 Un cable puede soportar sin romperse un cuerpo con masa de hasta 110kg cuando lo sube verticalmente con una aceleración, a, y un cuerpo de hasta 690kg si lo baja con la misma magnitud de aceleración. ¿Cuál es la masa máxima que puede subir este cable con velocidad constante? Si el ascensor sube con aceleración “a”. ∑fy = (m) (a) → F–w=ma → F=W+ma → F=ma–w → F = -W Si el ascensor baja con aceleración “a”. ∑fy = (m) (a) → F+w=ma Si el ascensor sube o baja con aceleración constante. ∑fy = (m) (a) = 0 → F+W=0 W = mg → W = (110kg) (9.81m/s2) F = -1079.10 N 9 3.14 La masa de un elevador con pasajeros es de 800 kg. Encuentre la aceleración de este elevador (magnitud y dirección) si la tensión en el cable en cual está colgada la cabina es la misma que en un elevador de 600 kg que está en reposo. y y T T x x P P Sobre él actúan: T = tensión del cable, hacia arriba; P = peso del conjunto, hacia abajo Luego por el segundo principio de Newton se cumple: a = T/m - g = 5880 N / 800 kg - 9.8 m/s² = -2.45 m/s² F=m.a T-P=ma porque F es la fuerza neta sobre el cuerpo o sistema elevador+carga Como T está hacia arriba considerado positivo, y P hacia abajo considerado negativo, de ahí se analiza el signo de la aceleración. Pero P = m g entonces: T - m g = m a y despejando la aceleración: a = (T - m g) / m = T/m - g Ahora bien: dice que para el caso en que la masa es m=800 kg, la tensión es la misma que tendría una masa m'=600 kg en reposo. En este último caso si está en reposo es a'=0 => 0 = T' / m' - g => T' / m' = g => T' = m' g = 600 kg. 9,8 m/s² = 5880 N Luego para m=800 kg: Está acelerado hacia abajo (-) (descenso). 10 3.15 Un cuerpo con masa de 1 kg está conectado al techo de un elevador en movimiento por medio de una cuerda; mediante otra cuerda a dicho cuerpo se une una masa de 2 kg. Calcule la tensión de la cuerda superior si la tensión en la cuerda inferior es de 8 N. T1=? T2=8N W1=mg W2=mg ∑ 𝑓𝑥 = 0 ∑ 𝑓𝑦 = 𝑚2 𝑔 − 𝑇2 = 𝑚2 𝑎 𝑎= 𝑎= + 𝑚2 𝑔 − 𝑇2 + 𝑚1 − 𝑇1 = 𝑚 𝑇 𝑎 𝑤−𝑇2 𝑚2 2𝑘𝑔(9.81𝑚⁄ 2 )−8𝑁 𝑠 2 𝑎 = 5.81 𝑚⁄ 2 𝑠 ∑ 𝑓𝑦 = 2𝑘𝑔 (9.81 𝑚⁄𝑠 2 ) − 8𝑁 + (9.81 𝑚⁄𝑠 2 ) − 𝑇1 = 3𝑘𝑔 (5.81 𝑚⁄𝑠 2 ) 𝑇1 = 4 ∑ 𝑇 = 𝑇1 + 𝑇2 ∑ 𝑇 = 8𝑁 + 4𝑁 = 𝟏𝟐𝑵 11 3.17 Una fuerza empuja una caja de 5kg de masa sobre una superficie horizontal. La fuerza forma un ángulo de 30° con la horizontal y está dirigida hacia arriba; el Mk entre la caja y la superficie es de 0.3. Encuentre la aceleración de la caja. ¿Cuál debe ser la magnitud de la fuerza para que el movimiento de la caja sea uniforme? 