SOLUCIONARI LLIBRE MATEMÀTIQUES CCSS 2NBATX

S O L U C I O N A R I
MATEMÀTIQUES
APLICADES A LES
CIÈNCIES SOCIALS
2
Autors del llibre de l’alumne
Àngela Jané
Jordi Besora
Josep M. Guiteras
Revisió tècnica
Laura Sanz
Esmeralda Sánchez
BARCELONA - MADRID - BUENOS AIRES - CARACAS
GUATEMALA - LISBOA - MÈXIC - NOVA YORK - PANAMÀ
SAN JUAN - SANTA FE DE BOGOTÀ - SANTIAGO - SÃO PAULO
AUCKLAND - HAMBURG - LONDRES - MILÀ - MONT-REAL
NOVA DELHI - PARÍS - SAN FRANCISCO - SYDNEY - SINGAPUR
SAINT LOUIS - TÒQUIO - TORONTO
Matemàtiques aplicades a les ciències socials 2 · Batxillerat · Solucionari
No és permesa la reproducció total o parcial d’aquest llibre, ni el seu tractament informàtic, ni
la transmissió de cap forma o per qualsevol mitjà, ja sigui electrònic, mecànic, per fotocòpia,
per registre o d’altres mitjans. Adreceu-vos a CEDRO (Centro Español de Derechos Reprográficos,
www.cedro.org) si necessiteu fotocopiar o escanejar algun fragment d’aquesta obra.
Drets reservats
© 2009, respecte a la primera edició en català per:
McGraw-Hill/Interamericana de España, S.A.U.
Edificio Valrealty, 1a planta
Basauri, 17
28023 Aravaca (Madrid)
ISBN: 978-84-481-7007-3
Dipòsit legal: ????
Editora del projecte: Alícia Almonacid
Tècnic editorial: Conrad Agustí
Disseny de coberta: Quim Team! i Axioma Comunicació
Disseny d’interiors: Quin Team!
Il.lustracions: Jordi Soto
IMPRÈS A ESPANYA - PRINTED IN SPAIN
ÍNDEX
Unitat 0. Comencem
Activitats finals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
Unitat 6. Problemes de programació lineal
9
Bloc 1. Matrius i sistemes
Unitat 1. Matrius
Activitats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
Activitats finals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
Avaluació . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
Unitat 2. Determinants
Activitats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
60
Activitats finals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
62
Avaluació . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
65
Bloc 3. Funcions
Unitat 7. Límits i continuïtat de funcions
Activitats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
68
Activitats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20
Activitats finals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
71
Activitats finals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22
Avaluació . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
76
Avaluació . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24
Unitat 8. Derivades
Unitat 3. Sistemes d’equacions lineals
Activitats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
25
Activitats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
77
Activitats finals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29
Activitats finals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
87
Avaluació . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
Avaluació . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
92
Bloc 2. Programació lineal
Unitat 9. Funcions contínues i derivades
Unitat 4. Sistemes d’inequacions lineals
Activitats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
93
Activitats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
Activitats finals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
95
Activitats finals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
40
Avaluació . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
97
Avaluació . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
46
Unitat 10. Aplicacions de la derivada
Unitat 5. La funció objectiu
Activitats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
99
Activitats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
49
Activitats finals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
54
Activitats finals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
Avaluació . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
57
Avaluació . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
GUIES DIDÀCTIQUES INTERACTIVES MCGRAW-HILL
4
j Guies didàctiques interactives McGraw-Hill
A fi de facilitar-vos la tasca docent, hem complementat l’oferta del nostre llibre de Matemàtiques aplicades
a les ciències socials 2 amb una guia didàctica interactiva, que estem convençuts que us serà de gran ajut.
A continuació us en presentem els trets principals, tot i que, sens dubte, serà a mesura que l’aneu fent
servir que en descobrireu totes les potencialitats. A més, incorpora una adreça de correu electrònic, on ens
podeu fer arribar les vostres observacions i suggeriments.
Com veureu, és fàcil de fer anar, molt visual i intuïtiva, i no requereix cap mena d’instal.lació prèvia.
McGraw-Hill, avui, com sempre, qualitat al servei de l’educador.
Menú amb les accions
disponibles per als professors
Continguts addicionals
• Laboratoris Wiris
• Activitats resoltes
• Matemàtica quotidiana
• Galeria d’imatges
• Glossari
• Proves PAU
A la pantalla principal apareix la barra
de menú amb les opcions de navegació
i de visualització de les guies digitals.
El vídeo de presentació explica com s’ha
de treballar amb les guies didàctiques
interactives de McGraw-Hill.
Prement en els ítems de l’índex de continguts podeu accedir a material genèric de la matèria amb més informació i
activitats extres.
5
GUIES DIDÀCTIQUES INTERACTIVES MCGRAW-HILL
Ajuda
Fi de la guia
Inici de la guia
Dades de contacte
Pàgina anterior
Pàgina següent
Mostra l’índex dels
continguts addicionals
Cerca
Opció de lectura
recomanada
Opció de cerca
ràpida
Índex sempre accessible de
tots els continguts genèrics
de la matèria
Índex d’unitats del
llibre de l’alumne
Opció de tancar
la visualització
El sumari inclou l’índex
del llibre de l’alumne
El menú mostra totes les opcions genèriques per navegar dins de les guies i per visualitzar les pàgines i els continguts.
Pàgina anterior: prement aquest botó podeu navegar fins la pàgina anterior.
Pàgina següent: amb aquesta opció podeu avançar fins a la pàgina següent.
Inici de la guia: prement aquesta opció podeu anar al començament de la guia.
Fi de la guia: podeu navegar fins a la darrera pàgina de la guia.
Opció de lectura recomanada: permet ampliar el text i les imatges de la pàgina que s’està llegint.
Opció cerca ràpida: aquesta opció us mostra en versió reduïda totes les pàgines de la guia.
Cerca: us serveix per cercar paraules dins del text de la publicació.
Ajuda: en qualsevol moment podeu visualitzar l’ajuda per fer servir adequadament la guia digital.
Índex de continguts: l’índex de continguts està sempre accessible per navegar pels continguts addicionals més
ràpidament.
Sumari: índex de les unitats i dels continguts del llibre de l’alumne.
6
GUIES DIDÀCTIQUES INTERACTIVES MCGRAW-HILL
j Zones senyalitzades
Menú genèric sempre visible per als professors
Les zones on hi ha
informació extra,
mostren un efecte de
senyalització intermitent
per indicar que hi ha
més continguts
Textos emergents amb informació
addicional i complementària als temes
tractats al llibre de l’alumne
Quan premeu una zona senyalitzada,
apareix informació complementària a aquesta
part del llibre.
Poden aparèixer vídeos, fotografies, hipervincles,
adreces web, arxius adjunts amb exercicis
i comentaris, i també caixes de text
amb definicions de paraules, consells,
objectius didàctics i procedimentals, activitats,
comentaris, etc.
Reproducció de les planes
del llibre de l’alumne
GUIES DIDÀCTIQUES INTERACTIVES MCGRAW-HILL
j Opcions de
visualització
Visualització de doble pàgina:
Podeu visualitzar les planes
com si es tractés d’un llibre.
Opció de lectura recomanada:
Podeu ampliar les planes per veure
el text o les imatges més grans.
Opció cerca ràpida:
També podeu visualitzar totes les planes
en miniatura, a fi d’arribar ràpidament als
continguts desitjats.
Requeriments tècnics:
L’ús d’aquestes guies interactives no requereix
cap instal.lació especial, ja que funcionen amb
el navegador d’Internet.
Tot i que no és necessari estar connectat a la
Xarxa per fer-les anar, sí que hi ha continguts,
com l’accés a pàgines web, que només es podran aprofitar al 100 % si s’està on-line.
La major part d’equips ja incorporen el Flash
Player, però si no fos el vostre cas, us el podeu
descarregar gratuïtament des del web d’Adobe.
7
MATEMÀTIQUES APLICADES A LES CIÈNCIES SOCIALS 2
Unitat 0. Comencem
Activitats finals
1
—
1
—
fvvv
3 ? fvvv
6
fvvvvv
18
———— = ——— =
fvvvvv
15
fvvvvv
15
5 )2
a) 3 ( fvvv
e)
6
—
fvvv
5
( 7fvvvv
23 )4
fvvvvvvv
23 ? 4 = 7fvvvvv
212
7
b) ( fvvvvv
10 )4
1
—
(fvvvvv
10 )4 = 102 = 100
c)
9
32 ?62
d) ———
fvvvvv
15
1. Calcula:
3 (fvvv
5 )2 = 9 ? 5 = 45
00
f) 3 6 ? 3fvvv
3 ? 6fvvv
2
( fvvv
5 + fvvv
3 ) ( fvvv
5 – fvvv
3)
5 + fvvv
3 ) (fvvv
5 – fvvv
3) = 5 – 3 = 2
(fvvv
fvvv
3 ? 6fvvvv
32 ? 6fvvv
2 = 6fvvvvvvvvv
33 ? 2 = 6fvvvv
54
6
1
—
g) (a + b) 2 fvvvvvvvvvvv
a–b
7 )2 – (fvvv
2 )2
d) ( fvvv
( fvvv
7 )2 – (fvvv
2 )2 = 7 – 2 = 5
h)
2. Expressa de la manera més senzilla possible el resultat de
les operacions següents:
i)
a) fvvv
7 + fvvvvv
28 – fvvvvv
63
fvvv
7 + fvvvvv
28 – fvvvvv
63 = fvvv
7 + 2 fvvv
7 – 3 fvvv
7 =
7=0
= (1 + 2 – 3) ? fvvv
4. Si A(x) = 6x4 + 2x2 -- 4x + 6 i B(x) = x3 -- 2x + 1, calcula:
b) fvvvvvvv
121 + fvvvvvvv
169 – fvvvvvvv
225
a) 2 . A(x)
fvvvvvv
121 + fvvvvvv
169 – fvvvvvv
225 = 11 + 13 – 15 = 9
Multipliquem els coeficients per 2:
c) fvvv
a ? 3fvvvvv
a2
1
—
2
—
7
—
fvvv
a 3fvvvv
a2 = a 2 ? a 3 = a 6 = 6fvvvv
a7 = a 6fvvv
a
b) --3x . B(x)
Multipliquem els coeficients per –3x:
d) 4fvvvvv
b3 : fvvv
b
3
—
1
—
1
—
fvvvvv
b3 : fvvv
b = b 4 : b 2 = b 4 = 4fvvv
b
4
c) A(x) : B(x)
3. Expressa en forma d’una sola arrel:
a) 3fvvv
3 ? 3fvvv
5
fvvvvvvv
3 ? 5 = 3fvvvvv
15
3
b)
1
—
5
2 2 ? fvvv
fvvv
2 ? fvvv
5 = fvvvvv
10
fvvvvv
12
quocient
c(x) = 6x
residu
r(x) = 14x2 -- 10x + 6
3
c) ———
3 vvv
f4
fvvvv
3
12
4
—— = 3fvvv
3
d) B(x) : (x + 1)
Apliquem la regla de Ruffini. Com que B(x) no té terme de
grau dos, en el seu lloc hi posem un zero. El primer nombre de la segona fila és –1, perquè dividim entre x + 1 can-
10
00
SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE
viant de signe el terme independent del binomi. El quocient
queda determinat pels tres primers termes de la tercera fila:
1,–1,–1 → x2 – x – 1. El residu és 2.
x–1
x+1
x2 + 1
–——— – ——— + ———— =
x+1
x–1
x2 – 1
–x2 – 1
(x – 1) (x – 1)
(x + 1) (x + 1)
x2 + 1
= –——————— – ——————— + ——— = ————
x2 – 1
x2 – 1
x2 – 1
x2 – 1
9. Donades les fraccions algèbriques següents:
5. Efectua aquestes divisions. Aplica la regla de Ruffini quan
sigui possible.
a) (x4 -- 2x2 + 1) : (x + 2)
A(x)
i B(x)
calcula: A(x) . B(x), A(x) : B(x) i B(x) : A(x)
Per Ruffini:
A(x) . B(x) =
A(x) : B(x) =
Quocient: x3 -- 2x2 + 2x -- 4
Residu: 9
B(x) : A(x) =
b) (x6 + x3 -- x + 1) : (x -- 1)
Per Ruffini:
10. Resol els sistemes d’equacions lineals següents pel mètode
que s’indica:
a)
Quocient: x5 + x4 + x3 + 2x2 + 2x + 1
per reducció.
Multipliquem la primera equació per 2. D’aquesta manera, la
x tindrà el mateix coeficient en les dues equacions:
Residu: 2
6. Factoritza els polinomis següents:
a) A(x) = 6x3 -- 20x2 + 6x
Restem les dues equacions per reduir-ne el nombre d’incògnites:
A(x) = 6x3 – 20x2 + 6x =
1
= x ? (6x2 – 20x + 6) = 6x (x – 3) x – —
3
1
2
b) B(x) = x4 -- 3x3 -- 3x2 + 11 x -- 6
B(x) = x4 -- 3x3 -- 3x2 + 11x -- 6 = (x -- 1)2(x + 2)(x -- 3)
A(x) = 2x5 + 6x4 -- 8x2
Substituïm aquest valor en qualsevol de les dues equacions
(per exemple, en la primera) per trobar el valor de l’altra incògnita:
A(x) = 2x2 (x -- 1)(x + 2)2
2x – 5 = 3 → 2x = 3 + 5
B(x) = x3 -- x
8
2x = 8 → x = — → x = 4
2
7. Determina el m.c.d. i el m.c.m. dels polinomis:
B(x) = x (x + 1)(x -- 1)
C(x) =
x4
--
x3
--
La solució del sistema és: (x, y) = (4, 5).
x2 + x
C(x) = x (x -- 1)2(x + 1)
m.c.d. = (x -- 1)x
m.c.m. = 2x2 (x -- 1)2(x + 1)(x + 2)2
b)
per substitució.
Aïllem una incògnita d’una de les equacions, per exemple la
y de la segona equació:
x + y = –1 → y = –1 – x
8. Calcula:
m.c.m. =
Substituïm en la primera equació la y per (–1 – x):
x2
-- 1 = (x – 1) (x + 1)
2x + 3 (–1 – x) = 1
MATEMÀTIQUES APLICADES A LES CIÈNCIES SOCIALS 2
00
Resolem la equació que apareix, que té una única incògnita:
Substituïm en la 1a equació: x = 10 + 16 = 26.
2x + 3 (–1 – x) = 1 → 2x – 3 – 3x = 1
Solució: (x, y) = (26, 10).
11
2x – 3x = 1 + 3 → –x = 4 → x = –4
Substituïm aquest valor en la igualtat en la qual hem aïllat
la incògnita y:
b)
Aïllem la y de la 2a, y = 7 -- x, substituïm en la 1a i resolem:
y = –1 – (–4) → y = –1 + 4 → y = 3
x (7 – x) = 10
La solució del sistema és: (x, y) = (–4, 3).
c)
7x – x2 = 10
–x2 + 7x – 10 = 0
per igualació.
a = --1, b = 7 i c = --10
Aïllem una mateixa incògnita de les dues equacions, per
exemple la x:
Substituïm en l’equació aïllada:
Igualem els membres de la dreta de les equacions:
Les solucions són: (x, y) = (2, 5); (x, y) = (5, 2).
Resolem l’equació que apareix, que té una única incògnita:
c)
2 (5 –2 y) = 3 (5 – 3y)
10 – 4 y = 15 – 9y
Per reducció. Restem les dues equacions:
–4 y + 9 y = 15 – 10 → 5y = 5
5
y=— → y=1
5
Substituïm aquest valor en qualsevol equació en la qual la x
estigui aïllada, per exemple en la primera:
5 – 2?1
5–2
x = ———— = ——— = 1
3
3
La solució del sistema és: (x, y) = (1, 1).
11. Resol els sistemes d’equacions següents:
Resolem l’equació:
x – 2x + 2 = 5 – x – 3 → x – 2x + x = 5 – 3 – 2 → x = 0
Arribem a una identitat, per la qual cosa les dues equacions
són equivalents (gairebé són la mateixa). El sistema és compatible indeterminat: té infinites solucions. Si aïllem una de
les incògnites d’una equació obtindrem una fórmula per trobar
totes les solucions. Per exemple, la x de la primera equació:
x = --5 -- y
a)
La solució és: (x, y) = (5 -- y, y)
Substituïm en la segona, i resolem l’equació:
y + 16 – 2 = 3 (y – 2)
Per a cada valor de y tindrem una solució del sistema. Exemples:
y + 16 – 2 = 3y – 6
y = 1 → (4, 1)
y – 3 y = –6 – 16 + 2
–2 y = –20
–20
y = ——— → y = 10
2
y = 0 → (5, 0)
y = --3 → (8, --3)
12. a) Per a quins valors de m l’equació x2 -- mx + 4 = 0 té una
solució?
El discriminant de la equació ( = b2 -- 4ac) ha de ser igual
a zero:
00
12
SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE
a = 1, b = --m i c = 4
15. Siguin f(x) =
i g(x) =
f
a) Troba les funcions: (f + g) (x), (f ? g) (x), — (x),
g
→
1 2
b) Per a quins valors d’m el sistema
(f ° f) (x), (g ° g) (x), f –1 (x)
(f + g)(x) = f(x) + g(x) =
té una solució única?
El sistema ha de ser compatible determinat, és a dir,
,
,
→
≠
≠
→ 1 ≠ --m → m ≠ --1
Per a tots els valors diferents de --1.
13. Sense resoldre’ls, classifica els sistemes següents:
a)
≠
Sistema compatible determinat → té una solució.
(f . g)(x) = f(x) . g(x) =
b)
=
=
Sistema compatible indeterminat → té infinites solucions.
c)
=
≠
(x) =
Sistema incompatible → no té solució.
14. Determina el domini de cadascuna de les funcions següents:
a) g(x) =
∈
≠
(f ° f)(x) = f(f (x))
b) k(x) =
∈
≠
≠
MATEMÀTIQUES APLICADES A LES CIÈNCIES SOCIALS 2
(g ° g)(x) = g(g(x)) =
00
Dg ° g = {x [ R | x ≠ 0, x2 – 1 ≠ 0} = R – {0, 1, –1}
Df –1 = {x [ R | 2 – x ≠ 0} = R – {2}
c) Comprova que f --1 (x) és la funció inversa de f (x).
(f --1 o f) (x ) = f --1 ( f(x )) = f --1
f(x) = y
→ xy + y = 2x -- 1 →
(f
2x -- xy = y + 1 → x (2 -- y) = y + 1 →
→ f --1(x)
x
b) Troba el domini d’aquestes funcions.
Df + g = Df ? g = Df ° f =
= {x [ R | x ≠ 0, x + 1 ≠ 0} = R – {0, –1}
Df = {x [ R | x2 – 1 ≠ 0} = R – {–1, 1}
—
g
o
f --1) (x ) =
13
01
14
SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE
Bloc 1. Matrius i sistemes
a)
J1
2
3
4N
K
O
A ' = K1/2 1 3/2 2 O
K
O
L1/3 2/3 1 4/3P
J-2 0N
J1
K
O
K
K 0 2O
'
C = K2
B'= K
O
K
KK-2 0OO
L3
L 0 2P
Unitat 1. Matrius
Activitats
1. Cada 100 g de producte d’un determinat aliment conté
0,06 g de vitamina A, 0,3 g de vitamina B i 0,2 g de calci.
Anàlogament, un altre aliment conté 0,1 g de vitamina A,
0,2 g de vitamina B i 0,15 g de calci, també per cada 100 g.
Escriu la matriu corresponent.
1
4
9
1N
O
8O
O
27 P
b) A’ és d’ordre (3, 4), B’ és d’ordre (4, 2) i C ’ és d’ordre (3, 3).
6. Escriu una matriu A d’ordre (3, 4).
⎛ 0, 06 0, 3 0, 2 ⎞
⎜⎝ 0, 1 0, 2 0, 15⎟⎠
J 2
K
2. Donada la matriu A = KK −27
L 1
Indica'n:
−5
8
1
1
−1
5
␲
−5
3
−3 N
O
0O
O
−2 P
a) L’ordre.
a) Troba’n la matriu oposada i la matriu transposada. Comprova que la matriu oposada de la transposada és igual a
la matriu transposada de l’oposada.
b) Comprova que t ]t Ag = A.
Resposta oberta. Per exemple:
J1 -1 1 -1N
K
O
A = K0 1 -1 -1O
K
O
L0 -1 -1 1P
b) Els elements a11, a23 i a34.
c) La quarta columna.
d) La primera fila.
a) Ordre(3,5)
b) a 11 = 2, a 23=-1, a 34= 3
J N
c ) c 4= KKK- 5OOO
L 3P
d ) f1= ]2 –5 1
–3g
3. En la matriu anterior troba ij tal que:
a) aij = π
b) aij =
c) aij = 0
d) aij = 8
5
J-1 1 -1 1N
K
O
)
a -A = K 0 -1 1 1O
K
O
L 0 1 1 -1P
J-1 0
K
K 1 -1
t
t
-] A g = ]-A g = K
KK -1 1
L 1 1
J 1 0 0N
K
O
K -1 1 -1 O
t
A =K
O
KK 1 -1 -1 OO
L -1 -1 1 P
0N
O
1O
O
1O
O
-1 P
J 1 -1 1 -1N
K
O
b) ] A g = K 0 1 -1 -1O = A
K
O
L 0 -1 -1 1P
t t
a) a14
b) a33
c) a25
d) a22
4. Escriu les matrius següents:
7. Donades les matrius següents:
a) A = (aij) on i = 1,2,3,4; j = 1,2,3 per a aij = ij .
b) B = (bij) d’ordre (2,4), sabent que:
i
2x
x2y
3z
2y
i
B5
4y
z
2t
3x 1 4
troba els valors de x, y, z i t sabent que A = B.
j
bij = (-1) + (-1) .
c) C = (cij) de tres files i tres columnes per a cij = j i.
1/2 1/3 N
O
1 2/3 O
–2 0 –2 0 NO
b) B =
O
3/2 1 O
0 2 0 2O
P
O
2 4/3 P
N
O
O
P
J1
K
K2
a) A = K
KK3
L4
A5
J1 2 3 N
K
O
c) C = K1 4 9 O
K
O
L1 8 27P
5. a) Escriu les matrius que s’obtenen de les de l’activitat
anterior intercanviant les files per les columnes.
b) Indica l’ordre de cadascuna d’aquestes noves matrius.
(1)
(2)
(3)
(4)
2x ⫽ 4y
3z ⫽ ⫺t
x⫺ y ⫽ z
2y ⫽ 3x ⫹ 4
De (1) i (4) " x ⫽⫺2, y ⫽ ⫺1, substituint a (3) "
z ⫽ ⫺1, i substituint a (2) " t ⫽ 3
8. Escriu una matriu quadrada d’ordre 3 que sigui triangular
superior. Calcula’n la traça.
Resposta oberta. Per exemple:
J2
3 -1N
K
O
A = K 0 -1 2O
K
O
0 1P
L0
tA = 2 - 1 + 1 = 2
01
MATEMÀTIQUES APLICADES A LES CIÈNCIES SOCIALS 2
9. Escriu una matriu quadrada d’ordre 4 que sigui alhora simètrica i antisimètrica. Hi ha moltes matrius que tinguin
aquesta característica?
La matriu quadrada nul·la d’ordre quatre. Només aquesta.
10. Qualsevol matriu diagonal és simètrica? I antisimètrica?
Justifica les respostes.
Sí, ja que si A és una matriu diagonal
trica.
tA
= A → A és simè-
No, perquè si és una matriu diagonal, els elements de la diagonal principal no són zero, i per tant no pot ser antisimètrica.
15
⎛ 1 2⎞
⎟ ⎛ 0 2 4 6⎞
⎜
14. Multiplica les matrius ⎜ 3 4 ⎟ ·⎜
⎟⎟ i digues quin
⎜
⎜ 5 6⎟ ⎝ 8 0 2 4⎠
⎠
⎝
ordre té la matriu producte.
⎛ 16 2 8 14 ⎞
⎜
⎟
⎜ 32 6 20 34 ⎟
⎜ 48 10 32 54 ⎟
⎝
⎠
ordre (3, 4)
15. Donades les matrius
11. Per què han de ser zero els elements de la diagonal principal d’una matriu antisimètrica?
Perquè sigui una matriu antisimètrica, els elements de la diagonal principal han de verificar que aii = −aii, d’on s’obté que
aii = 0.
12. Tenim la matriu:
⎛6 2 1 4 ⎞
⎜ 2 4 −1 −2⎟
⎜
⎟
⎜ 1 −1 0 1 ⎟
⎜⎝ 4 −2 1 3 ⎟⎠
troba la matriu C en cadascun dels casos següents:
a) C = 2B − 3A.
b) C = AB.
a) Com és aquesta matriu?
b) Troba la matriu transposada de la matriu oposada.
c) Com són entre elles la matriu que has trobat a l’apartat
anterior i la matriu inicial?
d) Es pot enunciar, en aquest sentit, alguna propietat general?
a) És una matriu simètrica.
J-6 - 2 -1 -4N
K
O
1 2O
K-2 - 4
b) K
O
1
0 -1O
KK-1
O
2 -1 -3P
L-4
c) Són oposades.
d) En una matriu simètrica, la transposada de l’oposada coincideix amb la matriu oposada.
13. Donades les matrius
J2 -1
K
1
A = K0
K
0
L3
3
2
-2
J 1
0
2N
K
O
3 - 1O
A =K 2
K
O
1
5P
L- 3
J 3 -2
4N
K
O
1 - 1O
B =K 0
K
O
2 - 3P
L 1
5N
O
- 1O
O
1P
J0
0
K
B = K2 - 2
K
2
L3
Calcula 3A + 2B.
⎛ 6 − 3 9 21 ⎞
⎟
⎜
3 A + 2 B = ⎜ 4 − 1 16 − 1 ⎟
⎜ 15 4 − 8 5 ⎟
⎠
⎝
0
5
-1
3N
O
1O
O
1P
J 3 -4
2N
K
O
a) C = K- 6 - 7
1O
K
O
1 - 21P
L 11
J 5
K
b) C = K 5
K
L-4
2 -2 N
O
8O
-3
O
17 -28 P
16. Donades les matrius:
J- 1
K
A =K 1
K
L 2
J 1
K
B = K- 2
K
L 0
J0
K
C = K3
K
L1
2 1N
O
0 1O
O
1 0P
1 - 1N
O
1
3O
O
2
2P
-3
1
-1
1N
O
2O
O
4P
a) Comprova les propietats de la suma i del producte de
matrius.
b) Prenent els valors k = 2 i h = −3, comprova les propietats
del producte d’un nombre per una matriu.
c) Amb el mateix valor de k de l’apartat anterior, comprova
les tres primeres propietats de la transposició de matrius.
a) Suma:
J0 0 1 N
K
O
associativa: A + (B + C) = (A + B) + C = K 2 2 6O
K
O
L3 2 6 P
01
16
SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE
existència d’element neutre:
17. Amb les matrius de l’activitat anterior, calcula:
a) 2A − 3B + 4C.
J-1 2 1N
K
O
A + O = O + A = K 1 0 1O= A
K
O
L 2 1 0P
b) AB + C.
sent O la matriu quadrada nul·la d’ordre tres.
existència d’element simètric:
J 1
K
A + (-A ) = (-A ) + A = 0, sent -A = K-1
K
L-2
- 2 -1N
O
0 -1O
O
0P
-1
J 0 3 0N
K
O
commutativa: A + B = B + A = K-1 1 4 O
K
O
L 2 3 2P
Producte:
J18
9
K
associativa: ]ABgC = A ]BCg = K10 -1
K
2
L10
37N
O
11 O
O
10 P
J2
7 16 N
K
O
distributiva: A ^ B + C h = AB + AC = K 2 -1 6 O
K
O
L3 -2 5 P
J 9
3
6N
K
O
distributiva: ^A + Bh C = AC + BC = K 7
0 17O
K
O
L11 -5 16 P
J 0 6 0N
K
O
b) 2 ^ A + Bh = 2A + 2 B = K-2 2 8O
K
O
L 4 6 4P
J 1 -2 -1N
K
O
62 + (- 3)@ A = -A = K-1
0 - 1O
K
O
0P
L-2 -1
J 6 -12 -6 N
K
O
2(- 3A) = 62(- 3)@ A = -6A = K -6
0 -6 O
O
K
0P
L -12 -6
J-1 2 1N
K
O
1 A = K 1 0 1O= A
K
O
L 2 1 0P
J0 -1 2N
K
O
1 3O
K
O
L0 4 2 P
J-2 2 4 N
K
O
t
t
]2Ag = 2 ] A g = K 4 0 2 O
K
O
L 2 2 0P
c) t(A + B) = tA + tB = K 3
J-5 1 0N
K
O
]ABg = ]tBg]tA g = K 3 3 3 O
K
O
L 9 1 1P
J 5 1 -1N
K
O
2
t
t
2
4O
]A g = ] A g = K-1 3
K
O
3P
L 1 1
t
c) 3A − CB.
d) C(A − 2B).
e) A3.
f) (BC)2.
J-5 -11
K
1
a) K 20
K
8
-8
L
9N
O
1O
O
10 P
J-13
3 11 N
K
O
d) K 0 -8 -4 O
K
O
L 0 -10 -8 P
J -10 -6
K
f) K 132 10
K
L 112 -8
J-5
K
b) K 4
K
L 1
0 10 N
O
4
3O
O
2
5P
J-9
7 10 N
K
O
c) K 2 -8 -1 O
K
O
L 3 -5 -4 P
J-4 11 4 N
K
O
e) K 4 3 4 O
K
O
L 11 1 3P
-26 N
O
186 O
O
136P
18. Troba x, y, z i w per tal que es verifiqui la igualtat:
⎛ x y⎞ ⎛ − x 2 ⎞ ⎛ 3
2⎜
=
+
⎝ z w ⎟⎠ ⎜⎝ 1 3w ⎟⎠ ⎜⎝ z + w
y − x⎞
4 ⎟⎠
(1) 2x = –x + 3
(2) 2y = 2 + y – x
(3) 2z = 1 + z + w
(4) 2w = 3w + 4
De (1) → x = 1; substituint a (2) → y = 1; de (4) →
w = − 4, substituint a (3) z = − 3.
19. Es diu que dues matrius A i B commuten quan AB = BA.
Comprova, amb matrius quadrades d’ordre 3, que:
a) Una matriu diagonal commuta amb qualsevol matriu del
seu mateix ordre.
b) Si I és la matriu unitat, IA = AI = A.
Respostes obertes. Per exemple:
J2 0 0N
J 1 -1
1N
K
O
K
O
a) A = K-1 1 1 O B = K 0 1 0O
K
O
K
O
1 -1 P
L0 0 3P
L 1
La propietat és falsa.
J 2 -1
3N
K
O
3O
AB = K-2 1
K
O
L 2 1 -3 P
i
J 2 -2 2 N
K
O
1
1 O no són iguals.
BA = K-1
K
O
3 -3 P
L 3
01
MATEMÀTIQUES APLICADES A LES CIÈNCIES SOCIALS 2
J 1 -1
1N
K
O
1
1
O
b) I A = AI = K-1
K
O
1
1
-1
L
P
20. Calcula (tA)A i A(tA) essent:
J 4 2 10 N
K
O
t
A ] Ag = K 2 2 2 O
K
O
L10 2 34P
21. Donades les matrius:
冢
Si A és simètrica → tA = A → A + tA = A + A = 2A.
b) Qualsevol matriu B que sigui antisimètrica verifica la igualtat.
2. Donades les matrius:
10 14
o
] tA g A = e
14 30
3
A=
-1
a) Qualsevol matriu A que sigui simètrica verifica la igualtat, ja
que:
Si B és antisimètrica → tB = −B → B + tB = B − B = O.
J 0 2N
K
O
A = K- 1 1O
K
O
L 3 5P
5 -2
7
4
冣
J 8 5N
K
O
i B = K- 9 0 O
K
O
L 6 2P
Calcula els productes AB i (tA) . (tB)
-33 11
o
AB = e
-47 3
J19 - 27 16N
K
O
]tA g]tBg = K75 - 45 44 O
K
O
L 4 18 - 4 P
22. Donada la matriu:
a a
o
A=e
a a
J 4 -1 0 N
3N
K
O
O
2O ; B = K 2 1 3 O ;
K
O
O
2 1P
1P
L1
J 1
2
2N
K
O
C = K-2 -1
0 O troba, si existeix, la matriu X:
K
O
2 -4 P
L 3
J- 1
1
K
A=K 1
0
K
L 2 -1
a) 2A − B + X = C.
a) ⎛ 7 −1 −4⎞
⎜−2 0 −1⎟
⎜
⎟
⎝ 0 6 −5⎠
b)
1
X − 3B = A − C .
2
b) ⎛ 20 −8 2 ⎞
⎜ 18 8 22⎟
⎟
⎜
⎝ 4 6 16⎠
3. Siguin A i B dues matrius quadrades d’ordre 2, tals que:
A = (aij); a11 = a22 = 1, a12 = 2, a21 = 0
B = (bij); b11 = b22 = a12, b12 = b11 + 1, b21 = 0
a) Calcula A2, A3 i A4.
a) Escriu les dues matrius.
b) Dedueix la llei general per An.
b) Les matrius A i B commuten?
a) A2 = 2
3
冢 冣
2
A =2
4
3
A =2
n
b) A
c) Comprova que ^ A + Bh ? ]A - Bg = A2 - B2.
a 2 a2
a 2 a2
3
3
3
1 2
o
a) A = e
0 1
冢aa aa 冣
n-1
=2
Per què creus que passa això? Justifica’n la resposta.
冢aa aa 冣
3
4
4
4
4
冢aa aa 冣
n
n
n
n
23. Donada la matriu:
J 5 -4
2N
K
O
1O
A = K 2 -1
K
O
4 -1 P
L- 4
comprova que A2 = 2A − I, essent I la matriu unitat d’ordre 3.
J 9 -8
4N
K
O
2
A = 2A - I = K 4 -3
2O
K
O
8 -3 P
L- 8
Activitats finals
1. Escriu dues matrius A i B que siguin quadrades d’ordre 3,
de manera que es verifiquin les igualtats:
17
2 3
o
B=e
0 2
2 7
o
b) Si, ja que AB = BA = e
0 2
- 3 -8
o
c) (A + B)(A - B) = A2- B2= e
0 -3
Si commuten, vol dir que AB = BA, d’on tenim que:
(A + B)(A − B) = AA + BA − AB − BB =
= A2 + BA − BA − B2 = A2 − B2
4. Calcula:
e
1
3
J1
4N
K
O
2 -1
0 K 2 3O
o$ K
O
1
1 - 1 K 0 1O
K
O
L1 - 1P
5 9
e
o
4 17
5. Les matrius:
a) A + tA = 2A.
a b
c
o i B=e
A=e
-b a
-d
b) A + tB = 0, essent O la matriu quadrada nul.la d’ordre 3.
commuten? Justifica’n la resposta.
d
o
c
01
18
SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE
ac - bd
-bc - ad
Sí, ja que AB = BA = e
ad + bc
o
-bd + ac
6. Demostra que si A i B no commuten, aleshores:
(A + B)2 ≠ A2 + 2AB + B2
Si no commuten, tenim que AB ≠ BA, d’on:
(A + B)2 = (A + B)(A + B) = AA + BA + AB + BB =
= A2 + BA + AB + B2 ≠ A2 + 2AB + B2
7. Siguin A,B i C matrius quadrades d’ordre 3 i no nul.les.
a) És possible que AB doni la matriu nul.la d’ordre 3?
b) Si es verifica que AB = AC, podem assegurar que B = C?
J1 0 1N
K
O
X = AB - A = A (B - A) = K 0 2 1O
K
O
L0 1 1P
2
12. Sigui B = (bij) una matriu quadrada d’ordre 2, tal que
b11 = b12 = 1 i b21 = b22 = x. Troba algun valor de x, per al
qual es verifiqui la igualtat B2 = B.
B=
冢 x x冣 " B = 冢 x + x
1 1
1+x
2
1+x
2
冣.
x + x2
Si B2 = B " 1 + x = 1 i x + x 2 = x, d’on s’obté que x= 0.
13. Troba An si:
Justifica’n les respostes.
a) Sí, ja que el producte de dues matrius no nul·les pot donar
la matriu nul.la.
b) No, AB = AC → AB − AC = 0 → A(B − C) = 0 i pot ser que
A ≠ 0 i B − C ≠ 0 d’on B ≠ C.
a11 a12
o, l’element aij representa el nom8. En la matriu M = e
a21 a22
bre d’articles del tipus j comprats pel client i (i, j valen 1
o 2).
Si a la matriu fila P = (p1 p2), on pj és el preu unitari de
l’article j, què representa la primera fila de la matriu
M(tP)?
és a11 p1 + a12 p2 i representa
La primera fila de la matriu
el preu total que haurà de pagar el client 1 per la compra
d’articles del tipus 1 i 2.
a
A=e
1+a
1-a
o
-a
Si n és parell An = I, si n és senar An = A.
14. Calcula
A5 ,
J0 0 1N
K
O
essent A = K 0 1 0O.
K
O
L1 0 0P
com que A2 = I A5 = A. A4 = A (A2)2 = A. I 2 = A.I = A.
Avaluació
M(tP)
9. Sigui A la matriu fila A = (1 1 0) i B la matriu
J0N
K O
columna B = K1O, calcula les matrius AB i BA.
K O
L1P
AB = (1)
J0 0 0N
K
O
BA = K1 1 0O
K
O
L1 1 0P
⎛ 0 1⎞
A=⎜
⎝ 1 0⎟⎠
⎛ 1 0 1⎞
B = ⎜ 0 1 0⎟
⎟
⎜
⎝ 0 0 1⎠
La matriu A sí que és ortogonal, però la matriu B no ho és.
1 2
o , troba A2 i A3.
1 0
10. Donada la matriu A = e
3 2
o
A2 = e
1 2
A3 = e
1. Perquè una matriu quadrada sigui ortogonal s’ha de complir el fet que, multiplicant-la per la seva transposada, en
resulti la matriu unitat. Determina si les matrius següents
són ortogonals:
5 6
o
3 2
11. Troba una matriu X tal que verifiqui la igualtat:
AB − X = A2, essent:
⎛ 1 0 1⎞
⎛ 1 −1 0⎞
A = ⎜ 1 0 1⎟ i B = ⎜ 0 1 1⎟
⎟
⎜
⎟
⎜
⎝ 1 1 0⎠
⎝ 1 0 0⎠
2. Resol les equacions matricials:
a) A + 2X = B.
b) X − B2 = AB.
⎛ 2 −1⎞
⎛ 1 1⎞
B=⎜
essent A = ⎜
⎟
⎝1 1 ⎠
⎝ 1 −1⎟⎠
⎛ −1
⎞
1
⎟
a) X = ⎜ 2
⎜ 0 −1⎟
⎝
⎠
⎛ 3 3⎞
b) X = ⎜
⎝ 2 2⎟⎠
MATEMÀTIQUES APLICADES A LES CIÈNCIES SOCIALS 2
3. Calcula A3, per a a11 = a22 = a33 = a21 = a31 = a32 = 1 i
a12 = a13 = a23 = 0. Com són les matrius A i A3?
⎛ 1 0 0⎞
A = ⎜ 3 1 0⎟
⎜
⎟
⎝ 6 3 1⎠
3
Són dues matrius triangulars inferiors.
01
19
4. Calcula les matrius A i B que són solucions del sistema
següent:
r
⎛2
u 3A + 2B = ⎜⎝ 5
w
⎛1
u
q 2 A + B = ⎜⎝ −2
−1⎞
4 ⎟⎠
⎛ 0 7⎞
A=⎜
⎝− 9 −4 ⎟⎠
⎛ 1 −11⎞
B=⎜
8⎟⎠
⎝ 16
3⎞
0⎟⎠
02
20
SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE
Unitat 2. Determinants
a) 2t - 10 t - 5
Activitats
b) 1 x
2
1)(1 - x)
1
(
x 1 = -x = x+
1. Troba el valor de s corresponent a la matriu
J 7
K
B= K 5
K
L 3
2
3
5
4N
O
2O
O
1P
1+t
c)
a 11
1 a 1 = a 3 - 3a + 2 = (a - 1)2 (a + 2)
1 1 a
a) 1 + x
2. Calcula els determinants següents:
2-1
2
2
2+1
c) 0
ex
1 -1
1
-1
-1 -1
-1
-1
1
1
b) 0
c) −4
d) 0
x
1
0 =7
0 x
7. Considerant la matriu A de l’exemple 2, calcula |A| i |A*|.
Quina relació hi ha entre els dos determinants?
|A|= −14; |A*| = 196; |A*| = |A|2.
8. Sigui A = (aij) una matriu quadrada d’ordre 3, definida per
aij = i − j + 1. Troba la matriu A* i comprova que t(A*) = (tA)*.
J 1 -2
1N
K
O
4
K
-2 O
A = -2
K
O
1P
L 1 -2
)
4. Comprova les igualtats següents:
a) 2t - 10 t - 5
t
x +1
1
x +1
P(x) = −x3 + 2x − 1 → P(−2) = 3
t
1
= -10
1
1 x
P( x ) = x 1
1 1
|A| = 19, |B| = 26, |C| = 2, |A + B + C| = 17.
x
x
6. Calcula el valor numèric de P(−2) per a:
calcula |A|, |B|, |C| i |A + B + C|.
x
=0
1+x
c) −1 − x3 = 7 → x = −2
J1 3 -1 N
K
O
A = K2 0
3O
K
O
2P
L4 1
J-2 1 4N
K
O
B = K 1 -1 7O
K
O
L 1 1 -3 P
J3 -5 1 N
K
O
C = K 2 -3 1O
K
O
0 4P
L1
b) 1
1
b) −6x − 4 = −10 → x = 1
3. Donades les matrius:
1+t
1+x
1
1
1
a) x3 + 3x2 = 0 → x = 0, x = −3
d) 1 2 3
2 3 4
3 4 5
a) −1
1
1+x
x
c)
1
b) x - 1 x + 4
b) e - x 1
1
= t2 - 6t + 5 = (t - 1)(t - 5)
5. Resol les equacions:
s = −21 + 12 − 100 + 36 + 10 − 70 = −133
a)
t
J 1 -2
1N
K
O
]A*g = ^ Ah*= K-2
4 -2 O
K
O
1P
L 1 -2
t
= ]t - 1g]t - 5g
1 -1
o
2 1
9. Sigui la matriu B = e
= ^ x + 1h ]1 - xg
a) Troba B*.
b) Les matrius B i B* commuten? Justifica’n la resposta.
c) Calcula |B|, |B*|, |BB*| i |B*B|
c) a 1 1
2
1 a 1 = ]a - 1g ^a + 2h
1 1 a
1 -2
o
1 1
a) B *= e
02
MATEMÀTIQUES APLICADES A LES CIÈNCIES SOCIALS 2
b) No, perquè BB* =
冢3 -3冣 i B *B = 冢 3 0冣
0 -3
13. Troba els valors de a per tal que cadascun dels determinants
següents sigui zero.
-3 -3
1
2
5
a
a) 1 -3
a -2 - 8
c) B = B* = 3, BB* = B* B = 9.
3
10. Calcula el determinant - 1
2
1 -2
3
5
1
a) 10 + 2 + 12 − 15 = 9
b) −(−2) + 3 · 4 + 5(−1) = 2 + 12 − 5 = 9
c) −2(−7) + 5(−1) = 14 − 5 = 9
11. Desenvolupa, per la columna o la fila més adequada, els
determinats:
c) 3
0
1
-1
2
1
5
0
-1
b) 3a fila → −20
12. Comprova amb determinants d’ordre 3 i utilitzant la regla
de Sarrus les propietats a), b), c), f) i g).
Resposta oberta. Per exemple:
1 1 0
1
1 -1
0 = 1 -1 1 = 3
1 0 -1
0 1 -1
1
1
1
1 -1 0 = 3; -1
1
0
1 -1
1
1
1
1
0 =-3
0 -1
c) 1
1 1
1 1
1
2 -2 0 = 6; 2 : 1 -1 0 = 2 : 3 = 6
0 1 -1
0 1 -1
f)
1
0
0
0
1
0
2
1
1
-1
4
2
-3
1
-2
Resposta oberta. Per exemple, deixant la primera fila igual i
canviant les altres dues per f2’ = f2 + f1 i f3’ = f3 − f1 i desenvolupant-lo pels elements de la segona columna nova queda:
-
3
6
-5 -6
= -12
15. Calcula el determinant de l’activitat anterior per la regla de
Sarrus.
