minicurso

Cursillo
Una introducción a los Sistemas
Dinámicos y Aplicaciones
Área de especialización:
Sistemas Dinámicos y Aplicaciones
Índice
1. Introducción. ¿Por qué investigamos en sistemas dinámicos y ecuaciones diferenciales?
2
2. Conceptos básicos relativos a las ecuaciones diferenciales
2.1. Soluciones y Trayectorias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2. Geometrı́a de una EDO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
6
7
3. Teoremas Fundamentales
7
4. Sistemas Hamiltonianos y Aplicaciones
4.1. Introducción a los Sistemas Hamiltonianos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2. Oscilador armónico doble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
8
12
5. El problema de N -cuerpos
13
6. El problema de 2-cuerpos
14
7. El problema de Kepler
15
8. El problema de N -vórtices
8.1. La derivada material . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.2. Ecuación de Euler para un fluido ideal . . . . . . . . . . . . . .
8.3. Vorticidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.4. Ecuación de vorticidad en el plano . . . . . . . . . . . . . . . .
8.5. Vórtice puntual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.6. Formulación Hamiltoniana del Problema de los N -vórtices en el
8.7. Ecuaciones en coordenadas complejas y en coordendas polares .
8.8. Simetrı́as . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.9. Integrales primeras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.10. Integrales primeras e integrabilidad . . . . . . . . . . . . . . . .
8.11. El problema de los 2-vórtices . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . .
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plano
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16
16
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19
21
22
25
25
26
26
26
29
9. El problema de N -vórtices en la esfera S2
29
9.1. Ecuaciones de movimiento para el problema de N -vórtices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
9.2. Solución tipo anillo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
1
1.
Introducción. ¿Por qué investigamos en sistemas dinámicos y ecuaciones diferenciales?
En el estudio de fenómenos de muy distinta ı́ndole (fı́sica, economı́a sociologı́a, ecologı́a, astronomı́a, etc...) se
busca una ley que rija el comportamiento de los estados de un determinado sistema dependiendo de una determinada magnitud que denominaremos variable independiente. Frecuentemente la variable independiente representa el
tiempo, pero otras magnitudes pueden jugar también este papel. Entenderemos que el conjunto de estados es un
espacio geométrico (variedad) que representa todos los posibles valores de las caracterı́sticas que deseamos analizar
en el fenómeno a estudiar.
Cuando la evolución de los estados queda unı́vocamente determinada a tiempos pasados y futuros por su configuración presente, decimos que tenemos un sistema dinámico determinista. También cabe la posibilidad de que
el proceso estudiado esté determinado pero no de forma unı́voca, entonces hablamos de sistema dinámico semideterminista. Por último, los sistemas que están fuera de estas dos clasificaciones se denominan no-deterministas.
En adelante, nos centraremos siempre en los sistemas deterministas. No obstante, no debemos dejarnos llevar por
la idea de que estos sistemas no pueden presentar una gran complejidad, ya que en el caso no lineal aparece con
alta probabilidad caos, un concepto matemático que ha sido considerado por algunos cientı́ficos como el tercer gran
descubrimiento del siglo XX (después de la relatividad y la mecánica cuántica) y que ha sido inspirador del evocador
efecto mariposa.
De forma abstracta un sistema dinámico se define como la terna (G, M, ψ), en la que ψ es una acción de un
semigrupo G (los tiempos) con identidad e actuando sobre un conjunto M (los estados)
ψ : G × M −→ M (g, x) −→ ψg (x),
de forma que se verifica
ψg (x) ◦ ψh (x) = ψg◦h (x),
ψe = Id.
Para el caso en el que G es un grupo diremos que el sistema dinámico es invertible. Dentro de esta categorı́a
destacamos dos tipos: (a) G = N o G = Z, que corresponde con los sistemas dinámicos discretos. (b) G = R/C, los
sistemas dinámicos continuos, que conforman el contenido del presente curso.
Hasta ahora nada ha sido dicho a cerca de la justificación de las ecuaciones diferenciales y su relación con los
sistemas dinámicos. En efecto, la relación es muy estrecha como muestra la siguiente afirmación:
Sistemas dinámicos y ecuaciones diferenciales. Asumiendo que ψ es de tipo C 1 en todo su dominio y que M es
una variedad diferenciable, el sistema dinámico (R, M, ψ) permite definir un campo vectorial en M dado por
F (x) =
d
ψt (x)
dt
t=0
.
De este modo la ecuación diferencial
ẋ = F (x)
tiene como curvas integrales a las funciones definidas por la acción de ψ
t −→ ψt (x).
En resumen, el estudio y comprensión de muchos fenómenos está ligado a un sistema dinámico y una amplı́sima
variedad de estos tiene asociada una ecuación diferencial. Sus soluciones y descripción cualitativa permiten analizar,
medir, estimar y predecir el comportamiento del sistema dinámico y en consecuencia del fenómeno en cuestión. Es
entonces en este proceso donde hace aparición la modelización matemática que permite definir la ecuación diferencial
asociada a un determinado sistema dinámico mediante el siguiente diagrama iterativo
2
Fenómeno
(
2.
)
Conceptos básicos relativos a las ecuaciones diferenciales
A lo largo de estas notas y por simplicidad en nuestra exposición, vamos a considerar M = Rm . En cualquier
caso, la extensión a cualquier variedad es válida. Sea F una función continua y conocida dada por
F : Ω ⊆ Rm
(z1 , · · · , zm )
Rn
F ∈ C(Ω)
F (z1 , · · · , zm )
−→
7−→
y sea x una función desconocida dada por
x : I ⊆ R −→ W ⊆ Rs
x ∈ C k (I) k ≥ 1
donde W, Ω, y I son abiertos. Entonces tenemos la siguiente definición
Definición 2.1 (EDO) Una ecuación diferencial ordinaria (EDO) es una relación funcional del tipo
F (t, x, x0 , x00 , · · · , xr ) = 0,
(m = r + 2)
(2.1)
donde t es la variable independiente para la función x(t), que es la función incógnita (también variable dependiente)
a determinar
di x(t)
i = 1, · · · , r.
(2.2)
xi (t) =
dti
Se dice que r es el orden de la EDO.
Para el caso s > 1 también se denomina a (2.1) como un sistema de ecuaciones diferenciales. Además en los casos en
los que F no dependa explı́citamente de la variable t se dice que tenemos una ecuación autónoma y caso contrario
una ecuación no autónoma.
En lo sucesivo y salvo que se indique lo contrario, nos centramos en una fórmula menos general de la relación
(2.1). Para ello vamos a suponer que
∂F
. 6= 0
∂xm Ω
Bajo la hipótesis anterior podemos aplicar el teorema de la función implı́cita y ası́ nos aseguramos que localmente
es posible presentar (2.1) en la siguiente forma
xr = f (t, x, x0 , x00 , · · · , xr−1 )
(2.3)
Al llevar a cabo este proceso diremos que hemos llevado a la EDO (2.1) a su forma normal. Además, podemos
proseguir en dicha normalización reduciendo el grado de la ecuación, ya que dada la ecuación (2.3), siempre podemos
transformarla en una ecuación de primer orden. A continuación se presentan algunos ejemplos de EDO asociadas a
fenómenos de distinta naturaleza.
3
Ejemplo 2.1. (Dinámica de Poblaciones) Denotemos por P (t) el tamaño de una población al tiempo t. El
modelo más sencillo de la dinámica de poblaciones es el Modelo de Malthus:
La razón de crecimiento de la población es proporcional al tamaño
de la población:
d P (t)
∝ P (t),
dt
esto es,
d P (t)
= k P (t),
dt
donde k > 0 es la constante de proporcionalidad.
El modelo de Malthus se usa para modelar el crecimiento de pequeñas poblaciones en intervalos de tiempo cortos
(por ejemplo, crecimiento de bacterias en una caja de Petri).
Ejemplo 2.2. (Enfriamiento/calentamiento de un cuerpo) Un cuerpo colocado en un medio que tiene una
temperatura Tm tiende a alcanzar la temperatura del medio. Denotemos por T (t) la temperatura del cuerpo al tiempo t. El modelo más sencillo que estudia la evolución de T (t) en el tiempo es la Ley de enfriamiento/calentamiento
de Newton:
la razón con la que cambia la temperatura de un cuerpo es proporcional a la diferencia entre T (t) y Tm , la temperatura del medio
que lo rodea (llama temperatura ambiente):
d T (t)
∝ T (t) − Tm ,
dt
esto es,
d T (t)
= k (T (t) − Tm ) ,
dt
donde k es la constante de proporcionalidad
(k > 0 calentamiento y k < 0 enfriamineto).
Ejemplo 2.3. (Propagación de una enfermedad) Una enfermedad se propaga a través de una comunidad
por personas que interactuan con otras personas enfermas. Denotemos por x(t) y por y(t) el número de personas
infectadas y no infectadas al tiempo t, respectivamente.
Modelo de propagación de la enfermedad: la rapidez con la que se
propaga la enfermedad es proporcional al número de encuentros
entre los infectados y los no infectados:
dx
∝ xy,
dt
esto es,
dx
= k xy,
dt
donde k es la constante de proporcionalidad.
Por ejemplo si
Una comunidad tiene una población fija de n personas.
Se introduce una persona infectada dentro de esta comunidad.
Entonces x(t) e y(t) satisfacen: x(t) + y(t) = n + 1.
Además, x(0) = 1.
Entonces el modelo para este ejemplo es el siguiente:
(
dx
dt = k x(n + 1 − x),
x(0) = 1,
donde k es una constante de proporcionalidad.
Ejemplo 2.4. (Mezclas de soluciones) Supongamos que una sustancia, disuelta en un liquido, entra en un
compartimento a una velocidad ve (velocidad de entrada). Después de algún proceso sale del compartimento una
velocidad vs (velocidad de salida). Denotemos por x(t) es la cantidad de sustancia en el compartimento al tiempo
t. EL modelo más simple que permite conocer la evolución de x(t) es la ley de balance o conservación:
la rapidez con la que x(t) cambia respecto del tiempo es:
dx(t)
= ve − vs .
dt
4
ve =
vs =
Velocidad de entrada
del liquido (vol/t)
Velocidad de salida
del liquido (vol/t)
×
×
Concentración de la sustancia
al entrar (cantidad/vol)
Concentraci’on de la sustancia
al salir (cantidad/vol)
Un tanque mezclador inicialmente contiene 300 litros de salmuera (agua
con sal). Otra solución de salmuera entra al tanque a razón de 3 litros
por minuto; la concentración de sal que entra es 1/2 kilo/litro. Cuando
la solución en el tanque está bien mezclada, sale con la misma rapidez
con que entra. Hallar la EDO que modela la cantidad de sal a lo largo
del tiempo.
lb
lb
gal
Velocidad de entrada
Concentración de la sustancia
2
=6
ve =
×
= 3
del liquido (vol/t)
al entrat (cantidad/vol)
min
gal
min
gal
x(t) lb
A(t) lb
Velocidad de salida
Concentración de la sustancia
vs =
×
= 3
=
del liquido (vol/t)
al salir (cantidad/vol)
min
300 gal
100 min
Por lo tanto el modelo es el PVI:
(
dx(t)
dt
=6−
x(0) = x0 .
