CAPITULO V
VECTORES CONTRAVARIANTES y VECTORES COVARIANTES
En el capítulo anterior vimos como se transforman los diferencia les
d 'j i
en los diferenciales
d U al cambiar de las coordenadas ( /j, J ~l.J :! ~
al siste.n:a ( :::L, Xt X, ); esta transformación es : 4-4): Jx,. =-: iJ1L J "t'
I
I
J
d rL'
ct
)
,,
aquí cone ya sabemos se suma, para cada j sobre i desde uno hasta tres; lo
que tenemos en 4-4 son tres ecuaciones; podemos ver los d~f como las componentes del vector J:Y-;' =d ~I
L? + cLjz
+ d.j, L3
y los d'XJ
f
it
las componentes de ese mismo vector referido al nuevo sistema curvilíneo
I -v
\
d. ----.
\
--:-'"
,-;","
\
--;?
.l"""'X"X,)
osea
"( == d.:l-, LI 4-~:(Zl2 + q.:i.) [3
aSl
pues 4-4 nos dice e omo se transforman la s componentes del vector cl.. Y al
cambiar del sistema
al -:::4'. Por deÍinición vamos a decir que las componentes de d7 se transforman contravariantemente porque se -transforman según 4-4; podemos generalizar y decir que si las componentes A~ de un cierto vector
expresadas en co~denadas ( 'J, :11- J"3 ) se transforman en
tt'
Al
A
componentes del mismo vect0.r
de modo que 5-1): 1. a -:::f-J ~
A.!;:: -G) jL'
A
Al
pero referidas a un nuevo sistema ( :L1.xl.~)
entonces el vector
,A'"
es un vec-
tor contravariante;
,
, notemos en primer lugar que el vector como tal no ha cambiado, las A t Y Al
se refieren al mismo vector, lo que ha cambiado es el valor
de sus componentes porque cambiamos de sistema de coordenadas de (
'11 '1z
~3)
a (Xl I -.L 1., :x. 3 )
; notemos también la similitud de 5-1) con 4-4); ambas ecuaciones nos dicen que un vector es contravariante si las nuevas componentes
( ó sea componentes en ::te:) se obtienen a partir de las viejas componentes (ó
sea componentes en ~l') multiplicando estas por la derivada, par?ial de las nuevas coordenadas con respecto a las viejas coordenadas
y tomando en
(s;?,..:t.J_)
2)jL'
este producto sumatoria con respecto al índice i (índice mudo). De ahora en adelante identificaremos con superíndices las componentes de un vector contravariante ; por lo tanto como el vector d. "("es contravariante la ecuación 4-4) se
debe escribir con superíndices así:
Estos superíndices no significan elevación a potencia sino que se usan para identificar los vectores contravariantes.
Ahora, vimos anteriormente que las componentes del vector gradiente de una
función escalar
(~, ':17... 'f"3' se transforman al pasar al sistema ( :tI :X2..A3)
cb
•
21
según la fórmula:
a(j;
-
5-2)
-
-
-7
Decimos entonces, por definición, que las componentes del vector \l éP
se transforman covariantemente porque se transforman según 5-2; nuevamente
hay que cecir que el vector como tal permanece inalterado, cambian solo sus
componen~es; podemos generalizar y decir que si las componentes· AL' de un
-:>
A
vector
t
se transforman en
según la ley:
'-< L'
I
Al = .~~. A ¿
5-3)
Al
entonces
el vector
es un vector cova-
riante.
~~
Notemos que 5-2) es un caso particular de 5-3) el caso en el cual el vector A
es ~
; para los vectores covariantes utilizaremos. subíndices; la ecuación
5-3) que define un vector covariante nos dice qu~ las nuevas componentes se
obtienen a partir de las viejas multiplicando estas últimas por la derivada parcial de las viejas coordenadas con respecto a las nuevas y tomando en este producto sumatoria con respecto al índice { (índice vacío).
Podemos apreciar que 5-1) y 5-3) forman, cada una, un sistema de tres ecuaciones ; para captar mas intuitivamente lo que expresan esas ecuaciones vamos a
•
expandirlas, es decir dar a l)
los valores que pueden adoptar ( t~J :'/J <-, 3)
L
I
A
De la ecuación 5-1 :
t
j 1
j= 2
Al.