16. Troba el rang de les matrius següents:
c) 2a fila → −16
b) 1
0
0 =1
1
J3
K
A = K1
K
L1
1
2
1
J3 1
K
K1
2
C =K
2
1
K
K
5
2
L
J 3 1 2 5N
K
O
B = K 1 2 -1 2O
K
O
L1 1 0 1 P
2N
O
-1 O
O
0P
5N
J2 -1
O
1N
K
O
5O
O D = K 1 - 2 - 1O
0O
K
O
1
0P
O
L3
1P
Rang A = 2, rang B = rang C = rang D = 3.
17. Troba els valors de a pels quals rang A ≠ 3.
J 1
K
A = Ka + 1
K
L 2
a
1
1
1N
O
-a O
O
-1 P
|A| = 0 → −a2 + 3a − 2 = 0 → a = 1, a = 2
18. Sigui A una matriu quadrada regular. Demostra:
a) Si AX = B, aleshores X = A−1 B.
b) Si XA = C, aleshores X = CA−1.
1
g) 1
0
2
1
3
0 =3
4 -1
1
1 2 1
1 3 0 = 1
0
0 4 -1
13
4 − 6 + 4 − 12 + 2 − 4 = −12
a) 3a columna → −135
a) 1
2
13
-
14. Calcula el determinant següent, calculant només un determinant d’ordre 2:
c) Desenvolupant-lo pels elements de la tercera columna.
1 -6
b) 2
3 -1
7
0
0
4
2
1
a
b) 7a + 35 = 0 → a = −5
0
b) Desenvolupant-lo pels elements de la segona fila.
0
5
0
1
b) - 3
2
a) 2a2 + 17a + 30 = 0 → a = −5/2, a = −6
a) Per la regla de Sarrus.
a) 3 -2
9
-3
6
5
21
c) Aplica-ho a les matrius:
1
1
1 1 1
2
0 + 1 1 0 =2+1=3
3 -1
0 1 -1
2
A= e
-1
B=e
3
o
5
-1 4 1
o
0 2 -1
02
22
SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE
J 1
0N
K
O
C = K - 2 -1 O
K
O
1P
L 3
23. Considera les matrius:
a) AX = B → A−1(AX) = A−1B → (A−1A) X = A−1B → IX = A−1B →
X = A−1B
b) XA = C → (XA)A−1 = CA−1 → X (AA−1) = CA−1 →
XI = CA−1 → X = CA−1
c)
X = A-1 B =
冢-1/13
-5/13
14/13
8/13
J 5/13
K
X = CA = K -11/13
K
L 16/13
-1
冣
8/13
-1/13
- 3/13 N
O
4/13O
O
-7/13P
19. De les matrius:
A=e
1 2 3
3 -2 1
1 0
o; B = e
o; C = e
o
0 3 0
1
1 1
2 4
a) Indica’n una que tingui inversa.
b) Troba aquesta inversa. Fes-ne la comprovació.
a) La matriu A.
b)
A-1 =
冢-1/2
冣
1
0
1/4
AA-1 = A-1 A =
冢0 1冣
1 0
20. Amb les matrius de l’activitat anterior, troba una matriu X
tal que AX − B = C.
J3
K
A = K0
K
L1
J0
1
2N
K
O
1 -1 O ; B = K 0
K
O
1
2P
L1
Comprova que:
(BA)−1 = (A−1)(B−1) i (AB)−1 = (B−1)(A−1)
J-1/2
0 1/2 N
K
O
(BA) = (A )(B ) = K 1/2
2/3 -1/6 O
K
O
L 1/2 -1/3 -1/6 P
-1
-1
-1
J -1/6 -1/3 1/2 N
K
O
(AB) = (B )(A ) = K -1/6
2/3
1/2 O
K
O
0 -1/2 P
L 1/2
-1
-1
-1
24. De les matrius següents indica’n una que tingui inversa i
calcula aquesta inversa:
J1 0 0N
K
O
A = K 0 1 0O
K
O
L2 4 1P
J1
2 3N
K
O
B = K1 - 1 3O
K
O
3 0P
L0
J3 - 2
1N
K
O
C = K1 - 4 - 1O
K
O
1
1P
L1
Troba una matriu X tal que XA + B = 2C.
La matriu A,
A−1
J 1 0 0N
K
O
= K 0 1 0O
K
O
L-2 -4 1P
X = (2C − B)
A−1
J 7 -2 -1 N
K
O
= K 11 13 -5 O
K
O
2P
L-2 -9
4 0
4
p
X = A-1 (B + C ) = f
-7/4 1 -7/4
21. Troba la inversa de la matriu següent i comprova-la.
J 1
K
A = K -1
K
L 3
2
1
4
3N
O
2O
O
2P
Calcula |A−1| i compara-la amb |A|. Què hi observes?
J 6/11 -8/11 -1/11N
K
O
7/11
5/11 O; A = -11
A = K-8/11
K
O
L 7/11 -2/11 -3/11 P
J1 0 0 N
K
O
1 = 1
-1
-1
AA = A A = K 0 1 0 O; A-1 =11
A
K
O
L0 0 1P
-1
22. Troba una matriu B, tal que BA = (1 2 0) essent A la matriu
de l’activitat anterior.
⎛ 10
B = ⎜−
⎝ 11
6
11
9⎞
11 ⎟⎠
1N
O
1 0O
O
0 0P
0
⎛0 1 ⎞
⎛3 1 ⎞
25. Donades dues matrius A = ⎜
iB=⎜
, esbrina
⎟
2
−
1
⎝ 2 −1⎟⎠
⎝
⎠
si existeix una matriu C que compleixi BC = A, si s’escau,
calcula-la.
Sí, existeix.
⎛5
C = B–1 . A = ⎜ 2
⎜
⎝3
0⎞
⎟
⎟
1⎠
Activitats finals
1. Calcula el determinant d’una matriu quadrada A d’ordre 3,
definida per les condicions:
aij = 3 (i = j), aij = 1 (i ≠ j)
02
MATEMÀTIQUES APLICADES A LES CIÈNCIES SOCIALS 2
7. Donades les matrius:
J3 1 1N
K
O
A = K1 3 1O " A = 20
K
O
L1 1 3P
J4 -1 0 N
J-1 1 3N
K
O
K
O
A = K 1 0 2O; B = K 2
1 3O;
K
O
K
O
2 1P
L1
L 2 -1 1P
J 1
2
2N
K
O
C = K-2 -1
0 O troba, si existeix, la matriu X:
K
O
2 -4 P
L 3
2. Resol l’equació següent:
x
2 x + 1 2x + 1
2 x + 1 3x − 1
4x = 0
3x − 1
4x
6x − 1
−6x2
a) XB = C.
b) AX = B.
+ 3x = 0 → x = 0, x = 1/2
J -1/7
3/7
5/7 N
K
O
a) X = CB = K - 3/7
2/7 -6/7 O
K
O
L25/21 -47/21 19/7 P
J -1 1
5N
K
O
1
8O
b) X = A B = K-3/2 0
K
O
L 3/2 0 -1 P
1
3. Demostra que les arrels del polinomi següent són 4, 8 i −12.
x 8 8
p ]xg = 8 x 4
4 4 x
p(x) = x3 − 112x + 384 = (x − 4)(x − 8)(x + 12)
4. Troba el rang de les matrius següents:
J1
K
A = K3
K
L5
1 - 1 1N
O
2
1 1O
O
3
3 2P
J1 5 3 2 2 N
O
K
C = K 2 3 1 1 2O
K
O
L0 7 5 3 2P
J 2
1N
K
O
K- 3 - 2O
B=K
O
K 1 - 1O
K
O
2P
L 1
J1 1
1N
K
O
K1 1
1O
K
O
D = K1 1 - 1O
K1 - 1
0O
KK
OO
0P
L1 - 1
Rang A = 3, rang B = 2, rang C = 2 i rang D = 3.
⎛ −1 1 0 2 ⎞
5. Calcula el rang de la matriu A = ⎜ 1 1 1 1 ⎟
⎟
⎜
⎝ −3 1 −1 −5⎠
A > 2.
−1 1 0
−1 1 2
Com que 1 1 1 = 0 i 1 1 1 = 16 , llavors rang A = 3.
−3 1 −1
−3 1 − 5
6. Decideix, segons els valors de k, el rang de la matriu:
J1 k k 2N
K
O
K1 2 4 O
K
O
L1 3 9 P
8. Comprova que la inversa de
a b
d -b
1
p és A–1 =
f
p
A=f
ad
bc
c d
a
-c
Demostra que A–1 = 1
A
A-1 =
d -b
1
1
= da - bc 2 =
= A
2
]ad - bc g -c a ]ad - bc g ad - bc
3
4
-1
-2
9. Sigui A = f
p troba una altra matriu quadrada B
d’ordre 2 tal que AB = 3A.
3 0
B = 3I = f p
0 3
10. Troba les matrius inverses de:
J1
K
A = K0
KK
L0
J2
K
C = K0
KK
L2
J 2
2 3NO
2 -3 NO
K
1 2OO; B = KK 1 -1 0OO;
K
O
O
2 1P
0 1P
L-1
4 3NO
1 -1OO. Fes-ne la comprovació.
O
2 -1P
J -2
N
7O
K1
O
A−1 = K 0
1 - 2O
K
K
O
0
1P
L0
JK 1/12 - 5/6
−1
C = KK 1/6
2/3
KK
- 1/3
L 1/6
B−1
J
K 1
=K 1
K
K
L-1
N
7/12 O
O
-1/6 O
OO
-1/6 P
k2 − 5k + 6 = 0 → k = 2, k = 3
Si k ≠ 2 i k ≠ 3, el rang és 3; i si k = 2 o k = 3, aleshores el rang
és 2.
AA-1 = A-1 A = BB-1 = B-1 B = CC-1
-4
-5
6
-3 NO
O
-3 O
O
4 P
J1 0 0N
K
O
K
O
= C-1 C = K 0 1 0O
K
O
L0 0 1P
23
02
24
SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE
⎛ 5 0 1⎞
11. Calcula la matriu inversa de A = ⎜ −2 −3 0 ⎟
⎟
⎜
⎝ 1 4 −1⎠
|A| = 10
b) Resol l’equació:
a
a
a
a+c
a
x
2
2
2-x
0
0
x+1
x+1
a) abc;
2
3 ⎞
⎛ 3
⎜ 10
5 10 ⎟
⎜ 1
3
1⎟
A−1 = ⎜ −
−
− ⎟
5
5⎟
⎜ 5
⎜ 1
3⎟
−2 − ⎟
⎜−
⎝ 2
2⎠
a
1. a) Calcula el determinant: a + b
2x + 2
4
3 ⎞
⎛3
t
( A*) = ⎜ −2 −6 −2 ⎟
⎜
⎟
⎝ −5 −20 −12⎠
=0
b) x = −1, x = 0, x = 1
J 1 -2
3 NO
K
2. Donada la matriu A = K 1
1
2O
KK
OO
0
-2
-1
L
P
12. Calcula el determinant de la matriu inversa de la matriu:
Troba la matriu inversa de A i calcula el determinant de la
inversa
2
7⎞
⎛ 1
−
−
−
⎜ 11
11
11 ⎟
⎜ 3
5
1 ⎟⎟
A−1 = ⎜ −
11 ⎟
⎜ 11 11
⎜ 2
4
3 ⎟
⎟
⎜
⎝ 11
11
11 ⎠
1 NO
4 -1 O
OO
1P
-1
-3
A–1 = 1 = 1
7
A
13. Té inversa la matriu B? Justifica la resposta.
J1 2 3N
K
O
B = K 4 5 6O
KK
O
O
L7 8 9 P
A−1 =
1
1
=
A 11
3. Resol l’equació X·A = B + C, sabent que
⎛ 0 1⎞
⎛ 1 1⎞
⎛ 1 0⎞
A=⎜
, B=⎜
i C=⎜
⎟
⎟
1
2
0
1
⎝
⎠
⎝
⎠
⎝ 1 0⎟⎠
No té matriu inversa perquè |B| = 0.
14. Tres de les matrius següents no tenen inversa.
⎛2 1 1⎞
⎟
⎝0 1 2⎠
a
a
⎛ 3 −2 −5 ⎞
A* = ⎜ 4 −6 −20⎟
⎟
⎜
⎝ 3 −2 −15⎠
J2
K
A = K1
KK
L1
Avaluació
⎛ 2 - 4⎞
⎟
⎝-1
2⎠
X · A · A−1 = (B + C) · A−1 → X = (B + C)· A−1
A=⎜
B= ⎜
⎛ 1 1⎞
B+C = ⎜
⎝ 1 1⎟⎠
J1 1 0 N
K
O
C = K 1 2 0O
KK
OO
2
0
3
L
P
J1 1 0N
K
O
D = K 1 2 1O
KK
OO
L2 3 1 P
⎛ 2 −1⎞ −1 ⎛ 2 −1⎞
⎛ 2 −1⎞ t
; ( A*) = ⎜
;A =⎜
A = 1; A* = ⎜
⎟
⎝ −1 1 ⎟⎠
⎝ −1 1 ⎠
⎝ −1 1 ⎟⎠
Digues quines són, calcula la matriu inversa de la que en té
i fes-ne la comprovació.
Les matrius A, B i D.
J
K
0N
O
0O
K
O
L- 4/3 2/3 1/3P
2
C−1 = K -1
-1
1
J1 0 0N
K
O
C C−1 = C−1C = K 0 1 0O
K
O
L0 0 1P
⎛ 1 1⎞ ⎛ 2 −1⎞ ⎛ 1 0⎞
X =⎜
=
⎝ 1 1⎟⎠ ⎜⎝ −1 1 ⎟⎠ ⎜⎝ 1 0⎟⎠
Jm 2 - 3N
K
O
4. Estudia el rang de la matriu A = K 3 0 1O
K
O
L2 m - 1P
Si m ≠ 1 i m ≠ −10, el rang és 3.
Si m = 1 o m = −10, el rang és 2.
03
MATEMÀTIQUES APLICADES A LES CIÈNCIES SOCIALS 2
Unitat 3. Sistemes d’equacions
lineals
Activitats
1. Esbrina si (0, 1, 2) és la solució d’algun dels sistemes següents:
Z
]] x - 2y = 0
b) [3x + y = 1
]2x - y + z = 2
\
Z
]]3x + z = 2
d) [ x + 3y = 1
]y + z = 0
\
Z
]] x - 2y + z = 0
a) [3y - 2z = -1
]5x + y - z = -1
\
Z
]]2x - 4y + 2z = 0
c) [- 2y + z = 0
]- 4x + y + z = 3
\
Substituim x = 0, y = 1 i z = 2 en cada una de les equacions de
cada sistema. Si es verifiquen les tres alhora, és solució:
a) Sí
b) No
c) Sí
d) No
2. Aplica les propietats de l’equivalència de sistemes fins a
arribar a un d’esglaonat, per trobar la solució dels sistemes següents:
Z
]] x + y + z = 0
a) [2x - 3y + 2z = 1
] x + y - 2z = - 3
\
Z
]]- x + y + z = 2
b) [3x - y + z = 0
]- 2x + 3y - 5z = -2
\
Z
]] x - y + z = 3
c) [2x + y + 3z = 5
]- x + y - 8z =-1
\
Z
]]8x - 4y + 4z = 0
d) [3x + y + z = 1
]x + y + z = 2
\
x+y+z=0
a) * - 5y = 1
3z = 3
Z
]] x = - 4
5
]
[ y =- 1
5
]]
z=1
\
Z
-x + y + z = 2
]x=0
[y=1
b) * x + z = 1
]] z = 1
9z = 9
\
Z
] y = -5
21
x-y+z=3
]]
64
c) * 3x + 4z = 8 [ x = 21
]
-7z = 2
] z =- 2
7
\
Z
]y= 3
4
x-y+z=0
]]
7
d) 5x + 2z = 1 [ z = 4
]
2x = -1
] x = -1
2
\
25
3. Aplica el mètode de Gauss per resoldre, si és possible, els
sistemes següents. Explica en cada cas de quin tipus de
sistema es tracta.
Z
]]3x - 3y + z = 0
a) [ x - 2y + 2z = 3
]2x + 2y - 6z = - 4
\
Z
]]3x - 3y + z = 0
c) [ x - 2y + 2z = 3
]2x + 2y - 3z = -12
\
Z
]] 3x - 3y + z = 0
b) [ x - 2y + 2z = 3
]2x + 2y - 3z = 6
\
Z
]] x + y + z = 2
d) [3x - y + 2z = 0
]5x + y - z = 1
\
a) Posem la segona equació en primer lloc i dividim la tercera
per 2 per aplicar Gauss:
J1 -2
2
3N
2 3N J1 -2
2 3N J1 -2
O
O K
K
O K
K 3 -3
3 -5 -9 O
1 0O K 0 3 -5 -9O K 0
O
O K
K
O K
0
0 4P
L1 1 -3 -2P L0 3 -5 -5P L0
el sistema és incompatible.
b) Posem la segona equació en primer lloc. Es pot esquematitzar el procés representant les files de les successives
matrius: F1, F2, F3 → F1, F'2 = F2 − 3F1, F'3 = F3 − 2F1 →
F1, F'2, F3'' = F'3 − 2F'2 → Compatible determinat: (5, 7, 6)
c) Posar la segona equació en primer lloc. F1, F2, F3 →
F1, F'2 = F2 − 3F1, F'3 = F3 − 2F1 → F1, F'2, F3'' = F'3 − 2F'2 →
Compatible determinat: (−3, −3, 0)
d) F1, F2, F3 → F1, F'2 = F2 + F1, F'3 = F3 − F1 → F1, F'2,
F3'' = F'3 − F'2 → Compatible determinat:
⎛ 1 27 3 ⎞
⎜⎝ 20 , 20 , 5 ⎟⎠
4. Si en un sistema de tres equacions i tres incògnites substitueixes una equació per la que resulta de sumar les tres,
obtens un sistema equivalent? Raona la teva resposta.
Sí. La suma de les tres equacions és una combinació lineal
d’elles i el sistema que en resulta és equivalent al donat.
5. Escriu dues equacions lineals amb tres incògnites. Afegeix
una tercera equació de manera que el sistema format per
aquesta i les altres dues sigui compatible indeterminat.
Pots afegir una tercera equació perquè el sistema sigui
incompatible?
Construïm un sistema de manera que la tercera equació sigui
combinació lineal de les dues primeres:
Z x 1 y 1 2z 5 1
]]
[ x 2 2y 2 z 5 3
] 2x 2 y 1 z 5 4
\
D'aquesta manera hem aconseguit un sistema compatible indeterminat. Ara canviem el terme independent de la tercera
equació, i així obtenim un sistema incompatible.
6. Resol els sistemes que et proposem a continuació en cas
que siguin compatibles:
03
26
SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE
Z
]]2x + y + z = 4
a) [3x + 4y - z = 4
] x + 3y + 2z = 4
\
c) *
x - 2y = 15
Z
]]3x - 5y + 3z = 1
b) [ x - 3y + 2z = 2
] x + y - z =-3
\
a) |M| = 0. Hi ha un determinant de segon ordre diferent de 0,
per tant, rang M = 2 i rang M' = 3 ja que el determinant que
s’obté en orlar amb la columna de termes independents és
diferent de 0. El sistema és incompatible.
b) Rang M = 2 i rang M' = 3. Igual que l’apartat anterior.
12x - y = 10
14x + 5y = 1
d) *
- 3x + 4y = 7
a) Posem la tercera equació en primer lloc: F1, F2, F3 →
F1, F’2 = F2 − 3F1, F’3 = F3 − F1 → Compatible determinat:
7 1
—, —, 1
5 5
1
2
b) Posem la segona equació en primer lloc: F1, F2, F3 →
F1, F'2 = F2 − 3F1, F'3 = F3 − F1 → Compatible indeterminat ja
que F'2 = F’3. Les solucions expressades en funció de z, són:
z −7
3z − 5
x = ———, y = ———, z.
4
4
9. Contesta si cadascuna de les afirmacions següents és veritat o fals:
a) Un sistema de tres equacions i tres incògnites és sempre compatible determinat.
b) Un sistema compatible indeterminat té només dues solucions.
c) La matriu del sistema de dues equacions i tres incògnites és de rang 3.
c) Per reducció. Compatible determinat: x = −37 i y = −26
d) Un sistema és incompatible quan té més equacions que
incògnites.
51
64
d) Per reducció. Compatible determinat: x = —— i y = −——.
74
37
e) En un sistema compatible determinat de tres equacions
amb tres incògnites, la matriu ampliada és de rang 3.
7. Aplica el teorema de Rouché als sistemes següents i troba
la solució dels que siguin compatibles.
Z
]] x - y + z = 7
a) [ x + y - z = 3
]- x + y + z = 1
\
Z
]]2x + y - z = 15
c) [5x - y + 5z = 16
] x + 4y + z = 20
\
a) És fals. Depèn dels rangs de les matrius M i M'.
Z
]] 3x - 3y + z = 0
b) [ x - 2y + 2z = 3
]2x + 2y - 3z = 6
\
Z
]]3x - y = 0
d) [ x + y + z = 1
]- x + 3y - z =-2
\
b) És fals. Si és indeterminat té infinites solucions.
c) És fals. Com a màxim és de rang 2, ja que només es pot
considerar un determinant de segon ordre.
d) És fals. Que sigui incompatible només depèn dels rangs de
les matrius.
e) És veritat. Coincideixen els rangs de les matrius i no hi ha
cap determinant d’ordre superior a 3.
J 1 -1 1 7 N
K
O
a) M’ = K 1 1 -1 3 O
K
O
1 1P
L-1 1
f ) És veritat. Té infinites solucions i per tant, tres de diferents,
com a mínim.
|M| = 4, rang M = rang M' = 3, per tant el sistema és compatible determinat. Es pot resoldre per Gauss: (5, 2, 4).
b) |M| = 11, rang M = rang M' = 3, per tant el sistema és compa52 59 10
tible determinat. Es pot resoldre per Gauss: ——, ——, —— .
11 11 11
1
2
c) |M| = −63, rang M = rang M' = 3, per tant el sistema és compatible determinat. Es pot resoldre per Gauss: (5, 4, −1).
d) |M| = −12, rang M = rang M' = 3, per tant el sistema és compatible determinat. Es pot resoldre per Gauss:
1
1 4
−——, −—, — .
12
4 3
1
2
8. Comprova que els sistemes següents són incompatibles:
Z
]]2x - y + z = 2
a) [3x + 2y - 4z = 1
] x + 3y - 5z = 4
\
f) Un sistema compatible indeterminat pot tenir tres solucions diferents.
x+y-z=0
b) *2x - y - 2z = 1
3x - 3z = 2
10. Escriu els sistemes següents en forma matricial i troba’n la
solució, si són compatibles, utilitzant la matriu inversa:
Z
]]2x + y - z = 3
a) [ x + 3y + 2z = -1
]3x - y + 5z = 7
\
Z
]] x + y + z = 6
b) [3x - y + 2z = 7
]2x + 3y - z = 5
\
J2 1 - 1N Jx N J 3N
K
OK O K O
a) K1 3 2OK yO = K- 1O
K
OK O K O
L3 - 1 5 P Lz P L 7P
|M| = 45, per tant existeix la matriu inversa i podem trobar
la solució:
J 17 - 4
Jx N
5N J 3N J 2N
K O
K
OK O K O
1
K yO = K 1 13 -5OK- 1O = K- 1O
45
K O
K
OK O K O
5
5P L 7P L 0P
Lz P
L-10
La solució és: (2, −1, 0)
03
MATEMÀTIQUES APLICADES A LES CIÈNCIES SOCIALS 2
J1
1 1N Jx N J6N
K
OK O K O
b) K3 -1 2OK yO = K7O
K
OK O K O
L2 3 -1P Lz P L5P
|M| = 13, per tant existeix la matriu inversa i podem trobar
la solució:
J-5
Jx N
4 3 N J6N J1N
K O
K
OK O K O
1
K yO = K 7 - 3 1 OK7O = K2O
13
K O
K
OK O K O
Lz P
L 11 -1 -4 P L5P L3P
La solució és: (1, 2, 3).
14. Comprova que els sistemes següents són de Cramer i troba’n
la solució utilitzant aquest mètode:
Z
]] x + y - z = 3
a) [ 2x - 2y - 3z = 1
] x + y -2z = 2
\
Z
]] x + y + 2z = 1
c) [2x + 3y + 3z = 1
]3x - y + 5z = 2
\
e) *
11. Escriu un sistema de dues equacions amb tres incògnites.
Posa’l en forma matricial. Té inversa, la matriu del sistema? És un sistema compatible i determinat? Raona les
teves respostes.
3x + 2y + z = 1
x+y+z=3
Per exemple: *
Jx N
3 2 1 K O 1
oK y O = e o
En notació matricial: e
1 1 1K O 3
Lz P
La matriu M és d'ordre (2, 3), no és quadrada i no té inversa.
No es pot resoldre el sistema per aquest mètode. El sistema és
compatible indeterminat. Les dues matrius són de rang 2.
12. Escriu en forma matricial el sistema:
Z
]]2x - y + 2z = 0
[- x + 2y - z = 1
]x + y + z = 1
\
El pots resoldre utilitzant la matriu inversa? Raona la teva
resposta.
J 2 - 1 2N Jx N J0N
K
OK O K O
K- 1
2 -1OK yO = K1O
K
OK O K O
1
1P Lz P L1P
L 1
|M| = 0, per tant, M no té inversa i no es pot resoldre el sistema per aquest mètode.
13. Resol el sistema següent en forma matricial:
*
x - 3y = 2
2x + y = 3
⎛ 1 −3⎞ ⎛ x ⎞ ⎛ 2⎞
⎜⎝ 2 1 ⎟⎠ ⎜⎝ y ⎟⎠ = ⎜⎝ 3⎟⎠
M =7
27
x + 3y = 6
x - 8y = 16
Z
]]3x - 4y - z = 1
b) [2x + y - 6z = 1
] x + y - 3z = 2
\
Z
]] x - y + z = 1
d) [- x + 3y = 2
]2x + 2y + 5z = 8
\
f) *
x+y=2
2x + 3y = 1
Per comprovar si els sistemes següents són de Cramer, calculem el determinant Δ de la matriu del sistema. Si és diferent
de 0, es pot aplicar aquest mètode. Calculem els determinants
corresponents a cada incògnita, tot i que per trobar la tercera
incògnita, també podem substituir les altres dues en una de
les equacions.
a) Δ = 4, Δ x = 12, Δy = 4 i Δ z = 4; x = Δ x/Δ = 3, y = Δy/Δ = 1 i
z = Δ z/Δ = 1. La solució és: (3, 1, 1).
b) Δ = 8, Δ x = 40, Δy = 24 i Δ z = 16. La solució és: (5, 3, 2).
c) Δ = −5, Δ x = 5, Δy = 0 i Δ z = −5. La solució és: (−1, 0, 1).
5 3
d) Δ = 2, Δ x = 5, Δy = 3 i Δ z = 0. La solució és: —, —, 0 .
2 2
1
2
96
10
e) Δ = −11, Δ x = −96 i Δy = 10. La solució és: ——, −—— .
11
11
1
2
f) Δ = 1, Δ x = 5 i Δy = −3. La solució és: (5, −3).
15. Considera el sistema següent i mira si el pots resoldre pel
mètode de Cramer.
Z
]] 2 x + 3 y - 5 z = 8
[ -x + 2 y - z = 5
] 5 x - 3 y - 2 z = -7
\
Si considerem el sistema:
2x + 3y = 8 + 5z
*
- x + 2y = 5 + z
el podem resoldre per Cramer ja que Δ = 7 ≠ 0.
1
18
La solució és: — + z, —— + z, z .
7
7
1
2
16. Raona, i resol en cas que sigui possible, els sistemes següents pel mètode de Cramer.
⎛ 11 ⎞
⎛ x ⎞ 1 ⎛ 1 3⎞ ⎛ 2⎞ ⎜ 7 ⎟
⎜⎝ y ⎟⎠ = 7 ⎜⎝ −2 1⎟⎠ ⎜⎝ 3⎟⎠ = ⎜ −1 ⎟
⎜ ⎟
⎝ 7⎠
Z
]] x + y + z = 0
a) [2x - 3y + z = 0
]5x + y - z = 0
\
11
1
La solució és: x = —— i y = −—.
7
7
a) Δ = 26. Es pot resoldre per Cramer. Δ x = Δy = Δ z = 0 per
tenir una columna de zeros. És compatible determinat i la
solució és la trivial: (0, 0, 0).
Z
2x - y + 3z = 0
]]
b) [- x + 2y - 3z = 0
]x + y = 0
\
03
28
SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE
c) |M| = 12. Rang M = rang M' = 3. El sistema és compatible determinat. Es pot resoldre per Cramer perquè té ja Δ = |M| =
= 12; Δx = −36; Δy = 24; Δz = 24. La solució és: (−3, 2, 2).
b) Δ = 0 . Podem considerar el sistema:
2x - y =-3z
*
-x + 2y = 3z
2 - 3z
-3z -1
Δ' = 3; Δ'x =
=- 3z; Δ'y =
= 3z; z = l
3z
2
3z
-1
compatible indeterminat i la solució és: (−λ, λ, λ).
17. Resol els sistemes homogenis següents:
Z
]] x - y + z = 0
a) [2x + y - z = 0
]y + z = 0
\
c)
19. Discuteix els sistemes següents segons els valors del paràmetre k:
x+y=0
3x + y - z = 0
*y + z = 0
d) *- 2x - y + 2z = 0
x+z=0
Z
]] x - y - z = 0
e) [3x + 5y + z = 0
]- 2x + 4y = 0
\
a) Δ = 6, Δ x = Δy = Δ z = 0. Compatible determinat: (0, 0, 0).
1
3
b) Δ = 0. Compatible indeterminat: λ, −— λ, −— λ .
4
4
1
2
c) Δ = 2, Δ x = Δy = Δ z = 0. Compatible determinat: (0, 0, 0).
d) Δ = 0. Compatible indeterminat: (λ, −4λ, −λ).
e) Δ = −24, Δ x = Δy = Δ z = 0. Compatible determinat: (0, 0, 0).
18. Estudia la compatibilitat dels sistemes següents i resol els
que siguin compatibles.
Z
]] x + y + z = 6
a) [2x - y + 3z = 9
] 4x + y + 5z = 21
\
Z
]]2x + 3y = 0
c) [ x + 3z = 3
] x + y + 3z = - 7
\
Z
]]2x - 3y + z = 9
b) [ 4x + y - z =-1
]6x - 2y = 8
\
Z
]]2x - 4y + 6z = 2
d) [ y + 2z = -3
] x - 3y + z = 4
\
Z
]2x - y =-7
] x + 2y = 4
f) [
]5x + y =-7
]3x + y =-3
\
Z
]]2x + 3y - z =-5
e) [ x + 2y - z =-5
]5x + y + z = 11
\
a) |M| = 0. Rang M = rang M' = 2 i el sistema és compatible
indeterminat i es pot resoldre per Gauss. Les solucions es
poden expressar: (9 − 4λ, λ, −3 + 3λ).
b) |M| = 0. Rang de M = 2 i rang M' = 2. El sistema és compatible indeterminat. Solucions:
1
3 3
19
—— λ + ——, —— λ − ——, λ
7
7 7
7
1
2
e) |M| = −3. Rang M = rang M' = 3. El sistema és compatible
determinat. La solució és: (2, −2, 3).
f) |M| = 5. Rang M = rang M' = 2. El sistema és compatible
determinat. La solució és: (−2, 3).
Z
]] x + y + z = 0
b) [2x - y + 3z = 0
] 4x + y + 5z = 0
\
x+z=0
d) |M| = 0. Rang M = rang M' = 2 i el sistema és compatible
indeterminat i es pot resoldre per Gauss. Les solucions es
poden expressar: (−5 − 7λ, −3 − 2λ, λ).
Z
]] x - 2y + z = 1
a) [2x + y - 3z = 2
] kx - y - 2z = 3
\
Z
]] x + y + z = 0
c) [3x + 2y + kz = 5
]2x + y - z = 3
\
2x + y + z = 1
e) *kx + 2z = 2
4x + z = 0
Z
]] x + y + z = 0
b) [ x + y + 2z = 0
] kx + 2y + z = 0
\
Z
]]2x + y + z = 3
d) [ x - 3y + 8z = 2
]3x + 5y + kz = 5
\
Z
]] x - ky = 1
f) [2x + ky = k
]x + y = 2
\
a) Si fem |M| = 0 → k = 3. Per aquest valor, rang M = rang M' = 2
i el sistema és compatible indeterminat. Per a k ≠ 3 és compatible determinat.
b) Si fem |M| = 0 → k = 2. Per aquest valor, rang M = rang M' = 2
i el sistema és compatible indeterminat. Per a k ≠ 2 és compatible determinat i té la solució trivial.
c) Si fem |M| = 0 → k = 0. Per a k = 0 el sistema és incompatible, ja que rang M = 2 i rang M' = 3. Per a k ≠ 0 és compatible
determinat.
d) Si fem |M| = 0 → k = −6. Per a k = −6 el sistema és incompatible, ja que rang M = 2 i rang M' = 3. Per a k ≠ −6 és compatible determinat.
e) Si fem |M| = 0 → k = 8. Per a k = 8 el sistema és incompatible, ja que rang M = 2 i rang M' = 3. Per a k ≠ 8 és compatible
determinat.
f) Només serà compatible determinat si rang M = rang M' = 2.
−
Això implica que |M'| = 0 → k = 2 ± √6 . Només és compatible determinat per aquests dos valors de k. Per valors
diferents d'aquests és incompatible.
20. En una granja hi ha porcs, vaques i cavalls; en total 54 animals. El nombre de vaques representa 3 del nombre de
4
porcs, i el de cavalls, 2 del de vaques.
3
Quants animals hi ha de cada classe a la granja?
x: nombre de porcs, y: nombre de vaques, z: nombre de cavalls.
03
MATEMÀTIQUES APLICADES A LES CIÈNCIES SOCIALS 2
Zx + y + z = 54
]
]
3
[y =4 x
]]
z=2 y
3
\
Ho podem resoldre per substitució. La solució és: 24 porcs, 18
vaques i 12 cavalls.
29
25. D’un nombre de tres xifres sabem que:
− Sumant la xifra de les centenes amb la de les unitats
s’obté la xifra de les desenes.
− Les tres xifres sumen 10.
− Si s’inverteix l’ordre de les xifres, s’obté un altre nombre
297 unitats més gran.
Calcula el nombre.
21. La suma de les edats de tres persones és 100 anys. Troba
l’edat de cadascuna d’elles si saps que la del mig té 10 anys
més que la més petita, i que la més gran té tants anys com
les altres dues juntes.
x: edat del més gran, y: edat del mitjà, z: edat del més petit.
Zx + y + z = 100
]]
[ y = 10 + z
]x =y +z
\
Ho podem resoldre per substitució.
La solució és: 50, 30 i 20 anys, respectivament.
22. En un nombre de tres xifres la suma d’aquestes és 10. La xifra de les desenes és 3 i quan s’inverteix l’ordre d’aquestes
xifres, s’obté un altre nombre que excedeix el primer en 495
unitats. Troba aquest nombre.
xyz → 100x + 10y + z
Zx + y + z = 10
]]
[y =3
]100z + 10y + x - (100x + 10y + z) = 495
\
El nombre és 136.
23. L’edat d’en Pere és el doble de l’edat de la Maria. Fa 7 anys
la suma de les edats era igual a l’edat actual d’en Pere. Troba
les dues edats.
x: edat d’en Pere, y: edat de Maria.
*
x = 2y
x-7+y-7=x
Solució: 28 i 14 anys, respectivament.
24. Les edats d’una nena, el seu pare i la seva àvia sumen
100 anys. Calcula aquestes edats sabent que la diferència
entre l’edat del pare i la de la seva filla és la meitat de
l’edat de l’àvia i que 14 vegades l’edat de la nena és el doble
de l’edat del pare.
x: edat de la nena, y: edat del pare, z: edat de l’àvia.
Z
]] x + y + z = 100
[ y - x = z/2
]14x = 2y
\
Solució: 5, 35 i 60 anys, respectivament.
xyz → 100x + 10y + z
Zx + z = y
]]
[ x + y + z = 10
]100z + 10y + x - (100x + 10y + z) = 297
\
El nombre és 154.
Activitats finals
1. Estudia la compatibilitat dels sistemes següents i resol els
que siguin compatibles.
⎧ x+ y+z =2
⎪
a) ⎨2 x + 3 y + 5 z = 11
⎪ x − 5 y + 6 z = 29
⎩
⎧x − y + z = 3
⎪
b) ⎨2 y + 3z = 15
⎪ 3 x + y = 12
⎩
⎧ x + y = 12
⎪
c) ⎨ y + z = 8
⎪ x+z=6
⎩
⎧ x + 2 y − 3z = −16
⎪
d) ⎨3 x + y − 2 z = −10
⎪ 2 x − 3 y + z = −4
⎩
Z
]]3x + y - z = 3
e) [- 6x + 2y + z = 8
f)
]18x - 5y + 2z =-10
\
Z
]]2x - 5y + 3z =-12
g) [3x + 2y - 5z = 1
h)
]7x - 4y + 2z = 0
\
Z
] x + _1 - 3i y + _1 + 3i z = 1
]
i) [_1 + 3i x + y + _1 - 3i z = 1
]]_
1 - 3i x + _1 + 3i y + z = 1
\
⎧ x + y − 2z = 9
⎪
⎨2 x − y + 4 z = 4
⎪2 x − y − 6 z = −1
⎩
Z
]] x + y + 3z = 0
[x - y + z = 0
]2x + y + 5z = 0
\
a) |M| = 23 → rang M = rang M' = 3 i el sistema és compatible
determinat. La solució és (1, −2, 3).
b) |M| = −18 → rang M = rang M' = 3 i el sistema és compatible
determinat. La solució és (3, 3, 3).
c) |M| = 2 → rang M = rang M' = 3 i el sistema és compatible
determinat. La solució és (5, 7, 1).
d) |M| = 14 → rang M = rang M' = 3 i el sistema és compatible
determinat. La solució és (1, 5, 9).
e) |M| = 63 → rang M = rang M' = 3 i el sistema és compatible
1
determinat. La solució és —, 4, 2 .
3
1
2
f) |M| = 30 → rang M = rang M' = 3 i el sistema és compatible
1
determinat. La solució és 4, 6, — .
2
1
2
03
30
SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE
g) |M| = 95 → rang M = rang M' = 3 i el sistema és compatible
determinat. La solució és (2, 5, 3).
h) |M| = 0 → rang M = rang M' = 2 i el sistema és compatible
indeterminat. La solució és (−2λ, −λ, λ).
i ) |M| = 27 → rang M = rang M' = 3 i el sistema és compatible
determinat; es pot resoldre per reducció o Gauss. La solució és
1 1 1
—, —, — .
3 3 3
1
2
2. Raona per què tots els sistemes següents són compatibles.
Expressa la solució dels indeterminats.
⎧x + y + z = 0
⎪
a) ⎨2 x − 3 y − 2 z = 0
⎪x − y − z = 0
⎩
⎧2 x − 3 y − z = 0
⎪
b) ⎨− x + y − 3z = 0
⎪− x − 6 y + 8 z = 0
⎩
⎧x + y − z = 0
⎪
c) ⎨2 x + 2 y − 2 z = 0
⎪2 x − y + z = 0
⎩
⎧x − y − z = 0
⎪
d) ⎨ x + y − z = 0
⎪− x + y + z = 0
⎩
Són sistemes homogenis i tenen com a mínim la solució trivial.
c) és compatible indeterminat ja que |M| = 0. Les solucions són
(0, λ, λ).
d) és compatible indeterminat per la mateixa raó. Les solucions
són (λ, 0, λ).
3. En una granja hi ha 1 300 caps de bestiar distribuïts en tres
corrals de manera que la relació entre el nombre d’animals
del primer corral i el del segon és 19/18 i la relació entre el
nombre d’animals del segon i tercer és 6/5. Calcula quants
animals hi ha en cada corral.
x: nombre de caps en el primer corral, y: nombre de caps en el
segon, z: nombre de caps en el tercer.
Zx + y + z = 1300
]
19
]] x
=
18
[y
]y
6
] =
z
5
\
Per substitució es resol fàcilment. La solució és 475, 450 i 375
caps de bestiar, respectivament.
4. Un constructor compra tres parcel.les i paga, respectivament, 1 500 €/m2, 1 800 €/m2 i 2 000 €/m2. Calcula la superfície de cada una sabent que entre les tres fan 1870 m2,
que el preu total de l’operació és de 3 360 000 € i que el
preu de la tercera parcel.la representa les tres quartes parts
del preu de les altres dues juntes.
x: m2 1a parcel.la, y: m2 2a parcel.la, z: m2 3a parcel.la.
Z
]] x + y + z = 1 870
[ 150x + 180y + 200z = 336 000
3 _150x 180yi
]] 200z = —
+
4
\
La solució és 500 m2, 650 m2 i 720 m2.
5. Considera el sistema:
Z
]] x + my + z = 4
[ x + 3y + z = 5
] mx + y + z = 4
\
Troba els valors de m pels quals el sistema no és de Cramer.
Resol el sistema per aquest mètode quan m = −1.
No és de Cramer si Δ = 0 → m = 3 i m = 1. Per a m = −1, Δ = 8 i
1 1
el sistema és compatible determinat. La solució és —, —, 4 .
4 4
1
2
6. Discuteix el sistema següent segons els valors de t i prova
de resoldre’l quan sigui compatible:
Z
]]5x - 11y + 9z = t
[ x - 3y + 5z = 2
]2x - 4y + 2z = 1
\
Per a t = 4, rang M = rang M' = 2 i el sistema és compatible in−5 + 14λ −3 + 8λ
determinat. Les solucions són —————, —————, λ . Per a
2
2
t ≠ 4 és incompatible, ja que rang M = 2 i rang M' = 3.
1
2
7. Un antiquari compra tres peces d’art per dos milions d’euros. Confia a vendre-les amb uns guanys del 20%, del 50%
i del 25%, respectivament, amb la qual cosa obtindria un
benefici de 0,6 milions. Però en una subhasta ha aconseguit uns guanys del 80%, del 90% i del 85%, respectivament, fet que li ha representat un benefici de 1,7 milions.
A quin preu va comprar cada peça?
x: preu 1a peça, y: preu 2a peça, z: preu 3a peça (en milions
d’euros).
Zx + y + z = 2
]]
[1,2x + 1,5y + 1,25z = 2,6
]1,8x + 1,9y + 1,85z = 3,7
\
Solució: 0,5, 0,5 i 1 milions, respectivament.
8. Resol el sistema següent i analitza’n la compatibilitat.
Demostra que hi ha infinites solucions que tenen els tres
valors de les incògnites positius.
Z
]] 3x - y + z = 1
[- 5x + 5y + z = -1
] x + 8y + 7z = 2
\
Compatible indeterminat, ja que rang M = rang M' = 2. Una ex2 3l , 1 - 4l , ll
.
pressió de les solucions és: b 5
5
Cal resoldre les inequacions que donen les solucions en nombres
positius. Pels valors de λ tal que 0 < λ < 1 les infinites solu4
cions són positives.
9. Considera les equacions:
2x − y + z = 0 i 3x − 2y − z = 3
Escriu una tercera equació que, amb les dues anteriors,
formi un sistema que sigui:
03
MATEMÀTIQUES APLICADES A LES CIÈNCIES SOCIALS 2
31
14. Donat el sistema d’equacions lineals següent:
a) Compatible determinat.
Z
]] x + y - z = 2
[ x - y + 2z = 6
] 2x + 8y - 11 z = -8
\
b) Compatible indeterminat.
c) Incompatible.
Per exemple:
a) Resolem el sistema format per les dues equacions —que és
indeterminat— i escrivim una tercera equació que verifiqui
una solució particular: 5x + y − 5z = 9.
b) Qualsevol combinació lineal de les dues equacions: 5x − 3y = 3.
c) Com l’anterior però amb el terme independent diferent:
5x − 3y = 9.
a) Digues, raonadament, quantes solucions té.
b) Calcula, si és possible, una solució les tres components
de la qual sumin 0.
a) El sistema és compatible indeterminat ja que:
rang M = rang M' = 2
Una expressió de les infinites solucions és:
10. Les tres xifres d’un nombre sumen 18. Si a aquest nombre
li restem el que resulta d’invertir l’ordre de les seves xifres,
s’obté 594. Troba aquest nombre si sabem que la xifra de les
desenes és la mitjana aritmètica de les altres dues.
x y z → 100x + 10y + z
b8 - l , -4 + 3l ,ll
2
2
b) La suma de les expressions de les tres incògnites igualada a
9
7
0 dóna λ = −1, així una solució és: —, −—, −1 .
