Tranaformada de laplace - Carreras de Informática y Sistemas

Universidad Mayor de San Simón
Gestión 1 – 2011
Facultad de Ciencias y Tecnología
Carrera de Ing. de Sistemas
Doc.: Lic. Patricia Rodríguez
Modelación de Sistemas Autónomos
TRANAFORMADA DE LAPLACE
Estudiante: Vargas Chavez Marcelo Marcos
1. CUALES LOS PASOS PARA OBTENER EL MODELO MATEMATICO DE UN SISTEMA?
Los pasos para obtener son:
1. Definir el sistema y sus componentes.
2. Formular el modelo matemático y enumerar las suposiciones necesarias.
3. Escribir las ecuaciones diferenciales que describan el modelo.
4. Resolver las ecuaciones para las variables de salida deseadas.
5. Examinar las soluciones y las hipótesis.
6. Si es necesario, volver a analizar o diseñar el sistema.
2. CUAL LA CONDICION PARA OBTENER LA TRANSFORMADA DE LA PLACE?
R.- La transformada de Laplace existe para ecuaciones diferenciales lineales para las
que la transformación integral converge.
∞
∫ |𝑓(𝑡)|𝑒 𝜎1 𝑡 < ∞
0
para algún número real positivo 𝜎, [1]. Si la magnitud de f(t) es |/(r)| < M𝑒 −𝛼𝑡 para todo
t positivo, la integral convergerá para 𝜎1> α. Por tanto, la región de convergencia viene
dada por ∞ > 𝜎1> α y < 𝜎 se conoce como la abscisa de convergencia absoluta.
3. CUAL EL CONCEPTO DE SISTEMAS ANALOGOS?
R.- Los sistemas análogos permite al analista extender la solución de un sistema a todos los
sistemas análogos describiéndolos con las mismas ecuaciones diferenciales,
se observa la equivalencia entre las Ecuaciones y si son variables equivalentes, conocidas
como variables análogas, y los sistemas son sistemas análogos general mente tiene solución
semejantes en sus ecuaciónes.
4. CUALES LAS CONDICIONES NECESARIAS PARA LA DETERMINAR SI UN SISTEMA ES LINEAL?
R.- Un sistema lineal satisface las propiedades de superpocision y homogeneidad conserve la
magnitud del factor de escalala, la respuesta de un sistema lineal a una entrada x multiplicada
por una constante β sea igual a la respuesta de la entrada multiplicada por la misma
constante, de forma que la salida sea igual a βy a esto se denomina homogeneidad
5. CUAL LA TRANSFORMACION LA PLACE PARA UNA FUNCION EN EL TIEMPO f(t)?
R.- La transformada de Laplace para una funcion en el tiempo es:
∞
∫0 𝑓(𝑡)𝑒 −𝑠𝑡 𝑑𝑡 = ℒ{𝑓(𝑡)}
6. COMO SE DEFINE LA INVERSA DE LA TRANSFORMADA DE LA PLACE?
R.-La transformada inversa se define como:
1
𝜎+∞
𝑓(𝑡) = 2𝜋𝑗 ∫𝜎−∞ 𝐹(𝑠)𝑒 +𝑠𝑡 𝑑𝑠
Las integrales de transformación se han usado para deducir tablas de transformadas de
Laplace que se suelen emplear para la gran mayoría de los problemas
7. CUALES LOS PARES DE LA TRANSFORMADA DE LA PLACE PARA :
R.- Los pares de la transformada inversa para
𝑑 𝑛 𝑓(𝑡)
𝑑𝑡 𝑛
𝑑 𝑛 𝑓(𝑡)
𝑑𝑡 𝑛
𝑡
; u(t) ; ∫−∞ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡
𝑡
; u(t) ; ∫−∞ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡 son:
𝑑 𝑛 𝑓(𝑡)
𝑑𝑡 𝑛
-----------------------> 𝑠 𝑘 𝐹(𝑠) − 𝑠 𝑘−1 𝑓(0− ) − 𝑠 𝑘−2 𝑓 1 (0− ) − … − 𝑓 (𝑘−1) (0− )
u(t)
----------------------->
𝑡
∫−∞ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡 ----------------------->
1
𝑠
𝐹(𝑠)
𝑠
+
1 0
∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡
𝑠 −∞
8. QUE REPRESENTAN LA TASA DE AMORTIGUACION Y LA FRECUENCIA NATURAL, COMO SE OBTIENEN?
R.- La taza de amortiguación (£) representa la forma con que la oscilación se va representando para
una función dada esto de acuerdo a los polos y ceros superior e inferior asi sobreamortiguado (£ > 1) y
subamortiguado (£ < 1 ), la respuesta transitoria que ocurre cuando £ < 1 muestra una oscilación cuya
amplitud disminuye con el tiempo y se llama oscilación amortiguada
𝑦(𝑡) = 𝑘1 𝑒 𝛼1𝑡 sin(𝛽1 + 𝜃1)
𝑏
(𝑠 + ) (𝑦0)
(𝑠 + 2£𝜔𝑛(𝑦0)
𝑀
𝑌(𝑆) =
= 2
2
𝑏
(𝑠 2 + ( ) 𝑠 + 𝑘/𝑀 𝑠 + 2£𝜔𝑛𝑠 + 𝜔 𝑛
𝑀
La frecuencia natural es la frecuencia de oscilación natural que ocurre para dos polos complejos
conjugados, si el amortiguamiento fuera igual a cero.
9. QUE ES LA FUNCION DE TRANSFERENCIA?
R.- La función de transferencia proporciona al analista y diseñador un modelo matemático útil de los
elementos del sistema y modelar sistemas dinámicos, los ceros y polos en un plano “s” de la función de
transferencia representan la respuesta transitoria del sistema
La función de transferencia es la relación entre la transformada de Laplace de la variable de salida y la
transformada de Laplace de la variable de entrada, suponiendo que todas las condiciones iníciales se
hacen iguales a cero, la función de transferencia representa la relación que describe la dinámica del
sistema considerado.
10. CUANDO SE DICE QUE LA RESPUESTA TRANSIENTE DE UN SISTEMA ES SOBREAMORTIGUADO O
SUBAMORTIGUADA?
R.- La respuesta transciende cuando £ < 1 muestra una oscilación donde la amplitud disminuye con el
tiempo y se llama oscilación amortiguada, la relación directa entre la localización en el plano “s” de los
polos y la forma de la respuesta transitoria se interpreta fácilmente a partir de las gráficas de los polos
y ceros en el plano “s” además, la magnitud de la respuesta de cada raíz, representada por el residuo,
se observa claramente examinando los residuos gráficos en el plano “s”