TRANSFORMADA DE FOURIER

TRANSFORMADA DE
FOURIER
FUNDAMENTOS Y APLICACIONES
CONTENIDO
• Introducción.
• Definición de la Transformada de Fourier.
• Características de la Transformada de Fourier.
• Propiedades de la Transformada de Fourier.
• Aplicaciones de las propiedades.
• Transformada de funciones especiales.
• Transformada Inversa de Fourier.
• Métodos para la Transformada Inversa.
• Aplicaciones de la Transformada de Fourier.
INTRODUCCIÓN
• En capítulos anteriores se vio algunas herramientas para el tratamiento de
señales y sistemas en términos del tiempo.
• Por ejemplo, la convolución, ecuaciones diferenciales, etc.
• Estas herramientas permiten realizar el análisis y el estudio de algunos
parámetros de señales y sistemas LTI, en función del tiempo.
• Por ejemplo, la velocidad de respuesta del sistema.
• Pero muchas veces es necesario realizar otro tipo de análisis en base a
otras variables, por ejemplo la frecuencia.
• Por lo tanto, hace falta alguna herramienta que nos permita estudiar los
parámetros y/o características de los sistema en función de la frecuencia.
INTRODUCCIÓN
• Existen varias herramientas que permites realizar esto, según sea el
tipo de señales y sistemas que se tengan.
• Por ejemplo, en el caso de señales periódicas, la herramienta
disponible es la Serie Exponencial compleja de Fourier, que convierte
a la señal periódica en una función discreta en términos de la
frecuencia.
• De la misma manera para la señales no periódicas se tiene a la
Transformada de Fourier.
• Es decir esta herramienta convierte a la señal no periódica en
términos del tiempo en otra en función de la frecuencia, y esta
variable independiente es continua.
INTRODUCCIÓN
• De la misma forma que los coeficientes del desarrollo en Series de
Fourier, la transformada de Fourier especifica el contenido espectral
de una señal, proporcionando así una descripción en el dominio de la
frecuencia.
• Además, de su utilidad para la representación analítica de señales no
periódicas, la Transformada de Fourier es una valiosa herramienta
para el análisis de sistemas LTI.
INTRODUCCIÓN
Quizá es difícil ver cómo algunas señales no periódicas típicas, como por ejemplo:
u(t), exp(-).u(t), rect[t/T]
• Se puedan sintetizar utilizando exponenciales complejas.
• El problema es que las exponenciales complejas están definidas en todo el tiempo y tienen
amplitudes constantes.
• Mientras que las señales no periódicas no tienen esas propiedades.
• A pesar de eso se verá que las señales no periódicas tienen contenido armónico.
• Es decir, que se pueden representar como una superposición de exponenciales complejas
armónicamente relacionadas.
• Para poder encontrar una herramienta equivalente a las Series exponenciales complejas de Fourier
para señales periódicas, se va a partir desde este concepto.
• Por lo tanto, la Transformada de Fourier se puede considerar como una extensión del desarrollo en
Series de Fourier.
INTRODUCCIÓN
• La Transformada de Fourier es una de las herramientas más
importantes dentro del tratamiento de señales y sistemas LTI.
• Existen muchísimas aplicaciones en distintas áreas en las cuales es
importante y sobre todo necesario realizar estudios en función de la
frecuencia.
• Un ejemplo sería, en el análisis de la respuesta en frecuencia de un
amplificador o filtro.
• O en telecomunicaciones realizar el análisis espectral de un canal de
comunicación, etc.
LA TRANSFORMADA DE FOURIER
• La serie de Fourier nos permite obtener una representación en el
dominio de la frecuencia de funciones periódicas f(t).
• ¿Es posible extender de alguna manera las series de Fourier para
obtener una representación en el dominio de la frecuencia de
funciones no periódicas?
• La respuesta es, SI.
• Por lo tanto, nuestro punto de partida va a hacer de la definición y
expresión de una señal periódica en términos de la Serie exponencial
compleja de Fourier.
LA TRANSFORMADA DE FOURIER
Consideremos la siguiente función periódica: Tren de pulsos de amplitud 1, ancho
f(t)
p y periodo T:
1
p
...
-T
Esta función se puede expresar como:
-T/
2
-p/
∞
𝐶𝑛 𝑒 𝑗𝑛𝑤0 𝑡
𝑓 𝑡 =
𝑛=−∞
Donde: 𝐶𝑛 =
1 𝑇/2
−𝑗𝑛𝑤0 𝑡 𝑑𝑡
𝑓(𝑡)𝑒
𝑇 −𝑇/2
0
2
p/
T/
2
T ...
t
2
0

f (t )  1
0

T
2
p
2
p
2
t 
t 
t 
p
2
p
2
T
2
LA TRANSFORMADA DE FOURIER
Los coeficientes de la serie compleja de Fourier en este caso resultan puramente
reales:
p
 p  sen(n0 2 )
cn   
p
T
(
n

 
0 2)
El espectro de frecuencia correspondiente lo obtenemos (en este caso) graficando
cn contra  = n0.
0.6
0.4
cn
Espectro del
tren de pulsos
para p = 1, T = 2
0.2
0
-0.2
-60
-40
-20
0
20
40
60 w=nw
0
LA TRANSFORMADA DE FOURIER
1.5
p = 1, T = 2
f(t)
1
0.5
0
-20
-10
1.5
t
0
10
20
10
20
t
10
20
t
10
20
p = 1, T = 5
f(t)
1
0.5
0
-20
-10
0
t
1.5
p = 1, T = 10
f(t)
1
0.5
0
-20
-10
0
1.5
p = 1, T = 20
f(t)
1
0.5
0
-20
-10
0
Si el periodo del
tren de pulsos
aumenta...
LA TRANSFORMADA DE FOURIER
p = 1, T = 2
cn
0.6
0.4
0.2
0
-0.2
-50
0
=n0
50
0.3
p = 1, T = 5
0.2
0.1
0
-0.1
-50
0
50
0.15
p = 1, T = 10
0.1
...el
espectro se
"densifica".
0.05
0
-0.05
-50
0.06
0
50
p = 1, T = 20
0.04
0.02
0
-0.02
-50
0
50
LA TRANSFORMADA DE FOURIER
En el límite cuando T, la función deja de ser periódica:
1.5
p = 1, T = 
f(t)
1
0.5
0
-20
-10
0
t
¿Qué pasa con los coeficientes de la serie de Fourier?
10
20
LA TRANSFORMADA DE FOURIER
Si se hace T muy grande (T), el espectro se vuelve "continuo":
DEFINICIÓN DE LA T. DE FOURIER
El razonamiento anterior nos lleva a reconsiderar la expresión de una función f(t)
no periódica en el dominio de la frecuencia, no como una suma de armónicos de
frecuencia n0, sino como una función continua de la frecuencia .
Así, la serie:
f (t ) 

in0t
c
e
n
n  
al cambiar la "variable discreta" n0 (cuando T) por la variable continua , se
transforma en una integral de la siguiente manera:
T /2
Recordemos:
cn 
1
T
 f (t )e
T / 2
in0t
dt
y
T
2
0
DEFINICIÓN DE LA T. DE FOURIER
La serie de Fourier es:
-T/2< x < T/2
O bien:
T  2 / 0
0  2 / T
 1 T /2
 in0t
in0t
f (t )    T  f (t )e
dt  e
n    T / 2


1
f (t )    2
n   

T /2
 f (t )e
T / 2
in0t
 in0t
dt 0 e

Cuando T , n0   y 0  d y el sumatorio
se convierte en:

 it
it
 f (t )e dt e d

f (t ) 
1
2
DEFINICIÓN DE LA T. DE FOURIER

Es decir,
f (t ) 
1
2
 F ( )e
it
d

donde:
F ( ) 

 f (t )e

 i t
dt
Identidad
de Fourier
o antitransformada de
Fourier
Transformada
de Fourier
Estas expresiones nos permiten calcular la expresión F() (dominio de la
frecuencia) a partir de f(t) (dominio del tiempo) y viceversa.
DEFINICIÓN DE LA T. DE FOURIER