2
2
1
Zx + y + z = 18
]
]100x + 10y + z - (100z + 10y + x) = 594
[
]] y = x + z
2
\
El nombre és 963.
11. Per la festa major, un noi va a tres espectacles diferents.
El primer dia va dues vegades a l’espectacle x, una al y i
l’altra al z, i es gasta 130 €. El segon dia va tres vegades al
x i una al y i es gasta 180 €. El tercer dia va un cop a cada
espectacle i es gasta només 80 €. Quin era el preu de cada
espectacle?
x, y, z: preus dels espectacles, respectivament.
15. Una fàbrica d’electrodomèstics té una producció setmanal
fixa de 42 unitats. La fàbrica proporciona subministrament
a 3 establiments que li adquireixen tota la producció. Una
setmana, el primer establiment va sol.licitar tantes unitats
com els altres dos plegats, mentre que la comanda del segon
establiment va superar en un 20% la meitat del que va demanar el primer més la tercera part del que va demanar el tercer. Quants electrodomèstics va sol.licitar cada establiment?
x, y, z: electrodomèstics subministrats a cada establiment.
Zx + y + z = 42
]
]x =y +z
[
] y = 1,2 x + z
]
3
2
\
1
2x + y + z = 130
* 3x + y = 180
x + y + z = 80
2
2
La solució és 21, 15 i 6, respectivament.
La solució és x = 50 euros, y = 30 euros i z és gratis.
12. Troba l’edat de tres germans sabent que el triple de l’edat
del primer menys el doble de l’edat del segon més l’edat
del tercer fan 22 anys, l’edat del primer menys la del segon
més el doble de la del tercer fan 8 anys, i el doble de la del
primer més la del segon menys la del tercer fan 20 anys.
x, y, z: les tres edats.
16. Un alumne ha presentat tres exercicis de matemàtiques, cadascun dels quals ha estat qualificat sobre 20 punts pel seu
professor. La suma de les tres notes obtingudes és de 33
punts; la primera nota és igual a la semisuma de les altres
dues i la diferència entre les dues primeres notes és de
8 punts. Determina les tres qualificacions obtingudes per
aquest alumne.
x, y, z: punts de cada exercici.
Z3x - 2y + z = 22
]]
[ x - y + 2z = 8
] 2x + y - z = 20
\
La solució és 9, 3 i 1 anys, respectivament.
+ bx + c passa
13. Se sap que el gràfic de la funció f(x) =
pels punts (3, −1), (2, 0) i (−1, 15). Calcula’n els coeficients a, b i c.
Zx + y + z = 33
]]
[ 2x = y + z
]x -y =8
\
La solució és 11, 3 i 19 punts, respectivament.
ax2
f(3) = 9a + 3b + c = −1
f(2) = 4a + 2b + c = 0
f(−1) = a − b + c = 15
La solució és f(x) = x2 − 6x + 8.
17. Amb 48 monedes fem tres munts. Si del primer munt passem al segon tantes monedes com hi ha en aquest, del segon
en passem al tercer tantes com n’hi ha al tercer i del tercer
en passem al primer tantes com n’hi ha al primer, resulta
que tenim el mateix nombre de monedes a cada munt. Com
havíem distribuït les monedes al principi?
Nombre de monedes de cada munt: x, y, z
03
SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE
Z2(x - y) = 16
]]
[ 2y - z = 16
] 2z - (x - y) = 16
\
La solució és 22, 14 i 12 monedes, respectivament.
18. En sumar de dues en dues les edats de tres persones s’obtenen
39, 43 i 46 anys. Troba l’edat de cadascuna d’aquestes persones.
Edats: x, y, z.
Zx + y = 39
]]
[ y + z = 43
] x + z = 46
\
La solució és 21, 18 i 25 anys, respectivament.
19. Un número consta de dues xifres que sumen 9. Esbrina de
quin número es tracta sabent que, en dividir-lo pel que
resulta d’invertir l’ordre de les seves xifres, s’obté 2 de
quocient i 18 de residu.
xy → 10x + y
x+y=9
*
10x + y = 2(10y + x) + 18
El número és 72.
20. En un garatge hi ha cotxes i motos. Si coneixem el nombre
total de llums (dos cada cotxe i un cada moto) i el nombre
total de rodes (quatre cada cotxe i dues cada moto), és
possible determinar el nombre de cotxes i de motos que hi
ha al garatge? Per què?
No és possible determinar els cotxes i les motos que hi ha
en el garatge, ja que les dues condicions són equivalents. La
segona és la primera multiplicada per 2.
21. Un pare vol repartir una heretat entre els seus fills. Si
dóna 30 000 € a cadascun, li sobren 20 000 €, mentre que
si dóna 35 000 € a cada fill, li’n falten 5 000 €. Troba el
nombre de germans i el valor de l’heretat.
x: nombre de germans, y: import de l’herència.
30000x = y - 20000
*
35000x = y + 5000
5 fills i 170 000 euros d’herència.
2. (Curs 2003-2004) En estudiar un sistema lineal dependent del paràmetre k pel mètode de Gauss, hem arribat a
la matriu ampliada següent:
⎛1
3
−2
8⎞
⎜0 k − 2
5
12
⎜
⎜⎝ 0
k −1 0 ⎠
0
Discuteix el sistema en funció del paràmetre k.
Si Δ = 0 → k = 1 o k = 2. Per tant:
Si k ≠ 1 i k ≠ 2, Δ ≠ 0 i el sistema és compatible determinat,
ja que rang M = rang M' = 3.
Si k = 1, rang M = rang M' = 2 i el sistema és compatible
indeterminat.
Si k = 2, rang M = 2 i rang M' = 3, i el sistema és incompatible.
3. (Curs 2004-2005) Resol el sistema d’equacions següent:
⎫
⎪
⎬
⎪
⎭
32
x+ y+z =1
2x + 3 y − 4 z = 9
x − y + z = −1
Resolem per Gauss:
⎛1 1 1 1 ⎞
⎛1 1 1 1 ⎞
⎜ 2 3 −4 9 ⎟ → ⎜ 0 1 − 6 7 ⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜⎝ 0 −2 0 −2⎟⎠
⎜⎝ 1 −1 1 − 1⎟⎠
⎛1 1 1
⎛1 1 1 1 ⎞
1⎞
⎜0 1 0
⎟
⎜
1 → 0 1 0 1⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜⎝ 0 0 −12 12⎟⎠
⎜⎝ 0 0 1 −1⎟⎠
d’on resulta (x, y, z) = (1, 1, −1)
4. (Curs 2003-2004) La Joana i la Mercè tenien 20 000 €
cadascuna per invertir. Cadascuna d’elles fa la mateixa
distribució dels seus diners en tres parts P, Q i R, i les
porta a una entitat financera. Al cap d’un any, a la Joana
li han donat un 4% d’interès per la part P, un 5% per la
part Q i un 4% per la part R, i a la Mercè li han donat un
5% per la part P, un 6% per la part Q i un 4% per la part
R. La Joana ha rebut en total 850 € d’interessos, mentre
que la Mercè n’ha rebut 950 €. De quants euros constava
cadascuna de les parts P, Q i R?
x: valor en € de la part P.
y: valor en € de la part Q.
z: valor en € de la part R.
Avaluació
1. (Curs 2002-2003) Considera un sistema de dues equacions
lineals amb dues incògnites i amb coeficients reals. És possible que el sistema tingui exactament dues solucions? I
exactament tres solucions? Justifica les respostes.
No és possible que tingui ni 2 ni 3 solucions exactament, ja
que si un sistema lineal amb coeficients reals té més d’una
solució, és indeterminat i llavors té infinites solucions.
x + y + z = 20 000
4x
5y
4z
+
+
= 850
100 100 100
5x
6y
4z
+
+
= 950
100 100 100
Resolent el sistema obtenim x = 5 000 €, y = 5 000 € i
z = 10 000 €.
04
MATEMÀTIQUES APLICADES A LES CIÈNCIES SOCIALS 2
Bloc 2. Programació lineal
33
1
b) −3x − 2 − 6 ≥ 2x − 9 → −5x ≥ −1 → x ≤
5
1
S = (−∞,
5
G
Unitat 4. Sistemes d’inequacions
lineals
Activitats
1
5
c) 4x + 2 < 6x −3 + 3x → −5x < −5 → x > 1
S = (1, +∞)
1. Esbrina si els números - 3, - 1, 1 , 2 i 5 són solució d’aques2
tes inequacions:
1
a) 3]x - 2g + 5 > 2x
d) 2x − 2x + 1 ≥ 4 − 2x + 6 → 2x ≥ 9 → x ≥ 9
2
9
S = 2 , +∞
b) x - 3 $ 2
F
c) 6x - 5 # 5x
3
D
Són solució:
9
2
a) x = 2 i x = 5
b) x = 5
1
c) x = , x = 2, x = 5
2
4. Escriu una inequació de primer grau amb una incògnita que:
a) No tingui solució.
2. Resol les inequacions següents:
a) 3]x - 5g + 7 > 2x - 3
Justifica les respostes.
b) 2]3x - 2g # 3^2x + 1h
Resposta oberta. Per exemple:
1
c) 2x 5- 3 - 21 # x 2
d)
b) El conjunt solució sigui R.
a) 4 (x + 1) < 4 x − 3
4 >2
x+3
b) 3 (2 − x) ≥ 2 (x + 1) − 5x
a) 3x − 15 + 7 > 2x − 3 → x > 5 → S = (5, + ∞)
b) 6x − 4 ≤ 6x + 3 → −4 ≤ 3 → S = R
c) 4x − 6 − 5 ≤ 5x − 5 → −x ≤ 6 → x ≥ −6 → S = [−6, +∞)
d) Com que el resultat del quocient és 2, i 2 > 0, cal que
x + 3 > 0 → x > −3. D’altra banda, com que x + 3 > 0,
podem escriure: 4 > 2 (x + 3) → 4 > 2x + 6 → −2 > 2 x →
x < −1
S’han de complir, doncs, dues condicions alhora:
x > −3 i x < −1 → S = (−3, −1).
5. Resol gràficament aquests sistemes d’inequacions:
Z
]] x # 1
x >- 1
2
2
b) *
a) [
x # -5
]x > 7
3
\
c) )
3>x
x $ -1
a)
1
2
7
3
S=ø
a) 2]3x - 1g - 5^ x + 2h < 3]x - 2g
b)
b) -^3x + 2h - 6 $ 2x - 9
x $ 1
3
x>2
Resposta oberta. Per exemple:
3. Representa a la recta real el conjunt solució de cadascuna
d’aquestes inequacions:
−5
c) 2x + 1 < x - 1 - x
3
d) *
1
2
−—
2
S=ø
d) x - 2x - 1 $ 1 - x - 3
4
2
2
a) 6x − 2 − 5x − 10 < 3x − 6 → −2x < 6 → x > −3
3
c)
S = (−3, ∞)
−3
S =[−1, 3)
−1
04
34
d)
SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE
9. Escriu la forma general que tenen les equacions implícita
i explícita de qualsevol recta que passa per l’origen de coordenades.
1
3
S = (2, + ∞)
2
6. Escriu, per cada cas, un sistema de primer grau amb una
incògnita la solució del qual sigui:
a) S = Ø
b) S = { −2 }
c) S = [3, +∞)
d) S = (−∞, −1)
x+2 # 0
x>1
2 ^ x + 5h $ x + 8
b) )
3x - 5 # 2x - 7
x+3<2
d) *3x - 2
2x < 2 ^ x + 1h
2 +
2x - 1 $ x + 2
c) )
5x - 3 > 2
x+1>0
a) )
2x - 1 < 3
b) )
Z
]] 2x - 1 # x + 2
3
c) [
1$ x-2
x
+
]
3
\ 2
2 ^ x + 1h - 3 $ 3x - 2 ^1 + x h
d) *3x - 2
# x-1
3
2
3 ]x - 1g + 2 # 2x - 3 ]1 - x g
5x - 2 > - 1
x + 1 > 0 " x > -1
a) )
2x - 1 < 3 " 2x < 4 " x < 2
S = ^- 1, 2h
3x - 3 + 2 # 2x - 3 + 3x " 2 # 2x " x $ 1
5x - 2 > - 1 " 5x > 1 " x > 1
5
S = 61, + 3h
*
2x - 1 # 3x + 6 " - 7 # x " x $ - 7
c) )
3x + 3 $ 2x - 4 " x $ - 7
S = 6-7, +3h
d)
2x + 2 - 3 $ 3x - 2 - 2x " x $ - 1
6x - 4 # 3x - 3 " 3x # 1 " x # 1
3
S = :- 1, 1D
3
*
2
8. Quina és l’equació explícita de la recta de pendent − i
3
ordenada a l’origen 2? I l’equació implícita?
y=−
Bisectriu quadrants primer i tercer: y = x
α = 45º → m = tg 45º = 1
α = 135º → m = tg 135º = −tg 45º = −1
11. El punt P(−2, b) pertany a la recta que té com a equació
4x − 3y + 2 = 0. Calcula b.
4x − 3y + 2 = 0
P (−2, b)
4 · (−2) − 3 b + 2 = 0 → b = −2
12. Troba l’equació de cadascuna de les rectes següents i expressa-la en forma explícita i en forma implícita:
7. Resol aquests sistemes:
b)
10. Quin és el valor del pendent de la recta que és bisectriu
dels quadrants primer i tercer? I el de la recta que és bisectriu dels quadrants segon i quart?
Bisectriu quadrants segon i quart: y = −x
Resposta oberta. Per exemple:
a) )
C = 0 → Ax + By = 0 → equació implícita
A
By = −Ax → y = −
x = mx → equació explícita
B
2
x + 2 → equació explícita
3
3y = −2x + 6 → 2x + 3y − 6 = 0 → equació implícita
a) La recta que passa pels punts P(−1,4) i Q(2,−5).
b) La recta de pendent −2 que conté el punt R(1,−3).
c) La recta que passa pel punt S(3,5) i forma un angle de
0º amb l’eix d’abscisses.
d) La recta que passa per l’origen de coordenades i forma
un angle agut α amb l’eix OX considerat en sentit posi3
tiu tal que sin α = .
5
a) m = - 5 - 4 = -39 =-3
2 - ]- 1g
y − 4 = −3 (x + 1) → y − 4 = −3 x − 3
equació implícita: 3x + y − 1 = 0
equació explícita: y = −3x + 1
b) y + 3 = −2(x −1) → y + 3 = −2x + 2
equació implícita: 2x + y + 1 = 0
equació explícita: y = −2x −1
c) m = tg 0º = 0
equació explícita: y = 5
equació implícita: y − 5 = 0
4
3
→ cos x = 1 - sin 2 x = 5 →
5
3
sin x
3
tg x = cos x = 4 → M = tg x = 4
3
equació explícita: y =
x
4
3
equació implícita: y −
x = 0 → 3x − 4y = 0
4
d) sin x =
MATEMÀTIQUES APLICADES A LES CIÈNCIES SOCIALS 2
13. Representa gràficament en un mateix sistema de referència cartesià les rectes:
y = x − 4; 3x + 2y − 6 = 0; y − 5 = 0; x = −3
04
35
Recta t:
recta paral·lela a l’eix OX que passa, per exemple pel punt (0, −2)
m = 0 → y = −2
Necessiten dos punts qualssevol de cadascuna de les rectes.
15. Indica el pendent i l’ordenada a l’origen de la recta que
conté els punts (−2, 5) i (3,−1).
(0, −4)
(4, 0)
y=x−4
3x + 2y − 6 = 0
m=
(0, 3)
(2, 0)
y−5=
y
y=5
5
y=−
6
13
x+
5
5
Ordenada a l’origen: n =
13
5
y
6=
0
O
6
5
=
x
y−
−
4
+2
−3
6
−6
12
(x + 2) → y = − x −
+5→
5
5
5
Pendent: m = −
3x
3
−1 − 5
−6
=
3 − (−2)
5
2
4
x
16. Troba l’equació de la recta que talla els eixos de coordenades en els punts (3, 0) i (0, −5).
−5
5
=
−3
3
5
5
x−5
y = (x −3) → y =
3
3
x = −3
m=
−4
17. Considera el punt P de coordenades (4, −3). Escriu l’equació
de la recta que passa per P i és paral·lela a l’eix d’abscisses
i la de la recta que passa per P i és paral·lela a l’eix d’ordenades.
14. Determina l’equació explícita de cadascuna de les rectes r,
s i t representades a la figura.
s
Recta paral·lela a l’eix OY → x = 4
r
y
Recta paral·lela a l’eix OX → y = −3
18. Justifica la validesa de l’afirmació següent:
Si una recta és paral·lela a la recta 2x + 3y − 4= 0, segur que la seva equació es pot expressar en la forma
2x + 3y + C = 0, amb C ≠ −4.
Determina l’equació de la recta que passa pel punt (−1,4) i
és paral·lela a la recta 2x + 3y − 4 = 0.
0
t
L’afirmació és certa, ja que es compleix la condició de
paral·lelisme:
Recta r:
pasa pels punts (0, 0) i (2, 4)
4
= 2 → y = 2x
m=
2
Recta s:
passa pels punts (−3, 5) i (4, 2)
2−5
−3
=
m=
4 − (−3)
7
−3
(x − 4) →
y−2=
7
3
12
+2→
y=− x+
7
7
3
26
y=− x+
7
7
−4
3
2
≠
=
4
3
2
2x + 3y + C = 0
(−1, 4)
−2 + 12 + C = 0 → C = −10
2x + 3y − 10 = 0
19. Les rectes 5x − 4y + 1 = 0 i 3x + By − 6 = 0 són paral·leles.
Troba B.
−4
5
−12
3 = B → 5B = −12 → B = 5
20. Escriu l’equació del feix de rectes paral·leles a la bisectriu
del segon i quart quadrants.
m = −1 → y = −x + n, o bé, x + y = n
04
36
SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE
21. Representa, en un mateix sistema de coordenades cartesianes, tres rectes que pertanyin al feix d’equació
−2
x + n i unes altres tres rectes que siguin del feix
y=
3
x − 2y = k.
Resposta oberta. Per exemple,
25. De totes les rectes del feix d’equació 2x + 5y = k, quina és
l’equació de la que conté el punt (5, 6)?
2x + 5y = k
(5, 6)
10 + 30 = k → k = 40
Equació de la recta:
2x + 5y = 40 → 2x + 5y − 40 = 0
26. Considera el feix de rectes d’equació 3x + y = k. Fes un
estudi de la posició de les rectes del feix en relació amb
la recta 3x + y = 0 quan augmenta el valor absolut de k.
Considera les dues possibilitats: k > 0 i k < 0.
y
y
y
x
y
y
x
x
x
x
x
y
22. Les expressions 5x − 2y = k i −10x + 4y = k, amb k ∈ ⺢,
són les equacions corresponents a un mateix feix de rectes
paral·leles. Per què?
Els coeficients de x i de y són proporcionals i, per tant, el
pendent és el mateix:
m=
5
2
23. Determina l’equació del feix de rectes paral·leles que conté la recta que passa pel punt (−2, 1) i pel punt intersecció
de les rectes d’equacions 2x + y − 1 = 0 i x + 2y = −2.
El punt intersecció de les dues rectes es determina resolent el
sistema:
2x + y - 1 = 0
*
x + 2y =-2
La solució és x =
En augmentar el valor absolut de k, les rectes s’allunyen de la
recta 3x + y = 0. Si k > 0, les rectes se situen en el semiplà
superior dels dos semiplans que determina la recta que es
considera. Si k < 0, les rectes del feix se situen en el semiplà
inferior.
27. Se sap que la recta d’equació Ax + 2y − 3 = 0 pertany al feix
4
de rectes d’equació y = x + n. Calcula el valor de A.
3
−A
Ax + 2y − 3 = 0 → m = 2
4
−8
A
− =
→A=
3
3
2
28. Identifica tres punts del pla les coordenades dels quals
verifiquin la inequació x − 3y > 9 i uns altres tres punts les
coordenades dels quals no la verifiquin.
Resposta oberta. Per exemple:
Verifiquen la inequació: (10, 0), (13, 1), (18, 2).
No la verifiquen: (0, 0), (−2, 1), (4, 5).
29. Resol:
−5
4
,y=
3
3
El pendent de la recta que passa pels punts (−2, 1) i
b4 , - 5 l és:
3
3
a) x − 2y ≤ 8
b) x + y > 0
c) 4x + 5y < 20
d) −3x + 2y ≥ 12
e) 5x − y ≥ 10
f) −2x − 3y < 6
Representem les rectes associades a cadascuna de les inequacions i n’esbrinem el semiplà solució.
-5 - 1 -8
-4
3
m= 3
4 + 2 = 10 = 5
3
3
a)
Equació del feix de rectes:
4
y = − 5 x + n, o bé, 4x + 5y = k
x
24. Determina l’equació del feix de rectes paral·leles al qual
pertany la recta determinada pels punts (2,−4) i (−3,2).
El pendent d’aquesta recta és m =
Equació del feix de rectes:
y=
−6
x + n → 6x + 5y = k
5
2+4
−6
=
−3 − 2
5
y
MATEMÀTIQUES APLICADES A LES CIÈNCIES SOCIALS 2
b)
04
f)
x+y>0
30. Representa els punts del pla que verifiquen:
c)
a) x > 0
b) y < 0
c) x ≤ 3
d) x ≥ 0
e) y < 0
f) x ≤ 3
Igual que l’anterior amb les rectes paral·leles als eixos.
a)
x>0
4x + 5y < 20
d)
−3x + 2y ≥ 12
b)
e)
y<0
c)
x≤3
37
04
38
SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE
5y = 2x − 10 → 2x − 5y = 10.
d)
Les coordenades dels punts acolorits verifiquen la inequació
2x − 5y ≥ 10
y ≥ −2
Per al gràfic b)
Equació de la recta frontera (els punts de la qual no són solució):
1
1
m = tg x = → y = x → x − 2y = 0
2
2
Semiplà solució: x − 2y > 0
e)
Per al gràfic c)
La recta frontera passa per (3, 0) i (0, 4).
4
4
m = − → y = − (x − 3) →
3
3
4
y = − x + 4 → 4x + 3y = 12
3
0
Semiplà solució: 4x + 3y ≤ 12
f)
33. Resol els sistemes següents i troba, si s’escau, les coordenades dels vèrtex de les corresponents regions solució:
31. Representa gràficament tots els parells de nombres reals
positius la suma dels quals sigui més petita que 6.
Aquests nombres verifiquen la inequació: x + y < 6
Z
]] 4x + 3y # 12
a) [ x $ 0
]y $ 0
\
Z
]x + y $ 3
]- x - y # 2
c) [
]x $ 0
]y $ 0
\
2x - y $ 4
- 2x + y $ 0
b) *
Z
]2x + 3y $ 10
]5x + y $ 12
d) [
]x $ 0
]y $ 1
\
a)
x+y<6
4 x + 3y = 12
S
32. Els gràfics següents mostren, acolorides, les solucions de
tres inequacions de primer grau amb dues incògnites. Escriu l’expressió de que correspon a cada gràfic.
a)
b)
y
c)
y
S és una regió triangular tancada, els vèrtexs de la que són
els punts de coordenades (0,0), (3,0) i (0,4).
b)
y
4 y
5
2
x
0
0
22
x
1
tg x 5 —
2
0
3
Per al gràfic a)
Equació de la recta que passa pels punts (5,0) i (0, −2)
m=
2
−2
2
2
x−2
→y=
(x − 5) → y =
=
5
−5
5
5
x
0
1
2x – y ≥ 4
2
–2 x + y ≥ 0
–4
El sistema no té solució.
x
MATEMÀTIQUES APLICADES A LES CIÈNCIES SOCIALS 2
c)
04
39
35. Escriu els sistemes d’inequacions la regió solució dels
quals està representada en els gràfics de les figures:
a)
S
x+y=3
–x – y = 2
S és una regió no acotada amb dos vèrtexs: (3, 0) i (0, 3).
b)
d)
5 x + y = 12
2x + 3y = 10
y=1
S és una regió no acotada amb tres vèrtexs:
(3, 0) i (0, −2) → 2x − 3y = 6
Sistema:
34. La regió solució del sistema:
2x + 5y # 10
*
2x - 3y # 6
2x + by $ 1
ax - 3y $ 6
té un sol vèrtex que es troba situat en el punt (3, −1). Troba a i b i representa aquesta regió gràficament.
El punt (3, −1) és comú a les dues rectes. Per tant:
2x + by = 1
^3, - 1h
6-b=1 " b=5
ax - 3y = 6
^3, - 1h
3a + 3 = 6 " a = 1
El sistema és:
*
Per a la figura a)
(5, 0) i (0, 2) → 2x + 5y = 10
⎛7 ⎞
⎜⎝ , 1⎟⎠ , (2, 2) i (0, 12).
2
*
Cal obtenir les equacions de les rectes frontera en cada cas,
tot considerant els dos punts en què cadascuna d’elles talla
els eixos de coordenades, i establir la desigualtat corresponent a cada semiplà solució.
2x + 5y $ 1
x - 3y $ 6
I la regió solució està representada en la figura.
Per a la figura b)
(4, 0) i (0, 5) → 5x + 4y = 20
(2, 0) i (0, 1) → x + 2y = 2
Sistema:
Z
]5x + 4y # 20
] x + 2y $ 2
[
]x $ 0
]y $ 0
\
36. Resol el sistema:
x – 3y = 6
S
2 x + 5y = 1
Z
]x $ 0
]y $ 0
]
a) [2x + 3y # 18
]2x + y # 10
]
] x + 3y $ 3
\
b) Determina les coordenandes dels vèrtex de la regió solució S d’aquest sistema.
c) Pertany el punt P(3,2) a aquesta regió?
04
40
SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE
a)
^2, 4h
Vèrtex ^2, 4h " 3x - y = k
k=2
3x - y = 2
39. En l’exemple 11:
2 x + y = 10
2x + 3y = 18
a) Podem prendre 700 g de cafè natural per fer la mescla?
b) I 550 g de cafè torrefacte? En aquest cas, amb quants
grams de cafè natural hauríem de mesclar-lo?
c) Quin és el preu d’un quilogram de la mescla si prenem
la mínima quantitat possible de cafè natural?
S
x + 3y = 3
d) I si prenem la màxima quantitat possible de cafè natural?
b) Els vèrtexs de la regió solució S són: (0, 1), (0, 6), (5, 0),
(3, 0) i (3, 4).
c) El punt P(3, 2) pertany a la regió solució S, ja que les seves
coordenades verifiquen totes i cadascuna de les inequacions que formen el sistema.
37. Considera el feix de rectes d’equació x + y = k. Troba els
valors de k per als quals les rectes d’aquest feix tallen la
regió S de l’activitat anterior.
Els valors de k es troben entre les ordenades a l’origen de les
rectes del feix que passen respectivament pels punts (0, 1) i
(3, 4).
x+y=k
^0, 1h
k=1
x+y=k
^3, 4h
k=7
a) No, ja que la quantitat de cafè natural no pot superar els
600 g.
b) Sí, 450 g de cafè natural.
c) 0,35 · 5,71 + 0,65 · 4,21 = 4,74 €/kg
d) 0,6 · 5,71 + 0,4 · 4,21 = 5,11 €/kg
40. En l’exemple 13:
a) És possible que al magatzem hi hagi 710 capses de llapìs?
b) I 100 capses de bolígrafs? En aquest cas, quin és el
nombre màxim de capses de llapis que pot haver al magatzem?
c) Hi pot haver 500 capses de cada tipus?
d) Estableix una possible solució del problema i troba el
tal de llapis i bolígrafs que hi hauria en aquest cas al
magatzem.
Per tant, 1≤ k ≤ 7.
a) No.
38. a) Dibuixa la regió del pla les coordenades dels punts de a
la qual verifiquen el sistema:
Z
]] x + y $ 2
[x # 2
]- x + y # 2
\
b) Sí. 650 capses de llapis com a màxim.
c) No.
d) 500 capses de bolígrafs i 400 capses de llapis. Un total de
6 500 unitats.
Activitats finals
–x + y = 2
1. Resol les inequacions següents:
x+y=2
b) Troba l’equació de totes les rectes del feix d’equació
3x − y = k que tallen la regió anterior per un dels seus
vèrtexs.
^2, 0h
Vèrtex ^2, 0h " 3x - y = k
k=6
3x - y = 6
^0, 2h
Vèrtex ^0, 2h " 3x - y = k
k =-2
3x - y = -2
a)
2 ^ x + 1h x - 1 $ x x - 1
- 4
3
2+ 3
b)
10
<0
3x − 6
c) 3 x + 2( y − 1) ≤ y − ( x − 2)
d)
3x - 1 > 2x + 5
3
2
a) 8x + 8 − 3x + 3 ≥ 6x + 4x − 4
15 ≥ 5x
x ≤ 3 → S = (−∞, 3]
04
MATEMÀTIQUES APLICADES A LES CIÈNCIES SOCIALS 2
b) Perquè el quocient doni negatiu, cal que el denominador
sigui negatiu. Per tant:
41
c)
3x – y = 4
3x − 6 < 0 → x < 2 → S = (−∞, 2)
x=y
5
3x + 4 y = 9
4
c) 3x + 2y − 2 ≤ y − x + 2 → 4x + y ≤ 4
3
2
1
–3
–2
–1
1
2
3
4
5
6
–1
–2
–3
d)
5
3x – 1 = 0
d) 6x − 2 > 6x + 15 → −2 ⬍ 15
4
2 x – 3y = 1
S=Ø
3
2
2. Troba la solució de cadascun dels sistemes d’inequacions
següents:
⎧2 x − 3
⎪⎪ 4 ≤ 3 x + 8
a) ⎨
⎪ x −2 > x − 1
⎪⎩ 3
4
⎧2 x − 3 y ≥ 2
⎪
b) ⎨ x y
⎪⎩ 2 − 3 ≥ 0
⎧x ≥ y
⎪
c) ⎨3 x − y ≤ 4
⎪3 x + 4 y ≤ 9
⎩
⎧ 3x − 1 ≥ 0
⎪
⎪ 2y ≥ 3
d) ⎨
⎪ 2x − 3y ≥ 1
⎪x+y≥2
⎩
7
a) 2x − 3 ≤ 12x + 32 → x ≥ −
2
−5
4x − 8 > 12x − 3 → x <
8
7 −5
S= − ,
2 8
[
1
–3
–2
–1
1
2
3
4
5
6
–1
x+y=2
–2
3. Determina els valors de x que verifiquen −4 ≤ 3x + 2 < 11.
Observa que, en realitat, es tracta de resoldre el sistema
format per les inequacions 3x + 2 ≥ −4 i 3x + 2 < 11.
Es tracta de resoldre el sistema:
*
−4 # 3x + 2
3x + 2 < 11
−4 ≤ 3x + 2 → −6 ≤ 3x → x ≥ −2
)
3x + 2 < 11 → 3x < 9 → x < 3
S = [−2, 3)
b) 2x − 3y ≥ 2
3x − 2y ≥ 0
y
s
3x – 2y = 0
4
2x – 3y = 2
3
4. Determina el pendent i l’ordenada a l’origen de cadascuna
de les rectes següents. Després dibuixa totes les rectes en
els mateixos eixos de coordenades.
r
a) La recta r que conté els punts P(1,−5) i Q(5,−2).
b) La recta s que forma un angle de 135º amb el sentit
positiu de l’eix X i passa pel punt P(−3, 2).
2
1
–4 –3 –2 –1
2y = 3
1
–1
–2
–3
–4
2
3
4
x
c) La recta t d’equació 6x + 5y − 15 = 0.
d) La recta u que és paral·lela a l’eix X i passa pel punt
P(1, −2).
a) Recta r
−2 + 5
3
=
m=
5−1
4
04
42
7. a) Escriu l’equació general del feix de rectes paral·leles a
la recta que passa pels punts (6, −2) i (3, 4).
3
+n→
4
23
−20 = 3 + 4n → n = −
4
3
−23
m= ;n=
4
4
y=
3
x+n
4
SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE
(1, −5)
−5 =
b) Troba l’equació de la recta que passa pel punt (−1, 5) i
pertany al feix de l’apartat anterior.
a) El pendent de qualselvol de les rectes d’aquest feix és:
4+2
6
m=
=
= −2
3−6
−3
b) Recta s
m = tg 135º = −tg 45º = −1
y = −x + n
I l’equació del feix, y = −2x + n
2 = 3 + n → n = −1
(−3, 2)
b) y = −2x + n
m = −1; n = −1
(–1, 5)
5=2+n→n=3
y = −2x + 3
c) Recta t
6
6x + 5y − 15 = 0 → 5y = − 6x + 15 → y= − x + 3
5
6
m=− ;n=3
5
d) Recta u
8. De totes les rectes del feix d’equació 6x − 5y = k, quina és
l’equació de la que passa pel punt intersecció de les rectes
y = 2x −1 i 3x + y = 9?
α = 0º → m = tg 0º = 0
y = 2x - 1
*
3x + y = 9
m = 0, n = −2
La solució d’aquest sistema és x = 2, y = 3
6x − 5y = k
10
6
t 5 2 —x 1 3
5
8
s 5 2x 2 1
12 − 15 = k → k = −3
6x − 5y = −3 → 6x − 5y + 3 = 0
6
4
9. Resol les inequacions següents com a regions del pla:
2
210 28 26 24 22
2
4
6
8
10
2
u 5 22
a) x −2y − 4 > 0
b) 4x − 2y ≤ 9
c) y ≥ −3x + 5
d) x < −y + 3
24
26
3
23
y 5 — x 2 ——
4
4
a)
28
210
5. Troba l'equació de la recta que és paral·lela a la recta de
2 x − 5 y = 7 i que passa pel punt (2, 3).
2x − 5y = C
(2, 3)
(2, 3)
2 · 2 − 5 · 3 = C → 4 − 15 = C → C = −11
Per tant l'equació de la recta és:
2 x − 5 y + 11 = 0
6. Troba l’equació de la recta que és paral·lela a la recta
2x − 5y = 3 i que passa pel punt intersecció de les rectes
− x + y = 0 i 3x − 7y + 4 = 0.
Busquem el punt d’intersecció de les dues rectes resolent el
sistema.
-x + y = 0
*
3x - 7y + 4 = 0
La solució és x = 1, y = 1.
L’equació de la recta que ens demanen és de la forma:
2x − 5y + D = 0
(1, 1)
2−5+D=0→D=3
Per tant, 2x − 5y + 3 = 0.
b)
04
MATEMÀTIQUES APLICADES A LES CIÈNCIES SOCIALS 2
Z
]- x + y # 2
]2x + y # -2
c) [
]5x + 6y # 30
]
\x $ 0
c)
3x + 5y # 15
d) *y - x # 0
x+1 $ 0
y
a)
7
2
d)
1
0
1 2
x
7 x + 2y = 14
b)
S
y – 4x = 8
x < −y + 3
10. Els gràfics següents mostren les solucions de dues inequacions de primer grau amb dues incògnites. Escriu la
desigualtat que verifiquen les coordenades dels punts que
pertanyen a cada semiplà solució.
2x – 3 y = 12
b)
a)
c)
–x + y = 2
a) Equació de la recta que conté els punts
2 x + y = –2
4
= −2
P(3, 1) i Q(1, 5) → M =
−2
y = −2x + n
(3, 1)
5 x + 6 y = 30
1 = −6 + n → n = 7 → y = −2x + 7
Els punts de la recta verifiquen l’equació 2x + y = 7, i els
del semiplà assenyalat, la inequació 2x + y ≥ 7.
b) Equació de la recta que passa pels punts
O(0, 0) i P(3, 2) → y =
2
x → 2x − 3y = 0
3
Semiplà assenyalat: 2x − 3y ≤ 0
11. Resol els sistemes següents:
Z
]]7x + 2y # 14
2x - 3y # 12
b) *
a) [ x $ 1
y - 4x # 8
]y $ 2
\
S
d) x + 1 = 0
y–x=0
S
3 x + 5 y = 15
43
44
04
SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE
12. a) Troba les equacions de les rectes r, s i t de la figura.
b) Escriu el sistema d’inequacions que té per solució la
regió del pla indicada en aquesta figura.
Recta AB → 2x − 5y + 1 = 0
Recta BC → 4x − y − 25 = 0
Recta CD → x − 3y + 13 = 0
Recta DA → x + y − 3 = 0
La regió solució ve donada pel sistema:
Z
]2x - 5y # -1
]4x - y # 25
[
] x - 3y $ -13
]x + y $ 3
\
a) Recta r:
4
m = = 2 → y = 2x → 2x − y = 0
2
Recta s:
−3
= −3
m=
1
y = −3x + n (3, 1)
14. a) Resol el sistema:
Z
] 4 x + 5y $ 30
] 5x + 4y # 40
[
]x $ 1
]y $ 2
\
1 = −9 + n → n = 10
b) Considera el feix de rectes paral·leles d’equació 5x + y = k.
Per a quins valors de k les rectes d’aquest feix tenen algun punt en comú amb la regió del sistema de l’apartat
anterior?
y = −3x + 10 → 3x + y = 10
Recta t:
−1
m=
2
1
3
5
y = − x + n (3, 1) 1 = − + n → n =
2
2
2
1
5
y = − x + → 2y = − x + 5 → x + 2y = 5
2
2
a)
5 x + 4 y = 40
6
S
b) Sistema d’inequacions:
Z
]]2x - y $ 0
[3x + y # 10
] x + 2y $ 5
\
y=2
4 x + 5 y = 30
x=1
13. Escriu les inequacions que componen el sistema la regió
solució del qual pots veure en la figura.
15
2
S’han de representar les rectes associades i comprovar els
punts.
b) Vèrtex b1, 26 l
5
y
5x + y = k1 → 5 +
C (8, 7)
26
51
= k1 → k1 =
5
5
Vèrtex b32 ,2l
5
5 x + y = k2 → 32 + 2 = k2 → k2 = 34
D (–1, 4)
Per als valors de k que verifiquen:
B (7, 3)
51
≤ k ≤ 34
5
A (2, 1)
0
x
Primer, determinem les equacions de les rectes que contenen
els costats del polígon que delimita la regió solució.
15. a) Escriu les inequacions que verifiquen alhora les coordenades dels punts del triangle de vèrtexs A(2,3), B(5,6)
i C(3,9).
b) Determina quines són les equacions de les rectes del
feix −x + y = k que passen pels vèrtexs del triangle.
MATEMÀTIQUES APLICADES A LES CIÈNCIES SOCIALS 2
c) Justifica el motiu pel qual en l’apartat anterior només
has trobat dues rectes diferents quan el triangle en té
tres, de vèrtexs.
a) Equacions de les rectes que contenen els costats del triangle:
Costat AB → x − y + 1 = 0
Costat BC → 3x + 2y − 27 = 0
Costat CA → 6x − y − 9 = 0
Sistema:
Z
]] x - y # -1
[3x + 2y # 27
]6x - y $ 9
\
04
45
17. Per participar en un concurs de matemàtiques s’han de
contestar totes les preguntes d’un qüestionari de 25, i obtenir un mínim de 50 punts. La prova es puntua de la manera següent: cada resposta encertada suma 5 punts i cada
resposta errònia en resta 2. Quin és el nombre mínim de
preguntes que s’han de contestar correctament per tal
d’aconseguir la puntuació mínima exigida? Si un participant té 14 respostes correctes, assoleix aquest mínim?
Quina és la màxima puntuació possible?
Representem per x el nombre de respostes encertades. Cal que
es verifiqui:
100
5x − 2 (25 − x) ≥ 50 → x ≥
7
Com que necessàriament x ha de ser un nombre natural, el
nombre mínim de respostes correctes és 15.
No, ja que 14 < 15.
Màxima puntuació possible: 5 · 25 = 125 punts.
b) Vèrtex A:
−x + y = k = 1 → −x + y = 1
(2, 3)
Vèrtex B:
−x + y = k = 1 → −x + y = 1
18. La diferència entre l’edat d’una mare i la del seu fill és de 22
anys. Estableix en quin període de les seves vides l’edat de
la mare excedeix en més de 6 anys el doble de l’edat del fill.
(5, 6)
Vèrtex C:
(3, 9)
−x + y = k = 6 → −x + y = 6
c) Succeeix perquè la recta que conté els vèrtexs A i B és una
recta del feix.
16. Dos nombres compleixen les condicions següents: la suma
del doble del primer més el triple del segon dóna un nombre positiu i la seva suma és més gran que 1. Troba tots els
valors que poden tenir aquests nombres.
Anomenem x i y als dos nombres. S’ha de verificar:
2x + 3y > 0
*
x+y>1
Si x representa l’edat del fill, l’edat de la mare s’expressa per x + 22,
ambdues edats en anys. S’ha de verificar:
x + 22 − 2x > 6 → x < 16
La condició que estableix l’enunciat d’aquest problema es
compleix sempre que el fill tingui menys de 16 anys i la mare
menys de 38.
19. Un adolescent necessita prendre setmanalment un mínim de
32 unitas de vitamina A i un màxim de 20 unitats de vitamina C. Per terme mitjà, un tomàquet conté 5 unitats de vitamina C i 2 de vitamina A, i una pastanaga 2 unitats de vitamina C i 4 de vitamina A. Quants tomàquets i quantes
pastanagues és aconsellable que prengui a la setmana?
Representem per x el nombre de tomàquets i per y el nombre
de pastanagues que menja cada setmana:
5x + 2y # 20
*
2x + 4y $ 32
x+y=1
5x + 2y # 20
*
x + 2y $ 16
2x + 3y = 0
La solució del sistema és una regió poligonal no acotada amb
vèrtex en el punt (1, 7,5). Això significa que l’adolescent incorporarà en el seu organisme les dosis límits de vitamina A i
vitamina C si pren 1 tomàquet i 7,5 pastanagues a la setmana.
20. Dos nombres verifiquen que el doble del primer menys el
triple del segon és més gran que el triple del primer més
el doble del segon. Troba tres parells de nombres racionals
que compleixen aquesta condició.
Els nombres reals que són solució d’aquest sistema són els que
hem representat a la figura. Determinen una regió poligonal
no acotada amb vèrtex en el punt A(3, −2).
Si representem per x i y els dos nombres, s’ha de complir:
2x − 3y > 3x + 2y → −x − 5y > 0 → x + 5y < 0
46
04
SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE
Resposta oberta. Per exemple:
x = 5, y = 5; x = 6, y = 4; x = 4, y = 6
b) No es poden comprar 7 cintes i 7 caixes.
Sí que es poden comprar 5 cintes i 5 caixes.
5 · 4,51 + 5 · 5,41 = 49,60 €
Avaluació
1. Escriu l’equació de les tres rectes del pla que limiten la
regió acolorida del dibuix i les tres desigualtats que determinen aquesta regió.
Resposta oberta. Per exemple:
x = 0, y = −1; x = −3, y = −2; x =
1
, y = −4
2
(2, 2)
21. Els alumnes de vídeo i els d’informàtica disposen d’un ajut
econòmic de 54,10 € per a la compra de material auxiliar.
Els primers necessiten cintes i els segons, caixes de disquets. El preu d’una cinta de vídeo és de 4,51 € i el d’una
caixa de disquets, de 5,41 €. Es tracta d’esbrinar quantes
cintes i quantes caixes poden adquirir amb els diners que
tenen a la disposició.
a) Representa gràficament totes les solucions possibles i
tria’n tres, procurant que siguin el màxim d’equitatives.
(3, 0)
(4, 0)
Busquem primer les rectes frontera.
• recta que passa per (2, 2) i (4, 0):
b) Es poden comprar 7 cintes i 7 caixes? I 5 cintes i 5 caixes?
En aquest últim cas, calcula l’import de la compra.
x −2 4−2
→ −2( x − 2) = 2( y − 2)
=
y −2 0−2
2 y + 2x = 8 → x + y = 4
a) Anomenem
x: nombre de cintes de video.
• recta que passa per (2, 2) i (3, 0) → y + 2x = 6
y: nombre de caixes de disquets.
• recta que passa per (4, 0) i (3, 0) → y = 0
S’ha de verificar:
Z
]] 4, 51x + 4, 51y # 54, 1
[x $ 0
]y $ 0
\
amb x, y ∈ ⺞
y
Segons la regió solució, decidim el sentit de la desigualtat:
Recta x + y = 4 → (0, 0) pertany a la regió solució i de les dos
desigualtats:
x+y≤4 0+0≤4
冦x+y≥4 0+0<4
14
la que ens verifica aquesta pertinença és: x + y ≤ 4.