1. N 30° 30° fk w Fy=N+fy-w Fx= 20(cos 30°)-fk=m.a N+20(sen 30°)-5(9.81)=0 Fx=20(cos 30°)-fk/m=a N+10-45.09=0 a=17.32-11.71/5 N=39.05 a=1.122 12 3.18 Un cuerpo con masa de 3 kg se mueve hacia arriba por una pared vertical mediante una fuerza de 60 N de magnitud que forma un ángulo de 40° con la vertical; el coeficiente de fricción cinética entre la caja y la superficie es de 0.4. Determine la aceleración del cuerpo. ∑ 𝑓𝑥 = 0 𝑁 − 𝑓𝑦 = 0 N = 𝑓𝑦 N = (60)sin 40° N=38.56 N 3Kg 60 N 40° ∑ 𝑓𝑦 = 60 cos 40° − 𝑓𝑘 = 𝑚𝑎 ∑ 𝑓𝑦 = 60 cos 40° − 0.4(38.56𝑁) − (3𝑘𝑔)(9.81 𝑚⁄ 2 ) 𝑠 𝑎= 45.96𝑁 − 15.42𝑁 − 29.43𝑁 3𝑘𝑔 𝑎 = 0.36 𝑚⁄ 2 𝑠 60N 40° fy fx fk = 0.4 w= mg 13 3.20. Dos cuerpos con masa de m1=2kg y m2=3kg descansan sobre una mesa horizontal y están conectados por medio de una cuerda con masa de 0.4kg; el coeficiente de fricción cinética entre el segundo cuerpo y la mesa es de 0.2. U na fuerza horizontal de 15N empieza a jalar el segundo cuerpo. ¿Cuál es la fuerza que aplica la cuerda sobre el primer cuerpo? 14 3.22. Dos bloques atados por una cuerda sin masa se deslizan hacia abajo por un plano inclinado que forma 30° con la horizontal, como se muestra en la figura 3.14. El bloque inferior tiene una masa de 3 kg y un coeficiente de fricción cinético de 0.45, mientras el otro tiene una masa de 5 kg y un coeficiente de fricción cinético de 0.60. Encuentre; a) La aceleración de los bloques. b) La tensión de la cuerda. Bloque 1 Bloque 2 w1= 3kg (9.81m/s2) = 29.43 w2= 5kg (9.81m/s2) = 49.05 m1= 3kg Mk1= 0.45 m2= 5kg Mk2= 0.60 Bloque 1 ∑Fy= 0=N-w1y 0=N-29.46 (cos30°) N1=25.48N Bloque 2 ∑Fy= 0=N-w2y 0=N-49.05 (cos30°) N2= 42.47N fk1= Mk1 (N1) =0.45(25.48N) fk1= 11.466 N fk2= Mk2 (N2) =0.6(42.47N) fk2= 25.482 N ∑Fx=T-fk1-wx=m1a T= m1a+fk1+w1x ∑Fx= -T+fk2-w2x=m2a T= fk2-w2x-m2a m1a+fk1+w1x = fk2-w2x-m2a a= −𝑤1𝑥−𝑤2𝑥−𝑓𝑘1+𝑓𝑘2 (m1+m2) a= a(m1+m2) = -w1x-w2x-fk1+fk2 −29.43(sen30°)−49.05(sen30°)−11.466+25.482 (3+5) = −𝟑. 𝟓𝟑𝐦/𝐬𝟐 Usando Ec. del bloque 1: T= 3kg(-3.153m/s2) +11.466N+29.43N(sen30°) =16.722N 15 3.22. Dos bloques atados por una cuerda sin masa se deslizan hacia abajo por un plano inclinado que forma 30° con la horizontal, como se muestra en la figura 3.14. El bloque inferior tiene una masa de 3 kg y un coeficiente de fricción cinético de 0.45, mientras el otro tiene una masa de 5 kg y un coeficiente de fricción cinético de 0.60. Encuentre; a) La aceleración de los bloques. b) La