•2
A
;;J::f}
•
d 'jI
-
r
-
•
S ;:
1
A +
¡:J::L~ A'"
OJ I
•
:ti
a- - AL•
a
resulta:
'1~'
d .xl
dj2
Z 4-
- -A
j= 3
dJJ
a.:;:¿L
-a:t.'-;;AZ
dj'"
ª:t: A
dj3
.3
-aj3 A
Z
--
q ::x? A3
-r
22
En forma matricial queda
r~
a .xl
-
-.a 'j'
1
I Al.
--
I,
5-4 ·
d~2.
a :Lz..
I Á3
L
Al
a..:x'
- -
d .:::L ~
dj3
a.:r.2._
dX~
.
.
a'jl
d '11-
-a:J3
a..:t.3
a.x J
<> .::i J-
•
djl
-é) ':J~•
-a'.fl
Al.
A3
Ya podernos apreciar la simplificación que introduce en la presentación el uso
•
•
de la convención de Einstein de índices libres (J ) y vacíos ( c. ); la ecuación
matricial
está representada por la breve fórmula 5-1. Análogamente I la expresión 5-3) se puede expresar matricialmente así:
~
•
/4. 1
,
--
A~
•
A3
d 1(3
ax'
a:L'
~1
ójl
-2>.:t.
,
C)
-
"1-
::1 \
á:i
3
.a....::t::.
~
d.::t3
-
Estudiaremos ahora la definición de vectores covariantes y contravariantes en
su relación con las bases recíprocas ·
sf? y V~(· (C-::.1 1 2¡3)
.
ru-= a.1
l
En primer lugar vamos a suponer que en un cierto . espacio hay dos sistemas de
c~ordenadas ( Xl y'l.::i.1 ) Y ( )" 'J'I. '.1 3 ) curvilíneas en general definidos uno en función del otro por las ecuaciones .
5- 5) a)
X.
•
t
:::
b)
En el entorno de todo punto P se puede expresar el radio vector que
con un punto Gt infinitamente próximo a él así:
(
•
U!le
a
P
23
ó también:
S-6, b)
si9!1do
nado:(l
los vectores
b7, b:) b;
y
-'.
ay
.a~'
en el sistema coorde-
los vectores
e n e 1 s is tema
<:f L'
Notemos que hemos colocado subíndice a los vectores base Ql y lo mismo a
los otros vectores base
así mismo hemos colocado superíndice a los ditl
ferenciales correspondientes d.:t y d J/.'; esta colocación d e ín dice s debemos
~
justificarla es decir vamos a demostrar que los vectores base a.c
(,'::: 1,2,.3 ') Y
b7;
LZ
:z.,
se transforman covariantemente al pasar de las coordenadas
::t.(' a las 'J t-' y viceversa y además que los correspondientes diferenciales se
transfonnan contravariantemente bajo esas mismas transformaciones de coordenadas.
(t":: 1)
3 )
d.t.~: J j': De S-S a)
Demostremos primero la transformación contravariante de
se deduce por diferenciación directa:
dx(::.
d.~/
aJI
j,,/
Y de S-S b
.J
análogamente:
S-S c)
d X)
L'
Vemos entonces que
travariantemente.
-!;>
Ahora:
Q{ ;::.
-:>
Y.
:9
y de
S-6 b)
~•
-;r-:¿
-
a.:x(
-2 7 ..
se transforman según S-l e s decir, con-
.¿.
d J' a.:x.c.
a:::L l
•
3jJ
a:).J a:tL-
aY'
- -•
aj"
~•
~.
J
pero
.t-
~?
G>:f
l
"8j3 -o.x i
ay
-dJ'! -•
..:-.'/
b~
~
~
24
5-6 d)
---"77
J
-7
al' b e
; por lo tan to
se transfor-
man según 5-3 es decir covariantemente.
1
Lo que hic:mos fué coger el vector eL
en el punto P y descomponerlo según
las dos beses (llamémoslas directas por oposición a sus recíprocas que consideraremos a continuación) ll~ ~ 9~.
=- Civ,"'.
(i -::. (J <.,
las
bc
é);tL
d:L
3»',
a'l"
componentes fueron
L' (C=-I) 2. I 3)
para la base a} y
d j' ( (t"= ),2;3)
para la base t?evidentemente también podemos expresar d-:7 en función de cualquier otra base localizada en P; expresemos Jyr'J en función de las bases recíprocas de 0.( y b1 ó sea (como se demostró en el c apítu lo III)
y {¡
Jc
Vi,..