F ( ) 

f (t ) exp(i t ) dt
TRANSFORMADA
DE FOURIER


1
f (t ) 
2


F ( ) exp(i t ) d
TRANSFORMADA
INVERSA DE
FOURIER O
ANTITRANSFORMA
DA DE FOURIER
DEFINICIÓN DE LA T. DE FOURIER
Notación: A la función F() se le llama transformada de Fourier de f(t) y
se denota por F o , es decir
F [ f (t )]  F ( )  fˆ ( ) 


f (t )e
 it
dt

En forma similar, a la expresión que nos permite obtener f(t) a partir de
F() se le llama transformada inversa de Fourier y se denota por F –1 ,es

decir
F [ F ( )]  f (t ) 
1
1
2
F
(

)
e


it
d
DEFINICIÓN DE LA T. DE FOURIER
Ejemplo. Calcular F() para el pulso rectangular f(t) siguiente:
1
f(t)
t
-p/
2
0
p/
2
0

f (t )  1
0

t
p
2
p
2
t 
p
2
t
p
2
Integrando:
F ( ) 


p/2
it
e
 dt
f (t )e it dt 


1
i
e
it
Usando la fórmula
de Euler:
p/2
p/2
p / 2

1
 i
(e
 i p / 2
sen(p / 2) 
ip / 2
e
e
ip / 2
 eip / 2
2i
sen(p / 2)
F ( )  p
 p sinc (p / 2)
p / 2
)
0

f (t )  1
0

t
p
2
F(w)
En forma gráfica,
la transformada es:
p
2
t 
p
2
p =1
p
2
t
F ( )  p sinc (p / 2)
F(w) con p=1
1
0.5
0
-50
0
50
w
La función sinc(x)
Sinc(x/2) es la
transformada de
Fourier de una
función rectángulo.
Sinc2(x/2) es la
transformada de
Fourier de una
función triangulo.
Sinc2(ax) es el
patrón de difración
de una ranura.
EJEMPLOS APLICANDO LA DEFINICIÓN
Hallar la Transformada de Fourier de la señal:
EJEMPLOS APLICANDO LA DEFINICIÓN
Hallar la Transformada de Fourier de la señal:
EJEMPLOS APLICANDO LA DEFINICIÓN
Ejercicio: Calcular la Transformada de Fourier de la función escalón
unitario o función de Heaviside, u(t): u(t)
1
t
0
Grafica U() = F[u(t)].
¿Qué rango de frecuencias contiene U()?
¿Cuál es la frecuencia predominante?
F(w) =
1
𝑗𝑤
= |F(w)|∟φ(w) =
1
∟
𝑤
-90°
|F(w)|
|F(w)| =
1
𝑤
w
φ(w)
w
-90°
EXISTENCIA DE LA T. DE FOURIER
1. Se dice que la función f(t) tiene transformada de Fourier, si dicha función es
absolutamente integrable o convergente. Es decir que:
∞
𝒇(𝒕) 𝒅𝒕 < ∞
−∞
• Una clase de señales que cumplen con esta condición son las llamadas señales
de energía finita.
• En general, estas señales, o bien son limitadas en el tiempo o asintóticamente
limitadas en el tiempo, en el sentido de que f(t) → 0 cuando t → ± ∞.
• Las señales de potencia media finita también tienen Transformada de Fourier,
pero contienen impulsos.
• Por consiguiente, tanto las señales de energía finita como los de potencia media
finita tienen transformada de Fourier.
EXISTENCIA DE LA T. DE FOURIER
2. La señal f(t) no presenta “comportamiento anómalo”, o tiene un buen
comportamiento.
• No existencia de “comportamientos anómalos” o buen comportamiento significa que la señal es
de variación acotada.
• Es decir, que f(t) se puede representar mediante una curva de longitud finita en cualquier
intervalo de tiempo finito o alternativamente, que la señal tiene un número finito de
discontinuidades, máximos y mínimos en cualquier intervalo de tiempo finito.
• Todas las señales reales (es decir, señales que pueden generarse físicamente), tienen buen
comportamiento.
EXISTENCIA DE LA T. DE FOURIER
 Las condiciones presentadas para la existencia de la transformada de Fourier de
f(t) son condiciones suficientes.
 Esto significa que hay señales que pueden violar alguna de las condiciones o
ambas y tener Transformada de Fourier.
 Como ejemplo se tienen a las señales de potencia media finita que no son
integrables en valor absoluto en un intervalo de longitud finita, o los trenes de
impulsos que tienen “comportamientos anómalos”, y que no son de energía
finita ni de potencia media finita, aunque tienen Transformada de Fourier.
EXPRESIONES DE LA T. DE FOURIER
• Según se pudo apreciar en los ejemplos precedentes, la Transformada de Fourier es una función
continua compleja.
• Esto quiere decir que la función F(w) puede se expresado en varios formatos que representen
notación de números complejos.
• Las dos formas más comunes de representar a un número complejo son: la forma rectangular y la
forma polar o fasorial.
FORMA RECTANGULAR:
Partiendo de la definición de la Transformada de Fourier y aplicando Identidad de Euler se tiene:
∞
∞
𝑓 𝑡 𝑒 −𝑗𝑤𝑡 𝑑𝑡 =
𝐹 𝑤 =
−∞
∞
𝑓(𝑡) 𝑐𝑜𝑠𝑤𝑡 − 𝑗𝑠𝑒𝑛𝑤𝑡 𝑑𝑡 =
−∞
∞
𝑓 𝑡 𝑐𝑜𝑠𝑤𝑡𝑑𝑡 − 𝑗
−∞
De la anterior relación se puede observar que la F(w) tiene dos componentes:
𝑓 𝑡 𝑠𝑒𝑛𝑤𝑡𝑑𝑡
−∞
EXPRESIONES DE LA T. DE FOURIER
Por lo tanto, se puede asignar a dichas componentes como:
∞
𝑅 𝑤 =
∞
𝑓 𝑡 𝑐𝑜𝑠𝑤𝑡𝑑𝑡
𝐼 𝑤 =−
−∞
−∞
Parte Real de F(w)
Por consiguiente:
𝑓 𝑡 𝑠𝑒𝑛𝑤𝑡𝑑𝑡
Parte Imaginaria de F(w)
𝑭 𝒘 = 𝑹 𝒘 + 𝒋𝑰(𝒘)
FORMA POLAR O FASORIAL:
𝑭 𝒘 = 𝑭(𝒘) 𝒆𝒋∅(𝒘)
Donde:
 |F(w)| : Módulo de F(w). Se conoce como la magnitud del espectro de f(t).
 Φ(w) : Fase de F(w). Fase del espectro de la señal f(t).
EXPRESIONES DE LA T. DE FOURIER
Se puede pasar de una notación rectangular a polar mediante las siguientes relaciones:
𝐹(𝑤) =
𝑅(𝑤)
2
+ 𝐼(𝑤)
2
𝐼(𝑤)
𝑡𝑔
𝑠𝑖 𝑅 𝑤 ≥ 0
𝑅(𝑤)
𝐼(𝑤)
−1
𝜋 + 𝑡𝑔
, 𝑠𝑖 𝑅 𝑤 < 0
𝑅(𝑤)
−1
∅ 𝑤 =
Si f(t) es real entonces se concluye que: 𝐹 −𝑤 = 𝐹(𝑤) complejo conjugado de F(w)
Tomando el complejo conjugado de la forma polar: 𝐹(𝑤) = 𝐹(𝑤) 𝑒 −𝑗∅(𝑤)
Por lo tanto: 𝐹 −𝑤 = 𝐹(𝑤) 𝑒 −𝑗∅(𝑤)
Lo que implica que:
𝑭(−𝒘) = 𝑭(𝒘)
∅ −𝒘 = −∅(𝒘)
La magnitud de F(w) es una
función par.
La fase de F(w) es una
función impar.
PROPIEDADES DE LA T. DE FOURIER
• Según se pudo apreciar muchas señales que inclusive no cumplen con
algunas condiciones, tienen su transformada de Fourier.
• Lo que implica que se puede encontrar la Transformada de Fourier de
señales que tienen ciertas características mediante la definición.
• Además, como se vio en señales, se pueden realizar operaciones con las
señales o bien se puede operar sobre la variable independiente, t.
• Muchas veces encontrar la Transformada de Fourier de este tipo de señales
aplicando directamente la definición puede resultar muy complicado.
• De ahí que surgen las propiedades de la Transformada de Fourier que
permiten encontrar de una manera fácil y rápida la T. de Fourier de dichas
señales.
PROPIEDADES DE LA T. DE FOURIER
1. LINEALIDAD: Se considera la existencia de dos funciones f1(t) y f2(t), cuyas T. de
Fourier existen y valen: 𝕱 𝒇𝟏 (𝒕) = 𝑭𝟏 𝒘 , 𝒚 𝕱 𝒇𝟐 (𝒕) = 𝑭𝟐 (𝒘)
Por lo tanto: 𝕱 𝒇𝟏 𝒕 + 𝒇𝟐 (𝒕) = 𝑭𝟏 𝒘 + 𝑭𝟐 (𝒘) Combinación lineal de dos
funciones
EJEMPLO:
𝔉 𝑎𝑓 𝑡 + 𝑏𝑔 𝑡
= 𝑎𝔉{𝑓(𝑡)} + 𝑏𝔉{𝑔(𝑡)}
= aF(w) + bG(w)
PROPIEDADES DE LA T. DE FOURIER
2. DESPLAZAMIENTO TEMPORAL: Se aplica una traslación de la variable t en un
tiempo particular t0.
Si 𝔉{𝑓(𝑡)} = F(w)
Entonces: 𝕱 𝒇(𝒕 − 𝒕𝟎 ) = 𝑭(𝒘)𝒆−𝒋𝒘𝒕𝟎
• Esta ecuación indica que un desplazamiento en el tiempo no altera la amplitud del
espectro de la señal.
• Su único efecto es que introduce un desplazamiento de fase en la Transformada
que es lineal con la frecuencia w.
• Esto es razonable ya que vimos que al adelantar o retrasar una señal senoidal, lo
único que hacemos es ajustar su fase.
• Además el contenido de energía de la señal no depende de su posición en el
tiempo.
PROPIEDADES DE LA T. DE FOURIER
3. ESCALAMIENTO TEMPORAL: Modificamos la variable independiente t con un
valor arbitrario constante, a.
Si 𝔉{𝑓(𝑡)} = F(w)
Entonces: 𝕱 𝒇(𝒂𝒕) =
𝟏
𝒂
𝑭
𝒘
𝒂
 De acuerdo a lo visto anteriormente, en el escalado temporal de una señal, si 0 <
a < 1, la señal escalada f(at) era la versión expandida de f(t), mientras que si a >
1, f(at) era la versión comprimida de f(t).
 Además, también se sabe que existe una relación inversa entre el tiempo y la
frecuencia.
 Entonces, una expansión en el dominio del tiempo implica una compresión en
el dominio de la frecuencia y viceversa.
F()
f(t)
EFECTO DE
LA PROPIEDAD
DE ESCALADO
Mientras más
angosto es el
pulso, más
ancho es el
espectro.
Esta es la esencia
del principio de
incertidumbre en
mecánica cuántica.
Pulso
angosto
t

