Subido por Miguel Angel Granados Peñaranda

1 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

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1 SISTEMAS DE ECUACIONES
LINEALES
ALGEBRA LINEAL
Miguel Granados
Que son las ecuaciones lineales..
Miguel Granados
Ejemplo
Para transformar este sistema
en uno que muestre una
estructura triangular :
• primero es necesario eliminar la variable
x de las ecuaciones 2 y 3. Observe que
restar de las ecuaciones 2 y 3 múltiplos
adecuados de la ecuación 1 hará el
truco.
• A continuación, observe que se opera
sobre los coeficientes, no sobre las
variables, de modo que puede ahorrar
cierta escritura si registra los
coeficientes y términos constantes en la
matriz
Miguel Granados
Ejemplo
Miguel Granados
Ejemplo
Miguel Granados
Ejemplo
Miguel Granados
Ejemplo
Respuesta:
Miguel Granados
Ejemplo
Miguel Granados
Conclusiones..
• Cualquier solución del sistema final también es una solución del
sistema dado.
• Por ende, los sistemas son equivalentes (como lo son todos los
obtenidos en los pasos intermedios anteriores). Más aún, se puede
trabajar con matrices en lugar de ecuaciones, pues es asunto simple
reinsertar las variables antes de proceder con la sustitución hacia
atrás.
Miguel Granados
Matrices y forma escalonada
• Existen dos importantes matrices asociadas con un sistema lineal.
• La matriz de coeficientes contiene los coeficientes de las variables, y
la matriz aumentada es la matriz coeficiente aumentada por una
columna adicional que contiene los términos constantes.
Miguel Granados
Matrices y forma escalonada
Miguel Granados
Matrices y forma escalonada
• Observe que si falta una variable (como “y” en la segunda ecuación),
su coeficiente 0 se ingresa en la posición adecuada de la matriz. Si la
matriz de coeficientes de un sistema lineal se denota con A y el vector
columna de términos constantes con b, entonces la forma de la
matriz aumentada es [A | b].
Miguel Granados
Matrices y forma escalonada
• Una matriz está en forma escalonada por renglones si satisface las
siguientes propiedades:
• 1. Cualquier renglón que consiste completamente de ceros está en la
parte baja.
• 2. En cada renglón distinto de cero, el primer elemento distinto de
cero (llamado elemento pivote) está en una columna a la izquierda de
cualquier elemento pivote bajo él.
Miguel Granados
Matrices y forma escalonada
• Las siguientes operaciones elementales con renglones pueden
realizarse sobre una matriz:
• 1. Intercambiar dos renglones.
• 2. Multiplicar un renglón por una constante distinta de cero.
• 3. Sumar un múltiplo de un renglón a otro renglón.
Miguel Granados
EJEMPLO
• Reduzca la siguiente matriz a forma escalonada:
Miguel Granados
EJEMPLO
Miguel Granados
EJEMPLO
Miguel Granados
EJEMPLO
Miguel Granados
GAUSS
Miguel Granados
Método de GAUSS (para Eliminación)
• 1. Escriba la matriz aumentada del sistema de ecuaciones lineales.
• 2. Use operaciones elementales con renglones para reducir la matriz
aumentada a forma escalonada por renglones.
• 3. Con sustitución hacia atrás, resuelva el sistema equivalente que
corresponda a la matriz reducida por renglones.
Miguel Granados
Método de GAUSS (para Eliminación)
• Resolver el sistema:
Miguel Granados
Método de GAUSS (para Eliminación)
• La matriz aumentada es:
Miguel Granados
Método de GAUSS (para Eliminación)
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Método de GAUSS (para Eliminación)
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Método de GAUSS (para Eliminación)
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Método de GAUSS (para Eliminación)
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Método de GAUSS (para Eliminación)
Respuesta:
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FIN
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