tensión de la cuerda. DATOS ➢ ➢ ➢ ➢ ➢ ➢ m1= 3kg w1= 3kg (9.81m/s2) = 29.43 Mk1= 0.45 w2= 5kg (9.81m/s2) = 49.05 m2= 5kg Mk2= 0.60 BLOQUE 1 BLOQUE 1 N N Fk1 w T T 30° w BLOQUE 2 ∑Fy= 0=N-w2y 0=N-49.05 (cos30°) N2= 42.47N Fk2= Mk2 (N2) =0.6(42.47N) fk2= 25.482 N ∑Fx= -T+fk2-w2x=m2a T= fk2-w2x-m2a BLOQUE 1 ∑Fy= 0=N-w1y 0=N-29.46 (cos30°) N1=25.48N Fk1= Mk1 (N1) =0.45(25.48N) fk1= 11.466 N ∑Fx=T-fk1-wx=m1a T= m1a+fk1+w1x I. m1a+fk1+w1x = fk2-w2x-m2a II. a(m1+m2)= -w1x-w2x-fk1+fk2 a) a= a= −𝑤1𝑥−𝑤2𝑥−𝑓𝑘1+𝑓𝑘2 −29.43(sen30°)−49.05(sen30°)−11.466+25.482 (3+5) (m1+m2) = −3.53m/s2 b) T= 3kg(-3.153m/s2) +11.466N+29.43N(sen30°) =16.722N 16 Fk2 3.23 Una caja de 25 Kg se empuja hacia arriba sobre un plano inclinado con ángulo de 37° por medio de la fuerza horizontal de 500 N. El coeficiente de fricción cinética entre la caja y la superficie es de 0.35. Determine la aceleración de la caja. N W Fk F =500N Wx N Wy 37° 37° W W Wy ∑ 𝐹𝑦 = 0 = 𝑁 − 𝑊𝑦 ∴ 𝑁 = 𝑊𝑦 𝑁 = 𝑊𝑦 ∴ 𝑁 = 𝑚𝑔𝑐𝑜𝑠(37°) = 195.86𝑁 ∑ 𝐹𝑥 = 𝐹 − 𝑊𝑥 − 𝑓𝑘 = 𝑚𝑎 ∑ 𝐹𝑥 = 500𝑁 − 𝑚𝑔𝑠𝑒𝑛(37°) − (𝑁)(0.35) = 𝑚𝑎 𝑎= 500𝑁 − 147.59𝑁 − 68.55𝑁 = 11.35𝑚/𝑠 2 25𝑘𝑔 3.32 El extremo de un resorte se conecta a un bloque de 5 kg de masa que descansa sobre la superficie lisa de la mesa horizontal. Sobre el otro extremo del resorte se aplica una fuerza horizontal que da una aceleración de magnitud 3m/s2 al bloque; la constante de fuerza del resorte es de 1000 N/m. Calcule la magnitud del alargamiento del resorte. 2 a=3m/s m=5 kg K=1000 N/m a= 3m/s2 ∑Fy= 0 = Fn-W=0 -> Fn=W -> N=49.05 m= 5kg ∑Fx=F-Fk=m*a → (5 kg)*( 3m/s2) = 15 N k= 1000 N/m m*g/Δx=k -> F/k = Δx ΔX=F/k = 15 N/1000 N/m = 0.015 metros 17 LEYES DE MOVIMIENTO 26. Encuentre la tensión en cada cuerda para los siguientes sistemas. A. 40° 50° T1 T2 40° 50° T3 5Kg W=m*g T3=w=49.05 T1. T2. T1x=T1(cos 140°) T2x=T2(cos 50°) =-0.7660*T1 T1y= T1(sen 140°) =0.6427*T1 T3. =0.6427*T2 T2y=T2(sen 50°) =0.7660*T2 T3x=T3(cos 0°) =0 T3y=T3(sen 270°) = -49.05 Tx=-0.7660*T1+0.6427*T2+0=49.05 Ty=0.6427*T1+0.7660*T2=49.05 0.7660*T1+0.6427*T2+0=49.05 T2=69.09/0.9997 0.6427*T1+0.7660*T2=49.05 T2=69.11 -0.4923T1+0.4130T2=31.52 0.4923T1+0.5867T2=37.57 0.9997T2=69.09 T1=49.05-0.7660T2/0.6427 T1= -3.88/0.6227 ∴ T1=-6.0498 18 B. 60° T1 T2 T1 60° T2 T3 T3=W=98.1 10Kg T1. T2. T1x=T1(cos 120°) =-0.5*T1 T2x=T2(cos 0°) =T2 T1y= T1(sen 120°) T2y=T2(sen 50°) =0.8660*T1 T3. T3x=T3(cos 50°) =0 T3y=98.1(sen 270°) =0 = -98.1 Tx=-0.5T1+T2=98.1 T1= 98.1/0.8660 Ty=0.8660T1=98.1 