Calculo vectorial 1

La altura de un cilindro circular recto disminuye a la tasa de 10 cm/min y el radio se incrementa a
la tasa de 4 cm/min. Obtenga la tasa de variación del volumen en el instante en que la altura es 50
cm y radio 16 cm.
Datos:
dx
?
dt
dh
cm
 10
dt
min
dr
cm
4
dt
min
;
h= 50 cm;
r= 16 cm;
v  r 2 h
dv dv dr dv dh
 .  .
dt dr dt dh dt
dv
dr
dh
 2rh  r 2
dt
dt
dt
dv
 2 (16)(50)( 4)   (16) 2 (10)
dt
dv
 12063,72cm3
dt
DERIVADA DIRECCIONAL
El plano vertical que pasa por el punto P en la dirección del vector u interseca a la superficie S en la curva C.
La pendiente de la recta tangente T a la curva C en el punto P es la tasa de cambio de z en la dirección del
vector u.
df df
;
dx dy



u  cos i  sen  j
Du f ( x, y)
Du f ( xo, yo)  lim
h0
f ( xo  h cos  , yo  hsen  )  f ( xo, yo)
h
Teorema
Sea f ( x, y ) , P ( xo, yo ) , fx , fy existan y u un vector unitario
Du f ( xo, yo)  f x ( x, y ) cos  f y ( x, y ) sen 
Ejemplo 1:
Datos:
f ( x, y)  3x 2  5xy  2 y 2
P(2,1)
3 4 
u i  j
5
5
(Vector unitario)
Solución:
f x (2,1)  6 x  5 y  17
Derivada parcial con respecto a x
f y (2,1)  5 x  4 y  14
Derivada parcial con respecto a y
3
4
Du f (2,1)  17   14 
5
5
Du f (2,1)  1
Ejemplo 2:
Datos:

f ( x, y, z )  ln x2  y 2  z 2

P (1, 3,2)
 1  1  1 
u
i
j
k
3
3
3
Solución:
2x
1

2
2
x y z
7
2y
3
fy (1, 3,2)  2

2
2
x y z
7
2z
2
f z (1, 3,2)  2

2
2
x y z
7
f x (1, 3,2) 
Du f (1,3,2) 
2
1 1  3 1  2 1 
4
4 3


  
  

7 3 7
21
3 7
3
7 3
Ejemplo 3:
Datos:
Sean los puntos P (1, 3,5) , Q(3, 2,7)
f ( x, y, z )  3xy 
x y
  3z 2
z x
Solución:
PQ  (3, 2,7)  1,3,5
PQ  (4,  1,2)
uPQ  
4 
1 
2 
i
j
k
21
21
21
1 y 29


z x2
5
1
f y (1, 3,5)  3x   4
x
x
749
f z (1, 3,5)  2  6 z  
z
25
f x (1, 3,5)  3 y 
Du f (1,3,5) 
PQ
29 
4   1  749  2 

  4


  19,01
5 
21   21  25  21 
Gradientes

 
Du f ( xo, yo)  u ( f xi  f y j )




Du f ( xo, yo)  (cos i  sen j )( f xi  f y j )
Teorema:
Sea f ( x, y ) , P ( xo, yo ) , fx , fy existan y u un vector unitario

Du f ( xo, yo)  uf ( xo, yo)
Ejemplo 1:
Datos:
f ( x, y )  xy 
x y

y x
P (1, 4)

5 
7 
u
i
j
74
74
Solución:
1 y
1
 2 
y x
4
x 1
33
f y (1,4)  x  2   
1 y 33x  16
f (1,4)   i 
j
Vector Gradiente
4
16
f x (1,4)  y 
7
 5 
Du f (1,4)  
i
74
 74
  1  33  
j   i 
j
16 
 4
Du f (1,4)   1,82
Es máximo si Du f  f cos 
Es mínimo si
Du f   f cos
Ejemplo 2:
2 x
En cualquier punto del plano xy el potencial eléctrico v( x, y)  e cos 2 y .La distancia se mide
en pies. Calcule la tasa de variación del potencial en el punto (0,  /4) en la dirección del vector



unitario u  cos 6 i  sen 6 j
Determine la dirección y la intensidad (módulo) de la
máxima variación de v en el punto (0,  /4).
v( x, y)  e2 x cos 2 y ; P(0, /4 )



u  cos 6i  sen 6 j
vx(0, /4)  e2 x  2 cos 2 y  0
vy (0, /4)  e2 x  sen2 y .2  2


v(0, /4)  0i  2 j

 

Du v(0, /4)  cos 6 i  sen 6 j 0i  2 j 
Du v(0, /4)   1
v(0, /4)  2
Máximo
Du v  v cos 
cos  
Mínimo
Du v  1

 1200
v
2
Du v   v cos 
cos  
Du v
1

 600
 v  2
ECUACIÓN DEL PLANO TANGENTE A LA SUPERFICIE
x  xo
y  yo z  zo


a
b
c
x  xo
y  yo
z  zo


fxxo, yo, zo 
fy xo, yo, zo  fz xo, yo, zo 
Paramétricas
x  xo  at
y  yo  bt
z  zo  ct
Ejemplo 1:
Obtenga una ecuación de la recta normal a la superficie en el punto indicado.
Datos:
y  e x cos z
P (1, e,0)
Solución:
f ( x, y, z )  e x cos z  y
fx(1, e,0)  e x cos z  e
fy (1, e,0)  1  1
fx(1, e,0)  e x senz   0

 
f (1, e,0)  ei  j  0k
x 1 y  e z  0


e
1
0
Resolviendo:
 1( x  1)  e y  e
x  ey  1  e2  0
Ejemplo 2:
Si las 2 superficies se intersecan en una curva, determine ecuaciones de la recta tangente a la
curva intersección en el punto indicado si las 2 superficies son tangentes a la curva en el punto
dado.
y  e x sin 2z   2
z  y 2  ln x  1  3
P(0, 2,1)