t

t

Pulso
medio
Pulso
largo
EJEMPLO DE
ESCALADO DEL
PULSO
RECTANGULAR
PROPIEDADES DE LA T. DE FOURIER
5. DIFERENCIACIÓN EN EL DOMINIO DEL TIEMPO.
Si 𝔉{𝑓(𝑡)} = F(w)
Generalizando: 𝕱
Entonces: 𝕱
𝒅𝒏
𝒇(𝒕)
𝒅𝒕𝒏
𝒅
𝒇(𝒕)
𝒅𝒕
= 𝒋𝒘𝑭 𝒘
= 𝒋𝒘 𝒏 𝑭 𝒘
• Esta ecuación permite mostrar que al derivar una señal en el dominio del tiempo
equivale a reforzar las componentes de alta frecuencia.
• Es decir, tiene el efecto de un filtro pasaaltos.
PROPIEDADES DE LA T. DE FOURIER
6. INTEGRACIÓN EN EL DOMINIO DEL TIEMPO.
Si 𝔉{𝑓(𝑡)} = F(w)
Entonces: 𝕱
𝒕
𝒇
−∞
𝝉 𝒅𝝉 =
𝑭(𝒘)
𝒋𝒘
• Esta ecuación implica que la integración en el dominio del tiempo atenúa
(desenfatiza) la amplitud de las componentes de alta frecuencia de la señal.
• Por tanto, la señal integrada será más suave que la señal original.
• Por esto la operación de la integración se denomina a veces operación de
suavizado.
PROPIEDADES DE LA T. DE FOURIER
7. DESPLAZAMIENTO EN EL DOMINIO DE LA FRECUENCIA.
Si 𝔉{𝑓(𝑡)} = F(w)
Entonces: 𝕱 𝒇(𝒕)𝒆𝒋𝒘𝟎 𝒕 = 𝑭 𝒘 − 𝒘𝟎
Es decir, multiplicar a la señal f(t) por una señal periódica de frecuencia w0, implica
desplazar a la señal a la frecuencia w0.
8. DIFERENCIACIÓN EN EL DOMINIO DE LA FRECUENCIA.
También llamado propiedad de la multiplicación por t.
Si 𝔉{𝑓(𝑡)} = F(w)
Generalizando: 𝕱
Entonces: 𝕱 𝒕. 𝒇(𝒕) = −
𝒕𝒏 𝒇(𝒕)
=
𝟏 𝒏 𝒅𝒏
−
. 𝒏𝑭
𝒋
𝒅𝒘
𝒘
𝟏 𝒅
𝑭
𝒋 𝒅𝒘
𝒘
PROPIEDADES DE LA T. DE FOURIER
9. CONVOLUCIÓN EN EL DOMINIO DEL TIEMPO.
Si 𝕱 𝒇𝟏 (𝒕) = 𝑭𝟏 𝒘 , 𝒚 𝕱 𝒇𝟐 (𝒕) = 𝑭𝟐 (𝒘)
Entonces: 𝕱 𝒇𝟏 𝒕 ∗ 𝒇𝟐 (𝒕) = 𝑭𝟏 𝒘 . 𝑭𝟐 (𝒘)
Este es una propiedad útil, ya que permite analizar sistemas LTI en el dominio de
la frecuencia.
f(t)
h(t)
y(t) = f(t)*h(t)
y(t)
𝕱
F(w)
H(w)
Y(w)
Y(w) = F(w).H(w)
PROPIEDADES DE LA T. DE FOURIER
De acuerdo al anterior gráfico, se ve que la amplitud y fase del espectro de la salida
y(t) se relacionan con los de la entrada f(t) de la siguiente forma, sabiendo que todas
las funciones son complejas:
De: 𝑌(𝑤) 𝑒 𝑗𝜙𝑌 (𝑤) = 𝐹(𝑤) 𝑒 𝑗𝜙𝐹(𝑤) . 𝐻(𝑤) 𝑒 𝑗𝜙𝐻(𝑤)
𝒀(𝒘) = 𝑭(𝒘) . 𝑯(𝒘)
𝝓𝒀 𝒘 = 𝝓𝑭 𝒘 + 𝝓𝑯 (𝒘)
Por lo tanto, la amplitud espectral de la entrada resulta modificada por |H(w)| para
producir la amplitud espectral de la señal de salida, y la fase de la entrada resulta
modificado por la fase del sistema para producir la fase de la salida.
PROPIEDADES DE LA T. DE FOURIER
A partir de las relaciones de las tres funciones:
𝒀(𝒘) = 𝑭(𝒘) . 𝑯(𝒘)
Se despeja H(w), por lo tanto:
𝑯 𝒘 =
𝒀(𝒘)
𝑭(𝒘)
La función H(w), que es la transformada de Fourier de la respuesta al impulso,
h(t), se denomina la Respuesta en Frecuencia del sistema.
9. CONVOLUCIÓN EN EL DOMINIO DE LA FRECUENCIA.
Si 𝕱 𝒇𝟏 (𝒕) = 𝑭𝟏 𝒘 , 𝒚 𝕱 𝒇𝟐 (𝒕) = 𝑭𝟐 (𝒘)
Entonces: 𝕱 𝒇𝟏 𝒕 . 𝒇𝟐 (𝒕) =
𝟏
[𝑭𝟏
𝟐𝝅
𝒘 ∗ 𝑭𝟐 (𝒘)]
EJEMPLO DE CONVOLUCIÓN EN EL TIEMPO
rect( x)  rect( x)  ( x)
F {rect( x)} 
F {( x)} 
sinc(k / 2)
sinc 2 (k / 2)
sinc(k / 2)  sinc(k / 2)  sinc2 (k / 2)
EJEMPLOS DE APLICACIÓN T. DE FOURIER
𝒘 −𝟏
Sea 𝑿 𝒘 = 𝒓𝒆𝒄𝒕
, la transformada de Fourier de la señal x(t). Obtener la
𝟐
transformada de Fourier de las siguientes señales aplicando Propiedades.
a) 𝑦
b) 𝑦
c) 𝑦
d) 𝑦
e) 𝑦
𝑡
𝑡
𝑡
𝑡
= 𝑡. 𝑥 𝑡
=𝑥 𝑡+1
= 𝑥 2𝑡 − 4
= 𝑥 3𝑡 . exp −𝑗2𝑡
𝑡 =
𝑑𝑥(𝑡)
𝑑𝑡
𝑏) 𝑦 𝑡 = 𝑥 𝑡 + 1
+ 𝑥 𝑡 .𝑥 𝑡
SOLUCIÓN:
a) 𝑦 𝑡 = 𝑡. 𝑥 𝑡
Derivada en el dominio de la frecuencia
𝑌 𝑤 = 𝔉 𝑦(𝑡) = 𝔉 𝑡. 𝑥(𝑡)
𝑌 𝑤 =
−
1 𝑑
𝟏 𝒅
𝒘 −𝟏
𝑋(𝑤) = −
𝒓𝒆𝒄𝒕
𝑗 𝑑𝑤
𝒋 𝒅𝒘
𝟐
Desplazamiento temporal
𝑌 𝑤 = 𝔉 𝑦(𝑡) = 𝔉 𝑥(𝑡 + 1) = 𝑋 𝑤
. 𝑒 𝑗𝑤1
𝒘 −𝟏
= 𝒓𝒆𝒄𝒕
𝒆𝒋𝒘
𝟐
EJEMPLOS DE APLICACIÓN T. DE FOURIER
X(w)
𝑌 𝑤 =
−
1 𝑑
𝟏 𝒅
𝒘 −𝟏
𝑋(𝑤) = −
𝒓𝒆𝒄𝒕
𝑗 𝑑𝑤
𝒋 𝒅𝒘
𝟐
0
𝒓𝒆𝒄𝒕
𝒘 −𝟏
𝟐
Y(w)
= u(w) – u(w – 2)
j
𝟏
Y(𝒘) = − 𝒋
Y(w) = −
w
2
𝟏
𝒋
𝒅
𝒅𝒘
𝒓𝒆𝒄𝒕
𝒘 −𝟏
𝟐
1
= −𝑗
δ(w) – 𝜹(w – 2)
𝑑
𝑑𝑤
u(w) – u(w – 2)
j
EJEMPLOS DE APLICACIÓN T. DE FOURIER
𝑐) 𝑦 𝑡 = 𝑥 2𝑡 − 4
Escalamiento temporal y desplazamiento temporal
𝟏
𝒘 −𝟐
𝒀 𝒘 =
𝒓𝒆𝒄𝒕
𝒆−𝟐𝒋𝒘
𝟐
𝟒
𝑑) 𝑦 𝑡 = 𝑥 3𝑡 . exp −𝑗2𝑡
𝟏
(𝒘 + 𝟐) − 𝟑
𝒀 𝒘 =
𝒓𝒆𝒄𝒕
𝟑
𝟔
𝑒) 𝑦 𝑡 =
𝑑𝑥(𝑡)
+ 𝑥 𝑡 .𝑥 𝑡
𝑑𝑡
Derivada en el dominio, linealidad, convolución en el
dominio de la frecuencia.
𝒘 −𝟏
𝒀 𝒘 = 𝒋𝒘. 𝒓𝒆𝒄𝒕
𝟐
𝟏
𝒘 −𝟏
+
𝒓𝒆𝒄𝒕
𝟐𝝅
𝟐
𝒘 −𝟏
∗ 𝒓𝒆𝒄𝒕
𝟐
EJEMPLOS DE APLICACIÓN T. DE FOURIER
Sea la señal periódica f(t) con periodo T. Se desea encontrar su transformada de Fourier F(w)