T1=113,27 T2= 98.1+0.5T1 T2=98.1+56.63=154.735 19 27. Una masa de 2.0 kg acelera 11 𝑚⁄𝑠 2 en una dirección 30° al norte del este. Una de las 2 fuerzas que actúa sobre la masa tiene una magnitud 11 N y está dirigida al norte. Determine la magnitud de la segunda fuerza. DATOS • • • FORMULAS a= 11 𝑚⁄ 2 𝑠 M= 2kg F2=11N ❖ F=ma ❖ ∑𝐹 = 0 Método 1: A=11 𝑚⁄𝑠 2 F2 ❖ 30° F= (A=11 𝑚⁄𝑠 2 )(2 kg) = 22N ❖ ∑ 𝐹𝑥 = 𝐹1𝑐𝑜𝑠30° + 𝐹2𝑐𝑜𝑠60° + 𝐹 F1 =− F1 W 𝐹2 cos 60 °+𝐹 cos 30° F1=-31.75426481 30° Método 2: F2 ❖ ∑ 𝐹𝑥 = 𝑚𝑎 + 𝑓1𝑐𝑜𝑠30 + 𝑓2𝑠𝑒𝑛 30° A=11 𝑚⁄𝑠 2 F1 =− 11 sen 30 °+22𝑁 cos 30° F1= - 31.75426481 30° F1 20 28. Un peso de 225 N se une a la parte media de una resistente cuerda y dos personas tiran en los extremos opuestos de la cuerda con la intención de levantar el peso. a) ¿Cuál es la magnitud F de la fuerza que cada persona debe aplicar para suspender el peso, como se muestra en la figura? b) ¿Pueden jalar de manera tal que hagan que la cuerda quede horizontal? Explique. Diagrama del bloque. Diagrama de Cuerdas T1 T2 T3 10° M1 w a) Bloque. ∑ 𝑓𝑦 = 0 = 𝑇3 − 𝑤 = 0 𝑇3 = 𝑤 𝑇3 = 225𝑁 Cuerdas. ∑ 𝑓𝑥 = 0 = 𝑇1𝑥 − 𝑇2𝑥 = 0 𝑇1𝑥 = −𝑇2𝑥 𝑇1 cos(10) = −𝑇2 cos(170) = 𝑇2cos (10) 𝑇1 = 𝑇2 21 10° ∑ 𝑓𝑦 = 0 = 𝑇1𝑦 + 𝑇𝑦2 − 𝑇3 = 2𝑇1𝑦 − 𝑇3 = 2𝑇1𝑠𝑒𝑛(10) − 𝑇3 = 0 2𝑇1𝑠𝑒𝑛(10) = 𝑇3 𝑇1 = 𝑇3 225𝑁 225𝑁 = = 2𝑠𝑒𝑛(10) 2𝑠𝑒𝑛(10) . 3472 𝑇1 = 648.04𝑁 = 𝑇2 𝑇1 = 648.04 𝑁 𝑇2 = 648.04 𝑁 𝑇3 = 225 𝑁 b) No se puede puesto que la línea horizontal implica una eliminación de la tensión número tres (T3), no directamente para el objeto sujeto a la cuerda, pero dentro del sistema de cuerdas implica que la tensión que ejerce el cuerpo y su cuerda sobre las otras dos cuerdas tiene que ser igual a cero puesto que no habría fuerzas en el plano y que las contrarrestaran. 29. La distancia entre dos postes de teléfono es de 45m. Un pájaro de 1kg se pasa sobre el cable telefónico a la mitad entre los postes de modo que la línea se pandea 0.18m. ¿Cuál es la tensión del cable? Tanϴ=0.18m/22.5m=8x10-3 ϴ=Tan-1(8x10-3) = 0.4583° Ty=Tsen (0.4583°) W= (9.81) (1) =9.81N ƩFx=0 ƩFy=Tsen(0.4583°)+Tsen(0.4583°)-(9.81N) 2 Tsen(0.4583°)=9.81N T=9.81N/ 2sen(0.4583°)=613.22N 22 30. Los sistemas mostrados en la figura P5.30 están en equilibrio. Si las balanzas del resorte están calibradas en Newtons, ¿Qué lectura indican en cada caso? ƩFy=T-W T=W=(9.81)(5)=49.05N ƩFy=T-W T=W=(9.81)(5)=49.05N 31. Un costal de cemento cuelga de tres alambres, como se indica en la figura, los dos alambres