UCAB. Facultad de Ingeniería. Lic. Lisset De Gouveia de Da Mata Actividad: Reglas de derivación o diferenciación. Objetivo: Derivar funciones aplicando las reglas de derivación Contextualización: Las reglas de derivación son teoremas o leyes que permiten derivar funciones sin aplicar la definición. Todas se pueden demostrar f (x + h) − f ( x) aplicando la definición de derivada f ' ( x ) = lim , si ese límite existe. x →a h Estrategia de aprendizaje: Cuadro comparativo. Es una estrategia de aprendizaje que permite identificar las semejanzas y diferencias de dos o más objetos o eventos. Características: 1. Identificar los elementos que se desean comparar 2. Establecer los parámetros de comparación 3. Identificar y escribir las características de cada objeto o evento 4. Construir afirmaciones donde se mencionen las semejanzas y diferencias más relevantes de los eventos comparados. Enunciado Nombre Derivada de una constante Derivada de una potencia (exponente un número real) (La regla de derivación expresada en palabras) La derivada de una constante es cero. La derivada de una potencia es otra potencia que tiene por coeficiente el exponente original y el exponente disminuido en una unidad Ejemplo Función (Es una generalización) y=k y= xn Función derivada y’ = 0 y’ = n xn-1 Función Derivada y=ln(2) y’ =0 y= x3 y’=3x2 Planificación y argumentación Analizo la función, observo que es un número real, no depende de ninguna variable, por lo tanto su derivada es cero. Analizo la función, observo que es una función potencial, es decir, base variable exponente constante. Identifico cada uno de esos elementos, la base es x, el exponente es 3. Para derivar, mantengo la base de la potencia, le resto uno al exponente y la multiplico por el exponente original. 1 UCAB. Facultad de Ingeniería. Lic. Lisset De Gouveia de Da Mata Derivada de La derivada de una una constante por constante una función es la misma constante por una por la derivada función y=k f(x) y’=k f’(x) y= 5x3 y=f(x)+g(x) y’=f’(x)+g’(x) y = 3+2x5 y=f(x).g(x) y’=f’(x). g(x)+ f(x).g’(x) y= x2cos(x) de la función. Derivada de una suma de funciones Derivada de un producto de funciones Derivada de un cociente de funciones La derivada de una suma (o diferencia ) de funciones es la suma (o la diferencia) de las derivadas La derivada de una producto de funciones es la derivada de la primera función por la segunda sin derivar, más la derivada de la segunda función por la primera sin derivar La derivada de un cociente de funciones es un fracción que tiene por numerador la derivada del númerador por el denominador sin derivar, menos la derivada del denominador por el numerador sin Estudio las características de la función. En este caso observo que 5 es una constante que y’=5.3x2 multiplica a la función potencial, entonces, derivo la función y’=15x2 aplicando la regla anterior y la multiplico por la misma constante. Estudio las características de la función. En este caso observo y’=0+10x4 que se suman dos funciones, la constante 3 y la potencia 2x5, derivo cada función aplicando las y’= 10x4 reglas anteriores y sumo ambas derivadas Estudio las características de la En este caso observo y’= 2xcos(x)+x2(- función. que se multiplican dos sen(x)) funciones, la potencia x2 y la función trigonométrica cos(x), 2 y’= 2xcos(x)-x sen(x) derivo cada función y multiplico la derivada de la potencia por el coseno sin derivar, y a ese producto le sumo la derivada del coseno por la potencia sin derivar Estudio las características de la función. En este caso observo que se dividen dos funciones, 3 2 2 (el numerador varía, depende de 2 x x − 2 − 3 x .x y'= x y el denominador también). 