-"7
respectivamente; por simplificación e!1 la escritura llamaremos V:Le:
-'?
-";¡
'íJ ji..-=- be. . Si expresamos al vector
d. y::. Q) d1.,
5-7 a)
,
d
..x'Jcl.:i.:z
,
d...::L.)
o
-+-
2- d.:t."L
Jl
+-
(J}
en las coordenadas
d-:L:J -::
a
d 1.3
f
y
t
aquí los
d:i... 1
--'7
-:: . a
resulta:
(le ¿.xc
no son en genera 1 1os mismos
~.
)
d .x:. ~
J
-7
vistos anteriormente ya que como las bases
son díferentes
) t1,;
en general (como vimos en el ca1(. II sólo coinciden las dos bases si los CIT· son
vectores unitarios triplemente ortogonales) entonce s las componentes también serán diferentes; d7 ta.mbién se puede expresar en el punto P en términos de los
b~
así:
5-7b)
~
~
-~
7'
JV::.b/dJ.+-h dj"l.+b dJ'3::' n'-djt.·
diferentes, en general, de los
\
d
j
e
considerados en
siendo los
5-6 b ) .
a c: (
Notemo
c,'=. J) 2,3 )
..,..., . s que he mos colocado superíndice a los vectores base
y h L ( e=- ') 4, '3 ) así mismo hemos colocado subíndice a los diferenciales
correspondientes d..:t(, d j L; esto tenemos que Justificarlo es decir, vamos a
demostrar que los vectores base recíprocos
1,3) (re cíproco de los
~. ')} 'b¡; l L' ::'1) ' - ) "?> )
(re cíproco de los
"17) s e tra n sforman c ontravariantemente y los correspondie ntes diferenciale s ( d x. /.' para
y el
para
s e transforman en forma covariante.
aL. ( (::;.),
h?:
a(
)
,
Como el vector
5-7 b) resulta:
5-8 )
•
CL
al
Ji
,
~'7
Y e s e l mismo ye s e a q ue s e expres e por 5-7 a ) o por
el -JJ
'-{ .
(ca mbi amo s e l índ ice
25
•
vacío (.. en la ecuación 5-7 b) por el índice vacío
•
J ).
Ahora¡ ya se demostró lo siguiente (5-6 -d )
;multiplicando escalarrnente a lado y la-
(uno de
~
do por el v ector a.
~
los recIprocas
-;?',:
) resulta:
v-
•
Y~
-déJ je.'
sión de la derecha
•
J
j=k
cf sea
es un índice repetido
de suma sobre él
•
L'.
en la
I
expre-
pe ro
(por ser bases recíprocas) nos queda entonces:
--
b
notemos que
-7K
O-
a
XK
a
:::é
~~
-- - f
J
dj(
a:s
,
•
~~/=
(ya que
-?~
•
1('.0.~
S-lJ)
•
e igual a cero para j:f=. K ) es decir
•
--
1
para
a ..:((
=
a
je
.,.-y
Multiplicando 5-8) escalarrnente por
bk
resulta:
•
f?J .xL' d:í l:=:' ~~ d j j
:::.
d. J t(
dj"
::: ?:t.
5-10 ).
L
•
.dil'
aJI<
-
Similarmente: en 5-6-c):
1¡
n
"'"\ 1I J
•
--?
o JI.
- - -. DJ
8:11.
-?{
mente por
,
• hemos demostrado pues:
multiplicando ambos lados escalar-
resulta:
•
--'?
- ..,
81 ~ oJ • blA. -- (71 e
I .
al
-
1
•
a:r t
~
~/
-:..
aJI{
,
.....,.
•
r3.:X- L
•
26
Por lo tanto si multiplicamos
-.0:.,
-QI(
5-8) por
resulta:
•
--,
a. al(
l
,
d x.
~ ~ el::t
'8 'jJ~
l.' :::.
l.'
:;::
-o.x"
el. x
pero:
s-u:
-=---'9
K
ax'"
Vemos de 5-10 Y 5-11 que los diferenciales d.Xl.'} d j (' se transforman covariantemente, por lo tanto está justificado que los describamos con subíndices.
Hay que anotar que las variables ,::;c) '1) tienen superíndices en todas las derivadas parciales porque se refieren a derivación directa obtenida de ecuaciones
~l' = 'lt' ( X,)
x .. , X3 ) y
Xt..' =
x. L ( 'j,) J2.)~:J ).
-al'
Demostremos finalmente que los vectores recíprocos de los
sea los
L'
y los 1"t..' se transforman contravariantemente.
a
-?
El vector d -r se puede escribir en cualquiera de las
5-7b: es el mismo vector referido en el caso 5-6 a a
,...,.
-i> ,
5-6 b a la base
J:lL', en 5-7a
a la base a L
(siendo
recíproca de
y
recíproca de
a(
-9
.ht.':;:::'
5-12)
--:-?
'f( XL'
¡--?
d ...,. ::
re
al'
y los
o
formas 5-6 a, 5-6b, S-7a,
la base de los -="
Ql' ,
en
'T"'> '
yen 5-7 b a la base~t.
'1~ , siendo
=. :O'
y
a:·
ax{'
~
),
J Y'"
Igualemos la expresión de
-J'
-.
aLclxl.';:: .b
\
ti
'j j
según 5-7a y 5-7b, re sulta:
;hemos cambiado el índice vacío i por j en
•
5-7b; de 5-11 tenemos:
( j
d;(L
:::>o
~ d .1J'
oX(
índice vacío) entonces en 5-12
•
.C) j~
d 'Jj
:=
é)~1
Ci (
@~': el ~J -
-.b
J
; ->
,
el:t' ::: o
;;-3;:>
d;l.'
5-13 )
; esta ecuación contiene tres térmi-
nos ( j= 1,2, 3 ) cada uno de ellos con un paréntesis que contiene tres cantida--? ,
( i= 1 ,2 I 3 ) I C o m o los
d '5 J
s o n in de pe n des
aL ~, ~,J.
a ;t..t'
27
•
dientes entre si ( j :=. ¡, z) 3 ) entonces los términos entre paréntesis se deben anular para que se cumpla 5-12 , por lo tanto:
5-14)
Similarmente: si en 5-12) reemplazamos
5-10 ( es decir
1J ~ q::t~ d. X ('
el.
el lJ'
;;;~J
•
-
8X':-
él'Ji
d.1l.' ;::
I
\
d;;!"
- ':.
a 'jJ
'a
r -111-0..)
;,J
por su valor que se obtiene de
) tendremos:
d
XI.: ";:
f.::)
-=---'='?
7p
:::: O
:::!:::¡
- ? L'
_-
5-14 Y 5-14a.nosdicen que los vectores
se transforman contravariantemente.
Queda por lo tanto justificado expresar
tro :fOrma s: .
eLY' de
cualquiera de las siguientes cua-
• -'7
5-15
j:j - el :t aL'
L
d:v -- djL b
-->'>.
d7 ::: d eL
L
d:7 ~ dJl b
L'
:tL'
L
En esas expresiones se debe sumar sobre i.
--;>
En el caso de que en el punto P se tenga un vector
~
J y'
.
A
diferente del vector
~,~
¿como lo podemos expresar en las bases recíprocas Q
lJ
al' del
coordenado (
t"
T7,
:t.1:t
1. X'3
)
Y
en
las
bases
recíprocas
()
"')
.(J L
J
,
coordenado (
ji, 1"t. 'i -;
I
sistema
del sistema
)?
En primer lugar debemos ver al vector
-"'7
A
como un vector fijo en el punto ' P
por lo tanto lo que vamos a encontrar es la expresión de sus componentes según
cuatro bases diferentes; ahora este vector
es igual a K cf7 siendo K
-¡;;'
,
28
~
-4\:I
un escalar y J V un vector infinitesimal en la dirección de A: entonces como
-::-7
A es invariante (es fijol su magnitud y orientación en, el espacio
no cam,
bian) K tampoco cambiará al cambiar de coordenadas ::t.'" a J" o viceversa;
por lo tanto si cada una de las ecuaciones 5-15 las multiplicamos por la constante 1<. resulta:
• "?
--':1
L'
~
pero
y
- A
K J.y
)<. cl.. '1
Ql
=-
•
KJ:i (. es la componente de A? según a~
variantemente entonces ~d..x l'
y como J..::iY se transforma cont-ratambién ya que: J..X ~ é):fJ el
~ KJ.X¿~d.:il~l<di
c'jJ
·
dJ J
Ji
entonces:
\-::=7
L
-:;>
A al'
A .::
K
~ d..,t'
dY'::::
..1
8 (.'
llamémosla
5-1Sa)
A = B l.: -¡;;.