A(t)
100 ,
Acabamos de ver algunos ejemplos aplicados donde aparecen EDO. Definimos ahora con precisión qué significa
resolver una ecuación o un sistema.
Definición 2.2 (Solución de una EDO) Una solución x(t) = φ(t) de la ecuación (2.3) es cualquier función definida
en un abierto I ⊂ R tipo C r (I) que satisface la relación (2.3).
Ejemplo 2.5 Los siguientes ejemplos ilustran algunas formas en las que se puede obtener una solución.
a) ẋ = x ⇒ x(t) = x0 et−t0

x(t) = x0 cos(t − t0 ) + y0 sin(t − t0 )
 ẋ = y
⇒
b)

ẏ = −x
y(t) = y0 cos(t − t0 ) − x0 sin(t − t0 )
Los ejemplos a) y b) son casos en que las soluciones pueden encontrarse en forma explı́cita. No siempre este es el
caso, veamos algunos ejemplos
c) consideremos la ecuación
ẋx − t = 0
2
(2.4)
2
Las curvas dadas por −t + x = k definen una una función x(t) (para cada valor fijo de k) que son solución
de (2.4). Ası́ que esta familia de curvas definen soluciones de la ecuación en forma implı́cita.
d) en el ejemplo anterior es fácil obtener la ecuación explı́cita a partie de la familia de soluciones implı́citas.
Basta con despejar
p
−t2 + x2 = k ⇒ x(t) = ± k + t2 .
Este proceso no siempre es posible. Como ejemplo consideremos la EDO
ẋ =
2t x
e .
1−x
La familia de soluciones implı́citas es:
x − t2 ex = kex → de la que no es posible despejar x
Ası́ hemos visto que las soluciones de una EDO pueden darse en forma esplı́cita a), b) o en forma implı́cita c), d).
Por último también podemos describir las soluciones en forma paramétrica
5
e) Consideremos de nuevo la ecuación estudiada en c)
ẋx − t = 0.
Podemos introducir una nueva variable independiente que parametrice la familia de curvas solucione
x2 − t 2 = k
√
x(τ ) =
x(τ ) =
√
k cosh(τ )
(cosh2 x − sinh2 x = 1)
k sinh(τ )
donde τ ∈ R parametriza la curva solución.
Atendiendo a la definición determista, el estado de un sistema en un tiempo concreto condiciona los estados
futuros y pasados. En este sentido, cuando analizamos un fenómeno y hacemos una medición puntual de las caracterı́sticas examinadas en un tiempo t0 , la evolución del citado fenómeno corresponde con la solución que en el
instante t0 toma los valores observados. Surge ası́ la definición de problema de valor inicial.
Definición 2.3 Un problema de valor inicial o problema de Cauchy es una ecuación diferencial
x0 (t) = f (t, x(t))
con
f : Ω ⊂ R × Rn → R n
donde Ω es un conjunto abierto, junto con un punto (t0 , y0 ) ∈ Ω, llamado la condición inicial. Una solución al
problema de valor inicial es una solución de la EDO que satisface la condición inicial. Ver ejemplo 2.4.
2.1.
Soluciones y Trayectorias
Atendiendo a la definición de solución que se ha proporcionado como una función diferenciable
x : I ⊆ R −→ W ⊆ Rs
W, I
son abiertos
tenemos que la gráfica de x(t) está contenida en Rs+1 . A menudo veremos que también consideraremos la trayectoria
asociada a la gráfica de la solución, que es la proyección de esta al eliminar el tiempo (variable independiente). Es
decir,

 ẋ1 = −x2
⇒ ψ(t) = (x1 (t), x2 (t)) = (cos(−t), sin(−t)) es una solución

ẋ2 = +x1
Su gráfica en Rs+1 = R2 × R es una hélice y su trayectoria una circunferencia en R2 . Otra solución válida serı́a
φ(t) = (x1 (t), x2 (t)) = (sin(−t), cos(−t))
esta solución comparte la misma trayectoria que ψ(t) pero para cada instante t, asigna un lugar distinto en la hélice,
por lo tanto, ψ(t) y φ(t) definen dos soluciones distintas. Otro aspecto importante relativo a las soluciones, es que
su número puede variar como puede verse en los siguientes ejemplos.
Ejemplo 2.6
a) Ejemplo de ecuaciones sin solución
2
(ẋ)2 + x2 + t2 + 1 = 0,
(ẋ + 1) = 0,
x(0) = 0,
b) Ejemplo de una ecuación con dos soluciones con la misma condición inicial. El problema de valor inicial
ẋ = 3x3/2 ,
x(0) = 0,
tiene dos soluciones distintas:
γ 1 (t) = 0, γ 2 (t) = t3 .
¿Por qué debemos identificar estas situaciones? ¿Por qué no son deseables?
6
Figura 2.1: Recta tangente a la solución x(t).
2.2.
Geometrı́a de una EDO
Una EDO como la dada por la siguiente fórmula puede ser vista como la distribución de un campo de rectas
dx
= f (t, x).
dt
En efecto, la derivada de la función x(t) respecto de t en el punto t0 se puede intrepretar como la pendiente de la
recta tangente a la curva en el punto x(t0 ) y tal pendiente es igual a f (t0 , x(t0 )). (Ver Figura 2.1)
Aplicando esta idea, el lado derecho de la EDO nos dia la pendiente que debe tener la recta tangente a la solución
de la EDO en cada punto t, x) del plano. Por lo cual, obtenemos un campo de rectas en el plano. (Ver Figura 2.2)
Figura 2.2: Recta tangentes a las soluciones de la edo.
Por lo cual, el problema analı́tico de buscar una función x(t) que sea solución de la EDO se transforma en el
problema geométrico de buscar las curvas o trayectorias en el plano que son tangentes a las rectas de la distribución.
3.
Teoremas Fundamentales
Teorema 3.1. (existencia y unicidad de soluciones) Supongamos que
U ⊂ Rn es un abierto (conexo),
f : U −→ Rn un campo vectorial de clase C 1 .
a) Si
x0 ∈ U entonces existe ε > 0 tal que el problema de valor inicial
ẋ = f (x),
tiene una solución única
x(0) = x0 ,
γ : (−ε, ε) −→ U.
b) Si γ 1 (t) y γ 2 (t) son dos soluciones del problema de valor inicial definidas en los abiertos I1 ⊂ R e I2 ⊂ R,
respectivamente, entonces
γ 1 (t) = γ 2 (t), ∀ t ∈ I1 ∩ I2 .
7
Teorema 3.2. (continuidad de soluciones respecto de condiciones iniciales)
Supongamos que
U ⊂ Rn es un abierto (conexo),
f : U −→ Rn un campo vectorial de clase C 1 .
Para cada
x0 ∈ U, φ(t; x0 ) denota la solución única del problema
ẋ = f (x),
x(0) = x0 .
Entonces, φ(t; x0 ) depende continuamente de la condición inicial
x0 .
Teorema 3.3. (continuidad de soluciones respecto de parametros) Supongamos que
U × Λ ⊂ Rn+m es un abierto (conexo),
f : U × Λ −→ Rn un campo vectorial de clase C 1 .
Para cada (x0 , λ0 ) ∈ U × Λ, φ(t; x0 , λ0 ) denota la solución única del problema
ẋ = f (x, λ),
x(0) = x0 .
Entonces, φ(t; x0 , λ0 ) depende continuamente de λ0 .
Teorema 3.4. (intervalo maximal). Supongamos que
U ⊂ Rn es un abierto (conexo),
f : U −→ Rn un campo vectorial de clase C 1 .
Si
x0 ∈ U , entonces existe un intervalo abierto maximal J ⊂ R tal que el problema de valor inicial
ẋ = f (x),
x(0) = x0 .
e (t) definida en J, esto es, si el problema de valor inicial tiene una solución
tiene una solución única γ
en un intervalo I ⊂ R, entonces
I⊂J
y
x(t) = γe (t), ∀ t ∈ I.
Teorema 3.5. Supongamos U ⊂ Rn abierto y
inicial
x(t) definida
f : U −→ Rn de clase C 1 . Sea γ (t) la solución del problema de valor
ẋ = f (x),
x(0) = x0 .
en el intervalo abierto maximal (α, β) ⊂ R. Si β < ∞, entonces para cualquier conjunto compacto K ⊂ U , existe
un t1 ∈ (α, β) tal que γ (t1 ) 6∈ K.
4.
4.1.
Sistemas Hamiltonianos y Aplicaciones
Introducción a los Sistemas Hamiltonianos
Definición 4.1 (Sistema Hamiltoniano) Un sistema Hamiltoniano es un sistema de 2n ecuaciones diferenciales
ordinarias de la forma
dqi
∂H
dpi
∂H
=
,
=−
, i = 1, ..., n,
(4.1)
dt
∂pi
dt
∂qi
donde la función H = H(q, p, t) , llamada Hamiltoniano, es una función a valores reales diferenciable definida para
(q, p, t) ∈ Ωab ⊂ Rn × Rn × R. Los vectores q = (q1 , ..., qn ) y p = (p1 , ..., pn ) son usualmente llamados posición y
momento, respectivamente (esa es la interpretación de estas variables en muchas aplicaciones clásicas), mientras
que t puede ser interpretada como una variable temporal. Si el Hamiltoniano depende de t, diremmos que el sistema
no autónomo (4.1) posee n y medio grados de libertad, mientras que si H no depende de t, el sistema autónomo
(4.1) posee n grados de libertad.
8
d
∂
Notación 4.1 Introduciendo la notación (˙) ≡ dt
y ( )x = ∂x
, podemos escribir el sistema anterior como q̇ =
Hp , ṗ = −Hq . Definiendo el vector z de dimensión 2n, la matriz canónica anti-simétrica J y el gradiente con
respecto a z como


Hq1
 .. 
 . 


 Hqn 
q
0n In

z=
, J=
, ∇H = 
 Hp1  ,
p
−In 0n


 . 
.
 . 
Hpn
donde 0n es la matriz nula de dimensión n × n y In es la matriz identidad de dimensión n × n, entonces el sistema
(4.1) puede ser escrito como
ż = J∇H(z)
(4.2)
Definición 4.2 (Integral primera) Una integral primera del sistema (4.2) es una función diferenciable F : Ω →
R distinta de la función nula y que es constante a lo largo de cada solución de (4.2). Es decir, si φ(t, z0 ) es la
solución de (4.2) con φ(t0 , z0 ) = z0 , entonces
F (φ(t, z0 ), t) = F (φ(t0 , z0 ), t0 ) = F (z0 , t0 ) = cte., ∀t ∈ I.
Equivalentemente, y abusando de la notación, definiendo F (t) = F (φ(t, z0 ), t), tenemos que F (z, t) es una integral
primera, si y sólo si, Ḟ (t) = 0.
Ejemplo 4.1 (Campo de fuerza central) Un problema de fuerza central se modela mediante un sistema de la
forma
q̈ = k(kqk)q, donde k : R → R.
Este sistema de n ecuaciones de segundo orden puede ser escrito como un sistema de 2n ecuaciones de primer
orden. Definiendo p = q̇, entonces el sistema asume la forma
q̇ = p =
∂H
,
∂p
ṗ = k(kqk)q = −
∂H
,
∂q
donde el Hamiltoniano es dado por
H=
1
kpk2 − K(kqk),
2
Z
K(β) =
β
k(τ )dτ.
El momento angular definido como c = q × p es una integral primera, pues a lo loargo de una solución tenemos
ċ = q̇ × p + q × ṗ = p × p + q × k(kqk)q = 0.
Definición 4.3 (Corchete de Poisson) Sean H, F, G : Ωab ⊂ Rn × Rn × R → R funciones de clase C 1 . Se define
el corchete de Poisson entre F y G como
{F, G} = ∇F T J∇G =
n ∂G
∂F
∂G
∂F T ∂G ∂F T ∂G X ∂F
−
=
(q, p, t)
(q, p, t) −
(q, p, t)
(q, p, t) .
∂q ∂p
∂p ∂q
∂qi
∂pi
∂pi
∂qi
i=1
Observación 4.1 El corchete o producto de Poisson {F, G} antisimétrica y bilineal. Si F y G son clase C 2 ,
entonces corchete de Poisson {F, G} : Ωab ⊂ Rn × Rn × R → R es diferenciable.
Teorema 4.1 Sean F, G, H : Ωab ⊂ R2 n× → R funciones diferenciables, entonces el producto de Poison satisface
la identidad de Jacobi
{F, {G, H}} + {G, {H, F }} + {H, {F, G}} = 0.
Teorema 4.2 Sean F, G, H : Ωab ⊂ R2 n× → R funciones diferenciables independientes de t. Si H es el Hamiltoniano del sistema (4.1), entonces:
1. F es integral primera de (4.1), si y sólo si, {F, G} = 0.
9
2. El Hamiltoniano H(q, p) es integral primera de (4.1).
3. Si F y G son integrales primeras de (4.1), entonces también lo es {F, G}.
Ejercicio 1 Demostrar los teoremas 4.1 y 4.2.
En la mayorı́a de los ejemplos que veremos, el Hamiltoniano H corresponde a la energı́a total del sistema fı́sico.
Luego, tiene sentido llamar a un sistema Hamiltoniano autónomo como sistema conservativo, pues la energı́a es
una cantidad conservada. En los sistemas Hamiltonianos autónomos, las soluciones de equilibrio coprresponden a
puntos crı́ticos del Hamiltoniano, es decir, se obtienen de resolver las 2n ecuaciones ∇H(q, p) = 0.
Definición 4.4 Se dice que dos integrales primeras F y G están en involución si {F, G} = 0.
Definición 4.5 Las funciones F1 , ..., Fk : Ω ⊂ Rn → R son funcionalmente dependientes si existe una función
g : Rk → R, con ∇g(y) 6= 0 tal que
g(F1 (x), ..., Fk (x)) = 0, ∀x ∈ Ω.
En caso contrario, las funciones F1 , ..., Fk se dicen funcionalmente independientes.
Definición 4.6 Si el sistema Hamiltoniano tiene n integrales primeras independientes y en involución, entonces
diremos que el sistema Hamiltoniano es integrable. En este caso, cada solución del sistema Hamiltoniano corresponde
a la curva intersección de n superficies de nivel
F1 (q, p) = c1 , F2 (q, p) = c2 , ..., Fn (q, p) = ck .
Observación 4.2 En lo que sigue, trabajaremos con sistemas Hamiltonianos autónomos, pues todo Hamiltoniano
de n y medio grados de libertad puede ser llevado a unn sistema Hamiltoniano de n+1 grados de libertad (¿Cómo?).
Ejemplo 4.2 (Oscilador armónico) El oscilador armónico corresponde a una edo lineal de segundo orden de la
forma
ẍ + ω 2 x = 0,
donde ω es una constante positiva. Definiendo las variable q = x y p = ẋ/ω, la ecuación anterior puede ser escrita
como el sistema lineal de primer orden
q̇ = ωp, ṗ = −ωq.
(4.3)
Notemos que este sistema es Hamiltoniano con
H(q, p) =
ω 2
(q + p2 ).
2
Como el Hamiltoniano es autónomo, entonces H(q, p) es integral primera, es decir, las soluciones viven en curvas
de la forma
2h
q 2 + p2 =
, h ≥ 0.
ω
Si escribimos el sistema anterior en coordenadas polares r2 = q 2 + p2 , θ = tan−1 (p/q), el sistema de ecuaciones
toma la forma
ṙ = 0, θ̇ = −ω,
lo que implica que en coordenadas polars, las soluciones son de la forma r(t) = r = cte. y θ(t) = θ −ωt, con θ = cte.,
es decir, son circunferencias recorridas en sentido horario( ver Figura 4.1).
Notemos que en coordenadas polares el Hamiltoniano toma la forma H(r, θ) = ω2 r2 y por lo tanto, el sistema ya no
es Hamiltoniano en esta coordenadas.
¡No cualquier cambio de coordenadas preserva la estructura Hamiltoniana de un sistema!
Definición 4.7 (Transformación Simpléctica) Una transformación de coordenadas E : U → R2n donde U ⊂
R2n se dice simpléctica la transformación es un difeomorfismo y satisface
T
[Dz (z)] JDz (z) = J.
10
Figura 4.1: Retrato de fase del sistema (4.3).
Si z = (q, p) son las coordenadas antiguas, entonces denotaremos por ζ = (Q, P ) = E(z) a las coordenadas nuevas.
La principal caracterı́stica de las transformaciones simplécticas es que llevan sistemas Hamintionianos en sistemas
Hamiltonianos, es decir
ż = J∇H(z) =⇒ ζ̇ = J∇H(ζ)
donde H(ζ) = H(E −1 (ζ)).
Observación 4.3 Una transformación simpléctica también pude depender de t.
Ejemplo 4.3 (Coordenadas Acción-Ángulo) Si q = (q1 , ..., qn ), p = (p1 , ..., pn ), entonces el cambio de coordendas (q, p) 7→ (I, θ), con I = (I1 , ..., In ) y θ = (θ1 , ..., θn ), dado por
1 2
pk
2
−1
Ik = (qk + pk ), θk = tan
,
2
qk
es una transformación simpléctica. Las coordenadas (I, θ) son usualmente conocidas como coordenadas acciónángulo.
Ejemplo 4.4 (Transformación de Mathieu) Una transformación (q, p) 7→ (Q, P ), donde Q = f (q) y
invertible, entonces la transformación
T
∂f (q)
P
Q = f (q), p =
∂q
es simpléctica.
∂f (q)
∂q
Ejemplo 4.5 Consideremos un sistema Hamiltoniano de 2 grados de libertad, con Hamiltoniano H(q, p), donde
q = (x, y) y p = (X, Y ). Supongamos que queremos introducir coordenadas polares en las posiciones, es decir
x = r cos θ,
y = r sin θ.
La pregunta es ¿Cómo se relacionan los momentos antiguos p = (X, Y )T con los momentos P = (R, Θ)T de las
coordenadas polares? Usaremos la Transformación de Mathieu definiendo
p
f (q) = f (x, y) = ( x2 + y 2 , tan−1 (y/x)) = (r, θ) = Q.
Calculamos
∂f (q)
∂q
T

√
= √
x2 +y 2
y
− x2 +y
2
y
x2 +y 2
x
x2 +y 2
x
T
 =
cos θ
− sinr θ
sin θ
T
cos θ
r
=
Luego,
Θ
T
X = R cos θ − sin θ
∂f (q)
r
p=
P =⇒
Θ
∂q
Y = cos θ + R sin θ
r
o equivalentemente
R=
xX + yY
r
y Θ = xY − yX.
11
cos θ
sin θ
− sinr θ
cos θ
r
.
4.2.
Oscilador armónico doble
Considere el Hamiltoniano
H(x, y, px , py ) =
ω 2
µ
(x + p2x ) + (y 2 + p2y )
2
2
(4.4)
asociado a un par de osciladores armónicos.
El sistema de ecuaciones Hamiltonianas asociado a (4.4) es dado por
ẋ = ωpx ,
ẏ = µpy ,
p˙x = −ωx,
p˙y = −µy.
(4.5)
θ = arctan pxx ,
p
φ = arctan yy ,
(4.6)
Utilizando el cambio de coordenadas polares
r2 =
ρ2 =
ω
2
2 (x
µ 2
2 (y
+ p2x ),
+ p2y ),
obtenemos que el sistema (4.6) toma la forma
θ̇ = −ω,
φ̇ = −µ,
ṙ = 0,
ρ̇ = 0,
(4.7)
cuyas soluciones están dadas por
r(t) = r0 ,
ρ(t) = ρ0 ,
θ(t) = −ωt + θ0 (mod2π),
φ(t) = −µt + φ0 (mod2π),
(4.8)
Notemos que dado que r0 > 0 y ρ0 > 0 son constantes, entonces las soluciones dadas en (4.8) pueden ser vistas
sobre un toro generado como en la Figura 4.2.
El flujo sobre el toro es dado por la recta
Γ(t, (θ0 , φ0 )) = (θ0 , φ0 ) − t(ω, µ) (mod 2π)
(4.9)
Para caracterizar el flujo sobre el toro, dividiremos nuestro estudio en dos casos:
Figura 4.2: Toro generado por el producto cartesiano S1r0 × S1ρ0 .
ω
µ
∈ Q : En este caso tenemos que las órbitas son periódicas en el toro, en efecto, supongamos que
ω
p
= ∈ Q, p, q ∈ Z, (p, q) = 1, q 6= 0,
µ
q
luego ω = pα, µ = qα y tomando T =
2π
α ,
tenemos que
µ
ω
Γ(T ) = (φ, θ) − T (ω, µ) = (φ, θ) − (2π , 2π ) = (φ, θ) − (2πp, 2πq) ≡ (θ, φ) = Γ(0).
