Estadística Actuarial I
Prácticas de
Simulación con Excel
Enunciados de las prácticas
y guía para su realización
ESTADÍSTICA ACTUARIAL I
PRÁCTICAS DE SIMULACIÓN
Introducción
Este documento contiene los enunciados de las prácticas a resolver por
los alumnos de la asignatura ESTADÍSTICA ACTUARIAL I de la LICENCIATURA EN CC. ACTUARIALES Y FINANCIERAS.
El formato de presentación será Excel, en concreto en un único libro que
contendrá una única hoja para cada uno de los problemas que se hayan resuelto.
El nombre de fichero Excel será:
apellido1_apellido2_nombre_EA1.xls
sin acentos ni mayúsculas, por ejemplo:
gomez_perez_macarena_EA1.xls
cada hoja se nombrará como P# siendo # el nº del problema que se resuelve
en dicha hoja.
el enunciado concreto del problema dependerá del nº del DNI del alumno.
Los enunciados que hay que resolver aparecen en la tabla siguiente:
Enunciados Carácter
Del nº 1 al nº 10 (ambos incluidos) Obligatorio
Del nº 11 al nº 17 (ambos incluidos) Hay que elegir 5
Nº 18 Los que opten a Matricula de Honor
De manera que, quien presente las prácticas completas, deberá haber
presentado 15 problemas (o 16 si opta a MH).
El fichero que contenga las prácticas se entregara en un CD-ROM rotulado con el nombre y DNI del alumno a la entrega del examen, el día en
que se haga éste.
LICENCIATURA EN CC. ACTUARIALES Y FINANCIERAS
2
ESTADÍSTICA ACTUARIAL I
PRÁCTICAS DE SIMULACIÓN
1) Generar una muestra de tamaño n=1000 de la distribución enunciada. Obtener la
función de probabilidad, la función de distribución, el histograma de ambas, y
comparar las frecuencias observadas (empíricas) con las que cabría esperar (teóricas).
Caso a resolver
Uniforme discreta U[1;6]
Poisson (media=2)
Poisson (tasa=1 cada 12 minutos)
Binomial (n=12; p=0,35)
Binomial negativa (r=2, p=1/12)
Poisson (media=12)
DNI acabado en
0,1
2,3
4,5
6,7
8,9
Modelo
Guía:
Excel cuenta con una función para la distribución y densidad de Poisson,
cuenta también con la posibilidad de obtener muestras aleatorias así distribuidas (Herramientas + Análisis de Datos + Generación de números aleatorios).
En cualquier caso es posible obtener números que se distribuyan según
una Poisson aleatorios utilizando la fórmula siguiente:
BINOM.CRIT(λ/0,001;0,001;ALEATORIO())
Utilizaremos la primera opción llamando
al módulo de Análisis de Datos
LICENCIATURA EN CC. ACTUARIALES Y FINANCIERAS
3
ESTADÍSTICA ACTUARIAL I
PRÁCTICAS DE SIMULACIÓN
Una vez obtenidos los números aleatorios (que hemos
colocado en la columna A) procedemos al análisis de la muestra
usando la función Frecuencia. Antes creamos la columna X,
que recogerá los posibles valores de la variable: empezamos en
0 y arrastramos creando una serie hasta un número suficiente
de valores, por ejemplo 3 sigmas a la derecha de la media, es
decir
12 + (3·120,5)≈20
LICENCIATURA EN CC. ACTUARIALES Y FINANCIERAS
4
ESTADÍSTICA ACTUARIAL I
PRÁCTICAS DE SIMULACIÓN
Creamos también la columna N, en
la que pondremos el resultado de usar
Frecuencia, para que recoja la frecuencia
absoluta de los datos
A continuación creamos una nueva columna (f) para
recoger las frecuencias relativas, lo que haremos dividiendo
las absolutas entre el número total de observaciones que
habremos calculado en un celda aparte sumando las
frecuencias relativas.
Con estos datos ya podemos crear los gráficos de la
muestra.
140
N
120
100
80
60
40
20
LICENCIATURA EN CC. ACTUARIALES Y FINANCIERAS
20
19
18
17
16
15
14
13
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
0
5
ESTADÍSTICA ACTUARIAL I
PRÁCTICAS DE SIMULACIÓN
Falta compararlos con las frecuencias teóricas. Para saberlas usamos la
función que tiene Excel relacionada con la probabilidad de una v.a. de Poisson:
Recordamos que la función de cuantía de la distribución Poisson(λ) es:
e −λ λ X
p
=
(x) x!
La función de distribución es:
λn
F
=e ∑
(x)
n = 0 n!
−λ
n= X
La función de Excel que nos da ambas es:
POISSON(x ; media ; acumulado)
•
•
•
x el valor que toma la variable;
media, el parámetro λ;
acumulado es un valor lógico que determina la forma de la función. Si el argumento acumulado es VERDADERO, devuelve la función de distribución; si es
FALSO, devuelve la función de masa de probabilidad.
LICENCIATURA EN CC. ACTUARIALES Y FINANCIERAS
6
ESTADÍSTICA ACTUARIAL I
PRÁCTICAS DE SIMULACIÓN
Para calcular las frecuencias absolutas multiplicamos las relativas por el
tamaño de la muestra.
El resultado final será parecido al siguiente:
X
N
0
0
0
1
1
2
1
3
9
4
5 16
6 30
7 36
8 76
9 115
10 94
11 87
12 110
13 120
14 88
15 60
16 59
17 39
18 20
19 14
20 9
16
f
0,000
0,000
0,001
0,001
0,009
0,016
0,030
0,037
0,077
0,117
0,096
0,088
0,112
0,122
0,089
0,061
0,060
0,040
0,020
0,014
0,009
0,016
f T eó N teór
0,0000
0
0,0001
0
0,0004
0
0,0018
2
0,0053
5
0,0127
13
0,0255
25
0,0437
43
0,0655
64
0,0874
86
0,1048 103
0,1144 113
0,1144 113
0,1056 104
0,0905
89
0,0724
71
0,0543
53
0,0383
38
0,0255
25
0,0161
16
0,0097
10
0,0000
140
Comparación
120
100
80
60
40
20
Si bien, debido a los diferentes números aleatorios generados en cada
ordenador, los resultados no serán nuca idénticos a los anteriores.
LICENCIATURA EN CC. ACTUARIALES Y FINANCIERAS
7
20
17
18
19
14
15
16
12
13
9
10
11
7
8
4
5
6
1
2
3
0
0
ESTADÍSTICA ACTUARIAL I
PRÁCTICAS DE SIMULACIÓN
2) Generar una muestra de tamaño n=1000 de la distribución enunciada. Obtener la
función de probabilidad, la función de distribución, el histograma de ambas, y
comparar las frecuencias observadas (empíricas) con las que cabría esperar (teóricas).
Caso a resolver
Uniforme continua U[-2;2]
Exponencial (media=12)
Exponencial (tasa=1 cada 12 minutos)
Beta (2,3)
Gamma (r=2, s=3)
Normal (μ=12; σ=2)
DNI acabado en
0,1
2,3
4,5
6,7
8,9
Modelo
Guía:
A diferencia del ejemplo anterior, aunque podríamos hacerlo también
puesto que el módulo de números aleatorios también tiene la distribución Normal, generaremos nosotros la muestra aleatoria usando la función inversa que
tiene Excel.
Así en la primera celda de la primera columna introduciremos la fórmula
correspondiente
y la iremos arrastrando hasta la fila 1000, para generar la muestra de ese tamaño.
Haremos como en el ejercicio anterior la distribución de frecuencias observadas en la muestra, para lo
cual crearemos la columna N de posibles valores:
μ ± 3σ
y utilizaremos la función Frecuencia para contar las frecuencias relativas
LICENCIATURA EN CC. ACTUARIALES Y FINANCIERAS
X
N
f
6,0
3 0,003
6,5
3 0,003
7,0
2 0,002
7,5
5 0,005
8,0 10 0,010
8,5
9 0,009
9,0 29 0,029
9,5 42 0,042
10,0 53 0,053
10,5 82 0,082
11,0 69 0,069
11,5 93 0,093
12,0 79 0,079
12,5 110 0,110
13,0 89 0,089
13,5 96 0,096
14,0 64 0,064
14,5 52 0,052
15,0 39 0,039
15,5 31 0,031
16,0 14 0,014
16,5 12 0,012
17,0 8 0,008
17,5 2 0,002
18,0 3 0,003
18,5 1 0,001
19,0 0 0,000
19,5 0 0,000
20,0 0 0,000
8
ESTADÍSTICA ACTUARIAL I
PRÁCTICAS DE SIMULACIÓN
Para obtener la distribución de las frecuencias teóricas, utilizaremos la
función DISTR.NORM que tiene Excel:
Sin embargo, a diferencia de como haríamos en el caso de las
discretas calculamos primero la función de distribución (Acumulado=TRUE)
para estimar la función de densidad a partir de los valores de esta:
LICENCIATURA EN CC. ACTUARIALES Y FINANCIERAS
9
ESTADÍSTICA ACTUARIAL I
PRÁCTICAS DE SIMULACIÓN
Una vez hecho esto tendremos tanto la distribución empíricas como la
teórica:
1000
X
N
f
6,0
3 0,003
6,5
3 0,003
7,0
2 0,002
7,5
5 0,005
8,0 10 0,010
8,5
9 0,009
9,0 29 0,029
9,5 42 0,042
10,0 53 0,053
10,5 82 0,082
11,0 69 0,069
11,5 93 0,093
12,0 79 0,079
12,5 110 0,110
13,0 89 0,089
13,5 96 0,096
14,0 64 0,064
14,5 52 0,052
15,0 39 0,039
15,5 31 0,031
16,0 14 0,014
16,5 12 0,012
17,0 8 0,008
17,5 2 0,002
18,0 3 0,003
18,5 1 0,001
19,0 0 0,000
19,5 0 0,000
20,0 0 0,000
1000,0
F
0,0013
0,0030
0,0062
0,0122
0,0228
0,0401
0,0668
0,1056
0,1587
0,2266
0,3085
0,4013
0,5000
0,5987
0,6915
0,7734
0,8413
0,8944
0,9332
0,9599
0,9772
0,9878
0,9938
0,9970
0,9987
0,9994
0,9998
0,9999
1,0000
f
N(Teó)
0,0013
1,3
0,0016
1,6
0,0032
3,2
0,0060
6,0
0,0105
10,5
0,0173
17,3
0,0267
26,7
0,0388
38,8
0,0530
53,0
0,0680
68,0
0,0819
81,9
0,0928
92,8
0,0987
98,7
0,0987
98,7
0,0928
92,8
0,0819
81,9
0,0680
68,0
0,0530
53,0
0,0388
38,8
0,0267
26,7
0,0173
17,3
0,0105
10,5
0,0060
6,0
0,0032
3,2
0,0016
1,6
0,0008
0,8
0,0003
0,3
0,0001
0,1
0,0001
0,1
con lo cual ya podremos hacer la comparación gráfica de una y otras, tanto en
frecuencias absolutas:
LICENCIATURA EN CC. ACTUARIALES Y FINANCIERAS
10
ESTADÍSTICA ACTUARIAL I
PRÁCTICAS DE SIMULACIÓN
como en frecuencias relativas:
o en las Funciones de distribución sin más que añadir una nueva columna, F, a
las frecuencias empríricas que recoja las sumas de éstas:
1,000
0,900
0,800
0,700
0,600
0,500
0,400
0,300
0,200
0,100
LICENCIATURA EN CC. ACTUARIALES Y FINANCIERAS
20
19
18
17
16
15
14
13
12
11
9
10
0,000
8
f
N(Teó)
0,0013
1,3
0,0016
1,6
0,0032
3,2
0,0060
6,0
0,0105
10,5
0,0173
17,3
0,0267
26,7
0,0388
38,8
0,0530
53,0
0,0680
68,0
0,0819
81,9
0,0928
92,8
0,0987
98,7
0,0987
98,7
0,0928
92,8
0,0819
81,9
0,0680
68,0
0,0530
53,0
0,0388
38,8
0,0267
26,7
0,0173
17,3
0,0105
10,5
0,0060
6,0
0,0032
3,2
0,0016
1,6
0,0008
0,8
0,0003
0,3
0,0001
0,1
0,0001
0,1
7
X
N
f
F
F
6,0
1 0,001 0,001 0,0013
6,5
1 0,001 0,002 0,0030
7,0
4 0,004 0,006 0,0062
7,5
2 0,002 0,008 0,0122
8,0 12 0,012 0,020 0,0228
8,5 20 0,020 0,040 0,0401
9,0 24 0,024 0,064 0,0668
9,5 42 0,042 0,106 0,1056
10,0 55 0,055 0,161 0,1587
10,5 65 0,065 0,226 0,2266
11,0 85 0,085 0,311 0,3085
11,5 94 0,094 0,405 0,4013
12,0 94 0,094 0,499 0,5000
12,5 107 0,107 0,606 0,5987
13,0 88 0,088 0,694 0,6915
13,5 82 0,082 0,776 0,7734
14,0 57 0,057 0,833 0,8413
14,5 56 0,056 0,889 0,8944
15,0 42 0,042 0,931 0,9332
15,5 30 0,030 0,961 0,9599
16,0 24 0,024 0,985 0,9772
16,5 7 0,007 0,992 0,9878
17,0 3 0,003 0,995 0,9938
17,5 3 0,003 0,998 0,9970
18,0 1 0,001 0,999 0,9987
18,5 0 0,000 0,999 0,9994
19,0 0 0,000 0,999 0,9998
19,5 1 0,001 1,000 0,9999
20,0 0 0,000 1,000 1,0000
0
1000,0
6
1000
11
ESTADÍSTICA ACTUARIAL I
PRÁCTICAS DE SIMULACIÓN
3) Sea X una variable aleatoria definida de la forma siguiente
⎧ X1 ≈ Poisson (λ1 )
⎪
X = X1 + X 2 + X 3 ⇒ ⎨X 2 ≈ Poisson (λ 2 )
⎪ X ≈ Poisson (λ )
3
⎩ 3
a) Generar 1000 valores de X.
b) Ajustar a Poisson y comparar ambas distribuciones empírica y ajustada de
forma gráfica.
c) Comparar la ajustada con la que se deduce de la propiedad aditiva de Poisson.
Caso a resolver
DNI acabado en
λ1
λ2
λ3
nº par
12
15
21
nº impar
6
9
7
modelo
2
3
4
Guía
Recordamos lo siguiente sobre la Poisson:
Generación.
Excel cuenta con una función para la distribución y densidad de Poisson, cuenta también con la posibilidad de obtener muestras aleatorias así distribuidas (Herramientas +
Análisis de Datos + Generación de números aleatorios). En cualquier caso es posible
obtener números aleatorios que se distribuyan según una Poisson de parámetro λ, utilizando la fórmula siguiente:
BINOM.CRIT(λ/0,001;0,001;ALEATORIO())
Caracterización.
El parámetro λ puede ser estimado fácilmente de la forma siguiente:
ˆ=x
λ
(n)
Simulamos las 3 variables usando la
fórmula anterior
Tabulamos X desde 0 hasta 20 y calculamos las
frecuencias empíricas F con la función Frecuencia:
Calculamos la función de probabilidad estimada de X
Emp dividiendo la frecuencia de cada valor por el
numero total de observaciones.
Calculamos primero la media de los datos y
calculamos después las frecuencias teóricas de
X usando la función Poisson :
LICENCIATURA EN CC. ACTUARIALES Y FINANCIERAS
12
ESTADÍSTICA ACTUARIAL I
PRÁCTICAS DE SIMULACIÓN
Finalmente tenemos todos los datos necesarios para poder representar ambas
funciones
X
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
F
0
1
2
20
43
66
81
117
127
119
125
97
73
45
31
24
11
7
6
3
1
1
1000
Emp
0,000
0,001
0,002
0,020
0,043
0,066
0,081
0,117
0,127
0,119
0,125
0,097
0,073
0,045
0,031
0,024
0,011
0,007
0,006
0,003
0,001
Teo Teo
0,000
0
0,001
1
0,005
5
0,015 15
0,033 33
0,060 60
0,090 90
0,116 116
0,131 131
0,132 132
0,119 119
0,098 98
0,074 74
0,051 51
0,033 33
0,020 20
0,011 11
0,006
6
0,003
3
0,001
1
0,001
1
Con lo que ya podemos obtener los gráficos correspondientes:
140
Emp
Teo
120
100
80
60
40
20
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
0
LICENCIATURA EN CC. ACTUARIALES Y FINANCIERAS
13
ESTADÍSTICA ACTUARIAL I
PRÁCTICAS DE SIMULACIÓN
4) Sea X una variable aleatoria definida de la forma siguiente
⎧a = 5
⎪
Y = ( a ⋅ X1 ) ⇒ ⎨
⎪X
⎩ 1 Exponencial ( media = 4 )
Caso a resolver
DNI acabado en
a
nº par
12
nº impar
6
modelo
5
Media
2
6
4
a) Generar 1000 valores de Y.
b) Ajustar a Exponencial y comparar de forma gráfica los resultados obtenidos en la simulación con los teóricos.
Generación.