forman ángulos 𝜃1 y 𝜃2 con la horizontal. Si el sistema está en equilibrio: a) Demuestre que: 𝒲 cos 𝜃2 Ti=sin 𝜃 1 +𝜃2 b) Dado que 𝒲=325N 𝜃1 = 10º y 𝜃2 =25º encuentre las tensiones 𝑇1 , 𝑇2 , 𝑇3 en los alambres 23 33. Un bloque de masa m = 2 Kg. Se mantiene en equilibrio sobre un plano inclinado de ángulo θ = 60° mediante una fuerza horizontal F, como se muestra en la figura P5 – 33. a) Determine el valor de F, la magnitud de F. b) Encuentre la fuerza normal ejercida por el plano inclinado sobre el bloque (ignore la fricción). Σ FX = 0 Σ FY = 0 FX – WX = 0 (Ecuación 1) N – WY – FY = 0 (Ecuación 2) FX = WX Pero: FY = F sen 60 Pero: FX = F cos 60 WX = W sen 60 WY = W cos 60 Reemplazando en la ecuación 2 F cos 60 = W sen 60 N – WY – FY = 0 (Ecuación 2) F =( W ) sen 60 = W tg 60 mg tg 60 2 * 9,8 * 1,732 33,94 Newton Cos 60 N – W cos 60 – F sen 60 = 0 N – m g cos 60 – F sen 60 = 0 N – 2 * 9,8 * 0,5 – 33,94 * 0,866 = 0 Encuentre la fuerza normal ejercida por el Plano inclinado sobre el bloque (ignore la fricción). N – 9,8 - 29,39 = 0 N = 9,8 + 29,39 = 39,19 Newton 24 37. 25 38. Dos masas m1 y m2, situadas sobre una superficie horizontal sin fricción se conectan mediante una cuerda sin masa. Una fuerza, F, se ejerce sobre una de las masas a la derecha. Determine la aceleración del sistema y la tensión, T, en la cuerda. Aceleración del sistema: Diagrama de cuerpo libre: Masa total: Mt = m1 + m2 F = (m) (a) → a = F/m Tensión: T = (m) (a) 47. un bloque que cuelga, de 8.5kg, se conecta por medio de una cuerda que se pasa por una polea a un bloque de 6.2 kg que se desliza sobre una mesa plana (figura P5.47). si el coeficiente de fricción durante el desplazamiento es 0.20, encuentre la tensión de la cuerda. M1= 8.5 M2=6.2 μ=0.20 F1=T-((M1) (g)(μ)) = T-((8.5) (9.81) (0.20)) = T-(16.67) F2=((M2) (g))-T= ((6.2) (9.81))-T = (60.822)-T 26 48. Un bloque de 25Kg está inicialmente en reposos sobre una superficie horizontal. Se necesita una fuerza horizontal de 75N para poner el bloque en movimiento. Después de que empieza a moverse se necesita una fuerza de 60 N para mantener el bloque en movimiento con velocidad constante. Determine los coeficientes de fricción estático y cinético a partir de esta información. M=25 Kg Fs=75N Fk=60N N=245.25 μs =fs/N μs =(75N)/(245.25) μs =0.3058 μk =fk/N μk =(60N)/(245.25) μk =0.2446 27 55. Dos bloques conectados por una cuerda sin masa son arrastrados por una fuerza horizontal F. Suponga F=68N, m1=12Kg, m2=18Kg y el coeficiente de fricción cinético entre cada bloque y la superficie es de 0.10 1) Dibuje el diagrama de cuerpo libre para cada bloque. 