CONFERENCIA Semana 3 Sesión 1
Problemas combinados de rectas y planos.
1.- Sea “p” un plano paralelo a la recta L 1 : {x = 3m − 1, y = m + 1, z = 2m} . Que contiene a
L 2 : { x = n + 1, y = 4n + 7, z = 6 − n}
a)
Relación entre L 1 y L 2
b) Gráfica
c) Hallar “p”
2.- Hallar la ecuación de la recta L paralela a los planos p1: x+y+2z=3 y p2: -2x+2y-z=1 que
contenga al punto A de la recta L 1 : x = 2t, y = t − 2, z = 4t más cercano al eje Z
a) Gráfica
b) Escribir el procedimiento que utilizará para hallar el punto
c) Hallar la recta
Solución al problema 1
a) posición entre L 1 : {x = 3m − 1, y = m + 1, z = 2m}
L 2 : { x = n + 1, y = 4n + 7, z = 6 − n}
Probamos si tienen punto en común:
3m − 5 = n + 1 ; m + 1 = 4n + 7 ; 2m = 6 − n
con las ecuaciones 2 y 3 se obtiene que
6−n
2
+ 1 = 4n + 7 es decir n =
sustituyendo en la primera ocurre que 3m − 5 = 5 y n + 1 =
1
3
−2
3
y m=
10
3
que no son iguales
luego no se cortan.
Probamos sin son paralelas
V d1 = (3, 1, 2) V d2 = (1, 4,− 1) el producto vectorial entre V d1 y V d2 es igual a
(3, 1, 2)x(1, 4,− 1) = (− 9, 5, 11) =/ (0, 0, 0)
es decir no son paralelas
En conclusión se cruza L1 con L2
b) Gráfico
c) Ecuación de “p”
Calculamos la N
N
p
= V d1xV d2 =(-9,5,11) sacada de la parte a
Punto de “p”
Seleccionamos cualquier punto de L 2 por estar contenida en “p” Así A(1, 7, 6)
Escribimos la ecuación de “p”
p :− 9x + 5y + 11z = (− 9)1 + (5)7 + (11)6 = 92
p: -9x+5y+11z=92
Solución al problema 2
Hallar la ecuación de la recta L paralela a los planos p1: x+y+2z=3 y p2: -2x+2y-z=1 que
contenga al punto A de la recta L 1 : x = 2t, y = t − 2, z = 4t más cercano al eje Z
Gráfico
Procedimiento para hallar A
De entre todos los vectores con los puntos del eje Z y la recta L1 tomamos el que es
perpendicular a ambos vectores directores, pues lo que buscamos son lo puntos de cruce
Luego debemos construir todos los vectores entre L1 y el eje Z y nos quedaremos con el
que es perpendicular a ambos vectores directores
Ecuación de la recta L
El vector directores el producto vectorial de las normales de los planos por ser paralela a
ambos
V dL := (1, 1, 2) x (− 2, 1,− 1) = (− 3,− 3, 3) ≡ (− 1,− 1, 1)
vdl=(-1,-1,1)
Para calcular A
L 1 : x = 2t, y = t − 2, z = 4t ; eje Z: x = 0, y = 0, z = m
Construimos los vectores BC con un punto B de l1 y un punto C del eje son:
C B = (2t, t − 2, 4t − m) de estos seleccionamos el que es perpendicular a ambos vectores
directores
Por tanto : (2t, t − 2, 4t − m) • (0, 0, 1) = 0 → m = 4t
(2t, t − 2, 4t − m) • (2, 1, 4) = 0 → 4t + t − 2 + 16t − 4m = 0 → 21t − 4m = 2
Resolviendo el sistema nos resulta t = 2/5
Sustituimos en L1 para encontrar A(4/5,-8/5,8/5)
Construimos la recta:
L: x =− m + 54 , y =− m − 58 ,
z =m+
8
5