A~ =- Ac 71
/( -:::. "B
componentes de
L'
I
; análogamente:
P
pero
'" J jt 'e s
la componente de
A/ según
por lo tanto :
; similarmente:
t'
bt'
Al
..
A segun
-:-")
)
,;:)lL'
y
componentes d e A segun
U\-
'1:> ('
!J
-?
Como se ve I dado un vector A sus componentes según los vectores bas9s
covariantes ( ya sea a~' ó
se transforman contravariante~e.nte y s1!s
L ) se
componentes según los vectores bases contravariantes ( ya sea aL 6
transforman covariantemente; por lo tanto si en un punto P tenernos un sistema
coordenado ~'=- XL' ( ~.) J ,-.1,,) ) L::.. ',"l. ) si los vectores base .,. directos son
=
a.:i.
y los vectores base recíprocos son
=
'l:Lt:. entonces
Et )
b
al'
tri
;:)::t. "
cualquier vector
guientes:
-A=?'
A"
AL
=
se puede expresar de cualquiera de las dos maneras si--"7"7
A ~l . '
al::'
L U
--:-"?
A modo de ejemplo: si en un plano tenemos un vector 'A este se puede descomt como se muestra en el dibujo siguiente:
poner según las tl~ o según
a
•
29
x'
-'1
Aa. a
\
"
"
"",
\
\
,
\
\
\
\
,
,
,
"
--------).,.
-
al
OPERACIONES CON VECTORES EN COORDENADAS CURVILINEAS
-:;.
A
Dadas las coordenadas :i.l' = Xl' ( 1, '11. ~3) un vector
cualquiera en un
punto P del espacio puede ser repres~nt~do ~egún la base de vectores directos
(l~ ó según la base recíproca
en general 11"7 puede ser escrito así:
5-16)/\
=
Si tomamos
resulta:
Al' a~
Al. eL'
=
-;-'?
f -:-'?
A
A, al
=
aL' ;
-')
ti !J..,. y multiplicamos escalarmente a. ambos lados por (j.'f
= At' el(. Zif
= AL' ~l = AJ'.::::';)5. J6CL) AJ=A. 211 tenemos así
que las componentes contravariantes de un vector se obtienen multiplicando es calarmente él este vector por los correspo%!ientes vectores bases recíprocos;
similarmente se obtiene : 5-16 b) AL' =
ó sea: las componentes covariantes de un vector se obtienen multiplicando a este e sCéllarmente por los co··
rrespondientes vectores base directos .
A, lfl
_-JI>
-:-':?
A, --B se
7:'
'( j
L'
eeL', uJ ) =- A' .8J o A 13
el producto escalar
L' : .
obtiene
l'
30
-:?
-?
A):B
11. oh
+ 11 .01
I
es decir: 5-17) A,.a ==- ¡.. ~I
+J
; en el caso de que las
coordenada3
sean cartesianas entonces las bases 11/ y a1· ( t':. J, '1.)"3 )
l
están formadas por vectores unitarios e igualesCa '= á~por lo tanto no hay diferencia entre componentes contravariantes y covariantes de un vector pudiéndose escy:.bir 5-17 así:
= A l' lit' = Al 8, + A&.lh + A~ B) que es la
expresión para el producto escalar cuando las coordenadas son cartesianas (es
decir vectores base unitarios y triplemente ortogonales).
X.E
Otra forma de escribir el producto
--? - ?
(
A.S :: '-.A
11
---='7
A. Ir
::=.
•-"')
-";)
(JL'),
(BJ' GJ ) == Al
7f'
uj'
aL'.
d lJ'::
l
-¡;:. Bes la
•
resulta pues
(Al' al') . (Bi
13j '
(
m . aj')
llamemos
== A ['8/ q
<t<r similarrnen te:
A"""'" -::?
.
siguiente:
.b
aJ ).= Al'Bi 8<.1'
con
Relación entre las componentes covariantes y contravariantes:
j'
~ -":>
• _
Al
5-17
i
~
A dJ,ai.::=.A g,.{
Tenemos~n5-16b) ,?:-17a)
Al'~A.tlt'.:::
mente
=
AJ' ~ IJ : 5-17b).