Excel no cuenta con una función para la inversa de la función de distribución,
sin embargo, la generación de variables aleatorias puede hacerse utilizando la
fórmula siguiente:
Media* -LN(ALEATORIO())
Media
a
X
0,00
2,00
4,00
6,00
8,00
10,00
12,00
14,00
16,00
18,00
20,00
22,00
24,00
26,00
28,00
30,00
32,00
34,00
36,00
4
5
N
0
97
95
83
67
68
47
49
60
45
30
29
32
25
22
26
26
15
14
170
830
Media*a
20
f2
0,117
0,114
0,100
0,081
0,082
0,057
0,059
0,072
0,054
0,036
0,035
0,039
0,030
0,027
0,031
0,031
0,018
0,017
f1
0
0,045
0,041
0,037
0,034
0,030
0,027
0,025
0,022
0,020
0,018
0,017
0,015
0,014
0,012
0,011
0,010
0,009
0,008
0,114
0,103
0,093
0,084
0,076
0,069
0,063
0,057
0,051
0,046
0,042
0,038
0,034
0,031
0,028
0,025
0,023
0,021
1
0,397
1
f
Definimos los nombres Media y a y empleamos la fórmula para generar los valores
de Y
LICENCIATURA EN CC. ACTUARIALES Y FINANCIERAS
14
ESTADÍSTICA ACTUARIAL I
PRÁCTICAS DE SIMULACIÓN
Generamos la tabla de frecuencias empíricas relativas (f) y de frecuencias teóricas
(f1) usando FRECUENCIA, DISTR.EXP teniendo en cuenta que:
Si X ≅ Exp(λ) → aX ≅ Exp(λ·a)
será necesario ajustar f1, dividiendo por su suma para “pasar de discreto a continuo”
así la probabilidad teórica que usamos para la comparación es f2
f2 ( X ) =
f1 ( X )
∑ f (X)
1
Finalmente utilizamos gráficos de dispersión para dibujar las frecuencias teóricas y
empíricas.
El resultado será parecido al siguiente:
0,06
0,04
0,02
0,00
LICENCIATURA EN CC. ACTUARIALES Y FINANCIERAS
40
1
0,08
35
0,397
0,10
30
1
f
25
0,114
0,103
0,093
0,084
0,076
0,069
0,063
0,057
0,051
0,046
0,042
0,038
0,034
0,031
0,028
0,025
0,023
0,021
f2
0,12
20
f2
0,096
0,093
0,106
0,078
0,081
0,066
0,087
0,058
0,050
0,050
0,030
0,038
0,038
0,031
0,024
0,031
0,023
0,023
f1
0
0,045
0,041
0,037
0,034
0,030
0,027
0,025
0,022
0,020
0,018
0,017
0,015
0,014
0,012
0,011
0,010
0,009
0,008
f
15
20
10
Media*a
5
4
5
N
0
81
78
89
66
68
56
73
49
42
42
25
32
32
26
20
26
19
19
157
843
0
Media
a
X
0,00
2,00
4,00
6,00
8,00
10,00
12,00
14,00
16,00
18,00
20,00
22,00
24,00
26,00
28,00
30,00
32,00
34,00
36,00
15
ESTADÍSTICA ACTUARIAL I
PRÁCTICAS DE SIMULACIÓN
5) Sea X una variable aleatoria definida de la forma siguiente
⎧ Y ≈ Exponencia l (m1 )
X = min {Y1 ; Y2 } ⇒ ⎨ 1
⎩ Y2 ≈ Exponencia l (m2 )
DNI acabado en
nº par
nº impar
modelo
m2
2
6
4
m1
12
6
5
a) Generar 1000 valores de Y.
b) Ajustar a Exponencial y comparar de forma gráfica los resultados obtenidos en
la simulación con los teóricos.
Definimos los nombres Media1 y Media2
empleamos la fórmula para generar los
lores de Y usando la función MIN
X
0,0
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
3,0
3,5
4,0
4,5
5,0
5,5
6,0
6,5
7,0
7,5
8,0
8,5
9,0
N
0
236
156
153
108
83
90
54
47
35
23
20
15
18
13
14
11
4
6
14
1086
f
0,217
0,144
0,141
0,099
0,076
0,083
0,050
0,043
0,032
0,021
0,018
0,014
0,017
0,012
0,013
0,010
0,004
0,006
f1
0,000
0,450
0,359
0,287
0,229
0,183
0,146
0,117
0,093
0,074
0,059
0,047
0,038
0,030
0,024
0,019
0,015
0,012
0,010
f2
0,205
0,164
0,131
0,104
0,083
0,067
0,053
0,042
0,034
0,027
0,022
0,017
0,014
0,011
0,009
0,007
0,006
0,004
1
2,19
1
y
va-
Generamos la tabla de frecuencias empíricas relativas
(f) y de frecuencias teóricas (f1) usando FRECUENCIA,
DISTR.EXP y teniendo en cuenta que
Y1
Y2
Exp ( λ1 ) ⎫
⎪
⎬
Exp ( λ 2 ) ⎪⎭
⎛
⎞
⎜
⎟
1
⎟
Exp ⎜
⎜ 1 + 1 ⎟
⎜
⎟
⎝ λ1 λ 2 ⎠
min {Y1 , Y2 }
0,25
f2
f
0,20
0,15
Al compensar f1, igual que en el 0,10
ejercicio anterior, obtendremos las dos
frecuencias a comparar, las que hemos
0,05
llamado f2 y f.
LICENCIATURA EN CC. ACTUARIALES Y FINANCIERAS
16
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
0,00
ESTADÍSTICA ACTUARIAL I
PRÁCTICAS DE SIMULACIÓN
6) Sea X una variable aleatoria definida de la forma siguiente
⎧ Y ≈ Gamma (5;1)
Y = (Y1 + Y2 ) ⇔ ⎨ 1
⎩ Y2 ≈ Gamma (4 ;1)
a) Generar 1000 valores de Y.
b) Ajustar a Gamma y comparar de forma gráfica los resultados obtenidos en la
simulación con los teóricos.
Generación.
