Subido por Kendy

VIGA CONJUGADA METODO DE DOBLE INTEGRACI

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002
DEFORMACION EN VIGAS
Verónica Veas B. – Gabriela Muñoz S.
VIGA
CONJUGADA
METODO DE VIGA CONJUGADA
METODO DE DOBLE
METODO DOBLE INTEGRACION
INTEGRACION
METODO DE VIGA CONJUGADA
Se basa en los mismos principios que el método área de
momentos (teoremas de Mohr).
Se genera una viga ficticia (conjugada) con las siguientes
condiciones:
- Misma luz que la viga original.
- Mismas condiciones de apoyo que la viga original.
- Carga igual al diagrama de momento flector de la viga
original dividido por EI.
VIGA REAL
momento M
ángulo
φ
flecha
Y
VIGA FICTICIA.
carga M/EI
cortante Q’
momento M’
EJEMPLO: VIGA SIMPLEMENTE APOYADA CON CARGA
PUNTUAL APLICADA EN L/2
Conociendo el gráfico de momento y el valor del momento
máximo...
Ra = Rb = P
2
Mx = Px
2
Viga Ficticia o Conjugada
Mmáx
= q' =
φ A = Ra' =
PL
4EI
PL L 11
=
4 EI 2 L2
φA =
PL2
16EI
PL2
16 EI
Y máx = M máx =
PL3
Y máx =
48 EI
PL2 L
PL L1 L1 1 L
−
16EI 2
4 EI 2 2 3 2
METODO DE DOBLE INTEGRACION
dφ =
M.dx
EI
d2 y
EI
=M
dx 2
.../ dx
dφ M
=
dx EI
Integrando...
Si...
dy
= tgφ
dx
tgφ ≈ φ
dy
=φ
dx
EI
dy
= M dx
dx
∫
Ecuación general de Pendiente
Reemplazando...
d dy M
=
dx dx EI
d2 y M
=
2
EI
dx
Integrando...
EI y =
∫∫ M dx
Ecuación general de Flecha
EJEMPLO: VIGA SIMPLEMENTE APOYADA CON CARGA
UNIFORMEMENTE REPARTIDA
Ra = Rb =
qL
2
qLx qx2
Mx=
−
2
2
d2 y M
=
2
EI
dx
d2 y
EI
=M
2
dx
Determinando la ecuación general de pendiente:
EI
dy
=
dx
∫M
dx
 qLx qx 2 
dy
 dx
= 
−
EI
dx
2 
 2
∫
dy qLx 2 qx 3
EI
=
−
+ C1
dx
4
6
Determinando la ecuación general de flecha:
EI y =
∫∫ M dx +
 qLx 2 qx 3
EI y = 
−
−+ C1
4
6

∫

 dx


qLx 3 qx 4 qL3 x
+ C 1 x + C2
EI y =
−
−
12
24
24
Para despejar C1 ...
x=
L
2
Para despejar C2 ...
dy
=0
dx
2
3
qL  L 
qL 
EI. 0 =
  −   + C1
4 2
62
qL3
C1 = −
24
dy qLx 2 qx 3 qL3
EI
=
−
−
dx
4EI
6EI 24EI
x=0
x =L
y=0
qL 3 q 4 qL3
EI. 0 =
0 −
0 −
0 + C2
12
24
24
qL 3 q 4 qL3
EI. 0 =
L −
L −
L + C2
12
24
24
C2 = 0
qLx 3 qx 4 qL3 x
EI y =
−
−
12EI 24EI 24EI
Reemplazando en las ecuaciones generales:
dy qLx 2 qx 3 qL3
φ=
=
−
−
dx
4EI
6EI 24EI
Ángulos en los apoyos...
x=0
x =L
dy
qL3
φA =
=−
dx
24EI
dy qL3 qL3 qL3
φB =
=
−
−
dx 4EI 6EI 24EI
dy
qL3
φB =
=
dx 24EI
Reemplazando en las ecuaciones generales:
qLx 3 qx 4 qL3 x
y=
−
+
12EI 24EI 24EI
La flecha máxima...
x = L/2
3
4
qL  L 
q L 
qL3 L
y=
  −
  −
12EI  2 
24EI  2 
24EI 2
5qL4
y=
384EI
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