2 x3 −2 Derivo cada una de las funciones, 4 la potencia x2 usando la regla − x − 2x y'= derivada de una potencia, y 2 x3 −2 derivo la resta x3-2, usando las 3 primeras reglas. Como ambas funciones se están dividiendo, aplico la regla del cociente. Es ( y= f (x ) g(x) y'= f ' ( x ).g ( x ) − g ' ( x ).f ( x ) 2 (g ( x )) y= x2 x3 −2 ) ( ( ) ) 2 UCAB. Facultad de Ingeniería. Lic. Lisset De Gouveia de Da Mata decir la derivada de x2 por x3-2 sin derivar, menos la derivada de x3-2 por x2 sin derivar, todo eso dividido entre la resta x3-2 toda al cuadrado derivar, todo dividido entre el denominador original al cuadrado Derivada de logaritmo neperiano Derivada de exponencial Derivada de función compuesta Es una fracción que tiene numerador 1 y denominador el argumento del logaritmo Es la misma función multiplicada por el logaritmo neperiano de la base y=ln(x) x y=a y'= x 1 x y’=a .lna y=3 x y’=3x.ln(3) y’= ln(3)3x Estudio las características de la función. En este caso observo que un exponencial porque la base es constante y el exponente variable. Para derivarla mantengo la misma potencia y la multiplico por el neperiano de la base, que es 3. Ese es un número constante. SE ESTUDIARÁ CON DETALLE EN OTRO MATERIAL 3 UCAB. Facultad de Ingeniería. Lic. Lisset De Gouveia de Da Mata Función trigonométrica Derivada y=cos (x) y=sen(x) y=tg(x) y=ctg(x) y=sec(x) y=csc(x) y’=-sen (x) y’=cos(x) y’=sec2(x) y’=- csc2 (x) y’=sec(x).tag(x) y’=-csc(x).ctg(x) Función trigonométrica compuesta con y=f(x) Derivada Planificación y argumentación Ejemplo SE ESTUDIARÁ CON DETALLE EN OTRO MATERIAL Una vez analizado el cuadro, responde: • Antes de aplicar una regla de derivación, ¿qué debes hacer, independientemente de cuál sea la función? • ¿Se puede aplicar la misma regla a todas las funciones? ¿Por qué? • ¿Se puede derivar una misma función utilizando reglas diferentes?. ¿Por qué? Actividad # 1: Elabora un cuadro comparativo de las reglas de derivada, usando tus propias palabras para enunciar cada regla y en el que resaltes aspectos que consideres relevantes. Actividad# 2: Deriva las siguientes funciones aplicando la estrategia que planificaste en la actividad anterior. 1. 2. 3. 4. y= x2-10x+100 y=(16x) y= 3 10 x7 1 y=x + 2 x 2 5. 6. y= x+2 x−1 2 y= 9. y=x x +1 2 y= (x +x+1)(x +2) 2 7. x −1 8. y= x + 4x + 3 x 10. y = 4 3 −x 2 3 x + cos( x ) x 2 + 2x 4 UCAB. Facultad de Ingeniería. Lic. Lisset De Gouveia de Da Mata 11. y = tg( x ) cos( x ) 2 12. y = x − 3x cos( x ) x 13. y = ln( x.e ) x3 + 7 2 x 15. y = ln 3 16. y = 2 x ln( x + 3) 2 x ln x 14. y = e .5 17. y = 5 x e +x 18. y = 1 x2 e + 5 ln 1 − 2 x 3 4 19. y = π ( x2 x +1 .5 ) ln ( x ) ( ( )) 20. y = ln 2 tg x 3 Actividad# 3: Un estudiante de Cálculo I de Ingeniería Informática, llamado Diego Revilla, elaboró su propia estrategia para derivar. La cual consistía en responder las unas interrogantes, en tres momentos cuando resolvía una derivada. Las mismas se presentan a continuación: Antes de empezar a derivar 1. 2. 3. 4. 5. de que tipo es esta función? Compuesta o simple? que estructura tiene? Cociente? Suma? Producto? es logarítmica? Exponencial? Trigonométrica? Normalita? tendré que usar la regla de la cadena? (lo estudiaremos con detalle en otro material) he hecho anteriormente alguna derivada parecida a esta? Durante la derivación… una vez respondidas las preguntas anteriores 1.- que reglas tengo que usar? Después de derivar 1.- ¿están bien los signos? 2.-¿apliqué bien las reglas? 3.- ¿apliqué bien el algebra en el momento de simplificar la derivada? 4.- ¿derivé todo lo derivable? Deje alguna raíz? 5 UCAB. Facultad de Ingeniería. Lic. Lisset De Gouveia de Da Mata 5.-¿ se me olvido algún miembro de la regla de la cadena? Con base en el cuadro y la estrategia presentada, planifica tu propia estrategia para derivar funciones. ¿Qué cambiarías? ¿Qué quitarías? Debes tener presente que hacerte preguntas y buscar sus respuestas antes de derivar, mientras derivas y después que derivas te facilita la aplicación de las reglas de derivación, es clave la identificación de las características de la función que quieres derivar. Referencias Galván, D. y Otros. (2006). Cálculo diferencial para administración y ciencias sociales. Un enfoque constructivista mediante la reflexión y la interacción. México: Pearson Educación. Pimienta, J. (2005). Constructivismo. Estrategias para aprender a aprender. México: Pearson Educación. Prado, C. y Otros. (2006). Cálculo diferencial para ingeniería. México: Pearson Educación. Stewart, J. (1999) . Cálculo diferencial e integral. México: Thomson Thomas, G. y Finney, R. (1998). Cálculo una variable. México: Pearson. Addison Wesley Longman 6