Excel cuenta con una función para la inversa de la función de distribución Gamma, la
generación de variables aleatorias puede hacerse utilizando la fórmula siguiente:
DISTR.GAMMA.INV(ALEATORIO();r,β)
Definimos los parámetros del problema
r1+r2
r1
r2
Lambda
9
4
5
1
Generamos los valores de
Y1 e Y2 y los sumamos
para obtener Y
Construimos la tabla de frecuencias como en los anteriores
teniendo en cuenta que :
Y1 ≈ Gamma (r1 ;1)⎫
⎬ ⇒ (Y1 + Y2 ) ≈ Gamma (r1 + r2 ;1)
Y2 ≈ Gamma r2 ;1 ⎭
( )
LICENCIATURA EN CC. ACTUARIALES Y FINANCIERAS
X
0,0
1,0
2,0
3,0
4,0
5,0
6,0
7,0
8,0
9,0
10,0
11,0
12,0
13,0
14,0
15,0
16,0
17,0
18,0
N
0
0
0
2
17
52
95
129
121
138
137
86
83
47
34
22
16
10
6
5
995
f
0,000
0,000
0,002
0,017
0,052
0,095
0,130
0,122
0,139
0,138
0,086
0,083
0,047
0,034
0,022
0,016
0,010
0,006
f1
0,000
0,000
0,000
0,001
0,008
0,030
0,065
0,103
0,130
0,140
0,132
0,113
0,089
0,066
0,046
0,030
0,019
0,012
0,007
0,000
0,000
0,001
0,008
0,030
0,066
0,104
0,132
0,141
0,133
0,114
0,090
0,066
0,046
0,031
0,020
0,012
0,007
1
0,99
1
17
f2
ESTADÍSTICA ACTUARIAL I
PRÁCTICAS DE SIMULACIÓN
Para calcular la frecuencia teórica usamos la función DISTR.GAMMA
Como en los problemas anteriores es necesario normalizar f1, calculada como
f2 ( X ) =
f1 ( X )
∑ f (X)
1
Finalmente realizamos el gráfico de dispersión de ambas frecuencias
0,16
f2
f
0,14
0,12
0,10
0,08
0,06
0,04
0,02
LICENCIATURA EN CC. ACTUARIALES Y FINANCIERAS
20
18
16
14
12
10
8
6
4
2
0
0,00
18
ESTADÍSTICA ACTUARIAL I
PRÁCTICAS DE SIMULACIÓN
7) Se tienen 2 urnas A={5r,3b,8a} y B={3r,5b}. Se lanza un dado, si sale un 2 o un
6 se elige la urna B, en caso contrario la A.
a) ¿Qué probabilidad hay de elegir una bola roja?.
b) Simular 100 veces, estimar P(roja) y comparar con los resultados teóricos.
Guía:
Este problema fue resuelto en clase
Por comodidad crearemos una variable
U=Aleatorio() en Nombre> Definir para
usarla en los cálculos posteriores
Para calcular el resultado podemos usar SI anidados
Una vez hechas las réplicas sólo queda contar y dividir:
Roja
Total
Probabilidad
148
500
0,30
LICENCIATURA EN CC. ACTUARIALES Y FINANCIERAS
"=SUMA(A:A)"
"=CONTAR(A:A)"
19
ESTADÍSTICA ACTUARIAL I
PRÁCTICAS DE SIMULACIÓN
8) Sea el siguiente juego: el jugador elige un número del conjunto {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
Se lanza tres veces un dado equilibrado. Si el número elegido aparece 1, 2 o 3 veces entonces gana 200€, 300€ o 400€ . Si su número no sale pierde 100€. Resolver primero en teórico después simular y comparar los resultados.
a) Calcular la distribución de la ganancia
b) Calcular la ganancia media.
c) Calcular la varianza de la ganancia.
Guía:
La variable X= nº de veces que sale nuestro número, es B(n=3;p=1/6). Calculamos
la función de cuantía usando:
a partir de ella calculamos la ganancia G(x) y
la ganancia al cuadrado G(x)2 para calcular la
media y la varianza:
X
0
1
2
3
P(x)
0,5787
0,3472
0,0694
0,0046
G(x)
-100
200
300
400
G(x)2
10000
40000
90000
160000
para la media usaremos la función
Sumaproducto:
para la varianza hacemos los cálculos
teniendo en cuenta que
V(X)=E(X2)-[E(X)]2
LICENCIATURA EN CC. ACTUARIALES Y FINANCIERAS
20
ESTADÍSTICA ACTUARIAL I
PRÁCTICAS DE SIMULACIÓN
Simulamos los dados mediante:
Una forma rápida de hacer el cálculo del
beneficio es media fórmulas matriciales:
y usando la función Indice le asignamos
el beneficio calculado anteriormente
Como alternativa a la fórmula matricial podemos usar SI anidados
Si suponemos que el número elegido es el 1, el resultado final debe ser parecido a
este:
Media
Teórica
Estimada
34,26
40,30
Varianza
Teórica
Estimada
25492,97
26372,28
aunque, debido a los diferentes número aleatorios generados, los resultados no serán
exactamente los mismos.
LICENCIATURA EN CC. ACTUARIALES Y FINANCIERAS
21
ESTADÍSTICA ACTUARIAL I
PRÁCTICAS DE SIMULACIÓN
9) Una acción tiene un precio inicial de 100€. Cada día su cotización puede subir 1€
o bajar esa misma cantidad. La probabilidad de subir es del 35%.
a) Calcular la distribución de su precio al cabo de 31 días.
b) Comparar el resultado de la simulación con el teórico, de forma gráfica y
por la comparación de la media y la varianza observada y teórica.
Guía
•
Hay al menos dos formas distintas de abordar el problema: se
puede simular cada uno de los 31 dias, usando Aleatorio() y
comparando con 0,35, o se puede considerar que el número de
subidas durante 31 días es una v.a. binomial B(n=31 , p=0,35).
• El precio final será 100+x-(31-x)=69+2x, siendo x la realización
de la v.a. binomial o la suma de la Bernouilli individuales.
