FACTOREO Primer caso: Factor común Este caso se aplica cuando en todos los términos de un polinomio figuran uno o varios factores repetidos. El resultado es el producto entre esos factores y el polinomio que resulta de dividir cada término por ese factor. Para encontrar los factores repetidos se aplica la siguiente regla: De los coeficientes se busca el máximo común divisor. De las letras se busca la que esté repetida en todos los términos con el menor exponente que figura en el polinomio. Ej: P(x) = 3x 2 - 6x 4 + 9x 3 – 12 x El máximo común divisor de los números es 3 y la letra repetida con el menor exponente es x, por lo tanto el factor común es 3x. Luego: 3x 2 - 6x 4 + 9x 3 – 12 x = 3x.( x - 2x 3 + 3x 2 – 4 ) Ej: T(x) = 2/9 x 4 - 4/3x 3 + 8/3 x 2 = 2/3 x 2 ( 1/3 x 2 - 2 x + 4 ) Ej: R(x) = 8x 5 + 6x 3 - 2x 2 = 2x 2 ( 4x 3 + 3x - 1 ) Segundo caso: Factor común en grupos de igual número de términos Para factorear un polinomio que tiene factores comunes en grupos de igual número de términos, se factorean dichos grupos y luego se factorean nuevamente con respecto a un nuevo factor común que aparece entre paréntesis. Ej: P(x) = x 4 - 3x 3 + x – 3 Primero se arman los grupos y se encierran entre paréntesis: ( x 4 - 3x 3 ) + ( x – 3 ) En cada grupo se saca factor común x 3 ( x - 3 ) + 1 ( x – 3) Se vuelve a sacar factor común el paréntesis: (x–3).(x3+1) Obteniendo así el resultado final: x 4 - 3x 3 + x – 3 = ( x – 3 ) . ( x 3 + 1 ) Ej: M(x) = x 3 + 2x - 3x 2 – 6 Primero se arman los grupos y se encierran entre paréntesis: (x 3 + 2x ) + (- 3x 2 – 6 ) En cada grupo se saca factor común x ( x 2 + 2 ) + ( - 3 ) ( x 2 + 2) Se vuelve a sacar factor común el paréntesis: (x2+2).(x -3) Obteniendo así el resultado final: x 3 + 2x - 3x 2 – 6 = ( x 2 + 2 ) . ( x - 3 ) Si se resuelve la multiplicación aplicando propiedad distributiva se puede verificar si el resultado es correcto. Tercer caso: Trinomio cuadrado perfecto Sabemos que al resolver el cuadrado de un binomio se obtiene un trinomio llamado trinomio cuadrado perfecto: ( a+b ) 2 = a 2 + 2ab + b 2 - 1 - De acuerdo con la definición de cuadrado de un binomio resulta que en el trinomio cuadrado perfecto, dos de sus términos son cuadrados perfectos y el término restante es el doble producto de las bases de los cuadrados. Si tenemos un polinomio de tres términos, y reconocemos en él el formato anterior, entonces se puede factorear escribiéndolo nuevamente como potencia Ej: x 2 + 4x + 4 Para factorearlo debemos reconocer en él, el formato del trinomio cuadrado perfecto: a 2 + 2ab + b 2 buscamos dos términos que sean cuadrados perfectos y le sacamos la raíz cuadrada a2 =x2 entonces a=x 2 b =4 entonces b=2 verificamos ahora si el término restante es el doble producto de a por b: 2 a b = 2 x 2 = 4x Esto significa que el polinomio dado sí tiene la forma de trinomio cuadrado perfecto, por lo tanto se puede factorear: x 2 + 4x + 4 = ( x+2 ) 2 Ej: 4 x 2 - 12x + 9 buscamos dos términos que sean cuadrados perfectos y le sacamos la raíz cuadrada a2 =4x2 entonces a= 4 x2 = 2 x b2 =9 entonces b= 9=3 verificamos ahora si el término restante es el doble producto de a por b: 2 a b = 2 (2x) 3 = 12x observamos que el término coincide, pero no el signo. Esto se debe a que el binomio que está elevado al cuadrado es una resta, por lo tanto al factorearlo debemos escribirlo como resta. 4 x 2 - 12x + 9 = ( 2x – 3 ) 2 Cuarto caso: Cuatrinomio cubo perfecto Recordemos que el cubo de un binomio da por resultado un cuatrinomio llamado cuatrinomio cubo perfecto: ( a+b ) 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3 Este caso es similar al anterior, sólo que el polinomio dado debe ser un cuatrinomio y el resultado del factoreo debe ser el cubo de un binomio. Ej: x 3 + 6 x 2 + 12 x + 8 Debemos reconocer en el polinomio dado el formato a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3 para ello buscamos dos términos que sean cubos perfectos y les sacamos la raíz cúbica a3 = x3 entonces a = 3 x3 = x 3 b3 = 8 entonces b = 8 = 2 