α
α
Por lo tanto,
ω
µ
∈ Q implica que la solución es periódica en el toro.
∈ Q∗ : En este caso, tenemos que toda órbita es densa en el toro.
Sea [0, 1]2 el rectángulo unitario y definamos la relación de equivalencia (x, 0) ∼ (x, 1) y (0, y) ∼ (1, y). Se
demuestra que T2 ' [0, 1]2 / ≡ y de esta manera podemos ver el flujo Γ(t) como en la Figura 4.3. Probaremos
que la órbita de (θ0 , φ0 ) = (0, 0) es densa en el toro (el caso general se obtiene por traslación de este caso).
ω
µ
12
Figura 4.3: Flujo lineal en el toro.
Consideremos la sección transversal φ = 0 (la cual corresponde a S1 ) y notemos que el tiempo de primer
retorno de la aplicación de Poincaré es τ = µ1 , luego la órbita de (0, 0) corta a la sección transversal en los
puntos
ω
ω
,1 ≡
,0
P (0, 0) = T (τ, (0, 0)) =
µ
µ
ω
ω
ω
2
,0
= 2 ,1 ≡ 2 ,0
P (0, 0) = T τ,
µ
µ
µ
..
. ω
n
P (0, 0) ≡
n ,0
µ
Ahora, basta probar que las sucesión {P n (0, 0)}n∈N es densa en S1 , para lo cual utilizaremos los siguientes
lemas.
Lema 4.1 Sea α un número irracional y ξ un número real. Entonces para cada ε > 0 existen enteros p, q
tales que |qα − p − ξ| < ε.
Ver demostración en [18].
Teorema 4.3 Si
ω
µ
es irracional, entonces el flujo Γ(t, (θ0 , φ0 )) es denso en el toro.
Demostración. Sea ε > 0 y ξ ∈ R. Haciendo θ ≡ ξ(mod1) y φ ≡ 0(mod1), entonces (xi, 0)(mod 1) es un
punto arbitrario en la circunferencia φ ≡ 0. Sean α = ωµ y p, q los enteros dados por el Lema 4.1. Tomemos
τ = µq , entonces θ(τ ) = αq, φ(τ ) = q, luego
|θ(τ ) − p − ξ| < ε,
pero como p ∈ Z, entonces p ≡ 0(mod 1), luego tenemos que |θ(τ ) − ξ| < ε y por lo tanto, la solución con
condición inicial en el origen es densa en la circunferencia φ ≡ 0.
5.
El problema de N -cuerpos
Consideremos N masas puntuales en un sistema de referencia en R3 tales que la única fuerza actuando en ellas
es la fuerza de atracción gravitacional mutua. La k-ésima partı́cula tiene masa mk > 0 y posición qk ∈ R3 .
2da Ley de Newton:
mi q̈i =
X
k
13
F~ik
(a)
ω
µ
∈Q
(b)
ω
µ
∈ Q∗
Figura 4.4: Flujo lineal en el toro.
Ley de Gravitación Universal de Newton: La magnitud de la fuerza ejercida por la j-ésima partı́cula
sobre la k-ésima partı́cula es proporcional al producto de las masas e inversamente proporcional al cuadrado
de la distancia mutua. Es decir,
Gmk mj
.
|F~ik | =
kqk − qj k2
La dirección de esta fuerza es a lo largo del vector unitario que va desde la partı́cula k hasta la partı́cula j.
De estos dos principios, obtenemos que la posición de cada particula debe satisfacer el sistema de edo de segundo
orden
N
X
Gmk mj (qj − qk )
∂V
mk q̈k =
=
, k = 1, ..., n.
(5.1)
3
kqk − qj k
∂qk
j=1,j6=k
donde V (q) es el negativo del potencial potencial (el potencial es U = −V )
V (q) =
X
1≤i<j≤N
Gmk mj
.
kqk − qj k
Definiendo p = (p1 , . . . , pN ) como p = M q̇, con M = diag(m1 , ..., mN ), la energı́a cinética del sistema se puede
expresar como
N
X
1
1
1
1
kpi k2
T = kq̇k2M = q̇ T M q̇ = pT M −1 p = kpk2M −1 =
,
2
2
2
2
2mj
j=1
con M = diag(m1 , ..., mN ).
Luego el sistema de 3n edo’s de segundo orden es equivalente a resolver el sistema Hamiltoniano de 6n ecuaciones
de segundo orden
∂H
pk
q̇k =
=
,
∂pk
mk
∂H
ṗk = −
=
∂qk
donde
H(q, p) = T + U =
j=1,j6=k
N
X
kpi k2
j=1
6.
N
X
2mj
Gmk mj (qj − qk )
, k = 1, ..., n,
kqk − qj k3
−
X
1≤i<j≤N
Gmk mj
.
kqk − qj k
El problema de 2-cuerpos
Consideremos a modo de ejemplo el problema de los 2 cuerpos con algo de detalle. Newton descubrió que este
problema puede ser resuelto (casi), mientras que el problema de 3 cuerpos es bastante más complejo y hasta el dı́a
de hoy no ha sido resuelto.
Si q1 y q2 son las coordenadas de dos cuerpos de masa m1 > 0 y m2 > 0, respectivamente, entonces la dinámica
que rige su interacción es dada por el sistema
m1 q̈1 = Gm1 m2
(q1 − q2 )
,
kq2 − q1 k3
14
m2 q̈2 = Gm1 m2
(q2 − q1 )
kq2 − q1 k3
(6.1)
Sumando ambas ecuaciones tenemos
m1 q̈1 + m2 q̈2 = 0 =⇒ C := m1 q1 (t) + m2 q2 (t) = L0 t + C0 ,
es decir, el centro de masa se mueve en una lı́nea recta. Por otro lado, definiendo u = q1 − q2 , entonces tenemos que
ü = −µ
u
,
kuk3
µ = G(m1 + m2 ).
(6.2)
La ecuación (6.2) corresponde a un campo de fuerza central, en partiicular, el problema de Kepler que estudiaremos
a continuación. Esto nos dice que el movimiento de un cuerpo, digamos el Sol, cuando es visto desde otro cuerpo,
digamos la Tierra, se observa como si la tierra fuera un cuerpo fijop con masa µ y el Sol fuese atraido por la Tierra
a causa de una fuerza central.
7.
El problema de Kepler
Consideremos un problema de 2 cuerpos tal que la masa m del primero es tan grande que (digamos, el Sol) que
su posición es fija (en el origen de un sistema de coordenadas) con respecto a un segundo cuerpo de masa 1,es decir,
el movimiento del primer cuerpo no se ve afectado por la presencia del segundo cuerpo de masa pequeña, pero el
movimiento del cuerpo pequeño está totalmente determinada por la presencia del cuerpo grande. Las ecuaciones de
movimiento que describen el movimiento del segundo cuerpo son
q̈ = −µ
q
,
kqk3
donde q ∈ R3 y µ = Gm. Definiendo p = q̇, este sistema se convierte en un sistema Hamiltoniano con
H(q, p) =
kqk2
µ
−
2
kqk
y ecuaciones
q̇ = p,
ṗ = −µ
q
.
kqk3
Se define el momento angular del sistema como el vector A = q × p, entonces a lo largo de una solución tenemos
que
Ȧ = q̇ × p + q × q̇ = p × p + q × (−µq/kqk3 ) = p × p − p × p = 0.
Si A = 0, entonces
d
dt
q
kqk
=
(q × q̇) × q
A×q
=
= 0.
kqk3
kqk3
Esto significa que si A = 0 entonces el movimiento es rectilineo. Sin pérdida de generalidad, puede considerar que
la partı́cula se mueve en uno de los ejes de coordenadas, entonces el problema se reduce a un sistema Hamiltoniano
con un grado de libertad y se resuelve fácilmenete.
Si que A 6= 0, entonces el movimiento ocurre en un plano fijo que pasa por el origen y es perpendicular al vector
constante A. Ası́, podemos suponer que el movimiento es en el plano z = 0, es decir, el cuerpo tiene coordenadas
(x, y, 0). Si el vector de momentos es dado por p = (X, Y, 0), entonces el momento angular es A = (0, 0, xY − yX).
Introducuiendo coordenadas polares simplécticas del Ejemplo 4.5, obtenemos que el Hamiltoniano toma la forma
H(r, θ, R, Θ) =
1 2 Θ2
µ
(R + 2 ) − ,
2
r
r
y su correspondiente sistema Hamiltoniano
ṙ = R,
θ̇ =
Θ
,
r2
.
Θ2
µ
Ṙ = 3 − 2
r
r
15
Θ̇ = 0.
(7.1)
Notemos que Θ es constante y corresponde a la tercera componente del momento angular (ver Ejemplo ??), donde
denotaremos Θ = c. Ası́, el problema se reduce a resolver la ecuación
r̈ = Ṙ =
µ
c2
− 2.
3
r
r
(7.2)
Realizamos el cambio de variable u = 1/r y el rescalamiento en el tiempo dt = (r2 /c)dθ, entonces
−1
c d
c dr
2 2 d
2 du
r̈ = 2
=c u
u
= −c2 u2 u00
r dθ r2 dθ
dθ
dθ
y reemplazando en la ecuación (7.1) obtenemos
−c2 u2 u00 = c2 u3 − µu2
o equivalentemente, la EDO lineal de segundo orden
u00 + u =
µ
,
c2
cuya solución es dada por
µ
(1 + e cos(θ − g)),
c2
donde e y g sonnconstantes de integración. En términos de r, la solución es
u(θ) =
c2 /µ
,
1 + e cos f
r=
f = θ − g,
la cual corresponde a la ecuación de una cónica en coordenadas polares. Si e = 0, la órbita es una circunferencia, si
0 < e < 1, la órbita es una elipse, si e = 1, la órbita es una parábola y si e > 1, la órbita es una hipérbola.
8.
El problema de N -vórtices
En esta sección, deduciremos un sistema dinámico Hamiltoniano que modela la interacción de N -vórtices puntuales y estudiarempos algunos problemas interesantes que se desprenden de este modelo.
Para contextualizar, consideraremos, a modo informal, el concepto de vórtice introducido por Descartes:
“Un vórtice es una entidad que hace que las partı́culas a su alrededor se muevan en órbitas tipo circulares”
De esta idea se desprenden las siguientes preguntas: ¿Cómo caracterizar matemáticamente la idea de vorticidad?
¿Cómo se mide la vorticidad? ¿Qué es un vórtice matemáticamente hablando?
8.1.