12
Fent el mateix amb les altre dues recte trobem:
10
冦y≥0
y + 2x ≥ 6
8
6
Solució:
4,51x + 4,51y = 54,1
冦
4
2
–4
–2
2
4
6
8
10
12
14
16 x
x+y≤4
y + 2x ≥ 6
y≥0
2. Siguin r i s les dues rectes del pla
–2
–4
r : 2 x − y − 3 = 0 s:
x +1 y +2
=
4
2
04
MATEMÀTIQUES APLICADES A LES CIÈNCIES SOCIALS 2
Calcula l’equació de la recta que passa pel punt d’intersecció de r i s i que és paral·lela a la recta d’equació
3x + 5y − 1 = 0
Busquem primer el punt d’intersecció de les dues rectes, per
això resolem el sistema:
⎧2 x − y − 3 = 0
⎧2 x − y = 3
⎪
y = −1, x = 1
⎨ x +1 y +2 ⎨
=
⎩2 x − 4 y = 6
⎪⎩ 4
2
Justificació:
Considerem, per exemple, la recta frontera que passa pels
punts A i B; suposem que el semiplà solució de la seva inequació és el de “sobre” d’ella. Evidentment cap punt del semiplà
de sota formarà part de la solució. Pel contrari en el nostre
dibuix hi ha un triangle que forma part de la solució del sistema i es troba en el semiplà no solució.
Si, en lloc de considerar la recta AB, prenguessim la CB, tindríem una situació igual.
Ara cal buscar la recta paral·lela a 3x + 5y − 1 = 0 que passa
per (1, −1):
−3x + 5y = k
−3 · 1 + 5 · (−1) = k → k = −2
La recta buscada és: 3x + 5y = −2, o bé 3x + 5y + 2 = 0
3. (Curs 2003−2004) Decideix si el polígon de vèrtexs consecutius A (0, 0), B (5, 2), C (7, 1), D (7, 6) i E (0, 6) és la regió
factible d’un problema de programació lineal. Justifica la
resposta.
Situem els punts indicats en uns eixos de coordenades:
y
E(0, 6)
47
D(7, 6)
Són les dues rectes que formen l’angle còncau del polígon.
Amb els angles convexos aquestes situacions no es donen.
4. (Curs 2004−2005) En una empresa es fabriquen dos tipus
de peces que anomenarem A i B. Per fabricar una peça tipus A es necessiten 2 kg d’un metall i per fer-ne una de
tipus B, 4 kg del mateix metall. L’empresa disposa com a
màxim de 100 kg de metall i no pot fabricar més de 40 peces de tipus A ni més de 20 peces de tipus B.
a) Dóna un sistema d’inequacions que representi les restriccions en la fabricació que té l’empresa.
b) Determina gràficament els punts del pla que verifiquen
aquest sistema.
c) D’entre les solucions obtingudes, quins són els possibles valors de peces de cada tipus (han de ser enters) si
es volen exhaurir els 100 kg de metall? Explica detalladament què fas per trobar-los.
a) Anomenem x al nombre de peces tipus A i y al nombre de
peces tipus B:
Nombre de peces
fabricades
B(5, 2)
kg de metall
per peça
kg total
Peces A
x menys de 40
2
2x
Peces B
y menys de 20
4
4y
Màxim 100 kg
C(7, 1)
Les condicions es tradueixen el sistema següent:
1
A(0, 0)
x
Podriem formar molts polígons diferents unint els punts, ara
bé, l’enunciat indica consecutius. Aquest cas és únic:
y
E(0, 6)
D(7, 6)
⎧2 x + 4 y ≤ 100
⎪
⎨0 ≤ x ≤ 40
⎪0 ≤ y ≤ 20
⎩
b) Representem la regió factible. Tenim 5 condicions, per
tant, hem d’obtenir un polígon de 5 costats:
y
y = 20
(0, 20)
(10, 20)
2x + 4y = 100
B(5, 2)
C(7, 1)
1
A(0, 0)
x
Obtenim una regió tancada còncava, una regió així no pot ser
solució d’un sistema d’inequacions lineals.
(40, 5)
x = 40
(40, 0)
48
04
SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE
c) Si volem exhaurir els 100 kg de metall el punt corresponent
ha d’estar sobre el segment d’extrems (10, 20) i (40, 5) que
pertanyen a la recta 2x + 4y = 100. Expressem una incògnita en funció de l’altra:
Si anem augmentant el valor de y, el de x disminueix, sempre amb valors enters fins y = 20x = 10.
El possibles valors són: (40, 5), (38, 6), (36, 7),…(12, 19),
(10, 20).
x = 50 − 2y
Les solucions són els punts del conjunt:
Si y = 5, aleshores x = 40.
{(50 − 2n, n), n ∈ Z , 5 ≤ n ≤ 20}
05
MATEMÀTIQUES APLICADES A LES CIÈNCIES SOCIALS 2
Unitat 5. La funció objectiu
49
b)
y
x
B
Activitats
A
1. Donada la funció F(x, y) = 3x + y, dibuixa en uns eixos de
coordenades la recta que s’obté per a F(x, y) = 5. Digues
les coordenades de tres punts que siguin d’aquesta recta i
indica la imatge de cadascun.
S
C
O
x
y
x
y
c)
B
A
x
y
C
S
D
x
O
y
x
x
y
y
Resposta oberta, per exemple: A(1, 2), B(2, −1) i C(0, 5).
F(1, 2) = F(2, −1) = F(0, 5) = 5
2. Representa gràficament la regió del pla que és solució de
cadascun dels conjunts de restriccions següents:
Z
a) ] x - y $ 0
]
[0 # x # 3
]y $ 0
\
Z
b) ]- x + 2y # 4
]3x + 2y # 6
[
]x $ 0
]y $ 0
\
c) Z
]- x + y # 1
] x + 2y # 6
[
]2x + 3y $ 3
]- 3x + 8y $ 4
\
3. Troba les coordenades dels vèrtexs de cadascuna de les
regions solució de l’activitat anterior.
a) O(0, 0), A(3, 3), B(3, 0)
冢
冣
1 9
b) O(0, 0), A(0, 2), B —, — i C(2, 0)
2 4
冢
冣 冢
冣 冢
冣
4 7
20 11
12 17
c) A(0, 1), B —, — , C ——, —— i D ——, ——
3 3
7
7
25 25
4. Dóna les coordenades de quatre punts enters que siguin
solució del sistema:
Z
]] x + 2y $ 4
[x # 4
]y # 2
\
Resposta oberta, per exemple:
冢
冣 冢
冣 冢
冣 冢
冣
1 7
3 5
5 3
7 1
A —, — , B —, — , C —, — i D —, — .
2 4
2 4
2 4
2 4
a)
3
5. Troba les coordenades dels vèrtexs de cadascuna de les
regions solució següents:
x+y $ 2
a) *- x + y # 2
x# 2
Z
]] 3x - y # -3
b) [ x + y # 5
]y $ 3
\
05
50
SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE
b)
a)
k
y
x
k
k
k
A(0, 2), B(2, 4), C(2, 0)
c)
b)
k
k
k
6. Dibuixa en diferents eixos de coordenades cinc rectes
del feix de rectes paral.leles de les funcions objectiu següents:
a) F^x,yh = 3x + 6y
b) F^x,yh = x - 3y
c) F^x,yh = 1 x + 1 y
2
y
d) F^x,yh = 4x - 2
3
3
d)
x
a)
k
x
k
k
y
k
k
k
k
k
y
y
k
x
1 9
A(0, 3), B —, —
2 2
05
MATEMÀTIQUES APLICADES A LES CIÈNCIES SOCIALS 2
7. Dedueix, a partir de cada un dels feixos de rectes paral·leles
següents, la funció objectiu corresponent.
y
a)
b)
51
F(x, y) pren el valor mínim 0, en el punt A.
F(x, y) pren el valor màxim 12, en el punt B.
y
b)
2
2
0
B
A
x
x
0
4
k
k
3
C
k
2
x
y
F(x, y) pren el valor mínim 4, en el punt C.
y
c)
d)
y
F(x, y) pren el valor màxim 16, en el punt B.
4
c)
3
x
0 1
k
x
0
2
k
k
k
B
A
C
a) F(x, y) = x + y
D
b) F(x, y) = 2x − 3y
c) F(x, y) = 4x − y
d) F(x, y) = 3x + 2y
x
y
8. Troba gràficament i analíticament en quins dels punts donats la funció objectiu indicada pren els valors màxim i
mínim.
a) F(x, y) = 4x − 3y, en A(0, 0), B(3, 0) i C(4, 2).
b) F(x, y) = x + 4y, en A(0, 3), B(4, 3) i C(4, 0).
F(x, y) pren el valor mínim 1, en el punt A.
8
F(x, y) pren el valor màxim —, en el punt C.
3
d)
k
c) F(x, y) =
1
1
x + y, en A(0, 2), B(1, 3), C(5, 2) i D(5, 0).
2
3
x
d) F(x, y)= x − y, en A(0, 4), B(2, 3) i C(2, 1).
k
y
k
A
B
C
k
k
a)
C
F(x, y) pren el valor mínim −4, en el punt A.
B
F(x, y) pren el valor màxim 1, en el punt C.
x
y
A
9. En cadascun dels casos següents, troba els punts que optimitzen la funció objectiu donada, sotmesa a les restriccions que s’indiquen. Fes-ho de manera analítica i gràfica.
05
52
SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE
a) F(x, y) = 10x + 12y
b) F(x, y) = 3x − 7y
Z
] 5x + y $ 1
] 2x + 3y # -5
[
]x $ 0
]y $ 0
\
Z
]2x + 3y $ 2
]5x + 4y $ 3
[
]x $ 0
]y $ 0
\
c) F(x, y) = x + y
x
y x
y
d) F(x, y) = 2x + 3y
Z
]3x + 4y # 12
]2x + y $ 4
[
]x $ 0
]y $ 0
\
Z
]x
]0
[
]y
]
\x
#4
#y #6
#x
x y
+ y # 14
x
58
1 4
a) F(x, y) pren com a valor mínim —— en el punt —, — .
7
7 7
F(x, y) no es pot maximitzar en aquesta regió.
x
x
10. Troba de manera analítica el màxim i el mínim de les funcions
objectiu F(x, y) = 4x + 5y i G(x, y) = 3x − 2y, sotmeses al
conjunt de restriccions que té per regió solució:
a)
y
y
b)
Y
Y
y
(4, 5)
(2, 4)
(0, 3)
0
x
y
c)
(2, 3)
(5, 2)
X
(5, 0)
Y
b) El conjunt de restriccions no té solució.
(9, 8)
(3, 8)
(0, 5)
(4, 5)
(11, 2)
(3, 1)
0
X
0
d)
Y
(8, 3)
(6, 1)
X
0
X
a) F(x, y) pren com a valor mínim 0 en el punt (0, 0).
F(x, y) pren com a valor màxim 30 en el punt (5, 2).
x
y
x
G(x, y) pren com a valor mínim −6 en el punt (0, 3).
y
x y
G(x, y) pren com a valor màxim 15 en el punt (5, 0).
c) F(x, y) pren com a valor mínim 2 en el punt (2, 0).
b) F(x, y) pren com a valor mínim 23 en el punt (2, 3).
F(x, y) pren com a valor màxim 4 en el punt (4, 0).
F(x, y) pren com a valor màxim 47 en el punt (8, 3).
G(x, y) pren com a valor mínim 0 en el punt (2, 3).
G(x, y) pren com a valor màxim 18 en el punt (8, 3).
c) F(x, y) pren com a valor mínim 17 en el punt (3, 1).
x y
F(x, y) i G(x, y) no es poden maximitzar en aquesta regió.
G(x, y) pren com a valor mínim −10 en el punt (0, 5).
x
y
x y
d) F(x, y) pren com a valor mínim 8 en el punt (4, 0).
F(x, y) pren com a valor màxim 34 en el punt (8, 6).
d) F(x, y) pren com a valor mínim 41 en el punt (4, 5).
F(x, y) pren com a valor màxim 76 en el punt (9, 8).
G(x, y) pren com a valor mínim 2 en el punt (4, 5).
G(x, y) pren com a valor màxim 29 en el punt (11, 2).
05
MATEMÀTIQUES APLICADES A LES CIÈNCIES SOCIALS 2
11. Esbrina gràficament els punts òptims de cada una de les
funcions objectiu de l’activitat anterior.
a)
x
d)
x
53
y
y
x
x
y
y
F(x, y): mínim en (0, 0) i màxim en (5, 2).
G(x, y): mínim en (0, 3) i màxim en (5, 0).
F(x, y): mínim en (4, 5) i màxim en (9, 8).
G(x, y): mínim en (4, 5) i màxim en (11, 2).
b)
x
y
12. A partir de les dades següents, determina i classifica la
solució màxima i mínima:
a) F ^x, yh = 2x - 3y
Z
]] x $ 0, y $ 0
[ x $ 2y
]x - y $ 5
\
c) F ^x, yh = 3x + 4y
*
x
c)
0# x# y
x+y-2 $ 0
y
b) F ^x, yh = x + 2y
Z
]] x $ 0, y $ 0
[ x + 2y # 10
] x - 2y $ 7
\
d) F ^x, yh = 2x + y
Z
]] x $ 0, y $ 0
[x + y # 3
] 2x + y $ 7
\
F(x, y): mínim en (2, 3) i màxim en (8, 3).
e) F ^x, yh = 3x + 2y
f) F ^x, yh = x + y
G(x, y): mínim en (2, 3) i màxim en (8, 3).
Z
] x $ 0, y $ 0
] x + 2y $ 1
[
] 5x + 4y $ 10
]2x + y $ 2
\
Z
]]0 # x # 3
[0 # y # 3
]x $ y
\
x
y
a) F(x, y) pren com a valor mínim 5 en el punt (10, 5): solució
única.
F(x, y) no es pot maximitzar: solució no acotada.
b) F(x, y) pren com a valor mínim 7 en el punt (7, 0): solució
única.
F(x, y) pren com a valor màxim 10 en tots els punts del
segment d’extrems (17/2, 3/4) i (10, 0): solució múltiple.
x
y
F(x, y): mínim en (3, 1) i no té màxim.
G(x, y): mínim en (0, 5) i no té màxim.
c) F(x, y) pren com a valor mínim 7 en el punt (1, 1): solució
única.
F(x, y) no es pot maximitzar: solució no acotada.
d) Solució no factible.
05
54
SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE
e) F(x, y) pren com a valor mínim 5 en el punt (0, 5/2): solució única.
F(x, y) no es pot maximitzar: solució no acotada.
f) F(x, y) pren com a valor mínim 0 en el punt (0, 0): solució
degenerada.
F(x, y) pren com a valor màxim 6 en el punt (3, 3): solució
degenerada.
5. Optimitza gràficament les funcions objectiu següents, sotmeses al conjunt de restriccions de l’activitat anterior.
Indica, en cada cas, el tipus de solució.
a) F(x, y) = 2x + 2y
Activitats finals
b) F(x, y) = x − y
1. El polígon de vèrtexs O(0, 0), A(4, 0), B(5, 1), C(3, 1),
D(3, 3) i E(0, 3) pot ser la regió solució d’un problema de
programació lineal amb dues variables? Justifica’n la resposta.
No, perquè no és un polígon convex.
2. Dibuixa les rectes del feix determinat per la funció objectiu F(x, y) = 5x + 3y, per:
F(x, y) = 1, F(x, y) = 2, F(x, y) = −3 i F(x, y) = −4.
a) F(x, y) pren com a valor mínim 4 en el punt (0, 2): solució
única.
F(x, y) pren com a valor màxim 10 en els punts del segment
d’extrems (2, 3) i (4, 1): solució múltiple.
b) F(x, y) pren com a valor mínim −2 en el punt (0, 2): solució
7
7
única. F(x, y) pren com a valor màxim — en el punt —, 0 :
2
2
solució única.
6. Donada la funció objectiu F(x, y) = x + 3y i els vèrtexs de
la regió solució A(1, 3), B(2, 1) i C(x, y) per a x ≥ 0, y ≥ 0,
indica unes possibles coordenades del punt C per tal que:
k
k
Z
] x - 2y $ -4
]x + y # 5
[
]2x - y # 7
] 4x + 7y $ 14
\
k
k
a) El valor màxim de la funció objetiu s’assoleixi en el
punt C.
b) El valor mínim de la funció objectiu s’assoleixi en el
punt C.
c) El valor mínim de la funció objectiu s’assoleixi en qualsevol punt del segment BC.
F(1, 3) = 1 + 9 = 10, F(2, 1) = 2 + 3 = 5
3. Esbrina si els punts A(1, 1), O(0, 0), B(2, 3), C(−1, 6) i
D(−2, 4) són de la regió solució del conjunt de restriccions:
2x + y $ 3
*
x + 2y $ 3
a) C(x, y) tal que x ≥ 0, y ≥ 0 i x + 3y > 10. Per exemple C(2, 3).
b) C(x, y) tal que x ≥ 0, y ≥ 0 i x + 3y < 5. Per exemple C(1, 1).
c) C(x, y) tal que x ≥ 0, y ≥ 0 i x + 3y = 5. Per exemple C(5, 0).
Els punts A, B i C són de la regió solució, però els punts O i D
no ho són.
4. El polígon de la figura és la regió solució d’un sistema d’inequacions lineals amb dues incògnites. Troba el conjunt de
restriccions.
y
(2, 3)
7. Considerem la funció objectiu per maximitzar F(x, y) = 4x + 7y,
sotmesa a les restriccions:
Z
]] x $ 0 , y $ 0
[ 6x + 8y # 48
] 5x + 10y # 50
\
El problema que consisteix a minimitzar la funció objectiu
G(x, y) = 48x + 50y, sotmesa a les restriccions següents:
Z
]] x $ 0 , y $ 0
[ 6x + 5y $ 4
] 8x + 10y $ 7
\
s’anomena problema dual del primer. Resol-los tots dos.
(0, 2)
(4, 1)
F(x, y) pren com a valor màxim 37 en el punt (4, 3).
O
1
2
7 ,0
2
x
1 1
G(x, y) pren com a valor mínim 37 en el punt —, — .
4 2
05
MATEMÀTIQUES APLICADES A LES CIÈNCIES SOCIALS 2
8. Tenint en compte l’activitat anterior, escriu el problema
dual del qual es tracta de maximitzar la funció objectiu
F(x, y) = ax + by, sotmesa al conjunt de restriccions:
Zx
]] $ 0, y $ 0
[ px + qy # c
] rx + sy $ d
\
55
Troba el màxim i el mínim de la funció objectiu
1
x + y en aquesta regió. Indica el tipus de
F(x, y) =
2
solució que presenta cadascun dels punts òptims.
Minimitzar la funció objectiu G(x, y) = cx + dy sotmesa al conjunt de restriccions:
Z
]] x $ 0, y $ 0
[p x + ry $ a
] q x + sy # b
\
9. Troba el mínim de la funció F(x, y) = x + 2y entre el conjunt de punts que compleixen:
Z
] 4x + 2y $ 14
]2x + 2y $ 10
[
] x + 3y $ 7
] x $ 0, y $ 0
\
x y
x
y
El valor mínim de F(x, y) és 4 i s’assoleix en tots els punts del
segment d’extrems (8, 0) i (2, 3), és per tant una solució múltiple.
No hi ha cap punt on F(x, y) assoleixi el valor màxim, és una
solució no acotada.
Indica algun punt en què s’assoleixi aquest mínim.
El mínim de F(x, y) és 6. L’assoleix en el punt (4, 1).
10. Troba el màxim de la funció F(x, y) = x + 5y entre el conjunt de punts que compleixen:
Z
]- x + 5y # 30
]5x + 3y # 46
[
]- 2x + 3y $ -10
] x $ 0, y $ 0
\
a) F(x, y) = 6x − 5y
Indica també algun punt en què s’assoleixi aquest màxim.
El valor màxim de F(x, y) és 40. L’assoleix en el punt (5, 7).
3
11. Considera la funció objectiu F(x, y) = — x + y en el conjunt
2
de restriccions:
⎧ x ≥ 0, y ≥ 0
⎪
⎨ 3x + 2 y − 2 ≥ 0
⎪3 x + 4 y − 12 ≤ 0
⎩
Z
] x $ 0, y $ 0
]x - y # 2
[
]3x + y $ 8
]3x + 2y # 6
\
b) F(x, y) = 3x + 3y
Z
] x $ 0, y $ 0
]x + y # 5
[
] 2x + y $ 2
] x + 2y $ 2
\
c) F(x, y) = 3x + 2y
Comprova que aquesta funció pren el seu valor mínim en
més d’un punt, i el seu valor màxim en un sol punt.
El valor mínim de F(x, y) és 1 i s’assoleix en tots els punts del
2
2
segment d’extrems (0, 1) i —, 0 , ja que F(0, 1) = F —, 0 = 1.
3
3
El màxim de F(x, y) és 6 i s’assoleix en el punt (4, 0), ja que
F(4, 0) = 6.
12. Dibuixa la regió solució del sistema següent:
Z
]] x $ 0, y $ 0
[x + y $ 5
] x + 2y $ 8
\
13. En cadascun dels casos següents, calcula analíticament si
existeixen els valors màxim i mínim de la funció objectiu
donada, sotmesa a les restriccions que s’indiquen. Indica
també els punts en què la funció assoleix aquests valors
òptims.
Z
] x $ 0, y $ 0
] 3x + y $ 6
[
] 2x + 3y $ 11
] x + 4y $ 8
\
a) Solució no factible.
2 2
b) F(x, y) pren com a valor mínim 4 en el punt —, — : solu3 3
ció única. F(x, y) pren com a valor màxim 15 en tots els
punts del segment d’extrems (5, 0) i (0, 5): solució múltiple.
c) F(x, y) té com a valor mínim 9 i l’assoleix en el punt (1, 3),
és per tant una solució única. F(x, y) no es pot maximitzar,
per tant, el màxim és una solució no acotada.
05
56
SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE
14. En l’activitat anterior, dedueix gràficament els punts en
què la funció objectiu assoleix els valors màxim i mínim.
a)
x y
15. Troba analíticament i gràficament el valor màxim que pren
la funció objectiu F(x, y) = 2x − 3y en el conjunt de restriccions:
Z
]] x $ 0, y $ 0
[x + y $ 4
]2x + 3y # 10
\
x y
F(x, y) assoleix el seu valor màxim en el punt (5,0) i val
F(5, 0) = 10.
x
x
y
y
Solució no factible.
b)
C
x
x
y
x y
y
B
A
x
x y
y
x y
16. Donada la regió del pla definida per les inequacions:
2 2
Valor mínim en el punt A —, — . Valor màxim en tots els
3 3
punts del segment BC.
c)
Z
]] x + y - 1 $ 0
[0 # x # 3
]0 # y # 2
\
Per a quins valors (x, y) de la regió és mínim el valor de la
funció objectiu F(x, y) = 5x + 2y? I màxim?
x y
F(0, 1) = 2, F(0, 2) = 4, F(3, 2) = 19, F(3, 0) = 15 i F(1, 0) = 5.
D
El valor mínim l’assoleix en el punt (0, 1). El valor màxim l’assoleixen el punt (3, 2).
C
B
A
O
x
x
x
y
y
y
Valor mínim en C(1, 3). No hi ha cap punt de la regió solució on la funció objectiu assoleixi el valor màxim, per tant
no es pot maximitzar.
17. Dibuixa la regió solució del sistema d’inequacions següent
i determina en quin punt de la regió la funció objectiu
F(x, y) = 2x + y pren el valor màxim.
Z
]5x + 7y $ 35
]6x - y # 42
[
]3x + 2y # 36
]- 2x + 3y # 15
\
05
MATEMÀTIQUES APLICADES A LES CIÈNCIES SOCIALS 2
57
Avaluació
1. Dibuixa la regió factible determinada per les desigualtats
següents i calcula el valor mínim de la funció z = x − y en
aquesta regió.
⎧x + y ≤ 1
⎪3 x − y ≤ 3
⎪
⎨
⎪x ≥ 0
⎪⎩ y ≥ 0
y
y = –x + 1
1
3x – y = 3
(0, 1)
(1, 0)
F(x, y) = 2x + y pren el seu valor màxim 22 en el punt (8, 6).
(0, 0)
x
1
18. Donada la funció objectiu F(x, y) = 5x + 5y i el conjunt de
restriccions:
Z
]0 # x # 3
]0 # y # 2
[
]x + y $ 2
] x - 2y + 1 $ 0
\
(0, –3)
comprova que el punt on s’assoleix el valor màxim de la
funció objectiu és una solució degenerada.
El valor màxim és 25, i l’assoleix en el punt (3, 2). És una solució degenerada perquè en aquest punt hi incideixen tres
rectes: y = 2, x = 3 i x − 2y + 1 = 0.
z pren el valor –1 en el vèrtex (0, 1).
z pren el valor 0 en el vèrtex (0, 0).
z pren el valor 1 en el vèrtex (1, 0).
Per tant, el mínim s’assoleix en el punt (0, 1), amb el valor –1.
19. En l’activitat anterior, comprova gràficament que la solució que fa mínim el valor de la funció objectiu és múltiple.
2. Escriu un sistema de quatre inequacions (amb dues variables x i y) de manera que la regió del pla que determini
aquest sistema sigui la regió ombrejada del dibuix de la
figura:
y
4
x
x
y
y
1
x
y
El valor mínim s’assoleix en qualsevol punt del segment determinat pels punts (2, 0) i (1, 1), és per tant una solució múltiple.
1
2
3
4
x
05
58
SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE
Primer donem noms als vèrtex i costats del polígon:
y
c
D
4
f(3, 3) = 3 + 3 · 3 = 12
f(5, 3) = 5 + 3 · 3 = 14
C
f(5, −1) = 5 + 3 · (−1) = 2
f(2, 0) = 2 + 3 · 0 = 2
d
Els valors màxim i mínim s’assoliran en els vèrtex del quadrilàter: A(3, 3) B(5, 3) C(5, −1) D(2, 0).
b
Valorem la funció en aquests punts:
a) El valor màxim d’aquesta funció és 14. El valor mínim
d’aquesta funció és 2.
1E
e
A
1
2
b) El punt on s’assoleix el màxim és únic i es tracta de B(5, 3).
El valor mínim no s’assoleix en un únic punt, formen part
d’aquesta solució tots els punts del segment CD.
B
a
3
4
x
És un polígon de 5 costats, per tant, hem de buscar 5 rectes,
és a dir, 5 inequacions:
e → recta eix d’ordenades: equació x = 0, x ≥ 0.
a → recta eix d’abscisses: equació y = 0, y ≥ 0.
b → recta que passa pels punts B(4, 0) i C(3, 4):
equació y = −4x + 16 → y + 4x ≤ 16.
c → recta paral·lela eix d’abscisses que passa
C(3, 4) i D(1, 4): equació y = 4, y ≤ 4.
d → recta que passa pels punts D(1, 4) i E(0, 1)
equació y = 3x + 1, y − 3x ≤ 1.
3. (Curs 2003-2004) El quadrilàter ABCD és la regió d’un sistema d’inequacions lineals. Els costats del quadrilàter
també formen part de la regió solució.
a) Troba el valor màxim i el valor mínim de la funció
f(x, y) = x + 3y en aquesta regió.
b) En quins punts d’aquesta regió solució la funció de l’apartat anterior assoleix el màxim i en quins punts el mínim?
y
4
A
Ordenem les dades en forma de taula:
kg farina
dotzena
⎧x ≥ 0
⎧x ≥0
⎪y ≥ 0
⎪0 ≤ y ≤ 4
⎪⎪
⎪
y
≤
4
→
⎨
⎨
⎪ y + 4 x ≤ 16
⎪ y + 4xx ≤ 16
⎪
⎪⎩ y − 3x ≤ 1
⎪⎩ y − 3 x ≤ 1
3
4. Un pastisser té 150 kg de farina, 22 kg de sucre i 26 kg de
mantega per fer dos tipus de pastissos. Es necessiten 3 kg
de farina, 1 kg de sucre i 1 de mantega per fer una dotzena de pastissos tipus A, mentre que les quantitats per una
dotzena del tipus B són, respectivament, 6 kg, 0,5 kg i
1 kg. Si el benefici que s’obté per la venda d’una dotzena
de pastissos del tipus A és de 20 € i per una dotzena del
tipus B és de 30 €, trobeu el nombre de dotzenes de pastissos de cada tipus que ha de produir per maximitzar el
seu benefici.
kg sucre
dotzena
kg
mantega
dotzena
benefici
12
pastissos
tipus A
3
1
1
20
x
12
pastissos
tipus B
6
0,5
1
30
y
150
22
26
màxim
⎧ 3 x + 6 y ≤ 150
⎪ x + 0, 5 y ≤ 22
⎪⎪
Les restriccions són ⎨ x + y ≤ 26
⎪x ≥ 0
⎪
⎪⎩ y ≥ 0
⎧ x + 2 y ≤ 50
⎪ 2 x + y ≤ 44
⎪⎪
També podríem expressar ⎨ x + y ≤ 26
⎪x ≥ 0
⎪
⎪⎩ y ≥ 0
B
2
La funció benefici és f (x, y) = 20x + 30y.
1
Regió solució:
1
D
5
C
x
quantitat
de
dotzenes
recta x + 2y = 50 → punts (0, 25), (50, 0).
recta 2x + y = 44 → punts (0, 44), (22, 0).
recta x + y = 26 → punts (0, 26), (26, 0).
MATEMÀTIQUES APLICADES A LES CIÈNCIES SOCIALS 2
En els eixos cada quadricula correspondrà a 20 unitats.
y
E
59
⎧ x + y = 26
C és el punt d’intersecció de les rectes ⎨
⎩2 x + y = 44
⎧ x + y = 26
D és el punt d’intersecció del sistema ⎨
⎩ x + 2 y = 50
D
C
A
05
Resolem aquests sistemes aplicant la funció objectiu sobre
els vèrtexs:
B
x + 2y = 50
x + y = 26
2x + y = 44
A(0, 0)
→ f (A) = 0 + 0 = 0
B(22, 0) → f (B) = 20 . 22 + 0 = 440
C(18, 8) → f (C) = 20 . 18 + 30 . 8 = 600
D(2, 24) → f (D) = 20 . 2 + 30 . 24 = 760
E(0, 25) → f (E) = 0 + 30 . 25 = 750
Vèrtexs del polígon solució del sistema:
A, B i E es troben sobre els eixos i són fàcils de calcular.
El màxim benefici s’obté quan es produeixen 2 dotzenes de
pastissos del tipus A i 24 dotzenes de pastissos del tipus B.
60
06
SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE
Unitat 6. Problemes
de programació lineal
Activitats
1. Comprova si els parells de valors següents verifiquen les
instruccions donades pel metge i calcula, en cada cas,
les calories que aporten:
Es necessita una dieta que proporcioni a un animal un mínim de 3 000 calories i 80 unitats de proteïnes per dia. Es
disposa de dos aliments bàsics que es poden fer servir per
preparar la dieta. L’aliment A conté 600 calories i 2 unitats de proteïnes, i el B conté 50 calories i 8 unitats de
proteïnes.
Representa per x els quilograms d’aliment A i per y els de
l’aliment B.
a) 100 g de A i 60 g de B
Calories
b) 90 g de A i 50 g de B
c) 25 g de A i 25 g de B
x kg aliment A
600x
2x
y kg aliment B
50y
8y
3000
80
Quants parells de valors de les quantitats de A i de B es
poden trobar?
a) No verifica la primera condició, 160 > 150.
b) Sí que les verifica. Aporten 480 calories.
Unitat de proteines
600x + 50y $ 3000
*
2x + 8y $ 80
c) Sí que les verifica. Aporten 150 calories.
Es poden trobar molts parells de valors que verifiquin les condicions donades.
2. Un fabricant té 750 m de roba de cotó i 1 000 m de teixit
sintètic per confeccionar xandalls i jaquetes. Per a la confecció de cada xandall es necessiten 1 m de cotó i 2 m de
sintètic, i per a cada jaqueta, 1,5 m de cotó i 1 m de sintètic. Un xandall es ven a 50 € i una jaqueta, a 40 €. Si x
és el nombre de xandalls i y el nombre de jaquetes que
s’han de confeccionar, escriu el sistema d’inequacions i la
funció objectiu de la venda corresponent a aquest enunciat.
x + 1,5y # 750
*
2x + y # 1000
5. Un farmacèutic disposa de 80 litres d’un producte α i
120 litres d’un altre β, amb els quals prepara dos compostos A i B. El compost A s’aconsegueix amb tres parts de β i
una de α; en el compost B, la proporció és del 50%. Ven els
preparats en garrafes de 4 litres, la de A a 50 € i la de B
a 60 €.
Escriu una taula de contingència, el sistema d’inequacions
corresponent i la funció objectiu que determina la venda.
α
F (x, y) = 50x + 40y
3. Planteja el sistema d’inequacions que resulta de l’enunciat
següent:
La suma de dos nombres no pot excedir de 20. El primer
dels nombres és d’una xifra i no és més gran que l’altre. Els
dos nombres són positius. Hi ha cap parell de nombres
naturals que verifiqui aquestes condicions? Quants? Quins
són? Poden ser un parell de nombres racionals no naturals?
x + y # 20
*
x # y,
x < 10,
Venda
x: litres de A
x
3x
50
x
4
y: litres de B
2y
2y
60
y
4
Total
80
120
50
60
x+
y
4
4
x + 2y # 80
*
3x + 2y # 120
x > 0,
β
F (x, y) = 50 x + 60 y
4
4
y>0
Hi ha força parelles de nombres naturals que verifiquen aquestes condicions: (2, 3), (2, 18)... N’hi ha 99. No poden ser un
parell de nombres racionals ja que un d’ells ha de ser d’una
xifra.
4. Escriu una taula de contingència i el sistema d’inequacions
corresponent del problema següent:
6. A la llibreria del barri, per tal de fer disminuir un estoc de
1 000 carpetes i 1 500 bolígrafs, creen dos tipus de lots:
el lot principiant, format per una carpeta i un bolígraf, i el
lot dibuixant, per una carpeta i tres bolígrafs. Els guanys
són de 0,70 € per cada lot principiant i d’1 € per cada lot
dibuixant. Calcula quants lots de cada un els convé preparar per tal d’obtenir el màxim de guanys. Troba la solució
gràficament.
06
MATEMÀTIQUES APLICADES A LES CIÈNCIES SOCIALS 2
Z
]]2x + y # 12
[2y # 8
]x + y # 7
\
61
F (x, y) = 12x + 14y
El màxim benefici correspon a la venda de 3 paquets de la primera oferta i 4 de la segona.
8. En un laboratori, disposen de 80 litres d’un producte α i
120 litres d’un β, amb els quals es preparen dos compostos
A i B. En el compost A hi ha tres parts de β i una de α, en
el B la proporció és del 50 %. El laboratori ven els compostos en flascons de 4 litres, el de A a 50 € i el de B a 60 €.
Carpetes
*
Bolígrafs
Venda
Principiant: x
x
x
0,70x
Dibuixant: y
y
3y
1y
1 000
1 500
0,70x + y
x + y # 1000
x + 3y # 1500
F (x, y) = 0,70x + y
a) Quants litres ha de preparar de cada compost per tenir
una venda màxima?
b) Quin és el valor d’aquesta venda?
y
60
40
3
Per obtenir el màxim de guanys han de preparar 750 lots de
principiant i 250 de dibuixant.
7. En una merceria els ha quedat de la temporada anterior
12 samarretes, 8 mocadors de coll i 7 bufandes. Ho posen
a la venda en dos tipus d’ofertes, en la primera dues
samar retes i una bufanda, a 12 €, i la segona amb una
samarreta, dos mocadors i una bufanda, a 14 €. Quants
paquets de cada oferta haurien de vendre per tal d’obtenir
el màxim benefici? Troba la solució de manera gràfica.
40
80
α
β
Benefici
x litres de A
x
3x
50
x
4
y litres de B
2y
2y
60
y
4
80
120
50
60
x+
y
4
4
7
x + 2y # 80
*
3x + 2y # 120
F (x, y) = 50 x + 60 y
4
4
a) Ha de preparar 20 L del compost A i 30 L del B.
7
b) El benefici és F(20, 30) = 700.
Samarretes Mocadors Bufandes
Paquets
1a: x
2x
Paquets
2a: y
y
2y
y
14y
12
8
7
12x + 14y
x
9. Una fàbrica produeix dos tipus de motocicletes A i B. Cada
motocicleta, abans de sortir al mercat, és comprovada i
posada a punt. Aquestes comprovacions requereixen 8 hores per a cada moto del tipus A i 4 hores per a cada moto del
tipus B. A més, cada moto, independentment del tipus que
sigui, requereix 100 € de material. Per cada moto del tipus
A s’obté un benefici de 300 €, i per cadascuna del tipus B
s’obtenen 200 € de benefici. Quantes motos haurem de revisar per tal d’obtenir el màxim benefici si disposem de
400 € en material i 24 hores per poder-ne fer les revisions?
06
62
SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE
Hores
comprovació
Euros de
material
x: pinso P1 (g)
Benefici
y: pinso P2 (g)
Motos A: x
8x
100x
300x
Motos B: y
4y
100y
200y
24
400
300x + 200y
8x + 4y # 24
*
100 (x + y) # 400
Z
]]500x + 400y $ 3000
[300x + 200y $ 800
]200x + 400y $ 700
\
7x
8,5y
F (x, y) =
+
1000
1000
F (x, y) = 300x + 200y
y
La intersecció de les dues rectes associades dóna el punt (2, 2).
Per tant cal revisar dues motos de cada tipus.
10. Considera la funció F(x, y) = 3x + 2y. Troba’n els màxims i
els mínims sabent que:
Z
]] x $ 0
[y $ 0
]2y # -3x + 6
\
3
La recta associada a la 3a inequació és: y = − x + 3
2
La recta associada a la funció objectiu és:
3
x + k que és paral·lela a l’anterior i pren el valor mínim
2
en el punt (0, 0) i els valors màxims en tots els punts de la
3
recta y = − x + 3 que són de la regió solució; és a dir, entre
2
el punt (0, 3) i el punt (2, 0).
(0,750)
x
0
(600,0)
y=−
3
La solució és: x = 600 i y = 0. Només agafaríem 600 g del pinso P1.
3
12. Considera la funció z = x + y en el conjunt següent:
2
Z
]] x $ 0, y $ 0
[3x + 2y - 2 $ 0
]3x + 4y - 12 # 0
\
Comprova que aquesta funció pren el seu valor mínim en
més d’un punt.
Si z = 1, 3x + 2y − 2 = 0 és la recta associada a la segona inequació. En els punts del segment d’aquesta recta que siguin
solució del sistema, la funció pren el seu valor mínim.
2
Activitats finals
11. En una granja d’aviram es disposa de dos tipus de pinso, P1
i P2. Cada pinso té hidrats de carboni (H), greixos (G) i
substàncies minerals (M) en les quantitats per quilogram
que indica el quadre següent:
H
G
M
P1
500 g
300 g
200 g
P2
400 g
200 g
400 g
Sabent que els animals han de menjar un mínim de 3 000 g
d’hidrats de carboni, 800 g de greixos i 700 g de substàncies minerals, calcula quina quantitat de cada tipus de
pinso cal agafar perquè el cost sigui mínim si un quilogram del pinso P1 val 7 € i un quilogram del pinso P2 val
8,50 €.
1. Una empresa fabrica dues classes de cargols, A i B. En la
producció diària, se sap que el nombre de cargols de
la classe B no supera el nombre de cargols de la classe A
més 1 000 unitats, que entre les dues classes no superen
les 3 000 unitats, i que els de la classe B no baixen de
1 000 unitats. Sabent que els cargols de la classe A valen
0,20 € la unitat i que els de la classe B en valen 0,15 €,
calcula els costos màxim i mínim que pot valer la producció diària, i amb quants cargols de cada classe s’aconsegueixen aquest màxim i aquest mínim.
x: cargols A, y: cargols B.
Z
]] y # x + 1000
[ x + y # 3000
] y $ 1000
\
F ( x, y) = 0,20x + 0,15y
06
MATEMÀTIQUES APLICADES A LES CIÈNCIES SOCIALS 2
2 000 cargols tipus A i 1 000 cargols tipus B; cost màxim 550 €.
Metall
Producte A
Producte B
Cap del tipus A i 1000 del tipus B; cost mínim 150 €.
2. Les 20 noies i els 10 nois d’un mateix curs fan una feina a
les tardes i els contracten de dues maneres diferents: per
parelles d’una noia i un noi, i per equips de tres noies i
un noi. Els paguen a 120 €/tarda la parella i 200 €/tarda
l’equip.
Com es distribuiran per tal de guanyar el màxim possible?
x: nombre de parelles, y: nombre d’equips.
*
x + y # 10
x + 3y # 20
F (x, y) = 120x + 200y
Per guanyar al màxim han de fer 5 parelles i 5 equips.
3. Un magatzem de confecció que disposa de 70 samarretes,
120 camises i 110 pantalons fa liquidació d’existències.
Vol posar-ho a la venda en dos tipus de lots: el lot A, format per 2 camises, un pantaló i una samarreta, es vendrà a
120 € cadascun; el lot B, format per una camisa, 2 pantalons i una samarreta es vendrà a 140 € cadascun.
Calcula quants lots els convè fer de cada classe per obtenir
el màxim guany i quants diners ingressaran.
x: lots A, y: lots B.
Z
]] x + y # 70
[2x + y # 120
] x + 2y # 110
\
F (x, y) = 120x + 140y
Convé fer 30 lots A i 40 lots B i ingressaran 9 200 €.
4. Un estudiant dedica part del seu temps lliure a repartir
propaganda publicitària. L’empresa A li paga 0,10 € per
cada imprès repartit, i l’empresa B, amb fulletons més
grans, li paga 0,14 € per imprès. L’estudiant porta dues
bosses: una per a impresos A, on n’hi caben 120, i una altra per a impresos B, on n’hi caben 100. Ha calculat que
cada dia és capaç de repartir 150 impresos com a màxim.
El que l’estudiant es pregunta és: quants impresos haurà
de repartir de cada classe per tal que el seu benefici diari
sigui màxim?
x: nombre d’impresos A, y: nombre d’impresos B.
Z
]] x + y # 150
[ x # 120
] y # 100
\
F (x, y) = 0,10x + 0,14y
Haurà de repartir 50 impresos A i 100 de B.
5. Una companyia fabrica dos tipus de productes, A i B, a
partir de tres metalls diferents. Els quilograms de metall
utilitzats en la fabricació de cada producte, com també les
restriccions de disponibilitat diària de metall, s’indiquen
en la taula següent. Si sabem que el quilogram de producte A es ven a 1,50 €, i el de producte B es ven a 2,50 €,
calcula quina quantitat diària de cada producte cal fabricar per obtenir el màxim guany possible.
63
Existències
totals de
metalls
1
1
0
4
2
0
2
12
3
3
2
18
x: kg de A, y: kg de B.
Z
]] x # 4
[2y # 12
]3x + 2y # 18
\
F (x, y) = 1,50x + 2,50y
Cal fabricar 2 kg de l’A i 6 kg del B.
6. Un camioner que disposa de 20 000 € pot carregar el seu
camió amb 25 tones de pomes i taronges. El cost de les
pomes és de 1 000 €/t i ell les vendrà després a 1 300 €/t.
El cost de les taronges és de 600 €/t i el preu de venda
serà de 800 €/t.
a) El camioner, que vol treure’n el màxim de benefici, es
troba davant d’un problema de programació lineal. Amb
quantes variables? Quines restriccions han de complir
aquestes variables?
b) Quin carregament li reportarà més benefici? Quin serà
aquest benefici?
a) Dues variables. x: tones de pomes, y: tones de taronges.
x + y # 25
*
1000x + 600y # 20000
b) El carregament que li reportarà més benefici és de 12,5 tones de pomes i 12,5 tones de taronges. El benefici serà de
6 250 €.
7. Una escola vol dur d’excursió 400 alumnes. L’empresa de
transport té 8 autocars de 40 places i 10 de 50 places,
però només disposa de 9 conductors. El lloguer d’un autocar gran val 160 € i el d’un de petit 120 €.
a) Calcula quants autocars de cada mena s’han d’utilitzar
perquè l’excursió resulti la més econòmica possible per
a l’escola.
b) Identifica en aquest enunciat les variables, les restriccions i la funció que cal optimitzar.
a) 4 autocars grans i 5 de petits.
Z
]x + y # 9
] x # 10
[
]y # 8
]50x + 40y $ 400
\
F (x, y) = 160x + 120y
b) Dues variables. x: autocars grans i y: autocars petits.
06
64
SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE
8. Una fàbrica d’automòbils produeix dos tipus de vehicles:
de luxe i utilitaris. Cada vehicle ha de ser comprovat i posat a punt abans de sortir al mercat. La comprovació de
cada vehicle de luxe requereix 4 hores i la de cada utilitari, 2. A més, cada vehicle requereix accessoris per valor
de 1 000 €. Per cada vehicle de luxe s’obté un benefici de
400 €, i per cada utilitari, un benefici de 300 €.
Quants vehicles de cada tipus s’han de revisar diàriament
per tal d’obtenir el màxim benefici si només podem gastar
4 000 € diaris en accessoris i no podem sobrepassar les
12 hores de feina?
x: vehicles de luxe, y: vehicles utilitaris.
4x + 2y # 12
*
1000 (x + y) # 4000
11. A principi de curs uns grans magatzems fan una promoció
de material escolar. Tenen en estoc 600 llibretes, 500 carpetes i 400 bolígrafs. Fan dos tipus de lots. En el primer,
dues llibretes, una carpeta i dos bolígrafs, en el segon,
tres llibretes, una carpeta i un bolígraf. El primer lot el
venen a 2,50 € i el segon, a 3,75 €.
Quants lots de cada tipus caldrà vendre per obtenir el
màxim benefici?
x: lots del primer tipus, y: lots del segon tipus.
Z
]]2x + 3y # 600
[ x + y # 500
]2x + y # 400
\
F (x, y) = 2,5x + 3,75y
La recta associada a la primera inequació és del feix de rectes
que corresponen a la funció objectiu. Són solució del problema tots els punts d’aquesta recta tals que 0 ≤ x ≤ 150.
F (x, y) = 400x + 300y
Ha de revisar diàriament 2 vehicles de cada tipus.
El benefici màxim serà de 750 €.
9. En un magatzem hi ha 100 caixes del tipus A i 100 caixes
del tipus B. La taula que segueix ens informa del pes, el
volum i el valor de cadascuna:
Tipus
Volum (dm3) Valors (€)
Pes (kg)
A
100
30
750
B
200
40
1 250
Una camioneta pot carregar 10 000 kg i un volum màxim
de 2 400 dm3. Troba com cal carregar-la per tal que el valor
de les caixes que porti sigui com més elevat millor.
x: caixes A, y: caixes B.
100x + 200y # 10000
*
30x + 40y # 2400
12. Una granja d’aviram disposa de dues classes de pinso, A
i B, que costen 20 i 10 €/kg, respectivament. En la composició del pinso A entren 300 unitats d’un producte M i
4 unitats d’un producte N per quilogram, mentre que en la
composició de B n’entren 100 de M i 8 de N per quilogram.
S’estima que les necessitats nutritives mínimes de la
granja són de 30 000 unitats de M i 800 de N la setmana.
Calcula les quantitats de cada pinso que s’han de comprar
cada setmana per tal que el cost sigui mínim.
x: kg del A, y: kg del B.
300x + 100y $ 30000
*
4x + 8y $ 800
F (x, y) = 20x + 10y
x # 100
y # 100
F (x, y) = 750x + 1250y
Ha de carregar-la amb 40 caixes del tipus A i 30 del B.
10. Un plat que ha de contenir com a mínim 20 g de proteïnes
i 60 g d’hidrats de carboni s’elabora amb dos ingredients
A i B. Un gram de l’ingredient A conté 0,18 g de proteïnes
i 0,4 g d’hidrats de carboni i aporta 1,7 calories, mentre
que un gram de l’ingredient B conté 0,17 g de proteïnes,
0,6 g d’hidrats de carboni i aporta 2,2 calories. Calcula la
composició menys calòrica i determina quantes calories
conté.
x: grams de A, y: grams de B.
0,18x + 0,17y $ 20
*
0,4x + 0,6y $ 60
F (x, y) = 1,7x + 2,2y
Amb 45 g de A i 70 g de B s’aconsegueix la composició menys
calòrica, 230,5 calories.
S’han de comprar 80 kg del A i 60 del B.
13. Un artesà fabrica dos tipus de peces, A i B. Cada peça A requereix 6 hores de muntatge i 10 de pintura, mentre que
cada peça B requereix 9 hores de muntatge i 5 de pintura.
Està disposat a treballar com a màxim 93 hores mensuals en
la secció de muntatge i 85 en la secció de pintura. Un comerciant li comprarà totes les peces a un preu de 500 € la
peça les de tipus A, i de 400 € les de tipus B. Ara bé, aquest
comerciant exigeix que se li subministri una quantitat mínima de 5 peces mensuals, A o B, i vol també que el nombre
de peces A no superi el triple del nombre de peces B.
Calcula el nombre de peces de cada tipus que ha de fabricar
mensualment l’artesà per tal d’obtenir un guany màxim.
x: peces del tipus A, y: peces del B.
Z
] 6x + 9y # 93
]10x + 5y # 85
[
]x + y $ 5
] x # 3y
\
F (x, y) = 500x + 400y
Ha de fabricar mensualment 5 peces del tipus A i 7 del B.
06
MATEMÀTIQUES APLICADES A LES CIÈNCIES SOCIALS 2
14. Considerem el conjunt de punts que satisfan les condicions:
Z x $ 0, y $ 0
]]
[ x + 2y $ 7
] 4x + 3y $ 18
\
Té mínim la funció z = 3x + y en aquest conjunt? I màxim?
Per què?
La regió S solució és oberta amb vèrtexs: (7, 0), (0, 6) i (3, 2).
La funció z = 3x + y té mínim en el punt (0, 6), però no té màxim ja que és oberta.
15. En una urbanització hi ha 32 000 m2 sense edificar. Una
empresa immobiliària vol construir xalets amb piscina en
parcel·les de 600 m2 i xalets sense piscina en parcel·les de
400 m2. El nombre de xalets sense piscina ha de ser més
gran que el de xalets que en tenen, però el nombre d’aquests
no pot ser més gran que el doble dels altres. A més, l’empresa vol construir almenys cinc xalets sense piscina.
Si els beneficis obtinguts per un xalet del primer tipus són
el doble que els obtinguts per un xalet del segon tipus,
quants xalets de cada mena s’han de construir per obtenir
uns guanys màxims?
x: xalets amb piscina; y: xalets sense piscina.
Z
] 600x + 400y # 32000
]
x<y
[
y # 2x
]
]
y $ 5
\
65
17. Una empresa que es dedica a la venda de material informàtic disposa de 200 ordinadors de la marca A i 150 de la
marca B, 150 impressores de la marca A i 150 de la marca B, i 250 equips multimèdia. A l’hora de posar aquest
material a la venda, ofereix als clients dues possibilitats
de compra:
– Equip multimèdia amb ordinador i impressora de la
marca A.
– Equip multimèdia amb ordinador i impressora de la
marca B.
Amb la venda del primer lot obtindria uns guanys de 200 €,
mentre que amb una unitat del segon lot, els guanys serien
de 150 €. Quants lots de cada tipus convindria preparar per
obtenir uns guanys màxims?
Les restriccions es redueixen a:
Z
]] x # 150
[ y # 150
] x + y # 250
\
amb x, y el nombre de cada un dels lots. La funció a maximitzar és: F(x, y) = 200x + 150y i assolirà el valor màxim per
x = 150 i y = 100.
Avaluació
1. (Curs 2003−2004) Sigui S la regió del pla de coordenades
més grans o iguals a zero i tal que els seus punts compleixen:
El vèrtex de la regió solució que verifica totes les condicions
i maximitza el guany és el (22, 44), prenent valors enters, i
s’obtè en resoldre el sistema format per les equacions corresponents a la primera i tercera condició.
a) La mitjana aritmètica de les coordenades és menor o
igual que 5.
16. Maximitza i minimitza la funció ƒ(x, y) = x − 2y sotmesa a
les restriccions següents:
Representa gràficament el conjunt S i determina en quins
punts de S la funció F(x, y) = 2x + y pren el valor màxim.
Zx + y # 3
]]
[x $ 0
]y # - 1
\
b) El doble de l’abscissa més l’ordenada és més gran o
igual que 5.
El sistema d’inequacions que representen les restriccions és:
F(0, −1) = 2; F(4, −1) = 6
⎧x ≥ 0
⎪y ≥ 0
⎪
⎨
⎪ x + y ≤ 10
⎪⎩2 x + y ≥ 5
Mínim: no en té. Màxim: (4, −1)
El gràfic de la regió factible és:
Vèrtexs de la regió: (0, −1) i (4, −1)
y
10
y = –x + 10
y = –2x + 5
10
x
06
66
SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE
Els vèrtex de la regió factible són A(0, 10), B(10, 0), C
1 52 , 02,
D(0, 5). Busquem el valor de la funció per a cada vèrtex:
5
, 0 = 5; f(0, 5) = 5; per tant,
f(0, 10) = 10; f(10, 0) = 20; f
2
f (x, y) pren el valor màxim en B(10, 0) i és 20.
1 2
2. Representa gràficament la regió factible determinada per
les desigualtats següents:
⎧x ≥ 0
⎪y ≥ 0
⎪
⎨
⎪x + y ≥ 5
⎪⎩4 x + 3 y ≤ 30
Busquem el valor de la funció per a cada vèrtex: f(0, 1) = 9;
f(3, 2) = 19; f(5, 1) = 19; f(4, 0) = 13; f(0, 0) = 5; per tant,
f (x, y) pren el valor màxim en tots els punts del segment BC i
el seu valor és 19.
4. (Curs 2003−2004) Un taller de confecció fabrica dos models de vestits. Per fer el model A es necessiten 2 m de
teixit de color, 1 m de teixit blanc i 4 hores de feina. Per
fer el model B es necessiten 2,5 m de teixit de color,
0,5 m de teixit blanc i 3 hores de feina. El taller disposa,
cada dia, d’un màxim de 250 m de teixit de color, 100 m de
teixit blanc i 380 hores de feina.
a) Anomena x i y el nombre de vestits dels models A i B
respectivament fets cada dia. Expressa mitjançant un
sistema d’inequacions les restriccions de la producció.
Calcula la solució que fa mínima la funció objectiu z = x + 2y
sotmesa a les restriccions anteriors.
b) Representa gràficament la regió del pla que satisfà les
inequacions.
c) La venda d’un vestit del model A porta al taller un benefici de 5 € i la d’un vestit del model B de 4 €. Suposant que la producció diària es ven íntegrament, quants
vestits de cada tipus cal fer per tal d’obtenir el màxim
benefici? Quant val el benefici màxim?
El gràfic de la regió factible és:
y
10
d) En aquest últim cas, quin tipus de teixit sobrarà i en
quina quantitat?
x+y=5
4x + 3y = 30
a)
Nombre
Roba de
de vestits color
x
15
Els vèrtex de la regió factible són A(0, 5), B
, 0 , C(0, 10),
2
D(5, 0).
1
2
Busquem el valor de la funció per a cada vèrtex: f(0, 5) = 10;
15
15
,0 =
; f(0, 10) = 20; f(5, 0) = 5; per tant, el valor
f
2
2
mínim de f (x, y) s’obté en D(0, 5) i és 5.
1
2
3. (Curs 2003−2004) Troba els punts de la regió del dibuix on
la funció f(x, y) = 2x + 4y + 5 pren el valor màxim i quin és
aquest valor.
Roba
blanca
Model A
x
2x
1x
4x
Model B
y
2,5y
0,5y
3y
250
100
380
Màxim
El sistema d’inequacions que descriu les restriccions és:
⎧x ≥ 0
⎪y ≥ 0
⎪⎪
⎨2 x + 2, 5 y ≤ 250
⎪ x + 0, 5 y ≤ 100
⎪
⎪⎩4 x + 3 y ≤ 380
b) El gràfic de la regió solució és:
y
2
y
1
100
1
2
3
4
x
100
El màxim s’obté en algun vèrtex del polígon.
Els vèrtex de la regió factible són: A(0, 1), B(3, 2), C(5, 1),
D(4, 0), O(0, 0).
Hores de
treball
c) La funció objectiu serà: F(x, y) = 5x + 4y
MATEMÀTIQUES APLICADES A LES CIÈNCIES SOCIALS 2
El benefici màxim s’assolirà en algun vèrtex de la regió
solució: (0, 0), (95, 0), (50, 60), (0, 100).
El valor de la funció en cada un d’ells serà: F(0, 0) = 0;
F(95, 0) = 475; F(50, 60) = 490; F(0, 100) = 400.
El benefici màxim s’obtindrà fabricant 50 vestits tipus A i
60 tipus B amb un benefici total de 490 €.
06
67
d) En aquest cas haurà gastat:
2 · 50 + 2,5 · 60 = 250 m de teixit de color i, per tant, no
en sobra gens.
1 · 50 + 0,5 · 60 = 80 de teixit blanc i per tant sobren 20 m
de roba blanca.
68
07
SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE
Bloc 3. Funcions
g) xlim
" -3
2x2 - 3x + 1
3x + 7
1 - 2x
h) lim
x " 3 x2 + 4
6x 4 - 5x 3 + 2x 2 - 3
i) lim
x " 3 2x 3 - x2 + 2x + 7
Unitat 7. Límits i continuïtat
de funcions
Activitats
1. Estudia la tendència de la mateixa funció f (x) = x2 - 4 en
x = −2 i en x = 0. Indica si la funció és creixent o decreixent
en cada cas i comprova la teva resposta a partir de la representació gràfica de la funció.
x " - 2 i x 1 - 2 , f (x) " 0 i f (x) 2 0
a) xlim
"3
- 5x2
-5
2 - x - 5x2
= lim
= 3
2
x
"
3
3x + 1
3x2
b) lim 7x2 - 3 = lim 7x2 = lim 47x = 0
x " 3 4x + 2
x " 3 4x
x"3
c)
x " - 2 i x 2 - 2 , f (x) " 0 i f (x) 1 0
lim (-3x5 + 3x3 - x + 1) = x lim
(-3x5) = -3
" +3
x " +3
=
d) xlim
" 13
en x = - 2, f (x) és decreixent.
y
=
2
1
4x2
9x2
lim
x " +3
=
lim
x "+ 3
- 4x2
=
- 9x2
2
1
-4
-9 =
4x2
9x2
=
4
2
9 =3
2
2
e) lim 1 - 3x = lim -53xx = lim -53x = -3
+
5
x
2
x " +3
x"3
x"3
f)
x
O
–2
lim (5 - 3x + 2x2 - x 4) = x "
lim
(- x 4) = -3
-3
x " -3
2
2
g) lim 2x - 3x + 1 = lim 2x = lim 2x = -3
x " -3
x " -3 3x
x " -3 3
3x + 7
h) lim 1 2- 2x = lim - 22 x = lim -x2 = 0
x"3 x + 4
x"3
x"3
x
x " 0 i x 1 0 , f (x) " - 4 i f (x) 2 - 4
4
3
2
4
i) lim 6x 3- 5x2 + 2x - 3 = lim 6x 3 =
x " 3 2x - x + 2x + 7
x " 3 2x
= xlim
(3x) = 3
"3
x " 0 i x 2 0 , f (x) " - 4 i f (x) 2 - 4
en x = 0, f (x) no és creixent ni decreixent.
y
3. Donada la funció f (x) =
x2 - 1
x 3 + x2
a) Troba’n el límit en x = −1, x = 0, x = 1, x = 2 i x = 3.
b) Indica’n el creixement o el decreixement en x = 1 i
x = 3.
x
O
–4
c) Com és la funció en x = 2, creixent o decreixent? Justifica la teva resposta.
x2 - 1
= -2
x 3 + x2
x2 - 1
lim
3
2 = -3
x"0 x + x
a) xlim
" -1
2. Calcula els límits següents:
a) lim 2 - x2 - 5x
x"3
3x + 1
7x - 3
b) lim
x " 3 4x2 + 2
2
c) lim ( 3x5 + 3x3
x " +3
d) xlim
" -3
x + 1)
2 - 4x2
1 - 9x2
e) lim 1 - 3x
x " + 3 5x + 2
lim
x"1
x2 - 1
=0
x 3 + x2
lim
x"2
x2 - 1
1
=4
x 3 + x2
lim
x2 - 1
2
=9
x 3 + x2
x"3
b) En x = 1 , f(x) és creixent; en x = 3, f(x) és decreixent.
2
f) xlim
(5 - 3x + 2x2 - x4)
" -3
c) En x = 2 , f(x) no és creixent ni decreixent, ja que per a
valors més petits de 2, f(x) creix, mentre que per a valors
més grans, f(x) decreix.
MATEMÀTIQUES APLICADES A LES CIÈNCIES SOCIALS 2
4. Calcula el límit de f (x) =
x 2 + 2x
en x = 0.
3x
a) lim
x " -2
Què pots dir del creixement o del decreixement de la funció
en x = 0?
x2 + 2x
2
=3
3x
lim
x"0
x+3
quan x " - 3
(x - 1) 2
i quan x " 1. Indica’n el creixement o el decreixement en
x = −3.
5. Determina el límit de la funció f(x) =
lim
(x + 2)( 3x - 15)
3x2 - 9x - 30
= lim2
=
2
x " - (x + 2)( 2x - 4x + 8)
16 + 2x3
= xlim
" -2
= lim
x"3
3x - 15
- 21
7
= 24 = - 8
2x2 - 4x + 8
12
4
x2 + x
= - 27 = - 9
- x2 - 3x - 9
c) lim c x +2 1 - 2x +3 3 m =
x"0
6x
3x
= lim
x (x + 1) - 2 (2x + 3)
=
6x3
= lim
x2 + x - 4x - 6
=
6x3
= lim
x2 - 3x - 6
-6
= 0 =3
6x3
x"0
x+3
=0
(x - 1) 2
x"0
lim
x"1
69
b)
No podem parlar de creixement o decreixement en x = 0 ja que
aquest valor no és del domini de f(x).
x " -3
07
x+3
= +3
(x - 1) 2
x"0
En x = - 3 , f(x) és creixent.
x - 5 x + 6x
per a x = 0,
6. Troba el límit de la funció f(x) = 3
x - 3 x 2 + 2x
x = 1, x = 2 i x = 3.
3
lim
x"0
2
x (x2 - 5x + 6)
x3 - 5x2 + 6x
= lim
=
3
2
2
x " 0 x (x - 3x + 2)
x - 3x + 2x
= lim
x"0
x2 - 5x + 6
6
=2=3
x2 - 3x + 2
lim
x"1
x3 - 5x2 + 6x
2
=0=3
x3 - 3x2 + 2x
lim
x"2
(x - 2)( x2 - 3x)
x3 - 5x2 + 6x
= lim
=
3
2
2
x " 2 (x - 2)( x - x)
x - 3x + 2x
= lim
x"2
lim
x"3
x2 - 3x
-2
= 2 = -1
x2 - x
x3 - 5x2 + 6x
0
=6=0
x3 - 3x2 + 2x
d) lim
x " -1
1
1
= lim x + 1 = 0 = 3
x " -1
(2x + 3)( x - 1)
+ 2m
e) lim c 2x2 + 3 : 3xx=
2
1 = lim
x"1
x " 1 (x - 1)( 3x + 2)
x -1
= lim
x"1
Calcula els límits següents:
(2x + 3)( x - 1)
2x + 3
= lim
=
x " 1 (x + 1)( 3x + 2)
(x + 1)( x - 1)( 3x + 2)
5
1
= 2$ 5 = 2
2
(x - 2)( 3x + 6)
f) lim 3x2 - 12 = lim
=
x " 2 x - 2x
x"2
x (x - 2)
3x + 6
12
= lim
= 2 =6
x
x"2
8. Considera la funció:
f (x) =
7.
(x + 1) 2
x2 + 2x + 1
= lim
2
3 =
x " - 1 (x + 1)
x + 3x + 3x + 1
3
x2 + x - 2
x2 + 5x + 6
Calcula’n el límit quan x tendeix a:
2
a) lim 3x - 9x -330
x " -2
16 + 2x
−3−, −3+, −3, −2−, −2+, −2, 1−, 1+, 1.
3
2
b) lim x - 2x -3 3x
x"3
27 - x
lim
x " -3
4
x2 + x - 2
= + = +3
x2 + 5x + 6
0
lim
x2 + x - 2
4
= 0- = -3
x2 + 5x + 6
c) lim b x +21 - 2x +3 3 l
x"0
6x
3x
2
d) lim 3 x +22x + 1
x " - 1 x + 3 x + 3x + 1
e) lim b 2x2 + 3 : 3x + 2 l
x"1
x -1 x-1
2
f) lim 3x2 - 12
x " 2 x - 2x
+
x " -3
lim
x " -3
lim
x " -2
x2 + x - 2 = 3
x2 + 5x + 6
(x + 2)( x - 1)
x2 + x - 2
= x "lim
=
- 2 (x + 2)( x + 3)
x2 + 5x + 6
x-1
= x "lim
= -3
-2 x + 3
07
70
lim
x " - 2+
SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE
_
lim f (x) = 2b
b
lim f (x) = 4` discontinuïtat de salt en x = - 2 .
x " -2
f (- 2) = 4 b
a
_
lim f (x) = + 3b
x"2
b
lim f (x) = - 3` discontinuïtat asimptòtica en x = 2 .
x"2
b
bf (2)
a
(x + 2)( x - 1)
x2 + x - 2
= lim
=
x 2 + 5x + 6
x " - 2 (x + 2)( x + 3)
x-1
= lim x + 3 = -3
x " -2
x " -2
+
+
+
x2 + x - 2
= -3
x 2 + 5x + 6
lim
x " -2
+
2
x +x-2
0
= 12 = 0
x 2 + 5x + 6
lim
x"1
lim f (x) = lim f (x) = 1 discontinuïtat evitable
x"5
4
en x = 5 .
f (5) = - 2
+
x"5
x2 + x - 2
0
= 12 = 0
lim 2
x " 1 x + 5x + 6
+
lim
x"1
x2 + x - 2
=0
x2 + 5x + 6
s’evita definint una nova funció g (x) = )
11. Dibuixa la gràfica de la funció f (x) = 3 x2 a partir d’una
taula de valors i estudia’n la continuïtat en x = 0.
9. En la funció:
f ( x)
Z x2 x
]] 2x2 + 2x si x G 1
[ 2
]] x 1
si x 2 1
2x 2
\
3
lim
x"0
x2 = lim
3
x " 0+
x2 = 0
f (0) = 0
lim f (x) = x "lim
-2
x2 - x
6
3
=4=2
2x2 + 2x
lim f (x) = lim
x2 - x
6
3
=4=2
2x2 + 2x
+
x " -2
+
x " -2
12. La funció f (x) =
2
lim f (x) = xlim
"1
x -x
0
=4=0
2x2 + 2x
+
= lim
x " 1+
x-1
, és contínua en x = 1? I en x = −1?
x2 - 1
Df = {x 苸 ⺢ | x2 − 1 ≠ 0} = ⺢ − {−1, 1}
(x - 1)( x + 1)
x2 - 1
lim f (x) = lim 2x - 2 = lim
=
2 (x - 1)
x"1
x"1
x"1
+
x
O
3
lim f (x) = 2
x " -2
x"1
4 és contínua en x = 0
y
Determina-hi el límit quan x tendeix a −2−, −2+, −2, 1−,
1+, 1.
x " -2
f (x) x ! 5
1
x=5
f(x) no és contínua ni en x = 1 , ni en x = - 1 .
+
x+1
2 =1
b lim
f (x)
x"1
10. Classifica les discontinuïtats de la funció representada
gràficament en la figura.
y
2
2
–2
+
+
+
és discontínua evitable en x = 1 .
4
–2
13. Classifica les dicontinuïtats de la funció de l’activitat anterior.
_
x-1
x-1
1
1
lim 2
= lim
= lim x + 1 = 2 b
x"1 x - 1
x " 1 (x + 1)( x - 1)
x"1
b
x-1
x-1
1
1 `
lim 2
= lim
= lim x + 1 = 2 b
x"1 x - 1
x " 1 (x + 1)( x - 1)
x"1
b
bf (1)
a
5
x
Z
]] x2 - 1 x ! 1
s’evita definit una nova funció g (x) = [1x - 1
]] 2
x=1
\
_
-2
x-1
= + = -3 b
lim 2
x " -1 x - 1
0
b és discontínua asimptòtica
x-1
-2
= 0- = +3 ` en x = -1 .
lim 2
x " -1 x - 1
b
b
bf (-1 )
a
+
07
MATEMÀTIQUES APLICADES A LES CIÈNCIES SOCIALS 2
14. Donada la funció:
f ( x)
lim f (x) = + 3
f (x) = +3
lim f (x) = + 34 lim
x"0
x"0
Z 5x
]] x + 1
[
2
]] x
x
1
\
si x < 0
x " 0+
lim f (x) = 0
f (x) = 0
lim f (x) = 0 4 lim
x"1
si x ≥ 0
x"1
Estudia’n analíticament la continuïtat en x = −1, x = 0 i
x = 1.
- 5x
5
= 0lim f (x) = x "lim
-1 x + 1
- 5x
5
lim f (x) = lim x + 1 = +
x " -1
x " -1
0
x " -1
+
+
bf (-1 )
_
= -3b
b és discontínua
= + 3` asimptòtica
b en x = - 1 .
b
a
_
- 5x
lim f (x) = xlim
= 0b
x"0
"0 x + 1
b
x2
lim f (x) = lim x - 1 = 0` és contínua en x = 0.
x"0
x"0
b
b
f (0) = 0
a
+
71
x " 1+
lim f (x) = - 1
f (x)
lim f (x) = 1 4 blim
x"2
x"2
x " 2+
b) f (-4 ) = 2, f (-1 ) = 2 , f (1) = 0 , f (2) = -1
c) En x = −4, la funció presenta una discontinuïtat de salt.
En x = −1, la funció presenta una discontinuïtat evitable.
S’evita definint una nova funció:
+
_
x2
1
lim
f
(
x
)
=
lim
=
- = -3b
0
x"1
x"1 x - 1
b és discontínua
x2
1
lim f (x) = lim x - 1 = + = +3` asimptòtica
x"1
x"1
b en x = 1.
0
b
bf (1)
a
+
g (x) = )
f (x) x ! - 1
1
x = -1
En x = 0 la funció presenta una discontinuïtat asimptòtica.
En x = 2 la funció presenta una altra discontinuïtat de salt.
+
En x = 1 la funció és contínua.
16. Dibuixa una gràfica d’una funció que verifiqui:
15. A partir de la gràfica de la figura:
lim f (x) = + 3 , xlim
f (x) = 2
" +3
x " -3
y
I que presenti les discontinuïtats següents:
a) De salt en x = −3.
b) Asimptòtica en x = 1.
2
1
–4
–1
c) Evitable en x = 4.
o
1
2
x
Resposta oberta, per exemple:
–1
a) Troba el límit de la funció quan x tendeix a:
−3, +3, −4−, −4+, −4, −1−, −1+, −1, 0−, 0+, 0, 1−, 1+, 1,
2−, 2+, 2
2
b) Determina els valors de f(−4), f(−1), f(1) i f(2).
c) Indica i classifica les discontinuïtats de la funció.
f (x) = 0
a) x lim
" -3
–3
O
1
4
lim f (x) = +3
x " +3
lim f (x) = 2
f (x)
lim f (x) = - 14 b xlim
" -4
Activitats finals
x " -4
x " - 4+
lim f (x) = 1
lim f (x) = 1
lim f (x) = 14 x " -1
x " -1
x " - 1+
1. Calcula els límits a l’infinit de les funcions polinòmiques:
a) p (x) = 4x4 + x3 - 12x2 + x - 3
b) q (x) = - 2x3 - 6x2 + 8
07
72
SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE
p (x) = x lim
(4x 4 + x3 - 12x2 + x - 3) =
a) x lim
" -3
" -3
= x lim
(4x 4) = +3
" -3
lim p (x) = x lim
(4x 4 + x3 - 12x2 + x - 3) =
" +3
x " +3
= x lim
(4x 4) = +3
" +3
lim p (x) = +3
x"3
3
4x2 + 3x calcula el límit de:
3. Donada la funció f (x) = x 2
x +x-2
a) f(x) quan x " 2 i x " 1.
1
b) c m (x) per a x " 0 , x " 1 i x " 3.
f
3
- 30
4x2 + 3x
a) lim x = + = -3
x " -2
x2 + x - 2
0
x3 - 4x2 + 3x
- 30
lim
= 0- = +3
x2 + x - 2
x " -2
3
2
x - 4x + 3x
lim 2
=3
x " -2
x +x-2
(x - 1)( x2 - 3x)
x3 - 4x2 + 3x
= lim
=
lim
2
x"1
x " 1 (x - 1)( x + 2)
x +x-2
+
3
2
q (x) = x lim
(-2x - 6x + 8) =
b) x lim
" -3
" -3
= lim (-2x3) = +3
x " -3
lim q (x) = x lim
(-2x3 - 6x2 + 8) =
" +3
x " +3
x 2 - 3x
2
= lim
x + 2 =- 3
x"1
3
= x lim
(-2x ) = -3
" +3
lim q (x) = 3
x2 + x - 2
-2
= 0- = +3
x 3 - 4 x 2 + 3x
-2
x2 + x - 2
= + = -3
lim 3
2
x " 0 x - 4x + 3x
0
x2 + x - 2
=3
lim
3
2
x " 0 x - 4x + 3x
x2 + x - 2
3
=- 2
lim 3
2
x " 1 x - 4x + 3x
10
x2 + x - 2
lim
= 0 =3
3
2
x " 3 x - 4x + 3x
b) lim
x"3
x"0
2. Troba el límit per a x " - 3 , x " + 3 i x " 3 de les funcions:
a) f (x) = 7x2- 3
2x - 1
2
b) g (x) = 12x2 + 2x - 5
6x - 3x + 1
2
c) h (x) = x - 2
x+3
+
4. Calcula els límits següents:
d) r (x) = 1 - x
3x + 2
3
b) lim
(x - 1) 3
3x2 - 6x + 3
c) lim 5x - 15
2
x"3 9 - x
d) lim
2x + 2
x 2 + 2x + 1
x " -2
a) lim 7x2 - 3 = lim 7x2 = lim 27x
x " - 3 2x - 1
x " - 3 2x
x " -3
7x - 3
7x
7
lim
= x lim
2
2 = lim
x " + 3 2x - 1
x " + 3 2x
" + 3 2x
7x - 3
=0
lim 2
x " 3 2x - 1
2
x 2 + 2x
x2 - 4
a) lim
2
b) lim 12x2 + 2x - 5 = lim 12x2
x " - 3 6x - 3x + 1
x " - 3 6x
12x2 + 2x - 5
12x2
= lim
lim
2
2
x " + 3 6x - 3x + 1
x " + 3 6x
2
12x + 2x - 5
lim
=2
2
x " 3 6x - 3x + 1
_
= 0b
b
`
b
= 0b
a
_
= 2b
b
`
b
= 2b
a
_
x2 - 2
x2
b
=
=
=
3
lim
lim
x
c) x lim
x
b
+
x
3
" -3
x " -3
x " -3
`
2
2
x -2
x
b
=
=
=
+
3
lim
lim
lim
x
b
x " +3 x + 3
x " +3 x
x " +3
a
a) xlim
" -2
1 - x3
lim 3x + 2 = -3
x"3
x " -1
x (x + 2)
x2 + 2x
= xlim
=
" - 2 (x - 2)( x + 2)
x2 - 4
-2
1
x
= xlim
= -4 = 2
" -2 x - 2
b) lim
x"1
(x - 1) 3
(x - 1) 3
x-1
= lim1
2 = lim
3 =0
x " 3 (x - 1)
x"1
3x - 6x + 3
2
5 (x - 3)
c) lim 5x - 15
=
2 = lim
x"3 9 - x
x " 3 (3 - x)( 3 + x)
-5
5
= lim
=- 6
x"3 3 + x
d) lim
x " -1
x2 - 2
lim
=3
x"3 x + 3
3
_
- x2
x3
d) lim 1 - x = lim = x lim
b
3 = - 3b
x " - 3 3x + 2
x " - 3 3x
" -3
`
2
3
3
-x
-x
1-x
b
b
=
=
=
3
lim
lim
lim
3
x " + 3 3x + 2
x " + 3 3x
x " +3
a
x"1
2 (x + 1)
2x + 2
= xlim
2 =
" - 1 (x + 1)
x2 + 2x + 1
2
2
= xlim
=0=3
" -1 x + 1
5. Explica per què no existeix el límit de la funció f (x) =
quan x " 0 .
_
x+ x
= 0b
lim
b
x
x"0
` Per tant b lim f (x).
x+ x
x"0
= 2b
lim
x
x"0
a
+
x+ x
x
07
MATEMÀTIQUES APLICADES A LES CIÈNCIES SOCIALS 2
6. Calcula el límit de la funció:
Z
] 1
si x 1 0
]x+1
] 3x - 9
si 0 G x G 3
f (x) = [ 2
] x -9
] 3x
] x + 3 si x H 3
\
quan x tendeix a −3, +3, 3, −1−, −1+, −1, 0−, 0+, 0, 3−, 3+, 3.
_
1
b
lim
f
(
x
)
=
lim
=
0
b
x " -3
x " -3 x + 1
` b lim f (x)
x" 3
3x
b
lim f (x) = lim x + 3 = 3b
x " +3
x " +3
a
_
1
1
lim
f
(
x
)
=
lim
=
- = - 3b
b
0
x " -1
x " -1 x + 1
f (x) = 3
` xlim
" -1
1
1
b
lim f (x) = lim x + 1 = + = + 3b
x " -1
x " -1
0
a
_
1
lim f (x) = xlim
=1b
b
x"0
"0 x + 1
f (x) = 1
` lim
x"0
3x - 9
lim f (x) = lim 2
= 1b
b
x -9
x"0
x"0
a
_
3 (x - 3)
3x - 9
lim f (x) = lim 2
= lim
=b
x"3
x"3
x " 3 (x + 3)( x - 3)
x -9
b
b
3
3
1
`"
= lim x + 3 = 6 = 2
x"3
b
b
3x
9
3
b
lim f (x) = lim x + 3 = 6 = 2
x"3
x"3
a
+
+
+
+
+
+
y
O
x
g(x)
b lim h (x) perque} Dh = [0, +3) _
x"0
b
b h(x) no és contínua
lim h (x) = lim x = 0
`
x"0
x"0
b en x = 0.
b
h (0) = 0
a
+
O
lim f (x) = xlim
x = 0_
"0
b
b
lim f (x) = lim x = 0` f(x) és contínua en x = 0.
x"0
x"0
b
b
f (0) = 0
a
x"0
+
+
y
blim
f (x)
x"3
1
7. Són contínues les funcions f (x) = x , g (x) = x i
h (x) = x en x = 0? Justifica la resposta de manera analítica i gràfica.
+
y
73
x
h(x)
8. La funció:
1
si x G 0
f (x) = )
x + 2 si x 2 0
és contínua en x = 0? Justifica la resposta gràficament.
lim f (x) = 1 _
b
b
lim
f
(
x
)
2
=
`
x"0
b
b
f (0) = 1
a
x"0
+
y
O
f(x)
x
_
1
1
lim g (x) = lim x = 0- = - 3b
x"0
x"0
b
b g(x) és discontínua
1
1
lim g (x) = lim x = + = + 3` asimptòtica
x"0
x"0
0
b en x = 0.
b
b
}
bg (0) perque x = 0 z Dg
a
+
O
+
En x = 0, f(x) és discontínua de salt.
f(x)
x
07
74
SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE
9. Classifica les discontinuïtats de cada funció en el punt indicat.
a) f (x) =
1
x - 3 en x = 3
si x 1 1
x
b) g (x)
x + 2 si x H 1
2
en x = - 1
1
1
= 0f (x) = xlim
a) xlim
"3
"3 x - 3
1
1
lim f (x) = lim x - 3 = +
x"3
0
x " 3+
+
bf (x) perque} x = 3 z D f .
+
+
g(x) és
discontínua
de salt en
x = -1.
2x2 - 8
en x = 0 i x = 2
x 2 - 2x
_
-8
2x2 - 8
=
lim
2
+ = - 3b
x " 0 x - 2x
0
b
b
2
` en x = 0 , f(x) és
-8
2x - 8
= 0- = + 3b discontínua asimptòtica.
lim 2
x " 0 x - 2x
b
b
bf (0) perque} x = 0 z D f a
+
_
(x - 2)( 2x + 4)
2x2 - 8
2x + 4
8
b
= lim
lim
=
=
=
4
2
x
2
x"
x"2
x"2
x (x - 2)
x - 2x
b
b
2
`
(
)(
)
x
x
+
2
2
4
2x - 8
2x + 4
8
lim 2
= lim
= lim
= 2 = 4b
x
x (x - 2)
x " 2 x - 2x
x"2
x"2
b
b
bf (2) perque} x = 2 z D f .
a
lim2
+
x
en x = 1 , f(x) presenta una discontinuïtat evitable; s’evita definint una nova funció: g (x) = 2x - 4 .
10. Estudia la continuïtat de la funció:
+
1
_
= - 3b
b f(x) és
b
discontínua
= + 3` asimptòtica
b
b
b en x = 3 .
a
_
b) lim g (x) = lim x = - 1
x " -1
x " -1
b
b
b
2
lim g (x) = lim (x + 2) = 3`
x " -1
x " -1
b
b
g (-1 ) = 3
a
f (x) =
y
3
+
12. Estudia la continuïtat en x = 1 i x = 3 de la funció:
Z 3x 2 si x G 1
]
] 2x2
si 1 1 x G 3
f (x ) [ x + 1
] x 3
] 2
si x 2 3
\ x 3x
_
lim f (x) = lim (3x - 2) = 1b
x"1
x"1
2
b en x = 1 , f(x)
2x
lim f (x) = lim x + 1 = 1 `
x"1
x"1
b és contínua.
b
f (x) = 1
a
+
+
_
2x 2
18
9
b
lim f (x) = lim x + 1 = 4 = 2
x"3
x"3
b
x-3
x-3
1
1b
lim f (x) = lim 2
= lim x = 3 `
= lim
x"3
x " 3 x - 3x
x " 3 x (x - 3)
x"3
b
9
b
f (3) = 2
b
a
+
+
+
+
discontínua de salt en x = 3.
13. El novembre de 1999, l’import en euros del franqueig d’una
carta nacional en funció del seu pes era:
Fins a 20 g
0,21 €
en x = 2 , f(x) presenta una discontinuïtat evitable, s’evita definint una nova funció:
Més de 20 g fins a 50 g
0,32 €
Més de 50 g fins a 100 g
0,45 €
2x 2 - 8
2
g (x) = x - 2x
4
Més de 100 g fins a 200 g
0,75 €
Més de 200 gfins a 350 g
1,35 €
Més de 350 g fins a 1 kg
1,95 €
Més d’1 kg fins a 2 kg
3,01 €
x!2
x=2
11. A partir de la gràfica de la funció:
f ( x)
2x
3
4 si x ! 1
si x
1
determina el tipus de discontinuïtat que presenta en
x = 1.
a) Representa per x la variable pes i per f(x) la variable
preu i escriu l’expressió algèbrica de la funció.
b) Indica’n el domini.
c) Realitza’n la representació gràfica.
d) Estudia’n les discontinuïtats.
07
MATEMÀTIQUES APLICADES A LES CIÈNCIES SOCIALS 2
a)
Z
]0,21 si 0 1 x G 20
]0,32 si 20 1 x G 50
]0,45 si 50 1 x G 100
]
f (x) = [0,75 si 100 1 x G 200
]1,35 si 200 1 x G 350
]
]1,95 si 350 1 x G 1 000
]3,01 si 1 000 1 x G 2 000
\
on x són grams i f(x), euros.
20 (x - 1)
+ 40 per a x H 0 expressa la
4 + (x - 1) 2
població d’un país en milions d’habitants, on x és el temps
en anys. Calcula la població actual i el límit de f(x) quan x
tendeix a infinit.
16. La funció f (x) =
x: anys que passen des de l'actualitat.
f (0) =
b) D f = (0, 2 000]
20 (- 1)
- 20
+ 40 = 5 + 40 =
4 + (-1 ) 2
= - 4 + 40 = 36 milions d’habitants
€
c)
75
lim e
x " +3
20 (x - 1)
+ 40 o = 40 milions d’habitants
4 + (x - 1) 2
17. El preu per unitat d’un article expressat en euros per quilogram és:
1,95
1,35
0,6
f (x) = 0,6 + 1 + x
0,75
0,45
0,32
0,21
20 50
100
200
300
350
400 g
d) f(x) és discontínua de salt en x = 20 , x = 50 , x = 100 ,
x = 200 , x = 350 i x = 1 000.
on x representa el nombre total de quilograms venuts. Indica el domini de la funció i determina entre quins preus
es ven la unitat d’aquest article en funció dels quilograms
venuts.
D f = R+
0,6
f (0) = 0,6 + 1 = 0,6 + 0,6 = 0,12 €
0,6
lim c 0,6 + 1 + x m = 0,6 €
14. Troba el valor de k perquè la funció
x " +3
x+k
si x G 0
f (x) = ) 2
2x - kx + 6 si x 2 0
Es ven entre 0,6 i 0,12 €
sigui contínua en x = 0.
_
lim f (x) = lim (x + k) = k
b
x"0
x"0
b
lim f (x) = lim (2x2 - kx + 6) = 6` si és contínua en
x"0
x"0
b x = 0 " k = 6.
b
f (0) = k
a
+
+
18. a) A partir de la gràfica de la funció de la figura, determina’n
els límits a l’infinit i indica’n les discontinuïtats i classifica-les.
y
15. Dibuixa una gràfica d’una funció tal que:
a) D f = R - {0}
f (x)
b) lim
x"3
0
2
c) Presenti una discontinuïtat evitable en x = −1.
d) Presenti una discontinuïtat de salt en x = 2.
–1 o
2
x
Resposta oberta, per exemple:
y
b) Per a quins valors de x dels intervals [−4, 1) i [−1, 2] és
contínua aquesta funció?
–1
2
x
a) lim f (x) = 0
x " -3
f (x)
lim f (x) = 2 4 bxlim
"3
x " +3
En x = - 1 , f(x) és discontínua de salt.
En x = 2 , f(x) és discontínua asimptòtica.
07
76
SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE
b) És contínua en tots els punts de l’interval [−4, 1), excepte
en x = -1. En l’interval [−1, 2] és contínua en tots els
punts, excepte en x = -1 i en x = 2 .
Avaluació
1. Calcula els límits següents:
3x 3 − 4
2
x → − ∞ x − 16
x2 − 9
lim 2
x → 3 x − 3x
2x 3 − 1
x2 − 5
−
lim
x→ +∞
x
x2
2 x 2 + 7x 5x3x− 1
lim
x → +∞
2 − x2
3 x 3 − 4 −∞
= −∞
=
lim 2
x → − ∞ x − 16
+∞
lim
19. De la funció que té per gràfica:
y
1
1
3
o
–1
–1
2
1
1
3 4
x
2
2
x2 − 9 3
= =∞
2
x →3 x − 3 x
0
lim
El límit per l’esquerra és −∞ i el límit per la dreta és +∞.
a) Indica’n el domini i les imatges de −1, 3 i 4.
b) Determina’n el límit quan x tendeix a −3, +3, 3, −1−,
−1+, −1, 1−, 1+, 1, 3−, 3+, 3, 4−, 4+, 4.
c) Descriu-ne i classifica’n les dicontinuïtats.
a) D f = R - {1} ; f (-1 ) = 2, f (3) = - 1 , f (4) = 3
b) lim f (x) = 1
x " -3
f (x) = 1
lim f (x) = 14 xlim
"3
x " +3
lim f (x) = 2
f (x) = 2
lim f (x) = 2 4 xlim
" -1
x " -1
x " - 1+
lim f (x) = - 3
f (x) = 3
lim f (x) = + 34 lim
x"1
x"1
x " 1+
lim f (x) = - 1
f (x)
lim f (x) = 1 4 blim
x"3
x"3
x " 3+
lim f (x) = 2
f (x) = 2
lim f (x) = 2 4 lim
x"4
⎛ 2x 2 + 7x ⎞
lim ⎜
x → +∞ ⎝ 2 + x 2 ⎟
⎠
5 x −1
3x
5
= 23 = 3 25
2. Estudia la continuïtat de la funció següent en x = −1 i en
x = 2.
⎧5 x + 2 si x ≤ −1
⎪
⎪
si − 1 < x ≤ 2
f ( x ) = ⎨4
⎪ 2
si x > 2
⎪⎩ x
En x = −1 la imatge val −3 i els límits laterals són −3 i 4, per
tant, tenim una discontinuïtat de salt.