∞
𝐶𝑛 𝑒 𝑗𝑛𝑤0 𝑡
𝑓 𝑡 =
𝑛=−∞
Aplicando la Transformada de Fourier a ambos miembros:
∞
𝐶𝑛 𝔉 𝑒 𝑗𝑛𝑤0 𝑡
𝐹 𝑤 =
𝑛=−∞
∞
𝑭 𝒘 =
Propiedad de desplazamiento en el dominio de la
frecuencia
𝟐𝝅𝑪𝒏 𝜹(𝒘 − 𝒏𝒘𝟎 )
𝒏=−∞
Por tanto, la transformada de una señal periódica es simplemente un tren de impulsos localizados en
w = nw0. Cada impulso tiene un peso de 2πCn y todos ellos están separados entre si en w0. Una
observación que hacemos es que esta función F(w) no es periódica a pesar que los impulsos estén
separados cada w0, ya que sus magnitudes son todos diferentes.
EJEMPLOS DE APLICACIÓN T. DE FOURIER
Dado el siguiente sistema:
Con:
f(t)
𝑓 𝑡 = 2𝑒 −3𝑡 𝑢(𝑡)
h(t)
𝑦 𝑡 = 𝑒 −𝑡 + 4𝑒 −2𝑡 𝑢(𝑡)
𝑦 𝑡 = 𝑓 𝑡 ∗ ℎ(𝑡)
Se pide encontrar su función Respuesta en Frecuencia
y(t)
(1)
SOLUCIÓN:
Aplicando la Transformada de Fourier:
2
𝐹 𝑤 = 𝔉 𝑓(𝑡) =
𝑗𝑤 + 3
F(w)
H(w)
1
4
5𝑗𝑤 + 6
𝑌 𝑤 = 𝔉 𝑦(𝑡) =
+
=
𝑗𝑤 + 1 𝑗𝑤 + 2
𝑗𝑤 + 1 𝑗𝑤 + 2
Y(w)
EJEMPLOS DE APLICACIÓN T. DE FOURIER
Por propiedad de convolución en el tiempo, la (1) es igual a: Y 𝒘 = 𝑭 𝒘 . 𝑯(𝒘)
5𝑗𝑤 + 6
𝑌(𝑤)
𝟓 𝒋𝒘 + 𝟑 𝒋𝒘 + 𝟔/𝟓
𝑗𝑤 + 1 𝑗𝑤 + 2
𝐻 𝑤 =
=
= .
2
𝐹(𝑤)
𝟐 𝒋𝒘 + 𝟏 𝒋𝒘 + 𝟐
𝑗𝑤 + 3
EJEMPLOS DE APLICACIÓN T. DE FOURIER
Dado el siguiente sistema mostrado en el esquema, se pide encontrar la Transformada de Fourier
de m(t)
cos 2𝜋𝑓0 𝑡 ,
𝑡 < 𝜏
Con:
𝑓 𝑡 =
f(t)
m(t)
0,
𝑡 > 𝜏
x
p(t)
SOLUCIÓN: 𝑚 𝑡 = 𝑓 𝑡 . 𝑝(𝑡)
Propiedad de convolución en
el dominio de la frecuencia o
modulación
𝑡
𝑝 𝑡 = 𝑟𝑒𝑐𝑡
2𝜏
EJEMPLOS DE APLICACIÓN T. DE FOURIER
Aplicando la Transformada de Fourier a m(t) con la respectiva propiedad:
1
𝑀 𝑤 =
𝐹 𝑤 ∗ 𝑃(𝑤)
2𝜋
Con:
𝐹 𝑤 = 𝔉 𝑐𝑜𝑠2𝜋𝑓0 𝑡 = 𝜋 𝛿 𝑓 − 𝑓0 + 𝛿 𝑓 + 𝑓0
𝑡
𝑃 𝑤 = 𝔉 𝑟𝑒𝑐𝑡
2𝜏
= 2𝜏𝑠𝑖𝑛𝑐 2𝜏𝑓
1
𝑀 𝑤 =
𝜋 𝛿 𝑓 − 𝑓0 + 𝛿 𝑓 + 𝑓0 ∗ 2𝜏𝑠𝑖𝑛𝑐 2𝜏𝑓
2𝜋
𝟏
𝑴 𝒘 =
𝑷 𝒇 − 𝒇𝟎 + 𝑷 𝒇 + 𝒇𝟎 = 𝝉𝒔𝒊𝒏𝒄 𝟐𝝉(𝒇 − 𝒇𝟎 ) + 𝝉𝒔𝒊𝒏𝒄 𝟐𝝉(𝒇 + 𝒇𝟎 )
𝟐
𝑴 𝒘
𝒘
𝟐
𝑭 𝒘 = 𝒓𝒆𝒄𝒕
𝒘
𝒘
𝒘
𝒋𝒘𝟏
𝒓𝒆𝒄𝒕
. 𝒓𝒆𝒄𝒕
𝒆
= 𝒓𝒆𝒄𝒕
𝟐
𝟐
𝟐
t[f(t)*f(t - 1)]
−
f(t)*f(t - 1)
𝟏 𝒅
𝒋 𝒅𝒘
𝒓𝒆𝒄𝒕
𝒘
𝟐
𝒓𝒆𝒄𝒕
𝟐
𝒆𝒋𝒘𝟏
𝒘
𝟐
𝟐
𝒆𝒋𝒘𝟏
𝟐
𝒆𝒋𝒘𝟏
𝑑
t 𝑓
𝑑𝑡
𝑡 − 𝑓 𝑡 . 𝑒 𝑗4𝑡 + (t−1).[f(t)∗f(t − 1)]
𝟏 𝒅
−
𝒋 𝒅𝒘
𝒘
𝒋𝒘. 𝒓𝒆𝒄𝒕
𝟐
-
𝒘 −𝟒
𝒓𝒆𝒄𝒕
𝟐
+
𝟏 𝒅
−
𝒋 𝒅𝒘
𝒘
𝒓𝒆𝒄𝒕
𝟐
𝟐
𝒋𝒘𝟏
𝒆
-
𝒓𝒆𝒄𝒕
𝒘
𝟐
𝟐
𝒆𝒋𝒘𝟏
TEOREMA DE PARSEVAL
• El Teorema de Parseval es un concepto muy importante, ya que permite
obtener la potencia media o energía de una señal en términos de la frecuencia.
• En el caso se señales periódicas, éste permite obtener la potencia media de una
señal en función de la frecuencia mediante una sumatoria de las magnitudes al
cuadrado de cada armónico.
𝟐
• Es decir: 𝑷 = ∞
𝑪
𝒏=−∞ 𝒏
• De la misma manera Parseval define un Teorema que permite obtener la Energía
Finita en función de la frecuencia para señales no periódicas.
Sea una señal f(t) no periódica cuya energía finita es igual a:
∞
𝑓(𝑡) 2 𝑑𝑡
𝐸=
−∞
TEOREMA DE PARSEVAL
Asumiendo que la señal es real, entonces se puede expresar de la siguiente forma:
∞
𝐸=
∞
𝑓 𝑡
. 𝑓∗
𝑡 𝑑𝑡 =
−∞
1
𝐸=
2𝜋
−∞
∞
∞
∗
𝐹 𝑤
−∞
1
𝑓 𝑡 .
2𝜋
𝑓 𝑡 𝑒
−∞
−𝑗𝑤𝑡
∞
𝐹 ∗ (𝑤)𝑒 −𝑗𝑤𝑡 𝑑𝑤 𝑑𝑡
−∞
1
𝑑𝑡 𝑑𝑤 =
2𝜋
∞
1
𝐹 𝑤 . 𝐹 𝑤 𝑑𝑤 =
2𝜋
∗
−∞
Por tanto, la Energía de una señal se puede expresar como:
∞
𝑬=
𝒇(𝒕)
−∞
𝟐 𝒅𝒕
𝟏
=
𝟐𝝅
∞
∞
𝑭(𝒘) 𝟐 𝒅𝒘
−∞
𝐹(𝑤) 2 𝑑𝑤
−∞
TEOREMA DE PARSEVAL
 La anterior expresión indica que la energía de una señal no periódica se puede calcular en el
dominio de la frecuencia obteniendo la energía por unidad de frecuencia, 𝕰 𝒘 = 𝑭(𝒘) 𝟐 /𝟐𝝅 e
integrando en todas frecuencias.
 Por esta razón 𝕰 𝒘 a menudo se denomina densidad espectral de energía, ya que mide la
distribución la distribución con la frecuencia de la energía de f(t).
 Como se puede apreciar en la formula, la densidad espectral de energía de una señal depende del
modulo del espectro y no de la fase.
 Esto implica que existen muchas señales que pueden tener la misma densidad espectral de energía.
 Sin embargo, dada una señal, su densidad espectral de energía es única.
 La energía de una banda infinitesimal de frecuencias dw es 𝕰 𝒘 𝒅𝒘, y la energía contenida en una
banda de frecuencias 𝒘𝟏 ≤ 𝒘 ≤ 𝒘𝟐 es:
𝟏
∆𝑬 =
𝟐𝝅
𝒘𝟐
𝑭(𝒘) 𝟐 𝒅𝒘
𝒘𝟏
TEOREMA DE PARSEVAL
 Es decir, que 𝑭(𝒘) 𝟐 no solo nos permite calculary la energía total de f(t) utilizando el Teorema de