El resultado gráfico, análogo al explicado en el problema 1, podría ser
de la forma siguiente:
250
200
150
100
50
69
71
73
75
77
79
81
83
85
87
89
91
93
95
97
99
101
103
105
107
109
111
113
0
Para comparar la media y varianza observada con las teóricas recordamos que la
media y varianza de una binomial B(n,p) son (respectivamente):
E (x) = n ⋅ p
;
Var ( x ) = n ⋅ p ⋅ (1 − p)
también que:
E ( ax + b ) = a ⋅ E ( x ) + b
;
Var ( ax + b ) = a2 ⋅ Var ( x )
LICENCIATURA EN CC. ACTUARIALES Y FINANCIERAS
22
ESTADÍSTICA ACTUARIAL I
PRÁCTICAS DE SIMULACIÓN
10)Una compañía de seguros tiene una cartera con tres tipos de pólizas A, B y C. Cada una de ellas tiene una reclamación media diferente aunque las tres siguen una
distribución uniforme U[a,b]. Los datos de los parámetros y del número de clientes
en cada tipo de póliza se dan en la tabla siguiente:
Póliza
A
B
C
5
10
a 1
15
15
20
b
Clientes 200 500 300
a) Calcular la distribución de la reclamación total.
b) Comparar el resultado de la simulación con el teórico.
Guía
Este problema se puede abordar de varias formas. En primer lugar se puede
intentar simular cada una de las reclamaciones individuales y sumar los importes para calcular la reclamación total, para ello necesitaríamos 1000 columnas que habría que sumar, lo cual no es práctico.
Se recomienda, bien usar una combinación de las funciones FILA e INDIRECTO que, junto con SUMA y SI, al ser combinadas en una fórmula matricial en
la forma siguiente:
=SUMA(SI(FILA(INDIRECTO("1:200"));ALEATORIO()*15;0))
proporcionan, en una única operación, tantos sumandos “uniformes” como
indique el rango de INDIRECTO (200 en el ejemplo); bien usar una aproximación basada en TCL.
LICENCIATURA EN CC. ACTUARIALES Y FINANCIERAS
23
ESTADÍSTICA ACTUARIAL I
PRÁCTICAS DE SIMULACIÓN
11)Un comerciante vende calendarios. Cada calendario se compra a 1,2€ y se vende
a un precio de 2,4€. Por cada calendario comprado pero no vendido se recupera
un importe de 0,6€. La demanda diaria de calendarios sigue una distribución uniforme entre 100 y 300.
a) Calcular el pedido óptimo de calendarios que debe hacer el comerciante.
b) Una vez determinado éste, calcular la distribución, la media y la varianza
del beneficio obtenido.
Guía
Calcular el Beneficio (B) en función de lo demandado y lo fabricado
⎧⎪Si pedido > demandado → B = (NO Vendido * PDev ) + ( Vendido * PVen )
⎨
⎪⎩Si pedido ≤ demandado → B = ( Vendido * PVen )
siempre
B = B − ( pedido * PCom )
A continuación ponderar B para cada posible demanda y estimar el beneficio
para cada cifra de pedido
LICENCIATURA EN CC. ACTUARIALES Y FINANCIERAS
24
ESTADÍSTICA ACTUARIAL I
PRÁCTICAS DE SIMULACIÓN
12) (Hossack) Un periódico publica la noticia de que los hombres tienen una propensión a sufrir accidentes de tráfico que resulta ser el doble de la que tienen las
mujeres. Intentando demostrar la falsedad de tal afirmación un marido pacta con
su mujer el siguiente juego: “Durante los próximos diez años llevaremos cuenta
de los accidentes de tráfico que tengamos cada uno, al final de ese período te pagaré 1000€ por cada accidente que yo haya tenido más que vosotras dos (refiriéndose a ella y a la hija de ambos)”.
Supóngase que los datos que ofreció el periódico fueron los siguientes:
•
•
Accidentes de hombres
Accidentes de mujeres
≈ Poisson de media 1 cada 10 años,
≈ Poisson de media 1 cada 20 años
(Como ocurre en la más cruda realidad, el marido sólo paga, no recibe dinero en
caso de que las mujeres tengan más accidentes que él).
a) ¿Cómo es la distribución del pago esperado del marido?.
b) ¿Cuál será el pago medio?.
c) Resolver el problema teóricamente y comparar los resultados teóricos y los obtenidos mediante simulación.
Guía:
Para resolver el apartado c) téngase en cuenta que:
Y1 ≈ Poisson (λ1 )⎫
⎬ ⇒ (Y1 + Y2 ) ≈ Poisson (λ1 + λ 2 )
Y2 ≈ Poisson λ 2 ⎭
( )
y que es lógico suponer que ambos accidentes los del marido y los de ambas mujeres
son independientes de manera que la distribución conjunta será:
f ( AcMar , AcMuj )
⎧
⎧0 ≤ AcMar ≤ 7
⎪Poisson ( λ1 ) ⋅ Poisson ( λ 2 ) ⎨
=⎨
⎩ 0 ≤ AcMuj ≤ 7
⎪
0
resto
⎩
a partir de lo anterior es posible determinar la función de probabilidad de la variable
pedida:
Y = 1000 ⋅ max ( 0; AcMar − AcMuj )
LICENCIATURA EN CC. ACTUARIALES Y FINANCIERAS
25
ESTADÍSTICA ACTUARIAL I
PRÁCTICAS DE SIMULACIÓN
Para los apartados a) y b) basta con simular un número suficiente de veces:
para el apartado c) se puede crear la distribución conjunta de frecuencias de ambas
variables y calcular la distribución de la diferencia
LICENCIATURA EN CC. ACTUARIALES Y FINANCIERAS
26
ESTADÍSTICA ACTUARIAL I
PRÁCTICAS DE SIMULACIÓN
13)El número mensual de reclamaciones de un determinado grupo de pólizas sigue
una distribución Poisson de parámetro 4; a su vez, cada una de esas posibles reclamaciones tiene un importe que se distribuye según una exponencial de parámetro (media) igual a 12.
a) Calcular la distribución del total de reclamaciones mensuales.
b) Calcular el resultado teórico y comparar
140
120
100
El resultado a) debería ser
parecido a este:
80
60
40
20
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
110
120
130
140
150
160
170
180
190
200
0
1,0
0,9
El resultado b) debería ser parecido
a este:
0,8
0,7
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
110
120
130
140
150
160
170
180
190
200
0,0
LICENCIATURA EN CC. ACTUARIALES Y FINANCIERAS
27
ESTADÍSTICA ACTUARIAL I
PRÁCTICAS DE SIMULACIÓN
Guía:
para el apartado a)
•
•
•
Simular primero la Poisson,
En columnas siguientes un número suficiente de exponenciales.