En x = 2 la imatge i els límits laterals coincideixen i valen 4, per
tant, és contínua en aquest punt.
x"4
x " 4+
c) En x = 1 és discontínua asimptòtica
En x = 3 és discontínua de salt
En x = 4 és discontínua evitable, s’evita definint una nova
funció:
g (x) = )
f (x) x ! 4
2
x=4
En x = - 1 és contínua
3. Troba el domini i estudia la continuïtat de la funció
f(x) =
2x − 6
x2 − 9
La funció és discontínua en x = 3 i x = −3 que són els punts
que anul·len el denominador i que, per tant, no pertanyen al
domini. El domini és ⺢ − {−3, −3}.
En x = −3 els límits laterals són −∞ i +∞ i la imatge no existeix,
així que tenim una discontinuïtat asimptòtica.
1
En x = 3 la imatge no existeix però el límit si i val , per tant,
3
la discontinuïtat és evitable.
08
MATEMÀTIQUES APLICADES A LES CIÈNCIES SOCIALS 2
77
b) Quin producte no ha variat de preu?
Unitat 8. Derivades
c) Quin producte ha incrementat amb més rapidesa el seu
preu?
Activitats
1. La funció f(x) = x2 és decreixent en l’interval (−∞, 0). Fes
un raonament com el que hem fet anteriorment per determinar on decreix amb més rapidesa, si ens movem prop de
x = −5 o si ho fem prop de x = −2.
Preu
(€)
A
B
C
2,40
Prop de x = −5:
x = −5,1 → ƒ(−5,1) = (−5,1)2 = 26,01
x = −4,9 → ƒ(−4,0) = (−4,9)2 = 24,01
Augment de x: −4,9 −(−5,1) = 0,2
1997
Augment de ƒ(x): 24,01 − 26,01 = −2
Prop de x = −2:
1998
1999
2000
2001
Temps (anys)
a) Els tres productes valien el mateix: 2,40 €.
x = −2,1 → ƒ(−2,1) = (−2,1) = 4,41
b) El producte C.
x = −1,9 → ƒ(−1,9) = (−1,9)2 = 3,61
c) El producte A.
2
Augment de x: −1,9 − (−2,1) = 0,2
Augment de ƒ(x): 3,61 − 4,41 = −0,8
Prop de x = −5, la funció disminueix 10 vegades el que augmenta x, mentre que prop de x = −2, la disminució de la funció és 4 vegades més gran que l’augment de x. Per tant, la
funció f(x) = x2 decreix amb més rapidesa prop de x = −5.
2. Representa gràficament la funció f(x) = 2x − 3. On creix
més de pressa, en x = 0 o en x = 3? Passaria el mateix per
a qualsevol altre valor de x? Raona la resposta.
y
4. La funció f (x) = x3 + 2 sempre és creixent. Calcula’n la variació mitjana a cadascun dels intervals següents: [−3, −1],
[0, 2] i [5, 7]. En quin dels tres intervals té un creixement
més ràpid?
Interval [−3, −1]:
f (−1) − f (−3) 1 − (−25) 26
=
= 13
=
2
−1 + 3
−1 − (−3)
Interval [0, 2]:
f (2) − f (0) 10 − 2 8
=
= =4
2−0
2
2
Interval [5, 7]:
f (7) − f (5) 345 − 127 218
=
=
= 109
7−5
2
2
La funció f(x) = x3 + 2 té el creixement més ràpid en l’interval
[5, 7].
f (x) = 2x – 3
x
5. Considera la funció f(x) = 3x + 1. Demostra que la seva
variació mitjana sempre és la mateixa, independentment
de l’interval [x1, x2] considerat.
f ( x2 ) − f ( x1 ) 3 x2 + 1 − (3 x1 + 1) 3 x2 − 3 x1 3( x2 − x1 )
=
=
=3
=
x 2 − x1
x 2 − x1
x 2 − x1
x 2 − x1
El creixement d’aquesta funció és uniforme, independentment
del valor de x que es considera. Fixa’t que:
f(x) = 2x − 3
f(x + h) = 2 (x + h) − 3 = 2x + 2h − 3
Augment de x: x + h − x = h
Augment de f(x): 2x + 2h − 3 − (2x − 3) = 2h
Sigui quin sigui el valor de x, l’augment que experimenta la
funció és el doble que l’augment de x.
3. La gràfica de la figura mostra l’evolució dels preus de tres
productes de neteja diferents durant un període de cinc
anys.
a) Quin era el preu de cada producte l’any 1996?
En qualsevol interval [x1, x2] la variació mitjana de la funció
és 3.
6. Quant val la variació mitjana de la funció f(x) = 5 en qualsevol interval [x1, x2]?
Val zero, ja que es tracta d’una funció constant.
7. Calcula la variació mitjana de la funció f(x) = −x2 + 4x a
l’interval [2,9, 3,1]. Creix o decreix aquesta funció al voltant de x = 3?
Fes-ne la representació gràfica i comprova després la teva
resposta.
f(3,1) − f(2,9) =
3,1 − 2,9
2,79 − 3,19
0,2
=
−0,4
= −2
0,2
08
78
SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE
Podem esperar que la funció f(x) = −x2 + 4x decreixi al voltant
de x = 3. Ho comprovem a la gràfica de la funció.
11. Donada la funció f(x) = ax + b, demostra que f’(x0) = a,
independentment del valor x0 considerat.
f ( x 0 + h) − f ( x 0 )
a( x + h) + b − (ax 0 + b)
= lim 0
=
h
→
0
h
h
ax + ah + b − ax 0 − b
ah
= lim 0
= lim = lim a = a
h→ 0
h→ 0 h
h→ 0
h
f ′( x 0 ) = lim
h→ 0
f(x) = –x2 + 4x
12. Calcula, si és possible:
3
8. La funció f(x) = −x2 + 6x és decreixent al voltant de x = 4.
f ( x ) − f (4)
.
Quantifica aquest decreixement calculant lim
x →4
x −4
Interpreta’n el resultat obtingut.
lim
x →4
a) f ’(8) si f(x) =
9. Fes el mateix estudi de l’activitat 8 per a x = 3.
b) f ’(0) si f(x) =
⎛ 1⎞
c) f ’ ⎜⎝ 2 ⎟⎠ si f(x) = 4 − x2
d) f ’(−2) si f(x) =
1
x
x +2
f ]8 + hg - f ] 8 g
8+h+1-3
= lim
=
h"0
h
h
_ 9 + h - 3i _ 9 + h + 3i
9+h-3
= lim
= lim
=
h"0
h"0
h
h _ 9+h+3i
h
9+h-9
= lim
= lim
=
h"0
h"0
h _ 9 + h + 3i
h _ 9 + h + 3i
1
1
= lim
=6
h"0
9+h+3
a) f l(8) = lim
h"0
− x 2 + 6x − 8
f ( x ) − f (4)
=
= lim
x →4
x−4
x−4
−( x − 2)( x − 4)
= lim
= lim (2 − x ) = −2
x→4
x →4
x−4
Per a valors de x pròxims a 4, la funció f(x) disminueix de
l’ordre de dues vegades el que augmenta x.
x +1
b) No existeix f ’(0), ja que x = 0 no pertany al domini de la
1
funció f(x) = — → no existeix f(0).
x
Fixa’t en la gràfica de la funció i interpreta el resultat que
has obtingut.
lim
x →3
− x 2 + 6x − 9
f ( x ) − f (3)
=
= lim
x →3
x −3
x −3
−( x − 3)2
= lim (3 − x ) = 0
= lim
x →3
x →3
x −3
c)
Als voltants de x = 3, la funció pràcticament no varia.
10. Representa gràficament la funció f(x) = −2x + 3. Calcula
ƒ’(−2), ƒ’(0) i ƒ’(3). Interpreta’n els resultats.
h lim 1
1
= h"0
=0 =3
d) f l]-2 g = lim
h"0
h
h
La funció f (x) =
f(x) = –2x + 3
x + 2 no és derivable en x = −2.
13. Representa gràficament la funció f(x) = x2 − 2x + 4 i
indica’n, a partir de la gràfica, els intervals de creixement
i decreixement. Comprova que f’(1) = 0.
y
f (−2 + h) − f (−2)
−2(−2 + h) + 3 − 7
= lim
=
h
→
0
h
h
4 − 2h + 3 − 7
−2h
= lim
= lim
= lim (− 2) = − 2
h→ 0
h→ 0 h
h→ 0
h
f9(−2) = lim
h→ 0
f (x) = x2 –2x +
També es verifica: ƒ ’(0) = ƒ ’(3) = −2.
La funció ƒ(x) = −2x + 3 decreix sempre de la mateixa manera, és a dir, presenta un decreixament uniforme. En general:
ƒ ’(x0) = −2, x 0 ∈ R.
x
Decreixent: (−∞, 1)
Creixent: (1, +∞)
08
MATEMÀTIQUES APLICADES A LES CIÈNCIES SOCIALS 2
f ]1 + h g - f (1)
=
h
2
]1 + h g - 2 ]1 + h g + 4 - 3
= lim
=
h"0
h
2
1 + 2 h + h - 2 - 2h + 4 - 3
= lim
=
h"0
h
2
h
h=0
= lim
= lim
h"0 h
h "0
f l(1) = lim
h"0
14. Sense fer-ne la representació gràfica, indica si la funció
f(x) = (2 − x)2 és creixent o decreixent en x = 6. Fes el
mateix estudi en x = −1.
f ]6 + h g - f (6)
=
h
4 - 4 ]6 + h g + ]6 + h g2 - 16
= lim
=
h"0
h
2
4 - 24 - 4h + 36 + 12h + h - 16
= lim
=
h"0
h
2
h + 8h lim h ] h + 8 g
] h+ 8 g = 8
= lim
= h"0
= lim
h"0
h"0
h
h
f l(6) > 0 " creixent en x = 6
f l(6) = lim
h"0
f l(- 1) = lim
h"0
f ]- 1 + h g - f (-1)
=
h
4 - 4 ]- 1 + h g + ]- 1 + h g2 - 9
= lim
=
h"0
h
4 + 4 - 4h + 1 - 2h + h 2 - 9 lim h 2 - 6 h
=
= lim
= h"0
h"0
h
h
h ] h - 6g
h - 6 g =- 6
= lim
= lim
h"0
h" 0 ]
h
f ’ ]-1g < 0 " decreixent en x =-1.
15. Com ha de ser una funció perquè la derivada sigui nul .la en
tots i cadascun dels punts del seu domini? Per què?
La funció ha de ser constant, f(x) = k, k R. És així perquè si
una funció és constant, la seva variació és zero per a qualsevol valor de x d Df = R.
79
f ] 0 + h g - f (0)
f ] h g - f (0)
= lim
=
h"0
h
h
2
2
2h + 1 - 1
2h
2h = 2 $ 0 = 0
= lim
= lim
= lim
h"0
h"0
h"0 h
h
c) f l(0) = lim
h"0
] g
]
g
d) f l]-2g = lim f -2 + h - f -2 =
h"0
h
10 ]-2 + h g + 3 - ]-17g
= lim
=
h"0
h
-20 + 10h + 3 + 17
= lim
=
h"0
h
10h = lim 10 = 10
=lim
h"0
h"0
h
17. Troba l’equació de la recta tangent a la gràfica de la funció
f(x) = 3x2 − 10x + 3 en x = 2.
x
2 " f]2g
3 : 22
5 " ^2, –5h
10 : 2 + 3
f l ] x g 6x 10
mtg f l ] 2 g 6 : 2 10 12 10 2
y + 5 2 ] x 2 g " y + 5 2x 4 " y
2x
9
18. En quin punt de la gràfica de la funció f(x) = x2 + 4 la recta
tangent és paral.lela a la recta y = 6x − 2?
y = 6x - 2 " m = 6
f l(x0) = lim
h"0
^ x0 + h h2 + 4 - _ x20 + 4 i
=
h
2
2
x + 2x0h + h + 4 - x 0 - 4
= lim
=
h"0
h
h ^2x0 + h h
= lim
= lim
^2x0+ h h = 2x0
h"0
h"0
h
f l(x0) = mtg " 2x0 = 6 " x0 = 3 " f (x0) = 13
2
0
En el punt (3, 13).
19. Dibuixa la recta tangent a la corba de la gràfica següent en
els punts d’abscisses x = −3, x = 0 i x = 2.
y
y = ƒ(x)
16. Calcula, si és possible:
a) f ’(−4) si f(x) =
x
2
b) f ’(1) si f(x) = x
c) f ’(0) si f(x) = 2x2 + 1
–3
–2
–1
0
1
2
3
x
d) f ’(−2) si f(x) = 10x + 3
a) No és possible, ja que no existeix
a) Quin és el signe del pendent de cadascuna d’aquestes
tangents?
2
f ]1 + h g - f (1)
h-2 =
+
1
b) f l(1) = lim
= lim
h"0
h"0
h
h
2 - 2 - 2h
-2h
-2
1+h
lim
= h"0
= lim
= lim
= -2
h"0 1 + h
h"0
h
h ]1 + h g
b) Quin signe tenen ƒ ’(−3), ƒ ’(0) i ƒ ’(2)?
a) En x = −3, pendent positiu; en x = 0, pendent negatiu; en
x = 2, pendent positiu.
b) ƒ ’(−3) > 0, ƒ ’(0) < 0, ƒ ’(2) > 0.
80
08
SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE
20. A partir de la gràfica, fes una estimació dels valors de ƒ’(2),
g’(−1) i h’(0).
23. La gràfica de la funció f (x) = x2 + bx + c presenta un mínim
en el punt (3, −1).
a) Calcula b i c.
y
b) Representa-la gràficament i verifica la teva resposta.
ƒ(2)
y = ƒ(x)
a) Es compleix:
0
x
2
La funció és f (x) = x 2 - 6x + 8
y
b)
y = g (x)
y
f(x) = x2 – 6x + 8
g(–1)
–1
x
0
3
g’ (–1) = 0
x
–1
y
y = h (x)
0
x
24. Les gràfiques de les funcions polinímiques de segon grau
f(x) = ax2 + bx + c sempre tenen un màxim o un mínim.
Demostra que es troba localitzat en el punt d’abscissa
-b
x0 = 2a .
Cal que f ’(x) = 0, ja que en un màxim o en un mínim la gràfica
de la funció presenta sempre tangent horitzontal.
21. Considera la funció f (x) = x2 − 3x + 5 i digues en quin punt
de la seva gràfica la recta tangent forma un angle de 45°
amb el sentit positiu de l’eix X. Aquesta funció, és creixent
o decreixent en aquest punt? Per què?
-b
f ’(x) = 2ax + b → 0 = 2ax + b → x = 2a
25. Digues en quins punts no són derivables cadascuna de les
funcions següents i indica’n en cada cas el motiu:
Com que tg 45º = 1, es tracta de determinar el valor o valors
de x per als quals es verifica que f ’(x) = 1.
a) f(x) =
2
x2
b) g(x) =
f(x) = x2 − 3x + 5 → f ’(x) = 2x − 3 → 2x − 3 = 1 →
c) h(x) =
x
4 - 3x
d) i(x) = 1 - x
x = 2 → ƒ(2) = 22 − 3 · 2 + 5 = 3 → (2, 3)
a) x = 0, perquè no pertany al Df.
En el punt (2, 3) la funció és creixent, ja que f ’(2) = 1 > 0.
b) x = 3 i x = −3, perquè no pertanyen al Dg.
22. Quin és el punt de la gràfica de la funció f (x) = x2 + 3x que
té tangent paral.lela a l’eix d’abscisses?
Tracem la paral.lela a l’eix OX → mtg = 0
4
c) x = 3 , perquè no pertany al Dh.
f(1 + h) – f (h)
d) En x = 1, perquè no existeix f’(1) = lim ————————
h"0
h
26. Representa gràficament la funció:
f (x) = *
⎛ −3 −9 ⎞
En el punt ⎜⎝ , ⎟⎠
2 4
1
x2 - 9
4 - x 2 si x # 0
2x + 4 si x 2 0
És contínua en x = 0? I derivable?
08
MATEMÀTIQUES APLICADES A LES CIÈNCIES SOCIALS 2
f (x) =
y
冦
4 – x2 si x ≤ 0
2x + 4 si x > 0
81
La gràfica de la funció es pot obtenir fàcilment a partir
de la gràfica de la funció g(x) = x2 − 6x + 8. Dibuixa les
gràfiques de les dues funcions. Estudia la continuïtat i la
derivabilitat de la funció f(x) en x = 2 i en x = 4.
y
f(x) = |x2 – 6x + 8|
y
g(x) = x2 – 6x + 8
x
És contínua en x = 0, ja que
x"0
+
x"0
- 2x si x # 0
f l( x) = )
2 si x > 0
f(x) és contínua en x = 2 i en x = 4, ja que es compleix:
lim f (x) = lim f (x) = f (2) = 0
x"2
la funció no és derivable en x = 0.
x
x
lim f (x) = lim f (x) = f (0) = 4
x " 2+
lim f (x) = lim f (x) = f (4) = 0
x"4
x " 4+
En canvi, la funció no és derivable ni en x = 2 ni en x = 4.
27. Donada la funció:
f (x) = )
ax + b si x 1 2
2x 2 + 3 si x $ 2
Troba a i b perquè sigui derivable en x = 2.
La funció ha de ser contínua en x = 2 → 2a + b = 11
3
30. Sabem que la funció f (x) =
no és derivable en
4 - bx
x = 2. Calcula b.
L’expressió 4 − bx s’anul.la per a x = 2:
4 − 2b = 0 → b = 2
31. Defineix a trossos la funció f (x) = x + 2 . Representa-la
gràficament i indica raonadament en quin punt no és derivable.
28. La funció:
x2 - 4
f (x) = * x - 2
3
y
si x ! 2
f(x) = |x + 2|
si x = 2
és derivable en x = 2? Per què?
Y f (2), i,
No és derivable en x = 2, ja que lim f ] x g =
x"2
–2
x
per tant, f(x) no és contínua en x = 2.
29. La funció f (x) = x 2 - 6x + 8 és, en realitat, una funció
definida a trossos:
x 2 - 6x + 8
si x # 2 o si x $ 4
f (x ) = *
-x 2 + 6x - 8 si 2 1 x 1 4
+
No és derivable en x = −2, ja que fl( 2 )
1 i, en canvi,
.
08
82
SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE
32. Calcula la funció derivada de cadascuna de les funcions
següents:
a) f(x) = −x + 7
b) f(x) = 1 − 2x2
1
c) f(x) = x , x ≠ 0
1
d) f(x) = —
,x≠0
x2
e) f(x) =
f) f(x) = 3
x, x > 0
g) f(x) = 3x2 + 2x − 1
33. Sense fer-ne la representació gràfica, determina els intervals
de creixement i decreixement de la funció f(x) = −x2 + 6x − 8.
Quant val ƒ’(3)?
h) f(x) = ␲
a)
(-3, 3) funció creixent.
b)
(3, +3) funció decreixent.
f l] 3 g = -2 $ 3 + 6 = 0
34. Donada la funció f(x) = 6 − x2, calcula ƒ’(−2) i ƒ’(4). Indica
si la funció és creixent o decreixent en x = −2 i en x = 4.
6 - ] x + h g2 - ^ 6 - x 2 h
f l(x) = lim
=
h"0
h
2
2
h ]- 2x - h g
6 - x - 2xh - h - 6 + x2
= lim
= lim
=
h"0
h"0
h
h
]-2x - h g = -2 x
= lim
h"0
)
la funció és creixent en x = −2.
f l(4) = -2 $ 4 = -8 < 0
d)
la funció és decreixent en x = 4.
35. Donada la funció f(x) = x4, calcula ƒ’(x) de dues maneres
diferents:
a) Aplicant la definició de funció derivada.
b) A partir de la segona regla que acabem de veure.
e)
a)
b) f l] x g = 4x3
f)
3 ] x + h g 2 + 2 ] x + h g - 1 - ^ 3x 2 + 2 x - 1 h
g) f l(x) = lim
=
h"0
h
3x2 + 6xh + 3h2 + 2x + 2h - 1 - 3x2 - 2x + 1
=
h
h(3h + 6x + 2)
(3h + 6x + 2) = 6x + 2
= lim
= lim
h "0
h"0
h
= lim
h"0
h) f l(x) = lim
h"0
0
π-π
= lim
=0
h"0 h
h
36. Calcula la funció derivada de cadascuna de les funcions
següents:
1
a) f(x) = —
x1
d) f(x) =
3 x2
b) f(x) = x7
e) f(x) =
a) f l(x) = -4x-5 = -
4
x5
5 2
c) f(x) =
1
x
1
f) f(x) = —
x6
08
MATEMÀTIQUES APLICADES A LES CIÈNCIES SOCIALS 2
6
b) f l(x) = 7x
1 -3
1
1
=c) f l(x) = - 2 x 2 = 2x x
2 x3
-1
d) f l(x) = 2 $ x 3 = 32
3
3 x
e) f l(x) = 0
f) f l(x) = -6x-7 = -
6
x7
37. Considera la funció f(x)= - x . Calcula ƒ’(4) i ƒ’(16). Interpreta’n els resultats obtinguts.
83
42. Calcula la funció derivada de cadascuna de les funcions
següents:
1
a) f(x) = 3x3 − 5x2 + 7
b) f(x) = x + x - 3
4
2
c) f(x) = x - 3x
5
7
d) f(x) = 10 + x
e) f(x) = (2x + 3)2
f) f(x) =
-1
2
+ x +7
x3
a) f ’(x) = 9x2 − 10x
1
b) f ’(x) = 1 − —
x2
4
6
c) f ’(x) = 5 x3 - 7 x
1
d) f ’(x) =
2 x
e) f ’(x) = 8x + 12
La funció és decreixent en x = 4 i en x = 16, ja que ƒ’(4) < 0
>
, la funció decreix amb
i ƒ’(16) < 0. Com que
més rapidesa prop de x = 4 que prop de x = 16.
Nota: De fet, la funció és decreixent en tot el seu domini,
excepte en x = 0, on no és derivable.
calcula ƒ’(−1) i ƒ’(1). Indica si
38. Donada la funció f (x) =
la funció és creixent o decreixent en aquests dos punts, i
en cas que hi presenti el mateix tipus de variació, digues
on aquesta variació és més ràpida.
x3 ,
f) f ’(x) =
3
2
- 2
x4
x
43. Per a quins valors de x s’anul . la la der ivada de
f(x) = x3 − 5x2 + 3x + 4?
f l(x)
3x 2
f l(x)
0 " 3x 2
10x + 3
10x + 3
0"x
3i x
1
3
44. Demostra que la derivada de la funció polinòmica de segon
grau f(x) = ax2 + bx + c s’anul.la per al valor de x corresponent al vèrtex de la paràbola que en resulta de representar-la gràficament.
45. Quina és l’equació de la recta tangent a la gràfica de la
funció f(x) = −x2 + 6x en els punts en què talla l’eix
d’abscisses?
La funció és creixent en x = 1 i en x = −1 i en ambdós punts
creix amb la mateixa rapidesa.
39. Pot decrèixer en algun punt la funció de l’activitat anterior? Per què?
No, perquè ƒ ’(x) =
3x2 ≥
0 per a qualsevol x [ R.
40. Indica raonadament per què la funció f (x) = 1x és decreixent en tots els punts del seu domini.
Si x [ R – {0}, x2 > 0, i, per tant, ƒ’(x) < 0. Aleshores, ƒ’(x) < 0
per a qualsevol valor de x real i diferent de zero. Cal tenir en
compte que Df = R − {0}.
f ’(x) = 0 → −x2 + 6x = 0 → x1 = 0, x2 = 6
Els punts són (0, 0) i (6, 0).
ƒ’(x) = −2x + 6
Punt (0, 0)
mtg = ƒ’(0) = 6 → y = 6x
Punt (6, 0)
mtg = ƒ’(6) = −6 → y = −6 (x − 6) → y = −6x + 36
46. Troba l’equació d’una funció f(x) que tingui per derivada la
funció f’(x) representada en la gràfica. Pots trobar-ne més
d’una? Per què?
y
ƒ’(x) = 1
3
41. Troba la funció derivada de la funció f (x) = x i comprova
que aquesta funció no és derivable en x = 0.
0
La funció ƒ(x) no és derivable en x = 0, ja que aquest valor
anul·la el denominador de la funció ƒ’(x).
x
Compleixen la condició que s’estableix a l’enunciat totes les
funcions del tipus f(x) = x + k, amb k ⺢.
08
84
SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE
47. Troba la funció derivada de cadascuna de les funcions següents:
a) f(x) = 5 ln x + 9
b) f(x) = x2 − log3 x + ln 2
ln x
2
c) f(x) = 5 + x
d) f(x) = log3 x − 4 log x + 7 ln x
1
5
a) f l(x) = 5 $ x = x
b) f l(x) = 2x - 1
ln 3
$
1
c) f l(x) = log 1 - x = log (1 - x) 2 = 12 log (1 - x)
1
1 : 1
1
=
f l(x) = 2 :
ln 10 1 - x
2 ln 10 (1 - x)
d) f l(x) = -2 (x 2 + 4) - 3 : 2x =
1
1
x = 2x - ln 3 $ x
e) ƒ’(x) =
c) f l(x) = 1 $ 1 + 2 $ c- 12 m = 1 - 22 = 1 b 1 - 2 l
x 5
x
5 x
5x
x
x
d) f l(x) =
b) ƒ’(x) = 2 ^ x3 + 2x - 5 h ^ 3x 2 + 2h
1
4
7
1
1
4
+ x = x $c
+ 7m
ln 3 $ x
ln 10 $ x
ln 3 ln 10
48. Justifica per què la gràfica de la funció f(x) = ln x no pot
tenir ni màxims ni mínims. Passa el mateix amb la gràfica
de la funció f(x) = log x? Per què?
49. Hi ha algun punt de la gràfica de la funció f(x) = ln x que
tingui recta tangent paral.lela a la bisectriu del primer i
tercer quadrants?
Si la resposta és afirmativa, indica de quin punt es tracta i
troba l’equació de la recta tangent.
: b1
1
x+1
+ xl =
2x x + ln x
1
f) f (x) = ln 1 + 3x 2 = ln (1 + 3x 2) 2 = 12 ln (1 + 3x 2)
1
1
3x
: 6x =
ƒ’(x) = 2 :
1 + 3x 2
1 + 3x 2
1
g) ƒ’(x) = 1 :
ln 2 1 + x
h) ƒ’(x)
Com que ƒ’(x) ≠ 0 per a qualsevol x ⺢, la gràfica de la funció no pot tenir ni màxims ni mínims.
1
Sí que passa el mateix, ja que ƒ’(x) =
i l’equació
ln 10 $ x
ƒ’(x) = 0 no té solució real.
1
2 x + ln x
-4x
(x 2 + 4) 3
:
:
1
2
x
=
1
2 ln 2 ( x + x )
:
:
52. Digues per a quins valors de x és creixent la funció
f(x) = ln (x2 + 1). Per què? Té la gràfica d’aquesta funció
algun punt en el qual la recta tangent tingui pendent nul?
Si la resposta és afirmativa, digues de quin punt es tracta.
f (x) = ln (x 2 + 1) " f l(x) =
2x
x2 + 1
f l(x) > 0 " 2x > 0 " x > 0
La funció és creixent per a x d R , x > 0.
mtg = → ƒ’(x) = 0 → 2x = 0 → x = 0
Sí x = 0, ƒ(0) = 0
Equació de la bisectriu del primer i tercer quadrants: y = x.
1
m = 1 → ƒ’(x) = 1 → x = 1 → x = 1
Si x = 1, ƒ(x) = 0 → el punt és (1, 0)
Equació de la recta tangent: y = x − 1
2
x = 1 → ƒ(1) = 0 → el punt és (1, 0)
1
1
→ mtg = ƒ’(1) =
ƒ’(x) =
ln 2 $ x
ln 2
1
Equació de la recta tangent: y =
(x − 1).
ln 2
c) f(x) = log 1 - x
b) f(x) = (x3 + 2x − 5)2
1
d) f(x) = 2
(x + 4) 2
e) f(x) =
f) f(x) = ln
x + ln x
g) f(x) = log2 (1 +
a)
x)
h) f(x) =
El punt és (1, 0).
f l(x) = 2 (x 2 - 1) : 2x = 4x (x 2 - 1)
f l(1) = 0 " mtg = 0
Equació de la recta tangent: y = 0. Això vol dir que la recta
tangent és l’eix de les abscisses.
51. Calcula la derivada de les funcions següents:
3
53. Troba l’equació de la recta tangent a la gràfica de la funció
f(x) =(x2 − 1)2 en el punt d’ordenada nul .la i abscissa positiva.
f (x) = 0 " ^ x 2 - 1h = 0 " x 2 = 1 " x = ! 1
50. Determina l’equació de la recta tangent a la gràfica de la
funció f(x) = log2 x en x = 1.
2
a) f(x) = 1 + x
El punt és (0, 0).
1 + 3x 2
5
]1 - x g 4
54. Calcula la funció derivada de les funcions següents:
a) f(x) = x ln x + ln2 x + 1
b) f(x) =
1
x 2 - 3x + 2
c) f(x) =
x (1 + x)
d) f(x) =
-2x
(x 2 - 1) 2
ln x
e) f(x) = 1 - x
08
MATEMÀTIQUES APLICADES A LES CIÈNCIES SOCIALS 2
f) f(x) = ln
85
1 + x2
1 - x2
g) f(x) = (1 − x)3 log2 x
h) f(x) = x2 (1 − 3x)3
Equació recta tangent:
x
a) ƒ’(x) = ln x + x ? 1x + 2 ln x ? 1x = 2 ln
x + ln x + 1
b) ƒ’(x) =
- 2x + 3
(x 2 - 3x + 2)2
c) ƒ’(x) =
1
1 + 3x
(1 + x) + x =
2 x
2 x
-2 (x 2 - 1) 2 + 2x ⭈ 2 (x 2 - 1) ⭈ 2 x
=
(x 2 - 1)4
2
2 + 6x
= 2
(x - 1) 3
d) f l( x) =
e) ƒ’(x) =
1
1
y - 2 = 2 (x - 1) " x - 2y = 0
Recta tangent paral.lela a l’eix OX → mtg = 0 → f ’( ) = 0
2x
= 0 " 2x = 0 " x = 0 " f (0) = 0
(x 2 + 1) 2
La recta tangent és paral.lela a l’eix d'abscisses en el punt (0, 0).
x2 + 1
no57. Comprova que la derivada de la funció f (x) = 2
x -1
més s’anul.la en un punt. De quin punt es tracta?
1
x (1 - x) + ln x = 1 - x + x ln x
( 1 - x )2
x (1 - x)2
1
f) f (x) = ln
1 + x2
1 + x2 m 2
1
1 + x2 m
= ln c
= 2 ln c
=
1 - x2
1 - x2
1 - x2
1
= 2 7ln (1 + x 2) - ln (1 - x )A
2
Es tracta del punt (0, −1).
1
2x
2x m
f l(x) = 2 c
+
=
1 + x2
1 - x2
1
1 m
2x
= xc
+
=
1 - x4
1 + x2
1 - x2
ax
58. Donada la funció f (x) = x - 3, a d R , a ≠ 0, calcula
lim fl(x) i xlim
f l(x).
"3
x " 3+
g)
h) f l(x ) = 2x (1 - 3x) 3 + x 2 ⭈ 3 (1- 3 x ) ⭈ (-3) =
2
= x (1 - 3x)2 (2 - 15x)
55. Utilitzant la derivada logarítmica, demostra que la derivak
és:
da de la funció f(x) =
g (x)
fl(x) =
- k $ gl(x)
2
7 g (x)A
59. Calcula la derivada de les funcions:
a) f(x) = e3x ln (x2 + 4)
x
1
b) f(x) = e +
ex
x
3
c) f(x) = ln e +
ex
d) f(x) = x · 2x
e) f(x) = (x + 1)x
f) f(x) = (ex + 1)2
a) f l(x) = 3e3x ln (x2 + 4) + e3x
= ; 3 ln (x 2 + 4) +
Per tant:
56. Troba l’equació de la recta tangent a la gràfica de la funció
x2
en x = 1. A quin punt la recta tangent és
ƒ(x) = 2
x +1
paral.lela a l’eix X?
1
1
f (1) = 2 . El punt és 11, 2 2
2x
=
x2 + 4
2x E : 3x
e
x2 + 4
e x : e x - (e x + 1) : e x
e2x - e2x - ex
=
=
x 2
(e )
e2x
-ex
-1
= 2x = e x
e
b) f l(x) =
ex + 3
x
x
x
e x = ln (e + 3) - ln e = ln (e + 3) - x
ex
e x - ex - 3
-3
f l(x) = e x + 3 - 1 = e x + 3 = e x + 3
c) f (x) = ln
x
x
x
d) f l(x) = 2 + x2 ln 2 = 2 (1 + ln 2 : x )
86
08
SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE
e) ln f (x) = ln (x + 1) x = x : ln (x + 1)
f l(x)
1
= ln (x + 1) + x : x + 1
f (x)
1
f l(x) = (x + 1) x ;ln (x + 1) + x : x + 1 E
f) f l(x) = 2 (e x + 1): e x = 2e x (e x + 1)
60. Se sap que la gràfica de la funció f(x) = xne x, n d N, té dos
punts estacionaris i que un d’ells se situa en x = −3. Calcula n i indica les coordenades de l’atre punt estacionari.
Si la funció presenta en punt estacionari en x = −3, significa
que ƒ’(−3) = 0.
64. Un capital s’inverteix de manera que la seva revaloració
passats x anys pot expressar-se matemàticament de la
manera següent: C(x) = 100 000 · e0,05x.
a) Quin és l’import d’aquest capital en el moment de fer la
inversió? I quan hagin passat 10 anys?
b) Comprova, utilitzant les derivades, que el ritme de
creixement d’aquest capital és més gran per a x = 6 anys
que per a x = 4 anys.
a) Per a x = 0 → C(0) = 100 000
Per a x = 10 anys → C(10) = 164 872,13
b) C’(x) = 100 000 e 0,05x · 0,05 = 5000 e0,05x
f l(x) = nx e x + x n : e x = e x : x n - 1(n + x)
C’(6) = 6 749,29 €/any
xn - 1 = 0 " x = 0
f l(x) = 0 *
n + x = 0; x = -3; n - 3 = 0 " n = 3
C’(4) = 6 107,01 €/any
n
1
L’altre punt estacionari se situa en x = 0.
x = 0 → ƒ(0) = 0
C’(6) > C’(4) → el ritme de creixement del capital és més
gran per a x = 6 anys que per a x = 4 anys.
x2
65. Donada la funció f(x) = f (x) = 2
, calcula f’(x), f’’(x)
x -4
i f’’’(x).
És el punt (0, 0).
61. Comprova que la derivada de la funció f (x) = x x s’anul.la
en el punt d’abscissa x = e.
1
1
f (x) = x x = x x " ln f (x) = x ln x
fl(x)
1
1 1
1
1
= - 2 ln x + x : x = 2 - 2 ln x =
f (x)
x
x
x
1
= 2 (1 - ln x)
x
x
x
1
f (x) = x x : 2 (1 - ln x) = 2 (1 - ln x)
x
x
f l(x) = 0 " 1 - ln x = 0 " ln x = 1 " x = e
62. Donada la funció f(x) = xe , calcula f’(x). Escriu l’equació de la recta tangent a la gràfica de f(x) en el punt on
s’anul.la la seva derivada. Indica raonadament si aquesta
funció és creixent o decreixent en x = 0.
x
f l(x ) = e x + x: e x = e x (1 + x)
f l(x) = 0 " e x (1 + x) = 0 " 1 + x = 0 " x = -1
1
f (-1) = -1 : e-1 = - e
f l(x) =
2x (x 2 - 4) - x 2 : 2 x
-8x
= 2
(x 2 - 4) 2
(x - 4) 2
f m(x) =
-8 (x 2 - 4) 2 + 8x : 2 : 2x (x 2 - 4)
=
(x 2 - 4) 4
=
-8 (x 2 - 4) + 32x 2
24x 2 + 32
= 2
(x 2 - 4) 3
(x - 4) 3
48x (x 2 - 4) 3 - (24x + 32)( x 2 - 4) 2 : 3 : 2 x
(x 2 - 4) 6
2
f n(x) =
=
48x (x2 - 4) - (24x 2 + 32) 6x
=
(x2 - 4) 4
=
48x3 - 192x - 144x 3 - 192x
=
(x2 - 4) 4
=
-96x (x 2 + 4)
-96x3 - 384x
=
2
4
(x - 4)
(x2 - 4) 4
66. Quantes vegades cal derivar la funció f(x) = x7 + 2x − 1 per
tal d’arribar a una funció constant i no nul .la? Quina és
aquesta funció?
ƒ’(x) = 7x6 + 2
1
Punt b-1, - 1e l ; pendent: m = 0 → l’equació tangent: y = - e
ƒ”(x) = 42x5
ƒ’(0) = 1 > 0 → la funció és creixent en x = 0.
ƒ”’(x) = 210x4
63. Comprova que la derivada de la funció ƒ(x) = x25x s’anul.la
-2
i x = 0.
en els punts x =
ln 5
f’(x) = 2x:5x + x2:5x:ln 5 = x:5x (2 + x:ln 5)
f’(x) = 0 " x:5x (2 + x:ln 5) " x = 0
4 x = -2
ln 5
ƒ (4)(x) = 840x3
ƒ (5)(x) = 2 520x2
Cal derivar-la 7 vegades.
La funció constant i no nul.la és
g(x) = ƒ (7)(x) = 5 040.
ƒ (6)(x) = 5 040x
ƒ (7)(x) = 5 040
67. Per a la funció f(x) = 2x, calcula f’(x), f’’(x), f’’’(x) i f (4)(x).
Observa amb detall les funcions que has obtingut i dedueix l’expressió de la derivada f (n)(x).
08
MATEMÀTIQUES APLICADES A LES CIÈNCIES SOCIALS 2
_
f l( x) = 2 x : ln 2 b
b
f m( x) = 2 x : (ln 2) 2 b
(n )
(x ) = 2 x (ln 2)n
x
3` f
f n(x) = 2 : (ln 2) b
f (4 )(x) = 2 x : (ln 2)4 b
a
87
y
ƒ’(x)
4
x2
68. Donada la funció f (x) = x - 2 , resol l’equació f’’(x) = 0.
2x (x - 2) - x2
2x 2 - 4x - x 2
x2 - 4x
f l] x g =
=
=
2
2
(x - 2)
(x - 2)
(x - 2) 2
(2x - 4)( x - 2) 2 - ^ x 2 - 4x h : 2 (x - 2)
f m] x g =
(x - 2) 4
(2x - 4)( x - 2) - 2 (x 2 - 4x)
8
=
=
(x - 2) 3
(x - 2) 3
x
2
0
f’(x) = 2x f (x) = x2 + c, amb c ⺢
Per tant, hi ha infinites funcions la funció derivada de les
quals és f’(x) = 2x.
L’equació f”(x) = 0 no té solució, ja que 8 ≠ 0.
5. Indica raonadament el signe de la funció ƒ’(x) corresponent a la funció ƒ(x) representada en la gràfica, en cadascun dels intervals següents:
Activitats finals
1. Aplicant la definició, calcula la derivada de cadascuna de
les funcions següents en x = −3:
a) f(x) = −x + 1
b) f(x) = 1 - x
2
(−∞, −1) (−1, 1) (1, +∞)
y
1
c) f(x) = x
-(-3 + h)2 + 1 - (-8)
=
h"0
h
2
h (6 - h)
-9 + 6h - h + 1 + 8
= lim
= lim
=
h"0
h"0
h
h
= lim (6 - h) = 6
a) f l(-3) = lim
–1
0
1
x
h"0
1 - (- 3 + h) - 2
4-h-2
= lim
=
h"0
h
h
( 4 - h- 2g _ 4 - h + 2i
4-h-4
=
= lim
= lim
h"0
h"0 h _ 4 - h + 2 i
h _ 4-h+2i
-1
-1
-h
= 4
= lim =
= lim
h " 0 h _ 4 - h + 2i
h"0
4-h+2
b) f l(-3) = lim
h"0
3 - 3+h
1
1
+3
3(-3 + h)
+
3
h
=
= lim
c) f l(-3) = lim
h"0
h"0
h
h
h
1
1
= lim
= lim
=- 9
h " 0 3h (-3 + h )
h " 0 3 (-3 + h)
1
2. Donada la funció f(x) = x - 2 , és possible calcular f’(2)?
Per què?
No, perquè x = 2 g Df.
3. Sense fer-ne la representació gràfica, indica si la funció
f(x) = (x − 4)2 és creixent o decreixent en x = 3,5.
f (x) = (x - 4) = x - 8x + 16 " f l(x) = 2x - 8
f l(3,5) = 2 : 3,5 - 8 = 7 - 8 = -1
2
2
f l(3,5) < 0 " la funció és decreixent en x = 3,5.
4. En la gràfica hem representat la funció f’(x) derivada d’una
certa funció ƒ(x). Quina és l’expressió algèbrica de ƒ’(x)?
I la de ƒ(x)? Pots trobar-ne més d’una?
x d (−∞, −1) → la funció és creixent → f ’(x) > 0
x d (−1, −1) → la funció és decreixent → f ’(x) < 0
x d (1, +∞) → la funció és creixent → f ’(x) > 0
6. Compara la rapidesa del creixement de la funció f(x) = x3 + 2x
en els punts d’abscisses x = −2 i x = 2.
ƒ(x) = x3 + 2x → ƒ’(x) = 3x2 + 2
ƒ ’(−2) = 3 · (−2)2 + 2 = 14 > 0
ƒ ’(2) = 3 · 22 + 2 = 14 > 0
Com que ƒ ’(−2) = ƒ ’(2), la funció creix amb la mateixa rapidesa en x = −2 que en x = 2.
7. Aplicant la definició, calcula la funció derivada de:
a) f(x) = x3 + 3
b) f(x) = x + 3x2
c) f(x) = 5 x
(x + h)3 + 3 − (x3 + 3)
——————————— =
a) f ’(x) = lim
h"0
h
3
2
x + 3x h + 3xh2 + h3 + 3 − x3 − 3
———————————————— =
= lim
h"0
h
h(3x2 + 3xh + h2)
————————— =
= lim
h"0
h
2
lim
= h " 0 (3x + 3xh + h2) = 3x2
08
88
SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE
x + h + 3 (x + h)2 - (x + 3x 2)
=
h
2
2
x + h + 3x + 6xh + 3h - x - 3x2
= lim
=
h"0
h
h (1 + 6x + 3h)
= lim
= lim
(1 + 6x + 3h) = 1 + 6x
h"0
h"0
h
y
b) f l(x) = lim
h"0
5 x+h-5 x
=
h
5_ x + h - x i_ x + h + x i
= lim
=
h"0
h_ x + h + x i
5]x + h - xg
5h
= lim
= lim
=
h"0 h _
h"0 h _
x+h+ xi
x+h+ xi
5
5
= lim
=
h"0
2 x
x+h+ x
g(x) = 2 x – 3
f (x) = 2 x + 3
x
c) f l(x) = lim
h"0
8. Indica els intervals de creixement i decreixement de la
funció f(x) = −3x + 5. Verifica la teva resposta fent-ne
la representació gràfica.
ƒ(x) = −3x + 5 → ƒ’(x) = −3
ƒ’(x) < 0 per a qualsevol x ! R la funció és decreixent en tot
el seu domini.
y
S’obtenen dues rectes paral.leles.
Es compleix que f’(x) = g’(x) = 2 → la funció ƒ(x) i la funció
g(x) creixen amb la mateixa rapidesa, independement del valor de la variable x.
11. En quins punts de la gràfica de la funció f(x) = x3 + 2 la
recta tangent té pendent 3? Escriu les equacions d’aquestes
rectes tangents.
ƒ(x) = x3 + 2 → ƒ’(x) = 3x2; ƒ’(x) = 3
3x2 = 3 → x1 = 1 i x2 = −1
Per a x = 1, ƒ(1) = 3 → punt (1, 3)
Per a x = −1, ƒ(−1) = 1 → punt (−1, 1)
Punt (1, 3) → y − 3 = 3(x − 1) → y = 3x
f(x) = – 3x + 5
Punt (−1, 1) → y − 1 = 3(x + 1) → y = 3x + 4
x
9. Calcula la funció derivada de cadascuna de les funcions
següents:
a) f(x) = 2x4 − 3x2 + 1
c) f(x) = 1 e) f(x) =
2
x2
5x
b) f(x) =
x3 +
3
x2
12. Dibuixa en un paper mil.limetrat la gràfica de la funció
f(x) = −x2 + 8x. Tot seguit, fes una estimació a partir
d’aquesta gràfica dels valors de ƒ’(1) i ƒ’(5). Calcula analíticament ƒ’(1) i ƒ’(5) i compara els resultats amb els anteriors.