Verificamos ahora si los dos términos restantes responden al formato 3 a 2 b y 3 a b 2 3 a 2b = 3 ( x ) 2 2 = 6 x 2 3 a b 2 = 3 x ( 2 ) 2 = 12x Comprobamos que efectivamente sí tiene el formato indicado,por lo tanto: x 3 + 6 x 2 + 12 x + 8 = ( x + 2 ) 3 Ej: x 6 - 3 x 4 + 3 x2 - 1 buscamos dos términos que sean cubos perfectos y les sacamos la raíz cúbica a3 = x6 entonces a = 3 x6 = x 2 - 2 - 3 b3 =-1 entonces b = 1 = - 1 Verificamos ahora si los dos términos restantes responden al formato 3 a 2 b y 3 a b 2 3 a 2 b = 3 ( x 2 ) 2 ( -1 ) = - 3 x 4 3 a b 2 = 3 x 2 ( - 1 ) 2 = 3 x2 Comprobamos que efectivamente sí tiene el formato indicado, por lo tanto: x 6 - 3 x 4 + 3 x2 - 1 = ( x 2 - 1 ) 3 Quinto caso : Diferencia de cuadrados Recordemos que (a+b) .(a-b) = a 2 - b 2 Por el carácter recíproco de esta propiedad, si tenemos un binomio que tenga la forma a podemos factorearlo escribiendo (a+b) .(a-b) Ej: P(x) = x 2 - 9 como a 2 = x 2 entonces a = x b2= 9 entonces b = 3 este polinomio tiene la forma de diferencia de cuadrados por lo tanto su factoreo es: x 2 - 9 = ( x + 3).( x – 3) Ej: M(x) = 4 x 2 - 25 = (2x + 5).( 2x – 5) 2 -b2 Sexto caso : Suma o diferencia de potencias de igual grado Recordemos lo visto en el capítulo anterior respecto de la divisibilidad de la suma o diferencia de potencias de igual grado por la suma o diferencia de las bases: x n + a n es divisible por x+a si n es impar x n + a n no es divisible por x - a x n - a n es divisible por x+a si n es impar x n - a n es divisible por x - a siempre Esto significa que si dividimos por ejemplo x n + a n por x + a siendo n impar, el resto de la división es cero. Por lo tanto el polinomio x n + a n puede expresarse como el producto entre el divisor x+a y el cociente de dicha división. Es decir si P(x) : Q(x) = C(x) con R(x) = 0 entonces P(x) = Q(x) . C(x) Entonces por ejemplo, dado el polinomio x 3 + 8 = x 3 + 2 3 , sabemos que es divisible por la suma de las bases (x+2). Por lo tanto se puede factorear multiplicando el divisor (x+2) por el cociente de la división entre ellos. Pero ahora debemos encontrar el cociente, para eso aplicamos la regla de Ruffini: (x 3 + 8 ) : (x+2) 1 -2 0 0 8 -2 4 -8 1 -2 4 0 2 C(x) = x - 2 x + 4 Por lo tanto : (x 3 + 8 ) = (x+2). (x 2 - 2 x + 4 ) - 3 - Ej: x 3 - 27 = x 3 - 3 3 Aplicando el criterio de divisibilidad sabemos que es divisible por la diferencia de sus bases es decir (x-3). Para encontrar el cociente aplicamos Ruffini: 1 0 0 - 27 3 3 9 27 1 3 9 0 Luego el cociente es C(x) = ( x 2 + 3 x + 9 ) x 3 - 27 = divisor . cociente = ( x- 3 ) . (x 2 + 3 x + 9 ) Ej: x 5 - 32 = x 5 - 2 5 su divisor es ( x – 2) aplicando Ruffini: 1 0 0 0 0 -32 2 1 2 4 8 16 32 2 4 8 16 0 C(x) = x 4 + 2x 3 + 4 x 2 + 8 x + 16 x 5 - 32 = (x – 2) . (x 4 + 2x 3 + 4 x 2 + 8 x + 16 ) TRABAJO PRÁCTICO FACTOREO 1) Primer caso: Factor común a) 4x2 - 12x4 + 20 x 3 1 4 1 2 1 6 b) x - x + x 6 2 12 2 6 8 4 10 3 4 5 c) x x x – x 27 15 9 21 d) 4x5 - 20 x7 + 8 x 4 e) 15x6 - 45 x 4 – 30 f) 2x 4 + 9 x 3 -7x 6 2) a) b) c) d) Segundo caso: Factor común en grupo 8x4 - 3x3 - 16x + 6 e) x3 + x2 b - 2x – 2b 4 5 10 x -2 x + 15 - 3 x f) x6+ 2 x 4 – 4 x 2 – 8 x3 + 1/2 x2 - 1/2 - x g) p q 2 – 2 p – q 3 + 2 q 3 2 2 3 3x - y x +6 x y - 2 y 3) a) b) c) d) Tercer caso: Trinomio cuadrado perfecto 1/9 x8 + x4 + 9/4 e) 25 x6 - 20 x4 + 4 x 2 3 6 2 - 8x + 8 x f) 1/4 x 10 + 1/9 +1/3 x 5 x4 - 2 x2 + 1 g) 4/9 x 8 – 16/3 x 6 + 16 x 4 2 8 5 1/16 x + 1/4 x + 1/4 x - 4 - 4) a) b) c) d) e) f) g) Cuarto caso: Cuatrinomio cubo perfecto -x6 + 9x4 - 27x 2 + 27 64 x9 - 48/3 x7 + 12/9 x 5 - 1/27 x3 8x6 +12x4 + 6x 2 +1 125 + 225 x3 + 135 x6 + 27 x9 x6 - 6x5 + 12 x 4 - 8x3 1/27 x 12 – 2/3 x 9 +4 x 6 – 8x3 - p 9 – 6 p6 x 4 – 12 p3 x 8 – 8 x 12 5) a) b) c) d) Quinto caso: Diferencia de cuadrados 27/16 x4 - 4 e) 81 x12 - 36 6 4 0.01 x - 25 x f) 64 x 10- 1/4 a 4 1/16 x10 - 64 x2 g) 2 x 4 – 9 4 8 –0.16 x + 1/4 x 6) a) b) c) d) e) f) Sexto caso: Suma o diferencia de potencias de igual grado x3 +0.001 x7 - 128 x6 +1 x4 - 81 x5 +1/ 32 x6 – 8 - 5 - - 6 -
