EDUCACIÓN MATEMÁTICA Y PLANIFICACIÓN CURRICULAR 3. Fracciones y números racionales Mg. Luis Miguel MARAVÍ ZAVALETA a20146949@pucp.pe I. E. Nº 80915 “Miguel Grau Seminario” El Pallar, Huamachuco 1. Conceptos matemáticos sobre fracción Etapas de la planificación curricular según el CNEB 1 • Determinar propósito aprendizaje (competencias, capacidades estándares, desempeños, enfoques) sobre base de necesidades aprendizaje el de y la las de 2 3 • Establecer los criterios para recoger evidencias de aprendizaje sobre el progreso • Diseñar y organizar situaciones y estrategias pertinentes al propósito Algunos conceptos matemáticos importantes – 1 (Carranza, 1999) • “Las fracciones aparecen mucho antes de conocer los números negativos, junto a la necesidad de medir” (p. 44). • “Sabemos que en el sistema de los números enteros, la suma, la diferencia y el producto de dos números enteros siempre existe y es otro número entero. En cambio el cociente de dos números enteros no siempre es un número entero, por ejemplo ½ o ¾” (p. 44). Algunos conceptos matemáticos importantes – 2 (Obersteiner, Dresler, Bieck, & Moeller, 2019, p. 139) • Las fracciones son las representaciones simbólicas de los números racionales. Constituyen extensión del conjunto de números enteros. • Cada número racional es definido como la clase de equivalencia 𝑎, 𝑏 , de enteros 𝑎 𝑦 𝑏, con 𝑏 ≠ 0 . La relación de equivalencia es la siguiente: dos pares 𝑎, 𝑏 y 𝑐, 𝑑 son considerados equivalentes, si y solo si 𝑎𝑑 = 𝑏𝑐. • Después de definir las operaciones de adición y multiplicación, se tiene el campo de los números racionales. Algunos conceptos matemáticos importantes – 3 (Carranza, 1999) • El conjunto de los racionales (donde se encuentran las fracciones) posee las propiedades de orden y densidad. a) Orden: Sean 𝑎 y 𝑏 dos números racionales. Se dice que 𝑎 < 𝑏 si y sólo si, existe el número racional positivo 𝑐, tal que 𝑎 + 𝑐 = 𝑏. b) Densidad: Dados los números racionales 𝑎 y 𝑏, con 𝑎 < 𝑏, siempre existe un número racional 𝑐 tal que 𝑎 < 𝑐 < 𝑏. Sobre el concepto de orden (Carranza, 1999) • En términos de fracciones, 𝑚 𝑝 < ↔ 𝑚𝑞 < 𝑛𝑝; 𝑛, 𝑞 𝑠𝑜𝑛 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑜𝑠 𝑛 𝑞 • Ejemplo: 1 2 < ↔ 1 5 < 6(2) 6 5 Algunos conceptos matemáticos importantes – 4 (Carranza, 1999) • “La propiedad de densidad no se cumple en el conjunto de números naturales. Por ejemplo, para 3 ∈ 𝑁, no existe 𝑘 ∈ 𝑁 tal que 3 < 𝑘 < 4“ (p. 47) • Así mismo, dentro de los números naturales existe el concepto de “sucesor”: todo número natural tiene un único sucesor. Esto no se cumple en el conjunto de los números racionales. Propiedad fundamental de la fracción (Kudriavtsev, 1983) • Cualquiera que sea la fracción tiene lugar la igualdad 𝑎 𝑎𝑐 = 𝑏 𝑏𝑐 2 5 Ejemplo: = 2(6) 5(6) = 𝑎 ,𝑏 𝑏 ≠ 0, 𝑐 ≠ 0, 12 30 • De hecho, se dice que 0, 𝑑 ≠ 0. 𝑎 𝑏 = 2 5 𝑐 𝑑 Ejemplo: del caso anterior, = ↔ 𝑎𝑑 = 𝑏𝑐, 𝑏 ≠ 12 30 ↔ 2 30 = 5(12) Diferencias entre números naturales y fracciones (Obersteiner, Dresler, Bieck, & Moeller, 2019, p. 140) 2. El sesgo del número natural (o del número entero) Definición (Zazkis & Mamolo, 2016, p. 49) • Ocurre cuando los estudiantes, al operar con fracciones, se basan en procedimientos e intuiciones adquiridas mientras trabajaban con los números naturales. 1 3 1 , 4 • Por ejemplo, alguien podría decir que < porque 3 < 4. • También aparece cuando los estudiantes interpretan a la fracción como dos enteros 12 7 19 separados. Por ejemplo, en + = 13 8 21 (Obersteiner, Dresler, Bieck, & Moeller, 2019, p. 138) 3. Significados de la fracción Diferentes interpretaciones para las fracciones (Llinares & Sánchez, 1997. p. 51) Relación parte-todo y medida (Llinares & Sánchez, 1997) • “Se presenta esta situación cuando un “todo” (continuo o discreto) se divide en partes “congruentes” (equivalentes como cantidad de superficie o cantidad de “objetos”). La fracción indica la relación que existe entre un número de partes y el número total de partes” (p. 55). • Para comprender este significado se necesita: a) Haber interiorizado la noción piagetiana de inclusión de clases. b) Haber identificado la unidad (cuál es el “todo” que se va a dividir). c) Poder realizar divisiones (conservación del todo, aún cuando sea dividido) d) Manejar la idea de área (si la representación es continua). Ejemplos de relación parte-todo (Llinares & Sánchez, 1997, pp. 56 – 57) La relación parte-todo permite introducir a las fracciones decimales. También permite la ubicación de fracciones en la recta numérica. Las fracciones como cociente (Llinares & Sánchez, 1997) • “En esta interpretación se asocia la fracción a la operación de dividir un número natural por otro” (p. 63). Pero, según T. Kieran, “dividir una unidad en cinco partes y coger tres (3/5) resulta bastante diferente del hecho de dividir tres unidades entre cinco personas, aunque el resultado sea el mismo” (p. 63). • Doble aspecto: reparto y estructura algebraica. Las fracciones como cociente (Llinares & Sánchez, 1997) – Primer aspecto: reparto • “Tenemos tres barras de chocolate y hay que repartirlas de forma equitativa entre cinco niños, ¿cuánto le tocará a cada niño?” (p. 63). • Algunos autores señalan dificultades para el manejo de este aspecto. Sin embargo, existe un desarrollo peruano interesante y exitoso en la tesis de Ordoñez (2014). Las fracciones como cociente (Llinares & Sánchez, 1997) – Segundo aspecto: estructura algebraica • De acuerdo con este aspecto, “se conciben las fracciones (números racionales) como elementos de la forma 𝑎 𝑏 , siendo 𝑎 y 𝑏 naturales (para 𝑄+ , 𝑏 ≠ 0) que representan la solución de la ecuación 𝑏. 𝑥 = 𝑎” (p. 67). • Sin embargo, según Kieren, “esta interpretación de las fracciones (números racionales) como elementos de un cuerpo (estructura algebraica) no está estrechamente vinculada al pensamiento natural del niño al desarrollarse en forma deductiva las operaciones y propiedades” (p. 67). Las fracciones como razón (Llinares & Sánchez, 1997) • Bajo este significado, “las fracciones son usadas como un ‘índice comparativo’ entre dos cantidades de una magnitud (comparación de situaciones) (…) En este caso no existe de forma natural una unidad (un “todo”) como podía ocurrir en los otros casos (…) En esta situación, la idea de par ordenado de números naturales toma nueva fuerza (…) se escribe como 𝑎: 𝑏" (pp. 67-68). Ejemplos de fracción como razón (Llinares & Sánchez, 1997, pp. 68 – 69) También se emplea este significado cuando se compara “parte-parte”: Relacionados con este significado de la fracción se encuentran la representación de las probabilidades y los porcentajes. Fracciones como operadores (Llinares & Sánchez, 1997) • En esta situación, las fracciones son vistas como “algo que actúa sobre una situación (estado) y la modifica. Se concibe aquí la fracción como una sucesión de multiplicaciones y divisiones, o a la inversa” (p. 72). • Por ejemplo, al calcular los 2/3 de 36 niños (que es igual a 24), hubo que dividir por 3 a 36 y, luego, multiplicar el cociente por 2. Recomendaciones para enfrentar los problemas de los estudiantes con las fracciones Primera (Obersteiner, Dresler, Bieck, & Moeller, 2019, p. 152) • Conectar representaciones visuales de las fracciones con sus expresiones simbólicas (Rau & Matthews, 2017). Más recomendaciones (Obersteiner, Dresler, Bieck, & Moeller, 2019, pp. 153-154) • Fomentar el empleo de fracciones para representar magnitudes numéricas, vía el uso de rectas numéricas. • Inhibir potenciales confusiones provenientes del sesgo del número natural, mediante procesos de pruebas y refutaciones que los estudiantes podrían hacer por sí mismos. • Ofrecer suficientes oportunidades para adquirir conceptos sobre fracciones y las operaciones con ellas. De este modo, se atacarían problemas como considerar que la multiplicación de dos números siempre produce un número mayor a los dos primeros (obstáculo epistemológico). • Los estudiantes podrían explicar qué aspectos en común tienen las fracciones con los naturales y cuáles no. • Brindar a los profesores el conocimiento necesario para enseñar fracciones en forma efectiva. ¡Y ahora, a diseñar nuestro borrador de plan de clase, con foco en el problema detectado! Sin embargo… Referencias • • • • • • Carranza, C. (1999). Matemática 1. Lima, Perú: Metrocolor. Obersteiner, A., Dresler, T., Bieck, S., & Moeller, K. (2019). Understanding Fractions: Integrating Results from Mathematics Education, Cognitive Psychology, and Neuroscience. En Norton, A., & Alibali, M.(Eds.) (2019). Constructing Number: merging perspectives from Psychology and Mathematics Education, 135-162. Cham, Suiza: Springer Llinares, S., Sánchez, M. (1997). Fracciones, la relación parte –todo. Madrid, España: Síntesis. Kudriavtsev, L. (1983). Curso de análisis matemático. Moscú, URSS: Mir. Rau, M. A., & Matthews, P. G. (2017). How to make ‘more’ better? Principles for effective use of multiple representations to enhance students’ learning about fractions. ZDM Mathematics Education, 49(4), 531–544. https://doi.org/10.1007/s11858-017-0846-8. Zazkis, R. & Mamolo, A. (2016). On numbers: concepts, operations and structure. En Gutiérrez, A., Leder, G., & Boero, P. (Eds.) (2016). The Second Handbook of Research on the Psychology of Mathematics Education, 39-71. Rotterdam, Países Bajos: Sense.