ƒ(x) = −x2 + 8x → ƒ’(x) = −2x + 8
d) f(x) = 3(x2+ 7x − 12)
ƒ’(1) = −2 + 8 = 6; ƒ’(5) = −10 + 8 = −2
f) f(x) = (2 − 6x)2
Cal comparar aquests valors amb els valors obtinguts de manera experimental, a partir de la gràfica de la funció.
a) f ’(x) = 8x3 − 6x
3 1 2 1
b) f ’(x) = 2 x 2 + 3 x- 3
c) f ’(x) =
2:(
2)x
-3
3
2
2 x+ 3 x
4
x3
d) f ’(x) = 6x + 21
e) f ’(x) =
5
2 x
f) f ’(x) = 24 + 72x
13. Representa gràficament la funció:
f (x) = )
0 si x 1 0
x si x $ 0
És contínua en x = 0? I derivable? Justifica cadascuna de
les respostes.
y
f(x) =
冦 x si x ≥ 0
0 si x ≤ 0
10. Representa gràficament les funcions f(x) = 2x + 3 i
g(x) = 2x − 3. Què obtens?
Quina de les dues funcions creix més de pressa al voltant de
x = 0? I al voltant de x = 10? Procura respondre les dues últimes qüestions sense fer cap càlcul i argumenta’n la resposta.
x
08
MATEMÀTIQUES APLICADES A LES CIÈNCIES SOCIALS 2
lim f (x)
0; lim f (x)
x " 0+
x"0
Es compleix: lim f (x)
x"0
0; f (0)
x2
és creixent o decreixent en x = 2?
(x - 1) 2
Justifica la resposta.
0
17. La funció f (x) =
f (0)
Per tant, la funció és contínua en x = 0.
f l(x)
)
f (x)
0 si x 1 0
1 si x $ 0
f l(x)
És a dir, ƒ’(0 −) = 0 i ƒ’(0 +) = 1 → ƒ’(0 −) ≠ ƒ’(0 +) la funció no és
derivable en x = 0.
14. La gràfica d’una funció ƒ(x) és la de la figura. Sense calcular-ne l’expressió analítica, representa gràficament la funció ƒ’(x).
y
f l(2)
x2
(x 1) 2
2x (x 1) 2 x 2 : 2 ] x 1g
(x 1) 4
2
2x 2x 2x 2
2x
(x 1) 3
(x 1) 3
2x (x 1) 2x 2
(x 1) 3
4 < 0 " f(x) és decreixent en x = 2.
18. Donada la paràbola d’equació f(x) = x2 − 2x + 5, es considera la recta r que uneix els punts d’aquesta paràbola, les
abscisses dels quals són x1 = 1 i x2 = 3. Troba l’equació de
la recta tangent a la paràbola que és paral·lela a la recta r.
x1 = 1 → ƒ(x1) = ƒ(1) = 4 → (1, 4)
y = ƒ(x)
2
89
x2 = 3 → ƒ(x2) = ƒ(3) = 8 → (3, 8)
La recta r conté els punts (1, 4) i (3, 8).
–1
0
2
3
x
mr =
f (3) - f (1) 8 - 4
= 3-1 = 2
3-1
f ’(x) = 2x − 2 i ƒ’(x) = mr = 2 → 2x − 2 = 2 → x = 2
y
ƒ(2) = 5 → El punt de tangències és (2, 5)
2
mtg = mr = 2
1
Equació de la recta tangent:
y − 5 = 2(x − 2) → y − 5 = 2x − 4 → 2x − y + 1 = 0
–1
2
3
x
19. Aquesta és la representació gràfica de la derivada f’(x)
d’una funció polinímica f(x).
–1
15. Troba les derivades laterals en x = 5 de la funció
f(x) = 2x - 10 . És derivable en aquest punt? Per què?
f (x)
2x
10 " f (x)
*
y
y = f9(x)
2x 10 si x $ 5
2x + 10 si x 1 5
ƒ’(5+) = 2; ƒ’(5 −) = −2 → ƒ’(5+) ≠ ƒ’(5 −)
0
2
x
La funció no és derivable en x = 5.
16. Indica els intervals de creixement i decreixement i els
2
punts estacionaris de la funció f(x) = 2 x .
x -4
2x (x 2 4) x 2 $ 2x
8x
f l(x)
(x 2 4) 2
(x 2 4) 2
a) Quin és el grau d’aquesta funció polinòmica? Per què?
b) Indica els intervals de creixement i decreixement de la
funció f(x).
Df = R − {−2, 2}; ƒ’(x) = 0 → x = 0, ƒ(0) = 0 → (0, 0)
c) Té f(x) algun punt estacionari? Quin és?
Com que ƒ’(x) > 0 per a x < 0, x ≠ −2 i ƒ’(x) < 0 per a x > 0,
x ≠ 2, es compleix que:
a) Grau 2. Perquè f’(x) és una funció polinòmica de primer
grau, ja que la seva representació gràfica és una recta.
• La funció és creixent en els intervals (−∞, −2) i (−2, 0).
• La funció és decreixent en els intervals (0, 2) i (2, +∞).
• La funció presenta un punt estacionari a l'origen de coordenades.
b) f’(x) > 0 → x > 2 → Creixent: (2, +∞)
f’(x) < 0 → x < 2 → Decreixent: (−∞, 2)
c) Sí, x = 2, ja que ƒ’(2) = 0.
08
90
SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE
20. Calcula la derivada de les funcions:
1
a) f(x) =
3x - 2
(x + 2) ln x
b) f(x) =
x+1
c) f(x) = elog3 x
2
d) f(x) = 1 +x x
2
x
x2 - 4
i) f(x) = (2 − 3x)x
j) f(x) =
k) f(x) = (x2+ 3)x + 5
l) f(x) = ln ln x
m) f(x) = 10e4x + 2
3
n) f(x) =
2e x + 5
5
o) f(x) = —————
(2x + 6)3
–8x
p) f(x) = —————
2
(x – 9)2
ln x 2
x
x + ex
=
2) 2
]
g
x ln x + x + 2
l : x + 1 - x + 2 ln x
x
2: x +1
=
x +1
f l(x)
=
2x ln x:(x + 1) + 2(x + 1)(x + 2) - x(x + 2) ln x
=
2 x x + 1 :(x + 1)
=
2x2 ln x + 2x ln x + 2(x + 1) (x + 2) - x2 ln x - 2x ln x
=
2x : x + 1 :(x + 1)
=
x2 ln x + 2(x + 1) (x + 2)
x2 ln x + 2 x2 + 6x + 4
=
2x : x + 1 :(x + 1)
2 x :(x + 1): x + 1
e) f l( x)
f) f ( x)
elog x 1 : 1x
ln 3
3
x
5 (1
log2
2x 2
2 4
x ) : ( 2 x)
x2
2 4
10x (1
x)
4
2
2
log2 c 2 x m
x 4
1 7log x 2 log (x 2 4) A
2
2
2
1 72 log x log (x 2 4)A
2
2
2
f l(x)
1: 1 c2
2x m
2 ln 2 x x 2 4
x m
1 c1
ln 2 x x 2 4
1 : x2 4 x2
ln 2 x (x2 4)
ln (x2 + 3) + (x + 5) : 22x
x +3
+
2
(
5)
x
x
F
f (x) <ln (x2 + 3) + 2
x +3
2x (x + 5)
F
(x2 + 3) x + 5 <ln (x2 + 3) + 2
x +3
1
ln (ln x) 2
1: 1 :
2 ln x
1 ln (ln x)
2
1
1
x 2x ln x
40 e4x + 2
n) f l(x)
3 : 2 ex
(2e x + 5) 2
6e x
(2e + 5) 2
o) f l(x)
p) f l(x)
x
5 : (2x + 6)2 : 2
(2x + 6)6
30
(2x + 6)4
9) 2 + 8x : 2 (x 2 9): 2 x
(x2 9)4
8 (x2 9) + 32x 2 24x 2 + 72
(x 2 9) 3
(x 2 9) 3
8 (x 2
1
x2
1
x2
x2
x2
1
x2
(x + 5) ln (x2 + 3)
10e4x + 2 : 4
3
2
ln (x2 + 3) x + 5
3x)
1 + ex
2 x + ex
m) f l(x)
elog x
x ln 3
^1 + x 2 h
2x: x
f l(x)
l) f (x)
=
d) f l(x)
k) ln f (x)
f l(x)
f (x)
f l(x)
3x) x " ln f (x) x ln (2
3 : ( 1)
ln (2 3x) + x : 2 3x
(2 3) x ;ln (2 3x) 2 3x3x E
ln (2
1
(1 + e x)
2 x + ex
j) f l(x)
3
(x ln x + x + 2): 2(x + 1)
x ] x + 2g ln x
2x x + 1
2x x + 1
=
x+1
c) f l(x)
i) ln f (x)
f l(x)
f (x)
f l(x)
1
bln x + x + 2 l x + 1 - ] x + 2g : ln x :
x
2 x+1
b) f l(x) =
=
x+1
b
2
x3
x : 2lnx (ln 2 +2)
h) f(x) = 2
(3x
1):2x
2lnx : ln 2 : 1x : x 2+ 2 ln x : 2 x
h) f l(x)
g) f(x) = x -2 1
x
a) f l(x)
(x2
x4
2
f) f(x) = log2
e) f(x) = (1 − x2)5
2x:x2
g) f l( x)
21. Donada la funció f(x) = xe x, resol les equacions f ’(x) = 0 i
f ’’(x) = 0.
f ’(x) = e x + x · e x = e x (1 + x)
f ’’(x) = e x (1 + x) + e x = e x (2 + x)
f ’’(x) = 0 → e x (1 + x) = 0 → 1 + x = 0 → x = −1
f ’(x) = 0 → e x (2 + x) = 0 → 2 + x = 0 → x = −2
22. Troba per a quin valor de a i b és contínua i derivable la
funció:
4
ln 2: x : ( x2 4)
f (x) = *
3x
si x # 1
ax 2 + b (x - 1) si x 2 1
08
MATEMÀTIQUES APLICADES A LES CIÈNCIES SOCIALS 2
)
f l(x)
3
si x # 1
2ax + b si x > 1
Contínua:
lim f (x)
x
"1
91
26. Determina l’expressió algèbrica de la funció f(x) que verifica les condicions següents:
a) f’(x) = 3.
b) La seva gràfica passa pel punt P(2, 10).
lim f (x)
f (1)
x " 1+
f(x) = 3x + n
f(2) = 10 → 10 = 6 + n → n = 10 − 6 = 4
3=a→a=3
Per tant, f(x) = 3x + 4.
Derivable:
a ,
x-b
on a i b són nombres reals, no pot tenir punts estacionaris.
a
f l(x)
(x b) 2
27. Indica d’una manera raonada perquè la funció f (x) =
ƒ’(1−) = ƒ’(1+)
3 = 2a + b → b = 3 − 2a = 3 − 6 = −3
23. El nombre N de bacteris d’un determinat cultiu varia en
funció del temps t expressat en hores, d’acord amb l’equació:
N(t) = 10 et/2
a) Quin és el nombre inicial de bacteris en el cultiu?
b) En quin moment creix més ràpidament el nombre
d’aquests bacteris, quan t = 2 h o quan t = 4 h? Per què?
a) t = 0 → N(0) = 10 bacteris.
t
t
1
5 : e2
b) N’(t) 10 : e 2 : 2
t = 2 h → N’(2) = 5e
t = 4 h → N’(4) = 5e2
La funció no pot tenir punts estacionaris, ja que f’(x) no
s'anul.la per a cap valor de x real.
28. Se sap que la funció f(x) = ax2 + bx + 12 presenta un mínim
en el punt P(4, −4). Calcula a i b.
ƒ(4) = −4 → 16a + 4b + 12 = −4 → 4a + b = −4
ƒ’(x) = 2ax + b → ƒ’(4) = 0 → 8a + b = 0
4a + b
8a + b
ƒ’(x) = 3e3x; ƒ’’(x) = 9e3x; ƒ’’’(x) = 27e3x
ƒ(n)(x) = 3n e3x
1, b
8
29. Dibuixa de manera aproximada la gràfica de la funció
ƒ(x) = ln |x|. Indica raonadament si hi ha algun punt en
què aquesta funció no sigui derivable.
y
N’(4) > N’(2) → el nombre de bacteris creix més de pressa per
a t = 4 h.
24. Calcula les tres primeres derivades de la funció f(x) = e3x.
Dedueix l’expressió de la derivada enèsima ƒ(n)(x) d’aquesta funció.
4
3a
0
f (x) = ln |x|
x
La funció no és derivable en x = 0 perquè no existeix f(0) i,
per tant, no pot ser-hi contínua.
30. Justifica el motiu pel qual la funció f (x) = + x no és
derivable en x = 0.
25. Representa gràficament la funció f(x) = x2 + 2. Hi ha algun
punt en el qual aquesta funció no sigui derivable? Justifica la resposta.
Com que f ’(x) =
1 " no existeix f ’(0).
2 x
De fet, com que no existeix lim f ( x ) , la funció no és contíx →0
nua en x = 0 i, per tant, no pot existir f ’(x).
y
f (x) = x2 + 2
31. Representa gràficament la funció f(x) = log2 x i, a partir
d’aquest gràfic, fes el dibuix de la funció g(x) = |log2 x|.
Per a quins valors de x no existeix g’(x)? Per què?
y
y
f (x) = log2 x
f(x) = |log2 x|
x
x
No. La funció és contínua i derivable a tot R.
La seva gràfica és la mateixa que la de la funció g(x) = x2 + 2,
ja que f(x) > 0 per a tot x [ R.
La funció g(x) no és derivable en x = 1.
Observa a partir de la gràfica que g’(1−) ≠ g’(1+).
x
08
92
SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE
3. La funció f(x) = −5ax2 + 700x + 1 440 té un punt estacionari en x = 10. Calcula el valor de a.
Avaluació
1. Calcula les derivades de les funcions següents simplificant
al màxim:
a) f ( x ) = 3 ln(4 x )
b) f ( x ) =
5
x + 2x
c) f ( x ) =
x2 + 1
ex
3
f ’(x) = –10ax + 700
f ’(10) = 0 → –100a + 700 = 0 → a = 7
La funció f(x) té un punt estacionari a x = 10 per a a = 7. Per
tant, f(x) = –70x + 700.
4. Considera la funció f ( x ) = x 3 − 3 x 2 + 2 x + 2.
3
d) f ( x ) = (2 x + 1)
a) Calcula l’equació de la recta tangent a la gràfica de f(x)
en el punt d’abscissa x = 3.
1
12
3
a) f ’(x) = 3 . —— . 4 = —— = —
4x
4x
x
b) Existeix alguna altra recta tangent a la gràfica de f(x)
que sigui paral.lela a la que has trobat? Raona la resposta i, en cas afirmatiu, troba’n l’equació.
3
+ 2 = ———— + 2
5 vvvv
5 f x2
2x ex – (x2 + 1) ex ex (2x – x2 – 1) –x2 + 2x – 1
= —————————
= ———————
c) f ’(x) = ——————————
e2x
e2x
ex
d) f ’(x) = 3 . (2x + 1)2 . 2 = 6 . (2x + 1)2
2. Determina a i b per tal que la funció següent sigui derivable en tots els reals.
⎧ e x + a,
f(x) = ⎨ 2
⎩bx + 1,
si x ≤ 0
si x > 0
Per ser derivable, la funció ha de ser contínua:
lim – f(x) = 1 + a; lim + f(x) = 1; f(x) = 1 + a
x 0
x 0
1+a=1 → a=0
Ara, imposem que la funció sigui derivable:
e x, si x ≤ 0
f ’(x) =
2bx, si x > 0
5
f ’(0–) = 1; f ’(0+) = 0 → f ’(0–) = f ’(0+) per a qualsevol valor
real de b. Per tant, no hi ha cap valor real de b pel qual f(x)
sigui derivable en x = 0.
c) Troba els punts de la corba que tenen recta tangent horitzontal.
d) Indica raonadament, sense fer la gràfica de la funció, si
en els punts d’abscissa x = −2 i x = 1 la funció és creixent o decreixent.
a) f ’(x) = 3x2 – 6x + 2
f ’(3) = 11
f(3) = 8 → (3, 8)
y – 8 = 11 . (x – 3) → y = 11x – 25
b) 3x2 – 6x + 2 = 11
3x2 – 6x – 9 = 0
x2 – 2x – 3 = 0 → x = –1, x = 3
En el punt x = –1, la recta tangent a f(x) és paral.lela a la
recta tangent trobada a l’apartat anterior.
c) f ’(x) = 0
→
3
f ’(x) = — .
5
–2
——
x5
3x2 – 6x + 2 = 0
fvvv
3
x = —— + 1
3
fvvv
3
x = –—— + 1
3
→
3
—
b) f (x) = x 5 + 2x
d) f ’(–2) = 32 → f ’(–2) > 0 ⇒ f (x) és creixent en x = –2.
f ’(1) = –1 → f ’(1) < 0 ⇒ f (x) és decreixent en x = 1.
09
MATEMÀTIQUES APLICADES A LES CIÈNCIES SOCIALS 2
Unitat 9. Funcions contínues
i derivades
Activitats
1. Troba i classifica les discontinuïtats que presenta la funció
f(x) = 1 + x2
1-x
7. Considera les funcions f(x) = 2x − 1 i g(x) = x2 + 1. Escriu
f
g
les funcions — (x), — (x), (f % g)(x) i (g % f)(x). Raona
g
f
si les funcions obtingudes són contínues.
1 2 1 2
1 gf 2 (x)
g
1 f 2 (x)
2x 1
x2 + 1
x2 + 1
2x 1
2
Hi ha discontinuïtat evitable a x = −1.
( f % g)(x)
2 x +1
A x = 1 hi ha discontinuïtat asimptòtica.
(g% f )(x)
^2
2. Una funció f(x) és tal que Df = ⺢ − {2, −3}. Què pots dir de
la continuïtat de la funció en els punts x = 2 i x = −3?
ƒ(x) no és contínua a x = 2 i x = −3, ja que no està definida per
aquests valors de x.
Z 2
si x 1 0
]] x
si 0 # x # 3
3. Considera la funció següent f (x) = [2
] x - 1 si 3 1 x
\
Què pots dir de la continuïtat en els punts x = 0 i x = 3?
A x = 0 hi ha una discontinuïtat de salt i a x = 3 la funció és
contínua.
4. A partir de les funcions f(x) = x2 + 1 i g(x) = x3 − 1, escriu
f
les funcions (f + g)(x), (f · g)(x) i g (x).
1 2
Són contínues les funcions que has obtingut? Raona la teva
resposta.
(f + g)(x) = x3 + x2
(f · g)(x) = x5 + x3 − x2 − 1 són contínues.
1 gf 2 (x)
x 2 + 1 és discontínua a x = 1.
x3 1
5. Descompon la funció f(x) = 5x4 · e x en tres factors que siguin funcions contínues.
Cal triar tres factors que donin la funció proposada. Per exemple: m(x) = 5x, g(x) = x3 i h(x) = ex.
6. Raona la continuïtat de les funcions f(x) = x2 i g(x) = ln x.
f (x )
i dóna el seu domini.
Escriu la funció
g (x )
f(x) és contínua per ser una funció polinòmica.
g(x) és contínua en tot el seu domini: Dg = (0, +`).
f] x g
g] x g
x2 ; D
ln x f/g
^0, 1h U ^1, +3h
93
x
1
2
1h + 1
g
Només — (x) és discontínua a x = 0, ja que 20 − 1 = 0.
f
1 2
8. Explica un fet quotidià que posi de manifest el teorema
dels valors intermedis.
Per exemple, en un trajecte passar per un km deter minat.
9. Considera la funció f(x) = 2x4 − 14x2 + 14x − 1. Explica
per què es pot aplicar el teorema de Bolzano en l’interval
[0, 1]. Troba un valor aproximat a les centèsimes de c tal
que f(c) = 0 en aquest interval.
Es pot aplicar el teorema de Bolzano ja que ƒ(0) = −1 i
ƒ(1) = 1 i ƒ(x) és contínua en l’interval [0, 1]. Per aproximacions d’intervals més petits es pot obtenir: c b 0,08.
10. Separa dues arrels de la funció següent:
f(x) = x3 − 3x
Té solucions immediates: x1 = 0, x2 =
3 i x2 = − 3 .
11. Calcula els valors de f(x) = x7 + 3x + 3 a x = 0 i x = −1. Pots
determinar si la gràfica de la funció talla l’eix de les abscisses en algun punt entre −1 i 0? Troba aquest punt amb
una aproximació fins a les centèsimes.
ƒ(0) = 3 i ƒ(−1) = −1. Com que obtenim valors de signe diferent
en els extrems i la funció és un polinomi, es pot assegurar
l’existència del punt de tall amb l’eix de les abscisses. Utilitzant successius valors de x entre −1 i 0 s’obté que aquest punt
és: c ≅ −0,89.
12. Considera la funció f(x) = x2 − 2x + 1. És una funció contínua que té per gràfica una paràbola. Existeix un punt c tal
que ƒ(c) = 0? Explica si en aquesta funció es pot aplicar el
teorema de Bolzano en l’interval [0, 2].
Si es resol l’equació x2 − 2x + 1 = 0, s’obté com a solució:
x = c = 1. No es pot aplicar Bolzano en l’interval [0, 2] ja que
ƒ(0) · ƒ(2) > 0.
13. Troba el màxim i el mínim absoluts de la funció ƒ(x) = −x2 + 2x
en l’interval [−1, 2]. Representa gràficament la funció per
ajudar-te a trobar la solució.
ƒ(−1) = −3, ƒ(2) = 0, ƒ’(x) = −2x + 2 = 0 → x = 1, ƒ(1) = 1. Per
tant, comparant aquests tres valors de la funció tenim: màxim
absolut a x = 1 i mínims absolut a x = −1.
09
94
SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE
y
2
verifica les condicions
(x - 1) 2
del teorema de Rolle a l’interval [0, 2].
20. Esbrina si la funció f (x) =
No verifica el teorema de Rolle ja que a x = 1 d [0, 2] presenta
una discontinuïtat.
x
21. Considera la funció f(x) = x3 − 3x2 en l’interval [0, 3] i
aplica el teorema de Rolle en aquest interval. Quin és el
punt c que prediu el teorema? Hi ha algun altre punt que
no pertany a (0, 3) en què també s’anul·li la derivada?
Es pot aplicar el teorema de Rolle ja que ƒ(0) = ƒ(3) = 0 i ƒ(x)
és contínua en aquest interval; ƒ ’(x) = 3x2− 6x = 0 → x = 0,
x = 2.
3
14. Verifica si la funció f (x) = 10 té màxim i mínim absox-2
luts en l’interval [0, 4]. Raona la teva resposta.
En l’interval [0, 4], ƒ(x) presenta una discontinuïtat a x = 2.
lim f (x)
3 i lim f (x)
x"2
mínims absoluts.
x"2
+
+ 3, per tant, no té màxims ni
15. Troba els punts de la funció y = 2 1
en els quals no
x -1
sigui derivable.
c = 2, ja que pertany a l'interval (0, 3).
També en el punt x = 0 la derivada de ƒ(x) s'anul·la.
22. Demostra que a la funció f(x) = x se li pot aplicar el
teorema del valor mitjà en l’interval (0, 1). Troba el punt
c de l’interval en què f ’(c) = 1. Troba l’equació de la recta
tangent a la corba en aquest punt.
La funció és contínua i derivable en l’interval (0, 1) i es pot
aplicar el teorema del valor mitjà:
A x = 1 i x = −1, valors que anul·len el denominador i no són
del domini de la funció i la funció no és contínua i, per tant,
no és derivable.
16. Considera la funció f(x) = 3x − 8x + 6x . Troba’n els punts
estacionaris i classifica’ls.
4
3
2
Calculem els valors que anul·len la derivada.
ƒ’(x) = 12x3− 24x2 + 12x = 0. Obtenim x = 0 i x = 1 (arrel doble).
Substituits a la segona derivada ƒ’’(x) = 36x2 − 48x + 12, indiquen que a x = 0 hi ha un mínim relatiu i a x = 1 hi ha un punt
d’inflexió de tangent horitzontal.
17. Interpreta el valor de la derivada de la funció y = x3 − 1 en
el punt x = 0.
ƒ ’(x) = 3x2 i ƒ ’’(x) = 6x, indiquen que a x = 0 hi ha un punt
d’inflexió de tangent horitzontal ja que s’anul·len la primera i
la segona derivada.
18. Troba la derivada de les funcions f(x) = e2x i g(x) = ln x.
Tenen punts estacionaris aquestes funcions? Raona la teva
resposta.
ƒ ’(x) = 2e2x, g ’(x) = 1x . No hi ha cap valor de x que anul·li
aquestes derivades, per tant les funcions no tenen cap punt
estacionari.
19. Considera la funció f(x) = x2 − 6x + 9 en l’interval [0, 6].
Aplica-li el teorema de Rolle per trobar un punt c tal que
ƒ’(c) = 0.
ƒ(0) = ƒ(6) = 9 i es pot aplicar el teorema de Rolle ja que ƒ(x)
és contínua.
Calculem la derivada: ƒ ’(x) = 2x − 6 = 0 → x = 3, c = 3.
Equació recta tangent: y = x + 14
23. Demostra que la funció f (x) = 1x és decreixent en tot el
seu domini.
1 < 0, 6 x ! D , ja que, x2 és sempre positiu.
f
x2
f l (x)
24. Troba per a la funció f (x) = 12
x
a) L’interval en què és creixent.
b) L’interval en què és decreixent.
ƒ ’(x) = - 32
x
a) f(x) és creixent si x < 0, ja que ƒ’(x) és positiva.
b) f(x) és decreixent si x > 0, ja que ƒ ’(x) és negativa.
25. Troba els punts de la funció f(x) = x3 − 4x − 1 que verifiquen
ƒ’(x) = 0. Classifica’ls i expressa els intervals de monotonia.
ƒ’(x) = 3x2 − 4 = 0 → x1 = 2 i x2 = - 2 .
3
3
2
ƒ’’(x) = 6x → ƒ’’ d
n > 0 és un mínim relatiu.
3
ƒ’’ d - 2 n < 0 és un màxim relatiu.
3
Creixent: −∞, - 2 i 2 , +∞
3
3
2
2
Decreixent:
,
3
3
1
1
2 1
2
2
09
MATEMÀTIQUES APLICADES A LES CIÈNCIES SOCIALS 2
26. Estudia la primera i la segona derivada de la funció
f(x) = ln (x2+ 1) per trobar possibles màxims o mínims relatius. Vigila a l’hora d’interpretar els valors que anul·len
la segona derivada.
per tant, en el punt (0, 0) hi ha un mínim relatiu. Els valors
que anul·len la segona derivada són 1 i −1 que sí que són del
domini de la funció.
95
2. Calcula la funció derivada de cadascuna de les funcions
següents:
a) f(x) = 13 + 1x + π
x
b) f(x) = x3 ln x 4
c) f(x) = 2e0,3x
d) f(x) = 43x + 1
e) f(x) =
1+x
(1 - x) 3
2x
g) f(x) = 25 + e2x
1+e
f) f(x) = 2 500 · 1,05x
h) f(x) =
x2
x -1
2
27. Troba els extrems relatius de les funcions:
a) f(x) = x + 1x
a) f ’(x) = -43 - 12
x
x
b) f(x) = x (x − 1)2 − x
b) f ’(x) = 3x2 ln x4 + 4x2
c) f(x) = e x · x
c) f ’(x) = 0,6 e0,3x
x
d) f(x) = e 2 per a x ≠ 0
x
d) f ’(x) = 43x + 1 3 ln 4
a)
ƒ’’(1) = 2 > 0 i és un mínim relatiu, ƒ’’(−1) = −2 < 0 i és un
màxim relatiu.
b) f’(x) = 3x2 −4x = 0 → x1 = 0 i x2 = 43 ; ƒ’’(x) = 6x − 4.
ƒ’’(0) = −4 < 0 i és un màxim relatiu, ƒ’’ b 43 l = 4 > 0 i és un
mínim relatiu.
e) f ’(x) =
2x + 4
x g4
]1
f) f ’(x) = 2 500 · 1,05x ln 1,05
2x
g) f ’(x) = - 48e2x 2
^1 + e h
h) f ’(x) =
- 2x
^ x 2 - 1 h2
c) f’(x) = e x(1 + x) = 0 → x = −1; ƒ’’(x) = e x(2 + x) →
ƒ’’(−1) = e −1 > 0 i és un mínim relatiu.
e x ] x 2g
0"x 2
x3
(es pot simplificar la derivada perquè x ≠ 0);
d) f l(x)
f m(x)
e x ^ x2
4x + 6 h
x
4
" f m(2)
e2 > 0
8
3. La funció f(x) = x2 + x + 1 és contínua. Explica si es pot
aplicar el teorema de Bolzano en algun interval. Té alguna
arrel l’equació f(x) = 0?
ƒ(x) = 0 no té cap arrel ja que el discriminant de l’equació és
negatiu. La seva gràfica no talla l’eix OX.
Per tant, no es pot aplicar el teorema de Bolzano. A més,
x2 + x + 1 > 0, 6x ∈ R.
i és un mínim.
Activitats finals
1. Raona la continuïtat de les funcions:
a) f(x) = ln (x + 1)
2
b) f(x) = x2·e x + 1
2
c) f(x) = x 3 + 1
x +1
x
e
d) f(x) = x
a) Contínua 6x d ⺢, ja que x2 + 1 > 0.
b) Producte de dues funcions contínues. Per tant, ƒ (x) és
contínua.
c) Discontínua a x = −1, ja que x3 + 1 = 0 → x = −1 i la discontinuïtat és asimptòtica.
d) A x = 0 hi ha una discontinuïtat asimptòtica.
4. Dóna un raonament per tal de justificar que la funció
f(x) = x5 + 5x3 + 2x talla l’eix de les abscisses en un sol
punt.
ƒ(x) = x(x4 + 5x2 + 1) talla l’eix de les abscisses a x = 0.
ƒ(x) > 0, 6x > 0, i f(x) < 0, 6x < 0, ja que el polinomi de quart
grau del parèntesi és sempre positiu.
5. Estudia la derivabilitat de la funció f(x) =
punt x = 0.
x + 1 en el
ƒ(x) és contínua i derivable a x = 0, ja que aquest punt és del
1
.
domini de la funció i també de la derivada: f l(x)
2 x+1
6. Demostra que f(x) = 2x és decreixent en tot el seu dox-1
mini.
ƒ’(x) = - 2 2 < 0, 6x 苸 Df, per tant, la funció és decreixent.
] x - 1g
09
96
SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE
7. Calcula les tres primeres derivades de f (x) =
una expressió per a la derivada enèsima.
3
x . Troba
1 x -32, f m(x)
2 -35 n
10 - 83
3
9 x , f (x) 27 x
a1. .... an a 3
(n)
f (x)
x
amb an
3n + 4
3n
f l (x)
n+1
8. Troba l’equació de la recta tangent a la corba següent:
y = x3 − 3x en el punt d’abscissa −1.
y’(x) = 3x2 − 3, y’(−1) = 0 = m i el punt de tangència és (−1, 2).
L’equació de la recta tangent és: y = 2.
-1
és creixent en tot el seu domini.
(x + 1) 2
Què passa en el punt x = −1?
9. Esbrina si f(x) =
f l(x)
2
] x + 1g3
. La funció és creixent per a x > −1 i decreixent
per x < −1. A x = −1 hi ha una discontinuïtat asimptòtica.
10. Calcula la derivada de les funcions següents:
-x
b) f(x) = 2x + 1 2
(1 - x)
a) f(x) = 2 x
4
2-x ln 2 $ 22 x 2-x $ 22 x ln 4
42x
Y 1
b) ƒ’(x) = 2x + 43 amb x =
]1 - x g
ln 8
23x
11. Explica, raonadament, per què les funcions f(x) = e2x i
f(x) = ln x no tenen màxims ni mínims relatius.
ƒ’(x) = 2e2x no s’anul·la per a cap valor de x.
ƒ’(x) = 1x no s’anul·la per a cap valor de x. Cap de les dues
funcions no té màxims ni mínims relatius.
12. Classifica els possibles extrems relatius de les funcions
següents:
a) f(x) = 2 x
ƒ’’ d
d) ƒ’(x) = 4x3 − 2x = 0 → x = 0 i x = ! 12 ; ƒ’’(0) < 0 hi ha un
màxim; ƒ’’ b 12 l = ƒ’’ b- 12 l > 0, hi ha un mínim a cada
punt.
13. Troba els extrems absoluts de f(x) = e x − 1 en l’interval
[−1, 1].
ƒ’(x) = e x que no s’anul·la per a cap valor de x. Per tant els extrems absoluts es troben en els extrems dels interval: màxim
1 .
absolut: ƒ(1) = e − 1, mínim absolut: ƒ(−1) = e 1
14. Estudia la monotonia i dóna els intervals de creixement i
decreixement de les funcions:
a) ƒ(x) = 1 − 2x − 3x2
b) ƒ(x) = x + 1x
d) ƒ(x) = x4 − x2
a) Funció contínua amb ƒ’(x) = −2 − 6x > 0 → x < - 13 . És
creixent: −∞, - 13 i decreixent: - 13 , +∞ .
1
2
2
c) ƒ’(x) = 2x - 2x . Creixent: (−∞, −1) i (1, +∞) i decreixent:
(1, 0) i (0, 1). Hi ha una discontinuïtat asimptòtica a
x = 0.
d) La derivada i els punts estacionaris són a l’activitat 12 d).
1 , +∞ i decreixent: −∞, − 1
És creixent: − 12 , 0 i
2
2
i 0, 12 .
2 1
2
1
2
2
15. Determina els punts d’inflexió de la funció següent:
d) f(x) = x4 − x2
2x $ 2 x ln 2
1
b) ƒ’(x) = 1 - 12 i a x = 0 hi ha una discontinuïtat asimptòtix
ca. És creixent en els intervals (−∞, −1) i (1, + ∞) i decreixent (−1, 0) i (0, 1).
1
c) f(x) = x3 − 5x2 + 6x
f m(x)
2
1
2
b) f(x) = x4 e −x
a) f l( x)
5+ 7 n
> 0 i és un mínim.
3
c) ƒ(x) = x2 − ln x2
Simplifica les expressions obtingudes.
a) ƒ’(x) =
5
7
c) f ’(x) = 3x2 − 10x + 6 = 0 → x = 5 + 7 i x =
3
3
5
7 n
ƒ’’(x) = 6x − 10, ƒ’’ d
< 0 i és un màxim;
3
0"x
f(x) =
0
1
1 + x2
ln 2 (2 $ 2 x + 4x 22 x ln 2)
2
2
ƒ’’(0) = 2 ln 2 > 0 → a x = 0 hi ha un mínim relatiu.
b) f l (x)
f m (x)
x 3 e- x ] 4
x
2
$
e
-x
$
xg 0 " x 0 i x 4 ;
^12 8x + x 2 h, f m (4) < 0
ƒ’’(0) = 0 → màxim: x = 4 i punt d’inflexió: x = 0.
Punts d’inflexió: x = !
na derivada.
1 , que són els que anul·len la sego3
MATEMÀTIQUES APLICADES A LES CIÈNCIES SOCIALS 2
16. Calcula la primera i la segona derivada de la funció
f(x) = (x − 1)3. S’anul·len les dues derivades en un mateix
punt? Troba aquest punt i explica de quin tipus és.
ƒ’(x) = 3(x − 1)2; ƒ’’(x) = 6(x − 1). A x = 1 hi ha un punt
d’inflexió de tangent horitzontal ja que aquest valor anul·la
les dues derivades.
17. Considera la funció f(x) = x3 + ax2 + bx + 7. Troba a i b de
manera que la gràfica de la funció tingui a x = 1 un punt
d’inflexió de tangent horitzontal.
Els punts estacionaris anul·len la primera derivada:
09
97
a) Hem de tenir f ’(3) = 0. Ara, f ’(x) = - 2a - 123 . O sigui que
x
x
f ’(3) = - 3a27- 12 . Igualant a 0, tenim a = −4.
b) Per veure el caràcter de l’extrem, calculem la derivada segona, f ’’(x) = - 83 + 364 .
x
x
4
f ’’(3) = 27 2 0 per tant l’extrem és un mínim relatiu.
2. La gràfica següent correspon a una funció f: [2, 6] → ⺢ derivable i amb derivada contínua. Fes un esbós de la gràfica
de f ’: (2, 6) → ⺢ i justifica’n el perquè.
ƒ’(x) = 3x2 + 2ax + b → ƒ’(1) = 0 → 3 + 2a + b = 0
Els punts d'inflexió anul·len la segona derivada:
ƒ’’(x) = 6x + 2a → ƒ’’(1) = 0 → a = −3 i b = 3
La funció té un punt d'inflexió a x = 1 per a b = 3.
18. Determina f(x) sabent que la derivada tercera és f’’’(x) = 24x,
f(0) = 0, f’(0) = 1 i f’’(0) = 2.
ƒ(x) = ax4 + bx3 + cx2 + dx + e, e = 0, ja que ƒ(0) = 0
ƒ’(x) = 4ax3 + 3bx2 + 2cx + d → ƒ’(0) = 1 → d = 1
ƒ’’(x) = 12ax2 + 6bx + 2c → ƒ’’(0) = 2 → c = 1
La gràfica d’una funció més o menys en forma de paràbola en
forma de ,, que sigui decreixent a [−∞, 4] i creixent a [4, +∞];
que s’anul·li a 3 i a 5 i que tingui un mínim a 4.
ƒ’’’(x) = 24ax + 6b = 24x → b = 0 i a = 1
La funció és: ƒ(x) = x4 + x2 + x
19. Analitza la continuïtat i la derivabilitat de la funció
f (x) = x si x ≠ 0 i ƒ(0) = 0.
x
La funció presenta una discontinuïtat de salt a x = 0 ja que els
límits laterals en aquest punt són diferents. No és derivable
en aquest punt.
20. Raona si la funció f(x) = x6 − 6x2 + 3 té alguna arrel entre
0 i 1. Troba aquest valor amb una aproximació fins a les
centèsimes.
ƒ(0) = 3, ƒ(1) = −2. Com que ƒ(0) · ƒ(1) < 0, la funció té
una arrel en aquest interval. Per aproximacions: c b 0,72 i
c d [0,1] tal que ƒ(c) = 0.
3. Considera la funció següent on a és un nombre real.
ax
si x ≤ 0
⎪⎧e
f(x) = ⎨
⎩⎪2 x + 1 si x > 0
f (x) i comprova que f(x) és contínua en x = 0.
a) Calcula lim
x"0
Avaluació
a 6
1. (Curs 2003-2004) Considera la funció f ( x ) = 1 + + 2 on
x x
a és un nombre real:
a) Calcula el valor del nombre real a sabent que f(x) té un
extrem relatiu en el punt d’abscissa x = 3.
b) Aquest extrem relatiu, es tracta d’un màxim o d’un mínim? Raona la resposta.
b) Per a quin valor del paràmetre a, la funció f(x) és derivable en x = 0?
a) lim
f (x) = 1; lim
f (x) = 1; f (0) = 1. Per tant, f(x) és contíx"0
x " 0+
nua en x = 0.
b) f ’(x) =
a · eax, x ≤ 0
2,
x>0
f ’(0−) = a; f ’(0+) = 2. Per tant, f (x) és derivable en x = 0 per
a a = 2.
98
09
SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE
4. (Curs 2002-2003) Com a resultat del test efectuat amb un
nou model d’automòbil per determinar-ne el consum de
benzina, s’ha observat que, per a velocitats compreses entre
25 i 175 km/h, el consum C(x) de gasolina, expressat en
litres consumits en 100 km, fets a la velocitat constant de
x km/h, es pot aproximar per la funció
b) La gràfica de C(x) és una paràbola que té un límit absolut.
Per determinar-lo igualem la derivada
C ’(x) = −0,05 + 0,0005x
a 0 i obtenim x = 100 km/h. Per aquesta velocitat el consum
és C(100) = 5 litres en 100 km, que serà el consum mínim.
C(x) 5 7,5 2 0,05 x 1 0,00025 x2
a) Determina el consum a les velocitats de 50 km/h i de
150 km/h.
b) A quina velocitat s’obté el mínim consum? Quin és aquest
consum mínim?
c) Fes un estudi del creixement i decreixement de la funció
C(x) a l’interval [25, 175]. Determina les velocitats que
corresponen al consum màxim, així com aquest consum.
a) C (50)
C (150)
7,5 0,05 $ 50 + 0,00025 $ 50 2
5,625 L/100 k m
7,5 0,05 $ 150 + 0,00025 $ 150 2
5,625 L/100 km
c) La funció derivada C ’(x) s’anul·la per a x = 100, on té el
límit. Per a valors de x inferiors, esdevé negativa, ja que
el coeficient de la x és positiu i, per tant, en disminuir la x
a partir del valor que anul·la la derivada, aquesta esdevindrà negativa. A l’inrevés passa quan x s’incrementa a partir
d’aquest valor. Per tant la funció és decreixent en l’interval
(−∞, 100) i creixent en l’interval (100, +∞), i assoleix el
mínim absolut i relatiu en el punt (100, 5). El màxim absolut
en l’interval [25, 175] s’assolirà en un dels dos extrems de
l’interval (o en tots dos).
Obtenim els valors C(25) = C(175) = 6,41 litres en 100 km,
que és el consum màxim que s’assolirà per les dues velocitats de 25 i 175 km/h.
10
MATEMÀTIQUES APLICADES A LES CIÈNCIES SOCIALS 2
99
Unitat 10. Aplicacions
de la derivada
a) Df = − {−1}, lim x 1 = ∞, presenta una discontinuïtat
x " -1 x + 1
asimptòtica en x = −1.
Activitats
b) En ser ƒ(−x) = − x + 1 , vol dir que ƒ(−x) ≠ ƒ(x) i ƒ(−x) ≠ −ƒ(x),
1 x
per tant la funció no és parella ni imparella, la gràfica no és
simètrica ni respecte de l’eix d’ordenades ni respecte de
l’origen.
1. A partir d’una taula de valors, representa gràficament la
funció f (x) = 2 .
x-2
c) ƒ(x) = 0 → x − 1 = 0 → x = 1, talla l’eix d’abscisses en el punt
(1, 0). ƒ(0) = −1, talla l’eix d’ordenades en el punt (0, −1).
Dóna tota la informació possible de la funció.
y
4. Troba el recorregut de la funció de l’activitat anterior a
partir del domini de la funció inversa.
x
−1
ƒ −1(x) = 11 +
- x → Df = − {1}.
5. a) Per què la gràfica d’una funció no pot ser simètrica respecte de l’eix d’abscisses?
x
2
b) Per què la gràfica d’una funció pot tallar com a màxim
per un punt l’eix OY?
c) Si Df = − {0}, la gràfica de la funció ƒ(x) talla l’eix
d’ordenades?
Justifica les respostes.
a) Hi hauria valors de x que tindrien dues imatges.
x
–2
0
4
6
f(x)
−1
2
−1
1
1
2
Talla l’eix d’ordenades en el punt (0, −1). No és simètrica ni
respecte de l’eix d’ordenades ni respecte de l’origen. És decreixent en tot el seu domini.
2. Estudia les simetries i indica els punts de tall amb els
eixos de la funció:
x3
x +2
2
] x g3
] x g2 + 2
x3
f (x), la funció és imx +2
parella, per tant és simètrica respecte de l’origen de coordenades.
Com que f(−x) =
f (x) = 0 "
l’origen.
c) No, ja que si Df = − {0} el valor x = 0 no té imatge.
6. Justifica de manera raonada per què la gràfica d’una funció
no talla en cap punt una asímptota vertical.
Df = − {2}, Rf = − {0}
f (x) =
b) Si tallés en més d’un punt l’eix OY, el valor x = 0 tindria més
d’una imatge.
2
3
x = 0 " x3 = 0 " x = 0 , talla els eixos en
x2 + 2
3. Donada la funció f (x) = x - 1 dedueix-ne:
x+1
a) El domini i els tipus de discontinuïtats.
b) Les simetries.
c) Els punts de tall amb els eixos de coordenades.
Si la gràfica tallés una asímptota vertical, el valor de x corresponent hauria de pertànyer al domini, però no hi pertany.
