= ∫ = ∫ ∫ ∫ ∑

Análisis de Sistemas Lineales. Ricardo A. Rojas Reischel
Apéndice 7:
Transformación de Fourier en
f
La transformación de Fourier suele escribirse también en términos de la frecuencia
f:
∞
F{ f (t )} = G ( f ) = ∫ g (t )e − jwt dt , w = 2π f Transformación de Fourier de g( t )
−∞
∞
F −1{F ( w)} = gˆ (t ) = ∫ G ( f )e jwt df ,
−∞
Transformación de Fourier inversa de
G( f )
(1)
(2)
Es interesante comparar (1) y (2) respectivamente con (3.28) y (3.29). Los argumentos principales para
preferir (1) y (2) por sobre las definiciones (3.28) y (3.29) son dos:
1. Las frecuencias se expresan más naturalmente y más a menudo en ciclos por segundo que en radianes
por segundo.
2. Con la excepción del signo del exponente de la exponencial, (1) y (2) son simétricas.
Propiedades en
f , w = 2π f
P1 a ⋅ g1 (t ) + b ⋅ g 2 (t ) ⇔ a ⋅ G1 ( w) + b ⋅ G2 ( w)
P2 g (at ) ⇔
P3 G (t ) ⇔
P4
Si
1
G( f / a)
a
(linealidad)
(escalamiento)
g (− f )
(simetría)
g( t ) ∈ℜ entonces G( f ) es función par y arg[G( f )] es función impar.
P5 g (t − t0 ) ⇔ G ( f )e − jwt0
(desplazamiento en el tiempo)
P6 g (t )e ± jw0t
(desplazamiento en la frecuencia)
P7
d n g (t )
dt n
⇔ G( f ! f0 )
⇔ ( jw) n G ( f )
d nG ( f )
df n
1
1
G ( f ) + G (0)δ ( f )
2
jw
P8 (− jt ) n ⋅ g (t ) ⇔
P9
∫
t
−∞
g (τ )dτ
(derivación en el tiempo)
⇔
(derivación en la frecuencia)
(integración en el tiempo)
∞
P10 g1 (t ) ∗ g 2 (t ) = ∫ g1 ( x) g 2 (t − x)dx ⇔ G1 ( f )G2 ( f ) (convolución en el tiempo)
−∞
P11 g1 (t ) ⋅ g 2 (t ) ⇔ G1 ( f ) ∗ G2 ( f )
P12 g (t ) ⇔
∞
∑G
k =−∞
donde
k
⋅ δ ( f − kf 0 ),
(convolución en la frecuencia)
f 0 = 1/ T
(funciones periódicas)
g( t ) es de período T , y Gk es el coeficiente de la serie de Fourier exponencial para g( t ) .
Apéndices-10
Análisis de Sistemas Lineales. Ricardo A. Rojas Reischel
Transformada de Fourier en
(w
f , para algunas señales simples
= 2π f )
( g ( t ) ⇔ G ( f ))
(1) δ ( t ) ⇔ 1
(2) 1 ⇔ δ ( f )
1 1
+ δ( f )
jw 2
(3) u( t ) ⇔
( 4 ) e −at u( t ) ⇔
1
, a>0
jw + a
(5) te −at u( t ) ⇔
1
, a>0
( jw + a )2
( 6 ) e jw0t
⇔ δ ( f − f0 )
( 7 ) cos w0 t
⇔
1
[δ ( f + f 0 ) + δ ( f − f 0 )]
2
(8 ) senw0 t
⇔
j
[δ ( f + f 0 ) − δ ( f − f 0 )]
2
(9 )
g( t ) ⋅ cos w0 t
⇔
1
[G( f + f 0 ) + G( f − f 0 )]
2
A
t
(10)
−τ / 2 0
τ /2
⇔ Aτ
sin π fτ
= Aτ sinc fτ
π fτ
B
(11)
−τ
0
τ
t
sin 2 π fτ
2
⇔ Bτ
2 = Bτ sinc fτ
(π fτ )
g( t ) y g"( t ) son iguales. Esto es cierto para todos los efectos
prácticos. En realidad ambas funciones pueden diferir en los puntos donde g( t ) es discontinua.
OBS
En esta tabla se considera que
Apéndices-11