Usar la función de Excel DESREF junto con SUMA para calcular la suma mensual de las exponenciales dadas por la Poisson.
para el apartado b)
Por la teoría sabemos que la suma de exponenciales es una distribución Gamma.
(Rec Mensual | Λ = s ) ≈ Gamma(s , λ )
y
Λ ≈ Poisson(υ)
El número de sumandos que integran la Gamma es el resultado de una Poisson, de
manera que habrá que:
1) Calcular la densidad de la Gamma para un rango razonable del importe de las
reclamaciones, para cada una de los posibles valores del parámetro s:
s ≈ Poisson (4).
2) Ponderar estos valores por los de la función de cuantía de la Poisson.
3) Agregarlos todos para obtener la función de distribución de la reclamación
mensual.
∞
∞
⎧ Y ≈ Poisson(λ1 )
F( Y ) = ∑ p(y1 ) ⋅ ∫ λ 2e − λ 2 y 2 dy 2 ⇐ ⎨ 1
i= 0
⎩ Y2 ≈ Poisson(λ 2 )
0
LICENCIATURA EN CC. ACTUARIALES Y FINANCIERAS
28
ESTADÍSTICA ACTUARIAL I
LICENCIATURA EN CC. ACTUARIALES Y FINANCIERAS
PRÁCTICAS DE SIMULACIÓN
29
ESTADÍSTICA ACTUARIAL I
PRÁCTICAS DE SIMULACIÓN
14) El número de reclamaciones de un determinado grupo de pólizas sigue una distribución Poisson (λ), donde λ es a su vez una variable aleatoria que se distribuye
según una Gamma (5 ; 2):
a) Calcular la distribución de la variable aleatoria “número de reclamaciones”.
b) Realizar el test de bondad del ajuste a una Binomial Negativa que se deduce
de los datos anteriores.
c) Realizar el test de bondad del ajuste a la Binomial Negativa teóricamente esperada.
Guía
Para realizar el apartado a):
•
•
Simular primero la gamma para obtener un valor.
Utilizar este valor para simula la Poisson.
Para realizar el apartado b):
•
•
Calcula media μ y varianza σ de la distribución simulada.
Calcular los parámetros de la BN(r,p) de la forma siguiente:
⎧
μ2
⎨r̂ =
μ − σ2
⎩
•
;
ˆ=
p
μ⎫
⎬
σ2 ⎭
Calcular la función de probabilidad usando la fórmula correspondiente1:
p (x) =
Γ (r + x )
Γ (r ) Γ ( x + 1)
pr (1 − p )
x
Para realizar el apartado c):
•
La teoría nos dice que:
Si,
(X Λ = λ ) ≈ Poisson(λ ) y Λ ≈ Gamma(r , α)
entonces :
⎛
1α ⎞
X ≈ BN⎜⎜ r ,
⎟⎟
⎝ 1 α +1⎠
1
Para calcular la función Gamma en Excel hay que usar dos funciones concatenadas EXP y GAM-
MA.LN de esta forma:
Γ ( x ) = EXP ( GAMMA.LN ( x ) ) ≡ e
Ln ⎣⎡Γ ( x ) ⎤⎦
ya que Excel no tiene una función Gamma pero si el logaritmo neperiano de ésta, por lo que hay
que “deshacerlo”.
LICENCIATURA EN CC. ACTUARIALES Y FINANCIERAS
30
ESTADÍSTICA ACTUARIAL I
PRÁCTICAS DE SIMULACIÓN
El resultado final debería ser parecido al siguiente (en el, por comodidad,
se han utilizado gráficas continuas para representar distribuciones de probabilidad
de variables aleatorias de carácter discreto):
90
Emp
Teo
Ajus
80
70
60
50
40
30
20
10
LICENCIATURA EN CC. ACTUARIALES Y FINANCIERAS
25
20
15
10
5
0
0
31
ESTADÍSTICA ACTUARIAL I
PRÁCTICAS DE SIMULACIÓN
15)Sea la siguiente cartera de pólizas de vehículos:
r
α
N
€
siendo:
•
•
•
•
•
•
≥25
≥25
<25
<25
Familiar Deportivo Familiar Deportivo
6,000
0,970
5826
1020
1,601
0,892
1281
1486
12,950
0,987
3570
1097
12,540
0,978
1622
1413
≥25 el asegurado tiene 25 años o más de edad,
<25 el asegurado tiene 24 años o menos edad,
Familiar, Deportivo tipo de vehículo,
(r,α) los parámetros de la distribución Binomial negativa que describe
la distribución del número de reclamaciones anuales que hace cada uno
de los asegurados,
N el número de pólizas suscritas, es decir el número de asegurados en
esas condiciones concretas,
€ la reclamación media por asegurado.
a) Estimar la distribución del monto total anual de las reclamaciones
LICENCIATURA EN CC. ACTUARIALES Y FINANCIERAS
32
ESTADÍSTICA ACTUARIAL I
PRÁCTICAS DE SIMULACIÓN
16)Una compañía de seguros tiene una cartera con 3 tipos de pólizas: La primera
cubre un máximo de 12.000€ y tiene una franquicia de 600€, es decir que los pagos P1 por reclamaciones de este tipo de póliza, D1, son de la forma siguiente:
⎧0
⎪
P1 = ⎨R1 − 600
⎪11.400
⎩
si
R 1 ≤ 600
si
600 < R 1 < 12.000
si
R1 ≥ 12.000
La segunda cubre un máximo de 11.250€ y paga las 2/3 partes del daño D2:
⎧ 3R 2
⎪ 4
⎪
P2 = ⎨
⎪11.250
⎪
⎩
si
R 2 < 15.000
si
R 2 ≥ 15.000
La tercera es de la forma siguiente:
⎧0
⎪
P3 = ⎨
⎪R
⎩ 3
si
R 3 < 500
si
R 3 ≥ 500
Por experiencia anterior se sabe que las distribuciones de los daños son de la forma siguiente:
⎧D1 ≅ Exp ( λ = 5000 )
⎪
⎨D2 ≅ Exp ( λ = 6000 )
⎪D ≅ Exp ( λ = 1000 )
⎩ 3
Se esperan 15 reclamaciones: 8 de D1, 4 de D2 y 3 de D3.
a) ¿A qué cantidad debe ascender la reserva de la compañía para que la probabilidad de que pueda hacer frente a la reclamación total sea del 80%?
