LA LIBERTAD EDUCACIÓN MATEMÁTICA Y PLANIFICACIÓN CURRICULAR 6. Construcción de números racionales. Uso de rúbricas Mg. Luis Miguel MARAVÍ ZAVALETA a20146949@pucp.pe I. E. Nº 80915 “Miguel Grau Seminario” En los temas anteriores nos habíamos referido a la construcción de los números naturales, enteros y fraccionarios, así como a las funciones. Sin embargo, la representación de fracciones (racionales, en general) en la recta numérica, constituye un paso importante en el proceso de generalización. Ello, así mismo, es un complejo nudo de aritmética, álgebra y geometría. Semejanza de figuras y proporcionalidad de segmentos Semejanza de figuras geométricas (Lages, 1991, p. 33) Caso particular: semejanza de triángulos (Kiselev, 2006, p. 138) • En dos triángulos, “se llaman lados homólogos a aquellos lados que se encuentran opuestos a los ángulos congruentes”. • “Dos triángulos son llamados semejantes, si: (1) los ángulos de uno son respectivamente congruentes con los ángulos del otro, y (2) los lados de uno son proporcionales a los lados homólogos del otro”. Teoremas fundamentales de semejanza (Moise & Downs, 1986) 𝑆𝑖 𝐴′ ≅ 𝐴, 𝐵′ ≅ 𝐵, 𝐶 ′ ≅ 𝐶 𝑎 𝑏 𝑐 𝑦 ′ = ′ = ′ = 𝑟 entonces: 𝑎 𝑏 𝑐 ∆𝑨𝑩𝑪~∆𝑨′ 𝑩′ 𝑪′ De esto se desprende: (1)Teorema AAA (corolario AA) (2)Teorema LAL (3)Teorema LLL Teorema fundamental de la proporcionalidad (Moise & Downs, 1986, p. 330) • Si una recta paralela a un lado de un triángulo interseca en puntos distintos a los otros dos lados, entonces determina sobre ellos segmentos que son proporcionales a dichos lados. Construcción de números racionales en la recta numérica (Donaire, 2010) Se interseca nuestra “recta original” (donde se han dispuesto el 1) con la recta f. En ella, con radio 𝑎 = 1, se marcan los puntos E, F y G. Luego, se trazan las paralelas a DG por E y F, respectivamente. Los puntos de intersección de dichas paralelas con la “recta original”, por el teorema de Thales, indican los valores 1/3 y 2/3. Este procedimiento se puede aplicar para construir otros números racionales en la recta numérica. Relaciones entre funciones y ecuaciones Función lineal afín • Martín paga S/2 en su consumo de agua por metro cúbico, mientras que su cargo fijo es de S/8. Representar esta situación mediante una función. • Obsérvese que los aumentos sufridos por f(x) son proporcionales a los aumentos dados a 2 2 2 2 2 x. 2 2 2 f(x) 8 10 12 14 16 18 20 22 24 x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 1 1 1 1 1 1 1 1 Significado gráfico de la solución de una ecuación lineal (Farfán, 2013) Se trata de encontrar la intersección de la recta 𝑦 = 2𝑥 + 8 con el eje X. En este caso, la intersección se encuentra en 𝑥 = −4. Significado gráfico de la solución de una inecuación lineal (Farfán, 2013) Se trata de encontrar los valores de x para los cuales la expresión 2x + 8 es menor que cero. Lo análogo puede afirmarse al resolver la inecuación 2x + 8 > 0 Aspectos clave (Malaspina, 2015) – 1 Sea la ecuación 2𝑥 + 8 = 0 . Para resolverla, debemos tener en cuenta: • Ecuación algebraica con una variable Enunciado abierto en el que se relacionan números y una variable mediante operaciones definidas en un conjunto numérico, en una expresión de igualdad. • Conjunto de sustitución de una ecuación: Conjunto de valores que puede tomar la variable de la ecuación. Es previamente establecido o se deduce del contexto del problema que la origina. Así, se tiene ecuaciones en N, en Z, en Q, en R o en algún otro conjunto específico de números. • Conjunto solución de una ecuación: Conjunto de valores de la variable, para los cuales el enunciado abierto se convierte en una proposición verdadera. Observ: El conjunto solución (CS) de una ecuación es un subconjunto de su conjunto de sustitución. Aspectos clave (Malaspina, 2015) – 2 • Ecuaciones equivalentes: Dada una ecuación, las ecuaciones que se obtiene aplicando en ella propiedades de la igualdad y de las operaciones definidas en su conjunto de sustitución, son ecuaciones equivalentes a la ecuación dada y equivalentes entre sí. • Resolver una ecuación: Determinar su conjunto solución Uso de rúbricas Imagine que usted solicita a sus estudiantes que: a) Representen números racionales en la recta numérica b) Resuelva ecuaciones (e inecuaciones) en determinado conjunto numérico). c) Exprese patrones mediante notación funcional. d) Emplee la proporcionalidad geométrica en problemas de escalas. ¿Cómo realizaría dicha actividad? Etapas de la planificación curricular según el CNEB 1 • Determinar propósito aprendizaje (competencias, capacidades estándares, desempeños, enfoques) sobre base de