La derivada material
Comenzaremos definiendo el concepto de derivada material. Para esto supongamos que el camino recorrido por
una partı́cula de fluido está dado por x(t) = (x(t), y(t), z(t)), entonces el campo de velocidades es
u(t) =
d
x(t) = (ẋ(t), ẏ(t), ż(t)) ,
dt
(8.1)
y la aceleración es dada por
d2
d
x(t) = u (x(t), t) .
2
dt
dt
Usando regla de la cadena, (8.2) puede ser escrito como
a(t) =
a(t) =
∂u
∂u
∂u
∂u
ẋ +
ẏ +
ż +
.
∂x
∂y
∂z
∂t
Introduciendo la notación de gradiente, podemos escribir
a(t) = ∂t u + u · ∇u.
16
(8.2)
Definición 8.1 Llamaremos derivada material al operador
D
= ∂t + u · ∇,
Dt
∂
∂
∂
+ v ∂y
+ w ∂z
(ver [1] para detalles).
donde u · ∇ = u ∂x
Esta derivada toma en cuenta el hecho de que el fluido se está moviendo y que la posición del fluido depende del
tiempo. De hecho, si f es una función que depende de la posición y el tiempo, entonces
d
Df
f (x(t), y(t), z(t), t)) = ∂t f + u · ∇f =
(x(t), y(t), z(t), t)) .
dt
Dt
En particular, para un campo de velocidades, se tiene
Du
= ∂t u + (u · ∇)u,
Dt
donde
u·∇=u
∂
∂
∂
+v
+w ,
∂x
∂y
∂z
con u = (u, v, w).
8.2.
Ecuación de Euler para un fluido ideal
Para cualquier medio continuo, existen dos tipos de fuerzas actuando sobre un cuerpo. La primera es la fuerza
interna que actúa desde el cuerpo hacia el medio, mientras que la segunda se denomina fuerza externa, tales como
la gravedad o un campo magnético, la cual ejerce una fuerza por unidad de volumen en el cuerpo. La siguiente
definición puede ser encontrada en [1].
Definición 8.2 Llamaremos fluido ideal a todo fluido tal que para cualquier movimiento de este, existe una
función escalar p(x, t) llamada presión, tal que si S es una superficie en el fluido con vector normal unitario n, la
fuerza interna ejercida a través de la superficie S por unidad de área en x ∈ S y en el tiempo t es p(x, t)n, es decir,
fuerza cruzando S por unidad de área = p(x, t)n.
Si W es una región en el fluido en un instante t, entonces la fuerza total ejercida en el fluido al interior de W por
medio de su frontera ∂W está dada por
Z
S∂W = {fuerza en W } = −
pndA,
∂W
donde el signo menos se debe a que la normal apunta hacia el interior de S. Si e es cualquier vector fijo en el espacio,
entonces del Teorema de la Divergencia (ver [2]) obtenemos
Z
Z
Z
Z
e · S∂W = −
pe · ndA = −
∇ · (pe)dV = −
∇p · edV = −
∇p · dV · e.
W
W
W
W
Luego,
Z
S∂W = −
∇p · dV.
W
Si b(x, t) denota una fuerza de cuerpo externa por unidad de masa, entonces la fuerza de cuerpo total está dada
por
Z
B=
ρb · dV,
W
donde ρ es la densidad de masa (masa por unidad de volumen). Ası́, sobre cada unidad de fluido material se tiene
fuerza por unidad de volumen = −∇p + ρb
De la segunda Ley de Newton (fuerza = masa × aceleración) obtenemos la forma diferencial de la ley de balance
de momento (ver [1])
Du
= −∇p + ρb,
(8.3)
ρ
Dt
conocida como la Ecuación de Euler para un fluido ideal.
Estamos interesados en determinar las ecuaciones del problema de N -vórtices en un fluido ideal e incompresible, para lo cual, necesitamos de la siguiente definición.
17
Definición 8.3 Un fluido se dice incompresible si su masa por unidad de volumen no varı́a en el tiempo a lo
largo del flujo, es decir, ρ = constante a lo largo del flujo.
De la ley de conservación de masa
∂ρ
+ ∇ · (ρu) = 0,
∂t
obtenemos que un fluido es incompresible si y solo si ∇ · u = 0 (ver [1]).
Otro concepto importante en la mecánica de fluidos es la circulación, la cual, veremos más adelante, está
altamente relacionado con el concepto vorticidad.
Sea C una curva simple cerrada (el contorno) de un fluido en el instante t = 0. Sea Ct el contorno transportado
por el fluido en el instante t, es decir,
Ct = ϕt (C),
(8.4)
donde ϕt (x) = ϕ(x, t) es el camino recorrido por una partı́cula de fluido, es decir,
dϕ
= u.
(8.5)
dt
Definición 8.4 Se define la circulación contenida en una curva simple cerrada dentro del fluido como la integral
de lı́nea al rededor de la curva, de la componente de la velocidad tangente a la curva. Si ds representa un elemento
de un contorno Ct y ~u representa la velocidad en ese punto, entonces la circulación está dada por
I
Γ(t) =
u · ds.
Ct
Lema 8.1 Sea u el campo de velocidades de un flujo y C una curva cerrada simple, con Ct definida como en (8.4),
entonces
Z
Z
Du
d
u · ds =
ds.
(8.6)
dt Ct
Ct Dt
Demostración. Sea x(s) una parametrización de la curva C, con 0 ≤ s ≤ 1. Entonces, una parametrización de Ct
es ϕ(x(s), t), 0 ≤ s ≤ 1. Luego, por definición de integral de linea y de derivada material dada en (8.1), se obtiene
d
dt
Z
u · ds
=
Ct
=
=
Z
d 1
∂
ϕ(x(s), t)ds
u(ϕ(x(s), t), t) ·
dt 0
∂s
Z 1
Du
∂
(ϕ(x(s), t), t) ·
ϕ(x(s), t)
Dt
∂s
0
∂ ∂
ϕ(x(s), t)ds
+u(ϕ(x(s), t), t) ·
∂t ∂s
Z 1
∂
Du
(ϕ(x(s), t), t) ·
ϕ(x(s), t)ds
∂s
0 Dt
Z 1
∂ ∂
+
u(ϕ(x(s), t), t) ·
ϕ(x(s), t)ds.
∂t ∂s
0
De (8.5), se sigue que
Z 1
∂ ∂
u(ϕ(x(s), t), t) ·
ϕ(x(s), t)ds =
∂t
∂s
0
=
1
Z
u(ϕ(x(s), t), t) ·
0
1
2
Z
1
Z
0
∂
u (ϕ(x(s), t), t) ds
∂s
∂
(u · u) (ϕ(x(s), t), t) ds
∂s
1
d ((u · u) (ϕ(x(s), t), t))
=
0
=
0,
pues Ct es una curva cerrada. Además, como
Z 1
Z
Du
∂
Du
(ϕ(x(s), t), t) ·
ϕ(x(s), t)ds =
ds,
∂s
0 Dt
Ct Dt
entonces obtenemos (8.6).
18
Utilizando el Lema 8.1 demostraremos un importante resultado en la mecánica de fluidos, conocido como el
Teorema de Circulación de Kelvin (ver [1]).
Teorema 8.1 (Teorema de Circulación de Kelvin) En un flujo ideal e incompresible, con una fuerza conservativa b = ∇G, la circulación Γ(t) alrededor de una curva material cerrada Ct es constante, es decir, dΓ(t)
dt = 0.
Demostración. Consideremos la curva material cerrada C(t). La rapidez de cambio de la circulación está dada
por
I
dΓ(t)
d
=
u · ds
dt
dt
I Ct
Du
· ds
=
C Dt
I t
1
=
− ∇p + b · ds
ρ
Ct
I
p
=
∇ − + G · ds
ρ
Ct
= 0,
pues la integral de linea de un campo conservativo sobre una curva cerrada es cero.
8.3.
Vorticidad
Sea x = (x, y, z) la posición de una partı́cula con u = (u, v, w) su correspondiente campo de velocidades, como
en (8.1). Se define el campo de vorticidad de la partı́cula x como
ω = ∇ × u,
donde ∇ =
∂
∂
∂
∂x , ∂y , ∂z
(8.7)
. De esta manera, podemos expresar el campo de vorticidades como
ω=
∂u
∂w ∂v ∂u ∂w ∂v
−
,
−
,
−
∂y
∂z ∂z
∂x ∂x ∂y
.
Un corolario del Teorema de Circulación de Kelvin que relaciona la circulación con el campo de vorticidad es el
siguiente.
Corolario 1 Sea A una superficie cualquiera tal que su frontera es una curva orientada y cerrada C, entonces el
flujo de vorticidad a través de una superficie moviéndose con el fluido es constante en el tiempo.
Demostración. Si A es una superficie cualquiera tal que C es su frontera, entonces por Teorema de Stokes se tiene
I
ZZ
ZZ
ZZ
ΓC =
u · ds =
∇ × u · n dA =
ω · n dA =
ω · dA,
Ct
At
At
At
donde n es el vector unitario normal a la superficie A en el punto dA y dA = ndA.
Teorema 8.2 En un fluido ideal incompresible afectado por una fuerza conservativa externa, entonces
Dω
= (ω · ∇)u
Dt
(8.8)
ω (ϕ(x, t), t) = ∇ϕt (x) · ω(x, 0),
(8.9)
y
donde ϕt representa la trayectoria de una partı́cula de fluido y ∇ϕt es su matriz Jacobiana.
19
Demostración. Sea b = ∇G una fuerza conservativa externa y supongamos, sin pérdida de generalidad, que ρ = 1.
De la ecuación de Euler dada en (8.3) para un fluido incompresible obtenemos
Du
= ∂t u + (u · ∇)u = ∇(−p + G),
Dt
utilizando la identidad
(8.10)
1
∇(u · u) = u × rot u + (u · ∇)u
2
en (8.10),
∂u 1
+ ∇(u · u) − u × rot u = ∇(−p + G).
(8.11)
∂t
2
Tomando el rotacional en (8.11), haciendo uso de la identidad rot ∇F = 0 y la notación ω = rot u, obtenemos la
ecuación
∂u
− rot (u × ω) = 0.
(8.12)
∂t
Aplicando la identidad
rot (F × G) = F ∇ · G − G∇ · F + (G · ∇)F − (F · ∇)G
en (8.12), se deduce la ecuación
∂ω
− [u(∇ · ω) − ω(∇ · u) + (ω · ∇)u − (u · ∇)ω] = 0.
∂t
(8.13)
Dado que ∇ · rot u = 0 y el fluido es incompresible, es decir, ∇ · u = 0, entonces la ecuación (8.13) toma la forma
∂ω
+ (u · ∇)ω − (ω · ∇)u = 0.
∂t
(8.14)
donde los primeros dos términos forman la derivada material de ω, ası́, (8.14) se reduce a
Dω
= (ω · ∇)u.