2) Determine la tensión, T, y la magnitud de la aceleración del sistema. Diagrama de cuerpo libre 1: 1 2 ∑Fy=0=N-W ∑Fy=0=N-W N=m1g N=m2g N=12kg (9.81 m/s2) N N=18kg (9.81 m/s2) N=117.72N N=176.58N Fk1= (0.10)(117.72) fk T Fk2= (0.10)(176.58) Fk1= 11.772N Fk2= 17.658N 1 W 2 ∑Fx=m1a=T-fk1 Diagrama de cuerpo libre 2: ∑Fx=m2a=-T-fk2+F ∑Fx=m1a=T-fk1 ∑Fx=m2a=-T-fk2 +F N 12a=-11.772 18a=-17.658+68 T fk F 30a =38.57 a=38.57/30= 1.285m/s W 1 m1a=T-fk1 T= m1a+ fk1 T=12kg (1.285 m/s)+11.772N T=27.192N 28 59.En la figura P5.59 se muestran tres masas conectadas sobre una mesa. La mesa tiene un coeficiente de fricción de deslizamiento de .35. Las tres masas son de 4.0 kg y 2.0 kg, respectivamente, y las poleas son sin fricción a) Determine la aceleración de cada bloque y sus direcciones b) Determine las tensiones en las dos cuerdas. Figura P5.59 Masa 1 ∑Fy=-T+W=m1a -T1+m1g=m1a 1. T1=m1g-m1a Masa 3 ∑Fy-T-W=m3a 2. T2=m3a+m3g Masa 2 ∑Fx=T1-Fg-T2=m2a 3. T1=m2a+Fg+T2 ∑Fy=N-W=0 4. N=W2 m2a+Fg+T2=m1g-m1a 29 m2a+Fg+ m3a+m3g=m1g-m1a m2a+m3a+m1a=m1g-m3g-Fg a(m2+m3+m1) =g(m1-m3)-Fg 𝑔(𝑚1−𝑚3)−𝐹𝑔 a= (𝑚2+𝑚3+𝑚1) 9.81𝑚/𝑠2 (4𝑘𝑔−1𝑘𝑔)−(2𝑘𝑔∙ a= 9.81𝑚 ∙.35) 𝑠2 2𝑘𝑔+1𝑘𝑔+4𝑘𝑔 a=3.2232 m/s2 T1=m1g-m1a T1=(4Kg)(9.81m/s2)-(4Kg)(3.2232m/s2) T1=26.3472 N T2=m3a+m3g T2=(1kg)(3.2232m/s2)+(1kg)(9.81m/s2) T2=13.0332 N Respuestas: a=3.2232 m/s2 T1=26.3472 N T2=13.0332N 61. Un bloque se sitúa sobre un plano inclinado a 35º respecto de la horizontal. Si 𝑔 el bloque se desliza hacia abajo del plano con una aceleración de magnitud 3 , determine el coeficiente de fricción cinética entre el bloque y el plano. 𝜇 = tan 𝜃 𝜇 = tan 35° ⇒ 𝜇 = .70 30 65. Una masa M se mantiene fija mediante una fuerza aplicada F y un sistema de poleas, como se ilustra en la figura P5.65. Las poleas tienen masa y fricción despreciables. Encuentre a) La tensión en cada sección de la cuerda, T1, T2, T3, T4, T5 y b) la magnitud de F. FIGURA P5.65 TENSION 5 ∑Fy=T5-W=0 T5=W TENSION EN CUERDAS 2 Y 3 ∑Fy=-T2-T3+W=0 (-1)-T2-T3=-W (-1) T2+T3=W 𝑇2 = 𝑇3 →T23 T23+T23=W 2T23=W T23=W/2 TENSION EN CUERDA 1 𝑇1 = 𝑇3 →T123 ∑Fy=F-T1=0 F=T1 F=W/2 TENSION EN LA CUERDA 4 31 ∑Fy=T4-F-W=0 T4=F+W T4=W/2+W T4=3W/2 DIAGRAMAS DE CUERPO LIBRE RESPUESTAS T1=W/2 T2= W/2 T3= W/2 T4= 3W/2 T5=W 32 69. 