Parseval, sino que nos permite calcular también la energía en cualquier banda de frecuencia dada.
 Como se sabe, para señales reales, 𝑭(𝒘) 𝟐 es una función par, y la anterior ecuación se puede
escribir como:
∆𝑬 =
𝟏
𝝅
𝒘𝟐
𝑭(𝒘) 𝟐 𝒅𝒘
𝟎
• Como se mencionó en el primer capítulo, las señales periódicas tienen energía infinita pero potencia
media finita.
• La densidad espectral de potencia es una función que describe la distribución de la potencia media
de una señal en función de la frecuencia.
• A continuación se encontrará una expresión para obtener la densidad espectral de potencia de
señales de potencia media finita.
TEOREMA DE PARSEVAL
Definamos una señal 𝒇𝝉 (𝒕) como:
−𝜏 < 𝑡 < 𝜏
𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑟𝑒𝑠𝑡𝑜
𝑡
= 𝑓 𝑡 . 𝑟𝑒𝑐𝑡
2𝜏
𝑓𝜏 𝑡 =
𝑓 𝑡 ,
0,
Se supone que además, la señal 𝒇𝝉 (𝒕) tiene su transformada de Fourier: 𝑓𝜏 𝑡 ↔ 𝐹𝜏 (𝑤)
Por definición, la potencia media de la señal f(t) es:
1
𝑃 = lim
𝜏 → ∞ 2𝜋
∞
𝑓(𝑡)
−∞
2 𝑑𝑡
1
= lim
𝜏 → ∞ 2𝜏
∞
𝑓𝜏 (𝑡) 2 𝑑𝑡
−∞
En donde la última igualdad se desprende de la definición de 𝒇𝝉 𝒕 .
TEOREMA DE PARSEVAL
Utilizando el Teorema de Parseval, se puede escribir la anterior ecuación de la siguiente forma:
1
1
𝑃=
lim
2𝜋 𝜏 → ∞ 2𝜏
1
𝑃=
2𝜋
∞
−∞
1
2
𝐹𝜏 (𝑤) 𝑑𝑤 =
2𝜋
∞
lim
𝜏→∞
−∞
𝐹𝜏 (𝑤)
2𝜏
2
𝑑𝑤
∞
𝑆 𝑤 𝑑𝑤
−∞
Donde:
𝑺 𝒘 = 𝒍𝒊𝒎
𝝉→∞
𝑭𝝉 (𝒘)
𝟐𝝉
𝟐
• S(w) se denomina densidad espectral de potencia de la señal f(t).
• Al igual que la densidad espectral de energía, la densidad espectral de potencia depende solo
del módulo del espectro y no de la fase.
EJEMPLO DE APLICACIÓN T. DE PARSEVAL
Se introduce una señal f(t) a un sistema LTI. Se pide calcular la Energía contenida de la señal de salida
en la banda -4 < w < 4, asumiendo que |H(w)| = 1 y f(t) = 3exp[-2t].u(t)
f(t)
h(t)
y(t)
SOLUCIÓN:
Primero calculamos la energía de la señal de
entrada:
∞
3𝑒 −2𝑡 2 𝑑𝑡
𝐸𝑓 =
0
9 −2𝑡 ∞
9
= − 𝑒 |0 = [𝐽]
4
4
Como se quiere calcular la energía de la salida
contenida en una banda, se debe trabajar en
función de la frecuencia. Por tanto, se tiene el
siguiente esquema:
F(w)
Y(w)
H(w)
3
Calculando la T. de Fourier de f(t): 𝐹 𝑤 =
𝑗𝑤 + 2
Su magnitud es: 𝐹(𝑤) =
3
𝑤 2 +4
De: |Y(w)| = |F(w)|.|H(w)|
𝑌(𝑤)
2
= 𝐹(𝑤)
2
𝑌(𝑤)
2
9
=
.1
𝑤2 + 4
𝐻(𝑤)
2
EJEMPLO DE APLICACIÓN T. DE PARSEVAL
Por tanto, la energía de la señal de salida en la banda -4 < w < 4, es:
1
𝐸𝑦 =
𝜋
4
𝑌(𝑤)
0
2 𝑑𝑤
1
=
𝜋
4
0
9
9 1
𝑤 4
9
−1
𝑑𝑤 = .
𝑡𝑔
| =
. 1.1071
𝑤2 + 4
𝜋 2
2 0
2𝜋
𝑬𝒚 = 𝟏. 𝟓𝟖𝟓𝟖[𝑱]
EJERCICIO: Se tiene una f(t) = exp[-at]u(t) que se introduce a un Sistema LTI con
|H(w)| = b/√(b2 + w2). Determinar la relacion entre a y b para que el 50% de la
energia de f(t) se transfiera a la salida.
APLICACIONES DE LA T. DE FOURIER
• La Transformada de Fourier es una herramienta con extensas aplicaciones
en muchas áreas: Sistemas de telecomunicaciones, tratamiento de la señal,
en sistemas de control, en biomedicina, y en otras áreas de la ciencia y
física.
• Por ejemplo en el proceso de modulación de amplitud y multiplexación son
ejemplos en el área de las telecomunicaciones.
• El Teorema de muestreo es un concepto importantísimo utilizado en el
tratamiento de señales.
• El diseño de filtros y de compensadores que se utiliza en sistemas de
control no se puede realizar sin la ayuda de la T. de Fourier.
• En el área de la ingeniería biomédica es importante en la adquisición y
tratamiento de las señales biofísicas.
• Etc, etc.
APLICACIONES DE LA T. DE FOURIER
1. TELECOMUNICACIONES: MODULACIÓN DE AMPLITUD, A.M.
• El objetivo de los sistemas de telecomunicaciones es transmitir información de un punto
a otro.
• Antes de enviar la información por el canal de transmisión, hay que procesarla o
prepararla para que soporte los efectos, a veces no deseados en el medio de transmisión.
• Uno de esos tratamientos previos que se hace a la información es la modulación, entre
ellas la modulación de la amplitud, que consiste en modificar la Amplitud de una señal
llamada portadora en función del comportamiento de otra llamada moduladora (la señal
de información).
• Entre las razones para realizar este proceso se pueden mencionar:




Transmitir la información de una manera más eficiente.
Evitar las limitaciones de equipamiento hardware.
Reducir el ruido y la interferencia.
Utilizar de manera más eficiente el espectro electromagnético (recurso muy limitado)
APLICACIONES DE LA T. DE FOURIER
MODULACIÓN DE AMPLITUD, A.M.
Sean dos señales:
𝒇 𝒕 , 𝑙𝑙𝑎𝑚𝑎𝑑𝑎 𝑠𝑒ñ𝑎𝑙 𝒎𝒐𝒅𝒖𝒍𝒂𝒅𝒐𝒓𝒂 𝑜 𝑚𝑜𝑑𝑢𝑙𝑎𝑛𝑡𝑒 (𝑖𝑛𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑐𝑖ó𝑛)
𝒑 𝒕 = 𝒄𝒐𝒔𝒘𝟎 𝒕, 𝑙𝑙𝑎𝑚𝑎𝑑𝑎 𝑠𝑒ñ𝑎𝑙 𝒑𝒐𝒓𝒕𝒂𝒅𝒐𝒓𝒂
𝒇 𝒕
𝒎 𝒕
X
• Se realiza el producto, que se conoce como modulación, para obtener
•
𝒑 𝒕 = 𝒄𝒐𝒔𝒘𝟎 𝒕
•
una tercera señal llamada señal modulada en amplitud.
Existen varias técnicas de A.M. cada una con sus ventajas, desventajas y
aplicaciones.
A manera de ejemplo, realizaremos el estudio de una de ellas llamada, Doble
Banda lateral con Portadora Suprimida, DSB – SC.
Al realizar el producto de las señales f(t) y p(t) se tiene:
𝒎 𝒕 = 𝒇 𝒕 . 𝒑 𝒕 = 𝒇 𝒕 . 𝒄𝒐𝒔𝒘𝟎 𝒕
Señal modulada en amplitud
APLICACIONES DE LA T. DE FOURIER – A.M.
Desarrollando en forma analítica: 𝑚 𝑡 = 𝑓 𝑡 . 𝑝 𝑡 = 𝑓 𝑡 . 𝑐𝑜𝑠𝑤0 𝑡
Y calculando la transformada de Fourier de las señales f(t) y p(t):
𝔉 𝑓(𝑡) = 𝐹(𝑤)
𝔉 𝑝(𝑡) = 𝔉 𝑐𝑜𝑠𝑤𝑜 𝑡 = 𝜋 𝛿 𝑤 − 𝑤0 + 𝛿 𝑤 + 𝑤0
𝔉{𝑚 𝑡 } = 𝔉{𝑓 𝑡 . 𝑝 𝑡 } = 𝔉{𝑓 𝑡 . 𝑐𝑜𝑠𝑤0 𝑡}
Por propiedad de convolución en el dominio de la frecuencia:
𝑀 𝑤 =
1
𝐹 𝑤 ∗ 𝜋 𝛿 𝑤 − 𝑤0 + 𝛿 𝑤 + 𝑤0
2𝜋
𝟏
𝑴 𝒘 =
𝑭 𝒘 − 𝒘𝟎 + 𝑭 𝒘 + 𝒘 𝟎
𝟐
Espectro de la señal
modulada en Amplitud
APLICACIONES DE LA T. DE FOURIER – A.M.
F(w)
T.F.{f(t)}
P(w)
T.F.{p(t)}
w0
-w0
M(w)
T.F.{m(t)}
Diagramas temporal
y Frecuencial de la
modulación de
Amplitud, AM.
APLICACIONES DE LA T. DE FOURIER – A.M.
La Transformada de Fourier de la función pulso es:
Aplicando la propiedad de convolución en el tiempo, o
También llamado propiedad de la modulaciónn:
Diagrama que muestra el espectro de la senal
modulada
APLICACIONES DE LA T. DE FOURIER
2. FILTRADO DE SEÑALES:
• El filtrado es el proceso por el que la parte esencial o útil de una señal se separa de otras
componentes extrañas o indeseadas que denominan generalmente ruido.
• El término “ruido” se refiere en nuestro caso a cualquier parte no deseada de la señal.
• La idea de realizar filtrados utilizando para este caso el concepto de sistemas LTI, se basa
en la propiedad de la convolución en el dominio del tiempo.
• Como se sabe, la salida del sistema está en función de la convolución de la entrada y la
respuesta al impulso, y(t) = f(t)*h(t), en el dominio del tiempo.
• Aplicando la propiedad se encuentra la Transformada de Fourier: Y(w) = F(w).H(w).
• A partir de esta relación se obtiene la Respuesta en frecuencia del Filtro: H(w) =
Y(w)/F(w), que representa la característica del filtro.
APLICACIONES DE LA T. DE FOURIER - FILTROS
• El intervalo de frecuencias que dejan pasar a una señal se denomina banda de paso del filtro,
mientras la que bloquean se denomina banda de rechazo o banda eliminada.
• En el caso de un filtro ideal en la banda de paso: |H(w)| = 1, mientras que en la banda de rechazo
|H(w)| = 0.
• Los filtros se clasifican en:
a. Filtro pasa bajo, que dejan pasar señales cuyas frecuencias son menores a wC, frecuencia de corte.
b. Filtro pasa alto, que permite el paso señales cuyas frecuencias son mayores a wC.
c. Filtro pasa banda, deja pasar señales con frecuencias comprendidas entre wC1 y wC2, llamadas
frecuencia de corte inferior y superior respectivamente.
d. Filtro rechaza banda, bloquea las señales con frecuencias comprendidas wC1 y wC2.
|H(w)|
|H(w)|
1
1
wC
Pasa bajo
w
|H(w)|
|H(w)|
1
1
wC
Pasa alto
w
wC1
wC2 w
Pasa banda
wC1
wC2
Rechaza banda
w
APLICACIONES DE LA T. DE FOURIER - FILTROS
• Obviamente, es imposible diseñar o realizar filtros con las características mostrada en la anterior
diapositiva (características de filtros ideales).
• De ahí que el diseño práctico, el filtro agrega una tercera banda, llamada banda de transición,
que se encuentra entre la de paso y de rechazo y cuya anchura depende del orden o selectividad
del filtro, es decir, si esta banda es más ancha significa que el filtro es de orden menor o menos
selectivo.
|M(w)|
Banda de Transición
w
Sea el siguiente circuito R – C mostrado en la figura:
Aplicando ecuación de malla: 𝑣𝑖 𝑡 = 𝑖 𝑡 𝑅 + 𝑣𝐶 (𝑡)
𝑑
Además como: 𝑖𝐶 𝑡 = 𝐶. 𝑑𝑡 𝑣𝐶 (𝑡)
𝑑
𝑣𝑖 𝑡 = 𝑅𝐶.
𝑣 (𝑡) + 𝑣𝐶 (𝑡)
𝑑𝑡 𝐶
APLICACIONES DE LA T. DE FOURIER - FILTROS
Aplicando la Transformada de Fourier a la ecuación: 𝑉𝑖 𝑤 = 𝑗𝑤𝑅𝐶𝑉𝐶 𝑤 + 𝑉𝐶 (𝑤)
Despejando: 𝑉𝑖 𝑤 = 𝑉𝐶 𝑤 𝑗𝑤𝑅𝐶 + 1 → 𝑯 𝒘 =
Calculando su magnitud: 𝐻(𝑤) =
𝟏
𝒋𝒘𝑹𝑪+𝟏
Respuesta en frecuencia del filtro
1
𝑤𝑅𝐶 2 +1
Nos ponemos a analizar su respuesta en frecuencia, por ejemplo ver cómo se comporta su magnitud
en función de la frecuencia y cuánto vale su frecuencia de corte.
• Si w = 0 → |H(w)| = 1
• Si w → ∞, → |H(w)| = 0
1
2
=
1
𝑤𝐶 𝑅𝐶
2
+1
De la definición de frecuencia de Corte:
1
Para 𝑤 = 𝑤𝐶 → 𝐻(𝑤) = 2
Despejando: 𝒘𝑪 =
Filtro pasa bajos
𝟏
𝑹𝑪
TRANSFORMADA INVERSA DE FOURIER
• Hasta ahora se ha estudiado el proceso de conversión de una señal expresada en función del
tiempo a otra en términos de la frecuencia.
• Se vio que en muchas aplicaciones es imprescindible realizar análisis y estudios de parámetros de
una señal o sistema en función de la frecuencia.
• Además, se sabe que muchas señales tienen su correspondientes espectros, siempre y cuando se
cumplan ciertas condiciones.
• Recordando, a través de la Transformada de Fourier, una señal f(t), se podía convertir a una señal
F(w), que es el espectro de f(t), es decir:

F[f ( t )]  F()   f ( t )e  jt dt

• Por lo tanto, al proceso inverso, es decir, dado una función F(w), se puede encontrar su respectiva
función f(t), llama Transformada Inversa de Fourier o “Antitransformada de Fourier”:
F 1[F()] f ( t ) 

1
2
jt
F
(

)
e
d


TRANSFORMADA INVERSA DE FOURIER
• En general, es bastante complicado encontrar f(t) utilizando la definición expresada anteriormente,
por tanto, se recurre a otros métodos más prácticos y sencillos.
• Uno de esos métodos se conoce como “Descomposición en fracciones parciales”.
• Como indica su nombre, dada una función F(w), que generalmente, es una función de tipo
polinomial, se descompone en fracciones o funciones más sencillas, que luego son fáciles de
resolver de manera independiente.
CONDICIONES PARA APLICAR EL MÉTODO DE LA DESCOMPOSICIÓN EN FRACCIONES PARCIALES.
• Dada una función expresada como la relación de dos polinomios: P(w)/Q(w), esta relación tiene
que ser una función propia, es decir que el grado del polinomio Q(w) tiene que ser mayor al de
P(w).
• Caso contrario se debe realizar el desarrollo correspondiente hasta que se cumpla la condición.
TRANSFORMADA INVERSA DE FOURIER
• Por lo tanto, el método consiste en trabajar primeramente con el polinomio Q(w), en el cual
realizamos la factorización correspondiente.
• En dicha factorización se pueden tener varios casos:
• Raíces sencillas distintas.
• Raíces múltiples
• Raíces complejos conjugados.
• Según sea el caso se aplica la solución correspondiente.
RAICES DISTINTAS:
Como siguiente paso es encontrar las constantes A.
TRANSFORMADA INVERSA DE FOURIER
CASO RAÍCES MÚLTIPLES:
𝑄 𝑤 = 𝑎𝑤 + 𝑏 𝑎𝑤 + 𝑏 2 … 𝑎𝑤 + 𝑏 𝑘
𝑃(𝑤)
𝐴
𝐵
=
+
𝑄(𝑤)
𝑎𝑤 + 𝑏
𝑎𝑤 + 𝑏
𝐾
+ …….+
2
𝑎𝑤 + 𝑏
𝑘
CASO RAICES COMPLEJAS CONJUGADAS
Si Q(w) tiene un factor cuadrático no repetido de la forma aw2 + bw + c, en donde, b2 - 4ac < 0,
entonces la descomposición en fracciones parciales contiene un término de la forma:
𝑃 𝑤
𝐴𝑤 + 𝐵
=
𝑄(𝑤)
𝑎𝑤 2 + 𝑏𝑤 + 𝑐
EJEMPLOS FRACCIONES PARCIALES
1. Dada la función F(w), se pide encontrar f(t):
7𝑗𝑤 + 3
𝐹 𝑤 =
𝑗𝑤 2 + 3𝑗𝑤 − 4
7𝑗𝑤 + 3
7𝑗𝑤 + 3
𝐴
𝐵
𝐹 𝑤 =
=
=
+
2
𝑗𝑤 + 3𝑗𝑤 − 4
𝑗𝑤 + 4 𝑗𝑤 − 1
𝑗𝑤 + 4
𝑗𝑤 − 1
Calculando las constantes A y B:
5
2
𝐹 𝑤 =
+
𝑗𝑤 + 4
𝑗𝑤 − 1
7𝑗𝑤 + 3
𝐴=
𝑗𝑤 − 1
=5
𝑗𝑤=−4
7𝑗𝑤 + 3
𝐵=
𝑗𝑤 + 4
=2
𝑗𝑤=1
Aplicando Transformada Inversa de Fourier:
𝒇 𝒕 = 𝕱−𝟏 𝑭(𝒘) = 𝟓𝒆−𝟒𝒕 + 𝟐𝒆𝒕
EJEMPLOS FRACCIONES PARCIALES
Dado un sistema LTI y causal modelado por la siguiente ecuación diferencial, se pide encontrar su
respuesta al impulso, h(t).
𝑑 2 𝑦(𝑡)
𝑑𝑦(𝑡)
+3
+ 2𝑦 𝑡 = 𝑓(𝑡)
𝑑𝑡 2
𝑑𝑡