Guía
Se trata de una aplicación típica del TCL, las v.a.s. de los pagos son modificaciones de una exponencial, de la media de ésta:
∞
E[x ] = ∫ x ⋅ λe −λx dx
0
podríamos deducir la media de cada una de ellas, por ejemplo la de P1 seria
∞
⎡⎛ 600
⎞ ⎛ 12000
⎞ ⎛
⎞⎤
E[P1 ] = 8 ⋅ ⎢⎜⎜ ∫ 0 ⋅ λe −λx dx ⎟⎟ + ⎜⎜ ∫ (x − 600 ) ⋅ λe −λx dx ⎟⎟ + ⎜⎜11.400 ∫ x ⋅ λe −λx dx ⎟⎟⎥
⎢⎣⎝ 0
12000
⎠ ⎝ 600
⎠ ⎝
⎠⎥⎦
Podríamos también deducir, con un mayor esfuerzo, la varianza y una vez
hechas las operaciones correspondientes, deducir la media y la varianza de la
normal a la que se aproxima - en virtud del TCL - la distribución del pago total.
LICENCIATURA EN CC. ACTUARIALES Y FINANCIERAS
33
ESTADÍSTICA ACTUARIAL I
PRÁCTICAS DE SIMULACIÓN
Aún así, la aproximación a la distribución Normal no sería demasiado buena: se
trata de una suma de pocas variables aleatorias y éstas son muy sesgadas. En estas situaciones el recurso a la simulación del pago es la mejor solución.
La simulación es muy sencilla, basta simular primero las exponenciales de las
reclamaciones iniciales (R1, R2 y R3) y a partir de éstas, aplicando los criterios de
pago de la compañía, calcular los pagos (P1, P2 y P3) que finalmente se harán.
Para responder a la pregunta sobre la reserva necesaria para afrontar los pagos bastará aplicar la función PERCENTIL sobre los datos simulados.
LICENCIATURA EN CC. ACTUARIALES Y FINANCIERAS
34
ESTADÍSTICA ACTUARIAL I
PRÁCTICAS DE SIMULACIÓN
17)Una empresa sabe que la demanda diaria en kilogramos del producto que fabrica
sigue una distribución Pareto(3,2) mientras que la oferta de ese mismo producto
se distribuye según una distribución Normal(3;0,5). Tiene un coste de 0,05€ por
kilo fabricado y no vendido y de 0,5€ por kilo demandado y no servido:
a) Calcular la distribución de la diferencia entre demanda (D) y oferta (O) es decir
de la variable D-O.
b) Calcular la distribución de las ganancias o pérdidas.
Guía:
Generación de Pareto:
La notación habitual es X∼Par(α,β), ambos parámetros son de escala. En la literatura aparecen descritos diversos métodos para generar v.a. de Pareto. En Excel es posible obtener v.a. a través de cualquiera de las fórmulas siguientes:
=β*((1/(1-ALEATORIO()))^(1/α))
=β*(ALEATORIO()^(-1/α))
Generación de Normal:
Excel cuenta con la función inversa de la distribución:
=DISTR.NORM.INV(ALEATORIO();μ;σ)
LICENCIATURA EN CC. ACTUARIALES Y FINANCIERAS
35
ESTADÍSTICA ACTUARIAL I
LICENCIATURA EN CC. ACTUARIALES Y FINANCIERAS
PRÁCTICAS DE SIMULACIÓN
36
ESTADÍSTICA ACTUARIAL I
PRÁCTICAS DE SIMULACIÓN
18)Una compañía de seguros de automóviles tiene un sistema bonus-malus, o de
descuento por buen conductor. Hay varios tramos de descuento para el pago anula de una póliza por la que se comienza pagando 250€:
1
2
3
4
5
6
7
0% 10% 20% 30% 40% 50% 60%
si durante un plazo de un año no se hace ninguna reclamación, se aumenta un
tramo de descuento al año siguiente, hasta el descuento máximo del 60% que se
alcanza al llegar al 7º tramo. Mientras que si, durante un plazo de un año, se hace
una única reclamación (o más de una) se vuelve al comienzo de la escala, es decir, al 0% de descuento del primer tramo.
Se está en proceso de decidir si cambiar o no este sistema por otro análogo. Este
nuevo sistema tendría sólo 4 tramos de descuento:
1
2
3
4
0% 20% 40% 60%
Pero, a diferencia del anterior, sólo se retrocede un puesto en la escala por reclamación, es decir si durante un año no hay reclamaciones se gana un 20% de descuento, si hay una reclamación se pierde un 20% de descuento. El descuento no
puede ser superior al 60% ni negativo. También sería diferente la prima que pasaría de 250€ a (250+75) €.
Se sabe que el número de accidentes que ocurren anualmente sigue una distribución de Poisson de parámetro 0,1 por año, mientras que la distribución del importe de las reclamaciones se distribuye de forma LogNormal(μ = 6,012 ; σ = 1,792).
También hay que tener en cuenta que las reclamaciones que no le interesan al
cliente no se realizan, por ejemplo en el primer sistema, un cliente que éste en el
tramo 4 (30%) perdería este descuento si hiciera una reclamación así que si el
daño que recibe es inferior a lo que pierde no le interesa reclamar.
Las pérdidas mínimas por sistema y tramo son las siguientes:
Tramo 1 2 3
4
5
6
7
Importe 25 50 75 100 125 150 150
Tramo 1
2
3
4
Importe 125 175 175 125
a) Decidir qué sistema es el mejor para la compañía, si la póliza está suscrita por
1000 clientes.
LICENCIATURA EN CC. ACTUARIALES Y FINANCIERAS
37