Dt
(8.15)
Definamos las funciones
F (x, t) = ω(ϕ(x, t), t)
y
G(x, t) = ∇ϕt (x) · ω(x, 0).
De (8.15) vemos que
DF
= (F · ∇)u.
Dt
Además,
∂G
∂t
∂ϕt
= ∇
(x) · ω(x, 0)
∂t
= ∇ (u(ϕt (x))) · ω(x, 0)
= ∇u · ∇ϕt (x) · ω(x, 0)
= ∇u · G(x, t)
=
(G · ∇)u.
Ası́, tenemos que F y G satisfacen la misma ecuación diferencial lineal de primer orden y como ϕ(x, 0) = x, entonces
G(x, 0) = ∇x · ω(x, 0) = ω(x, 0) = F (x, 0).
Por unicidad se sigue que F = G.
Observación 8.1
1. La ecuación (8.8) es llamada ecuación de evolución de vorticidad.
20
2. Notar que si ω(x, 0) = 0, entonces ω(x, t) = 0 para todo t > 0, lo que significa que si la vorticidad inicial es
cero, esta permanecerá siendo cero para todo tiempo.
3. La ecuación (8.9) nos dice que la vorticidad es transportada por la matriz Jacobiana de la función flujo ϕ(x, t).
4. En el caso bidimensional la ecuación de evolución se convierte en
Dω
= 0.
Dt
Para comprobar esta igualdad, basta observar que el vector ω tiene las dos primaras componentes nulas y el
vector velocidad u tiene nula la tercera. Esto será mostrado con mayor detalle en la siguiente sección.
8.4.
Ecuación de vorticidad en el plano
Las ecuaciones de movimiento de la interacción de vórtices puntuales fueron introducidas por Helmholtz en 1958
en [3] (traducción en [4]). En este artı́culo, Helmoltz fue el primero en hacer explı́citas las propiedades claves de
las porciones de fluido en las cuales ocurre la vorticidad. En el trabajo [5] de 1876, Kirchhoff demostró que las
ecuaciones de movimiento pueden ser escritas como un sistema Hamiltoniano.
En esta sección desarrollaremos una construcción de las ecuaciones de movimiento de N -vórtices en el plano
mediante la solución de una EDP. Suponiendo conocido el campo de vorticidades ω, a continuación determinaremos
el campo de velocidades u que genera ω mediante la definición de vorticidad dada en (8.7), en otras palabras, nos
interesa saber si es posible resolver el sistema de ecuaciones
ω = ∇ × u,
∇ · u = 0.
En general, la solución no es única si no se especifican ciertas condiciones de contorno (ver [1], [?]). Para comenzar
nuestra construcción, consideramos una partı́cula de fluido (ideal e incompresible) que se mueve en el plano xy,
entonces escribimos la posición de dicha partı́cula como
x = xe1 + ye2 = (x, y, 0),
mientras que el vector velocidad lo expresamos por
u = (u, v, 0) =
dx dy
, ,0 ,
dt dt
donde u = u(x, y, t) y v = v(x, y, t). Se cumple que el campo de vorticidades es normal al plano xy. En efecto,
ω =∇×u=
î
ĵ
k̂
∂
∂x
∂
∂y
∂
∂z
u
v
0
=
∂u
∂v
−
∂x ∂y
k̂.
Vemos que ω es una cantidad pseudoescalar, lo que nos permite escribir simplemente
ω=
∂v
∂u
−
.
∂x ∂y
Figura 8.1: La vorticidad es transportada por la matriz Jacobiana de la función flujo.
21
De la condición de incompresibilidad
∇·u=
∂u ∂v
+
= 0,
∂x ∂y
podemos suponer la existencia de una función ψ(x, y, t), llamada función de corriente (ver [1], [?]) tal que
u=
∂ψ
,
∂y
v=−
∂ψ
.
∂x
(8.16)
Notemos que la función ψ es única, salvo la suma de una constante. Para resolver este problema, debemos establecer
condiciones adicionales a nuestro problema, para esto, vemos primero que toda curva de flujo permanece en una
curva de nivel de ψ, es decir, para un flujo (x(s), y(s)) tenemos
d
∂ψ
∂ψ
ψ(x(s), y(s), t) =
· ẋ +
· ẏ = −v · u + u · v = 0.
ds
∂x
∂y
Ahora, asumiremos que el flujo está contenido en algún dominio D con frontera fija ∂D simple, conexa y condición
de contorno
u · n = 0, en ∂D,
(8.17)
donde n es el vector normal unitario a ∂D. En particular, ∂D permanece en una curva de nivel de ψ, es decir,
ψ(x, t) = cte. si x ∈ ∂D y por lo tanto, podemos ajustar esta constante de tal manera que
ψ(x, t) = 0,
para todo x ∈ ∂D.
(8.18)
Ası́, (8.17) y (8.18) determinan ψ de manera única. Escribiendo ω en términos de la función ψ dada por (8.16) se
obtiene
∂u
∂
∂ψ
∂ ∂ψ
∂v
−
=
−
−
= −∆ψ,
ω=
∂x ∂y
∂x
∂y
∂y ∂y
donde ∆ = ∂x2 + ∂y2 es el operador de Laplace en el plano.
Observación 8.2
1. Para un fluido ideal incompresible, podemos resumir su dinámica en el siguiente conjunto
de ecuaciones:
Dω
≡ ∂t ω + (u · ∇)ω = 0,
Dt
∆ψ = −ω,
(8.19)
ψ = 0,
u=
∂ψ
,
∂y
en ∂D,
v=−
∂ψ
.
∂x
2. Para resolver la ecuación ∆ψ = −ω, debemos encontrar su correspondiente función de Green, la cual satisface
∆G(x, x0 ) = −δ(x − x0 ).
(8.20)
Luego, la función ψ está dada por
Z
ψ(x, t) =
8.5.
G(x, x0 )ω(x0 , t)dx0 .
Vórtice puntual
Definición 8.5 Una partı́cula de fluido con posición x0 es un vórtice puntual si su distribución de vorticidad es
dada por
ω(x) = Γδ(x − x0 ),
donde Γ 6= 0 es una constante real δ es la delta de Dirac que satisface
ZZ
f (x0 ), si x0 ∈ D
δ(x − x0 )f (x)dA =
0,
d.o.m.
D
22
Definición 8.6 Una colección de vórtices con posiciones x1 , x2 , ..., xN se dicen vórtices puntuales si la distribución
total de vorticidad es dada por
N
X
ω(x) =
Γj δ(x − xj ), Γk 6= 0.
(8.21)
j=1
con Γj 6= 0, para todo j = 1, ..., N .
Cada una de las constantes Γk corresponde a la circulación sobre cualquier curva cerrada tal que la región acotada
por ésta contenga al vórtice xk , pero no a algún xj con j 6= k.
I
ZZ
u · ds =
ΓC =
ω(x) · dA = Γk .
C
Σ
Un vórtice puntual puede ser interpretado como una partı́cula cuya campo de vorticidad está concentrado en si
misma.
Consideremos un vórtice puntual con posición x0 y observamos que la ecuación (8.20) nos sugiere tomar
ω(x, x0 ) = Γδ(x − x0 ),
(8.22)
donde Γ es la vorticidad correspondiente a x0 , la cual es constante. Un vórtice puntual puede ser interpretado como
una partı́cula cuyo campo de vorticidad está concentrado en si misma, lo cual se representa mediante (8.22). Ahora,
resolver (8.19), equivale a resolver
∆ψ = −Γδ(x − x0 ).
(8.23)
Una solución ψ de (8.23) representa la función de flujo de una partı́cula en el campo de velocidades de un vórtice
puntual de vorticidad Γ y con posición x0 . Considereremos la función ψ como la función radialmente simétrica
ψ = ψ(r),
r = kx − x0 k.
Integrando en (8.23) sobre un dominio circular D centrado en x0 y de radio r se tiene
ZZ
∆ψdx = −Γ.
(8.24)
D
Utilizando coordenadas polares
x − x0 = ρ cos φ,
y − y0 = ρ sin φ,
0≤ρ≤r
tenemos que
∂D = {ρ = r, φ ∈ [0, 2π)}
Vemos que ∆ψ = ∇ · ∇ψ y aplicando el Teorema de Stokes en el lado izquierdo de (8.24) obtenemos la igualdad
ZZ
I
∇ψdx =
∇Ψ · ndφ.
(8.25)
D
∂D
En coordenadas polares tenemos que el gradiente ∇ψ y el vector normal unitario a ∂D asumen la forma
∇ψ =
∂ψ
1 ∂ψ
ρ̂ +
φ̂,
∂ρ
ρ ∂φ
23
n = 1ρ̂ + 0φ̂
donde ρ̂ = (cos φ, sin φ), φ̂ = (− sin φ, cos φ). Ası́, obtenemos la simple expresión para el integrando
∇ψ · n =
Luego, de (8.24) y (8.25) sigue que
ZZ
I
−Γ =
∇ψdx =
D
∂D
∂Ψ(ρ)
.
∂ρ
∂ψ(r)
∂ψ
Γ
∂ψ(ρ)
dφ = 2πr
=⇒
=−
.
∂ρ
∂r
∂r
2πr
de donde se sigue directamente que la función de flujo es dada por
Γ
ln(r).
2π
(8.26)
Γ
Γ
ln kx − x0 k = −
ln (x − x0 )2 + (y − y0 )2 .
2π
4π
(8.27)
ψ(r) = −
En términos de x y x0 , (8.26) se expresa como
Ψ(x) = −
Si x0 se mueve con el tiempo, entonces
Ψ(x, t) = −
Γ
ln kx − x0 (t)k.
2π
Para una partı́cula arrastrada en el campo de velocidades de N vórtices puntuales con posiciones x1 (t), x2 (t), ..., xN (t),
y vorticidades Γ1 , Γ2 , ..., ΓN respectivamente, utilizamos el campo de vorticidades (8.21) y la correspondiente función
de flujo está dada por
N
1 X
Ψ(x, t) = −
Γj ln kx − xj k,
2π j=1
la cual genera el sistema no autónomo de ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden
ẋ =
N
∂Ψ
1 X y − yj
=−
Γj 2 ,
∂y
2π j=1
lj
ẏ = −
N
1 X x − xj
∂Ψ
=
Γj
∂x
2π j=1
lj2
(8.28)
donde lj2 = (x − xj )2 + (y − yj )2 .
Observación 8.3
1. La función de flujo ψ es el Hamiltoniano del sistema que describe el movimiento de una
partı́cula en el campo de velocidades de un vórtice puntual.
2. x e y son las variables conjugadas del sistema Hamiltoniano.
3. El dominio de ψ está dado por los puntos del plano distintos de xj .
4. Por el momento, las ecuaciones anteriores no describen el movimiento de una partı́cula de vórtice, sino que
el de una partı́cula en el campo de velocidades de N vórtices puntuales.
La formulación anterior puede ser extendida a un problema de N -vórtices, es decir, podemos determinar un
sistema de EDO que modela la interacción mutua de N vórtices puntuales. Para esto debemos considerar el siguiente
principio de superposición:
Anstz 8.1 Un vórtice puntual se comporta como una partı́cula en el campo de velocidades de otro vórtice puntual.
(Ver [?]).
Ası́, el Hamiltoniano del j-ésimo vórtice de posición xj = (xj , yj ) y circulación Γj se toma como
N
1 X
Γj
ln kx − xj k = −
Γk ln kxj − xk k
Ψj (xj ) := lı́m Ψ(x) +
x→xj
2π
2π k=1
k6=j
Ası́, para el j-ésimo vórtice, obtenemos el sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden
ẋj =
∂Ψj (xj )
,
∂yj
ẏj = −
∂Ψj (xj )
,
∂xj
24
j = 1, 2, ..., N.,
(8.29)
cuya forma explı́cita está dada por el sistema
ẋj = −
N
1 X yj − yk
,
Γk 2
2π k=1
ljk
ẏj =
N
1 X xj − xk
,
Γk
2
2π k=1
ljk
k6=j
j = 1, 2, ..., N,
(8.30)
k6=j
donde ljk = kxj − xk k. En conclusión, para modelar la evolución en el tiempo de N -vórtices puntuales sujetos a
sus interacciones mutuas, necesitamos resolver el sistema de 2N EDO’s de primer orden en (8.30) Notemos que el
sistema (8.30) no está definido si (xi , yi ) = (xj , yj ) para i 6= j y por lo tanto su dominio de definición es el conjunto
M = {(x1 , ..., xN , y1 , ...yN ) ∈ R2N : xi 6= xj ∧ yi 6= yj , ∀i 6= j}.
8.6.
Formulación Hamiltoniana del Problema de los N -vórtices en el plano
Cada vórtice se modela mediante un sistema Hamiltoniano con un grado de libertad, sin embargo, cada vórtice
tiene asociado un hamiltoniano distinto, es decir, Ψi 6= Ψk si i 6= k, y además, dicho Hamiltoniano dapende de
los N − 1 vórtices restantes. Necesitamos dotar al sistema completo (que tiene 2N incógnitas) de una estructura
Hamiltoniana, es decir, debemos determinar una función Hamiltoniana H(x1 , ..., xN , y1 , ..., yN ). Para cada j =
1, ..., N , multiplicamos por Γj en las ecuaciones (8.30)
N
yj − yk
1 X
Γj Γk 2
,
Γj ẋj = −
2π k=1
ljk
N
1 X
xj − xk
Γj ẏj =
Γj Γk
,
2
2π k=1
ljk
k6=j
j = 1, 2, ..., N,
(8.31)
k6=j
y definamos la función:
H(x, y) =
N
N
1X
1 X
Γj Ψj (xj ) = −
Γj Γk ln kxj − xk k,
2 j=1
4π k=1
k6=j
donde x = (x1 , ..., xN ) e y = (y1 , ..., yN ), entonces las ecuaciones (8.31) toman la forma
Γj ẋj =
∂H
,
∂yj
Γj ẏj = −
∂H
,
∂xj
j = 1, 2, ..., N.
(8.32)
Vemos que el sistema anterior no es exactamente Hamiltoniano, pero introduciendo el cambio de variable
q
q
qj = |Γj |xj , pj = sgn(Γj ) |Γj |yj ,
(8.33)
y se verifica:
∂H
1
∂H
1
sgn(Γj )Γj
p
p
=
=
Γj ẋj = p
ẋj =
∂pj
∂y
sgn(Γj ) |Γj | j
sgn(Γj ) |Γj |
|Γj |
q
|Γj |ẋj = q̇j
y
q
1 ∂H
1
sgn(Γj )Γj
∂H
=p
= −p
Γj ẏj = −sgn(Γj ) p
ẏj = −sgn(Γj ) |Γj |ẏj = −ṗj .
∂qj
|Γj | ∂xj
|Γj |
|Γj |
8.7.
Ecuaciones en coordenadas complejas y en coordendas polares
1. Coordenadas complejas: Si hacemos el cambio de coordendas zj = xj + iyj en (8.30), obtenemos el sistema
de N EDO’s en variable compleja de primer orden:
N
żj = −
zj − zk
1 X
Γk
,
2πi k=1
|zj − zk |2
j = 1, ..., N.
k6=j
2. Coordenadas polares: Si en (8.30) hacemos el cambio de coordendas
p
zj = 2Rj eiθj ,
25
(8.34)
obtenemos el sistema de 2N EDO’s en términos de las variables radiales Rj y las variables angulares θj :
θ̇j
=
1
4π
N
X
k=1
Ṙj
=
1
2π
k6=j
N
X
k=1
p
Γk (1 − Rj /Rk cos(θk − θj )
p
Rj + Rk − 2 Rj Rk cos(θk − θj )
p
Rj Rk sin(θk − θj )
p
.
Rj + Rk − 2 Rj Rk cos(θk − θj )
Γk
(8.35)
k6=j
Ejercicio 2 Demuestre las fórmulas (8.34) y (8.35).
8.8.
Simetrı́as
Proposición 8.1 El sistema (8.30) es invariante bajo las siguientes transformaciones:
1. zj −→ zj + C (traslación).
2. zj −→ eiθ zj (rotación).
3. z −→ λz, t −→ λ2 t (homotecias).
4. t −→ −t, Γj −→ −Γj .
5. z −→ −z (reversibilidad).
6. Γj −→ −Γj , z −→ z.
8.9.
Integrales primeras
8.10.
Integrales primeras e integrabilidad
Para estudiar integrabilidad en problemas de N -vórtices es necesario definir los siguientes importantes conceptos.
1) Momento de Vorticidad o Momento Lineal:
M=
N
X
Γj zj .
j=1
2) Centro de Vorticidad:
c=
donde γ1 =
N
X
M
,
γ1
Γj es la vorticidad total.
j=1
3) Momento de Inercia:
I=
N
X
Γj |zj |2 =
j=1
N
X
Γj (x2j + yj2 ).
j=1
4) Componentes del momento de inercia:
Q=
N
X
Γj xj ,
j=1
P =
N
X
Γj yj .
j=1
Proposición 8.2 El sistema (8.29) tiene integrales primeras H, Q, P y I.
26
Demostración. H es integral primera por ser la función Hamiltoniana independiente de t, de hecho {H, H} = 0.
Para la cantidad Q se tiene
dQ
dt
=
N
X
Γj ẋj
j=1
=
−
N
N
1 X X yj − yk
Γj
Γk 2
2π j=1
ljk
k=1
k6=j
=
1
−
2π
=
0.
N X
N
X
N N
1 XX
yj
yk
Γj Γk 2 +
Γj Γk 2
l
2π
l
jk
jk
j=1 k=1
j=1 k=1
k6=j
k6=j
Ejercicio 3 Demuestre que P e I son integrales primeras del sistema.
PN
2
Proposición 8.3 L = i6=j Γi Γj lij
= 2(γ1 I − Q2 − P 2 ).
Demostración. Sean x1 , ..., xN las posiciones de N vórtices en el plano, entonces la norma del momento lineal es
N
X
Q2 + P 2 = kM k =
Γi Γj xi · xj .
(8.36)
i,j=1
Luego,
N
X
Γi Γj kxi − xj k2
=
i6=j
N
X
Γi Γj kxi k2 − 2
N
X
i6=j
=
2
i6=j
N
X
Γi Γj kxi k2 − 2

2
N
X
Γi Γj kxj k2
i6=j
N
X
Γi Γj xi · xj
i6=j
i6=j
=
Γi Γj xi · xj +
N
X
2
Γi Γj kxi k −
i,j=1
N
X

Γi Γj xi · xj 
i,j=1
=
2(γ1 I − kM k)
=
2(γ1 I − Q2 − P 2 ).
Proposición 8.4 Si γ1 6= 0, entonces podemos suponer, sin pérdida de generalidad, que c = 0.
Demostración. Del Teorema 8.1, podemos realizar la traslación zi → zi − c y entonces el centro de vorticidad c̃ es
PN
c̃
Γk (zk − c)
γ1
PN
PN
Γ
Γk c
k=1 k zk
=
− k=1
γ1
γ1
= c−c
k=1
=
=
0.
Proposición 8.5 Si las todas las vorticidades Γ1 , Γ2 , ..., ΓN tienen el mismo signo, entonces la solución está contenida en una región circular. Ası́, las soluciones son acotadas y por lo tanto, el flujo de (8.30) es completo.
27
Demostración. De la conservación del momento de inercia se tiene que si sgn(Γk ) = 1 para todo k = 1, ..., N ,
entonces
N
N
N
X
X
X
I=
Γk (x2k + yk2 ) ≥ mı́n(Γk )
(x2k + yk2 ) = mı́n(Γk )
kzk k2 ,
k=1
2
de donde se sigue que kzk k ≤
k=1
I
mı́n(Γk ) , ∀k
k=1
= 1, ..., N. Si sgn(Γk ) = −1, entonces I < 0 y máx(Γk ) < 0, luego
I ≤ máx(Γk )
N
X
kzk k2
k=1
y se sigue que kzk k2 ≤
I
máx(Γk ) , k
= 1, ..., N .
Teorema 8.3 El problema de N -vórtices es completamente integrable para N ≤ 3, para todos los valores de Γj .
Demostración. El caso N = 1 es trivial. Ahora, utilizando directamente la definición del producto de Poisson, se
cumplen para cualquier N , las igualdades
{Q, P } = γ1 ,
{Q, I} = 2P,
{P, I} = −2Q
(8.37)
y además
{H, I} = 0,
{H, P 2 + Q2 } = 0,
{P 2 + Q2 } = 0.
(8.38)
Para N = 2 consideremos las integrales primeras H y Q. Es inmediato que {H, Q} = 0 y por lo tanto son involutivas.
Para probar que las integrales primeras son funcionalmente independientes, basta probar que sus gradientes son
linealmente independientes. Sean α1 , α2 números reales tales que
α1 ∇H + α2 ∇Q = 0,
(8.39)
tomando el producto de Poisson con I en (8.39) y utilizando (8.37), se tiene que α2 P = 0, para todo y1 , y2 ∈ R y
se sigue que α1 = α2 = 0.
Para el caso N = 3, vemos de (8.37) que las integrales primeras H, I, Q2 + P 2 son involutivas. Ahora, sean α1 , α2 , α3
constantes tales que
α1 ∇H + α2 ∇(Q2 + P 2 ) + α3 I = 0, ∀xi , yi ∈ R, i = 1, 2, 3.