Aplicando la Transformada de Fourier y algunas de sus propiedades:
𝑗𝑤 2 𝑌 𝑤 + 3 𝑗𝑤 𝑌 𝑤 + 2𝑌 𝑤 = 𝐹(𝑤)
𝑌 𝑤 [ 𝑗𝑤
2
+ 3 𝑗𝑤 + 2] = 𝐹(𝑤)
𝑌(𝑤)
𝐻 𝑤 =
=
𝐹(𝑤)
𝑗𝑤
1
2 + 3 𝑗𝑤 + 2
Aplicando descomposición en fracciones parciales:
𝐻 𝑤 =
1
1
𝐴
𝐵
=
=
+
𝑗𝑤 2 + 3 𝑗𝑤 + 2
𝑗𝑤 + 1 𝑗𝑤 + 2
𝑗𝑤 + 1 𝑗𝑤 + 2
Calculando A y B: 𝐴 =
1
𝑗𝑤 + 2
=1
𝑗𝑤=−1
1
𝐵=
𝑗𝑤 + 1
= −1
𝑗𝑤=−2
EJEMPLOS FRACCIONES PARCIALES
1
1
𝐻 𝑤 =
−
𝑗𝑤 + 1 𝑗𝑤 + 2
Aplicando Transformada Inversa de Fourier:
𝒉 𝒕 = 𝕱−𝟏 𝑯(𝒘) = [𝒆−𝒕 −𝒆−𝟐𝒕 ]𝒖(𝒕)
EJEMPLOS FRACCIONES PARCIALES
Dado el siguiente Sistema LTI descrito por la siguiente ecuación diferencial:
Encontrar la respuesta y(t) si la entrada es:
a) 𝑥 𝑡 = 𝑒 −𝑡 𝑢 𝑡 .
b) 𝑥 𝑡 = 𝑢 𝑡 .
SOLUCIÓN:
a) Se aplica la Transformada de Fourier a la ecuación diferencial: 𝑗𝑤𝑌 𝑤 + 2𝑌 𝑤 = 𝑋(𝑤)
Resolviendo: 𝑌 𝑤 𝑗𝑤 + 2 = 𝑋 𝑤 → 𝐻 𝑤 =
Como 𝑥 𝑡 = 𝑒 −𝑡 𝑢 𝑡 → 𝑋 𝑤 =
1
𝑗𝑤+1
𝑌(𝑤)
𝑋(𝑤)
=
1
𝑗𝑤+2
Por tanto, de: 𝑌 𝑤 = 𝐻 𝑤 . 𝑋(𝑤)
1
1
1
𝐴
𝐵
𝑌 𝑤 =
.
=
=
+
𝑗𝑤 + 2 𝑗𝑤 + 1
𝑗𝑤 + 2 𝑗𝑤 + 1
𝑗𝑤 + 2 𝑗𝑤 + 1
Calculando A y B:
A = -1 y B = 1
EJEMPLOS FRACCIONES PARCIALES
1
1
𝑌 𝑤 =−
+
𝑗𝑤 + 2 𝑗𝑤 + 1
Aplicando la Transformada Inversa de Fourier: 𝒚 𝒕 = −𝒆−𝟐𝒕 + 𝒆−𝒕 𝒖(𝒕)
b) Para entrada 𝑥 𝑡 = 𝑢 𝑡 → 𝑋 𝑤 = 𝜋𝛿 𝑤 +
1
𝑗𝑤
Resolviendo y la propiedad de la función δ(t): 𝑓 𝑤 . 𝛿 𝑤 = 𝑓 0 . 𝛿(𝑤)
Aplicando la Transformada Inversa de Fourier:
𝟏
𝟏 −𝟐𝒕
𝒚 𝒕 = 𝒖 𝒕 − 𝒆 𝒖(𝒕)
𝟐
𝟐
EJEMPLOS APLICACIONES
PROBLEMA: Dado el circuito mostrado en la figura se pide encontrar y graficar la corriente que
circula por el circuito si el voltaje de entrada tiene la forma que se muestra en la figura.
R
L
VCC_CIRCLE
vi(t)
2
𝒗𝒊 (𝒕)
𝒊(𝒕)
1H
10
C
1F
2
t
4
VCC_CIRCLE
SOLUCIÓN: Aplicando ecuación de malla en el circuito: 𝑣𝑖 𝑡 = 𝑅𝑖 𝑡 + 𝐿
𝑑𝑖(𝑡) 1
+
𝑑𝑡
𝐶
Aplicamos la Transformada de Fourier a la ecuación: 𝑉𝑖 𝑤 = 𝑅𝐼 𝑤 + 𝑗𝑤𝐿𝐼 𝑤 +
𝑡
𝑖 𝜏 𝑑𝜏
−∞
𝐼(𝑤)
𝑗𝑤𝐶
EJEMPLOS APLICACIONES
1
𝑉𝑖 𝑤 = 𝐼 𝑤 [2 + 𝑗𝑤 +
]
𝑗𝑤
𝐼(𝑤)
1
𝐻 𝑤 =
=
𝑉𝑖 (𝑤)
𝑗𝑤 2 + 2𝑗𝑤 + 1
𝐼(𝑤)
𝑉𝑖 𝑤 = 2𝐼 𝑤 + 𝑗𝑤𝐼 𝑤 +
𝑗𝑤
𝑉𝑖 𝑤 = 𝐼 𝑤 2𝑗𝑤 + 𝑗𝑤
Factorizando: 𝐻 𝑤 =
2
+1
𝐼(𝑤)
=
𝑉𝑖 (𝑤)
𝑗𝑤
1
2 + 2𝑗𝑤 + 1
Por otro lado la entrada es una función rectángulo con centro en 2 y ancho 4: 𝑣𝑖 𝑡 = 10𝑟𝑒𝑐𝑡
𝑡 −2
4
4𝑤 −𝑗𝑤2
𝑒
Por tablas y aplicando propiedades se halla la T. de Fourier de vi(t): 𝑉𝑖 𝑤 = 10𝑥4𝑠𝑖𝑛𝑐
2𝜋
Por tanto, de: 𝐻 𝑤 =
𝐼(𝑤)
,
𝑉𝑖 (𝑤)
se despeja I(w)
𝐼 𝑤 = 𝐻 𝑤 . 𝑉𝑖 (𝑤)
1
4𝑤 −𝑗𝑤2
𝐼 𝑤 =
. 40𝑠𝑖𝑛𝑐
𝑒
𝑗𝑤 2 + 2𝑗𝑤 + 1
2𝜋
EJEMPLOS APLICACIONES
1
𝐼 𝑤 =
𝑗𝑤 + 1
4𝑤 −𝑗𝑤2
. 40𝑠𝑖𝑛𝑐
𝑒
2
2𝜋
De las tablas de T. de Fourier:
𝑡𝑒 −𝑎𝑡 , 𝑎
>0 ↔
2
1
𝑗𝑤+𝑎
Entonces aplicando la Transformada Inversa de Fourier:
𝒊 𝒕 = 𝒕. 𝒆
−𝒕
𝒕 −𝟐
∗ 𝟏𝟎𝒓𝒆𝒄𝒕
𝟒
10[u(t) - u(t – 2)] → 10te-t*u(t) – 10te-t*u(t – 2)
𝑡
𝑡 − 𝜏 . 𝑒 −(𝑡 − 𝜏) 𝑑𝜏
10
0