PRÁCTICAS DE P.D.S 4º CURSO DE INGENIERÍA ELECTRÓNICA Profesor: Gustavo Camps Valls PRÁCTICA 2: TRANSFORMADA Z. Resumen. En esta práctica se estudiarán diferentes aplicaciones de la Transformada Z en el campo del procesado digital de señal. Estos ejemplos tienen por objetivo resaltar que no esta transformada no es sólo una representación matemática sino que tiene una práctica importante. • Determinación de la estabilidad de un sistema. Una forma de comprobar la estabilidad de un sistema es fijarse en los polos de la transformada Z de la respuesta impulsional de dicho sistema. Según la posición de los polos la respuesta impulsional está (o no) acotada y presenta diferentes comportamientos. Con la instrucción filter vamos a determinar la respuesta impulsional de sistemas con los siguientes polos: 1. Polos reales simples (prueba valores positivos y negativos mayores y menores que 1). 2. Polos complejos simples que deberán aparecer por pares conjugados (prueba valores del módulo mayores y menores que 1). ¿Qué controla la fase del polo complejo?, ¿y el módulo?. 3. Repite los apartados 1 y 2 pero ahora los polos ya no son simples. • Determinación de ecuación en diferencias. Uno de los usos dados a esta transformada es determinar la expresión en diferencias de un sistema que cumple unas determinadas condiciones; una de las aplicaciones más directas es la implementación de generadores de señal mediante ecuaciones en diferencias. En este primer apartado se pide diseñar dos sistemas que presenten las siguientes respuestas impulsionales. h ( n ) = {− 1,0,1,−1,0,1.........} h ( n ) = cos( Ω ⋅ n ) Comprueba el resultado usando MATLAB, implementando la ecuación en diferencias proporcionada por la transformada Z tomando como entrada el impulso unitario. Sobre la determinación de la ecuación en diferencias se plantea otra utilidad; existen situaciones donde se puede determinar de forma intuitiva el diagrama de bloques del sistema digital pero no es inmediato el paso del diagrama de bloques a la ecuación en diferencias. A modo de ejemplo se presenta este diagrama de bloques representando un recinto en el que existen reflexiones, realimentaciones parciales y totales de la señal original x(n); no es tan raro, variando los parámetros adecuadamente se puede conseguir reproducir un estadio, una catedral....... x(n) + + y(n) + −1 −1 −1 z z -0.6 z -0.5 Determina la ecuación en diferencias que liga la entrada x(n) con y(n); ¿es estable este sistema?, ¿qué ocurre si algún coeficiente de realimentación es mayor que 1? Determina su respuesta impulsional. • Simplificación de estructuras. Esta es otra de las aplicaciones “clásicas” de la transformada Z; implementar un sistema con el menor número de retardos. Para comprobar esta cualidad se implementarán los siguientes sistemas de forma directa y usando el menor número de retardos. Compara los resultados y comprueba su equivalencia. y( n ) = x ( n ) − 2 x (n − 1) − 0.81 ⋅ y (n − 2) y( n ) = x ( n − 2) − 0.7 ⋅ y( n − 1) − 0.8 ⋅ y( n − 2) • Relación con la Transformada de Laplace. Esta relación nos permitirá que, conocidas las características de un determinado sistema continuo mediante la transformada de Laplace extrapolarlas al mundo digital mediante esta transformación. La aplicación donde más se utiliza esta transformación es en el diseño de filtros digitales. A modo de ejemplo se presenta el siguiente diseño. Un filtro de Butterworth de primer orden tiene la siguiente expresión: T( p) = wc p + wc El siguiente programa implementa la transformación impulso invariante correspondiente a esta función. Para observar como funciona toma al principio las frecuencias (de corte y de muestreo) de tal forma que se cumpla fc<<<fm. Fíjate en lo que ocurre conforme se aumenta la frecuencia de corete con respecto a la de muestreo. fc=input('Frecuencia de corte (en Hz) '); fm=input('Frecuencia de muestreo '); a=2*pi*fc; b=[1 a]; w=0:(4*pi*fc); hc=freqs(a,b,w); plot(w/(2*pi),abs(hc)); grid zoom %%% PARTE DISCRETA %%%%% figure fn=fc/fm; G=(a/(1-exp(-2*pi*fn)))^(-1); den=[1 -exp(-2*pi*fn)]; wd=0:pi/500:pi; hd=freqz(a,den,wd); plot((fm*wd)/(2*pi),G*abs(hd)); grid zoom Para aquellos que quieran seguir trabajando un filtro de Butterworth de segundo orden con frecuencia de corte wc tiene la siguiente expresión: T( p) = w 2c p 2 + 2 ⋅ w c + w 2c A la hora de aplicar la transformación impulso invariante hay que descomponer la expresión de T(p) en fracciones simples de la forma: T( p) = w c2 A B = + j ⋅θ − j ⋅θ j⋅θ p − r ⋅e ⋅ p − r ⋅ e p−r⋅e p − r ⋅ e − j⋅ θ ( )( ) ( ) ( ) Así pues el primer paso es determinar la constantes que aparecen en la última expresión. Una vez determinados sólo resta aplicar la transformación impulso invariante.