33 73. Un bloque de 2Kg se situa sobre la parte superior de un bloque de 5 Kg. El coeficinte de friccion sinetico entre el bloque de 5 Kg y la superficie es de 0.2. una fuerza horizontal F se aplica al bloque de 5 Kg. a) Dibuje el DCL,¿Qué fuerza acelera al bloque de 2 Kg? b) Calcule la magnitud de la fuerza necesaria para jalar ambos bloques hacia la derecha con una aceleración de 3 𝑚⁄𝑠 2 . c) Encuentre el coeficiente minimo de friccion estatico entre los bloques tal que el de 2 Kg no se deslice bajo una aceleración de 3𝑚⁄𝑠 2. 𝛴𝑓𝑦 = 𝑁 − 𝑊 = 0 ∑𝐹𝑥 = 𝐹1 − 𝐹𝑘 𝑁 = 𝑚 ∗ 𝑔 = 2 ∗ 9.81 = 19.62𝑁 𝛴𝑓𝑦 = 𝑁 − 𝑁1 − 𝑤 𝑁 = 𝑁1 (𝑚𝑔) 𝑁 = 19.62(5 ∗ 9.81) 𝑁 = 68.67 𝐹 = 𝑓𝑘 ∗ 𝑁2 𝐹 = 0.2 ∗ 68.67𝑁 = 13.73𝑁 34 75. 35 87. Dos bloques de 3.50 kg. y 8.0 Kg. de masa se conectan por medio de una cuerda sin masa que pasa por una polea sin fricción. Las pendientes son sin fricción: Encuentre: a) La magnitud de la aceleración de cada bloque. T - m1 g sen 35 = m1 a (Ecuación 1) Bloque m2 b) La tensión en la cuerda. Σ FX = P2X – T = m2 * a Pero: P2X = P2 sen 35 = m2 g sen 35 P2X = 8.0 * 10 * sen 35 = 45.88 N m2 g sen 35 – T = m2 a (Ecuación 2) Resolviendo las ecuaciones, encontramos la aceleración del sistema. T - m1 g sen 35 = m1 a (Ecuación 1) m2 g sen 35 – T = m2 a (Ecuación 2) - m1 g sen 35 + m2 g sen 35 = m1 a + m2 a a ( m1 + m2) = - m1 g sen 35 + m2 g sen 35 a ( m1 + m2) = - 20 + 45.88 a ( 3.5 + 8) = 25.88 a ( 11.5 ) = 25.88 a = 25,88 11,5 2,25 m seg 2 b. La tensión en la cuerda NO HAY ROZAMIENTO Reemplazando en la ecuación 1 Bloque m1 T - m1 g sen 35 = m1 a (Ecuación 1) Σ FX = T – P1X = m1 * a T -20 = 3,5 * 2,25 P1X = P1 sen 35 = m1 g sen 35 T = 7.87 + 20 P1X = 3.50 * 10 * sen 35 = 20 N 36 T = 27.87 N REALIZADO POR: 1. Bueno García David Alberto 2. Cruz Pérez José Daniel 3. Esquivel Reynaldo 4. García Díaz Diego Eduardo 5. García Mayo Arlenn Guadalupe 6. Grano Carrera Javier 7. Gutiérrez Lara Sonia 8. Hernández Ramírez Karen Lizbeth 9. Hernández Rangel José Antonio 10. Herrera Vargas Karla Yulissa 11. Juárez Hernández Janette 12. Martínez Estrada Héctor Ulises 13. Martínez Ponce Ricardo 14. Martínez Rangel José Carmen 15. Martínez Sánchez Francisco Javier 16. Melgarejo Arroyo José Armando 17. Mireya Esmeralda Santillán González 18. Olvera Martínez Luis Roberto 19. Ortega Cruz Pablo David 20. Pérez Juárez Jonathan Brian 21. Romero de los Santos Erika Yazmin 22. Teja Montoya Eduardo Javier 23. Vieyra Gutiérrez Lizette 24. Viloria Zavala Diego 25. Zugaide Marin Jairo 37