-.?A
M~a:::Lg~n~it':..:"",u~d!.-.~d;::e.--!.~_:
-:::?
similar-
De lo visto anteriormente tenernos:
el
-7
--A.a_
....,.
-::.")
Ay-.B:
Coseno del ángulo entre dos vectores
--
Tenemos:
•
~
lt\.la\
Al' &' gÚ'
-
cos 0.(•
Producto vectorial
5-18)
~
Al!
es ':.
<")
(
~A ~
x
A',)
Á/ul'
1J
X.
/\. vi U:
~l
'R
\
) =:
At
'
J
..u
1:".4.
'Q/ )( ~'.
,
~.~.
Encontremos el valor de
alx a:.J
~
en función de los vectores
UK.
,
.
31
-:b
--'?;¡
Sabemos que el vector ~ es normal al plano de a
y Q;.
(ya que
y
i=l,2,3, son bases recíprocas como se definieron en el artículo
entonces
;:,. '1,
a7,
5-1 Q)
L.=
\
(de 2-4 )
•
•
similarmente:
. Introduzcamos ahora un símbolo e..~'t< llamado símbolo de permutación que puede valer + 1, - l. ó cero según la siguiente regla:
a) Si hay índices repetidos et:j'K vale cero, por ejemplo:
-b)
___ - - - ""':::.. O
Si los índices son todos distintos y se presentan en orden cíclico su valor
es + 1, así:
e¡,3 -
~
c) Si los índices son todos distintos y se presentan en orden no cíclico su valor es -1, así:
é:. f
3
1.. =-
é! 3 2.. I =
e
2..\"3>
.= -
1
La misma regla define los valores para el símbolo con superíndices,
c::
('./J(
Utilizando este símbolo de permutación las 3 ecuaciones 5-19 se pueden escribir en una sola, así:
por ejemplo para
5-20
~ J 21
al
a} + e
=- c.
J2.l-
«1..
el! x ¿}
Volviendo a 5-18 tendremos:
-;-Al) 4>
A- )( 8
:::. A t" 13J
---';> L'
a
>1
-¿.l
u
)
)
pero de 5-2 o:
por lo tanto:
\
32
--
suma sobre i, j, k)
I
Corno vimos en el artículo 2)
-
.-...
por lo tanw:
Terminamos este capítulo con un ejemplo sobre componentes covariantes y contravariantes de un vector en coordenadas curvilíneas.
Determinemos las componentes covariantes y contravariantes del vector velocidad de una partícula P moviéndose en el espacio en términos de coordenadas
cilíndricas
I
I
--------- -------
,/
/
./
,/
'<
e
1-
Sean ( ~ I :f"l..,j'}) las coordenadas cartesianas y ( :x. I ,X'1., X-J) coordenadas cillndricas; b relación entre las coordenadas es la siguiente:
~I
-=- y
:1 z...;:.
:J ?>
y:
~-e- -=-
x,
~
-y A Jl/Y)-B :.:X I
xt..
.-6.(m
X
7..
::í 3
::z 1:: ~r=j-,-"l..-+--J-l2·
:=.
-L
.:t."L':
Q.Pfccan,
:1"2.
'j ~'
I
33
Corno el sistema .Jt' es cartesiano no hay diferencia ~tr..e la base directa y su
,
..
.-?
reCIproca por lo tanto solo considerarnos una base l, J I j<.
Y no hay que hacer diferencia entre componentes covariantes y contravariantes en este sistema
'-{ t' llamemos V1./1
V
V"
esas componentes y son:
J
1,/
)
V~
5-21
d
t'::'
..1
,
'J
t •
J~
Jll
:-
V~'
d-t
•
Xl'
V )
Las componentes contravariantes (
la transformación:
v;t
utilizando 5-21
1.'-;:.
en el sistema
se obtienen de
(ecuación 5-1) por lo tanto:
'-~
o:t
I~•
•
--
a1 J
d
..
::L L'
=7
es decir las componentes coruravariantes del vector velocidad son las deriva•
das de las coordenadas ::t l con respecto al tiempo:
v;t, --
d. XI -- dv
-dt
d+
.~
d.x"2...
.