7. Demostra que les funcions polinòmiques no tenen asímptotes de cap tipus.
p (x) = ∞, fa que no tingui asímptotes horitzontals,
En ser xlim
"3
p] x g
com que m = lim x = 3, tampoc en té d’obliqües i com
x"3
que Dp = , tampoc en té de verticals.
8. Troba, si n’hi ha, els punts de tall de l’asímptota obliqua i
la gràfica de la funció de l’exemple 1 apartat b.
2
No es tallen en cap punt, ja que l’equació 4 -x 2x = - 12 x - 1,
no té solució.
9. Troba les asímptotes de les funcions següents:
a) f (x) = x2 + 3
x -4
x3
b) f (x) = 2
x2 + 1
2
c) f (x) = x -x 1
e
3
e) f (x) = x
x-5
d) f (x) = 3 - 4x
2x + 6
3
f) f (x) =
(x + 1) 2
10
100
SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE
a) Df = − {−2, 2}
lim x2 + 3
x 4
x+3
3 lim
2
x" 2 x
4
x " -2
lim x2+ 3
x 4
3
x"3
11. Estudia els intervals de creixement i decreixement de les
funcions següents:
0
verticals: x = −2 i x = 2, horitzontal: y = 0, no en té
d’obliqües.
b) Df = , no té asímptotes verticals
3
lim
x " !3
m
2x = ±3, tampoc no en té d’horitzontals.
x2 + 1
2
2x3
lim
lim 22x
2
x " ! 3 x ^ x 2 + 1h
x " !3 x + 1
3
n
lim c 22x
x " !3
x +1
lim 2 2x
x " !3 x + 1
2x m
0
asímptota obliqua: y = 2x
x2
lim
x
1 0 → asímptota horitzontal:
ex
y = 0 per a x → +3
" +3
x 1
m xlim
" -3
ex
x → −3
m
3 → no té asímptota horitzontal per a
3 → no té asímptotes obliqües.
3 4x
d) Df = − {−3}; xlim
" - 3 2x + 6
asímptota vertical.
3 " la recta x = −3 és una
lim 32x +46x
2 → la recta y = −2 és una asímptota horitzontal. No en té d’obliqües.
e) Df = − {5}; lim
x"5 x
tota vertical.
3
m
lim
x3
3 " la recta x = 5 és una asímp-
5
+3 no té cap asímptota horitzontal.
x ]x
tota obliqua.
x " !3
x3
2
5g
f) Df = − {−1}; lim
x " -1
lim x x 5
x " !3
3
] x + 1g2
!3 no té cap asímp-
+3 " la recta x = −1 és una
asímptota vertical.
lim
x " !3
3
] x + 1g2
x
d) f (x) = ex
2 < 0, 6x !
Df = − {1}, la funció
1g2
és decreixent en tot el seu domini.
a) ƒ ’(x) = fl(x)
]x
b) Df = , f l(x)
x =! 1
2
2 4 x2 , f l(x)
2
^2x 2 + 1h
0"2
4x2
0,
ƒ ’(−1) < 0 → és decreixent en −∞, - 1 , ƒ ’(0) > 0 → és
2
creixent en d - 1 , 1 n i ƒ’(1) < 0 → és decreixent en
2 2
- 1 , +∞ .
2
1
2
2
c) Df = + − {1}, f l(x)
→ ln x = 1 → x = e
ln x 1, fl(x)
ln 2x
0 " ln x
1
0
ƒ ’(2) < 0 → en l’interval (1, e) és decreixent.
ƒ’(3) > 0 → en l’interval (e, +∞) és creixent.
d) Df = − {0}, f l(x )
x " !3
lim x x 5
c) f (x) = x
ln x
2x
2x 2 + 1
ƒ ’(5) < 0 → en l’interval (0, 1) és decreixent.
2
lim x x 1
x " -3
xe
x " !3
b) f (x) =
1
c) Df = , no té asímptotes verticals.
2
a) f (x) = x + 1
x-1
0 " la recta y = 0 és una asímptota horit-
zontal. No té asímptotes obliqües.
10. Justifica la certesa o falsedat de les afirmacions següents:
a) Si ƒ(x) és creixent en el punt x = xo, aleshores ƒ’(xo) > 0.
b) Si ƒ(x) és decreixent en el punt x = xo, aleshores ƒ’(xo) ≤ 0.
a) Fals. Per exemple, la funció ƒ(x) = x és creixent en tots els
reals i en canvi ƒ’(0) = 0.
3
b) Veritat, ja que si la funció és decreixent la funció derivada
no és positiva.
e x ] x 1g
, fl(x)
x2
0"x
1
ƒ ’(−1) < 0, ƒ ’ b 12 l < 0 i ƒ ’(2) > 0 → decreix en (−∞, 0) i
(0, 1) i creix en (1, +∞).
12. És possible que la derivada d’una funció sigui nul·la en un
punt i, alhora, que la funció sigui creixent en aquest mateix punt? Justifica la resposta.
Sí que és possible, per exemple, la funció ƒ(x) = x5 és creixent
en tots els reals i en canvi la funció ƒ’(x) s’anul·la en el punt
x = 0.
13. Sabem que el domini de definició d’una certa funció ƒ(x)
és , i que és derivable en tots els reals. Sigui a un punt
de l’eix d’abscisses. Si la derivada de ƒ(x) en qualsevol
punt d’abscissa més petita que a és positiva i en qualsevol punt d’abscissa més gran que a la derivada de ƒ(x) és
negativa, que podem dir del punt a? Raona la resposta i
posa un exemple d’una funció en què passi això.
La funció sent contínua i derivable en x = a passa de creixent
a decreixent, ja que la derivada passa de positiva a negativa,
per tant en x = a la funció presenta un màxim relatiu.
Per exemple la funció ƒ(x) = −x 2 en el punt x = 0.
14. Esbrina els màxims, els mínims i els punts d’inflexió de
tangent horitzontal de les funcions:
a) f(x) = 3x4 − 6x2
(x + 1)2
c) f(x) =
ex
b) f(x) = x4 + 2x3
d) f(x) =
4
x2 + 8
10
MATEMÀTIQUES APLICADES A LES CIÈNCIES SOCIALS 2
e) f(x) = 4x3 − 6
f) f(x) =
1
x +1
101
e) ƒ ’(x) = 12x2; 12x2 = 0, x = 0
2
a) ƒ ’(x) = 12x3 − 12x
12x3 − 12x = 0 → x = 0, x = ±1
En x = 0 hi ha un punt d’inflexió de tangent horitzontal.
f) ƒ ’(x) =
2x
, ƒ ’(x) = 0 → −2x = 0 → x = 0
(x 2 + 1) 2
En x = −1 hi ha un mínim, en x = 0 hi ha un màxim i en
x = 1 hi ha un altre mínim.
b) ƒ ’(x) = 4x3 + 6x2
4x3 + 6x2 = 0 → x = 0, x = − 23
La funció presenta un màxim en el punt d’abscissa x = 0.
15. Dibuixa les gràfiques de ƒ’(x) i de ƒ’’(x) a partir de la
gràfica de ƒ(x).
y
En el punt x = − 23 la funció presenta un mínim i en el punt
x = 0 hi ha un punt d’inflexió de tangent horitzontal.
x
O
2
c) ƒ ’(x) = 1 -x x , ƒ ’(x) = 0 → 1 − x2 = 0 → x = ±1
e
y
x
O
En x = −1 hi ha un mínim i en x = 1 un màxim.
d) ƒ ’(x) =
f’
- 4x , ƒ ’(x) = 0 → −4x = 0 → x = 0
(x 2 + 8) 3
x
O
f’’
En x = 0 la funció presenta un màxim.
16. Considera la funció f(x) = x2 − 4x. Dibuixa la gràfica de la
funció derivada ƒ’(x), i, a partir de la gràfica de ƒ’(x), estudia els intervals de creixement i decreixement de ƒ(x) i
els seus punts estacionaris.
10
102
SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE
20. Dibuixa la gràfica de les funcions:
a) ƒ(x) = 6x2 − 2x3
b) ƒ(x) = x -2 1
x
2
c) ƒ(x) = x 2- x
8x + 1
2
d) ƒ(x) = x + 3x
x-1
A partir de les gràfiques dibuixades, informa sobre les simetries, el recorregut i els màxims i mínims absoluts de
cada funció.
a)
y
Per a x0 d (−∞, 2) ƒ ’(x0) < 0 → ƒ decreix en l’interval (−∞, 2)
Per a x0 d (2, +∞) ƒ ’(x0) > 0 → ƒ creix en l’interval (2, +∞)
Per tant en el punt x = 2 la funció presenta un mínim.
x
17. Considera les funcions dels apartats a) i b) de l’activitat 14:
de cada una d’aquestes, dedueix-ne els màxims i els mínims
aplicant el test de la segona derivada. Compara’n els resultats.
Df = . En ser una funció polinòmica no té cap tipus
d’asímptota.
ƒ(x) = 0 → 6x2 − 2x3 = 0 → 2x2 (3 − x) = 0 → x = 0, x = 3;
talla els eixos en (0, 0) i (3, 0).
a) ƒ ’’(x) = 36x2 − 12
ƒ ’’(−1) = 24 > 0 → en x = −1 hi ha un mínim.
ƒ ’(x) = 12x − 6x2
ƒ ’’(0) = −12 < 0 → en x = 0 hi ha un màxim.
ƒ ’(x) = 0 → 12x − 6x2 = 0 → 6x (2 − x) = 0 → x = 0, x = 2
ƒ ’’(1) = 24 > 0 → en x = 1 hi ha un mínim.
ƒ ’’(x) = 12 − 12x
ƒ ’’(0) = 12 > 0 → a l’origen hi ha un mínim.
b) ƒ ’’(x) = 12x2 + 12x
ƒ ’’(2) = −12 < 0 → en el punt (2, 8) hi ha un màxim.
ƒ ’’ b -23 l = 9 > 0 → en x = -23 hi ha un mínim.
No presenta cap tipus de simetria. Rf = , no hi ha cap
punt de la gràfica que sigui un màxim o un mínim absoluts.
ƒ ’’(0) = 0 → en x = 0 no hi ha ni un màxim ni un mínim, hi
haurà, doncs, un punt d’inflexió de tangent horitzontal.
18. Aplicant el test de la segona derivada, dedueix els màxims
2
1
i els mínims de la funció f (x) = x +
x .
f l(x)
x2
f m(x)
2 , f m( 1)
x3
x2
1, f l(x)
0 " x2
1
2< 0" x
0"x
y
b)
!1
x
1 màxim.
ƒ ’’(1) = 2 > 0 → x = 1 mínim.
19. A partir de les gràfiques dels exemples 6 i 7, justifica les
simetries, el recorregut i els màxims i mínims absoluts de
cada una de les funcions.
Exemple 6: la gràfica és simètrica respecte de l’origen. Rf = ,
no té cap màxim ni cap mínim absoluts.
Exemple 7: la gràfica de la funció no és simètrica ni respecte
de l’eix d’ordenades ni respecte de l’origen. Rf = − [0, 1], no
té ni màxim ni mínim absoluts.
x 1
Df = − {0}, lim
x"0
x2
vertical.
lim x
x"3
1
x2
3"x
0 és una asímptota
0 " la recta y = 0 és una asímptota horitzontal.
No en té d’obliqües.
10
MATEMÀTIQUES APLICADES A LES CIÈNCIES SOCIALS 2
ƒ(x) = 0 → x − 1 = 0 → x = 1, talla l’eix d’abscisses en el
punt (1, 0).
d)
103
y
x = 0 z Df → no talla l’eix d’ordenades.
y x
2, ƒ ’(x) = 0 → −x + 2 = 0 → x = 2
ƒ ’(x) = - x +
x3
0
x
0
2
En el punt 2, 14 la funció presenta un màxim.
1
2
No presenta simetries. Rf c 3, 1 E , el punt b2, 14 l és un
4
màxim absolut, no té mínim absolut.
c)
y
Df = − {1}
x 2 + 3x
lim
x 1
x"1
3 " la recta x = 1 és una asímptota vertical.
2
lim xx + 31x
3 " no hi ha asímptotes horit zontals.
x"3
m
n
x
lim xx + 31
2
lim x + 3x
x ] x 1g
2
lim c xx + 31x
x"3
x"3
x"3
1
lim x 4x 1
xm
4
x"3
la recta y = x + 4 és una asímptota obliqua.
Df = → no té asímptotes verticals.
ƒ(x) = 0 → x2 + 3x = 0 → x = −3, x = 0; talla els eixos en
els punts (−3, 0) i (0, 0)
2
1"
lim x 2 x
la recta y = 18 és una asímptota horit8x + 1 8
zontal. No té asímptotes obliqües.
f l(x )
x2
f ’(x)
0 " x2
x"3
ƒ(x) = 0 → x2 − x = 0 → x(x − 1) = 0 → x = 0, x = 1; passa
pels punts (0, 0), (1, 0).
f l(x)
x
8x2 + 2x 1, fl( x)
^ 8x 2 + 1h2
1
1
2 ,x 4
0 " 8x 2 + 2x
1
0"
2x 3
2
1g
]x
f'
+
2x
0 "x
3
_
0
1, x
_
3
0
+
f
x
–¥
–1
màx.
1
disc.
3
mín.
+¥
Hi ha un màxim en (−1, 1) i un mínim en (3, 9).
No és simètrica ni respecte de l’eix d’ordenades, ni respecte de l’origen. Rf = − (1, 9), no té ni màxims ni mínims
absoluts.
21. Dibuixa la gràfica de les funcions següents:
En b -21, 14 l hi ha un màxim, en b 14 , -81 l hi ha un mínim.
La gràfica no és simètrica ni respecte de l’eix d’ordenades,
ni respecte de l’origen.
Rf = ; -81, 14 E , el màxim i el mínim relatius són també absoluts.
a) f(x) = x4 − 4x
1
b) f(x) = x x
a) Df = . És una funció polinòmica, per tant no té cap tipus
d’asímptota.
x4 − 4x = 0 → x = 0, x =
el punt ( 3 4 , 0).
3
4 ; talla els eixos en l’origen i en
10
104
SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE
ƒ ’(x) = 4x3 − 4, ƒ ’(x) = 0 → 4x3 − 4 = 0 → x = 1
x = –a
y
ƒ ’’(x) = 12x , ƒ ’’(1) = 12 > 0 → en el punt (1, −3) hi ha un
mínim.
2
y=x
y
–b
0
b
x
x=a
b) Df = − {0}
lim x x 1
x"0
tical.
x
3 " l’eix d’ordenades és una asímptota ver-
lim x x 1 1 " la recta y = 1 és una asímptota horitzontal. No en té d’obliqües.
x"3
La recta y = x és una asímptota obliqua. Les rectes x = −a i
x = a són asímptotes verticals. En el punt x = −b hi ha un
màxim relatiu, en x = 0 hi ha un punt d’inflexió de tangent
horitzontal i en x = b hi ha un mínim relatiu. Talla els eixos
de coordenades en l’origen, el domini i el recorregut són
Df = − {−a, a} i Rf = respectivament. És una funció imparella, ja que la gràfica és simètrica respecte de l’origen, no té
ni màxim ni mínim absoluts. És creixent en (−∞, −b), (−a, a) i
(b, +∞), i decreixent en (−b, −a) i (a, b).
24. En l’exemple 11, troba el màxim a partir de la variable y.
ƒ(x) = 0 → x = 1, talla l’eix d’abscisses en el punt (1, 0)
x = 0 z Df → no talla l’eix d’ordenades.
x
ƒ ’(x) = 12 , no té cap punt estacionari. Com que ƒ ’(x) > 0,
x
6x d Df ; la funció és creixent en tot el seu domini.
f l( y)
y
30
f l( y)
3
3 2
2 y " f (y)
2 y
3y 20
20 !
Y 6 0,20 h
0"y
3
20y + 17000 "
Per a y = 0 → ƒ(0) = 17 000 cm2. Per a y = 20 → ƒ(20) =
16 000 cm2. La solució és y = 0 → x = 30 cm.
25. Descompon el nombre 36 en dos sumands, tals que el seu
producte sigui màxim.
y
x
ƒ(x) = x(36 − x) = 36x − x2
ƒ ’(x) = 36 − 2x; ƒ ’(x) = 0 → x = 18
26. De tots els triangles rectangles amb hipotenusa igual a
9 cm, calcula el d’area més gran.
xy 2
2
81 " y
2 ix +y
x 81 x 2
81x 2
f (x)
2
2
S
22. Les funcions dibuixades a l’activitat anterior tenen màxim
i mínim absolut? Justifica la resposta.
a) Té un mínim absolut en el punt (1, −3) ja que Rf = [−3, +∞),
i això ens diu que no hi ha cap punt de la gràfica tal que la
seva ordenada sigui més petita que −3.
f l(x)
0 " 81
2x2
b) Rf = − {1} → no té cap màxim ni mínim absoluts.
23. Observa la gràfica de la funció ƒ(x) i dóna tota la informació possible de la funció.
9
2
81
x4
0 " x2
x2
81 2x2
2 81 x 2
81 " x
9 cm
2
2
" f l(x)
10
MATEMÀTIQUES APLICADES A LES CIÈNCIES SOCIALS 2
ƒ(x) = (30 − x)(300 + 30x) = −30x2 + 600x + 9 000
El valor x = 9 cm maximitza l’àrea del triangle.
2
ƒ
ƒ ’(x) = −60x + 600, ƒ ’(x) = 0 → x = 10
1 92 2 = 814 cm
ƒ ’’(x) = −60, ƒ ’’(10) = −60 < 0 és un màxim.
2
Per tant, x = 10 és un màxim.
27. Suposem que, després de la ingestió d’una beguda alcohòlica, a l’instant x = 0, la concentració en g/L d’alcohol a
la sang respon a la funció següent:
ƒ(x) = x · e1 − x, on x és el temps expressat en hores.
a) Calcula la derivada de la funció ƒ(x).
b) Calcula l’instant en què la concentració d’alcohol a la
sang serà màxima i el valor que tindrà.
a) ƒ ’(x) = e
1−x
(1 − x)
b) ƒ ’(x) = 0 → e
105
1−x
Ha de perdre 10 llogaters, per tant, ha de tenir 20 pisos llogats a 600 € al mes.
31. Demostra que, de tots els rectangles de perímetre 4p, el
rectangle que té àrea màxima és el quadrat de costat p.
Comparar-ho per a rectangles de 20 cm de perímetre.
L’àrea del quadrat de costat p és Sc = p2.
L’àrea del rectangle de perímetre 4p, és Sr = (2p − q)q = 2pq − q2.
Com que (p − q)2 > 0 → p2 − 2pq + q2 > 0
(1 − x) = 0 → 1 − x = 0 → x = 1
p2 > 2pq − q2 → Sc > Sr
Si 4p = 20 → p = 5 cm
Sc = 25 cm2 és l’àrea màxima.
Activitats finals
La concentració d’alcohol serà màxima en l’instant x = 1, i
valdrà ƒ(1) = 1 g/L.
1. Dibuixa la gràfica de la funció ƒ(x) = x 2 - x . Estudia la
continuïtat i la derivabilitat en els punts x = 0 i x = 1.
y
28. Troba dos nombres tals que el seu producte sigui 12 i la
seva suma sigui mínima.
f (x)
x + 12
x
f l(x)
12
x2
0 " 1 122
x
fl( x)
1
0 " x2
12 " x
! 12
!2 3
1
—
4
El valor x = y = −2 3 fa mínima la suma.
29. Es vol construir un marc de fusta de 8 m2 de superfície.
Sabent que el tros de marc horitzontal costa 2 € el metre i
el tros vertical 4 €, calcula les dimensions que cal donar al
marc perquè el cost sigui mínim. Calcula el preu del marc.
32
ƒ(x) = 2x + ——
x
32
ƒ ’(x) = 0 → x = 4
ƒ ’(x) = 2 − ——,
x2
64
ƒ ’’(x) = ——,
ƒ ’’(4) = 1 > 0 → x = 4 m el tros horitzontal, mix3
nimitza el cost.
30. El propietari d’un immoble de 30 pisos els té tots llogats
a 300 € al mes. Per cada 30 € d’augment en el preu del
lloguer perd un llogater. Quin és el preu del lloguer que
produeix més guanys al propietari?
Sigui x el nombre de llogaters que marxen, la funció a optimitzar és:
x
1
—
2
En els punts x = 0 i x = 1 la funció és contínua, però no derivable.
2. Tenim una funció ƒ(x) de la qual sabem que la seva derivada ƒ’(x) s’anul.la en x = 1, x = 2 i x = 3, tal com indica la
figura. Digues quins valors de x corresponen a mínims relatius de ƒ(x). Explica el perquè de la teva resposta.
y
0
f ’(x)
1
2
3
x
10
106
SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE
En el punt x = 1, la funció ƒ ’(x) s’anul.la i passa de positiva
a negativa, per tant la funció ƒ(x) passa de creixent a decreixent, aleshores en x = 1 hi ha un màxim.
En el punt x = 0 també s’anul.la ƒ ’(x), però no canvia de signe,
continua sent negativa, per tant la funció ƒ(x) és decreixent
en aquest punt, aleshores en x = 0 hi ha un punt d’inflexió de
tangent horitzontal.
En el punt x = 3 tenim que ƒ ’(3) = 0, i la derivada passa de
negativa a positiva, la funció ƒ(x) passa de decreixent a
creixent, aleshores en x = 3 hi ha un mínim.
3. Sigui ƒ(x) una funció contínua i derivable en tots els reals.
Sabent que ƒ’(a) = 0, podem afirmar que ƒ(x) té necessàriament un màxim o un mínim relatiu en el punt x = a?
Raona la teva resposta.
No, ja que en x = a podria haver-hi un punt d’inflexió de tangent horitzontal.
4. Calcula el valor de k per tal que:
a) La funció ƒ(x) = x e −kx tingui un màxim o un mínim relatiu en el punt x = 1.
b) La funció ƒ(x) =
2x 2
tingui límit 2 quan x → +∞.
(kx + 1) 2
7. La gràfica d’una funció polinòmica de segon grau
ƒ(x) = x2 + ax + b passa pels punts (1, 1) i (4, 7). Calcula
el valor numèric del polinomi quan x val 3.
ƒ(1) = 1 → 1 + a + b = 1 → a + b = 0
ƒ(4) = 7 → 16 + 4a + b = 7 → 4a + b = −9
D’on s’obté a = −3, b = 3 → ƒ(x) = x2 − 3x + 3
ƒ(3) = 32− 3 · 3 + 3 = 3
8. Determina els coeficients a i b de la funció següent
ƒ(x) = ax2 + bx + 2, sabent que la recta tangent al gràfic en
el punt x = 1 és la recta y = −2x.
ƒ ’(x) = 2ax + b
ƒ ’(1) = −2 → 2a + b = −2
ƒ(1) = −2 → a + b + 2 = −2 → a + b = −4
a = 2, b = −6 → ƒ(x) = 2x2 − 6x + 2
9. Determina quins són els coeficients a, b i c de la funció
ƒ(x) = ax3+ bx2+ cx per tal que aquesta funció tingui un
màxim relatiu en x = 0, un mínim relatiu en x = 1 i compleixi la condició ƒ(1) = - 1 .
2
ƒ ’(x) = 3ax2 + 2bx + c
c) La funció ƒ(x) = ln (kx2 + 1) sigui creixent en x = 1.
ƒ ’(0) = 0 → c = 0
a) f ’(x) = e −kx (1 − kx)
ƒ ’(1) = 0 → 3a + 2b + c = 0 → 3a + 2b = 0
f ’(1) = 0 → e −k (1 − k) = 0 → 1 − k = 0 → k = 1
b) lim
x " +3
c) f l(x)
2x 2
] kx + 1g2
2 " 2
k2
k2
2 " k2
1"k
2kx ; f l(1) > 0 " 2k > 0 " k <
k+1
kx 2 + 1
!1
1o k > 0
5. Raona la certesa o la falsedat de les afirmacions següents:
a) Dues funcions amb idèntica funció derivada són necessàriament idèntiques.
b) La funció ƒ(x) =
x és creixent en tot el seu domini.
x+1
c) La funció ƒ(x) = x3 no té cap punt estacionari.
a) Fals. Per exemple les funcions ƒ(x) = x2 − 3 i g(x) = x2 + 1
tenen la mateixa funció derivada ƒ ’(x) = g ’(x) = 2x, i en
canvi ƒ(x) ≠ g(x).
b) Veritat, ja que ƒ ’(x) =
1
] x + 1g2
> 0, 6x ! Df .
c) Fals. ƒ ’(x) = 3x2; 3x2 = 0 → x = 0 no és un ex trem, però sí
que és un punt estacionari.
ƒ(1) = - 12 → a + b + c = - 12 → a + b = - 12
D’on s’obté que a = 1, b = - 23 → ƒ(x) = x3 − b 23 l x2
x
10. Donada la funció ƒ(x) = e , indica’n el domini, els límits
ln x
per a x → 0 i x → ∞, i les asímptotes. Raona detalladament tot el que fas.
Df = + − {1} → la recta x = 1 és una asímptota vertical.
lim f (x)
0, xlim
f ( x)
" +3
x " 0+
11. En quin punt de la gràfica de la funció ƒ(x) = ln x la tangent a la gràfica és paral.lela a la recta 2x − y = 0? Justifica la resposta.
El pendent de la recta tangent és m = 2, per tant ƒ ’(x) = 2 →
1 = 2 → x = 1 → y = −ln 2 → P 1 , −ln 2 .
冢2
冣
x
2
12. Determina en quins punts és horitzontal la recta tangent a
la gràfica de la funció:
ƒ(x) = xe
- x2
2
x2
6. Calcula el valor mínim de la funció: ƒ(x) = x2(x − 12)2.
Ho pots fer sense haver de calcular-ne la derivada? Justifica’n la resposta.
Sí, ja que ƒ(x) ≥ 0, 6x d , prendrà els valors mínims en
ƒ(x) = 0 → x2(x − 12)2 = 0 → x = 0 i x = 12.
+3
f l(x) e 2 ^1 x2 h, f l(x)
1 x 2 0 " x !1
13. Tenim la funció:
f (x) =
x2
x-3
x2
0 " e 2 ^1
x2 h
0"
10
MATEMÀTIQUES APLICADES A LES CIÈNCIES SOCIALS 2
a) Calcula’n els màxims i mínims de la funció.
b) Estudia’n la continuïtat. Hi ha algun punt en què el
pendent de la recta tangent al gràfic de la funció valgui
1? Justifica’n la resposta.
x2
a) f l(x)
]x
6x , f l(x )
3g2
0
0 " x2
0"x
6x
3
0, x
6
6
En el punt x = 0, la funció presenta un màxim, i, en x = 6,
un mínim.
1
c) f(x) = x 2 - 3 x 3
107
d) f(x) = x 3 - 3x
2
e) f(x) = x + 2x
x-2
g) f(x) = x 2 + 2
x
8
x2 - 4
3
h) f(x) = 2 x
x -1
4
x
j) f(x) = + 3
x
f) f(x) =
x
i) f(x) = xe
x+4
a) Df = − {2}, les rectes x = 2 i el punt y = 0 són una asímptota vertical i una asímptota horitzontal, respectivament.
Talla els eixos en els punts (3, 0) i (0, −3), i té un màxim
en el punt (4, 1), ja que és decreixent en (−∞, 2) i (4, +∞),
i creixent en (2, 4).
y
x
2
x
b) lim
3 3 " té una discontinuïtat asimptòtica en el
x"3 x
punt x = 3.
x
No hi ha cap punt de la gràfica de la funció en el que el
pendent de la recta tangent valgui 1, ja que l’equació
ƒ ’(x) = 1 no té solució.
14. La població d’un estat és, en milions d’habitants,
20
ƒ(x) = -x
, on x és el temps en anys.
4e 100 + 1
Calcula’n la població actual (per a x = 0) i la població límit
que tindrà quan el temps tendeixi a infinit.
ƒ(0) = 4 milions d’habitants
20
lim =
x →+ ∞
4e
−x
100
= 20 milions d’habitants
+1
15. C alcul a el s mà x ims i el s mínims de l a func ió:
ƒ(x) = x4 − 2x2 + 2. Utilitza les dades obtingudes per comprovar que ƒ(x) és positiva per a tot x.
b) Df = − {−1}, la recta x = −1 és una asímptota vertical, no
en té d’horitzontals i la recta y = x − 2 n’és una d’obliqua.
Passa per l’origen de coordenades, els punts estacionaris
són x = −3 i x = 0, i com que és creixent en els intervals
(−∞, −3) i (−1, +∞), i decreixent en (−3, −1), fa que en
1−3, − 27
2 hi hagi un mínim i en l’origen un punt d’inflexió
4
de tangent horitzontal.
y
ƒ ’(x) = 4x3 − 4x, ƒ ’(x) = 0 → 4x3 − 4x → x = 0, x = ±1
x
En els punts x = ±1 la funció presenta un mínim. En x = 0
presenta un màxim.
Com que els mínims relatius trobats anteriorment són mínims
absoluts, tenim que ƒ(−1) = ƒ(1) = 1, el valor mínim que pren
la funció és 1, aleshores ƒ(x) ≥ 1 > 0, 6x d .
16. Dibuixa la gràfica de les funcions següents:
a) f(x) =
4x - 12
(x - 2) 2
b) f(x) =
x3
(x + 1) 2
c) En ser una funció polinòmica, no té cap tipus d’asímptotes.
Talla els eixos en els punts (0, 0) i (3, 0). Els valors que
anul.len la derivada són x = 0 i x = 2, en el punt (0, 0) la
108
10
SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE
funció presenta un mínim i en 12, 43 2 un màxim, ja que és
decreixent en (−∞, 0) i (2, +∞) i és creixent en (0, 2).
y
f) El domini és Df = − {−2, 2}, les rectes x = −2 i x = 2 són
asímptotes verticals, la recta y = 0 és una asímptota horitzontal. Té un màxim relatiu en el punt (0, −2) i no té cap
mínim relatiu, ja que és creixent en els intervals (−∞, −2) i
(−2, 0), i és decreixent en (0, 2) i (2, +∞).
x
4
—
3
y
x
x
x
d) Df = , no té asímptotes de cap tipus, talla els eixos en
(− 3 , 0), (0, 0) i ( 3 , 0). Té un màxim relatiu en (−1, 2)
i un mínim relatiu en el punt (1, −2), ja que és creixent en
(−∞, −1) i (1, +∞), i decreixent en (−1, 1).
g) Df = − {0}, l’eix d’ordenades és una asímptota vertical, no
en té d’horitzontals ni d’obliqües. Talla l’eix d’abscisses en
el punt (− 3 2 , 0), en x = 1 hi ha un punt estacionari, que
resulta ser un mínim ja que és decreixent en (−∞, 0) i (0, 1)
i creixent en (1, +∞).
y
y
x
x
e) Df = − {2}, la recta x = 2 és una asímptota vertical, no
en té d’horitzontals i la recta y = x + 4 és una asímptota obliqua. Passa pels punts (−2, 0) i (0, 0), els valors
x = 2 ± 2 2 anul.len la primera derivada, és creixent en
(−∞, 2 − 2 2 ) i (2 + 2 2 , +∞), i decreixent en els intervals (2 − 2 2 , 2) i (2, 2 + 2 2 ), per tant en el punt
x = 2 − 2 2 la funció presenta un màxim i en x = 2 + 2 2
un mínim.
y
h) Df = − {−1, 1}, les rectes x = −1 i x = 1 són asímptotes
verticals, la recta y = x és una asímptota obliqua. Té un
màxim i un mínim relatius en x = − 3 i en x = 3 respectivament, el punt (0, 0) és un punt d’inflexió de tangent horitzontal, ja que és creixent en (−∞, − 3 ) i ( 3 , +∞) i
decreixent en (− 3 , −1), (−1, 1) i (1, 3 ).
y
x
x
y
y
x
x
x
x
10
MATEMÀTIQUES APLICADES A LES CIÈNCIES SOCIALS 2
i) Df = − {−4}, la recta x = −4 és una asímptota vertical,
no en té d’obliqües. Té una asímptota horitzontal quan
x → −3: y = 0.
lim f (x)
109
y
0
x " -3
Talla els eixos en l’origen, té un punt estacionari en x = −2,
com que és creixent en tot el seu domini, fa que en el punt
(−2, −e−2) hi hagi un punt d’inflexió de tangent horitzontal.
x
x
x per a x > 0.
18. Considera la funció següent: f (x) = ln 1000
x
Troba els valors de x tals que ƒ’(x) = 0. Després fes un esquema senzill de la gràfica de ƒ(x), i explica-ho.
1
f l(x)
ln 1000x , f l(x)
x2
1 " 1000x
ln 1000x
e l
f b 1000
0"1
e"x
ln 1000x
0"
e
1000 "
1000
e
e la funció passa de creixent a decreixent, per tant
En x = 1000
e , 1000 .
hi ha un màxim en el punt 1000
e
1
j) Df = − {0}, l’eix OY és una asímptota vertical, no n’hi
ha de cap més tipus. No talla els eixos en cap punt, f ‘(x)
s’anul.la en x = ±1, en el punt (−1, −4) hi ha un màxim i en
(1, 4) un mínim, ja que és creixent en (−∞, −1) i (1, +∞),
i decreixent en (−1, 0) i (0, 1).
2
y
y
x
x
19. Fes un esquema senzill de la gràfica de la funció ƒ(x) = ex + e−x
que posi en evidència els límits quan x → ∞ i els possibles
màxims i mínims. Explica raonadament tot el que fas.
lim ^ e x + e-x h
+3
x"3
f l(x )
2x
e
x
0"x
e , f l(x )
-x
0 " f (0)
0 " ex
e- x
0 " e 2x
1"
2
En el punt (0, 2) hi ha un mínim ja que la funció és decreixent
en l’interval (−∞, 0) i creixent en (0, +∞)
17. Calcula els intervals de creixement i de decreixement, els
màxims i els mínims de la funció següent:
y
x
ƒ(x)= x2 · e 1000
Després fes un esquema senzill de la gràfica.
És creixent en els intervals (−∞, −2 000) i (0, +∞), i decreixent en l’interval (−2 000, 0). Els punts x = −2 000 i x = 0
són respectivament un màxim i un mínim.
x
110
10
SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE
20. Troba dos nombres positius que sumin 30 tals que la suma
dels seus quadrats sigui mínima.
La funció que cal optimitzar és:
ƒ(x) = x2 + (30 − x)2 = 2x2 − 60x + 900
ƒ ’(x) = 4x − 60, ƒ ’(x) = 0 → x = 15 és la solució, ja que minimitza la funció ƒ(x).
21. Determina dos nombres positius la suma dels quals sigui
21 i el producte d’un pel quadrat de l’altre sigui màxim.
ƒ(x) = x(21 − x)2 = x3 − 42x2 + 441x
ƒ ’(x) = 3x2 − 84x + 441
ƒ ’(x) = 0 → x2 − 28x + 147 = 0 → x = 7, x = 21
El valor que fa màxima la funció ƒ(x) és x = 7, per tant els
nombres són 7 i 14.
22. Un home disposa de 500 m de filferro per tancar un camp
de forma rectangular. Un dels costats del rectangle serà
una tanca que ja existeix. Busca les dimensions del rectangle d’àrea màxima que es podrà tancar.
2x + y = 500 → y = 500 − 2x → ƒ(x) = x(500 − 2x) = 500x − 2x2
Per l’expressió de ƒ(x) ja veiem que tindrà un màxim.
ƒ ’(x) = 500 − 4x, ƒ ’(x) = 0 → 500 − 4x = 0 → 4x = 500 →
x = 125 m, y = 250 m
23. La cotització de les accions de certa empresa a la borsa va
tenir, aproximadament, l’evolució següent durant l’any 1998:
ƒ(x) = 342 + 39x − 3x2
Siguin x, y les dimensions del rectangle exterior, les àrees de
cada un dels rectangles exterior i interior són xy = 18 i
S = (x − 1)(y − 1,5) = xy − y − 1,5x + 1,5 respectivament, d’on
tenim que la funció a optimitzar és:
18
ƒ(x) = 18 − 18
x − 1,5x + 1,5 = 19,5 − x − 1,5x
ƒ ’(x) = 182 − 1,5; ƒ ’(x) = 0 → x2 = 12 → x = 12 = 2 3
x
Com que en el punt x = 2 3 la funció ƒ(x) passa de creixent a
decreixent, en aquest punt hi ha un màxim, per tant la solució
és x = 2 3 , y = 18 = 3 3 .
2 3
25. La suma de totes les arestes d’un prisma recte de base
quadrada és 36 cm. Calcula les dimensions del prisma perquè tingui volum màxim.
Considerem x el costat del quadrat de la base i y l’altura del
prisma, tenim que:
8x + 4y = 36 → y = 9 − 2x
V = x2y → ƒ(x) = x2(9 − 2x) = 9x2 − 2x3 → ƒ ’(x) = 18x − 6x2,
ƒ ’(x) = 0 → x = 0, x = 3
Per a x = 0 dóna volum mínim, i per a x = 3 el dóna màxim, per
tant les dimensions del prisma són x = y = 3 cm.
26. El preu de cost d’una joguina és de 50 €. Venuda a 60 €, la
compren 3 000 persones, per cada cèntim d’euro que augmenta o disminueix aquest preu, disminueix o augmenta,
respectivament, el nombre de compradors en 40 persones.
A quin preu s’ha de vendre la joguina per obtenir un benefici màxim? Quin és aquest benefici?
on x és el temps en mesos (0 ≤ x ≤ 12).
Sigui x els euros d’augment del preu, la funció benefici és:
Calcula el percentatge del benefici que hauria obtingut un
individu que hagués comprat accions en el moment de cotització mínima i que les hagués venudes en el de màxima.
ƒ(x) = (10 + x)(3 000 − 40x) = −40x2 + 2 600x + 30 000
ƒ ’(x) = 39 − 6x , ƒ ’(x) = 0 → 39 − 6x = 0 → x = 6,5 mesos és
el temps de màxima cotització, ja que ƒ(x) és una funció polinòmica de segon grau amb coeficient de x2 negatiu.
ƒ(0) = 342; ƒ(6,5) = 468,75; ƒ(12) = 378, el moment de mínima
cotització és per x = 0.
El benefici obtingut és 468,75 − 342 = 126,72 →
126,72 · 100
342 = 37,06 %.
24. L’àrea d’un rectangle és 18 m2. Si en el seu interior hi ha
un altre rectangle tal que els marges superior i inferior
són de 75 cm i els marges laterals són de 50 cm, troba les
dimensions del rectangle exterior per tal que l’àrea del
rectangle interior sigui màxima.
75 cm
50
cm
ƒ ’(x) = −80x + 2 600, ƒ ’(x) = 0 → x = 32,5
ƒ ’’(x) = −80, ƒ ’’(32,5) = −80 < 0 → x = 32,5 euros maximitza
el benefici.
La joguina s’ha de vendre a 92,5 €.
ƒ(32,5) = 72 380 € és el benefici.
27. Les vendes d’un article són funció del preu d’aquest, de
manera que:
f (x) =
20
,x>0
(100 + x) 2
on x és el preu en €/kg i ƒ(x), el nombre de quilograms
venuts en una setmana.
El benefici brut setmanal s’obté multiplicant el preu d’un
quilogram pel nombre de quilograms venuts. Calcula el
preu a què s’ha de vendre si es vol obtenir el benefici
màxim i quin serà aquest benefici.
g (x)
x : f (x)
g’( x)
2000 20x
]100 + x g 3
0 " x 100
g’( x)
20x
]100 + x g2
MATEMÀTIQUES APLICADES A LES CIÈNCIES SOCIALS 2
10
111
En x = 100, g(x) passa de creixent a decreixent, per tant és un
màxim.
7
En x = —, f (x) presenta un mínim absolut. Per tant, el punt
2
x = 100 €/kg aporta el benefici màxim.
— i el punt de la funció y = fvvv
x que està a distància
vvv
1—,
2 f2 2
7
El benefici màxim serà de 0,05 €.
28. Troba els punts de la gràfica de la funció y2 = 4x amb
y2 ≥ 0 i x ≥ 0, de manera que la distància al punt (4, 0)
sigui mínima. Calcula aquesta distància.
4x " y
y2
d ^ P, Q h
fl(x)
2
]x
2
4 g + _2 x i
8x + 16 + 4x
x2
QP
x2
4x + 16 " f l(x)
x2
f (x)
2 x " P _ x, 2 x i, Q ^ 4, 0 h
4x
0"x
2"y
4x + 16
x 2
x 2 4x + 16
2. (Curs 2004-2005) La funció següent indica el nombre de
minuts que s’aconsella de caminar diàriament en funció del
nombre x de setmanes que han passat des que es va començar un programa de manteniment.
90 x + 100
x +5
a) Segons aquest programa de manteniment, a partir de
quina setmana s’ha de caminar més d’una hora?
2 2
El punt solució del problema és P(2, 2 2 ).
29. Calcula el punt de la gràfica de la funció f(x) = e −x en el
qual la recta tangent té el pendent màxim.
2
g(x) = ƒ ’(x) = −2xe −x és la funció que defineix el pendent.
2
±
g ’(x) = ƒ ’’(x) = e −x (−2 + 4x2) → g ’(x) = 0 → x = 1
2
1
El valor que maximitza la funció g(x) és x =
2
1
= 1 . Per tant, el punt de la gràfica demanat és
y=ƒ
2
e
2
1 2
1
mínima del punt (4, 0).
f(x) =
En x = 2, ƒ ’(x) passa de negativa a positiva; per tant, la funció ƒ(x) passa de decreixent a creixent, en el punt x = 2 la
funció presenta un mínim.
P
7
1
, 1 .
2
e
2
b) Fes un gràfic aproximat de la funció i explica’n el creixement. Quant de temps aproximadament hauria de dedicar diàriament a caminar una persona que fa molt de
temps que segueix el programa?
90x + 100
20
a) Hem de resoldre x + 5 2 60 . Aïllant resulta x 2 3 i
la seva part entera per excés és 7 setmanes.
b) El gràfic de la funció presenta una asímptota horitzontal per
y = xlim
f (x) = 90 i per x = 0 pren el valor 20. La derivada
"3
90 (x + 5) - (90x + 100)
350
=
$0 i
(x + 5)2
(x + 5)2
f(x) és sempre creixent. Per tant la seva gràfica té la forma
següent:
és f l(x ) =
f (x)
30. Calcula els punts de la gràfica de la funció següent
f (x) = 1 2 en què la tangent té pendent màxim.
1+x
2
2x
g(x) = ƒ ’(x) =
→ g ’(x) = ƒ ’’(x) = 6x 223
2 2
(1 + x )
(1 + x )
g ’(x) = 0 → 6x2 − 2 = 0 → x = ± 1 .
3
En x = − 1 hi ha un màxim de g(x), y = ƒ − 1 = 43 , el punt
3
3
de la gràfica que dóna la solució al problema és P − 1 , 43 .
3
1
2
1
2
Avaluació
1. Determina quin és el punt de la gràfica que representa la
funció y =
x que és més a prop del punt P(4, 0).
x → P (x, fvvv
x ), Q (4, 0)
y = fvvv
(x − 4)2 + (fvvv
x )2 = fvvvvvvvvvvvvvvvvvvvv
x2 + 16 − 7x
d (P, Q) = fvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvv
x
A mesura que passin les setmanes, el temps que cal caminar
s’aproparà a 90 minuts, tot i que mai arribarà a ser exactament 90 minuts, i tampoc més.
3. (Curs 2004-2005) Considera la funció f(x) = 3 − x2 i un punt
de la seva gràfica, M, situat en el primer quadrant (x > 0,
y < 0). Si pel punt M tracem paral.leles als eixos de coordenades, la seva intersecció amb OX i OY determina dos punts,
A i B, respectivament.
f (x) = fvvvvvvvvvvvvvvvvvvvv
x2 + 16 − 7x
a) Fes un gràfic dels elements del problema.
2x − 7
7
f ’(x) = ———————— → f ’(x) = 0 → x = —
2
2
2 fvvvvvvvvvvvvvvvvvvvv
x − 7x + 16
b) Troba les coordenades del punt M que fa que el rectangle
OAMB tingui l’àrea màxima.
112
a)
10
SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE
b) Sigui M = (a, 3 − a2), amb a > 0. L’àrea del rectangle OAMB
és S = a · (3 − a2) = 3a − a3. Per trobar-ne el mínim, resolem S ’ = 0, és a dir, 3 − 3a2 = 0. Tenim que a = ±1. Ens
quedem només amb la solució positiva, a = 1. Estem en un
mínim perquè S ’’(1) = −6 < 0. Així, el punt M demanat és
(1, 2).