necesidades aprendizaje el de y la las de 2 3 • Establecer los criterios para recoger evidencias de aprendizaje sobre el progreso • Diseñar y organizar situaciones y estrategias pertinentes al propósito La evaluación, según el CNEB: • Posee enfoque formativo, se centra en las competencias y toma como referencia a los estándares de aprendizaje. A nivel del estudiante A nivel del profesor • Pretende que los estudiantes • Atender a la diversidad de sean más conscientes de sus necesidades de aprendizaje dificultades, fortalezas y de cada estudiante. necesidad. • Retroalimentar la enseñanza • Busca aumentar la confianza en función de las diferentes de los estudiantes para necesidades de los asumir errores y desafíos, así estudiantes. como saber comunicarse Procedimientos para evaluar, según el CNEB: • Están fuertemente relacionados con los procedimientos seguidos para planificar: a) Comprender la competencia a evaluar. b) Analizar el estándar de aprendizaje del ciclo. c) Seleccionar o diseñar situaciones significativas. Las evidencias recogidas al respecto pueden ser registradas mediante diversas técnicas o instrumentos. d) Utilizar criterios de evaluación para construir instrumentos (en relación a capacidades) en forma holística y analítica. e) Comunicar en qué se va a evaluar y los criterios. f) Valorar el desempeño a partir de evidencias. g) Retroalimentar a los estudiantes para hacerlos avanzar hacia el nivel esperado y ajustar la enseñanza a las necesidades. Cómo hacer una rúbrica (IDUPUCP, 2014) – 1 Cómo hacer una rúbrica (IDUPUCP, 2014) – 2 Características de una rúbrica (IDUPUCP, 2014) – 1 Características de una rúbrica (IDU-PUCP, 2014) – 2 Características de una rúbrica (IDU-PUCP, 2014) – 3 Características de una rúbrica (IDU-PUCP, 2014) – 4 Características de una rúbrica (IDU-PUCP, 2014) – 5 Ejemplo de construcción de la rúbrica (IDU-PUCP, 2014) – 1 Equiparable al propósito u objetivo Ejemplo de construcción de la rúbrica (IDU-PUCP, 2014) – 2 Ejemplo de construcción de la rúbrica (IDU-PUCP, 2014) – 3 Ejemplo de construcción de la rúbrica (IDU-PUCP, 2014) – 4 Ejemplo de construcción de la rúbrica (IDU-PUCP, 2014) – 5 Ejemplo de construcción de la rúbrica (IDU-PUCP, 2014) – 6 Ejemplo de construcción de la rúbrica (IDU-PUCP, 2014) – 7 Una herramienta web muy útil http://rubistar.4teachers.org/index.php?lang=es&skin=es ¿Por qué las rúbricas, desde la Educación Matemática? (Jonassen, 2014, p. 276) • En especial, durante la solución de problemas, son necesarias para describir los niveles, aceptables o no, de dicha ejecución. • Si como maestro no eres capaz de articular los elementos requeridos para definir lo que entiendes por una buena ejecución (que tú has exigido), entonces no tiene sentido que intentes evaluarla. • Son difíciles de elaborar, pero deberían ser el objetivo de cualquier persona que intentase evaluar la solución de problemas. Tema Problema principal Unidad Construcción del número natural Subitizing Construcción del número entero Comprensión del número negativo Fracciones. Construcción y empleo de la geometría Sesgo del número natural/entero Funciones (como resultado de generalización) Problemas de simbolismo y de relación estructuraloperacional Los números y sus diferentes formas de representación Elementos para un borrador de planificación Propósito Evidencia Plan de clase Empleo del esquema de seis columnas (por ahora) Reservar el empleo de rúbricas para la solución de problemas que involucren los temas y problemas principales detectados. No olvidar el rol del propósito y de la evidencia. Referencias • Donaire, M. (2010). Formas y números, la geometría en las Olimpíadas Matemáticas. Lima, Perú: Universidad de Ciencias y Humanidades. • Instituto de Docencia Universitaria (IDU)-PUCP. (2014). Evaluación para el aprendizaje. Lima, Perú: Departamento Académico del Profesorado. • Farfán, M. (2013). Lenguaje gráfico de funciones, elementos de precálculo. México D.F., México: Secretaría de Educación Pública. • Jonassen, D. (2014). Assessing Problem Solving. Spector, J., Merrill, M., Elen, J., & Bishop, M. (Eds.), Handbook of Research on Educational Communications and Technology, 269-288. New York, NY: Springer. • Kiselev, A. (2006). Geometry. Book I, Planimetry. El Cerrito, CA: Sumizdat. • Lages, E. (1991). Medida e forma em Geometria. Rio do Janeiro, RJ: Sociedade Brasileira de Matemática. • Malaspina, U. (2015). Número, relaciones y funciones. Apuntes de clase de la Maestría en Enseñanza de las Matemáticas. • Moise, E. & Downs, F. (1986). Geometría moderna. México, D. F.: Addison-Wesley Iberoamericana.