VXl. _
-
Vx.::,
,
•
d-t::
-
d.:t3 ,
de
Las componentes covariantes (
.
maCIon:
--
V:.ü ·)
d.~,
d-t:
cl.7=;;
•
d-t.-
en el sis tema:4' seobtienen de la transfor-
~
(de 5-21)
pero
::t;(
V
5-23)
Encontremos primero
V:t
l
;
expandiendo 5-23 para
(de 5-22)
34
~ al'
?'j1.. 91,1..
a~1
Para i=
<-
ª-1!. Vx\
. VXL= ~~ oX'
9j2. aJ-l. V~'
+
ox'
2)11..
+
+
-t--
~3
;;>:{2.
a '1"1.. y::t.3
e>x' ax 3
,
~i-L
V
Ü.
ex?.
+-
52:'f: zf \fx%-
a1. ax-z..
?j~
.e 1:'
a..:t. \
VXI
V
:C?I
=-
8~'
dJ:'l. .8x 3
.a12. CLi.2. VX )
.r éUlo éJ 1. "3
a~1..
+- ,:3 'j ~
.C) 'j 'L.
a J~..3
d;L '1-
0' V~)
ax1.. ax'
\Í :t.2.-t
d 1.3 é7::L (..
?~: ~ V~l -+ ~~~ d ~
31. 3
~ a:J..' V:t. 3
_C)J? V~t ª\(~
é)X'-
qJ J-: fJ:i¿
cLX3
::)~ 1 iL$.../
L
~ .CJ:f3 V~I
a.:t."2-
-t
81'
=='9
Q '-1 1
+
(3.:t
1
V:t.1. . ,.
VX3
v;:(-..
as.z. ~.J~ V:t.)
ax; 01 3
~ d j '3 d:fJ Vx~
a.:t
( 1)
cL :2:.
el-C.-
Esta s tres compon ente s covarian tes tamb ién las hubieramos podido obtener u tiliza ndo l a e cuación 5-17 a} que nos da l as componentes covariantes en función
35
de las contravariantes; en este caso 5-17 a) queda:
5-24 )
Encontrel"!10S los ~I'J' ; en e 1 ejemplo hecho al final del capítulo 3 encontramos:
.a. .I, = Cos e ~
-:-?>
l.
+ sen ~ h
th = -Y5en -e- i... + yt.o5-& ~
il.
-='?
-->
~ ¿~
1
Cos?-9 + Ah'r't t; :. I
-
--
a3
_
a..
a,
:.
.
~
gIl. =- ~ .~~
~
11-
-
91:' = al.
;¡
2. ')
=-
f/u.
=
?
a~'C3;
-='"
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U3:::'
Q
= ~\ = o
Q3' ClJ '" q-~I ;: o
: : Cb, tL;::. g3'l.
~2 • C13
;:::
o
a.l. . Zlz. :::. y:L
~33 =
~.: á
a3'
Por lo tanto en 5-24
\y
4
\f
OJ •
V:t.. -;::. \VlX' <jQ ,1 +- V..:tl. g ~ V~3 (1/3
:.
= al'e
\1
VXt f!.2/ + Vz¿ ~:u + \¡X) 81.3 .:: y z V:tz== ('2.d-c
cl-t1
v.tl.. ::
.:l· a
VX2.a
I/;J..) q
,1 3 ~ d.E
3
)::,3 -=- V c1 ~I +
(j ~l. +
d ) :::.. V.:lo - d t::
XI
Ii..
I
V
- ,. . .,
--:>_-
Notemos que V~ ..... V.:l y V.t..3 =- V:t)
esto e s así ya que como para coordena~
3 tiedas cilíndricas UI, ~,Cb
son7"C>mutuamente
ortogonales
,entonces
Di
aL
6
-..,. ,.....".
..,.-')
~
nen las mismas direcciones de l Á l D.:2. tl..3
y como D., y CL3 son unitarios,
entonces
también lo son por tanto
=
y Zi3 -::
y normales
a 1 vector 11l y se debe cumplir Vx, -:: VJLI ,
=
no se cumple
l
a' ya:J
tI
VX'L
a al
aa.
V;(. ')
a3
y:t.') •
J
~
que V Xl. =
ya que aunque
tenga la misma dirección de a.. no son
vectores unitarios sino que 0.;' es yl veces mas grande que ZJ). (compa~
~
~
~
rar Cl:l. y al. al final del cap. In) por lo tanto la componente de V según tl.i
e .s
mas pequeña que la componente según
esto es: ~ ==
\.
,a.
-';>
O-?,
V::t.l
yt
