Fase 1 unidad 1

Fase 1 unidad 1
Luis Adolfo Cuellar Medina
Cód. 97012613680
Grupo: 243005_10
Tutor: Diego Fernando Sendoya Losada
Universidad nacional abierta y a distancia (UNAD)
Sistemas dinámicos
2016
Lo que necesitamos hallar es el modelo matemático de un
sistema dinámico que se propone el cual nos brinda una
práctica manera de hallar el modelo matemático de un
sistema físico que es descrito mediante un conjunto de
entradas, salidas y variables de estado; relacionadas por
ecuaciones diferenciales de primer orden y que cuando la
combinación obtendremos una ecuación diferencial
matricial de primer orden.
Para hallar el modelo lo que necesitamos son nuestros
conocimientos adquiridos anteriormente en circuitos
eléctricos y las leyes que estos cumplen sus funciones
formulas y usando conocimientos en calculo diferencial.
Al ser el problema a solucionar un circuito eléctrico podemos utilizar sus leyes
como: utilizar las leyes de ohm de corriente y voltaje, también las leyes de mallas
de Kirchhoff, y tener en cuenta que tenemos un circuito paralelo, esto nos ayuda
a saber que voltaje llega a cada componente eléctrico. (En un circuito paralelo el
voltaje es el mismo para cada componente). Teniendo estas leyes y conocimientos
tanto previos como actuales podemos empezar a sacar las ecuaciones
características de cada componente e ir formando nuestra ecuación diferencial de
primer orden.
Conceptos conocidos:
-leyes de ohm.
-leyes de Kirchhoff
-circuito eléctrico
-componentes electrónicos
-circuito paralelo
-ecuación diferencial
-voltaje
-sistemas lineales y no lineales
-variables
-constante
-matlab
-simulación
-corriente
-Resistencia
-capacitancia
-nodos
- diagrama
-derivadas
Conceptos desconocidos:
- controlabilidad
-observabilidad
-modelo matemático
- sistema dinámico
-espacios de estado.
- linealizacion
- series de Taylor
- sistema de control.
Fase 2:
Controlabilidad:
La controlabilidad se ocupa del problema de poder dirigir un sistema de un
estado
Inicial dado, a un estado arbitrario. Se dice que un sistema de control es de
estado
Completamente controlable, si es posible transferir el sistema de un estado
inicial
Arbitrario a cualquier estado deseado.
La controlabilidad tiene que ver con la posibilidad de llevar al sistema de
cualquier
Estado inicial al cualquier estado final en tiempo finito, no importando que
trayectoria se siga, o que entrada se use.
Observabilidad:
La observabilidad se ocupa del problema de determinar el estado de un sistema
Dinámico a partir de observaciones de los vectores de salida y de control. Se
dice
Que un sistema es observable si se puede determinar el estado del mismo, a
partir
De la observación de los vectores de salida y de control.
Modelo matemático:
El modelo matemático equivale a una ecuación matemática o un conjunto de
ellas en base a las cuales podemos conocer el comportamiento del sistema.
Un modelo matemático es uno de los tipos de modelos científicos que emplea
algún tipo de formulismo matemático para expresar relaciones, proposiciones,
variables, parámetros, entidades y relaciones entre variables y operaciones, para
estudiar comportamientos de sistemas complejos.
Sistema dinámico:
Un sistema dinámico es un sistema cuyo estado evoluciona con el tiempo. Los
sistemas físicos en situación no estacionaria son ejemplos de sistemas
dinámicos, pero también existen modelos económicos, matemáticos y de otros
tipos que son sistemas abstractos que son sistemas dinámicos.
Los sistemas dinámicos son sistemas cuyos parámetros internos (variables de
estado), siguen una serie de reglas temporales. Se llaman sistemas porque
están descritos por un conjunto de ecuaciones y dinámicos porque sus
parámetros varían con respecto a alguna variable que generalmente es el
tiempo.
Espacios de estado:
Una representación de espacios de estados es un modelo matemático de un
sistema físico descrito mediante un conjunto de entradas, salidas y variables de
estado relacionadas por ecuaciones diferenciales de primer orden que se
combinan en una ecuación diferencial matricial de primer orden. Para prescindir
del número de entradas, salidas y estados, las variables son expresadas como
vectores y las ecuaciones algebraicas se escriben en forma matricial (esto último
solo puede hacerse cuando el sistema dinámico es lineal e invariante en el
tiempo). La representación de espacios de estado (también conocida como
aproximación en el dominio del tiempo) provee un modo compacto y conveniente
de modelar y analizar sistemas con múltiples entradas y salidas.
Linealizacion:
El reemplazar un sistema no lineal por su aproximación lineal se denomina
linealizacion. Una motivación para la linealizacion es que el comportamiento
dinámico de muchos sistemas no lineales dentro de un rango de variables puede
ser aproximado a modelos de sistemas lineales. Siendo ese el caso, podemos
usar técnicas bien desarrolladas de analisis y síntesis de sistemas lineales para
analizar un sistema no lineal.