(8.40)
Tomando el producto de Poisson en (8.40) con P obtenemos
2α2 γ1 Q + 2α3 Q = 0,
luego α3 = −α2 γ1 y reemplazando en (8.40), se tiene la igualdad
α1 ∇H − α2 ∇(γ1 I − Q2 − P 2 ) = 0.
(8.41)
De la Proposición 8.3, tenemos que (8.41) se puede escribir como
∇(α1 H − α2 L) = 0,
(8.42)
2
2
2
es decir, α1 H − α2 L es constante y llamando x = l12
, y = l23
, z = l13
, obtenemos la igualdad de funciones
α1 (Γ1 Γ2 ln x + Γ2 Γ3 ln y + Γ1 Γ3 ln z) = K + α2 (Γ1 Γ2 x + Γ2 Γ3 y + Γ1 Γ3 z),
(8.43)
para todo ∀x, y, z ∈ R+ . Tomando el gradiente en (8.43), respecto a las variables x, y, z, se sigue que
α1 Γ1 Γ2
= α2 Γ1 Γ2 ,
x
α 1 Γ2 Γ3
= α2 Γ2 Γ3 ,
y
α1 Γ1 Γ3
= α2 Γ1 Γ3 , ∀x, y, z ∈ R+ ,
z
(8.44)
lo cual es cierto solo si α1 = α2 = 0, pues Γ1 , Γ2 , Γ3 son arbitrarios. Se sigue que α3 = 0.
Teorema 8.4 El problema de los N vórtices no es integrable si N ≥ 4.
28
8.11.
El problema de los 2-vórtices
Sean z1 (t) y z2 (t) las posiciones de dos vórtices en el plano complejo, con vorticidades Γ1 y Γ2 . El sistema de
ecuaciones que modela la dinámica es
iΓ2 z1 − z2
ż1 =
2π |z1 − z2 |2
(8.45)
iΓ1 z2 − z1
ż2 =
.
2π |z2 − z1 |2
Definición 8.7 Una solución de equilibrio relativo de problema de N -vórtices es una solución tal que cada una
de las distancias mutuas ljk (t) = |zj (t) − zk (t)| es constante a lo largo del tiempo. Note que un equilibrio relativo
es una solución que preserva el objeto geométrico determinado por la posición inicial de los vórtices, es decir,
ljk (t) = ljk (0), ∀t ≥ 0, ∀j, k = 1, ..., N, j 6= k.
Ejercicio 4 Demuestre que |z1 (t) − z2 (t)| = constante para todo tiempo t ≥ 0.
Ejercicio 5 Demuestre que si Γ1 + Γ2 6= 0 entonces el sistema (8.45) puede escribirse de la forma
ż1 = iν (z1 − c) ,
ż2 = iν (z2 − c) ,
con ν =
(Γ1 + Γ2 )
y D = |z1 (0) − z2 (0)|.
2πD2
Ejercicio 6 Para Γ1 + Γ2 6= 0, resuelva las ecuaciones del ejercicio anterior y demuestre que los vórtices rotan
sobre circunferencias concéntricas de centro c con velocidad angular ω, tal como indica la Figura 8.2 (a), (b) y (c)
Ejercicio 7 Para Γ1 + Γ2 = 0, demuestre que los vórtices se mueven en rectas paralelas con la misma velocidad
|Γ1 |
constante ν = 2πD
y centro de vorticidad en el infinito, tal como en la Figura 8.2(d).
(a)
(b)
(c)
(d)
Figura 8.2: Soluciones no estacionarias: (a) 0 < Γ1 < Γ2 6= 0. (b) Γ2 < 0 < Γ1 , |Γ2 | > Γ1 . (c) Γ1 = Γ2 , (d)
Γ1 + Γ1 = 0.
9.
El problema de N -vórtices en la esfera S2
Consideremos una partı́cula de fluido en la esfera S2 con coordenadas x = (θ, φ) y posición
(sin θ cos φ, sin θ sin φ, cos θ).
Luego, su campo de velocidades será
u = (u, v) = (θ̇, sin θ φ̇).
En coordenadas esféricas, el campo de vorticidades es dado por
ω =∇×u=
1
sin θ
r̂
0
0
θ̂
sin θθ̂
∂
∂θ
∂
∂φ
u
sin θv
,
mientras que la incompresibilidad del fluido se expresa por
1
∂
∂v
(sin θ · u) +
∇·u=
= 0.
sin θ ∂θ
∂φ
29
(9.1)
De la condición de incompresibilidad, podemos introducir una función escalar ψ(θ, φ, t), llamada función de corriente tal que
1 ∂ψ
∂ψ
u = −J∇ψ =⇒ u = −
, v=
.
(9.2)
sin θ ∂φ
∂θ
luego
1
∂
1 ∂ψ
∂ ∂ψ
sin θ · −
+
sin θ ∂θ
sin θ ∂φ
∂φ ∂θ
2
2
∂ ψ
∂ ψ
1
−
+
=
sin θ
∂θ∂φ ∂φ∂θ
= 0.
∇·u =
La vorticidad en términos de ψ es dada por
1 ∂
∂ψ
1 ∂2ψ
r̂ =⇒ ∆ψ = ω.
ω=
sin θ
+
sin θ ∂θ
∂θ
sin2 θ ∂φ2
|
{z
}
Operador de Laplace-Beltrami ∆ψ
(9.3)
Antes de considerar una distribución de vorticidad de N vórtices puntuales como en el caso plano, notemos que
ZZ
S2 es una superficie cerrada =⇒
ω · dA = 0.
S2
Para que se cumpla esta última condición, debemos redefinir el campo de vorticidad como
ω(x) =
N
X
Γj δ(x − xj (t)) −
j=1
X
Γ
, Γ=
Γk .
4π
Para deducir la función de corriente ψ, fijaremos un vórtice de vorticidad Γ 6= 0 con posición x0 en el polo norte de
S2 y consideramos el casquete esférico D como en la Figura . El área de D y el perı́metro de su borde están dados
por
AD = 2π(1 − cos θ) y PD = 2π sin θ,
respectivamente. Introducimos coordenadas locales (r, φ), donde r es la longitud de arco desde x0 hasta x (es decir,
r = θ) y buscamos una solución radial φ = φ(r). Integrando en (9.3) sobre el casqyete D, obtenemos
ZZ
ZZ
AD
∆ψdA =
ωdA = Γ 1 −
.
4π
D
D
Por otro lado, usando la forma normal del Teorema de Green, obtenmos
ZZ
ZZ
I
∂ψ
∆ψdA =
∇ · ∇ψdA =
∇ψ(r) · ndφ = PD
,
∂r
D
D
∂D
de donde se sigue que
∂ψ(θ)
Γ
=
∂θ
PD
1−
AD
4π
Γ
ln
4π
=⇒ ψ(θ) =
1 − cos θ
2
≡
Γ
ln (1 − cos θ) .
4π
Si la partı́cula de fluido se mueve en el campo de valocidad de N vórtices puntales con coordenadas (θ1 , φ1 ), ..., (θN , φN ),
tenemos que la función de corriente es dada por
ψ(θ, φ, t) =
N
1 X
Γj ln(1 − cos ρj ),
4π j=1
donde cos ρj = cos θ cos θj (t) + sin θ sin θj (t) cos(φ − ϕj (t)).
θ̇ = −
N
1 X sin θj sin (φ − φj )
Γj
,
4π j=1
1 − cos ρj
sin θφ̇ =
N
1 X sin θ cos θj − cos θ sin θj cos (φ − φj )
Γj
4π j=1
1 − cos ρj
30
(9.4)
Observación 9.1 Notemos que en (9.2), las ecuaciones de movimiento se pueden representar como
d(cos θ)
∂ψ
=
,
dt
∂φ
dφ
∂ψ
=−
.
dt
∂(cos θ)
Luego, podemos introducir las coordenadas q = cos θ y p = φ y escribir las ecuaciones en su forma Hamiltoniana
como
∂H
∂H
, ṗ = −
.
q̇ =
∂p
∂q
donde H = H(q, p, t) es como en (9.4), pero con
q
p
cos ρj = q qj (t) + 1 − q 2 1 − qj (t)2 cos(p − pj (t)), qj (t) = cos(θj (t)), pj (t) = φj (t).
9.1.
Ecuaciones de movimiento para el problema de N -vórtices
De manera similar al caso plano, obetenmos el sistema de ecuaciones que describe la dinámica de N vórtices
puntuales interactuando mutuamente:
θ̇i
1
= − 4π
N
X
Γj sin θj sin(φi − φj )
j=1
1 − cos ρij
,
j6=i
sin θi φ̇i
=
1
4π
N
X
j=1
cos θj sin θi − sin θj cos θi cos(φi − φj )
Γj
1 − cos ρij
(9.5)
j6=i
donde cos ρij = cos θi cos θj + sin θi sin θj cos(φi − φj ). Definiendo las coordenadas
p
p
Pi = |Γi | cos θi ,
Qi = |Γi |φi ,
obtenemos el sistema Hamiltoniano
Q̇i =
∂H
,
∂Pi
donde
H(Q, P ) =
Ṗi = −
∂H
,
∂Qi
i = 1, ..., N,
N
1 X
Γi Γj ln(1 − cos ρij ),
4π i<j
con Q = (Q1 , ..., QN ) y P = (P1 , ..., PN ).
9.2.
Solución tipo anillo
Consideremos N ≥ 2 vortices con vorticidades iguales Γk = 4π, k = 1, ..., N , rotando en un paralelo fijo, es
decir, fijamos θk (t) = θ0 y
2π(k − 1)
ϕk (t) = ϕk (0) − νt, where ϕk (0) =
.
(9.6)
N
Denotamos por Xk = (Qk , Pk ) = (cos θk , ϕk ) la posición del k-vórtice del anillo. Esta configuración representa
un equilibrio relativo del problema de los N -vórtices en la esfera siempre que la velocidad angular sea tomada como
ν=
(N − 1)z
,
1 − z2
donde z = cos θ0 ∈ (−1, 1) es la posición verical con respecto al plano ecuatorial.
Para vórtices la estabilidad del anillo ya fue estudiada (Boatto y Simó, 2004). En efecto, la solución tipo anillo
es estable, si y sólo si,
−4(N − 1)(11 − N ) + 24(N − 1)(1 − z 2 ) + 2N + 1 + 3(−1)N < 0.
31
(a)
(b)
Figura 9.1: (a) Solución tipo anillo en la esfera. (b) Polygonal configurations in the atmosphere of external planets
: the pentagonal polygonal vortex configuration of Jupiter. Photos from the Juno spacecraft, NASA. Courtesy
NASA/JPL-Caltech
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