Series de Taylor:
En matemáticas, una serie de Taylor es una aproximación de funciones
mediante una serie de potencias o suma de potencias enteras de polinomios
como (𝑥 − 𝑎)𝑛 llamados términos de la serie, dicha suma se calcula a partir de
las derivadas de la función para un determinado valor o punto a suficientemente
derivable sobre la función y un entorno sobre el cual converja la serie.
Sistema de control.
Un sistema de control es un conjunto de dispositivos encargados de administrar,
ordenar, dirigir o regular el comportamiento de otro sistema, con el fin de reducir
las probabilidades de fallo y obtener los resultados deseados. Por lo general, se
usan sistemas de control industrial en procesos de producción industriales para
controlar equipos o máquinas.
Metodología a emplear
La solución del problema está dividida en cinco fases donde se debe hacer
acciones diferentes en cada una para esto se deben hacer cálculos, identificar
conceptos, hacer observaciones entre otros.
El primer paso
para antes abordar los problemas es leerlo detenidamente
para identificar sus características tales como: que función realiza, que variables
encontramos, constantes incógnitas. Luego de tener las ideas principales
términos que nos pide debemos buscar los requerimientos, conceptos repasarlos
y buscar: lo que conocemos, lo que desconocemos, las formulas a emplear, los
cálculos que debemos realizar, características del circuito.
Otro paso importante que debemos tener encuentra es que se deben identificar
los componentes eléctricos que se muestran en el circuito del problema planteado
así podremos buscar leyes a aplicar dentro del circuito tales como leyes de ohm y
Kirchhoff que podemos necesitar en la solución de este problema.
Para el primer paso se deben reconocer nuestros conocimientos en circuitos
eléctricos u componentes eléctricos y los modelos matemáticos de los
componentes, estos los podemos encontrar en la tabla de modelamiento, donde
se describe el modelo en la carga y en el voltaje según el modelo que necesitemos.
En segunda instancia se debe hallar las variables de estado y tener en cuenta
que por ley de Kirchhoff para circuitos paralelos, que el voltaje entre los nodos
es el mismo para todo componente. así podremos entender que V=C=R, en los
cálculos que debemos hacer este punto es muy importante, ya no quedaría más
que unir nuestras variables de estado y empezar a hallar nuestra ecuación con
variables de estado.
- para los puntos tres y cuatro, lo que tenemos que hacer es simplemente tomar
nuestras ecuaciones no-lineales, anteriormente calculadas. (Punto uno y dos), y
emplear las técnicas dadas, en este caso series de Taylor, para linealizar
nuestra ecuación diferencial, claro toca ver que parte de la ecuación es la que
presenta un modelo no lineal, (para nuestro caso será la resistencia). Entonces
lo que haremos será tomar nuestra ecuación, tomar nuestro valor no lineal y
utilizar la técnica de expansión de las series de Taylor y linealizar nuestro
deseado.
para el quinto punto se nos pide estudiar nuestro sistema y obtener información
sobre su controlabilidad, en teoría, un sistema de control puede ser controlado si
todas las variables de estado pueden ser controladas en un periodo finito, y es lo
que debemos buscar, si el sistema tiene una controlabilidad completa, o talvez
también una controlabilidad de salida.
La observabilidad la debemos buscar en los vectores de salida y de control, Se
dice que un sistema es observable si se puede determinar el estado del mismo,
a partir de la observación de los vectores de salida y de control, debemos buscar
si tiene una observabilidad completa teniendo en cuenta la condición que
describe una observabilidad completa.
Fase 3
El condensador posee una capacitancia C = 1 F (Faradio). La resistencia es no
lineal por lo que su corriente 𝑖𝑅 (𝑡) depende de la raíz cuadrada del voltaje, esto es:
𝑖𝑅 ( 𝑡 ) = √
𝑒0 (𝑡 )
𝑅
Donde R= 10 √V⁄A (√Voltios/Amperios).
En un circuito RC paralelo el voltaje de entrada es igual para ambos componentes
y la corriente se divide entre la resistencia y el condensador. (It= IR+IC)
Tenemos que el modelamiento matemático de la resistencia es:
𝑣(𝑡) = 𝑅 ∗ 𝑖(𝑡)
Para el condensador o capacitancia, tenemos que su modelamiento matemático
es:
Sustituyendo
Reemplazando los valores:
Multiplicar los números: 0.1 y 1
0.1 ∗ 1 = 0.1
Sumamos los números y convertimos el producto a una forma decimal.
2- Exprese el modelo matemático del sistema no lineal en el espacio de estados
mediante
Variables de estados.
Condensador:
Resistencia:
Modelo matemático: